TP04

1èreS - TP04: Calculatrice - Variations de fonctions

L'objet de ce TP est l'étude des variations de la somme de deux fonctions monotones.

Définition:

Dire que la fonction

f

est monotone sur l'intervalle I signifie que

f

varie toujours dans le même sens sur I: elle est toujours croissante, ou toujours décroissante, ou toujours constante.

1. Tracer les courbes.

Faites afficher les représentations graphiques des fonctions

f

et

g

définies par:

f x

( )

=

x

et

g x

( )

1

x

=

. Dans un premier temps, on ne s'intéresse qu'aux valeurs positives de

x

(régler la fenêtre d'affichage en conséquence).

2. Conjecturer.

a) Les fonctions

f

et

g

sont-elles monotones sur l'intervalle ]0;+∞[ ?

... ... b) Faites afficher maintenant la fonction

h

définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par

h x

( )

x

1

x

=

+

, c'est-à-dire

( )

( )

( )

h x

=

f x

+

g x

. La fonction

h

est appelée somme de

f

et de

g

. Elle peut être notée

f

+

g

. La fonction

h

semble-t-elle monotone sur ]0;+∞[ ?

... ... c) Observez les variations des fonctions

f

,

g

et

h

sur l'intervalle ]-∞;0[ (il faut donc changer la fenêtre d'affichage), et rassemblez vos résultats dans la tableau de variations ci-dessous:

x

_{-∞ +∞}

( )

f x

( )

g x

(

f

+

g x

)( )

d) Après avoir effacé les courbes précédentes, faites afficher les représentations graphiques des "nouvelles" fonctions

f

,

g

et

f

+

g

, définies sur l'intervalle [0;+∞[ par:

f x

( )

=

x

2,

g x

( )

= −

x

et

(

f

+

g x

)( )

=

x

2

−

x

.

Etudiez les variations de ces trois fonctions sur l'intervalle [0;+∞[ , puis sur ]-∞;0] et rassemblez vos résultats dans le tableau ci-dessous:

x

_{-∞ +∞}

( )

f x

( )

g x

(

f

+

g x

)( )

e) Quelles conjectures sur la monotonie de la somme de deux fonctions pouvez-vous émettre? ... ... ... ...

3. Démontrer.

a) Soient

f

et

g

deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle I.

Soient a et b deux nombres tels que a < b. Traduisez la croissance de

f

et

g

(utiliser la définition 3.4 du cours). Enoncez la propriété établie.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... b) Que se passe-t-il si l'on remplace l'hypothèse "

f

et

g

croissantes" par "

f

et

g

décroissantes"?

Enoncez la propriété établie.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... c) Expliquez pourquoi vous pouvez affirmer que l'énoncé suivant est faux:

"La somme de deux fonctions monotones sur un intervalle I est une fonction monotone sur I"

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

4. Application.

a) Etudiez, par le calcul et sans représenter graphiquement les fonctions dans un premier temps, les variations: - de la fonction

f

définie sur l'intervalle [0;+

- de la fonction

g

définie sur l'intervalle ]1;+

On pourra considérer chacune de ces fonctions comme la somme de fonctions plus "élémentaires". ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

x

_-∞

( )

f x

( )

g x

b) Vérifiez vos résultats en représentant à la calculatrice les fonctions en choisissant une couleur pour la représentation graphique de

Etudiez, par le calcul et sans représenter graphiquement les fonctions dans un premier temps, les variations: définie sur l'intervalle [0;+∞[ par

f x

( )

=

2

x

+ +

1

x

définie sur l'intervalle ]1;+∞[ par

( )

1

1

g x

x

x

=

−

−

.

On pourra considérer chacune de ces fonctions comme la somme de fonctions plus "élémentaires".

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Vérifiez vos résultats en représentant à la calculatrice les fonctions

f

et

g

, tracer l'allure des graphes ci en choisissant une couleur pour la représentation graphique de

f

et une autre pour celle de

Etudiez, par le calcul et sans représenter graphiquement les fonctions dans un premier temps, les variations:

On pourra considérer chacune de ces fonctions comme la somme de fonctions plus "élémentaires".

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... +∞

, tracer l'allure des graphes ci-dessous et une autre pour celle de

g

.

1èreS - TP04: Calculatrice, variations de fonctions - CORRIGE

1°) Saisie des fonctions, affichage des graphes.

Touche "

f x

( )

" (ou "Y=") dans le menu supérieur; entrer, devant "Y

1

=", l'expression de la fonction

f x

( )

(taper "X"

via la touche "

x t

, , ,

θ

n

", et devant "Y

2

=", celle de la fonction

g x

( )

.

Puis touche "graphe" pour afficher les graphes, changer les paramètres de la fenêtre (touche "fenêtre") si

nécessaire, en particulier si on ne veut que les valeurs positives, on peut prendre Xmin=0 et Ymin=0.

2°) Conjecture.

a) La fonction

f x

:

֏

x

est monotone croissante sur

ℝ

*₊

;

la fonction

g x

:

1

x

֏

est monotone décroissante sur

ℝ

*₊

.

b) On tape l'expression de h dans l'environnement "

f x

( )

" (ou "Y="), puis on affiche avec "graphe".

La fonction

h

ne semble pas monotone sur

ℝ

*₊

: elle semble décroissante jusqu'à environ

x =

1

, et croissante

ensuite.

c) On change les paramètres dans l'environnement "fenêtre" (ou "window"): on peut prendre par exemple les

d) On suit le même protocole que pour la question 1:

D'où les tableaux de variations:

e) Conjectures:

La somme de deux fonctions monotones sur un intervalle n'est pas nécessairement monotone sur cet intervalle.

Si elles sont monotones et de même sens de variation, il est possible que leur somme soit monotone et ait elle aussi

le même sens de variation.

3°) Démonstration.

a) Somme de deux fonctions croissantes.

Soient donc I un intervalle,

a

et

b

dans I tels que

a

<

b

, et

f

et

g

deux fonctions définies et croissantes sur I.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)( ) (

)( )

( croissante)

(g croissante)

f a

f b

f

a

b

f a

g a

f b

g b

f

g

a

f

g

b

g a

g b

<



<

⇒



⇒

+

<

+

⇒

+

<

+

<



,

c'est-à-dire que la fonction

f

+

g

est croissante sur I.

Pté 1: La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle est croissante sur cet intervalle.

b) Somme de deux fonctions décroissantes.

Soient donc I un intervalle,

a

et

b

dans I tels que

a

<

b

, et

f

et

g

deux fonctions définies et décroissantes sur I.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)( ) (

)( )

( décroissante)

(g décroissante)

f a

f b

f

a

b

f a

g a

f b

g b

f

g

a

f

g

b

g a

g b

>



<

⇒



⇒

+

>

+

⇒

+

>

+

>



,

c'est-à-dire que la fonction

f

+

g

est décroissante sur I.

Pté 2: La somme de deux fonctions décroissantes sur un intervalle est décroissante sur cet intervalle.

Finalement, on a:

Pté 3: La somme de deux fonctions monotones de même sens de variation sur un intervalle est monotone et de

même sens de variation que celles-ci sur cet intervalle.

c) En revanche, la somme de deux fonctions monotones de sens de variation différents n'est pas nécessairement

monotone, on en a vu un contre-exemple à la question 2°b. (je rappelle qu'un contre-exemple suffit pour démontrer

4°) Applications

a) La fonction

f x

:

∈

[0;

+∞

[

֏

f x

( )

=

2

x

+ +

1

x

est la somme de deux fonctions (

x

֏

2

x +

1

_et

_x

֏

_x

)

croissantes sur

ℝ

₊

, donc

f

est croissante sur

ℝ

₊

.

La fonction

x

∈

]1;

+∞

[

֏

x

−

1

est croissante et de signe constant strictement positif sur

]1;

+∞

[

; sa composée par la

fonction inverse est donc décroissante sur

]1;

+∞

[

.

Ainsi, la fonction

:

]1;

[

( )

1

1

g x

g x

x

x

∈

+∞

=

−

−

֏

est la somme de deux fonctions (

1

1

x

x −

֏

et

x

֏

−

x

)

décroissantes sur

]1;

+∞

[

, donc

g

est décroissante sur

ℝ

₊

.

b) Représentations graphiques: