Étude acoustique des matériaux poreux à cellules fermées

Faculte de Genie

Departement de genie mecanique

ETUDE ACOUSTIQUE DES MATERIAUX

POREUX A CELLULES FERMEES

Maitrise en genie mecanique

Speciality : acoustique

Aout 2008

Jury: Alain DESROCHERS (Rapporteur)

Raymond PANNETON

Camille PERROT

Fabien CHEVILLOTTE

Sherbrooke (Quebec), Canada

1*1

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REMERCIEMENTS

Ce projet a ete realise au sein du Groupe d'Acoustique de l'Universite de Sherbrooke (GAUS). Merci au CQRDA et au REGAL pour leur support financier dans ce projet.

Je tiens a remercier toutes les personnes qui m'ont encadre au cours de cette maitrise. Je remercie en particulier Raymond Panneton, mon directeur de recherche. Travailler avec Raymond est un vrai regal. Les discussions sont toujours fructueuses. En plus de son soutien scientifique sans faille, son cote humain, sa sympathie et ses encouragements constituent un reel elan de motivation pour avancer un projet. Merci a toi Raymond pour la confiance que tu m'as temoignee et pour le lien qui s'est cree entre nous.

Je remercie egalement Camille Perrot qui m'a supervise et encourage. Sa rigueur et ses analyses ont porte leurs fruits dans nos projets. La mise en commun de nos competences et de nos methodes de travail fut un reel succes dans nos collaborations. Ses qualites humaines ajoutees a sa rigueur scientifique font de Camille une personne tres appreciee dans le travail. Camille, je tiens a te dire que travailler avec toi est un reel plaisir.

II est ainsi aise de sentir que les reunions hebdomadaires de travail avec Raymond et Camille n'etaient pas des contraintes mais, bien au contraire, des instants privilegies ou les discussions scientifiques fleurissaient dans la bonne humeur. Merci encore a vous deux.

Je tiens a remercier tous les techniciens, les professeurs et les etudiants du GAUS pour leur aide et pour la bonne ambiance du laboratoire. Je tiens a remercier en particulier Patrick Levesque pour son aide precieuse.

Je tiens a remercier mes parents qui suivent mes aventures depuis la France. Merci pour vos encouragements.

Enfin, je tiens surtout a remercier Emilie qui m'a attendu tout ce temps de 1'autre cote de l'Atlantique. Merci Emilie pour ton soutien et ton amour.

F.CHEVILLOTTE ~ ~ T Universite de Sherbrooke

RESUME

Les travaux presentes dans ce document concernent les mousses a cellules fermees. Deux axes sont developpes. Le premier axe de recherche est localise sur 1'amelioration des performances d'absorption sonore des mousses metalliques a cellules fermees et plus particulierement des mousses d'aluminium. Les deux principales methodes post-fabrication sont etudiees par une approche microstructurale. Une approche microstructurale consiste a etudier la geometrie locale afin de predire les proprietes macroscopiques des materiaux. La premiere approche consiste a compresser les mousses afin de fracturer les parois des pores. La seconde approche consiste a perforer les mousses. La conclusion est que la methode des fissurations est plus performante que la methode des perforations. Cette methode permet d'obtenir une absorption sonore large bande alors que la methode des perforations augmente l'absorption de maniere selective. Du fait que l'approche microstructurale a ete etendue aux mousses a cellules ouvertes afin de comprendre l'influence des parametres microstructuraux, l'influence de la taille des etranglements, de la taille des pores et de la forme des sections de ligaments est analysee. Les resultats permettent maintenant de conseiller les manufacturiers de mousses afin de prendre en compte la composante acoustique des mousses des leur fabrication. C'est une approche prefabrication. Le second axe de recherche concerne les mousses a cellules fermees et

a structure souple. L'absence d'effets visqueux permet de modeliser ce type de mousse par un solide elastique equivalent. II est alors possible d'etablir une caracterisation des proprietes elastiques par une methode inverse acoustique. La methode permet de determiner les proprietes elastiques du materiau a partir de simples mesures d'absorption en tube d'impedance. La methode est developpee pour deux conditions de montage. La condition glissante est delicate a assurer mais elle permet de developper une methode simple. La methode est ensuite etendue a des echantillons encastres.

Les travaux concernant la caracterisation ont donn£ lieu a un article et deux actes de conference (Chevillotte et coll., Chapitre 3, 2007)4'5'6. Le modele numerique et l'etude des microstructures ont

egalement contribue a des publications et des actes de conferences (Perrot et coll., Annexes E, F et G, 2007-2008)6 0'6 2'6 3'6 4.

NOTATIONS GENERALES

u : Vitesse locale du fluide (m.s*1) p: Pression acoustique (Pa) x : Temperature acoustique (K) <t>: Porosite

(t>s: Porosite de surface

A : Longueur caracteristique visqueuse (m) A : Longueur caracteristique thermique (m) a : Resistivite statique a Pecoulement (Ns.m"4) A,: Longueur d'onde (m)

n : Viscosite de l'air (Pa.s)

K : Conductivite thermique de Pair (W.nf'.K"1) p0: Densite de Fair (Kg.m"3)

c0: Celerite du son dans l'air (m.s-1) Z0 : Impedance de Pair (Pa.s.m"1) Pr: Nombre de Prandtl

v : Viscosite cinematique (m2.s_1) 8: Epaisseur de peau visqueuse (m) 5 : Epaisseur de peau thermique (m) y: Rapport de chaleur specifique

cp: Chaleur massique a pression constante (J.K^.Kg"1) Ka: Module d'incompressibilite adiabatique (Pa)

f: Frequence (s"1) co : Pulsation (rad. s"1)

(ov: Transition visco-inertielle (rad. s"1)

co(: Transition thermique (isotherme-adiabatique) (rad. s"1)

a.(co): T o r t u o s i t e d y n a m i q u e

P(co): Compressibilite dynamique

k (co): Permeabilite dynamique visqueuse (m2) k' (co): Permeabilite dynamique thermique (m2)

p(co): Masse volumique dynamique effective a Fechelle du pore (Kg.m") pe (co): Masse volumique dynamique effective du fluide equivalent (Kg.m"3)

F.CHEVILLOTTE Universite de Sherbrooke

K(co): Module d'incompressibilite dynamique effectif a l'echelle du pore (Pa) Ke (co): Module d'incompressibilite dynamique effectif du fluide equivalent (Pa) X (co): Fonction de relaxation visqueuse

X (to): Fonction de relaxation thermique

Z(co): Impedance caracteristique a l'echelle du pore (Pa.s.m"1) Ze (co): Impedance caracteristique a l'echelle du materiau (Pa.s.m") m(co): Nombre d'ondes (m"1)

Zs (co): Impedance de surface (Pa.s.m") a , : Tortuosite (limite haute frequence) a0: Tortuosite statique

d0: Tortuosite statique thermique k0: Permeabilite statique visqueuse (m2) k0: Permeabilite statique thermique (m2) r : Constante de piegeage (m")

M : Facteur de forme visqueux M': Facteur de forme thermique

E : Champ vectoriel du probleme de conduction electrique O: Potentiel du probleme de conduction electrique

w : Etranglement (m) a : Diametre d'un pore (m) d : Distance interpores (m) R : Rayon de fibre (m)

Dperf : Diametre de perforation (m) N : Nombre de perforations

TABLE DES MATIERES

REMERCIEMENTS I

RESUME II NOTATIONS GENERALES Ill

TABLE DES MATIERES V LISTE DES FIGURES VIII LISTE DES TABLEAUX XI 1 INTRODUCTION GENERALE 1

l.lContexte 1 1.2 Problematique 2

1.2.1 Mousses metalliques a cellules fermees 2 1.2.2 Mousses a cellules fermees et a structure souple 3

1.3 0bjectifs 3 1.4 Etude de l'existant 5

1.4.1 Les materiaux poreux 5 1.4.1.1 Introduction 5 1.4.1.2 Pores ouverts 6 1.4.1.3 Pores fermes 6 1.4.1.4 Principe general de fabrication des mousses metalliques 7

1.4.2 Modeles 9 1.4.2.1 Modeles empiriques 9 1.4.2.2 Modeles phenomenologiques 9 1.4.2.3 Modeles semi-phenomenologiques 11 1.4.2.4 Fonctions dynamiques 13 1.4.2.5 Modeles microstructuraux 14 1.4.3 Absorption sonore des mousses metalliques a cellules fermees 14

1.4.4 Methodes numeriques 17

1.5 Methodologie 18

1.5.1 Introduction 18 1.5.2 Modele numerique 19 1.5.3 Methodes post-fabrication 22

1.5.3.1 Perforations des mousses a cellules fermees 22

1.5.3.1.1 Etude numerique 22 1.5.3.1.2 Passage 2D - 3D 23 1.5.3.1.3 Validation experimental 24 1.5.3.2 Etude parametrique des mousses a cellules ouvertes 24

1.5.4 Caracterisation des mousses a cellules fermees et a structure souple 24

1.6 Conclusion 26

F.CHEVILLOTTE v

2 ABSORPTION SONORE DES MOUSSES METALLIQUES 27

2.1 Introduction 27 2.2 Perforation des mousse metalliques a cellules fermees 27

2.2.1 Etude d'un solide perfore 27 2.2.1.1 Introduction 27 2.2.1.2 Diametre de perforation 28 2.2.1.3 Porosite de surface 30 2.2.1.3.1 Resistivite etporosite 31 2.2.1.3.2 Tortuosite 33 2.2.1.3.3 Bilan 34 2.2.1.4 Inclinaison des perforations 35

2.2.1.5 Bilan 36 2.2.2 Etude d'une perforation dans un materiau poreux a cellules fermees 36

2.2.2.1 Introduction 36 2.2.2.2 Cellule representative 37

2.2.2.2.1 Configurations de perforation 37 2.2.2.2.2 Configuration dereference 38 2.2.2.2.3 Repartition des pores 39 2.2.2.3 Taille des pores 40 2.2.2.4 Espacement des pores 42

2.2.2.5 Bilan 43 2.2.3 Formulation de passage 2 D - 3D 43

2.2.3.1 Introduction 43 2.2.3.2 Comparaison d'une fente et d'un cylindre 44

2.2.3.3 Modelisation denotre cellule et formulation du passage 2D - 3D 44

2.2.3.3.1 Modelisation de pores a sections variables 44

2.2.3.3.2 Modelisation de notre cellule 46

2.2.3.3.3 Passage 2D-3D 46 2.2.3.4 Application aux perforations des mousses a cellules fermees 48

2.2.3.4.1 Tallies des pores 48 2.2.3.4.2 Espacement interpores 50

2.2.3.5 Bilan 51 2.2.4 Validation experimental 51

2.2.5 Conclusion 54

2.3 Etudes des microstructures des mousses a cellules ouvertes 55

2.3.1 Introduction 55 2.3.2 Modele 2D d'un reseau de cellules ouvertes 55

2.3.3 Etude de l'etranglement 56 2.3.4 Etude de la taille des pores 57 2.3.5 Etude de la forme des sections 59

2.4.2 Etude de la selectivity 65

2.5 Conclusion 67 3 CARACTERISATION DES MOUSSES A CELLULES FERMEES ET A

STRUCTURE SOUPLE 69

3.1 Avant-propos 69 3.2 Abstract 70 3.3 Introduction 71 3.4 Theory 72

3.4.1 Sliding edge condition 72 3.4.1.1 First natural frequency 72

3.4.1.2 Finding Young's modulus 73 3.4.1.3 Finding bulk damping loss factor 74 3.4.1.4 Optimal and reduced damping loss factors 76

3.4.2 Bonded edge condition 79 3.4.2.1 Finding Young's modulus 79

3.4.2.2 Finding bulk damping loss factor 81

3.4.2.3 Finding Poisson's ratio 85

3.5 Experimental results 86

3.5.1 Sliding edge condition 86 3.5.2 Bonded edge condition 88

3.6 Conclusion 90 3.7 Complements 92 4 CONCLUSION GENERALE 94 4.1 Conclusion 94 4.2 Perspectives 95 BIBLIOGRAPHIE 96 ANNEXE A: ANALOGIES VISQUEUSES ET THERMIQUES A1

ANNEXE B : DEFINITION DES PARAMETRES MACROSCOPIQUES B1 ANNEXE C : PARAMETRES MACROSCOPIQUES DES ETUDES

PARAMETRIQUES DES PERFORATIONS C1 ANNEXE D : FORMULES MICROSCOPIQUES - MACROSCOPIQUES POUR

DIFFERENTES SECTIONS D1 ANNEXE E : ETUDE DE LA CONVERGENCE A PARTIR DE LA PROPRIETE DE

SYMETRIE DU TENSEUR DE PERMEABILITE VISQUEUSE DANS LES

MATERIAUX POREUX E1 ANNEXE F : CALCUL DES PROPRIETES DYNAMIQUES DE DISSIPATIONS

VISQUEUSES D'UN MATERIAU POREUX A PARTIR D'UNE CELLULE

PERIODIQUE BIDIMENSIONNELE F1 ANNEXE G : OPTIMISATION DES MICROSTRUCTURES DES MATERIAUX

ABSORBANTS G1

F.CHEVILLOTTE vii

LISTE DES FIGURES

Figure 1.1 : Mousse a cellules fermees avec quelques ouvertures entre les pores (Gauche) et

mousse a cellules ouvertes (Droite) 5 Figure 1.2 : Absorption sonore typique d'une mousse a cellules ouvertes: Part des effets

visqueux et part des effets thermiques 6 Figure 1.3 : Courbes d'absorption typiques d'un materiau poreux ferme souple

(£ « 400 MPa) (ligne pointilles) et d'un poreux ferme rigide (E * 70000 MPa) (ligne

pleine) - Epaisseur 25 mm 7 Figure 1.4 : Procede general de fabrication des mousses metalliques (Hilyard, 1982) 8

Figure 1.5 : Influence de la cavite 16 Figure 1.6 : Les trois modeles geometriques 20

Figure 1.7 : Solide perfore : a) vue 3D d'un cylindre perfore. b) inclinaison des perforations. 22

Figure 1.8 : Deux configurations extremes de perforation 23 Figure 2.1 : Influence du diametre de perforation pour une epaisseur d'echantillon de a ) 1

mm, b) 20 mm, c) 50 mm, d) 100 mm 29 Figure 2.2 : Diametre optimal de perforation en fonction de l'epaisseur de l'echantillon : a)

rapport diametre sur epaisseur, b) diametre en millimetres 29

Figure 2.3 : Solide non poreux perfore 30 Figure 2.4 : Echelle des vitesses 32 Figure 2.5 : Impedance caracteristique a l'echelle du fluide et du materiau 33

Figure 2.6 : Tortuosite pour un pore cylindrique de 1 mm : a) en fonction de la porosite de

surface (/_e = 20 mm) ; b) en fonction de l'epaisseur de l'echantillon (<j>s = O.l) 34 Figure 2.7 : Influence de la porosite de surface (Dperf = 1 mm, DT = 29 mm, Le = 25 mm) 35

Figure 2.8 : Angle de perforations 35 Figure 2.9 : Influence de l'angle de perforation sur l'absorption sonore 36

Figure 2.10 : Deux configurations extremes de perforation 37 Figure 2.11 : Comparaison des deux configurations. Configuration 1 ( ), configuration 2 (--).

(Dperf =lmm, Le = 25 mm, a = Dperf /10, c/ = 3(a/2) et w = 6) 38

Figure 2.12 : Configuration de base(Dperf =lmm,a = Dperf/10 et cf = 3(a/2)) 38 Figure 2.13: Heterogeneite de la position des pores w (pperf = 1 mm, Le = 25 mm, a = Dperf /10

et cf = 3(a/2)) 40 Figure 2.14 : Configuration heterogene de 10 cellules (a), et configuration homogene

Figure 2.16 : Influence de la taille des pores a (Dperf = 1 mm, Le = 25 mm, a = Dperf/lo) 41 Figure 2.17 : Influence de la distance interpores : a) d = 2.l(a/2), b) d = 6(a/2) 42 Figure 2.18 : Influence de la distance interpores pores d (Dperf = 1 mm, Le = 25 mm, a = Dperf /lo).

43

Figure 2.19 : Cellule elementaire representative d'un pore perfore 46 Figure 2.20 : Relations de passage 2D - 3D en fonction de a 47 Figure 2.21 : Influence du diametre de pore en 3D : a) Porosite maximale et N = 1 b)

DT =29 mm et A/= 20- Le=25mm 49

Figure 2.22 : Influence du diametre de pore en 3D : a) Porosite maximale et N = 1 b)

DT =29mm et N = 20- Le =25 mm 50

Figure 2.23 : Mesures d'absorption sonore avant perforation 52

Figure 2.24 : Configuration du materiau 52 Figure 2.25 : Comparaison de la mesure experimentale avec la simulation (avec ou sans

plaque perforee) pour la face A du materiau 53 Figure 2.26 : Modelisation 2D d'unreseau de cellules ouvertes 56

Figure 2.27 : Etude de l'etranglement 57 Figure 2.28 : Etude de la taille des pores 58 Figure 2.29 : Minimisation des longueurs caracteristiques 59

Figure 2.30 : Sections des ligaments etporosites associees 59 Figure 2.31 : Section triangulaire inscrite dans la section circulaire 60

Figure 2.32 : Etude de la forme des sections 60 Figure 2.33 : Parametres macroscopiques pour differentes sections ( 1 : circulaire, 2 :

convexe, 3 : triangulaire et 4 : concave) 61 Figure 2.34 : Modeles 2D elementaires compares : a) mousse a cellules ouvertes et b) mousse

a cellules fermees perforee 63 Figure 2.35 : Etude de la taille des pores pour deux structures microscopiques : a) mousse a

cellules ouvertes etb) mousse a cellules fermees perforee 64 Figure 2.36 : Permeabilite dynamique pour deux types de microstructures : a) mousse a

cellules ouvertes et b) mousse a cellules fermees perforee 64 Figure 2.37: Champs de vitesse dans un tube d'impedance avec un echantillon d'epaisseur e

pour 2 longueurs d'onde :a) x~4e,b) x*2e 65 Figure 2.38 : Comparaison de l'impedance de surface (J) (module) et de l'absorption sonore

(--) pour la microstructure perforee 2D : a) gros pores et b) petits pores 66 Figure 2.39 : Comparaison de l'impedance de surface (_) (module) et de l'absorption sonore

(--) pour la microstructure ouverte avec des fibres circulaires: a) gros pores et b)

petits pores 66 Figure 3.1 : Corps creuxde voiture et pieces de bouchonnage 69

F.CHEVILLOTTE Universite de Sherbrooke

Figure 3.2 : Configuration of the equivalent solid foam column tested in a rigid wall

impedance tube 73 Figure 3.3 : Relative error on sound absorption due to the approximated surface

impedance (Eq. (3.10)) 76 Figure 3.4 : Sound absorption coefficient at the first resonance in function of the reduced

structural damping loss factor for closed-cell foams 77 Figure 3.5 : High and low solutions of the reduced damping loss factor 78

Figure 3.6 : Computation of the bonded correction factor cb 80

Figure 3.7 : Linear relation between the bonded and the sliding optimal damping loss factors.

1) cb =1.0, 2)cb =1.5, and3) cb = 3.3 82

Figure 3.8 : Computations of m and b in function of the bonded correction factor cb 84

Figure 3.9 : Residue in function of the Poisson's ratio 85 Figure 3.10 : Normal sound absorption coefficient of the tested expanding closed-cell foam

with the sliding edge mounting condition. Comparison between impedance tube measurement, solid simulation, and solid simulation with surface absorption 86 Figure 3.11: Normal sound absorption coefficients of the three samples of the tested

expanding closed-cell foam with the bonded edge mounting condition.

Comparison between impedance tube measurement, solid simulations, and solid simulation with surface absorption, a) Sample 1. b) Sample 2. c) Sample 3 89

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1.1 : Modeles semi-phenomenologiques 12 Tableau 1.2: Equations des modeles utilises 21 Tableau 1.3 : Recapitulatif des etudes 25 Tableau 1.4 : Nomenclature des etudes 26 Tableau 2.1 : Diametres de perforation et resistivites associees 28

Tableau 2.2 : Comparaison des parametres macroscopiques de la cellule heterogene et de la

cellule homogene 39 Tableau 2.3 : Parametres macroscopique d'une fente de hauteur h = 2R et d'un cylindre de

rayon R 44 Tableau 2.4 : Parametres geometriques d'une fente et d'un cylindre 47

Tableau 2.5 : Formules pour une succession de fentes et une succession de cylindres avec les

relations de passage 48 Tableau 2.6 : Parametres geometriques et macroscopiques de la mousse etudiee 53

Tableau 2.7 : Parametres macroscopiques pour differentes sections 61

Table 3.1: Properties used for the linear relation between the two optimal loss factors 83 Table 3.2: Properties of the 29-mm diameter sample of expanding closed-cell foam used for

the sliding edge condition test 87 Table 3.3 : Properties of the three 29-mm diameter samples of the expanding closed-cell foam

used for the bonded edge condition test 88

F.CHEVILLOTTE xi Universite de Sherbrooke

1 INTRODUCTION GENERALE

1.1 Contexte

La composante acoustique est maintenant considerable voire quasi-omnipresente dans des projets tres varies. Cette composante acoustique est prise en compte dans des domaines tels que le batiment, l'aeronautique, l'automobile, dans les milieux industriels bruyants, mais elle est egalement prise en compte dans des applications menageres (aspirateurs, machines a laver,...). Les problematiques ne sontpas toujours les memes. Dans un milieu industriel, on cherche a reduire le niveau sonore qui peut etre genant, voire dangereux. Dans les applications menageres, la problematique est plutot d'avoir un son agreable. Cette notion de contort acoustique a egalement ete etudiee dans d'autres domaines, par exemple pour les portieres de voitures. En fait, on cherche generalement a reduire le bruit et pourtant dans les applications telles que l'aspirateur ou la portiere de voiture, l'utilisateur pourrait avoir le sentiment que l'aspirateur n'est pas performant ou que la portiere est mal fermee si le bruit est trop attenue. La connaissance des materiaux poreux, utilises pour leurs proprietes acoustiques, constitue un outil indispensable pour proposer des solutions. Les materiaux poreux sont connus pour leur qualite d'absorption sonore, ils sont done places sur le trajet des ondes emises par une source afin d'attenuer le niveau sonore. L'etude des materiaux poreux a debute il y a plusieurs annees et continue activement. Les moyens numeriques actuels permettent par exemple d'approfondir ces etudes et surtout d'etudier le lien entre la microstructure et le comportement acoustique du materiau. On distingue les materiaux a porosite ouverte et ceux a porosite fermee. A la difference des poreux ouverts, les poreux fermes sont generalement de mauvais absorbeurs sonores. Ces derniers n'etaient done pas au coeur des travaux de recherche lies a cette thematique. Nos etudes vont porter sur ces poreux fermes.

Tout d'abord, il y a un interet a utiliser des mousses metalliques a pores fermes car elles offrent un cout de production inferieur et une rigidite structurale superieure a celles a cellules ouvertes. Ce type de materiau est done tres interessant pour un grand nombre d'applications mais la composante acoustique serait un reel atout

done a accroitre les mecanismes de dissipation acoustique dans les mousses a cellules fermees sans affecter substantiellement les autres proprietes.

De plus, les mousses a cellules fermees n'utilisent pas les memes mecanismes de dissipation d'energie. La difference majeure avec les poreux ouverts est que l'air ne peut pas, ou peu, penetrer au cceur du materiau. Les pertes par dissipations visqueuses sont alors eliminees, ou fortement reduites. La dissipation due a l'amortissement structural devient des lors predominante. Les mousses a cellules fermees et a structure souple (ex: mousses polymeriques) presentent une resonance. Cette resonance est gouvernee par les proprietes elastiques du materiau. Ce type de comportement laisse penser qu'on pourrait caracteriser les mousses a cellules fermees et a structure souple par une methode acoustique inverse.

1.2 Problematique

Le projet est done focalise sur les mousses a cellules fermees. La particularite du projet est de traiter deux axes de recherche bien distincts. Chaque axe est associe a une problematique principale.

1.2.1 Mousses metalliques a cellules fermees

La premiere problematique principale du projet est de trouver comment augmenter

l'absorption sonore des mousses metalliques a cellules fermees qui sont habituellement des mauvais absorbeurs sonores.

Des methodes permettent deja d'augmenter les mecanismes de dissipation de ces materiaux. Ces methodes consistent a fissurer ou a perforer (macroscopiquement) les materiaux afin de creer des effets visqueux. La methode choisie doit pouvoir etre

industriellement realisable.

Cette etude portera particulierement sur la methode des perforations. Cette methode est simple et peu couteuse. La problematique sera done de comprendre l'interaction

entre la microstructure perforee et les proprietes acoustiques resultantes. Quelle

est rinfluence du diametre des perforations ? Quelle est Finfluence de la taille des pores ?

F.CHEVILLOTTE Universite de Sherbrooke

La deuxieme methode consiste a Assurer les mousses. Les mousses sont compressees et des fissures apparaissent sur les parois des pores. Existe-t-il une taille de

fissuration ou une microstructure qui optimise l'absorption sonore ?

1.2.2 Mousses a cellules fermees et a structure souple

La seconde problematique principale du projet concerne les poreux fermes a structure souple. Est-on capable de caracteriser les proprietes elastiques des poreux fermes

a structure souple par une methode acoustique inverse ?

Ces materiaux ont la particularite de presenter une resonnance de compression dans la bande des frequences audibles. Les proprietes de cette resonnance sont-elles

suffisantes a la caracterisation du materiau?

Les contraintes industrielles nous imposent de baser la caracterisation sur de simples mesures d'absorption sonore en tube d'impedance. Ces mesures sont generalement sensibles aux conditions aux limites. II faudra alors determiner quelles sont les

conditions aux limites a utiliser pour ce type de caracterisation ?

1.3 Objectifs

Deux objectifs majeurs decoulent des deux problematiques principales. Le premier concerne les mousses metalliques a cellules fermees. Le second concerne la caracterisation des mousses fermees a structure souple.

Certaines methodes ont deja ete testees et semblent interessantes pour ameliorer l'absorption sonore des mousses metalliques a cellules fermees mais ces methodes ne sont pas reellement maitrisees (fissurations, perforations). L'origine de ce projet provient done du besoin d'ameliorer la comprehension des phenomenes acoustiques mis en cause mais surtout de documenter precisement les modes d'actions pour ameliorer significativement l'absorption des mousses metalliques a cellules fermees.

perforer les mousses. On cherchera done a comprendre les phenomenes de dissipation de l'energie acoustique dans des microstructures perforees.

De plus, l'avancee actuelle des travaux sur le lien entre les caracteristiques microstructurales des materiaux poreux et leurs caracteristiques macroscopiques nous permet d'envisager une approche plus pertinente pour etudier les performances

acoustiques des microstructures. On pourra alors s'interesser a la mefhode des

fissurations. Les mousses sont compressees et le niveau de compression a appliquer sur une mousse pour la fissurer est propre a chaque materiau. II semble done plus pertinent de s'interesser directement aux microstructures fissurees. II s'agit alors de materiaux poreux ouverts ou semi-ouverts. L'objectif est de realiser une etude

parametrique afin de determiner les parametres microstructuraux a atteindre. Cette

etude peut egalement etre vue comme un moyen de Iier la fabrication des mousses a

1'acoustique. L'amelioration des performances acoustiques des mousses metalliques

permettrait de les utiliser dans des applications d'absorption acoustique telles que sous le capot d'un vehicule, ou durability dans un environnement severe et rigidite structurale doivent se coupler a 1'acoustique. Dans ce contexte, les mousses d'aluminium sont des candidates interessantes a fort potentiel commercial.

Le second axe concerne la caracterisation des mousses a structure souple. L'objectif est de caracteriser les proprietes mecaniques de ces materiaux a partir de

mesures d'absorption realisees en tube d'impedance. Le principal mecanisme de

dissipation d'energie est du a l'amortissement structural. Ce phenomene cree une resonance qui se repercute sur l'absorption sonore. Le but est alors de lier ce pic

d'absorption aux proprietes elastiques (module de Young, coefficient de Poisson,

amortissement). Enfin, il faudra determiner quelles sont les conditions aux limites

les plus appropriees a ce type de caracterisation.

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1.4 Etude de l'existant

1.4.1 Les materiaux poreux

1.4.1.1 Introduction

Un materiau poreux est compose de deux phases, une phase fluide et une phase solide appelee matrice. Les materiaux poreux sont divises en deux classes, les materiaux a porosite ouverte et ceux a porosite fermee (Figure 1.1). Meme si on parle de deux classes de poreux, les materiaux poreux fermes peuvent etre partiellement ouverts et inversement les materiaux poreux ouverts peuvent etre partiellement fermes. On differencie ces deux classes de materiaux poreux car elles n'utilisent pas les memes mecanismes de dissipation de l'energie sonore. La difference majeure de ces deux types de materiaux poreux est que dans le cas des poreux ouverts, il y a un mouvement relatif entre le fluide et le solide alors que pour les poreux fermes, le fluide est enferme dans la matrice solide. Le principal mecanisme de dissipation de l'energie sonore est du aux dissipations visqueuses. Ces dissipations sont dues aux frottements induits par le mouvement relatif entre le fluide et le solide. Le second mecanisme est du aux dissipations thermiques induites par les successions de compressions et de detentes que subit le fluide en traversant les pores. On peut egalement citer les pertes dues a l'amortissement structural du materiau poreux ou encore les effets de resonateurs de Helmholtz.

Figure 1.1: Mousse a cellules fermees avec quelques ouvertures entre les pores (Gauche) et mousse a cellules ouvertes (Droite).

1.4.1.2 Pores ouverts

Ces milieux poreux sont tres complexes mais la litterature sur les materiaux a pores ouverts est tres riche. Le premier modele de ces materiaux montre bien cette complexity. II s'agit du modele de Biot (1956)1 qui a considere le mouvement de chaque phase et leur couplage. II considere alors trois ondes se propageant dans le milieu (2 ondes de compression et une de cisaillement). En considerant la matrice du materiau rigide, on modelise le poreux ouvert par un fluide equivalent ayant une masse volumique effective pe et un module d'incompressibilite effectif Ke.

Les deux principaux modes de dissipations de l'energie acoustique ont ete etudies en profondeur. Nous rappelons que ces deux modes de dissipations sont les pertes visqueuses et les pertes thermiques en faisant l'hypothese que le squelette est rigide et que les mecanismes de dissipation sont decouples (Zwikker and Kosten, 1949) . Les effets visqueux sont generalement predominants devant les effets thermiques. On peut en voir une illustration sur la Figure 1.2. Les effets visqueux representent generalement 70% des pertes.

2000 3000

f(Hz))

6000

Figure 1.2 : Absorption sonore typique d'une mousse a cellules ouvertes: Part des effets visqueux et

part des effets thermiques.

1.4.1.3 Pores fermes

La caracteristique majeure des poreux fermes est qu'ils n'autorisent pas de mouvement relatif entre le fluide et la matrice. Les effets visqueux sont done negligeables. La dissipation de l'energie acoustique est alors due aux effets thermiques et a l'amortissement structural pour des mousses avec des cellules elastiques. Si les

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cellules sont rigides (ex : mousses metalliques), les effets visqueux et thermiques sont negligeables. Le materiau se comporte comme un solide et les dissipations sont seulement dues a l'amortissenient structural. En effet, les niveaux d'absorption sonore sont nettement plus faibles et ramortissement structural n'est pas forcement negligeable. Certains poreux fermes presentent raeme de bonnes performances acoustiques, c'est le cas de certaines mousses expansibles. Les dissipations thermiques et la rigidite des cellules peuvent etre prises en compte dans un modele de solide equivalent (Wojtowicki et coll., 2005) et il est possible de her les propnetes elastiques du materiau au coefficient d'absorption sonore (Chevillotte et coll., Chapitre 3, 2007) ' 5,6

Dans le cas des mousses metalliques a pores fermes, la matrice est rigide et l'absorption sonore est tres mediocre car les effets de ramortissement structural n'interviennent pas dans la gamme des frequences audibles. La Figure 1.3 illustre les coefficients d'absorption sonore pour des materiaux a pores fermes ayant une matrice souple ou rigide. 1 0.9 ^ 0 . 8 S 8 0.7 0) i _ O 0.6 C O » 0.5 c o '•5 0-4 a . ° 0.3 .O < 0.2 0.1 n • •

poreux ferm6 rigide poreux ferme" souple

• . K : = I

l\ >,

• / \ J " '

Figure 1.3 : Courbes d'absorption typiques d'un materiau poreux ferme souple (E » 400 MPa) (ligne pointilles) et d'un poreux ferme rigide (E « 70000 MPa) (ligne pleine) - Epaisseur 25 mm.

economique mais ne permet pas de bien controler la structure. Le second precede est base sur la metallurgie des poudres. Une poudre metallique est melangee a un agent moussant, compactee puis chauffee au dessus du point de fusion du metal. Ce procede est un bon compromis entre le cout et le controle de la structure. Enfin, le troisieme procede consiste a infiltrer un metal liquide dans un moule de la forme souhaitee. Ce procede est le plus performant mais il est couteux. II existe d'autres precedes mais le but de ce document n'est pas de tous les enumerer et les detailler. Pour plus de details, on pourra se referer a d'autres references (Hilyard, 1982)7 , (Ashby, 2000)8. Perrot fait egalement une bonne synthese de ces precedes (2006)3 . On retiendra done que le principe general de fabrication est de creer des bulles de gaz a l'interieur d'un materiau. Beaucoup de parametres influencent cette croissance : le type de gaz utilise, la temperature, le temps de cuisson,... La Figure 1.4 illustre la croissance des bulles de gaz a differents stades de la fabrication. Finalement, on peut voir que selon les parametres de fabrication, on peut creer une mousse a cellules fermees ou a cellules ouvertes. Tous les precedes de fabrication ne sont pas egaux devant le controle des parametres. II est par exemple delicat de controler la taille des pores ou la concentration des pores avec le procede d'injection gazeuse.

(a) (b) (c> >-t y< n >4 >4 >4 X >••< X (d) (e)

Figure 1.4 : Procede general de fabrication des mousses metalliques (Hilyard, 1982)7.

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1.4.2 Modeles

1.4.2.1 Modeles empiriques

Les modeles empiriques ont ete utilises pendant de nombreuses annees pour caracteriser acoustiquement les materiaux. Le modele le plus connu est celui de Delany et Bazley9, introduit en 1970. lis ont exprime l'impedance caracteristique et le nombre d'onde avec des lois de puissance en fonction du rapport frequence sur resistivite statique a l'ecoulement a. Ainsi, la connaissance de la resistivite d'un materiau fibreux permet de predire le comportement acoustique du materiau avec ce modele tres simple. Ces lois de puissance ont ete introduites a partir de donnees experimentales d'une large gamme de materiaux fibreux. En observant ces caracteristiques pour certains materiaux tels que des multicouches, Miki nota que la partie reelle de l'impedance caracteristique pouvait etre negative en basses frequences. Ceci n'etant pas physique, Miki (1990)10 introduit de nouvelles lois de puissance analogues au modele de Delany et Bazley mais en considerant une analogie electrique. En plus d'etre physiquement acceptables, ces lois permirent d'etendre la gamme de validite d'un tel modele. Allard et Champoux (1991)11 developperent aussi des equations empiriques en considerant un arrangement de fibres infinies perpendiculaires a l'ecoulement. Ces nouvelles expressions sont similaires a celles de Delany et Bazley mais elles etendent la gamme de validite en basses frequences. Miki (1990)12 generalisa ces lois de puissance pour d'autres materiaux poreux, tels que des mousses reticulees, en considerant, en plus de la resistivite, la porosite <j> et la tortuosite aM du materiau. Ces deux derniers parametres ne sont plus necessairement proches de l'unite lorsqu'on considere des materiaux autres que les fibreux.

1.4.2.2 Modeles phenomenologiques

Les premiers travaux concernant la propagation du son consideraient des arrangements de cylindres non connectes. Kirchoff (1868)13 a developpe les equations theoriques decrivant la propagation du son dans un tube circulaire (voir aussi Rayleigh (1877)1 ). Des 1949, Zwikker et Kosten simplifierent cette theorie pour un tube circulaire mais en traitant les effets visqueux et les effets de conductivite thermique separement. lis representerent ces effets de dissipation, respectivement, par la masse volumique

(1956) la theorie de base des materiaux poreux. lis considerent que des milieux compliques pourraient se modeliser d'une maniere similaire a ce modele de tubes non connectes.

Le vocabulaire employe dans la litterature pour designer les differents modeles est parfois confus. La difference entre modele phenomenologique et modele semi-phenomenologique est d'ailleurs encore discutee. Nous garderons en tete qu'un modele phenomenologique est un modele qui vise a modifier la solution associee au tube circulaire en introduisant un ou plusieurs facteurs de forme afin de considerer des geometries plus complexes. Etant donne que ces facteurs dependent de la geometrie locale, ces modeles sont parfois appeles microstructuraux mais le terme « microstructural » sera reserve a des modeles plus recents visant a etablir un lien plus explicite entre la geometrie locale et le comportement macroscopique du materiau.

Attenborough (1983)15 a essentiellement retravaille la formulation de Smith et Greenkorn(1971)16,elle -meme basee sur les theories classiques de Zwikker et Kosten, et de Biot. II introduit un facteur de forme dynamique s'ajoutant a la resistivite statique a l'ecoulement, la tortuosite et la porosite, constituant ainsi un modele

17

phenomenologique a 4 parametres. Allard et coll. (1990) introduisent egalement un facteur de forme en reformulant la theorie de Biot. II s'agit du modele de Biot-AUard. Les modeles d'Attenborough et de Biot-AUard utilisent tous deux un facteur de forme mais celui d'Attenborough est fortement dependant de la frequence (Champoux et coll., 1992)21.

D'autres sections de tubes ont ete etudiees essentiellement par Stinson et Champoux. Tout d'abord ils ont etudie des sections simples telles que les fentes, les triangles et les rectangles (Stinson, 1990)18 (Champoux, 1991)19 (Stinson et coll., 1991)20. Stinson etudia des tubes de sections arbitrages mais uniformes (1990)18 et enfin Champoux et Stinson proposerent un modele simple pour des pores de sections non uniformes (Champoux, 1991)19 (Champoux etcoll, 1992)21.

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1.4.2.3 Modeles semi-phenomenologiques

Les modeles semi-phenomenologiques s'appuient sur des parametres macroscopiques ayant une signification physique. Ces parametres sont lies au comportement asymptotique basses ou hautes frequences du milieu considere.

Ce type de modele est apparu en 1987 avec les travaux de Johnson, Dashen et Koplik22. lis etudient les effets de dissipations visqueuses d'un fluide Newtonien saturant un milieu poreux rigide et isotrope soumis a un gradient de pression oscillant. lis introduisent un parametre macroscopique caracterisant le comportement asymptotique hautes frequences; il s'agit de la longueur caracteristique visqueuse A . Ce parametre s'ajoute aux 3 parametres deja introduits precedemment: la porosite, la tortuosite et la resistivite statique a l'ecoulement. Ces parametres caracterisent les comportements basses et hautes frequences des dissipations visqueuses et les auteurs proposent une fonction d'interpolation. Cette fonction dynamique, caracterisant les effets visqueux, est la permeabilite dynamique visqueuse k (co). lis introduisent egalement un parametre directement lie a cette derniere fonction, la tortuosite dynamique a (co) (Annexe A).

Alors que Johnson et coll. s'interessaient a des fluides ayant une faible conductivite dans le cadre de la prospection petroliere, Champoux et Allard (Champouxe/co//., 1993)23 (Allard 1993)24 s'interessent a des materiaux poreux satures par l'air. Les effets de dissipations thermiques ne sont plus negligeables meme s'ils sont plus faibles que les effets visqueux. lis introduisent alors un nouveau parametre macroscopique caracterisant le comportement asymptotique hautes frequences des pertes thermiques, il s'agit de la longueur caracteristique thermique A . On appellera ce modele a 5 parametres le modele de Johnson-Champoux-Allard (JCA), bien qu'il soit cite sous divers noms dans la litterature.

Lafarge etend la demarche de Jonhson et coll. pour determiner la permeabilite thermique statique k0 qui caracterise le comportement asymptotique basses frequences

tortuosite dynamique est la compressibilite dynamique p(co) (Annexe A). On parlera alors du modele de Lafarge.

A la raeme periode, Pride, Morgan et Gangi constatent que les modeles de Biot et de Jonhson et coll. sous-estiment la partie imaginaire de la permeabilite dynamique visqueuse (1992)26. lis proposent alors d'introduire un nouveau parametre macroscopique pour corriger le comportement basses frequences des dissipations visqueuses, la tortuosite visqueuse basses frequences ct0. De maniere analogue, Lafarge et coll. (1997)27 corrigent le comportement basses frequences des dissipations thermiques en introduisant la tortuosite thermique basses frequences dQ. Ce modele se

retrouve dans la litterature sous le nom de modele de Pride-Lafarge. (Pride pour le modele visqueux et Lafarge pour le modele thermique)

Modeles Effets visqueux Effets thermiques Param.

p(co) = p0a0(

l - A G ( c o )

y - ( y - l ) W ^ G ( c o )

(1993)-(thermiques) Johnson-Lafarge

G(co) = J l

I y ^

G(co)=i-p

pji+|y

P2cov M an cx„ - 1 « ' / \ 1 • • i, l .M co M' 8 Param. A, A', k'0 Nouveau parametre: a0 4 ( a0- l )

Nouveau parametre: a„

Tableau l.l : Modeles semi-phenomenologiques.

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Les modeles semi-phenomenologiques sont presenter dans le Tableau 1.1. Les parametres caracteristiques de ces modeles sont donnes dans ce meme tableau. Les parametres additionnels (M, M, av, a>t\ sont donnes en Annexe A.

Bien que le modele de Johnson-Champoux-Allard et le modele de Lafarge soient largement utilises, plusieurs auteurs ont confirme que le modele de Pride etait le modele le plus precis (Cortis et coll., 1999)28 (Fellah et coll., 2005)29. Finalement, l'avantage des modeles semi-phenomenologiques est que les parametres ont une signification physique. De plus il est possible de calculer ces parametres numeriquement a partir de la geometrie locale des materiaux. Neanmoins, on peut noter que le nombre de parametres macroscopiques ne cesse d'augmenter, ceci dans le but d'une recherche de precision croissante.

1.4.2.4 Fonctions dynamiques

La propagation du son dans un fluide libre est caracterisee par une impedance caracteristique Zc et un nombre d'onde m. Ces deux proprietes reelles sont directement liees aux proprietes du fluide qui sont sa masse volumique p0 et son coefficient d'incompressibilite adiabatique Ka.

Une structure poreuse ouverte est modelisee par un fluide equivalent en considerant que sa matrice est rigide et que la longueur d'onde est grande devant la taille d'un pore. Tout comme un fluide, ce type de materiau est caracterise par une masse volumique effective pe (co) et un module d'incompressibilite effectif Ke (co), mais ces

deux fonctions sont complexes car il apparait des phenomenes de pertes a 1'interieur de la structure. On parle de fonctions dynamiques des lors qu'elles dependent de la frequence. On peut lier ces deux proprietes dynamiques au nombre d'ondes effectif m(co) et a l'impedance caracteristique effective Ze(co). Finalement, pour caracteriser la propagation du son, on est toujours amene a trouver un couple de deux fonctions dynamiques complexes representatives du materiau a l'echelle macroscopique, c'est a dire pour un echantillon grand devant la taille d'un pore. II existe plusieurs couples de fonctions permettant de caracteriser la propagation du son

couples de fonctions [Ze(co),m(a)))et[pe(co),/<e(co)]. Ces fonctions peuvent se transcrire sous forme adimensionnelle avec la tortuosite dynamique d(co) et le module de compressibilite complexe J3(a>) ou sous forme de permeabilites dynamiques visqueuse /f(co) etthermique /c'(co) (Johnson, 1987)22 (Lafarge, 1997)27 Enfin, Cortis et coll. ont propose d'exprimer ces fonctions d'une maniere elegante avec des fonctions de relaxations (1999) . Ces deux dernieres ont en fait les memes bornes et les memes frequences de transition. Les relations entre ces fonctions sont donnees en Annexe A. Cette annexe montre egalement les analogies entre le probleme visqueux et le probleme thermique.

1.4.2.5 Modeles microstructuraux

Les microstructures sont souvent tres petites et il faut des moyens considerables pour utiliser directement leur geometric L'acquisition et la mesure de la geometrie est une etape delicate et les calculs des fonctions dynamiques sont colossaux. Les modeles empiriques puis phenomenologiques et semi-phenomenologiques ont alors pris naissance pour contourner ces difficultes. Ces modeles permettent de trouver les fonctions dynamiques a partir de parametres macroscopiques. Pourtant, les moyens actuels permettent de realiser de reelles performances, que ce soit pour l'acquisition par microtomographie a rayon X et par imagerie conventionnelle ou que ce soit au niveau des moyens de calculs numeriques. La these de Perrot (2006) a fait l'objet de cette approche. II cherche a Her explicitement la geometrie locale du materiau a son comportement macroscopique. II serait meme envisageable de contourner les modeles semi-phenomenologiques et de calculer directement les fonctions dynamiques effectives. Gasser a egalement etudie ce lien entre la microstructure et les

•3 1

caracteristiques macroscopiques en considerant un empilement de spheres (2003) .

1.4.3 Absorption sonore des mousses metalliques a cellules fermees

Les mousses metalliques a cellules fermees ont une matrice rigide et sont generalement des mauvais absorbeurs sonores. Pourtant, certaines mousses presentent une tres bonne absorption sonore (Miyoshi et coll., 2000) . On s'apercoit en fait que les mousses utilisees dans ces travaux presentent des petites ouvertures entre les pores

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car ces mousses ont ete laminees. II y a done des effets visqueux qui rentrent en compte dans le bilan dissipatif. En s'interessant a la litterature liee a l'amelioration de l'absorption sonore des mousses a cellules fermees, on peut voir que les auteurs, issus generalement de la metallurgie ou des sciences des materiaux, ont tous applique le meme principe: creer des effets visqueux. Les mousses considerees sont generalement des mousses a base d'alliage d'aluminium. Deux principales techniques sont appliquees et sont presentees ici. La premiere consiste a compresser les mousses afin de creer des ouvertures et la deuxieme consiste a les percer (macroscopiquement). Compte tenu que ces methodes sont appliquees apres le processus de fabrication, on parlera de methodes post-fabrication. On nommera la premiere methode : la methode de compression ou la methode des fissurations. La seconde sera appelee methode des perforations. Ces deux techniques peuvent ameliorer significativement l'absorption

sonore des mousses. On peut meme atteindre le niveau d'une laine de verre connue

-59 'i'i

comme un bon absorbeur sonore (Miyoshi et coll., 2000) (Lu et coll., 2000) . Neanmoins, Lu et coll. constatent qu'il est peu benefique de combiner les deux methodes (1999)34. Ces deux methodes ne sont pas reellement maitrisees mais une notion d'optimum apparait pour chacune d'entre elle.

Lorsque les mousses sont percees, le fluide ne penetre pas si les trous sont trop petits et les ondes sont reflechies par la surface. Inversement la vitesse du fluide est peu augmentee si les trous sont trop grands (Hakadama et coll., 2006) . Dans ces deux cas, les dissipations visqueuses ne sont pas ameliorees. Le coefficient d'absorption sonore depend done fortement de la taille de ces trous et il existe un diametre optimum qui le maximise (Wang et coll., 1999)36 (Lu et coll., 2000)33 (Hakadama et coll., 2006)35.

Lorsque le but est de creer des ouvertures entre les pores, une compression progressive ou un laminage est plus efficace qu'une compression brutale. Le niveau de compression va permettre d'ouvrir plus ou moins les pores. Ce phenomene est bien evidement assez complexe du fait que les proprietes de la matrice, la maniere dont est agencee la structure poreuse ou encore la taille des pores, sont tous des parametres a prendre en compte. Pour atteindre une bonne absorption sonore, il faut suffisamment

importants. On voit done, encore une fois, apparaitre une notion d'optimum, mais le parametre utilise en pratique est le niveau de compression (Han et coll., 1998)37. Lorsqu'on considere des mousses a cellules fermees qui ont ete compressees afin de fracturer les pores, on parle de mousses a cellules semi-ouvertes. Certains auteurs ont done etudie 1'influence de la taille des pores, de la taille des fenetres et de la porosite (Lu et coll., 2000)33. Du fait qu'on considere des mousses semi-ouvertes, on peut aussi s'interesser aux travaux sur les liens entre la microstructure et les parametres macroscopiques acoustiques realises avec des mousses a cellules ouvertes (Han et coll., 2003)38 (Pilon et coll., 2004)39. Les auteurs indiquent que la proposition selon laquelle les effets visqueux sont lies a la plus petite taille caracteristique de la structure, a savoir les fenetres, et les effets thermiques dependent plutot de la taille des pores, est verifiee. Les parametres les plus importants sont ceux lies aux effets visqueux : la taille des fenetres et la connectivite entre les pores. Lorsque les parois fines des pores sont fracturees, des vibrations de ces parois creent des pertes d'energie s'ajoutant aux pertes visqueuses et thermiques (Yu et coll., 2006)40. Ces vibrations peuvent parfois augmenter 1'amortissement du materiau.

Finalement, les deux methodes post-fabrication peuvent ameliorer significativement l'absorption sonore sans modifier considerablement les caracteristiques elastiques du materiau. Dans les deux cas, l'ajout d'une cavite d'air en arriere du materiau ameliore considerablement l'absorption sonore en basses frequences. Cette cavite cree un resonateur de Helmholtz et la courbe d'absorption se decale en basses frequences a mesure que Ton augmente la longueur de la cavite (Lc) (Yu et coll., 2006) .

1 0.9 0.8 S „ , a> 0.7 o § 0 . 6 ( 0 c 0.5 o "43 8-0.4 o J3o.3 < 0.2 0.1 . " • , • • • • • • • * " " • ' • « • • • ' o * + * o + " o • . , - - " ' " • + ."'•'" ° o » ° . r *•'" « * *'~'' ,,-"•'' Q _ , , ' " / / 1/ . -• .. °0 1000 2000 3000 4000 Frequence (Hz) L = 0 m m c L = 50 mm Lc = 100 mm * l = 200 mm o L =500 mm ,---,--'""" • 5000 60

Figure 1.5 : Influence de la cavite.

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1.4.4 Methodes numeriques

Afm d'etudier les ecoulements dans les microstractures, les modeles numeriques se sont vite rendus indispensables. La resolution des effets visqueux est un probleme vectoriel qui est done plus lourd a resoudre que les effets thermiques qui constituent un probleme scalaire. Craggs et Hildebrandt ont tout d'abord utilise une methode d'elements finis pour determiner la densite dynamique effective des tubes de section constante circulaire, carree, rectangulaire, triangulaire, hexagonale et des fentes (1982) . Dans les travaux suivants, les effets visqueux sont souvent calcules et presenter en termes de permeabilite dynamique. Cette permeabilite dynamique peut etre normalisee en amplitude et en frequence (Sheng et Zhou, 1988) . Les equations regissant l'ecoulement d'un fluide dans une microstructure sont generalement resolues en basses frequences par les l'equation de Stokes et en hautes frequences par l'equation de Laplace (Zhou et Chen, 1989)43.

Devant les limitations de temps de calculs et d'espace memoire, les modeles considered sont souvent des modeles 2D. Par contre les effets thermiques constituent un probleme scalaire et sont resolvables en 3D. Par exemple, Perrot utilise un pavage constitue de tetrakai'decaedres et Gasser utilise un empilement de spheres (Perrot, 2006)30 (Gasser, 2003)31. Un modele a particulierement attire les attentions depuis plusieurs annees ; il s'agit d'un canal bidimensionnel rugueux. Dans ce type de geometries, il apparait des singularites qui inipliquent des precautions numeriques. Smeulders et coll. etudierent le comportement d'un tel modele en hautes frequences en utilisant les transformations de Schwartz-Christoffel (1994)44. Ces transformations ne s'appliquent pas pour un fluide visqueux. Le code SEPRAN est done utilise pour resoudre le probleme visqueux en basses frequences (Cuvelier et coll. 1986) 5. Firdaous et coll. explorent eux aussi le comportement hautes frequences de ce modele rugueux avec une methode d'elements finis (1998)46. Les performances de cette methode sont rapportees dans un article de Guermond et Quartapelle (1997)47. Le maillage est raffine selon une methode iterative de Rebay (1993)48. Smeulders et coll. ont conclu que le modele de Johnson-Champoux-Allard n'etait plus valide avec un modele rugueux (1994)44 alors que Firdaous et coll. affirment sa validite (1998) .

et Smeulders, 2001) . lis comparent aussi ces resultats a ceux de Kostek et coll. qui s'etaient interesses a ce type de modele (1992)50. Malencontreusement les resultats different et Cortis et Smeulders concluent que le maillage utilise par Kostek et coll. est trop grossier. Enfin, Cortis, Smeulders, Guermond et Lafarge etablissent un article de synthese portant sur le comportement hautes frequences d'un modele rugueux (2003)51. L'analogie electrique utilisee en hautes frequences est expliquee. Les equations de Navier-Stokes sont derivees en probleme "degenere" que Ton retrouve sous le nom de probleme electrique ou probleme de fluide ideal. Le fluide est en effet considere comme non visqueux en hautes frequences.

Cortis et coll. considerent un arrangement de cylindres transversaux (1999)28. lis resolvent le probleme visqueux dynamique par la methode d'elements finis de Guermond (Firdaous et coll., 1998)46. Le probleme thermique dynamique et les parametres macroscopiques du modele de Pride-Lafarge sont resolus avec le code SEPRAN (Cuvelier et coll., 1986)45.

Certains auteurs ont aussi considere un empilement de spheres en 3 dimensions. Tout d'abord Kostek et coll. s'y interesserent (1992)50 puis, plus recemment Gasser et coll. se sont interesses a un arrangement cubique a faces centrees de spheres (Gasser, 2003)31 (Gasser et coll., 2005)52. Les resultats se comparent bien avec le modele de Pride-Larfarge et d'autres donnees experimentales.

1.5 Methodologie

1.5.1 Introduction

Comme mentionne precedemment, nous allons nous interesser a deux grands volets. La premiere partie vise a augmenter l'absorption sonore des mousses metalliques a cellules fermees en creant des pertes visqueuses. On etudiera les deux methodes post-fabrication presentees a la section 1.4.3 et l'etude des microstructures permettra une approche orientee prefabrication. Le second volet concernera la caracterisation des mousses fermees a structure souple.

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Nous allons, dans un premier temps, focaliser le projet sur la methode post-fabrication qui consiste a perforer les mousses (macroscopiquement). En effet, malgre le fait qu'elle soit delicate a implanter industriellement, elle est envisageable et les parametres sont controlables.

La seconde methode post-fabrication qui consiste a compresser les mousses parait interessante industriellement car il serait tout a fait envisageable de laminer les mousses metalliques apres la fabrication. Le taux de compression depend de l'alliage constituant la matrice et de la structure du materiau poreux. II n'est done pas possible de generaliser cette methode a differents materiaux. Neanmoins, la compression engendre l'ouverture des fenetres interpores. Nous allons done axer cette etude sur les parametres microstructuraux. Nous nous focaliserons notamment sur la taille des fenetres (ou l'etranglement). Ces etudes parametriques permettront de conseiller les manufacturiers de mousses avant leur fabrication. Cette approche peut etre vue comme une approche prefabrication. Afin de realiser ces etudes, nous allons nous doter d'un outil numerique approprie.

Enfin, dans un troisieme temps, nous traiterons la partie caracterisation en modelisant les poreux fermes a structure souple par un solide elastique. La theorie developpee pour lier les proprietes d'absorption sonore aux proprietes elastiques sera validee experimentalement.

1.5.2 Modele numerique

Nous allons done nous munir d'un outil numerique permettant de modeliser les mousses a differents stades de fabrication (cf. Figure 1.4). Nous avons defini trois structures periodiques bidimensionnelles respectant le pavage cubique a faces centrees des cellules: une structure a cellules ouvertes (Figure 1.6 - a), une structure semi-ouverte pour laquelle on peut faire varier les tallies d'ouvertures et les longueurs de fenetres entre les pores (b) et enfin une structure a cellules fermees (c).

V A V A V A V V A V A V A V A V V A V A V V A V A V A c)

Figure 1.6 : Les trois modeles geometriques.

Pour les structures ouvertes et semi-ouvertes, on utilise la plus petite cellule periodique representative (encadre). La structure fermee sera utilisee par la suite pour modeliser les mousses perforees apres avoir ajoute les perforations (cf. Figure 1.8). Afin de predire le comportement acoustique macroscopique, on peut soit calculer les parametres macroscopiques des modeles semi-phenomenologiques en regimes asymptotiques basses et hautes frequences, ou encore calculer directement les permeabilites dynamiques sans utiliser de modeles semi-phenomenologiques. La validation des modeles a ete realisee lors de l'elaboration d'un article sur la symetrie du tenseur de permeabilite (Perrot et coll., Annexe E, 2008)60. Dans ce cas, les calculs sont plus fastidieux du fait qu'un calcul par frequence est necessaire et que le maillage doit etre raffine en frequence. Etant donne qu'on s'interesse a des tendances et des influences parametriques, le modele semi-phenomenologique de Johnson-Champoux-Allard est considere comme suffisant. On a done trois modeles de resolution. Un modele statique permet de calculer la resistivite statique a l'ecoulement a , la longueur caracteristique thermique A et la porosite §. Ce modele est base sur les equations de Stokes. Un modele hautes frequences permet de calculer la tortuosite cc^ et la longueur caracteristique visqueuse A. Ce modele considere un fluide parfait, non visqueux, et se base sur le probleme "degenere". Enfin le modele dynamique utilise les equations de Navier-Stokes en regime harmonique. Le Tableau 1.2 donne les systemes

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d'equations associes a chaque modele. Dans chaque modele, il faut aj outer la condition de periodicite pour completer le systeme d'equations.

Statique Dynamique Hautes frequences Systemes d'equations

hv

u = vp

[v-u = o

[v-t/ = o

Conditions sur les parois

Collement u = 0

Collement u = 6

GlissementnE = 01,2

Tableau 1.2: Equations des modeles utilises.

1.5.3 Methodes post-fabrication

1.5.3.1 Perforations des mousses a cellules fermees 1.5.3.1.1 Etude numerique

La litterature concernant les perforations des poreux fermees met l'accent sur le potentiel d'une telle mefhode. Nous allons done chercher a comprendre les phenomenes mis en jeu. Une premiere etude experimentale n'apporterait rien de plus que la litterature. Nous commencerons done par etudier numeriquement des cas de perforations afin de comprendre les phenomenes. La complexity des etudes numeriques est croissante et chaque etude est focalisee sur un parametre.

Tout d'abord, nous allons nous interesser a un tube circulaire. Cette etude permettra de determiner si un rayon optimal maximise l'absorption sonore d'un tube d'une longueur donnee (Etude N-Al). Nous considererons ensuite un solide, non poreux et rigide, qui sera perce (cf. Figure 1.7 - a). Nous allons faire intervenir la notion de porosite de surface §s. II s'agit du rapport de la surface ouverte par les perforations

sur la surface totale. Le fait de modifier la porosite de surface, liee au diametre des trous, au nombre de trous et a la surface totale, va influencer la tortuosite. On etudiera ici rinfluence de cette porosite de surface (Etude N-A2). Dans un troisieme temps, nous etudierons rinfluence de Tangle de perforation. La tortuosite peut etre significativement augmentee en effectuant des trous inclines d'un angle 6 (cf. Figure 1.7-b) (Etude N-A3).

/ o o o o

o\

o o o o o o

o

o o o o o o o

\o

o o o o o

ol

Figure 1.7 : Solide perfore : a) vue 3D d'un cylindre perfore. b) inclinaison des perforations.

e

|§§

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Une fois ces 3 etudes realisees avec des trous lisses (ou trous droits), nous allons nous interesser a des materiaux poreux fermes et perfores. Meme en considerant un pavage regulier, la place du trou peut avoir une importance. La Figure 1.8 montre deux cas extremes de perforations d'un materiau poreux a cellules fermees avec un pavage homogene. Nous appellerons ces configurations alignee (1) et desalignee (2). Avant de commencer des etudes parametriques sur ces mousses perforees, il va falloir trouver une (ou des) cellule(s) representative(s) (Etude N-A4).

©

Figure 1.8 : Deux configurations extremes de perforation.

Comme mentionne a la section 1.5.2, nous utiliserons le modele semi-phenomenologique de Johnson-Champoux-Allard. Apres avoir fait un comparatif avec les trous droits, nous etudierons l'effet de la taille des pores a (Etude N-A5) et de la distance interpores d (Etude N-A6) relativement au diametre de perforation macroscopique Dperf. Pour caracteriser l'effet de ces parametres, nous nous

concentrerons sur les parametres macroscopiques : porosite, longueurs caracteristiques thermique et visqueuse, resistivite statique a l'ecoulement et tortuosite. Nous examinerons ensuite rinfluence de ces parametres sur le coefficient d'absorption sonore.

1.5.3.1.2 Passage 2D-3D

formules de Champoux (1991) permettront de calculer les relations de passage (Etude N-A7).

1.5.3.1.3 Validation experimentale

Apres avoir realise les etudes numeriques, nous tenterons de valider les configurations interessantes mises en evidences de maniere numerique. Une mousse a cellules fermees perforee est caracterisee par le diametre moyen des pores a , la distance moyenne interpores d, le diametre des perforations macroscopiques Dpgrf et la

porosite surfacique §s (Etude E-Al).

1.5.3.2 Etude parametrique des mousses a cellules ouvertes

A ce stade du projet, la methode des perforations aura ete exploree. Nous allons ensuite orienter ce projet sur la methode des fissurations. Comme mentionne precedemment, il est inutile de baser cette etude sur le taux de compression car F etude serait exclusive a un materiau. Nous etudierons alors Pinfluence des parametres microstructuraux d'une mousse a cellules ouvertes. Une mousse a cellules fermees et fissurees est en effet une mousse a cellules ouvertes (ou semi-ouvertes). Un modele periodique deux dimensions tel que presente a la Figure 1.6 (a) sera utilise pour mener ces etudes parametriques. Ce type de modele est assez fiable pour realiser des etudes parametriques (Perrot et coll., 2007 - 2008, Annexe F et G)6 2'6 3'6 4. La premiere etude sera focalisee sur Petranglement w (Etude N-Bl). La taille des pores a sera Pobjet de la seconde etude parametrique (Etude N-B2). Enfin on pourra etudier Pinfluence de la forme des sections (circulaire, triangulaire, concave, convexe) (Etude N-B3).

1.5.4 Caracterisation des mousses a cellules fermees et a structure souple

La problematique de cet axe de recherche n'est plus de trouver un moyen d'augmenter Pabsorption sonore des mousses a cellules fermees mais plutot de caracteriser ces mousses. Etant donne que Pamortissement structural est le principal mode de dissipation d'energie, nous allons modeliser les poreux fermes a structure souple par un solide homogene equivalent. Les effets visqueux, negligeables, ne sont done pas pris en compte. L'absorption sonore d'un materiau souple presente un pic du a la resonance de compression. Nous allons done developper le lien entre ce pic de

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resonnance et les proprietes elastiques du materiau. Etant donne que les mesures seront realisees en tube d'impedance, on developpera la theorie pour deux types de conditions aux limites : le cas glissant (Etude T-Cl) et le cas encastre (Etude T-C2). Enfin on validera nos modeles par des mesures experimentales (Etude E-Cl et E-C2).

Le tableau suivant est un recapitulatif des etudes. La nomenclature des etudes est donnee dans le Tableau 1.4.

Axes Etudes

Methode des perforations Etude N-Al : Solide perfore - Influence du diametre de perforation.

Etude N-A2 : Solide perfore - Influence de la porosite de surface.

Etude N-A3 : Solide perfore - Influence de Tangle de perforation.

Etude N-A4 : Poreux ferme - Cellule representative.

Etude N-A5 : Poreux ferme - Etude de la taille des pores relativement au diametre de perforation.

Etude N-A6 : Poreux ferme - Etude de la distance interpores relativement au diametre de perforation.

Etude NA7 : Formulation du passage 2D -3D.

Etude E-Al : Etude experimentale d'une mousse perforee.

Methode des fissurations -Etudes parametriques des mousses a cellules ouvertes

Etude N-Bl : Etude de la taille des fenetres (ou des etranglements).

Etude N-B2 : Etude de la taille des pores. Etude N-B3 : Etude des formes de sections. Caracterisation des mousses

a cellules fermees et a structure souple

Etude T-Cl : Theorie pour des echantillons montes glissants.

Etude T-C2 : Theorie pour des echantillons montes encastres.

Etude E-Cl : Validation experimentale pour des echantillons montes glissants.

Etude E-C2 : Validation experimentale pour des 6chantillons montes encastres.