Université de Rennes 1 2011-2012
Magistère de mathématiques L3-Topologie
Feuille 1 :
Espaces topologiques et espaces métriques
Exercice 1. Opérations ensemblistes : Pour un ensemble X, on note P(X) l’ensemble de ses parties, pour A ⊂ X on note{XA son complémentaire dans X et pour un autre ensemble Y
on note F (X, Y ) l’ensemble des applications de X dans Y .
1. Soit (Ai,j)(i,j)∈I×J une famille quelconque (au sens ou aucune hypothèse n’est faite sur les cardinaux des ensembles I et J ) de P(X), montrer les relations
[ i∈I \ j∈J Ai,j ⊂ \ j∈J [ i∈I Ai,j ! = [ f ∈F (J,I) \ j∈J Aj,f (j) . Donner un exemple ou l’inclusion est stricte.
2. De l’égalité, déduire qu’une intersection finie d’unions peut s’écrire comme union d’inter-sections finies.
3. Pour une famille quelconque (Ai)i∈I de P(X), montrer les relations
{X [ i∈I Ai ! =\ i∈I {XAi et {X \ i∈I Ai ! =[ i∈I {XAI . 4. Écrire S i∈I T j∈JAi,j
comme une intersection d’unions. En déduire qu’une union finie d’intersections s’écrit comme une intersection d’unions finies.
5. Soit f une application de X dans Y . Montrer que pour des familles quelconques (Ai)i∈I
de P(X) et (Bi)i∈I de P(Y ) on a : f [ i∈I Ai ! =[ i∈I f (Ai) et f \ i∈I Ai ! ⊂\ i∈I f (Ai) ; f−1 [ i∈I Bi ! =[ i∈I f−1(Bi) et f−1 \ i∈I Bi ! =\ i∈I f−1(Bi) .
Donner un exemple d’inclusion stricte pour la deuxième relation. En déduire que le passage au complémentaire se comporte bien avec l’image réciproque f−1(B) mais pas toujours avec l’image f (A).
6. Dans le cadre de la question précédente, donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que l’image ait les mêmes propriétés que l’image réciproque.
Exercice 2. Dans Rn, calculer en fonction de la dimension n la longueur de la diagonale de l’hypercube de côté 1 pour les distances d1, d2 et d∞.
Exercice 3. Lesquelles des fonctions suivantes donnent une métrique sur R ? d1(x, y) = (x − y)2 d2(x, y) = |x − y|1/2
d3(x, y) = |x − 2y| d4(x, y) = |x2− y2|.
Exercice 4. Soit (E, d) tel que E contient au moins deux points. Est-il possible que les seuls ouverts soient E et ∅ ?
Exercice 5. Soit (X, d) un espace métrique.
1. Soit ϕ : R+ → R+ une fonction croissante s’annulant uniquement en 0 et sous-additive,
i.e. vérifiant :
∀u, v ∈ R+, ϕ(u + v) ≤ ϕ(u) + ϕ(v).
Montrer que ϕ ◦ d est une distance sur X. Vérifier que d et ϕ ◦ d sont métriquement équi-valentes si il existe une constante C > 0 telle que C−1u ≤ ϕ(u) ≤ Cu, et topologiquement équivalentes si ϕ est continue en 0.
2. Étudier les cas ϕ(u) = inf(1, u), ϕ(u) = 1+uu .
Exercice 6. Distance dp sur Rn pour 1 ≤ p < ∞ : On va établir en plusieurs étapes que la quantité kxkp = (Pn
i=1|xi|p)
1
p définit une norme sur Rn.
1. Montrer que pour a, b ∈ R+ et 1p +1q = 1 on a
ab ≤ 1 pa
p+1
qa
q.
(Indication : On pourra utiliser la convexité de la fonction x → ex. ) 2. Inégalité de Hölder : Pour (a1, . . . , an), (b1, . . . bn) ∈ Rn, montrer
n X i=1 aibi ≤ n X i=1 |ai|p !1p n X i=1 |bi|q !1q avec 1 p + 1 q = 1. (Indication on pourra d’abord montrer l’inégalité dans le cas oùPn
i |ai| p =Pn i=1|bi| q = 1.) 3. Inégalité de Minkowski : Pour (a1, . . . , an), (b1, . . . , bn) ∈ Rn montrer
n X i=1 |ai+ bi|p !1p ≤ n X i=1 |ai|p !1p + n X i=1 |bi|p !1p .
(Indication écrire |ai+ bi|p≤ |ai+ bi|p−1(|ai| + |bi|).)
4. En déduire que k kpest une norme sur Rn. Vérifier que toute ces normes sont équivalentes. Exercice 7. Pour un corps K on note K[[X]] l’espace vectoriel des séries formelles c’est à dire l’ensemble des suites à valeurs dans K et on rappelle que l’ensemble K[X] des polynômes est le sous-espace vectoriel des suites s’annulant à partir d’un certain rang. Pour une série formelle a = (an)n∈N, on note v(a) le plus petit entier k tel que ak6= 0 (v(a) s’appelle la valuation de a).
1. Montrer que la quantité d(a, b) = e−v(b−a) (où l’on convient que e−∞ = 0) définit une distance sur K[[X]]. On vérifiera en fait l’inégalité ultramétrique
d(a, c) ≤ sup {d(a, b); d(b, c)} , ∀a, b, c ∈ K[[X]] qui entraîne l’inégalité triangulaire.
2. Montrer que K[X] est dense dans K[[X]] et justifier l’écriture a =P∞
n=0anXn.
Exercice 8. Soit (X, T ) un espace topologique. Montrer l’équivalence entre les propositions suivantes :
1. Tout singleton est un fermé de X.
2. Pour tout couple de points de X, il existe un voisinage de l’un qui ne contient pas l’autre. 3. Pour tout point x ∈ E, {x} est l’intersection de tous les voisinages de x.
Exercice 9. Montrer que si l’espace topologique (X, T ) est séparé alors tout singleton {x} est fermé et peut s’écrire comme l’intersection de tous les voisinages de x.
Exercice 10. Sur Rn, on considère la topologie Tf dont une base de fermés est formée des singletons de Rn. Décrivez tous les fermés de (Tf), tous les ouverts, tous les voisinages. La
topologie Tf est-elle séparée ?
Exercice 11. On pose : A = {(−1)n+ 1 n, n ∈ N ∗} et B = 1 p + 1 q, (p, q) ∈ (N ∗ )2 . Déterminer les adhérences dans R de A et B.
Exercice 12. Lesquels des sous-ensembles suivants de R2 sont fermés ? 1. {(1/n, 0); n = 1, 2, . . .} ;
2. {(x, y); y = x2} ; 3. {(m, n); m, n ∈ Z}.
Exercice 13. Décrivez l’intérieur, l’adhérence et la frontière des sous-ensembles suivants : 1. (R \ Q) × R ⊂ R2;
2. (x, y), x2 ≤ y < x + 1 ⊂ R2;
3. (x, sin 1x), x > 0 ⊂ R2.
Exercice 14. Soit U = {(x, y, z) ∈ R3 : xz4 + yz − y > 0}. Pour z fixé, on considère : Az = {(x, y) ∈ R2 : (x, y, z) ∈ U }. On pose : A = {(x, y) ∈ R2 : ∃z, xz4+ yz − y > 0}. Montrer
que U et Az sont des ouverts de R3 et que A est un ouvert de R2.
Exercice 15. Montrer que dans un espace vectoriel normé, l’adhérence d’une boule ouverte B(x0, ρ), ρ > 0, est Bf(x0, ρ).
Exercice 16. Montrer que toute boule ouverte d’un espace vectoriel normé E est homéomorphe à E (Indication : considérer l’application x → 1+kxkρx .)
Exercice 17. Soit (X, d) un espace métrique et soir A ⊂ X, montrer l’équivalence (x ∈ A) ⇔ (d(x, A) = 0).
Exercice 18. Soit U un ouvert d’un espace métrique (X, d). Montrer l’inclusion U ⊂
◦
U et donner un exemple d’inclusion stricte.
Exercice 19. Démontrer que Rn\ {0} est homéomorphe à R∗+× Sn−1.
Exercice 20. Sous-groupes de (R, +) :
1. Montrer que les sous-groupes de (R, +) sont de la forme aR pour a ∈ R ou bien qu’ils sont denses.
2. Soit r un irrationnel. Monter que Z + rZ est dense dans R.
3. En déduire que Z + rN est dense dans R.
4. En déduire que si a et b avec a 6= 0 sont tels que ab 6∈ Q, alors aN + bZ est dense dans R. 5. En déduire que {einθ, n ∈ N} est dense dans le cercle unité dès que πθ 6∈ Q (que se passe-t-il
dans le cas contraire ?).
6. Conclure que {sin(nθ), n ∈ N} est dense dans [-1,1].
Exercice 21. Soit (X, d) un espace métrique et soient A et B deux parties de X. Mon-trer que l’application : X → R qui à x associe d(x, A) est Lipschitzienne. En déduire que {x ∈ X d(x, A) = d(x, B)} est un fermé.
Exercice 22. Montrer que la sphère S2 moins 1 point est homéomorphe à R2.
Exercice 23. Soit f une application continue d’un espace topologique (X, T ) dans un espace topologique (Y, T0). Montrer que le graphe Γ = {(x, f (x)), x ∈ X} est homéomorphe à X. Exercice 24. On munit X = {0, 1} de la topologie discrète. Montrer que la topologie produit sur XI est strictement moins fine que la topologie discrète dès que I est infini.
Exercice 25. Soit f : R → R une fonction strictement croissante et on définit d : R × R → R par
d(x, y) = |f (y) − f (x)|
Montrer que d est une distance sur R. Etudier l’équivalence métrique et topologique avec la distance usuelle |x − y| dans les cas f (x) = x3 et f (x) = arctan(x).
Exercice 26. Soit (X, T ) un espace topologique.
1. Démontrer que si A est un ouvert de E on a pour tout B ⊂ E A ∩ B ⊂ A ∩ B.
2. Donner des exemples dans R, d’ouverts A et B tels que A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B et A ∩ B soient tous différents.
3. Donner un exemple de deux intervalles A et B dans R tels que A ∩ B ne soit pas contenu dans A ∩ B.
Exercice 27. Soit U et V deux ouverts d’un espace métrique E tels que U ∩ V = ∅. Prouver que
o
U ∩
o
V = ∅.
Exercice 28. Soit A une partie d’un espace métrique E. On note u(A) =
o
A et v(A) =A. Montrero que u et v sont des applications qui respectent l’inclusion, que u2 = u et v2 = v. Comparer A,o u(A), v(A), A.
Exercice 29. Soit E = {f ; f bornée sur [a, b]} muni de la topologie de la convergence uniforme. On considère un ensemble A ⊂ [a, b] et X = {f ; f
A= 0}. Montrer que la frontière de X coïncide
avec X.
Exercice 30. Soit f : (R, d) → (R, d0) (d distance grossière, d0 distance discrète) définie par x < 0, f (x) = −1,
x = 0, f (x) = 0, x > 0, f (x) = 1. f est-elle continue ? f est-elle ouverte ? fermée ?
