Les équations de Navier-Stokes nonlinéaires dans [imaginaire pur][réel]

Universit6 de Sherbrooke

3LL5bDa7&Obel53

_,

C?tf-/T?7

LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES NONLINEAIRES

DANS 2R3 ^

par

SOFIANE GRIRA

memoire presente au Departement de mathematiques et d'informatique

en vue de Pobtention du grade de maitre es sciences (M.Sc.)

FACULTE DES SCIENCES

UNIVERSITE DE SHERBROOKE

1*1

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0-612-26576-5

Sommaire

Tout probleme de physique mathematique conduit naturellement a la resolution d'une ou plusieurs equations fonctionnelles que nous ecrivons sous la forme simplifiee:

Au = / (0.1)

ou A opere d'un espace X vers un espace Y, / est donnee dans Y, u est cherchee dans X (exemple: equations difFerentielles, integrales, aux derivees partielles...).

En general, la solution de (0.1) est impossible a determiner explidtement ou encore sa forme explicite est si compliquee qu'elle est inutilisable et on s'interesse done a la resolution approchee de Pequation. L'idee est alors de remplacer les espaces X et Y par des espaces «plus simplest X/i et Y/i et d'associer a 1'equation (0.1) une famille d'equations approchees (a un parametre h):

AkUh = fh (0.2)

ou Ah approxime A^fh € YH approxime / et u^ € X^ approxime u (du moins on Ie souhaite).

Les problemes qui se posent sont les suivants: l^Etude de I'equation exacte.

II faut etudier Pexistence et 1'unicite des solutions de (0.1): dans Feventualite la plus fa-vorable, Pequation possede une solution unique. Si Pequation possede plusieurs solutions,

il faut caracteriser la solution que 1'on cherche a approcher, ce qui est en general difficile. 2)Etude des equations approchees.

Ayant formule convenablement les problemes (0.2), 11 convient d'etudier 1'existence et Punicite des solutions de (0.2). II faut ensuite developper des algorithmes pour la reso-lution effective de (0.2), ces equations n'etant pas du tout triviales (par exemple: des systemes algebriques lineaires ou non lineaires).

3)Etude de la stabilite et de la convergence.

Ces questions sont fondamentales pour les applications; 11 s'agit, pour la stabilite, de s assurer que les solutions approchees u^ demeurent bornees en un certain sens; pour la convergence, 11 s agit de montrer que les n/i convergent dans un sens convenable vers la solution u de (0.1).

Dans Ie chapitre 1 on etudie les espaces de Sobolev, leurs proprietes (dual, densite, etc). On expose aussi des theoremes de densite. On introduit deux espaces fondamentaux, H et y, dans 1 etude des equations de Navier-Stokes. A la fin on introduit deux operateurs A et b qui nous serviront plus tard dans Ie chapitre 2 pour la description des equations de Navier-Stokes.

Dans Ie chapitre 2 on expose la methode de Galerkin qui consiste a construire une so-lution Um dans un espace de dimension finie, puis a faire des estimations de Ujn qui permettent d'utiliser ensuite Ie theoreme de compacite 2.5, pour ainsi extraire une sous suite qui converge vers la solution cherchee. Ainsi on montrera dans ce chapitre 1'existence et Punicite d'une solution faible par Ie biais de deux theoremes. L'existence est obtenue par Ie theoreme 2.6:

" Soient / et UQ qui satisfont a / € -L2(0,T; V) et UQ G -?f, alors il existe au moins une fonction u qui satisfait a

u€L2(0,T;V), u' € Ll(0,T;y/),

u' + wAu +Bu= f dans (0, T)

u(0) = UQ.

De plus u € L°°(O^T\H) et u est faiblement continue de [0,T] dans H." L'unicite est fournie par Ie theoreme 2.9.

Considerons Ie probleme suivant: " soient / G L2(0,T;V') et UQ € H donnes, cherchons u qul satisfait a:

u^L2(Q,T,V), ufeLl(0,T',V), (0.3)

u' + wAu -\-Bu= f dans (0, T) (0.4)

u(0) = uo" (0.5)

Le theoreme 2.9 nous dit que sin = 3,11 existe au plus une solution du probleme precedent satisfaisant a

ueL2(0,T;V)HLOO(0,T;H)

et

u^LS(0,T',L\Q)).

Puis on montrera 1 existence et 1 unicite d une solution forte par Ie theoreme 2.13: " Soient UQ et / telles que

uoeVJeLOO(o^H),

il existe T^ = T*(uo) > 0 tel que, dans [0,T*] 11 existe une unique solution (forte) du probleme precedent avec

Dans Ie chapitre 3 on s interesse a la regularite des solutions faibles et leur domaines de singularites, on exposera aussi des estimations a prior! des solutions faibles.

Dans Ie chapitre 4 on essaye de trouver une meilleur estimation de la solution faible u par Poperateur de Stokes en utilisant pour cela les solutions fondamentales du systeme de Stokes generalise.

Remerciements

Je voudrais exprimer tout d abord mes remer elements aux professeurs qui m out fait 1'honneur de participer au jury de ce memoire.

Je remercie specialement Ie professeur Jean Vaillancourt, mon directeur de recherche qui m'a appuye par ses conseils, son soutien scientifique et financier , sa grande dispo-nibilite et la confiance qu'il m'a accordee durant toute la periode de la recherche. Ceci m'a ete d'une aide precieuse et m'a permis d'orienter et de poursuivre mon travail dans d'excellentes conditions. Qu'il trouve ici 1'expression de ma gratitude pour 1'interet qu'il porte a ce travail.

Je remercie aussi 1 Universite de Sherbrooke et la mission universitaire de Tunisie pour Ie soutien financier qu elles m out accorde.

Je remercie enfin mon pere et ma mere qui m'ont beaucoup aide , et tous les amis qui m ont soutenu et aide a mener a bien mon travail.

TABLE DES MATIERES

SOMMAIRE ii

REMERCIEMENTS vi

TABLE DES MATIERES vi

INTRODUCTION 1

CHAPITRE I — Les espaces de Sobolev 3

1.1 Definitions et proprietes des espaces de Sobolev ... 3

1.1.1 Definition ... 3

1.1.2 Theoreme ... 4

1.1.3 Lemme... 5

1.1.4 Proposition ... 6

1.2 Les espaces duaux Hpm(Q) ... 7

1.2.1 Proposition ... 8

1.2.2 Proposition ... 8

1.2.3 Theoreme ... 10

1.3 Les triades hilbertiennes ... 11

1.4 Theoremes de densite ... 11

1.4.1 Theoreme ... 11

1.4.2 Theoreme ... 13

1.5 Theoreme de traces ... 14

1.5.1 Theoreme ... 15

1.6 Caracterisation des espaces JLTety ... 15

1.6.1 Definition ... 15 1.6.2 Proposition ... 16 1.6.3 Theoreme ... 16 1.6.4 Theoreme ... 17 1.7 L'operateur A ... 17 1.7.1 Proposition ... 18 1.7.2 Definition ... 19

1.7.3 Les fonctions propres de A ... 19

1.8 Les inegalites de Sobolev dans JR ... 20

1.8.1 Lemme... 20

1.8.3 Theoreme ... 23

1.8.4 Theoreme ... 23

1.9 La forme trilineaire b et Poperateur B ... 24

1.9.1 Lemme: Dans Ie cas n=3. ... 24

1.9.2 Proprietes ... 25

1.9.3 L'operateur B ... 26

CHAPITRE 2 — Existence et unicite pour les equations de Navier-Stokes

dans ]R3 27

2.1 Lemme ... 28 2.2 Lemme ... 29 2.3 Lemme ... 30 2.4 Definition ... 30 2.5 Theoreme de compacite ... 31 2.6 Theoreme d'existence ... 31 2.7 Lemme ... 37 2.8 Lemme ... 38 2.9 Theoreme ... 39 2.10 Theoreme d'unicite ... 41 2.11 Lemme ... 43 2.12 Lemme ... 44 IX

2.13 Theoreme ... 47

CHAPITRE 3 — Regularite des solutions 49

3.1 Inegalites de 1 energie et consequences. ... 49

3.1.1 Lemme: (inegalite d'interpolation) ... 49

3.1.2 Definition ... 50

3.1.3 Lemme. ... 50

3.1.4 Lemme... 53

3.2 Structure de 1'ensemble singulier de la solution faible ... 54

3.2.1 Definitions ... 54

3.2.2 Theoreme ... 55

3.3 Estimation a prior! ... 56

3.3.1 Theoreme ... 56

3.3.2 Theoreme ... 58

CHAPITRE 4 — Les inegalites d?interpolation pour Poperateur de Stokes 59 4.1 Les solutions fondamentales du systeme de Stokes generalise ... 59

4.1.1 Lemme ... 63

4.1.2 Theoreme ... 65

4.1.3 Corollaire ... 67

Introduction

Supposons qu un fluide remplit une region 0 de 1 espace. Pour la representation Eu-lerienne de Pecoulement de ce fluide, on considere trois fonctions p = p(x^t), p = p(x,t), u = u(x,t), x = (a;i, ^25^3) en, ^ e IR, ou p(x,t) est la densite et p = p(x,t) est la pression du fluide au point x a Pinstant t et u(x^t) = (ui(x,t)^u'2(x,t),U3(x,t)) est la vitesse de la particule du fluide qui est au point x et a 1'instant t. On peut aussi considerer la representation Lagrangienne de 1'ecoulement, dans ce cas on introduit les fonctions p = p(a,t), p = p(a,t)^ u = u(a,t); ici u(a,t) est la vitesse de la particule du fluide qui est au point a C H et a un instant de reference to^ et la signiflcation de p(a,t), p(a,t) est la meme. La representation Lagrangienne est moins souvent utilisee. Si Ie fluide est Newtonien, alors les fonctions p, p, u sont liees par Pequation de la conservation des bilans d'energie et de force par unite de surface (0.6) (equation de Navier-Stokes), et par 1'equation de continuite (0.7) qui est une consequence directe de la conservation de la quantite de mouvement, via Ie theoreme de Gauss liant les integrales de surface et de volume induites:

/)(^+E".^)-l/A»-(3A+l/)vdivu+vp=/- (0-6)

^ + div (pu) = 0, (0.7)

ou v > 0 est la viscosite dynamique, X un autre parametre physique et ou / = f(x,t) represente la densite (volumique) du champ de force externe par unite de volume. Si Ie fluide est homogene et incornpressible, alors p est une constante independante de x et t, et si de plus la pression p est constante, les equations sont reduites a:

(Qu , ^ Qu

^i+E«.^J-'/A«+vp=/.

CHAPITRE 1

Les espaces de Sobolev

1.1 Definitions et proprietes des espaces de Sobolev

Soit H un ensemble ouvert de JRU avec frontiere F = H D Hc. On suppose que H est situe localement d'un seul cote de F et que F est une variete [6] de dimension n-1 et de classe Cr(r a preciser). On note par L2(H) Pespace des fonctions a valeurs dans 2R qui sont de carre integrable pour la mesure de Lebesgue. On munit cet espace du produit scalaire:

(u,v) = / u(x)v(x)dx et de la norme | u \= (u,u)^ . Notons par | u \^ la norme deflnie

^t

n

par: | u |, = y^ | Uj |.

i=l

1.1.1 Definition

Pour tout entier non negatifm, Hm(fl) designe Fespace des fonctions de L (H) dont toutes les derivees distributionelles d'ordre inferieur ou egal a m sont dans L2(^t). L'espace

posons

<u,v> = ^ (Dju,Djv), (1.1)

lj'll^m

a^

avec j = (ji,. .. ,j,), j, € N, [j] =ji + ... +Jn et ^ = D3,1 .. .D^n = ^ ' ^^.

9xf ... 9xjnl

1.1.2 Theoreme

L'espace Hm(Q,) muni du produit scalaire (1.1) est un espace de Hilbert.

Demonstration: II est evident que (1.1) definit sur Hm(^l) une forme bilineaire sy-metrique positive non degeneree. Montrons que Hm(Q,) est complet pour la norme associee a ce produit scalaire . Soit {ur} une suite de Cauchy dans Hm(^l); comme D3 est un operateur continu dans 1'espace des distributions [10] nous avons egalement: pour tout multi-entier j, \ j \ < m, la suite {D3Ur} est de Cauchy, done convergente, dans .L2(n); posons Urn Ur = g et lim D^Ur = ^,. Nous avons alors: Ur . > g et

r->-+oo " r->-+oo *"' r-^+oo

D3Ur . > g^ au sens des distributions dans n; done D3Ur —>• D-?^ dans cet_{vr r->.+oo' yj "'u kJ^"LJ U"LJ ^UU"A"UU^UU -""" uu' uv/"^ - ulr ^^} et ainsi D3 g = gj € L (0), pour tout j,|j |^ < m. Ceci prouve que g 6 Hm(fl,) et que la suite {ur} converge vers g dans Hm(^l). •

Soit Q Ie cube de JRn de periode L dans chaque direction (i.e. Q = (]0, L[)n).

Notons par H^(Q), m entier, 1'espace des fonctions qui sont H^(]Rn) (i.e., u restreint a a appartient a Hm(a') pour tout ensemble ouvert borne a) et qui sont periodiques de periode Q: u(x + Le,) = u(x) pour tout 1 < i < n, avec 61,62,... , Gn la base canonique

1.1.3 Lemme

Pour toute famille de nombres complexes {ck : k € Zn} et multl-indice a = (ai,... , o;n),

on a:

.E

Hi<m A;€Zr |2 TT f27L\2aj\ ^. |2", ^ j_^;, r^m ii \-11. \^\ ., |2

^m(:71) i^i^^minKT)

'l]^ifcnc^iz-. k^n f=="l v ^/ - m! L v ^ / J ^n Demonstration: On a |2m _ i\^]^2 \ -Z-j Ki J = done

m

.1=1 ^1,... ,0'n/^i |2o(j_ ^ I - 5

E HI k, 12a'$ |fc 12m <">! E nifc

2a,

(1.2)

Hi=m J=l

on distinguera deux cas.

|o'|^=m j=l

•^ ^2o;j /27T\2m

ler cas: Si — < 1 alors ( — ) > ( — 1 done27T

L

D - \L )

2a,

E EM2H

_D

Hi<mA;€Z" J=l

et d'apres 1'inegalite droite de (1.2) on aura

2m

^(y\k,\2a->W y- v-

|2 TT | r_ l2o';

i^ 1 ^ I'm k, r3

K<mfcez" j=i

E E ic^ i n

\a\^<mk^n J=l

(y\k, \'ta- > ^ym^ y- \k \2m\ c,. i2.

~L) m!^»

2ieme cas: Si ^ > 1 alors f2?V > 1

, 27T

L

D

done

E E i^i2n(^)-'ifc,i2°^^,

|a|^m fclz" j~=i v ^ / m: fciz" La conclusion s ensuit. •

n /o^-\ 2a,

|2 TT / z'7' \ "I 7_ |2a, ^ -L V-^ i 7. |2mi _ |2

I'-1.1.4 Proposition

Soit m un entier non negatif; les fonctions de Hy'(Q) peuvent etre caracterisees par leurs series de Fourier

Sink.x

rm/^\\ r . .. \~^ _ ^VK.X _ ^ ^-^ i ^ ^mi _ |2

ip"W) ={u:u= ^ Cke~f~,Ck = c_fc, ^ | k I""" | Ck I" < +00 J-.

fcez" fcezn Demonstration: Si u = s cfce k€Sn 2iTrk.x

^

alors pour tout | a \< m on a

Dau = E c* n

i^r / 2i7rk, \ "3 •iink.ae L

J=l

(1.3)

done id Dau 1'=^- ^ I cfc

^ f27T | k,

2a fc€Zr J=l

L

' ^E

fcez"^-< L /27T' Ck 2m

(?)

2m

k

12m |2| 7. |2m

^ ^) Ej^nfer<+°°

done Dau C L2(Q) et u est periodique de periode Q. Ainsi K € Hy'(Q).

Reciproquement si u € H^(Q) on a u € L2(Q). Or {e^,fc € Z } forme une base de

L2(Q\ done u peut s'ecrire sous la forme

2ink.x

u = ^ Cke L ce

fc€Z"

^ TT {2i7Tkj\ •' 2ink.x

qui entrame U^u = ^ Ck ^j^ [ — f— J e ^ | a

On a alors

|2

u ||'=

iall^m

l2a,

s \Dau\2=^ ^ Ei^i'nf^) i^i2°J

lal, <m fc(=%n .7=1

n /o^.\ '2,oi,

2TT (2lYotj

on aura done d'apres Ie lemme precedent que u II > -—min m! ^\2m J L ^ , ^ ,2,

,i|^ ^ i^n^i

D

121 7_ 12m fc€Zn

done ^ \Ck |2 | k \2m< +00. •

fc€Zn

On remarque que (1.3) a un sens pour m € JR et m ^ 0; done on definit maintenant

Hy(Q) par (1.3) dans ce cas.

Pour m quelconque dans iR on definit Hyl(Q) par:

H?W = {" € ^m((3) de type (1.3); co = 0}

k

On remarque que H^-(Q) est un espace de Hilbert pour la norme { ^ | k \ \ Ck | } .

A:€Zn

1.2 Les espaces duaux Hym(Q)

Comme on va considerer des vecteurs de la forme v = (va)o^|a|^<m? avec a multi-indice, dont Ie nombre de coordonnees est N = ^ ( ,_ posons

A:=0

^ = n ^2(o)

J'=l

et notons la norme d'un vecteur u = (^i,... , upf) dans L^ par:

ll»ll»=|E

u,

J=l

Notons par (Hy(Q))' Ie dual de Hy(Q) dans L2(Q).

1.2.1 Proposition

Pour tout '0 € (Hy(Q)) , il existe un element u € ^ tel qu'en ecrivant Ie vecteur v sous la forme (ua)o<|a|^m?on a pour tout u € H^'(Q):

</.(u)= ^ (Cau,^) (1.4)

0<|a|l^m

Demonstration: Soit P un operateur de H^(Q) dans H^(Q) definit par

Pu=(Dau)^^.

On definit une fonction lineaire continue if)* sur I'image W de 1'operateur P par:

^(Pu) = ^(u) , u € H^(Q).

W est un sous-espace vectoriel de 2^, et || '0* ||^< = Sup ||^(u)|| done d'apres Ie theoreme

uew n"n<i

de Hahn-Banach, il existe ip € L^ qui prolonge '0*, et par Ie theoreme de Riesz on a •0* € 2^; alors il existe v C ^ tel que, si u = ('Ua)fo<lal,<m^ alors

^(u) = Y^ (Ua,Va)

(KHi<m

done pour tout u € Hy'(Q) on obtient:

^(u)=^(Pu)=^(Pu)= ^ (Dau,v^). m

°<Hi<m

1.2.2 Proposition

Demonstration: Soit ^ donne par (1.4) pour v C L^. On definit T^ et T € T>f(Q)

par:

T^) = (^Va), V<^ C T>(Q) avec 0 ^ | a |i ^ m,

( T>(Q) Pespace des fonctions C00 a support compact dans Q) et

T= ^ (-l)Hzy^.

o<Hi<m

Pour tout (j) C T>(Q) C H^(Q) on a:

TW= E T^(D"4,) = W) (1.5)

0<|a|^m done T est bien une extension de '0. •

Remarque: La proposition precedente reste valable pour tout ip € H^(Q) avec H^l(Q)

la fermeture de V(Q) dans Hy(Q) .

Supposons maintenant que T € ^'(Q) a la forme (1.5) pour un certain v € L^\ alors T ne possede pas une unique extension dans Hy(Q). En efFet, si T* est une extension de T alors T** definie par T**(f) = T*(f) + ^(/) en est une autre, ou U esi une fonction de

H^(Q) dans 2R telle que U(T>(Q)) = {0}, (par exemple U(f) = /(Q ou ^ € ^Q).

Par centre montrons que T possede une unique extension dans H^(Q): en eflfet

soit {<^n} une suite dans T)(Q) tels que <^n — u \\ > 0. Notons | . |^ la norme definie

n—>-+oo

sur C par \u \^ = (x2 -{- y2)2si u = x -}-iy (x,y G 2R).

T(^)-T(^)|, < E I ^<.(£>"^ - Da4>n) I,

(KHi<m

^ ^ I pa(^ - <f,n)

0<|a|^m

^ 11 ^-'t>n 11 II "llx

k,n—>-{-oo

^0

done {T((f>n)} est une suite de Cauchy dans C done convergente vers une limite qu'on notera ^(u). La fonction '0 ainsi definie est lineaire et appartient a (H^(Q)) ; comme on a u = limn-^+oo (t>ni a-lors il vient

^(") I.= ^ I T(^

et done

^(u) ^ ^ Jmi^ | (f>n I H^ U^ = Hull 11^11^,

Nous avons done prouve Ie theoreme suivant.

1.2.3 Theoreme

L'espace dual (Hy(Q)) est isomorphe a Pespace de Banach constitue par les distributions

T € ^'(Q) qui verifient (1.4) pour tout v C L^ pour la norme:

T ||= inf{|| v ||^ : v satisfait a (1.4)}.

1.3 Les triades hilbertiennes

Soient V et H deux espaces de Hilbert tels que V esi un sous-espace dense dans H et tels que 1'injection de V dans H definit par transposition d'une application lineaire continue de H' (dual de H) dans V'\ on verifie aisement que cette application est injective, ce qui permet d'identifier H' a un sous-espace de Vf, et que H' est dense dans V :

V C H, V —^ H ; H' —^ V/.

Par ailleurs, d apres Ie theoreme de Riesz, il existe un isomorphisme canonique de H sur H et nous pouvons grace a cet isomorphisme identifier H et H . Finalement: V C H = H C V les injections etant continues et chaque espace etant dense dans Ie suivant. Appelons triade hilbertienne 1'ensemble des trois espaces ayant les proprietes qui viennent d'etre indiquees. Une consequence de cette identification: Ie produit scalaire dans H de / € H ei u € V est Ie meme que Ie produit scalaire de / et u dans la dualite entre V et

V:

<f,u>=(f,u) ^f^H^ueV.

1.4 Theoremes de densite

1.4.1 Theoreme

L'espace T>(Q) est dense dans Hy'(Q).

Demonstration: Soient u C Hy(Q) et (Oj)jeJ un recouvrement ouvert de Q. Consi-derons une partition de 1'unite subordonnee a ce recouvrement 1 = (f> + ^ (f)j ou ^ €

jej

D(Q), 4>j € D(0j). On peut ecrire u = <^u + ^ 'u<^j; la sornme sur j est finie car Ie support jeJ

de u est compact.

i)La fonction <f)U est a support compact dans Q (car supp (f)u C supp (f)). On posera

<f)u = 0 en dehors de Q. Soit p € D(JRn) ,p > 0 et / p(x)dx = 1.

'H

1 ,x

Pour e € [0,1] notons pe(x) = ~—p( —); pe * ^ a, un support compact

(car supp(pe * 4>u) C supp pe 4- supp((j)u) C .supp ^e + 6Upp ^ avec pe, (f) € D(JRn)) [10].

On salt, par regularisation, que

ps * <t>U — —> (f)u dans L (2Rn), et

Da(p, * <^u) = /?, * P"(^) ——^ Da((t>u) dans L2(JRn).

done

11^*^-^11= ^ |^(^*^)-P-(^)|^^O.

(KHi<m

Done (f)u est limite dans H^(Q) de fonctions appartenant a D(Q).

ii) Considerons maintenant une des fonctions Uj = (j)jU non identiquement nulle. Soient efj = 6j n Q et <7^(a;) = Aa; 1'homothetie de rapport \ -f- 0. On a done

e'j c e'j c (TxO'j pour \ > 1 et a^ C a^ C O'y pour 0 < A < 1. Soit a\ o v la fonction qui a a; associe v(o~\(x)).

Pour A > 1, a\ o uj \QI— — —>• Uj dans H^(Q). En effet pour p € L (0',) on a

)(T>el3

c est a dire

((T\op)(y) \^dy = \n 1^ \ p(x) \ dx

0 •

et done

(TA 0 P \QI > p dans L (Q'j).

3

D autre part pour 1 < i < m, on a

D\^opM = (-l)^(a,op)[Di4>]

= (-^l(p)[^o(D'<t>)]

= ^(Dip)[^o4-}

= \i(axoDtp)W.

Ainsi Di(a\op) = \i(cr\oDip) > Dip dansL2(0), done cr^ou, 1^. > ^ dans Hy'(Q),

J

Si '0j € J9((7^(^)) et i^j = 1 dans 0,, posons vj = l^j(cr\ o u) \Q. Alors

Vj > Uj dans Hy(Q) et v, est une fonction a support compact dans Q, Ie resultat s'ensuit alors du point (i). •

1.4.2 Theoreme

C°°(Q) H H^(Q) est dense dans H^(Q)

(avec C°°(Q) Pensemble des fonctions continument differentiables sur Q ).

Demonstration: Soit Qv (y == 0,1...) une suite de sous ensembles ouverts de Q relative-ment compacts tels que leur union est egale a Q et pour chaque v = 0,1...., Q C Qi/+i. Posons Q[ = Qi et pour v >_ 2,Q/ = Qv — Qv-i- II es^ clalr (lue les 0^ (I/ = 1,2,...) forment un recouvrement ouvert de Q. Soit ^ (v = 1,2...) une C'°°-partition de 1'unite subordonnee au recouvrement Q1 (les supports de ^ sont compacts). Soit

1 X

p € P(Rn) /? ^ 0, / /ocb; = 1 et posons, pour £ > 0, pe(x) = ~~^p(~)- Pour chaque v on_{f]gn —-,-x/ £n£}

selectionne un nombre Cv >. 0 tel que 1'adherence du voisinage d ordre Cy du supp ^ soit dans Q'^. Ecrivons Vv = pey * (^u), avec u 6 H^(Q) ; bien sur on a ^ € T>(Q^). Or on salt que, si / € LP(R"), pe * / converge vers / dans LP(Rn), done pour tout e > 0, on choisit €y assez petit pour qu'on ait: Vo;, | a \^ <, m

Da(^u - v^) |=| Da(^u) - p^ * Da(^u) \^ erl-v

de sorte qu on a

-v-1

||^-^||

^£2-+00

Posons v = 5^ ^i/ (comme distributions), il est clair que v € C°°(Q) ( les fonctions i^_Z-/

v=l

etant de support compris dans Q compact). De plus si K est un sous ensemble compact quelconque de Q, il existe f(K) tel que ^u et Vy sont identiques dans un voisinage de K pour tout v > v(K). Done

; / . \?

^ IJDa(u-v)\pdx} ^ E I E Llpa(^-^)F^

MlSm " / v<iv{K} \\ot\\.

< E 11^- ^11 <e

v<,v{K)

et on a prouve que u — v appartient a Hy(Q), done v aussi, et que u est limite dans

H^(Q) de suites de fonctions v qui appartiennent a C°°(Q) Ft H^'(Q). •

1.5 Theoreme de traces

Soit n la normale exterieure a F frontiere de Q .

9 u , ^ . 9

Pour tout u € D(Q) on note ^ju = -^—: |r, (^fou = u |r)ou -^— est la derivee de u suivant la normale exterieure a F.

1.5.1 Theoreme

Soit m € N*.

i)L'application

7^ : u -f ^u = (70^,... , 7m-i^)

definie sur /P(Q) a valeurs dans [Z)(F)] se prolonge par densite en une application lineaire

m-1

continue surjective de Hm(Q) sur ]^[ Hm~3~^(V).

ii)Ker7nt=^om(0).

Demonstration: Voir Lions-Magenes [5]

1.6 Caracterisation des espaces H et V

1.6.1 Definition

Soit V 1 espace defini par

V = {u G (^(Q))n : div u = 0}.

La fermeture de V dans (L2(Q)) et dans (H1(Q)) sont deux espaces fondamentaux

dans 1 etude des equations de Navier-Stokes; on note ces deux espaces respectivement par H et V.

On munlt V du produit scalaire et de la norme Hilbertienne

((",")) =^,(D.u,D,v), \\u\\=((u,u))^.

i=l

V est un espace de Hilbert pour cette norme et H est muni du produit scalaire induit

par (£2(Q))".

1.6.2 Proposition

Si une distribution p a toutes ses derivees premieres Dip^ 1 <: i <: n dans H~ (Q)-, alors

P<=L2(Q).

Demonstration: Voir J. Neca.s. [7]

1.6.3 Theoreme

V = {u c W(Q))n : divu=0}

Demonstration: Posons

W = {u € W(Q))n : divu=0}.

Si u € V alors il existe une suite (um)m>o C V tel que lim Um = u. Comme 1'operateur

m-4+oo

divergence est continu de Sf(Q) (Ie dual de Pespace de Schwarz, voir [10]) dans <S/(Q), on

a done que Una. div Um = div u. Puisque div Um = 0 alors div u = 0 et done V C W.

m-4+oo

Pour prouver que V = W nous allons montrer que toute forme lineaire continue L de W dans JR est nulle si sa restriction est a V est nulle . Soit v € W, on a d'apres (1.4)

l(v)=Y,<li,Vi>, lieH-l(Q)

i=l

Ie vecteur / = (^i, ... ,ln) € (H~1(Q)) et < l,v >= 0 Vv € V. D'apres Ie theoreme de Rham [12] et la proposition precedente on a:

1= gradp, peL2(Q)

et alors

Pour v € W

n

L(v) = ^ < ^', ^ >= —(p, div v) = 0

i=l

et L = 0 dans W. Done W = V, sinon 11 existe a; € TV \ V et alors, d'apres Ie theoreme de Hahn Banach [3], il existe une forme lineaire T de W dans JR telle que

T(v) =0 Vu € y et r(;c) = 1

ce qui est absurde. •

1.6.4 Theoreme

Soit 7j la fonction definie dans Ie theoreme de la trace, alors

H = {u € (L2(Q))n : u = grad p,p € (H1(Q))"},

HL = {u C (^2(0))" : div iz = 0,7,u = 0}.

Demonstration: Voir Temam [12].

1.7 I/operateur A

Soit u € V, la forme

v e V \ — > ((u,v)) e JR

est lineaire et continue sur V. Done il existe un element de V qu'on note Au tel que

< Au,v >= ((u^v)) W € V.

1.7.1 Proposition

L'operateur A ainsi defini est un isomorphisme de V sur V .

Demonstration: La forme ((u,v)) etant continue, il existe M > 0 tel que

|< Au,v >\^ < M||u[|||t;|| Vu,v € V

d'ou

\\Au\\v, < M\\u\\ Vu € V

ce qui prouve que A est continue. Comme ((u,v)) est une forme bilineaire coercive [11]

3a > 0, tel que Q'||u|| < < Au,u > < \\Au\\yi\\u\

on a

a\\u\\ < \\Au\\y, Vu € V. (1.6)

Ce qui prouve que A est inject! ve et que A-l est continue de AV sur V. Puisque A est un isomorphisme de V sur AV, nous voyons que AV est complet et done ferme dans V . Montrons pour terminer que A est surjective, c'est-a-dire que AV = V. Soit (AV)° Ie polaire de AV dans V.

Si u € (AV)° alors < l,u >= 0 V/ € AY

d'ou

< Av,u >= 0 Vv € V et done

< Au^u >= ((u^u)) = 0

ce qui entraine que u = 0 car ((u,v)) est une forme bilineaire coercive. Done Ie polaire de AV est reduit a {0} et il s'en suit que:

1.7.2 Definition

On appelle D(A)^ ou domaine de A dans H, 1'ensemble des u € V tel que Au € ^. L'espace D(A) est dense dans V et dans H, puisque d'apres la proposition precedente A est un isomorphisme d'espaces normes et que H est dense dans V. On verifiera aisement que D (A) est un espace de Hilbert pour Ie produit scalaire

(u,v) + (Au^Av)

et que A est un isomorphisme de D (A) dans H.

1.7.3 Les fonctions propres de A

Comme A est un isomorphisme de D(A) dans H alors A-l existe, est lineaire et continue

de H dans D(A) [3] . Puisque Pinjection de D(A) dans H esi corapacte on conclut

par Ie theoreme de Banach-Steinhaus [3] que A est un operateur compact; 11 est aussi autoadjoint car siu^v C H on a

< A~ u,v >=< ui,Ai»i >= ((ui,vi)) =< Aui,vi >=< u,A v >, avec Ui,ri € 1^(A) et Aui = u,Avi = v.

Alors il admet une suite de fonctions propres wj, j C N, qui forment une base orthonor-mee de H,

A~lWj = ajWj, Wj <E D(A), aj € JR. et done

Aw j = \jWj avec \j = —. (1-7)

OLIJ

19

Or A-l est compact done, d'apres Ie theoreme spectral pour les operateurs compacts [3], Ie nombre de valeurs propres de A est denombrable et Ie seul point d'accumulation possible est zero, ce qu on ecrit

0 < AI <\2 <:>3--' , Aj ——> +00.

\j—^+00

(1.8)

1.8 Les inegalites de Sobolev dans 1R

Dans toute la suite, on ne s interessera qu au cas n = 3.

1.8.1 Lemme

3 . , 3

Soit m>^etO<Q;< min(m — ^,1). Alors il existe une constante C telle que

u(x) -u(y) \<C || u || | x -y

pour tout x,y^ JR3 et u C Hy(JR3).

Demonstration: On voit tout d'abord que Vo; € (0,1), il existe a = a(a) > 0 tel que

exp(iu) — exp(iv) \ < a\ u — v |^, Vu,v C JR.

(1.9)

En efFet, on a

Sup

\U-V\ >£

iu} — exp(tv

< Sup

exp(iu) — exp(iv)

u — v \u-v\ >l

v^

< ^— <00, VQ:,V£>I._{£a " ^' '^'}

Comme

et

sin(u) — sin(v) = (cos(^))(u — v), ^ € (u^v)

alors | exp(iu) — exp(iv) \ — \ u — v \ \/sin2(^*) + cos2(() <: V/2| u — v \ pour tout u,v 6

JRd'ovi

exp(iu) - exp(iv) \^ ^ ^ ^ ^ ^ ^_^_{|"v /12 < ^\U-V\\L}

< V2e^~ot} si | u-v \a <e. u — v

iu} — exp{iv

Ainsi Sup ' ^^vw; —^v^/ 12 < -^ + \/2£(l-a) < oo pour tout e > 0. D'autre

u,ue.R

u^u u — v

part on a pour tout a;, y C ]R

u(x) - u(y)

y^ Ck(exp(2i7rkx) — exp(2i7rky))

A;€Z3

< ^ I Cfc II exp(2i7rkx) — exp(2inky) | .

fc€Z£ D'apres (1.9) on aura

u(x)-u(y)\^ < a ^ | Ck\,\x-y |^| 27rfc |^, o; € (0,1)

keV |0! v^ I _ | | 7, | a ail x — y \^ > ^ | Ck'2 / -^ I -n' '2 I '" '2 ke^ 2 y -' I ""• '2 I '2 .3

h

\0t I \-^ /1 , I 7- im\2l _ |2

ai| x — y |^ | > \[\ + | A; 11"')" | Ck

'2 I / J v- ' I " '2 / ' -nl '2

k

2a

(1 + I k \mY

^

^ 1a,\x-y\^\ EO+I^Hl^

^kev <fcez3

E

k

2a

(1 + I k |m)2

|2a

^

\^ I "/ h

ll|lnll7P"OR3) ^ ^ (T4~[^~jm)2 J '

21

k

|2a

et done il suffit de montrer que ^ y-—i ;2 im\2 < 00 et la demonstration du lemme sera

jbez3 ^ ' 1 '" '2 achevee.

Or

|2a T , lft;12,

^ (1 +1 k r)2

fcez3 ^ ' 1 '"'2

I:

k

l2a A;eza\(o)

(I +1 k lro)2

< E \k

2(a—m) fc€Z°\(0)

^ E

(fcl,fc2,fc3) fcl ,82 ^3=0

+oo /*+oo y+oo

dxdydz

(fc

(x2 + y2 + ^2)(m-a)

< 3 i:

(A;2,A:3)€Z2\(0) \ F+oo y+oo

1 + fcj + fcj)(m-a) + Jl Jl Jl

•+00 /-27T /"7T

+ /' /- I r^-^m-a^sinWdrd0d(l>

(fcj+fcj)(m-a) ' Ji Jo Jo

< 3

< 3

+00 f +00 c?a;c??/ 1 f+00 />+°° |(m-a)

k \^-uc> Ji Ji {x(a;2 _^ ^2)(m-o-) + 47T f+w r^m-^dr'1

\2^.. fc€Z\(0)

k

1 f+°°

("^)+ A Jo

+00 /.27T drd0r(2(m-a)-l) +00 +47T / ' " r(2-2<m-a)^r <+oo Fl car m — a > —.

1.8.2 Definition

Soient X et Y deux espaces de Banach. On dit que X est une injection compacte dans Y si la boule unite dans X esi precompacte dans V; ou si chaque suite bornee dans X

admet une sous-suite qui converge dans Y.

1.8.3 Theoreme

3

Pour m ^ ^ on a une injection compacte de Hy(Q) dans Cb(Q) et il existe (7 > 0 tel

que Sup\ u(x) \^ C\\u\\^u € H^(Q) .

xeQ

Demonstration: Soit B = {u € H^(Q) :|| u ||< 1}.

D'apres Ie lemme precedent on a que B est equicontinue; d'autre part \/x € Q, B(x) = {u(x) € JR :| u(a;) [^ 1} est precompacte dans 2R . On conclut d'apres Ie theoreme

g

d'Ascoli que B est precompacte dans Cb(Qi JR ), d'ou Ie resultat. •

1.8.4 Theoreme

72 . -. . - __ - _ > _<i , _ ^ 1 1 771

Supposons que 2 < —, (m entier naturel). Alors Hy'(Q) C L (Q), avec -==-——-,

TTt r • • C^ Zt Yt

et il existe une constante C > 0 telle que |H|^Q) < C'H^II? Vu € H^(Q).

Demonstration: Considerons Ie cas m = 1. En combinant Ie fait que D(JR ) est dense

dans Hl(JRn) et que si T = ^ (-l)^DaT^, avec v € ^, on voit que Hl(JRn) C

0<|a|i^m

L (JR ) [4] et on a, pour un certain Ci > 0,||v||^^n) ^ ci|Hlfl-i(J?n) ^v € H1(]R ).

On utilise alors £q 1'extension periodique de H1(Q) en H1(JR ) et on obtient, pour tout

u € H\Q) et pour C-2 > 0,

ll£Qulljyi(^n) < C^\\U\\H^Q)

et done

\\U\\L^Q) ^ \\eQU\\L^(Kn) < cl\\eQU\\H^Rn)

d'ou

II"HLW) < ^^U"H^(Q). (1.10)

23

Soit m un entier superieur a 1.

u € Hy(Q) si et seulement si Dau € H1(Q) pour tout a satisfaisant a | a |< m — 1. Appliquant (1.10) a Dolu, \ a |< m — 1 on obtient

Hnr-- ^(Q) ^ C3\\U\\H^(Q)

on itere cette inegalite m fois d'ou Ie resultat. •

Remarque: Le theoreme precedent reste vrai pour m reel. (Voir [8]).

1.9 La forme trilineaire b et Poperateur B

Soient u^v^w G (Ll(Q))n. Posons

_"_

b(u,v^w)= y, UiDiVjWjdx. i^l JQ

1.9.1 Lemme: Dans Ie cas n = 3.

La forme b est defmie, trilineaire et continue sur (Hml(Q))3 X (Hm2+l(Q))3 X (Hm3(Q))3

ou mi sont des reels positifs tels que

3 3

mi + m2 + ms > ^ si m, ^ ^ Vz = 1,2,3. (1-11)

3 3

mi +m2+m3 > ^ si m^ = 7- pour Fun au moins des i. (1-12)

3

Demonstration: Si mi < - pour i = 1,2,3 alors d apres la remarque precedente on a que

Hm(Q) c L"'(Q) ou i = ^ - ^

Or d'apres (1.11) — + — -|- — ^ 1, done Ie produit UiDiVjWj est integrable et 6(u,v,w) 9l 92 93

est bien definie. II est facile de verifier que b est trilineaire. Par Holder on a

b(u, v, w) |^ | u, \^, \ DiVj \^ | w, 1^ (1.13)

<: Cl|H|(Jpni(Q))3||v||(Jpn2+i^3||w||^3(Q))3

a cause de Pinjection continue de Hmi(Q) dans Lqi(Q). Si un ou plus des m, est plus

3

grand que ^ on precede de la meme maniere, en rempla^ant Ie qi correspondant par oo

. . 3

et les autres par 2. Si Pun des mi est egal a ^, on Ie remplace par m\ < mi, mi — m\ suffisament petit pour que Pinegalite (1.13) reste valable. •

1.9.2 Proprietes

1) b(u,v,w) = —b(u^w,v) Vu,v,w C V. 2) b(u,v, v)=Q Vu,v € V.

Demonstration: 1)

-"_ r JL

b(u,v,w) = ^ I^UiDiVjWj = - ^ I^VjDi(uiWj)

^_

= —6(u,u,w)— ^ / VjWjDiUi = —6(u,v,w)

i,3=l car n » 7i 7i S /„ VjWjDiUi = < ^ VjWj, ^ A-u, > 1,7=1 JQ J=l i=i n = < ^VjWj, div u >= 0 car u € V. J=l

2) II suffit de prendre w = v dans 1). •

25

1.9.3 L'operateur B

Pour tout u, v, w € V on definit un operateur B par

< B(u, <u), w >= 6(u, u, w); Bu = B(u, u).

On a que B(u,v) € V et Bu € V7. Puisque b est trilineaire continu sur V, B est un operateur bilineaire continu de V x V dans V .

CHAPITRE 2

Existence et unicite pour les

equations de Navier-Stokes dans

Note: On utilisera dans ce chapitre les memes notations qu'au chapitre precedent, 1 ex-pression "const" represente une constante specifique mais pas toujours la meme.

Probleme 2.1: Pour / et UQ donnes tels que:

/eL2(o,r;y/) (2.1)

uo € H (2.2)

on veut trouver u satisfaisant a:

u€2/!(0,T;y), (2.3)

-^-(n, V) + '^(('^, V)) + b(u, u, v) =< /, v >, Vv C y, w const, (2.4) et

u(0) = uo. (2.5)

2,1 Lemme

Soit u € L (0, T, V) alors la fonction Bu definie par:

< Bu(t),v >= b(u(t),u(t),v\ W € V,t € [0,T],

appartient a L (0,T,V/).

Demonstration: Pour tout t, Bu(t) est un element de V, et puisque b est trilineaire continue sur V on a done

\\Bv\\y, ^ c\\v\\^^veV,c>0 (2.6)

et done

\\Bu(i)\\y,dt < c /; Uu||y

< 00.

Maintenant si u satisfait (2.3)-(2.4), et comme H = H/, (2.4) peut s'ecrire: -7; < U, V >=< / — wAu — Bu, v >, Vf € V.

Puisque Au appartient a L2(0,T,Vf) alors / — wAu — Bu appartient a Ll(0,T,y/). Le lemme 1.1 implique done que:

u' €Ll(0,T,y')

u = f — wAu — Bu^

et que u est egal partout a une fonction continue de [0, T] a valeurs dans V. Une autre formulation du probleme 2.1 est done la suivante:

Probleme 2.2: Soient / et UQ donnes verifiant (2.1)-(2.2), cherchons u qui satisfait a:

ue2/!(o,r,y), uf e Ll(o,T,vt), (2.7)

uf + wAu + Bu = / dans (0, T) (2.8)

u(0) = uo. (2.9)

On a montre que toute solution du probleme 2.1 est solution du probleme 2.2, la reci-proque est aussi evidente et done les deux problemes sont equivalents.

2.2 Lemme

Si u^ converge vers u dans L2(0,T^V) faiblement et dans L2(0,T;H) fortement, alors pour toute fonction vectorielle w dont les composantes sont dans C (Q) on a

.T rT

b(u^(t), u^(t), w{t))dt — > I b(u(t), u(t),w{t))dt.

'0 JO

(2.10)

Demonstration: On va montrer que si u^ converge fortement dans L2(Q) vers u et que Vp, converge faiblement dans L2(Q) vers u alors pour tout (fe € 1^(Q)

faible UiiVu. — —> UV.

p.-^+oo

En efFet, pour tout cf) C V(Q)

(2.11)

(u^.v^ (f)) - (u.v, (fe) |^ < I (u^ - u, v^.4>) |^ + I (^ - v, u4)

< \u^—u I I v^.cj) I + I (^ — u, u.<^>)

Comme {v^} converge faiblement dans L2(0,T,y) elle est done bornee, et done {v^.cf)} 1 est aussi, ce qui nous donne avec la convergence forte de u^ que

Up, -U I [ V^ |^ ——-> 0.

'2 ^->.+00

De meme, la convergence faible de v^ nous donne que

("'"") -(u'v)\, 7^°'

et (2.11) est demontre. Comme nous avons

b(u^(t),u^(t),w(t))dt = - I b(u^(t),w(t),u^(t))dt

,0 ... JQ

n_ i.T

= - ZJ^ J (u^)i(DiWj)(u^)jdxdt.

Et d'apres (2.11), pour chaque t,

(u^)i(DiWj)(u^)jdx ^ J (u)i(DiWj)(u)jdx

done, par convergence dominee,

,T n pT

/zm^+oo / b(u^(t),u^(t),w(t))dt = - 5^ / / (u)i(DiWj)(u)jdxdt

_{/o ' • ' ' • • ' ' " ^.^ JQ JQ}

)J—

b(u(t\w(t\u(t))dt

10

b(u(t),u(t),w(t))dt. 9

'0

2.3 Lemme

Pour tout 0 ^ 7 < 7, 11 existe une constante 0=0(7) qui depend de 7 telle que : ^ < r.(-} V.r > x" ^c^i+a;(i-2^) va;^u-Demonstration: x2^(l + x(1-2^) x^ + x 1 + X 1 + X X-^+QO x^(l + x^~2^

entraine Y£ > 0, 3A > 1, si x > A alors ::—^ ' ~ —'- < 2 (e = 1). 1+3;

x2^ + x

D'autre part si x < A alors —1 < x2^ -}- x < A2^ + A et done 0(7) = (A27 + A). + x

2.4 Definition

Soient Xo et X\ deux espaces de Hilbert. Pour 7 > 0 on definit 1 espace:

ou D^v est la derivee fractionnaire d'ordre 7 en t de v definie comme 1'inverse de la transformee de Fourier de (2t7Tr)'yi5(T). C'est un espace de Hilbert pour la norme

M^(R,X,,X,) = {IHli2(^,Xo) + III T

rvllL2(J?,^)}2-On Ie voit aisement en considerant Ie theoreme de Plancherel. Pour tout compact K C 2R, on definit Ie sous espace /H^ de 'H par:

-H^(2R,Xo,Xi) = {n € U\Si,Xo,X^ '. support u C ^}.

2.5 Theoreme de compacite

Soient XQ^X et X^ des espaces de Hilbert tels que XQ C. X C -^i sont des injections continues et 1'injection de Xo dans X est compacte. Alors pour tout ensemble borne K et pour tout 7 > 0, Finjection de 'H^(JR\XQ^X\) dans L (JR^X) est compacte.

Demonstration: Voir [12] .

2.6 Theoreme cT existence

Soient jf et UQ qui satisfont a (2.1)-(2.2). Alors il existe au moins une fonction u qui satisfait a (2.7)-(2.9). De plus u C L°°(0, T, Jf) et u est faiblement continue de [0,T] dans

H.

Demonstration: Puisque V est separable et V est dense dans V, il existe une suite Wi, ... , Wm, . . . d elements de V formant un ensemble libre et total dans V (on dit aussi que Wi,... ,Wm,... forment un systeme de generateurs complet). Pour chaque m on definit une solution approximative Um de (2.4) comme suit:

m

Urn = ^9im(t)Wi (2.12)

t==l

et

(u^Wj)+w((Um(t),Wj))-{-b(Um(t),Um(t),Wj) =< f(t),Wj >,

^€[0,r],j=l,...,m, ^m(O) = UQm?

(2.13)

(2.14)

ou UQrn est la- projection orthogonale dans H de UQ sur Pespace engendre par wi,... , Wm-L'equation (2.13) possede effectivement une solution u^ pour chaque m: c'est une equa-tion de Riccati generalisee (matricielle) en g (voir [17]). Les foncequa-tions gimi 1 <^i <m sont les coefficients de Fourier de Um par rapport a {wi, ... , Wm}- Multiplions (2.13) par gjm et additionnons ces equations pour j = 1,... , m. On obtient done:

«OT,^))+w||^H^ =< f(t),u^(t) >, (2.15)

(TOU

d

dt Um(t) \2+2w\\Um\\2^ = 2<f(t),Um(t)>,

^ W)\U^(t)\\

Hl

^ w|KU^+^u/(t)||2y,

|2 i ...ii.. ||2 ^- -*- 11 r/j.\l|2

pour tout w > 0, d'ou il vient

i\^(t)\2+w\\u^^^\\f(t)\^,.

Integrons (2.16) de 0 a s\ on obtient alors:

^m(s) |2 < 1 f ||^)||^^ - W f |M^)||^ + | U^

_{W JO JO}

U0m|2+1 [s \\f(t)\\2y.dt

W JO

<

UQ I" +

^r"^n

_V

dt.

(2.16)

Alors

Sup | u^(s) |2 < | uo |2 + - // 11/WII^^ (2.17)

W JO s€[0,T]

done

la suite Um reste dans un ensemble borne de L°°(0^ T,H). (2.18) Integrons maintenant (2.16) de 0 a Ton obtient alors:

I u^(T) \2 + w 1~ \\u^(t)\\2^dt < \ uom |2 + ^ /- 11/WH^^

'0 ' " W JO

done

/„ IKWU^A $ ^1 "o» i2 + -^ ^ \\m\\2vdt

d'ou

la suite Um reste dans un ensemble borne de L (0, T, V). (2.19) Soit Um la' fonction de JR dans V qui est egale a Um dans [0,T] et a 0 ailleurs. Notons par Um la transformee de Fourier de

Um-Montrons que Um appartient a un ensemble borne de 'H (2R, V, H) ce qui nous permettra d'appliquer Ie theoreme de compacite. Corame 7i (JR, V, H) est un espace de Hilbert pour

la norme ||^||^(^v^) = {|lvllL2(i'?;y) ~1~ III T l^'yll.L2(J?;^)} ' ^ suffit done de montrer que

•+00

T 1^1 Um \2dt ^ Const. pour tout 7 > 0. (2.20)

—00

Avec (2.19) cela implique que

la suite Um reste dans un ensemble borne de /H (JR, V^H). (2.21) Pour prouver (2.21) on observe que Um a- deux points de discontinuite 0 et T done

-^um(t) = U'^(t) + UQmSo - Um(T)8T,

et par suite (2.13) peut s'ecrire

d . ~

-j-(Um,Wj) =< fm.Wj > -}-(uom,Wj)So - (Um(T), W^JT, J = 1, ... ,m (2.22) ou 60, ST sent respectivement les distributions de Dirac en 0 et T, fm = / — wAum — Bum et fm = fm dans [0,T] et 0 ailleurs. La transformee de Fourier de (2.22) nous donne

2%7rr(um, Wj) =< /m, ^ > +(^0m, ^j) - (^m(/T), Wj)exp(-2i7TTr), (2.23)

ou Um et fm sont respectivement les transformees de Fourier de Um et fm- Multiplions (2.23) par gjm(T) (transformee de Fourier de gjm) et additionnons les equations pour

j = 1,... ,m; on aura

2a'7rr| Um(r) | =< fm(r),Um > +(^om,Um(T)) - (umC?1),^mO'))ea;p(-2%7TTT). (2.24)

A cause de Pinegalite (2.6) et Ie fait que Poperateur A est continu de V dans V on a

/ 11 Ut} \\v, < ^ (|| /(t) \\y, + W|[ U»(t) U^, + CU u^(t) \\^]dt; (2.25)

or V est dense dans L , done || y? \\^ < || ^ ||y Vy? € V d'ou || y ||y/ < || (^ \\^ et done

avec (2.18) et (2.19), (2.25) nous permet d'afBrmer que fm € L (0, T, V')\ ce qui implique que

Sup || fm(T) \\v' ^ Const, Vm.

ren Par (2.17) on obtient que:

'"m(O) |< const, I Um (T) \< const,

et on deduit de (2.24) a la fois

r | | Um(r) | < C2|| Um(T) ||^i + csl Um(r)

et, comme on a une injection continue de Hl dans I/2,

D'apres Ie lemme precedent on a pour 7 fixe, 0 <7 < 7, que

IT12^c61+l+rll^>'vr€'t-Done on aura que

I r |27| ".(r) |2dr < c^) f^ ^ ^ T^ \ u^(r) \ldr

'-00 • • ... . J_QQ ^ _j_ j

^-et par (2.26) ^-et Ie fait que Pinjection de H1 dans L2 est continue, on aura

f+°° I r 1^1 u^frl \2dr < c. l^ ^un(TnH\dr + c. F00 ll u^r\ II2., dr.

_{T I 'I ^m^J | OT ^:C6 / , . , iCl-2-v1ar + C7 / || ^m^T^ H^iGT.}

—oo J —oo 1 -I- T " n J—oo

Par 1 inegalite de Schwarz

/r JJr??fe* < (/-: (T^^)! (r > "-<•> '^-)' <""

a cause de (2.19) et 0 < 7 < -. D'autre part par 1'egalite de Parseval: 2 r1 2

Um(r) \\nidr = / II Um (t) \\H^i < Const.

-co " JO

Ainsi la demonstration de (2.20) et (2.21) est achevee.

(2.18) et (2.19) nous permettent d'affirmer qu'il existe un element u € L (0,T,V) D LOO(o,T,^f) gt une sous suite Um' tel que:

Um' ~. —~~f U faiblement dans L (0,T, V),

et *-faiblement dans LOO(0,T,H) (voir [3])

D'autre part (2.19) nous donne que ||^m/||%'y(J?,y,j:f) est bornee et done, par Ie theoreme de compacite, 11 existe une sous-suite Um" de Um' telle que

um" -, — -^ udans L2(0,T,H) fortement. (2.28)

m"—>+cx>

(2.28) et (2.27) nous permettent de passer a la limite.

En efFet, soit ip une fonction continument diiTerentiable sur [0,T] avec ^(T) = 0.

On multiplie (2.13) par ^(t) et on integre Ie premier terme par partie, ce qui nous donne:

(u^(t)^'(t)wj)dt-}-w I ((u^(t),Wj^(t)))dt-^- I b(u^(t),u^(t),w^(t))dt

Fo Jo - ^Q

= (Uom^Wj)^(O) + / < f(t), Wj^(t) > dt.

'0 Par (2.27) on a que:

(u^(t)^f(t)w,)dt _——^ /_ (^),^)w,-)^

VQ '•"'•'•• '/ •" m"—>-+oo JQ et

((u^(t),w^(t)))dt _—^_ /_ ((u(^),w^(t)))^

IQ " '" ' '' " ' ' ' ' ' m"—>+oo JQ

D'autre part (2.28) nous donne que:

UQm" ———>• UQ forteraent dans L (0,T, J:f). Le lemme 2.2 nous donne que:

b(u^(t),u^(t),w^(t))dt _——> I b(u(t),u(t),w^(t))dt

'0 ' ' ' .,-,,, ^,,—^.^.oo JQ

Done par passage a la limite (2.13) nous donne:

(u(t),z^(t))dt^-w I ((u(t),z^(t)))dt-{-I b(u(t),u(t),z^(t))dt (2.29)

F0 JO JO

= (uo, ^(0) + /, < /(^), z^(t) > dt, (2.30)

_'0

pour tout z = Wi, W2,...; par linearite cette equation reste vraie pour z toute combinaison lineaire finie des Wj, et par continuite pour tout z € V.

distributions. Enfin il reste a verifier la condition initiale. Pour cela multiplions (2.4) par ^ et integrons. Apres integration du premier terme par partie on obtient:

(u(t),z^(t))dt-^-w I ((u(t),z^(t)))dt-{- I b(u(t),u(t),z^(t))dt

F0 JO JO

=KO),^(O)+ /_ <f(t),zW>dt.

_IQ Par comparaison avec (2.29) on aura:

(u(Q)-uo,z)^(0)=0.

On peut choisir '0 tel que ^(0) = 1; alors

(u(0)-uo,z)=0 V^GV,

et ainsi on a demontre (2.5). •

2.7 Lemme

Si n = 2 alors on a:

II"UL<(Q) ^ 24 Uf|H,(g)]|ffr^ fUi,(Q), Vt> 6 ffl(Q). (2.31)

Demonstration: Comme D(Q) est dense dans H1(Q) il suffit de montrer Ie lemmepour v 6 D(Q). Pour un tel v et en posant x = (a;i, 2:2)5 on EL

•a;l

v2(x) =2 / v(^i,a;2)-Div(^i,a;2)^i,

—00

et done v (x) <^ 2vi(a;2), avec

>+00

V^) = / I V(^,X-2) || Div^i^x^) I c^i.

—00

Done •+00

Vl(x2) < W^(^)\\DlV\\^^)

De meme v2(x) < 2^2(^1), avec •+00

V2(xi) = I | ^1,6) II D2V(XI,^) | ^1

—00 done •+00

^(a-l) <: W^]R2)\\D2V\\^^

et done

v (x)dx <: 4 vi(x'i)v^(xi)dx

H J K •+oo \ / r+oo

^ 4 ( / vi(x-2)dx^ ) ( / v-2(xi)dxi

'-oo / W-oo

^ 4\\v\\^H2)\\D^V\\Ln^)\\D^\\mie)

^ 2\\v\\2L2^2)\\9radv\\mH2y •

2.8 Lemme

Si n = 3 alors:

^

ML^Q) < 2' Ml.w\\9r^ f||i,(Q), V« € ffl(Q). (2.32)

Demonstration: II suffit de prouver Ie lemme pour v € D(Q). Pour un tel v, et en notant cette fois x = (^1,3:25^3)5 on a Par application de (2.31):

done

. v\x)dx ^ 2 ( Sup 1^ v2dx,dx^ } ( ^ UA^H^^) ) . (2.33)

In3" v~/~~ - - \xs(=R ^2 ^ "7 VS Mais •a?3

V2(x) = 2 / v(xi,X2,(3)D3v(xi,X^^3)d(3

-00 •+00

^ 2 / | v(xi,X2,(3) | | D^v(x^x^^) I c^3

—00 et done

v2dxidx-2 < 2 / „ \v\\ DQV \ dx

xseR^n2 ' ' ' - JRS

< 2\\v\\m]R3)\\D^\\L^K3r

Avec cette inegalite on deduit de (2.33) que:

2

v4(x)dx <: ^v\\^^\\D3V\\L2(^)[Y,\\DiV\^^

>t=l '_L ..„ \j

^ 4|H|y^.)(^H£>.<.(rf)i

<t=l

< ^\\v\\L^]R3)\\9rad V\\L^(Q)' •

2.9 Theoreme

Si n = 3, la solution u donnee par Ie theoreme 2.5 et qui verifie (2.7)- (2.9) satisfait a:

zz€Lt(0,r,L4(0)) (2.34)

et

u' €2^(0,r,y/). (2.35)

Demonstration: D'apres (2.32) on a que

IHI^(Q) < ^ Ht.(Q)\\9rad u\\^ \/u e H1(Q),

or on a une injection continue de H (Q) dans L2(Q)^ et done on aura

1 3

IHI^(Q) ^ co|lnlll2(Q)l|5fr^^||^l(Q)

et comme Ie gradient est continu de H1(Q) dans L2(Q) on obtient que:

1 .. .3.

\\U\\L4(Q) <Cl\u(t) |?|K^)||^(Q).

8

La fonction a droite appartient a Z/t(0,T); en efFet

^ (I u(t) \^\u(t)\\^dt = ^ I «(f) |^«(t)||2A

< Sup \ u(t) |t /- \\u(t)\\2dt < +00

10

t€[0,T]

(2.36)

d'apres (2.18) et (2.19).

L inegalite de Holder nous donne que:

UiDiVjWi \^p < | Ui \^ | DiVj \^ | Wi 1^3, avec ^=— +^-+— <1 P 9l ^2 ^3

et done si on prend q^ = gg = 4 et ^ = 2 et en utilisant Ie fait que la derivee est un

operateur continu de H {Q) dans L2(Q) on obtient:

UiDiVjUi |^i^ = | UiDiVjUi \< C2\\u\\L4^\\v\\, Vu,u € V.

(2.37)

Cela entrame

II s ensuit

d'ou

\\Bu(t}\\y, $ c,U<<«3)

< c^u(t)\^\u(t)^

\\Bu(t)\\^,dt ^ eg /~ | u(t) \f\\u(t)fdt

'0 JO

.2 rT

< C3 Sup | U(^) |^ / ||u(^)||

_'0

t€[0,T]

et done si u € L2(0, T, V) H Loo(0, T, H) alors Bu € L^ (0, T, VQ.

2.10 Theoreme cPunicite

Si n = 3, il existe au plus une solution du probleme 2.2 satisfaisant

u^L2(0,T,V)r\LOO(0,T,H)

et

u^LS(^T,L4(Q)).

Demonstration: Par 1'inegalite de Holder on a:

b(u,u,v) \< co|H|^(Q)IH|^(Q)IH|,

en utilisant (2.32), on a

1 . .3

b(u^u,v) \< Ci\\v\\^4(Q^\ u |41 grad u |?||

41

u\

(2.38)

et comme on a une injection continue de H (Q) dans L2(Q) et que Ie gradient est continu

sur H (Q) on obtient que:

b(u,u,v) \< c\ u \4\\u\\4\\v\\^(Q). (2.40)

Supposons que u\ et Uy, sont deux solutions de (2.7)-(2.9) qui satisfont (2.38)-(3.9) et soit

u = ui — u-2. Done u verifie

u' + wAu=-Bui + Bu2 (2.41)

u(0) = 0;

en faisant Ie produit scalaire de (2.41) avec u(t), on obtient:

^| u(t) \2-^2w\\u(t)\\2 = 26(^W^^))-26(zzi%,ui(^),^))

= 2b(u^(t), u^(t), u(t)) - 2b(u^(t), u,(t), u(t))

+2b(u^(t), u^(t), u(t)) - 2b(u,(t), ui(t), u(t))

= 2 [-b(u^(t), u(t), u(t)) - b(u(t), ui(t), u(t))]

= 2b(u(t), u^(t), u(t)) + 2b(u(t), u(t), u^t))

-{2b{u(t),ui(t),u{t))

= 2 [-b(u(t), u(t),u(t)) + b(u(t), u(t), u,(t))]

= <2b(u{t),u(t),u,(t)).

Et d'apres (2.40) on aura

d

2 i n_..tl _ ./_i\ lt2

^\u(t)^+2w\\u(W < 2c|»(t)|t||u(<)?,(t)H^)

la deuxieme inegalite est obtenue en appliquant Pinegalite de Young, ( ab <: eap + Cebq ou e est une constante positive, Ce une constante qui depend deget -+-=1)5 pour

P q

p = — et q= S). On obtient done

j^\u(t) r <c^\u(t) HM^ll^.

_dt'

I8 L4(Q)

Puisque la fonction i \ — > \\U2('t')\\L4(Q) est integrable on a:

d

dt

u(t) \2exp[-c<2 ^\\u^(s)\\s^^ds) -C2\u(t) \2\\u^(t)\\8^^exp [-02 ^ U^OO |ll^c?s) <0

d'ou

^ [exp {-c,j< \\u^)\\t.^) | u(t) |2} < 0

Integrons entre 0 et t en tenant compte de u(Q) = 0, on aura

u(t) |2 <o, Vfe [o,r].

Alors

Ui = U2,

et la solution est unique. •

2.11 Lemme

Si u € V D (H2(Q))3, alors Bu e H C {L2(Q))3 et

Bu \< C2|Hp| Au |i. (2.42)

Dem: On salt par Pinegalite de Holder que si fi G L , V% = 1,... , n, et f = ,1/2 . • • /n

alors ||/||^p < \\fi\\^ \\h\\Lq^ • •' \\fn\\L^ avec ^=— +— +...+—. Appliquons cette

P qi Q2 qn

43

inegalite pour q^ =6, q^ = 4, ^g = 12 et 94 = 2

I / UiDiUjVjdx | ^ / \ Ui | | A'^j |21 DiUj |2 | v, | dx

1 1

2_ I H.vi . |2 _ . | ,,.

ui lL6(Q)l uiu3 lL2(Q)l IytuJ lL6(Q)l UJ

lL2(Q)-Comme on a une injection continue de H1(Q) dans L (Q) et que 1'operateur D, est continue de H (Q) dans Hk~l(Q) avec k G N on aura

UiDiUjV^

dx |^ CQ\ Ui

_{fl-l(Q)l ^iu3 \H^(Q)\ U3 lL2(Q)?}DiU V,

done

3 1

b(u,U,v) \< C6\\U\\^\\U\\^Q^ I V

Ainsi (2.42) est demontre.

2.12 Lemme

II existe une constante Ki(= ^63) qui depend de /, w, Q, T telle que

Ht)||2<2(i+M2)

pour

t $ Ti(KII) =

_(i+W2)2'

Ki

Demonstration: Remplacons v par Au(t) dans (2.4)

Puisque

<Acfe^>=((^)) V<^€V,

il vient done

^\\u(t)\\2+w\Au(t)\2+b(u(t),u(t),Au(t)} = (f(t),Au(t))

< ^Au(t)|2+^]/(<)12.

II s'ensuit

^U"(t)112+|"'|Au(t)|2 < ^\f(t)\2+2c,\\u(t)^\Au(t)^

< l\f(t)\2+^\Au(t)^+c',\\u(t)\\e

w

(par Pinegalite de Young).

D'ou

^\\u(t)\\2 + w| Au(t) |2 ^ ^| /(<) I2 + C3|Kt)||6.

(2.43)

Mais pour tout v C D(A) on a d'apres (1.7)

v = ^(3iWi, avec Aw» = \iW^fti € 1R

t=l et

A<,|2=E/3.^.;

i=l et m

l"112=((","))=<Af,t»=^/?.2A.

1=1

45

et done d'apres (1.8) on aura

v\\ < —=- I Av(t) \ Vi; € D(A),

^1

et done (2.43) devient

^Mt)H2+wAiMt)||2 $ ^| /(<) |2+c3|Kf)||6.

On obtient une inequation difFerentielle de la forme:

avec y(t) = 1 + \\u(t)\\ , 04

entre 0 et t et on aura

y' ^ c,y\

2

max ( Cg, — sup | f(t) | ) . Integrons cette inequation ^ t(=[0,T]

^^^ [c,dy

lo U3 ~ ~ Jo

..^ / y2(o)

y'^i ^ i _ 2^(o)c<t

comme y(t) > 0 \/t € [0, T] on obtient done

y(t)^

S/(0)

^/l - W(0)c^t

avec t < ^ ,,7^ , ? et alors

2?/2(0)c4:

Mt)||2<2(i+w2)

pour

0 <t <

_2\2

sc4(i + Kin

2.13 Theoreme

Soient UQ et jf tels que

ua^V,f€L°°(O^H),

il existe T^ = T^(uo) = min (T,ri(||uo||))5 avec ri(||uo||) donne par Ie lemme precedent,

est tel que, dans [0, T^] il existe une unique solution (forte) du problerae 2.2 avec

u^L2(0,T^D(A)), ufeL2(0,T^H).

Demonstration: Considerons encore la methode de Galerkin utilisee dans la demonstra-tion du theoreme 2.6 . Cette fois les wj sont les foncdemonstra-tions propres de A, et done veriflent

(1.7).

D'apres Ie lemme precedent on a (en supposant que T\ < T)

sup H^)H2<J<2=2(l+||tZoH2).

*€[0,Ti] Done

Um reste dans un ensemble borne de L°°(0, T*; V). D'autre part d'apres (2.43) on a

Aum(t) \2dt < ^ f|H|2 + 2- / I f(t) \2dt + 4^) . (2.44)

'o w \ •• •• w Jo

D'apres (1.6) et Ie fait qu'on a une injection continue de L2(Q) dans H~ (Q) on obtient

HI(fl-2(Q))3 ^ co|l^ull(fl--2(Q))3 < CQ | AU |;

on deduit done que

Um resie dans un ensemble borne de ^2(0,T+; (H2(Q))3).

47

En suivant Ie meme processus que lors de la demonstration du theoreme 2.6, on conclut de Pexistence d'une unique solution faible du probleme 2.2. De plus d'apres (2.44)

Au € 2.2(0, T^ H) et par (2.42) Bu <E ^4(0, T*; J?) et done par (2.8) u' = / - Au - Bu €

CHAPITRE 3

Regularite des solutions

3.1 Inegalites de Penergie et consequences.

3.1.1 Lemme: (inegalite d'interpolation)

Si mi,m2 € 1R, mi < mz et 0 €]0,1[ alors

u l(l-0)mi+0m2 < I u Imi(1-0) ^IL Vu€^m2, mi<m2.im2

Demonstration: L inegalite de Holder discrete nous donne

lE°i^(El».T)' (El<>.

z-^i t

Et done pour p= — eip = on aura 1 —

^ ^ |2((1-^+^)^^2 < ( ^ |fc

A;ez3 Vfcez3 (1-0) |2mi | .. |2 Uk A;€Z' et done

Elfc

<fc€Z3 2m,2 Uk u _{l(l-6>)mi+6lm2 -^} u 1(1-^)1_mi u ₇₇₁₂

49

3.1.2 Definition

On definit 1 espace Vr, pour tout r € 2R par:

Vr = {V € ?(Q))3 : div t; = 0}.

3.1.3 Lemme

Si u est solution du probleme 2.1-2.2, alors pour chaque t > 0 et pour tout r > 1,

^| u(t) \^ + w\ u(t) |^, < £.(1 + | u(t) |; | u(t) IT^TT)

(3.1)

ou la constante Lr depend de w,Q et Nr-i(f) = | / lL°°fo,T.y.-i^' De plus, pour tout r ^ 3, on a

^ I u(t) ^ + w\ u(t) \^ <, L[(l + \ u(t) \y^1 (3.2)

ou L' depend de w,Q et Nr-i(f).

Demonstration: i) En Faisant Ie produit scalaire dans H de (2.8) avec Aru, on obtient

1 d

2dt

u |^ + w| u |^i = (/, u)r - (Bu, Aru).

En choisissant 1 operateur Au = —Au, on aura

l^i i2

2rftlu^+u)

2r+1 ={f,u),-(-l)rb(u,u^ru).

Le premier terme (f,u)r est majore (lemme 3.1.1) par

I/(<) LJ »(<) 1^ < ^1 "(<) 1^ + ^-i(/)2.

Le second terme b(u,u^ru) est la somme d'integrales du type

u,DiUj^Uidx ou / UiDiUjD^alD^a2D^ot3Ujdx, ai € N, o'i +^2 +0:3 = r.

(3.3)

On integre par partie en utilisant la formule de Stokes [4]; les termes de la frontiere s'annulent entre eux a cause de la periodicite de u, et on aura des integrales de la forme

Da(uiDiUj)DolUjdx, Da = D^D^D^3. IQ

Avec la formule de Leibniz, on observe que ces integrales sont la somme d'integrales de la forme UiDi(DaUj)DaUjdx, IQ et d integrates de la forme SkUiSr~kDiUjDau^ k = 1,... , r,

Q

ou Sk est Pun des operateurs Dot avec [a] = [(o'i, Q'2? o's)] = Q'I +o/2 +0:3 = A;. La somme des integrales (3.5) est egale a

< f^Ui,Di(DaUj)DaUj > = ^ < ^Ui,Di {(Dau,)2) >

t=l "' 1=1

= -i<E^."i,(CD°".)2)>

t=l

= -^< div u, ((Dauj)2) >=0.

(3.5)

(3.6)

II reste alors les integrales (3.6) a majorer.

ii) Preuve de (3.1). Par Finegalite de Holder (^ =8,92 = 6,^3 = 2) on obtient

J 8kUi8r-kDiU,Dau, \< | Skui(t) |^(Q)I Sr+l-kuj{t) |^(Q) | ^au(^) | .

D'apres Ie theoreme d'injection de Sobolev on a une injection continue de H (Q) dans

L6(Q) et de H^(Q) dans L3(Q), et comme 1'operateur D0' est continu de Hk(Q) dans

H (Q) on aura

^".(t) \V(Q)\ 5r+l-kU,(t) \^Q) I Dau(t) \< c'i| u(() l^^l u(t) |,^_J u(t)

51

ou c[ depend de fc, r, Q.

k 1

Appliquons alors 1 inegalite d interpolation avec mi = l,m2 =r+l,0=— — —, r

-[

(1 — 0)m\ 4- Orn'2 = k + ^, puisque ^ = 1 — , (1 — 0)m\ + ^2 = r + 2 — fc, pour r

obtenir

u(t) \k+i < I u(t)

u

(t)

fc_J_r 2r

r+1

fc-1 _1-I^li

u(t)\^_^\u(t)\,f~\u(t)\^r

Done les integrales du type (3.6) sent majorees par

c',\u(t)\\~*\u(t)\^\u(t)

(3.7)

L'inegalite de Minkovski [3] entraine

b(u, u, Aru) | ^ 63! u{t) |}-2r | u(^) \l^fr \ u(t) |,

< ^l"(t)l?+l+^l"(t)l?l"(t)l5J"T

Cette relation avec (3.3) et (3.4) nous donne (3.1).

iii) Preuve de (3.2). Majorons 6(u,u,Aru) d'une maniere diflFerente. On a

1-L

\^)\r<^\u(t)\{\u(t)\^

par application de linegalite d interpolation avec mi = l,m2 = m -{- 1,0 Pinegalite (3.7) nous donne

l-^;

_r

b(u,u,Aru)\ < cfe\u(t) \[+2r\ u(t)

''~^r

r+1

w

< Tl^) 1^1 +41^)

4r+2

3.1.4 Lemme

i) S'l UQ € Vr et / € LOO(0,T;Vr_i), r ^ 1, alors la solution u du probleme 2.2 donnee par Ie theoreme 2.13 appartient a C'([0,T*]; Vr).

ii) Siuo € Vei / € Loo(0, T; Y.-i), r > 1, alors u € C([0, T,]; V,).

Demonstration: i) Nous allons d'abord montrer que u appartient a 7yoo(0,T*; Vr). Pour cela il suffit de montrer que Papproximation de Galerkin Um de u construite dans Ie chapitre 2 reste bornee dans L°°(0,r»; Vr) quand m tend vers 1'inflni. Faisant Ie produit scalaire dans H de (2.8) avec ArUm = (—l)ArUm

1 d

2^1U?

+ W\ Um |^ = (/, U^)r - (-l)rb(Um, U^, ArUm).

Cette equation est similaire a (3.3) et done exactement comme dans Ie lemme precedent, on a une expression analogue a (3.2):

^| Um(t) ^ + W| U^(t) 1^ ^ ^(1 + | U^(t) |0

2\2r+l 5

integrons entre 0 et t et utilisons Ie fait que u reste dans un ensemble borne de L2(0, T*; Z)(A))D

r°(0,r;y);onaura

Um(t) \2, < C[ + | u^(0) \2, pour 0 ^t < T,,

et en integrant entre 0 et T*, on aura

r-T*:*

Um(t) \r^\dt < ^2 + | ^rn(O)

Soit Pm la projection orthogonale dans H sur Wm (Wm est 1'espace engendre par les Wj). Pm est aussi une projection dans Vr, et

Um(0)

PmUQ \r <|UQ r?

et done Um reste dans un ensemble borne de LOO(0,T*; Vr) et L (0,T»; Vr-n) et

u € L00 (0, T.; Vr) 0 L2 (0, T.; Vr+,) (3.8)

ii) Pour UQ € V, on observe que la solution u du probleme 2.2 appartient a L (0, T»; D(A)). Alors u(t) € D(A) = Vr presque partout dans (O,T>|,), et on peut trouver t^ petit tel que

u(ti) C V2. D'apres i) on a que u € C([t^T^],V2) H L (t^T^Vs). De meme, u^) € Vs

pour t-2 € [ti, T*], t2 tres proche de ^i, et u € Cr([f2, T*], ^s) H ^2(^2, ^5 ^4). Par induction on arrive a u € C([tr^,T^],Vr) D L (tr-i^T^ Vr-i) et, puisque tr-i est proche de 0, Ie result at est prouve. •

3.2 Structure de Pensemble singulier de la solution

faible

3.2.1 Definitions

Soit m > 1. On dit que la solution u du probleme 2.1-2.2 est (I:fm)3-reguliere dans

Pintervalle (t^t^) (0 <: ti ^ t^) si u € ^((^2), (Hm(Q))3). On dit qu'un intervalle

de (Hm) -regularite (^1,^2) est maximal s'il n'existe pas d'intervalle de (7:fm)3-regularite plus grand que

(^1,^2)-L'existence locale d'une solution (Hm) -reguliere est donnee par Ie lemme precedent: si ^o € Vm et / C L (0,T; Vm-i)? alors il existe une solution (7:fm)3-reguliere des equations de Navier-Stokes definie dans (0,^o). Aussi si (^1,^2) est un intervalle de (J:fm)3-regularite maximal de la solution u, alors

lim sup | u(t) |^ = +oo. (3.9)

t-^t^

En effet, si

lim sup | u(t) | < +00 (3.10)

<->-<2~

alors u(t^) G (Hm(Q))3 et comme / € Loo(0,r, (I7m(Q))3) on conclut (Tapres Ie lemme

prolonge-ment de u sur Pintervalle (^i, 60), et done (^1,^2) n'est pas un intervalle de J:Tm-regularite maximal de la solution u.

3.2.2 Theoreme

Supposons que UQ € H, f € Z/ (0,T; Vm-i)? m ^ 1, et que u est une solution faible des equations de Navier-Stokes (Probleme 2.1). Alors u est (Jfm)3-reguliere dans un ensemble ouvert de (0, T) qui admet un complement de mesure de Lebesgue nulle.

De plus, 1'ensemble de (-Hrr)3-regularite de u esi independant de r, c'est-a-dire que c'est

Ie meme pour r = 1,... , m.

Demonstration: Puisque u est faiblement continue de [0, T] dans H, u(t) est bien definie pour tout i et on peut definir

E. = {t€[0,T],u(t)^(Hr(Q))3},

ftr = {(€[0,T],u(t)€(ffr((3))3},

Or = {^(0,T),3£>0,u€C'((f-^+£);(ir(0))3)}.

C est clair que Or est un ouvert pour tout r.

Pour r = 1, puisque u € L (0,T,V), u(^) € (H1(Q))3 et done Si a une mesure de Le-besgue 0. Si to appartient a Hi et non a 0\ alors, d'apres Ie theoreme 2.13 , to est la borne gauche d'un intervalle de (7:fl)3-regularite, c'est-a-dire que c'est 1'une des composantes connexes de 0\\ alors Hi \ 0\ est denombrable et [0,T] \ 0\ a une mesure de Lebesgue nulle.

Le theoreme est prouve pour m = 1. Completons la demonstration en montrant que Om = Oi.

Si (^1,^2) est une composante connexe de 0\ (intervalle de (7:fl)3-regularite maximal), alors pour tout t[ dans cet intervalle, u(t[) € V et, d'apres Ie lemme 3.1.3, il existe une

unique solution (2:fm)3-reguliere deflnie dans un intervalle (t^t^)^t[ < t'^ <, ^2- Puisqu'on a unicite aussi pour la classe des solutions faibles cette solution coincide avec u, c est-a-dire, (^1,^2) es^ un intervalle de (Hm) 3-regularite de u. D'apres (3.2) si u est bornee dans V alors u reste bornee dans (Hm)3. Done, en utilisant Ie lemme 3.1.3 aussi, on a que t^ = ^2? et puisque t[ est proche de ^i, (^1,^2) est un (^Tn)3-intervalle de regularite. Ceci prouve que Om = 0\^ et Or = 0i, r = 1,... , m — 1. •

3.3 Estimation a priori

3.3.1 Theoreme

Soient UQ € H, f € ^ (0, T; Vm-i) et u une solution faible des equations de Navier-Stokes (Probleme 2.1). Alors u satisfait a

rT

ueL°'(0,T;H;(Q)), f|u(t)|^t$

'0

(3.11)

r = 1,... , m -f-1, ou les constantes Cr dependent de w, Q, UQ, /, et les o'r sont donnes par

2

Or =

2r-l

Demonstration: i) Soit (si^ti), i € N, les composantes connexes de Oi, qui sont aussi des intervalles de I:fm-regularite maximaux de u.

Dans chaque intervalle (,Si,^), les inegalites (3.1) sont satisfaites, r == 1,... ,?TI, et done

d

^| u(t) ^ + w| u(t) |^ < Z,,(l + | u(t) |0(1 + | u(t) 1^)^).

_dt

On deduit

dt

u(t)

_{-2— + VD-} u

w

r+1