Le taux d'escompte à long terme en tenant compte de la production

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DFR Mathématiques de la Décision

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LE TAUX D'ESCOMPTE À LONG TERME EN

TENANT COMPTE DE LA PRODUCTION

THE LONGTERM DISCOUNT RATE WHEN

TAKING INTO ACCOUNT PRODUCTION

THÈSE

Pour l'obtention du titre de

Docteur en Sciences - Spécialité Mathématiques Appliquées

(Arrêté du 7 Août 2006) Présentée par

Pierre-Olivier Rüther

Soutenue publiquement le . . . devant le jury composé de: Examinateurs : Nizar Touzi

Professeur, Ecole Polytechnique

Luciano Campi

Professeur, Université Paris 13

Rapporteurs : Ulrich Horst

Professeur, Humboldt Universiät zu Berlin

Semyon Malamud

Professeur, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Directeurs de thèse : Elyès Jouini

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analysée une économie à l'équilibre composée de deux agents, l'un optimiste et l'autre pessimiste, investissant dans une production en ore illimitée et une obligation en ore net zéro. Les investissements optimaux de l'optimiste (pessimiste) dans la production et dans l'obligation sont respectivement plus élevés (bas) et plus bas (élevés) que dans le cas rationnel. Le taux sans risque est une moyenne des taux homogènes des économies à un agent, pondérée par les parts de la richesse totale que chaque agent détient. Le taux, pro-cyclique, uctue entre le taux de l'optimiste (borne supérieure) et du pessimiste (borne inférieure). Les uctuations du taux et la part de richesse globale investie dans l'obligation augmentent avec une divergence de croyances croissante. Un agent à richesse quasi nulle a le plus grand impact sur les caractéristiques. Dans la deuxième partie, on étudie une économie à l'équilibre composée d'agents ayant des croyances subjectives et hétérogènes. Les agents, individuellement irrationnels mais collectivement rationnels, se partagent une dotation générée par deux sources de risque. Les primes de risque et le taux sans risque sont des moyennes de leurs niveaux analogues à celui dans des économies à un agent, pondérées par la part de la dotation de chaque agent. Ils sont en moyenne égaux à leurs valeurs rationnelles et ont un comportement pro- ou contra-cyclique déni par les croyances. Une plus forte divergence de croyances crée plus grande incertitude et volatilité sur les prix d'actifs.

Summary: The thesis explores the impact of heterogeneous beliefs on the equilibrium characteristics prevailing in economies made of irrational agents. In the rst part, an economy providing investment opportunities in production of unrestricted supply and a bond of zero supply to both an optimist and a pessimist is analyzed at the equilibrium. The optimist's (pessimist's) optimal investment in the production and the bond turn out higher (lower) and lower (higher), respectively, than in the rational case. The equilibrium risk free rate is a wealth share weighted average of the homogeneous rates, the rates prevailing in the single agent economies, and it undergoes pro-cyclical uctuations within bounds dened by the optimist's (upper) and the pessimist's rate (lower). Higher divergence of beliefs not only leads to larger uctuations of the risk free rate but also increases the fraction of total wealth invested in the bond. Finally, an agent's impact on the equilibrium characteristics is highest for near zero personal wealth. In the second part, the equilibrium characteristics of an economy made of agents, with subjective and heterogeneous beliefs, are studied. The agents, as a group rational, share an endowment driven by two sources of risk. The market prices of risk and the risk free rate are consumption share weighted averages of their analogues arising in the single agent economies. They are on average equal to their rational values and exhibit cyclical behaviours, pro- or counter-cyclical, depending on the belief setup. Higher belief divergence leads not only to more uncertainty on asset prices but also to higher volatility of the equilibrium characteristics.

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Chapter 1 Introduction Générale

Il existe de nombreux points sur lesquels ont peut attaquer l'hypothèse de l'agent rationnel courmament utilisée dans les modèles économiques. Ces modèles ne sont pas capables de fournir des réponses satisfaisantes aux problèmes tels que la diérence entre la valeur théorique et empirique de la prime de risque, la volatilité de la consommation mais aussi des stratégies d'investissements en particulier sur le comportement des valeurs d'actifs par apports au stratégies d'investissements. Ce dernier sujet a été beaucoup traité et des études telles que celle de Mehra and Prescott (1985) et plus récemment Welch (2000) ont permis d'avancer sur la question. Ainsi, Mehra and Prescott (1985) ont découvert par l'analyse des marchés qu'une importante diérence entre la valeur théorique de la prime de risque et sa valeur observée sur les marchés persiste ce qui a conduit à s'interroger sur les hypothèses phares des modèles économiques en particulier celle sur l'ecience des marchés, initialement proclamée par Fama (1965), et le comportement supposé rationnel des agents. Une des justications du fait d'adopter l'hypothèse de la rationalité des agents est qu'on suppose que l'agent irrationnel disparaisse à long terme suite à ses croyances irrationnelles. C'est surtout Friedman (1953) qui utilise cet argument de sélection naturelle pour justier d'ignorer la présence possible d'agents irrationnels. Un deuxième argument sensé justier le fait que la théorie néglige les agents irrationnels est le fait que pour un surinvestissement d'un agent irrationnel dans un actif particulier les agents rationnels sous-investissent dans cet actif et annulent donc l'impact de l'agent irrationnel sur le prix de l'actif. Un troisième argument important est l'argument d'agrégation qui proclame qu'il n'y a aucune raison d'existence d'un biais systématique dans l'économie car on s'attend à ce que les agents aient des croyances rationnelles en moyenne. Cet argument suppose que les agents ayant des croyances irrationnelles se compensent et que par la suite leurs actions s'annulent.

Dans la littérature récente, on s'est surtout interrogé sur les deux premiers argu-ments. Aujourd'hui, la présence d'agents irrationnels sur les marchés nanciers est large-ment acceptée aujourd'hui. On a inclus dans ces problématiques l'existence de croyances hétérogènes sur les marchés nanciers parmi les agents irrationnels. Les travaux de Har-rison and Kreps (1978), Varian (1985), Varian (1989), Abel (1990), De Long et al. (1990) et Harris and Raviv (1993) traitent le problème de croyances hétérogènes dans le cadre de modèles discrets à une ou plusieurs périodes. Des modèles en temps continu ont été

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développés par Detemple and Murthy (1994), Zapatero (1998), Basak (2000), Basak (2005), Kogan et al. (2006) et Yan (2008).

L'argument d'agrégation avait été négligé longtemps avant d'être étudié récemment par les travaux par Jouini and Napp (2007), Cvitanic et al. (2012) et Jouini et al. (2010) par exemple. Comme les travaux précédents de Varian (1985), Varian (1989), Merton (1989) and Harris and Raviv (1993) ces travaux se concentrent sur les cas dans lesquels les croyances hétérogènes sont prédéterminées tout en laissant leurs origines non spéciées. Les croyances hétérogènes peuvent se former suite à l'information incomplète ou fausse mais aussi suite à une fausse perception de risque quant à l'état de l'économie dans l'avenir. Les agents bénécient tous du même ux d'information et les croyances hétérogènes reètent plutôt la diérence d'interprétation de ce ux d'information. Comme Jouini and Napp (2007) indiquent les modèles avec formation de croyances ne sont pas plus endogènes car les façons avec laquelle les agents actualisent leurs croyances et les probabilités associées peuvent être determinées séparément à partir des programmes d'optimisation des agents en se référant à Gennotte (1986).

Le troisième point d'intérêt, l'impact mutuel des stratégies d'investissement et des prix d'actifs, reste encore peu étudié dans la littérature récente. Avec l'introduction des croy-ances hétérogènes les inquiètudes exprimées par Williams (1977) que des dicultés per-sistent, en particulier l'hypothèse restrictive d'espérance homogène, qui ne permet pas de divergence entre les choix d'investissments des agents, ont été apaisées. Ceci a permis d'acquérir une meilleure compréhension des marchés nanciers et surtout de la formation des prix d'actifs et leurs évolutions. Des contributions importantes à ce sujet sont par exemple Williams (1977), Merton (1989) et Detemple and Murthy (1994).

Dans cette thèse, les sujets principaux seront premièrement l'interdépendance entre les stratégies d'investissement et les prix des actifs et deuxièmement l'argument d'agrégation. Les croyances dans l'intégralité de la thèse sont supposées être données et constantes. Le fait que les croyances soit données permet d'isoler leur eet seul. De plus, dans ce cas les résultats ne sont pas inuencés par la dynamique des ux des nouvelles informations perçues par chaque agent comme dans Detemple and Murthy (1994) par exemple. Chez Detemple and Murthy (1994), puisque les agents sont capables d'actualiser leurs croyances suite à des nouvelles informations obtenues, cela provoque un biais systémique pour les diérents états de l'économie. Pour les bons états de l'économie, un biais systémique optimiste règne dans l'économie, par contre pour les mauvais états le biais est pessimiste. Une approche avec des croyances prédéterminées et spéciées a été utilisée par Jouini and Napp (2007), Cvitanic et al. (2012) et Jouini et al. (2010). Le choix de croyances constantes est justié par le fait que c'est la façon la plus simple d'introduire des croyances dans le modèle. L'origine de ces croyances ne sera également pas spéciée.

1.1 Première Partie

Dans la première partie, va être alaysé un modèle intertemporel d'une économie à l'équilibre avec une structure d'information standard composée d'agents hétérogènes ayant des

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antic-ipations subjectives pour l'avenir de l'économie. Les agents se diérencient dans la façon dont ils perçoivent le taux de croissance de la production St dans laquelle ils ont la

pos-sibilité d'investir. Ils peuvent aussi invvestir dans un actif sans risque, une obligation Bt.

Cela entraîne que chaque agent i a sa propre estimation pour le taux de croissance de la production donné par µi = µ + σδi où µ et σ sont le vrai taux de croissance et la volatilité

de la production, les deux étant dans R+. Le paramètre δi est le paramètre de croyance de

l'agent i qui est constant et dans R. Un agent optimiste (δi > 0) surestime donc le taux de

croissance tandis qu'un pessimiste (δi < 0) sous-estime le taux de croissance de la

produc-tion. L'intérêt principal de cette partie réside dans l'analyse des stratégies d'investissement des agents et la xation du taux d'intérêt à l'équilibre rt. Les stratégies d'investissement

sont déterminées avec l'aide de l'approche de martingale développée par Cox and Huang (1989), Huang and Pages (1992) et Karatzas et al. (1987) qui trouvent une solution en maximisant l'utilité provenant de ux de consommation future pour chaque agent.

Une fois le problème de maximisation de chaque agent résolu, le cas d'une économie homogène est analysé à l'équilibre. Les résultats obtenus faciliteront la description des résultats dans le cas d'une économie hétérogène. L'économie homogène est fait d'un seul agent aux croyances subjectives qui consomme c∗

i,t et investit la somme θi,t de sa richesse

totale Ki,t dans la production St. La solution du problème de maximisation pour cet agent

est alors c∗_i,t = f Bt λ+_i ηi,t θi,t = µ − ri+ σδi ασ2 Ki,t (1.1.1)

où ηi,test le prix d'état avec le ratio de sharpe κi,t = µ−rt_σ+σδi et λ+i ∈ R+le multiplicateur de

Lagrange de l'agent i. La fonction f représente l'inverse de l'utilité marginale u0_{. L'agent}

investit le reste de sa richesse dans l'obligation, c'estàdire βi,t = Ki,t − θi,t. Le taux

d'intérêt à l'équilibre rt est déterminé à l'équilibre par une position nette de valeur zéro

dans l'obligation. Dans le cas d'une économie homogène le taux d'intérêt à l'équilibre rtest

le taux qui entraîne l'agent à investir toute sa richesse dans la production et à détenir un niveau nul de l'obligation. Le taux d'intérêt qui force l'agent à poursuivre cette stratégie est

ri = µ − ασ2+ σδi. (1.1.2)

pour α > 0 étant le paramètre d'aversion au risque. Une propriété intéressante du taux d'intérêt à l'équilibre est qu'il est plus élevé pour un optimiste et plus bas pour un pessimiste par rapport au taux d'intérêt dans le cas rationnel.

En passant à l'économie hétérogène avec des agents ayant des croyances subjectives dif-férentes on constate que le ux de consommation optimale et les stratégies d'investissement pour chaque agent de (1.1.1) sont identiques à ceux obtenus dans le cadre homogène. L'analyse à l'équilibre donne un taux d'intérêt à l'équilibre rtqui est une moyenne pondérée

des diérents taux individuels d'économies homogènes. Les poids sont donnés par la frac-tion τi,t de la richesse totale que chaque agent i détient. L'expression pour le taux d'intérêt

à l'équilibre dans une économie hétérogène est donc: rt=

X

i

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Ce résultat est similaire à celui obtenu dans Detemple and Murthy (1994) où le taux d'intérêt est également une moyenne pondérée. Par contre dans ce papier, les agents ac-tualisent leurs croyances suite à la réception de nouvelles informations. Pour déterminer l'utilité des agents provenant de la consommation ils choisissent d'utiliser une simple fonc-tion logarithmique. En ce qui nous concerne, une utilité plus générale du type CRRA est utilisé.

Le fait que le taux d'intérêt à l'équilibre est une moyenne pondérée des taux individuels entraîne des uctuations de sa valeur suivant des changements de l'état de l'économie. Dans une économie composée de deux agents, l'optimiste détient une plus grande partie de la richesse totale dans les bons états, tandis que dans les mauvais états de l'économie le pessimiste est plus riche. On se rappelle que le taux d'intérêt de l'optimiste est plus élevé que le taux rationnel et celui du pessimiste est inférieur au rationnel. Puisque dans les bons états de l'économie l'optimiste détient plus de richesse il impose son taux plus élevé. Pour les mauvais états de l'économie le taux est bas car le pessimiste impose son taux plus bas. Dans le cas hétérogène, le taux d'intérêt à l'équilibre a donc un comportement pro-cyclique. Il est évident que les bornes de la valeur du taux d'intérêt sont données par le taux individuel de l'agent le plus pessimiste et par le taux de l'agent le plus optimiste,

min

i (ri) ≤ rt ≤ maxi (ri). (1.1.4)

Après avoir identié le comportement pro-cyclique du taux d'intérêt à l'équilibre on analyse la magnitude des uctuations. Un résultat majeur est que la magnitude de la uctuation du taux suite à un changement de l'état de l'économie, donc aussi de la distribution de la richesse totale parmi les agents, est plus importante quand l'agent favorisé par le change-ment d'état est proche de l'extinction. Un agent subit l'extinction lors qu'il perd toute sa richesse. Si l'agent i voit sa richesse augmenter d'une unité la magnitude de la uctuation du taux d'intérêt est donné par δi−δj

Kt σ(1 − τi,t) pour Kt = K1,t + K2,t. Cette expression

montre clairement que lors que l'agent i détient une part de la richesse totale τi,t minime

son impact sur le taux d'intérêt est le plus élevé. Cette propriété du modèle est en accord avec Kogan et al. (2006) qui trouvent également que même si un agent irrationnel détient une part de richesse totale presque nulle il garde une inuence signicative sur les prix des actifs.

Une extension est ensuite proposée qui consiste à analyser le modèle qui vient d'être décrit tout en supposant des rendements décroissants. On a maintenant une diminution linéaire du taux de croissance suite à une augmentation de l'investissement dans la produc-tion. Plus précisément, la croissance déterministe de la production est maintenant donné par µ+ξ(θ1,t+θ2,t)avec ξ < 0, le paramètre indiquant l'impact de la richesse totale investie

θ1,t+ θ2,t sur le drift.

Le procédé de l'analyse de ce modèle modié est le même que pour la version à ren-dement constant. En examinant le cas homogène on trouve que les renren-dements décrois-sants sur la production engendrent une dépendance directe sur le choix d'investissement de l'agent. Tout en gardant le même ux de consommation, la position dans la production que l'agent détient tient compte de l'eet décroissant de l'investissement sur le taux de

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croissance de la production θi,t = µ − rt+ σδi ασ2_{− ξK} i,t Ki,t. (1.1.5)

Ceci est représenté par le terme supplémentaire ξKi,t dans le dénominateur. Le taux

d'intérêt à l'équilibre étant le taux qui entraîne un invéestissement nul dans l'obligation, βi,t = Ki,t− θi,t = 0, il est le même que dans le cas standard mais réduit de la même façon

que le taux de croissance de la production. Le taux individuel dans le cas de rendement décroissant rd

i,t est donc donné par

rd_i,t = µ − ασ2+ σδi+ ξKi,t. (1.1.6)

Pour une économie hétérogène composée de deux agents aux croyances subjectives, l'introduction d'un rendement décroissant induit une dépendance du portefeuille de chaque agent non seulement à leur propre choix d'investissement mais aussi à celui de l'autre car le taux de croissance de la production est maintenant donné par µ + ξ(θ1,t + θ2,t).

La consommation optimale obtenue comme solution du problème de maximisation pour chaque agent est identique à celle obtenue dans le cas avec un rendement constant standard. Les choix optimaux de portefeuille sont par contre composés de deux termes. Le premier terme est l'investissement optimal dans le cas homogène et le deuxième terme tient compte de l'interdépendance des portefeuille des agents,

θi,t = µ − rt+ σδi ασ2 _{− ξK} i,t Ki,t − ξKi,tKj,t(δi− δj) ασ(ασ2_{− ξK} t) , (1.1.7)

où j 6= i et Kt = K1,t+ K2,t. Le montant que chaque agent investit dans l'obligation est

à nouveau βi,t = Ki,t − θi,t. Dans ce cadre de croyances hétérogènes le taux d'intérêt à

l'équilibre rd

t entraînant une position globale nulle dans l'obligation, β1,t + β2,t = 0, est

similaire au cas avec un rendement constant un moyenne pondérée des taux individuels rd i,t

pour les économies homogènes aux rendements décroissants et à l'équilibre, r_td=X

i

r_i,td. (1.1.8)

Les poids de cette moyenne sont comme précédemment les parts de la richesse totale que chaque agent détient. Il est évident que dans le cas de rendement décroissants avec ξ < 0 le taux d'intérêt à l'équilibre est inférieur à celui dans le cas avec des rendements standards pour la production. On en déduit facilement des bornes pour les valeurs du taux donné par −∞ ≤ rd t ≤ max i (r d i,t). (1.1.9)

En complément à l'analyse théorique des modèles à deux agents dans le cadre de rende-ments constants et décroissants des simulations numériques ont été eectuées avec le but de mieux comprendre non seulement l'évolution des parts de la richesse totale que chaque agent détient mais aussi l'évolution du taux d'escompte. Dans une économie composée

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d'un optimiste et un pessimiste et avec un rendement constant de la production, on con-state que l'optimiste atteint des plus grandes parts de richesse totale que le pessimiste pour tout la durée. On a, puisque le taux d'intérêt à l'équilibre est une moyenne pondérée des taux individuels, un taux d'escompte à l'équilibre qui est croissant pour tous les cas. De plus le taux d'escompte est au-dessus du taux rationnel pour un optimisme général tandis qu'il est inférieur pour un pessimisme général.

Avec une production à rendement décroissant c'est le pessimiste qui garde une majorité croissante de la richesse totale ce qui entraîne un taux d'escompte décroissant et à long terme inférieur au taux rationnel.

1.2 Deuxième Partie

La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'argument d'agrégation et nous tentons de trouver une réponse à la question suivante: Est-il raisonnable de négliger les agents irrationnels tant qu'ils sont rationnels en moyenne? Le but de cette partie est d'identier un impact potentiel d'un groupe d'agents irrationnels mais rationnels en moyenne sur les caractéristiques de l'économie à l'équilibre, tels que le taux sans risque ou la prime de risque. Pour cela on analyse une économie en temps continu à l'équilibre du type Arrow-Debreu avec un seul bien de consommation comme dans Jouini et al. (2010) et Cvitanic et al. (2012). Cette économie est composée de N agents averses au risque ayant des croyances subjectives hétérogènes. Les agents se partagent une dotation et qui est générée par deux Browniens

non-corrélés W1 et W2. Chaque agent i a donc des croyances subjectives (δi,1, δi,2), où δi,j

est le paramètre de croyance de l'agent i par rapport à la source de risque Wj. On suppose

également que les agents sont rationnels en moyenne pour chaque source de risque Wj,

c'est à dire Piδi,j = 0 pour j = 1, 2, et ont en plus le même degré d'irrationalité, ce qui

est représenté par la même distance de leurs croyances de rationalité, δ2

i,1+ δi,22 = δ2 pour

un δ ∈ R+. A l'équilibre, les consommations des agents et le prix d'état sont donnés par

ci,t = Mi,t P kMk,t et qt= P iMi,t N et exp(−ρt) (1.2.1)

pour Mi,t = exp(−δ

2

2 t + δi,1W1,t+ δi,2W2,t) et la préférence temporelle ρ > 0. La part de

consommation totale de chaque agent est donc simplement donnée par τi,t = ci,t

et =

Mi,t

P

kMk,t.

Il est démontré que tous les agents survivent car ils partagent la même distribution pour leur part de consommation et donc aucun agent n'est en position plus favorable que les autres. Ce modèle est une généralisation du modèle de Jouini et al. (2010) qui utilise une modélisation des croyances identique dans un cadre simplié avec deux agents et une source de risque. Par contre Cvitanic et al. (2012) traitent d'une économie avec N agents laissent la forme des croyances des agents générale et non-spéciée.

Comme Jouini et al. (2010) dans leur cadre simplié, la prime de risque MP Rj,t et le

taux sans risque rt pour l'économie à N agents irrationnels sont des moyennes pondérées

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composées d'un seul agent, M P Rj,t = X i τi,tM P Ri,j rt= X i τi,tri (1.2.2)

et où les poids sont donnés par les parts de consommation totale τi,t détenues par chaque

agent. La prime de risque individuelle de chaque agent est MP Ri,j = σj− δi,j et son taux

sans risque ri = ρ + µ − σ12− σ22, où µ et σj, pour j = 1, 2, sont le drift et les paramètres

de volatilité de la dynamique de la dotation et tous étant dans R+ et constants. En

moyenne, les valeurs des primes de risque et du taux sans risque sont égales à leurs valeurs dans le cadre rationnel. Ceci résulte du choix des croyances et en particulier du fait que les croyances sont non-biaisées menant à une distribution identique et symétrique pour chaque part de consommation totale des agents.

La forme de moyenne pondérée du taux sans risque et des primes de risque engendre des uctuations de leurs valeurs suite à des changements de l'état de l'économie qui bien sur entraîne des ajustements des part de consommation détenues par chaque agent. Dans les bons états de l'économie les optimistes détiennent la majorité de la consommation totale tandis que pour les mauvais états les pessimistes détiennent part de la consommation totale plus importante. Puisque les primes de risque pour une économie homogène fait d'un agent optimiste (pessimiste) sont supérieurs (inférieurs) à celle d'une économie rationnelle les primes de risque pour cette économie hétérogène sont contra-cycliques. On a une baisse des primes de risque pour les bons états car les optimistes ayant une part de consommation totale plus importante imposent leurs primes de risque basses et on a une hausse des primes de risque pour les mauvais états de l'économie car les pessimistes imposent leurs primes élevées. Les valeurs des primes de risque sont donc aussi clairement bornées par

min

i (M P Ri,j) ≤ M P Rj,t ≤ maxi (M P Ri,j) (1.2.3)

pour j = 1, 2. La borne supérieure est la prime de risque de l'agent le plus pessimiste pour la source de risque Wj et la borne inférieure est donnée par la prime de risque de l'agent le

plus optimiste pour la source de risque Wj. Ce comportement cyclique apparait aussi dans

les modèles similaires de Jouini et al. (2010) et Cvitanic et al. (2012). Jouini et al. (2010) font la remarque intéressante que le comportement contra-cyclique de la prime de risque est cohérant avec les variations observées et Campbell and Cochrane (1995) soulingent que la prime de risque est ressentie comme plus élevée dans les baisses que dans les hausses de l'économie.

Les uctuations des primes de risque suite à des changements des états de l'économie dépendent de la distribution pondérée des paramètres de croyance dans l'économie. On trouve en particulier que la taille de l'ajustement de la prime de risque suite à une croissance d'une unité de la source de risque Wj est donnée par la valeur négative de la variance

pondérée V arτ des paramètres de croyance dans l'économie pour cette source de risque

dM P Rj,t

dWj,t

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pour j = 1, 2. Les poids sont donnés par les parts de consommation détenus par chaque agent.

Le taux sans risque subit aussi un comportement cyclique. Le type de cyclicité dépend par contre des croyances des agents et des conditions sont établies pour bien l'identier. Ce résultat en contraste avec l'identication précise du type de comportement dans Jouini et al. (2010) est dû à la présence de deux sources de risque. Dans le cadre très général de Cvitanic et al. (2012) on a également des conditions pour les diérents types de comportement cyclique. Comme pour les primes de risque le comportement cyclique a ses origines dans les uctuations des parts de consommation totales que les agents détiennent suite à des changements de l'état de l'économie. Les agents qui perçoivent certains états de l'économie plus probables que les autres imposent leur taux sans risque dans ces états-là. Les bornes pour les valeurs du taux sans risque sont facilement identiées comme le taux sans risque de l'agent le plus optimiste pour les deux sources de risque de même pour le taux sans risque de l'agent le plus pessimiste pour les deux sources de risque. Ces agents ont la plus grande et la plus petite valeur pour σ1δi,1+ σ2δi,2, et donc on a

min

i (ri) ≤ rt ≤ maxi (ri). (1.2.5)

Concernant les rendement à très long terme, le taux d'escompte moyen asymptotique est celui de l'agent le plus pessimiste, l'agent ayant la plus petite valeur pour σ1δi,1+ σ2δi,2.

C'est aussi cet agent qui xe les prix asymptotiques des obligations. Puisque les obligations de longue durée sont les actifs les plus attractifs pour cet agent pessimiste, il est naturel qu'il détermine les prix de ces actifs. Le rendement cumulé sur un actif risqué généré par Wj est celui de l'agent ayant la valeur maximale pour δi,j(σj − σSj) + δi,kσk, où σSj ≤ σj

est la volatilité de l'actif risqué. Le rendement cumulé dans notre cas est donc supérieur à celui dans le cas rationnel.

Après avoir regardé le cas avec deux sources de risque indépendantes, l'impact de corrélation entre les deux sources de risque est analysé. Maintenant chacune des sources de risque génère un processus de dotation ej,t, pour j = 1, 2. En général, pour ce nouveau cadre

les primes de risque et le taux sans risque à l'équilibre restent des moyennes pondérées des primes de risque et des taux sans risque individuels des économies homogènes. Les poids sont comme précédemment donnés par les parts τi,t de consommation totale des agents.

Par contre, suite à l'introduction d'une corrélation entre les sources de risque, les primes de risque et le taux sans risque dépendent maintenant aussi de la valeur ωj,t = _e ej,t

1,t+e2,t qui

indique la taille de la dotation totale que chaque processus de dotation représente.

Dans le cas d'une économie homogène composée d'un agent aux croyances subjectives les primes de risque et le taux sans risque contiennent des termes supplémentaires, comparé au cas sans corrélation, qui prennent en compte le risque additionnel engendré par la corrélation

M P Ri,j,t = σjωj,t− δi,j (1.2.6)

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pour rc,std

t = ρ − γσ1σ2ω1,tω2, t +

P

jµjωj,t− σj2ωj,t2 . Dans le cas hétérogène et en présence

de corrélation entre le sources de risque, les primes de risque MP Rc

j,t et le taux sans risque

rc

t sont donc des moyennes pondérées des primes MP R8i, j, tc et taux individuels ri,tc

M P Rc_j,t =X i τi,tM P Ri,j,tc rtc= X i τi,tri,tc (1.2.8)

Les uctuations des primes de risque et du taux sans risque suite à des changements d'état de l'économie sont aussi analysées. La taille de l'ajustement de la prime de risque suite à une augmentation d'une unité de la source de risque associée est donnée par la valeur négative de la variance pondérée, comme dans le cas indépendant, à laquelle est ajouté un terme qui tient en compte de la corrélation

dM P Rc_j,t dWj,t

= −V arτ((δi,j)i) + σjω1,tω2,t(σj − γσk) (1.2.9)

pour j 6= k. Des conditions claires sont dénies qui déterminent le type de comportement cyclique des primes de risque.

Comme pour la première partie une analyse numérique de ce modèle est eectuée utilisant diérentes congurations de croyances et surtout diérents degrés de dispersion de croyances. Les simulations conrment les résultats obtenus mais montrent aussi clairement que les croyances introduisent du risque supplémentaire. Le résultat le plus frappant est la croissance de la volatilité de la distribution des valeurs terminales des actifs risqués lorsque le degré de dispersion des croyances augmente. Cela indique que les valeurs terminales des actifs risqués diérent de plus en plus de leurs valeurs dans le cadre rationnels quand les agents ont des croyances subjectives même s'ils sont rationnels en moyenne.

1.3 Synthèse

Cette thèse a essayé de montrer que l'utilisation de l'hypothèse de l'agent rationnel dans les modèles économiques est dicilement justiable. La première partie examine en dé-tail l'interdépendance observée entre les comportements des prix d'actifs et des stratégies d'investissement pour laquelle les modèles économiques basés sur l'hypothèse de l'agent rationnel ne donnent pas une explication satisfaisante. C'est pour cela que `l'on a choisi une économie composée d'agents irrationnels pour l'analyse de cette interdépendance entre les comportements. La deuxième partie s'intéresse à la validité de l'argument d'agrégation qui est supposé justier l'insigniance de la présence d'agents irrationnels. Depuis peu cet argument est vu d'un oeil sceptique par la littérature. Pour l'analyse de ce sujet, on s'intéresse notamment aux caractéristiques d'une économie à l'équilibre composée d'agents irrationnels qui sont en moyenne rationnels.

Pour la première partie, un cadre consistant en un modèle intertemporel d'une économie à l'équilibre qui est composée de deux agents hétérogènes à croyances subjectives. Ces agents ayant une utilité du type CRRA ont la possibilité d'investir dans une production ou dans une obligation en la quantité nette égale à zéro.

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Le résultat principal de cette partie est que le taux sans risque à l'équilibre est une moyenne pondérée des taux individuels qui apparaissent dans les diérentes économies homogènes à l'équilibre composées d'un seul agent. Cette forme de moyenne pondérée est une propriété structurelle du modèle. Les poids sont donnés par la part de la richesse totale que chaque agent détient et donnent une indication de l'importance de chaque agent dans l'économie. On trouve également que le taux sans risque est pro-cyclique, c'est à dire que dans les bons (mauvais) états de l'économie l'agent optimiste (pessimiste) détient un grande part de la richesse totale et impose donc son taux sans risque individuel plus élevé (bas). Le taux sans risque à l'équilibre uctue donc entre le taux bas du pessimiste et le taux élevé de l'optimiste. Concernant la taille du marché des actifs, on soit qu'ils dépendent du degré de divergence entre les croyances des agents. De façon similaire, la part de richesse que chaque agent investit dans la production ou l'obligation est également déterminée par le degré de divergence entre leurs croyances. Pour une divergence croissante les investissements des agents dans l'actif, qu'ils perçoivent à titre personnel comme plus avantageux, deviennent de plus en plus importants.

Ensuite, le cas avec des rendements décroissant sur la production est examiné. Dans ce cadre, il est supposé que le rendement sur la production est décroissant lors que l'investissement dans la production augmente. Dans ce cadre le taux sans risque à l'équilibre reste toujours une moyenne pondérée des taux individuels à l'équilibre mais il est inférieur à celui dans le cas avec des rendements constants. On a donc toujours les uctuations du taux suite au changement de la distribution de la richesse totale parmi les agents. Par contre, la valeur du taux sans risque n'est plus bornée par le bas. On garde malgré tout la borne supérieure donnée par le taux individuel de l'optimiste. Concernant le type de comportement cyclique du taux sans risque, il est déterminé par le choix des paramètres et les croyances des agents. Dans la deuxième partie, on considère une économie dotée d'une fonction logarithmique ainsique d'un seul bien de consommation et qui est composé de N agents irrationnels avec des croyances subjectives et constantes. On suppose, malgré que chaque agent soit irrationnel, que l'ensemble des agents est rationnel. Ces agents se partagent un processus de dotation qui est généré par deux mouvements Browniens. En première partie de l'analyse du modèle, ces deux mouvements Browniens sont supposés indépendants et seulement en deuxième partie on regarde le cas avec une corrélation entre les Browniens.

L'hypothèse que l'ensemble des agents est rationnel et que tous les agents ont le même niveau d'irrationalité, c'est-à-dire que tous sont à la même distance de la rationalié, nous donne certaines propriétés du modèle qui sont identiques à ceux obtenu dans un cadre standard et purement rationnel. Ceci nous permet de nous concentrer sur les conséquences de l'hypothèse de rationalité de l'ensemble des agents. Tous les agents survivent et toutes les parts de consommation que les agents détiennent ont la même distribution. En plus, les charactéristiques de l'équilibre sont en moyenne similaires à leurs analogues dans le cadre rationnel. Dans ce modèle on pousse au plus loin les limites de l'hypothèse de rationalité en moyenne des agents.

Comparé au cas standard rationnel, on remarque des diérences importantes notam-ment la présence de vagues de pessimisme et d'optimisme, qui se manifestent lorsque l'économie se trouve dans des mauvais ou bons états, ou les comportements cycliques des

(21)

primes de risque et du taux sans risque. Il est clair que les comportements cycliques sont les conséquence des vagues de pessimisme et d'optimisme car dans les très mauvais états de l'économie les pessimistes détiennent une majorité de la consommation tandis que dans les bons états les optimistes ont une majeure partie de la consommation totale. Dans ces cas, les agents imposent leurs primes de risque individuelles ainsi que leurs taux sans risque individuels. Le type de comportement cyclique de la prime de risque et du taux sans risque, soit pro- ou contra-cyclique, dépend des croyances des agents et peut être facile-ment identié à partir de la conguration des croyances des agents. La prime de risque est contra-cyclique par rapport à la source de risque correspondante et son ajustement suite à un changement positif d'une unité de cette source de risque est donné par la variance pondérée des croyances des agents. Les poids sont donnés par les parts de consommation que chaque agent détient. Le comportement de la prime de risque envers l'autre source de risque est soit pro- soit contra-cyclique dépendant de la conguration des croyances des agents. Le comportement de la prime du risque totale envers les diérentes sources de risque est également déterminé par la conguration des croyances de agents.

En poursuivant l'analyse précédente, on considère le même modèle avec la présence de corrélation entre les sources de risque et on suppose que la dotation globale est composée de deux processus chacun généré par une source de risque. Dans ce cas, les valeurs des primes de risque ainsi que du taux sans risque sont non seulement déterminées par la distribution de la dotation parmi les agents mais aussi par l'importance relative en terme de dotation globale des processus composant la dotation. Cette dernière propriété est présente dans le cas d'une économie rationnelle, homogène et hétérogène. Par contre, les primes de risque et le taux sans risque dans une économie hétérogène restent des moyennes pondérées, avec les parts de consommation comme poids, de leurs analogues dans les économies homogènes. Les primes de risque maintiennent leurs comportements cycliques et le type de comportement est à nouveau obtenu en analysant la conguration des croyances. Ces résultats sont cohérants avec Cvitanic et al. (2012) qui trouvent un résultat plus général pour cette propriété du modéle.

(22)

Chapter 2 General Introduction

An increasing amount of evidence leads to questioning the rational agent hypothesis of standard economic models as they fail to provide reasonable explanations for the discrep-ancies between theoretical and empirical values for the size of the equity premium, the volatility of consumption as well as investment strategies and the joint behaviour of asset prices and investment. Especially, the former has been looked into extensively and the em-pirical evidence obtained through studies and surveys such as Mehra and Prescott (1985) and more recently Welch (2000) have nourished the interest in this issue. In essence, Mehra and Prescott (1985) found through market analysis that the value of the market price of risk was relatively high in contrast to values obtained with economic models. This lead to questioning the various aspects of the standard economic models such as the eciency of nancial markets, initially proclaimed by Fama (1965), and in particular the hypothesis of the economic agent being rational. This rational agent hypothesis has been justied by the assumption that any irrational trader would disappear in the long run due to her/his irrational beliefs and behaviour. Friedman (1953) uses this natural selection argument in order to justify neglecting the presence of possible irrational agents in the economy and thus their eect on asset prices. A second argument that was used to justify the lack of attention paid to the role of irrational agents is the idea that any over-investment in an as-set caused by the irrational trader is counter-balanced by the consequent underinvestment in this asset by the rational agents thus eliminating the irrational agent's price impact for this asset. The third main argument is an aggregation argument that claims that there is no reason for the existence of a systematic bias in the economy as one would expect the agents to have rational beliefs on average regardless of their individual ones. The argument assumes that irrational agents counter-balance each other actions and thus the eect of the irrational agents cancels.

The rst two arguments have been particularly questioned in recent literature and the concept of the irrational agent acting in nancial markets is by now well accepted. It has been further extended by the idea of the presence of heterogeneous beliefs among irrational agents in the economy. Literature on models with divergence of beliefs among the agents include the early single- and multi-period discrete time models of Harrison and Kreps (1978), Varian (1985), Varian (1989), Abel (1990), De Long et al. (1990) and Harris

(23)

and Raviv (1993). Continuous time models have been developed in Detemple and Murthy (1994), Zapatero (1998), Basak (2000), Basak (2005), Kogan et al. (2006) and Yan (2008). The aggregation argument has been left aside for a long time. Only recently, works such as Jouini and Napp (2007), Cvitanic et al. (2012), Jouini et al. (2010) have addressed this issue. As in Varian (1985), Varian (1989), Abel (1990) and Harris and Raviv (1993) they concentrate on the case in which the agents' subjective beliefs are given. The origin of these beliefs is generally left unspecied, however, they may arise due to various reasons such as incomplete or wrong information or wrong perceptions of risk and the future state of the economy. All agents are provided with the same information, the subjective beliefs reect the dierence in opinion about the economy and the dierence of interpretation of information rather than the dierence of information the agents receive. As Jouini and Napp (2007) pointed out the models with learning are not more endogenous since the investor updating rule and the corresponding probabilities can be determined separately from his/her optimization problem and reference is made to Gennotte (1986).

The third issue, the possible joint behaviour of investment strategies and asset prices, still remains underrepresented among recent literature and thus not fully analyzed and understood. The concerns expressed by Williams (1977) that diculties remain, among which is the restrictive assumption of homogeneous expectations have been appeased with introduction of heterogeneous beliefs as an important step towards the more precise analysis and thus understanding of the nancial markets and especially asset price formation and their dynamics. Important contributions towards this topic have been Williams (1977), Abel (1990) and Detemple and Murthy (1994), for example.

In this thesis, the two major issues, the joint behaviour of the investment strategies and the asset prices as well as the aggregation argument, in the case of agents with subjective beliefs will be addressed separately in the rst and second part, respectively. Throughout the thesis, the agent's subjective beliefs are supposed to be given and, moreover, the individual beliefs will be constant. The fact that these subjective beliefs are given allows to isolate the eect of the beliefs only and the results will not be inuenced by the dynamics of new incoming information for each agent, as in Detemple and Murthy (1994) for example. The agents' learning capability through observations of past realizations as in Detemple and Murthy (1994) leads to systematic biases in the dierent states of the economy. For the good states, the systematic bias is optimistic whereas for the bad states it is pessimistic. The same approach as ours with given subjective beliefs was used in Jouini and Napp (2007), Cvitanic et al. (2012) as well as Jouini et al. (2010) for the same reason as here. The justication for choosing the beliefs to be constant is just a matter of simplicity as constant beliefs are the easiest way to introduce beliefs in the model. We also leave the origin of the beliefs unspecied.

2.1 First Part

For the rst part, an intertemporal model of an economy with a general information struc-ture and which is made of heterogeneous agents with subjective beliefs about the fustruc-ture

(24)

state of the economy will be analyzed at the equilibrium. In particular, the agents dier in their expectations about the growth rate of a production process St in which they can

invest besides investment opportunities in the bond Bt. That means that each agent i has

her/his own estimate of the production process growth rate given by µi = µ + σδi where

µand σ are the actual growth rate and volatility of the production process, both assumed to be positive. The parameter δi is agent i's constant belief parameter. So, depending

on whether agent i is an optimist (δi > 0) or pessimist (δi < 0) the agent either over- or

underestimates, respectively, the growth rate of the production process. The particular interest of the analysis will be the optimal investment strategies and the equilibrium risk free rate. The optimal investment strategies are determined via the martingale approach developed by Cox and Huang (1989), Huang and Pages (1992) as well as Karatzas et al. (1987) that solves the problem maximizing each agent's utility from future consumption.

Once each individual maximization problem solved, rst, the case of homogeneous economies is considered at the equilibrium which will lead to results that will help us to analyze the heterogeneous economy characteristics. In the homogeneous case the economy is made of a single agent with subjective beliefs. In this homogeneous economy the agent consumes c∗

i,t and invests the amount θi,t of her/his total wealth Ki,t in the production

according to the solution of her/his maximization problem which yields

c∗_i,t = f Bt λ+_i ηi,t θi,t = µ − ri+ σδi ασ2 Ki,t (2.1.1)

where ηi,t is agent i's state price density with individual market price of risk κi,t = µ−ri_σ+σδi,

with ri being the risk free rate, and λ+i ∈ R+agent i's Lagrange multiplier. The function f

denotes the inverse of the marginal utility u0_{. The agent invests the remaining wealth in the}

bond, that is βi,t = Ki,t− θi,t. The equilibrium risk free rate rtresults from the equilibrium

dened by the zero net supply in the bond being met. In the case of the homogeneous economy, the equilibrium risk free rate ri is the risk free rate that makes the agent choose

to invest all her/his wealth in the production process and thus have a zero position in the bond. We nd the equilibrium risk free rate that satises the equilibrium condition to be given by

ri = µ − ασ2+ σδi. (2.1.2)

where α > 0 is the agent's risk aversion parameter. It is interesting to note that the equilibrium risk free rate is higher for the optimist and lower for the pessimist compared to the standard rational case.

When considering the heterogeneous economy made of agents with distinct subjective beliefs, we rst note that the agents maintain the consumption and investment plans as in (2.1.1) obtained in the homogeneous setting. The analysis at the equilibrium, again dened by a zero net supply of the bond, yields that the equilibrium risk free rate rt is

a wealth share weighted average of the individual equilibrium risk free rates ri arising

in the homogeneous economies. The weights are given by each agent's wealth share τi,t

(25)

heterogeneous economy is

rt=

X

i

τi,tri. (2.1.3)

This result is in line with Detemple and Murthy (1994) who equally obtain the weighted average form for the equilibrium risk free rate in their particular setting. As mentioned earlier, they consider an economy made of heterogeneous agents with learning who update their beliefs according to new information and maximize their utility according to a loga-rithmic utility function. Here, a more general CRRA utility is used and unlike in Jouini et al. (2010), for example, we still obtain the weighted average form since we assume the amount of available production to be unrestricted.

The consequence of the wealth weighted average form of the equilibrium risk is that it undergoes uctuations with the changing state of the economy. In a two agent setup, the optimistic agent holds a large share of the total wealth in the good states and thus the equilibrium risk free rate arising in the homogeneous economy made of this optimistic agent gains weight in the weighted average expression of the equilibrium risk free rate of the heterogeneous economy. Due to the homogeneous rate being the highest of the homogeneous rates the equilibrium risk free rate in the heterogeneous economy increases with the good states and thus exhibits a pro-cyclical behaviour. The equilibrium risk free rate decreases for the bad states as the pessimist holds a large share of the total wealth. Thus the upper bound for the equilibrium risk free rate are given by the most optimistic agent's rate and the lower bound by the most pessimistic agent's rate, i.e.

min

i (ri) ≤ rt ≤ maxi (ri). (2.1.4)

Having established that the equilibrium risk free rate uctuates with the distribution of wealth and thus with the state of the economy, the nature of the uctuations is looked into. A result worth noting is that the magnitude of the change in the equilibrium risk free rate due to changes in the state of the economy and thus the wealth distribution is greatest when the agent favoured by the change is almost extinct, i.e. the agent has almost lost all her/his wealth. In more details, the equilibrium risk free rate increases by δi−δj

Kt σ(1 − τi,t),

for Kt= K1,t+ K2,t being the total wealth, if agent i's wealth increases by one unit. The

expression clearly shows that the agent has the highest impact on the risk free rate if her/his wealth share τi,t is the smallest. This result conrms Kogan et al. (2006) who also

obtain that although an irrational trader has very little wealth she/he still impacts asset prices.

Following the above is an extension investigating the case with decreasing returns to scale. For this setting, it is assumed that the growth rate of the production process linearly decreases with the increasing total amount invested, i.e. the drift of the production process is now µ + ξ(θ1,t+ θ2,t), in the case of a two agent setup and where ξ < 0 is the parameter

determining the impact of the total invested wealth given by θ1,t+ θ2,t on the drift. The

agents are thus confronted with a trade-o between investing and consuming as any further investment in the production decreases their future return on the invested wealth and thus the available resources for future consumption. For example, the destruction of the

(26)

environment caused by excessive production leads to uncertainty of future production and thus consumption as droughts, ooding and other extreme climatological events may arise more frequently threatening the economy's output.

We will again start by analyzing the homogeneous case. In this case, the agent's investment in the production process directly impacts her/his portfolio choice. We nd that the maximization problem, identical to the standard case, gives us the same form for the optimal consumption plan of the agent. The optimal investment in the production process, however, now takes into account the decreasing eect of the investment on the production growth, θi,t = µ − rt+ σδi ασ2_{− ξK} i,t Ki,t. (2.1.5)

The resulting equilibrium risk free rate that induces zero investment in the bond for this setup, i.e. βi,t = Ki,t− θi,t = 0, is subject to the same reduction of its value compared to

the standard case as the drift of the production process. The individual risk free rate in the case of decreasing returns to scale rd

i,t is hence given by

rd_i,t = µ − ασ2+ σδi+ ξKi,t. (2.1.6)

In the heterogeneous case with two agents, the decreasing returns to scale now impose a dependence of the production process drift on both agent's investment positions in the production, i.e. µ + ξ(θ1,t + θ2,t). The maximization problem again yields the same

con-sumption plans as in the standard case. The agents' optimal investment strategies on the other hand are now clearly dierent to the ones in the standard case as they are extended versions of the homogeneous optimal strategies in the case of decreasing returns to scale. Written in the following form

θi,t = µ − rt+ σδi ασ2 _{− ξK} i,t Ki,t − ξKi,tKj,t(δi− δj) ασ(ασ2_{− ξK} t) , (2.1.7)

for j 6= i and Kt = K1,t + K2,t, we note that a dependence of the agents' investment

strategy on the other agent's wealth appears. This dependence is the carried on impact of the agents' investment in the production process on the drift of the production. The amount each agent holds in the bond is again simply given by βi,t = Ki,t − θi,t. For

the heterogeneous setup with decreasing returns to scale, the equilibrium risk free rate rd t

that is determined by the zero net supply in the bond, β1,t + β2,t = 0, turns out to be

again a wealth share weighted average of the individual risk free rates rd

i,t arising in the

homogeneous one agent economies with decreasing returns to scale, r_td=X

i

r_i,td. (2.1.8)

It is clearly seen that for decreasing returns to scale, introduced by ξ < 0, the equilibrium risk free rate in the present case is lower than its analogue in the case of a standard

(27)

constant drift of the production process. We thus have clear bounds just like in the case of a standard constant return to scale given by

−∞ ≤ rd

t ≤ max i (r

d

i,t). (2.1.9)

As an extension to the theoretical analysis of a two agent version of the model we also perform a numerical analysis focussing on the wealth share evolutions as well as the discount rates. We nd that in the case of a standard constant return to scale for the production process the optimist holds a larger wealth share than the pessimist over the entire time horizon. Only in the case of general optimism, δ1+ δ2 > 0, the pessimist can

achieve a higher wealth share level than the optimist. Since the risk free rate is a wealth share weighted average of the individual risk free rate the discount rate is increasing for all but the cases with general optimism for which it is decreasing since the pessimist has a lower individual risk free rate. Furthermore, the discount rate remains above the rational rate for general optimism whereas it remains below the rational rate for general pessimism. In the case of decreasing returns to scale, it is the pessimist that holds a larger and increasing wealth share in general leading to a decreasing discount rate that drops below the rational rate in the long run.

2.2 Second Part

The second part of the thesis is concerned with the aggregation argument and as in Jouini et al. (2010) we seek an answer to the following question: Can investors with irrational beliefs be neglected as long as they are rational on average? In other words, the goal is to identify whether the impact of the agents' subjective beliefs cancels out or whether an impact on the equilibrium characteristics of the economy, such as the risk free rate or the market price of risk, persists. For this purpose, a continuous time pure exchange Arrow-Debreu economy with a single consumption good as in Jouini et al. (2010) and Cvitanic et al. (2012) is analyzed at the equilibrium. In this economy, N risk averse agents with subjective beliefs share an endowment et that is driven by two uncorrelated sources of

risk W1 and W2. Each agent has given subjective belief parameters (δi,1, δi,2), δi,j for the

source of risk Wj, and it is assumed that the beliefs for each source of risk are on average

rational, i.e. Piδi,j = 0 for j = 1, 2. Further, the agents are assumed to be equally wrong

in the sense that all the agents' beliefs are at the same distance from rationality, that is δ2_i,1+ δ_i,22 = δ2 for some δ ∈ R+. At the equilibrium, the agents' consumption plans and

the state price density are given by

ci,t = Mi,t P kMk,t et qt= P iMi,t N et exp(−ρt) (2.2.1)

where Mi,t = exp(−δ

2

2 t + δi,1W1,t + δi,2W2,t) and the time preference rate ρ > 0 . The

consumption shares are thus τi,t = ci,t

et =

Mi,t

P

(28)

more rational than the others. It is shown that the origin of this particular result for this beliefs setup lies in the equal distribution of the agents' consumption shares thus leading to equal opportunities for all agents. This setup is a generalization of the model Jouini et al. (2010) with a similar beliefs setup but simplied to two agents with log utility and one source of risk. Cvitanic et al. (2012) also consider an economy made of N agents but maintain a general belief setup.

As Jouini et al. (2010) and Cvitanic et al. (2012) obtain for their simpler setup, the market price of risk and the equilibrium risk free rate are consumption share weighted averages of the corresponding values arising in the economies made of one agent only

M P Rj,t = X i τi,tM P Ri,j rt= X i τi,tri (2.2.2)

where MP Ri,j = σj−δi,j is agent i's market price for the source of risk Wj, for j = 1, 2, and

ri = ρ + µ − σ12− σ22 her/his individual risk free rate. the parameters µ and σj, for j = 1, 2

and all constant as well as in R+, are the endowment's drift and volatility parameters,

respectively. However, the risk free rate and the market price of risk remain on average equal to their counterparts in a rational setting at all time t. This is due to the setup and in particular to the unbiased nature of the beliefs leading to consumption shares that are thus identically distributed assuring that all the agents survive as all agents are equally wrong.

Furthermore, the weighted average form induces uctuations of the market price of risk and the equilibrium risk free rate due to adjustments of the consumption shares following changes in the state of the economy. In the very good states of the economy the optimists hold a large consumption share whereas in the bad states of the economy the pessimists hold a large share. Since in a homogeneous economy made of an optimistic (pessimistic) agent the market price of risk lower (higher) than in the rational setting, the market price of risk is a counter-cyclical. Thus, it drops with the good states as the optimists holding a large consumption share impose their lower individual market prices and it drops with the bad states as in this case the pessimistic agents holding a large consumption share impose their higher individual market prices. The market price of risk therefore uctuates within clearly dened bounds.

min

i (M P Ri,j) ≤ M P Rj,t ≤ maxi (M P Ri,j) (2.2.3)

for j = 1, 2. The upper bound is given by the market price of risk associated to the most pessimistic agent and the lower bound is equal to the market price of risk associated to the most optimistic agent for that source of risk. The cyclical property also arises in the related models of Jouini et al. (2010) as well as Cvitanic et al. (2012). As Jouini et al. (2010) points out, the counter-cyclical behaviour of the market price of risk is consistent with the observed counter-cyclical variations in the equity premium and as underlined Campbell and Cochrane (1995) equity premia seem to be higher at business cycles troughs than they are at peaks.

The adjustments of the market price of risk due to changes in the state of the economy depend on the weighted distribution of the beliefs in the economy. In particular, the

(29)

magnitude of the adjustment of the market price of risk on a positive one unit change of the source of risk Wj is given by the negative value of the consumption share weighted

variance V arτ of the belief parameters in the economy, i.e.

dM P Rj,t

dWj,t

= −V arτ((δi,j)i) (2.2.4)

for j = 1, 2.

For the equilibrium risk free rate, a cyclical behaviour can be identied, however, the type, pro- or counter-cyclical, depends on the beliefs setup. This is due to the more general setting with two sources of risk and in line with the results of Cvitanic et al. (2012) for their model with a general belief setup. Jouini et al. (2010) can clearly identify the nature of the behaviour due to their particular setup involving one source of risk. Just like the market price of risk, the cyclical behaviour of the equilibrium risk free rate is due to changes in the consumption shares upon uctuations in the state of the economy. For a given state of the economy the agents that believe this state to be the most likely impose their risk free rate. The upper and lower bounds of the equilibrium risk free rate are easily determined to be given by the risk free rate of the most optimistic and the most pessimistic agent with respect to both sources of risk, in the sense the agents having the highest and the lowest value for σ1δi,1+ σ2δi,2, respectively, i.e.

min

i (ri) ≤ rt ≤ maxi (ri). (2.2.5)

With regards to long term returns, the asymptotic average discount rate is given by the asymptotic discount rate of the overall most pessimistic agent, the agent having the lowest value for (σ1δi,1+σ2δi,2). It is this agent that also makes the asymptotic bond prices. These

results reect the fact that the most pessimstic agent perceives the bonds with very long maturities to be the most attractive assets. She/he therefore makes the price for this type of asset. On the other hand, the asymptotic cumulative returns on a risky asset driven by the source of risk Wj are bounded above by the cumulative returns of the agent having the

highest value for δi,j(σj− σSj) + δi,kσk, for σSj ≤ σj being the risky asset volatility and for

j 6= k. The asymptotic cumulative return is thus possibly higher than in the rational case. As an extension to the above described model, a subsection is concerned with the case of two correlated sources of risk. Further, each source of risk governs a single endowment process ej,t for j = 1, 2. For this new setup, roughly speaking, the equilibrium

characteris-tics remain weighted averages of the individual characterischaracteris-tics arising in the homogeneous economies made of one agent. The weights are still given by the consumption shares τi,t of

the agents. However, due to the correlation of the sources of risk each agent's individual market price of risk as well as risk free rate depend on the fraction ωj,t =

ej,t

e1,t+e2,t of the

size of the market each endowment process ej,t represents.

In the case of a homogeneous economy made of an agent with subjective beliefs the market prices of risk and the risk free rate now take into account the additional risk due

(30)

to correlation and are thus given by

M P Ri,j,t = σjωj,t− δi,j (2.2.6)

rc_i,t = rc,std_t + (δi,1+ γδi,2)σ1ω1,t + (δi,2+ γδi,1)σ2ω2,t (2.2.7)

for rc,std

t = ρ − γσ1σ2ω1,tω2, t +P_jµjωj,t− σ2jωj,t2 .

In the heterogeneous case with correlation among the sources of risk, we again nd that the equilibrium market prices of risk MP Rc

j,t as well as the equilibrium risk free rate rct

are consumption share weighted averages of the individual market prices MP Rc

i,j,tand risk

free rates rc i,t, i.e. M P Rc_j,t =X i τi,tM P Ri,j,tc r c t = X i τi,tri,tc (2.2.8)

As in the uncorrelated case, the sensitivities of the market prices and the risk free rate due to changes in the state of the economy and in particular to changes of individual sources of risk are analyzed. The magnitude of the uctuation of the market price of risk MP Rc

j,t due

to a one unit change of the source of risk Wj,t is found to be determined by the negative

value of the consumption share weighted variance of the belief parameters for that source of risk augmented by a term originating from the introduction of correlation, that is

dM P Rc j,t

dWj,t

= −V arτ((δi,j)i) + σjω1,tω2,t(σj − γσk) (2.2.9)

for j 6= k. Clear conditions are identied that determine a pro- or counter-cyclical of the market prices of risk.

As for the rst model, a numerical analysis of this model is performed using dierent belief setups and dierent degrees of belief dispersion. While the simulations conrm the theoretical results, the results of the simulations nicely show that subjective beliefs intro-duce uncertainty into the model. Especially, when considering for example the distribution of the terminal values of a risky assets constructed from the market price combined with the risk free rate and driven by a single sources of risk the result is clear. The distribu-tion of the terminal values is observed to have an increasing volatility as belief dispersion increases. That means that the terminal values of this risky asset diers more vigorously from the values of the same risky asset in a rational setting although the agents are on average rational.

(31)

Part I

(32)

Chapter 3 Asset Pricing with Heterogeneous

Beliefs and Production

Abstract

In this paper, we will analyze the eect of subjective beliefs on the equilibrium charac-teristics of an economy made of heterogeneous agents holding investments in a production process as well as the bond. We nd that each optimistic or pessimistic agent's optimal investment in the production process is either above or below, respectively, the optimal investment in the rational case. The equilibrium risk free rate prevailing in a homogeneous economy made of one agent with subjective beliefs exhibits the same behaviour towards the agent's beliefs.

In the heterogeneous economy made of agents investing according to their optimal investment strategies the equilibrium risk free rate turns out to be a wealth-share weighted average of the equilibrium risk free rates of the homogeneous economies. It undergoes pro-cyclical uctuations within the bounds given by the most optimistic and most pessimistic agent's equilibrium risk free rate. We nd that the higher the heterogeneity in the beliefs the larger the margnitude of the uctuations. Further, an agent gaining wealth share has the greatest eect on the equilibrium risk free rate when her/his wealth share is minimal.

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3.1 Introduction

It is generally accepted that the standard rational one agent economy model fails to provide explanations for the discrepancies between the theoretical and the empirical value of the size of the equity premium, see Mehra and Prescott (1985), the volatility of consumption and investment strategies, see Grossman and Shiller (1981) as well as the mutual dependence of the asset prices and investment. The rst two issues have been addressed in past, see Abel (1990), Constantinides (1990), Detemple and Zapatero (1991), Due and Epstein (1992), Epstein and Zin (1989), Hindy and Huang (1992) and Sundaresan (1989) for example, in the case of standard single agent models with von Neumann-Morgenstern utility initially considered by Brock (1982), Cox et al. (1985) and Lucas Jr (1978), for example.

Although recently the works of Detemple and Murthy (1994), Jouini and Napp (2007) and Jouini et al. (2010) looked into the third issue extending and complementing earlier works of Abel (1990) and Williams (1977), the third issue remains not fully explained and analyzed.

In this paper we analyze the characteristics of an economy made of heterogeneous agents with given subjective beliefs about the expected growth rate of a production process. This setup with pre-specied subjective beliefs is in line with Varian (1985), Varian (1989), Abel (1990), Harris and Raviv (1993) and more recently Jouini and Napp (2007) as well as Jouini et al. (2010) who equally concentrate on this particular case in which the agents' subjective beliefs are given. The particular setup with given beliefs allows us to concentrate on the eect of belief divergence on the characteristics of the economy only and isolate this eect which is independent of any dynamics of the belief formation. Similarly to Jouini and Napp (2007) the origin of these subjective beliefs is left unspecied. However, they may arise due to various reasons such as incomplete or wrong information, see Detemple and Murthy (1994), or wrong perceptions of risk and future state of the economy. Since an irrational agent with subjective beliefs consistently over- or underestimates the expected rate of production growth, depending on whether she/he is an optimist or a pessimist, respectively, we can regard these subjective beliefs as a behavioural bias as in Jouini and Napp (2007) and Jouini et al. (2010). In Detemple and Murthy (1994), on the contrary, the agent forms posterior beliefs about the expected growth rate of production as a result of the combination of their prior beliefs and their individual interpretation of new incoming information. In particular, the agents' learning upon new information causes a systematic bias that depends on the type of new information. For consecutive good information, there is a optimistic systematic bias whereas for bad information there is a pessimstic systematic bias.

Detemple and Murthy (1994) leave the structure of those posterior beliefs to be general and possibly non-Markovian. Each agent interprets the new information according to her/his subjective beliefs due to her/his initial priors in which the agents dier. Thus the agents also dier in their posterior beliefs. In our setting all agents are provided with the same information and the subjective beliefs therefore reect the dierence in opinion about the economy or, alternatively, the dierence of interpretation of information rather than the dierence of information the agents receive. As Jouini and Napp (2007) pointed out