9
Intervalles de fluctuation
12
Leçon n o Niveau LycéePrérequis Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi binomiale, loi
normale, fonctions
Références [34], [35], [36], [37], [38]
12.1
Le théorème de De Moivre-Laplace
12.1.1 Énoncé
Théorème 12.1 Si Snest une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n et p ∈ ]0 , 1[, on a avec q:= 1 − p, Sn∗ := S√n− np npq = rn pq S n n − p n→+∞ −−−−−→ loi Z, où Z est une variable variable aléatoire de loi gaussienne N(0, 1).
12.1.2 Une démonstration dans le cas p = 1/2
Pour une démonstration complète du théorème de De Moivre-Laplace dans le cas p= 1/2, voir Ressources pour la classe terminale générale et technologique : dossier annexe, téléchargeable sur le site Web Eduscol :http://eduscol.education.fr/prog, février 2012.
12.1.3 Un exemple d’application du théorème de De Moivre-Laplace
Exemple 12.2 On donne un exemple d’utilisation du théorème de De Moivre-Laplace.
Soit(Xn) une suite de variables aléatoires suivant la loi Bin(50, 0.3), np = 15, nq = 35. D’après les tables, la valeur exacte pour P(Xn= 10) = 0, 038619.
La formule d’approximation avec une loi N(np, √npq) = N(15,√10.5) donne le résultat : P 9, 5 − 15 √10,5 ≤ N ≤ 10, 5 − 15√10,5 = P (−1.7 ≤ N ≤ −1.39) = P (1.39 ≤ N ≤ 1.7) = 0, 9554 − 0, 9177 = 0, 0377. L’erreur d’approximation est faible.
Pour P(Xn≤ 10) = 0, 0789, l’approximation usuelle fournit
P(N ≤ −1.39) = P(N ≥ 1.39) = 1 − P(N ≤ 1, 39) = 0, 0823. Si nous n’avoins pas corrigé la continuité de l’approximation nous aurions eu :
P
N ≤ 10 − 15√10,5
= P (N ≤ −1, 54) = 1 − P(N ≤ 1, 54) = 0, 0618.
12.2
Activités d’introduction en Seconde
12.2.1 À la découverte de l’intervalle de fluctuation
Une urne contient des boules jaunes et des boules jaunes. Les boules sont indiscernables au tou-cher. L’urne contient20% de boules jaunes.
On extrait au hasard une boule. On note sa couleur, puis on la remet dans l’urne.
On souhaite étudier la fréquence d’apparition de la couleur jaune lorsque l’on procède à 100 tirages successifs. On choisit de faire une simulation de cette expérience avec un tableur.
On ne connaît pas le nombre de boules de l’urne. Mais l’expérience revient à simuler un tirage au sort dans une urne contenant100 boules, dont 20 boules jaunes. On attribue les nombres 1 et 20 aux boules jaunes, ce qui correspond bien à une proportion de20%.
Sur la première colonne d’une feuille de calcul, on simule100 tirages dans l’urne, c’est-à-dire on tire au hasard un nombre entre1 et 100 sur 100 cellules. On tape alors ALEA.ENTRE.BORNES(1;100) entre A1 et A100.
Sur la colonne suivante, on teste si la cellule AX (1 ≤ X ≤ 100) vaut un nombre entre 1 et 20. Pour cela, on tape : SI(ET(1<=A1;A1<=20);1;0).
On compte ensuite la fréquence d’apparition de la couleur jaune en bas de la seconde colonne. Pour cela, on utilise la fonction =NB.SI(B1:B100;1).
On recommence cette expérience50 fois. On recopie les colonnes A et B sur les 100 colonnes suivantes.
On obtient le nuage des fréquences ci-dessous :
On calcule ensuite :
0, 2 − √100 = 0,2 −1 101 = 0, 1 0, 2 + √100 = 0,2 +1 101 = 0, 3
12.3 Intervalle de fluctuation, la théorie en Terminale S 11
On remarque que les fréquences observés appartiennent à l’intervalle[0, 1; 0, 3].
Définition 12.3 Au sein d’une population, on connaît la proportion p des individus ayant un caractère donné. Ici, dans l’ensemble des boules, on connaît la proportion (p= 0, 20) de boules jaunes.
Parmi les échantillons de taille n extraits de cette population, la fréquence d’apparition f du caractère varie avec l’échantillon prélévé.
On admet que, pour un échantillon de taille n ≥ 25 et pour p comprise entre 0, 2 et 0, 8, la fréquence d’apparition f observée appartient à l’intervalle[p −√1
n; p + √1n] avec une probabilité d’au moins0, 95.
Cet intervalle est appelé l’intervalle de fluctuation au seuil de95%. 12.2.2 Utilisation de l’intervalle de fluctuation
Propriété 12.4 Connaissant la proportion p d’individus dans une population, l’intervalle de fluctua-tion[p −√1
n; p + 1 √
n] permet d’étudier un échantillon donné par rapport à ce caractère.
Si la fréquence observée f du caractère est en dehors de l’intervalle, on « rejette » de l’échantillon avec une erreur au seuil de5%.
Ces résultats signifient que, dans5% environ des cas, la décision prise (rejet ou validation) risque d’être incorrecte.
En 2007, parmi les557 députés élus à l’Assemblée Nationale, les femmes élus représentent 18, 5% des députés.
Parmi les maires de57 grandes villes, on compte 4 femmes maires.
La répartition hommes-femmes au sein de la population est51, 6% de femmes et 48, 6% d’hommes. On peut dresser le tableau suivant :
Assemblée Nationale Maires
n 577 57
In [51, 6 − √5771 ,51, 6 + √5771 ] [51, 6 − √571 ; 51, 6 + √571 ] = [51, 56; 51, 64] = [51, 46; 51, 73]
Proportion réelle 0, 185 0, 07
Les proportions établies ne sont pas dans les intervalles de fluctuation. Il n’y a donc aucun respect de la parité en politique.
12.3
Intervalle de fluctuation, la théorie en Terminale S
12.3.1 Simulation
On lance120 fois un dé à jouer bien équilibré. On appelle N la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que le dé affiche la face6. On voudrait savoir la probabilité que la variable aléatoire N soit comprise dans l’intervalle[12, 28].
On écrit le programme ci-dessous. Ce programme effectue100 fois ces 120 lancers. On affiche à chaque expérience I le point (I, N) ainsi que les droites y = 12 et y = 28. À la fin de ces 100 expériences, on affiche le nombre de points M qui se situe dans l’intervalle[12, 28].
Variables : A,B,I,J,M,N,X Initialisation
0 -> M 12 -> A 28 -> B Tracer y = A Tracer y = B Traitement Pour I de 1 à 100 0 -> N Pour J de 1 à 120 randInt(1,6) -> X Si X = 6 N + 1 -> N FinSi FinPour
Afficer le point (I;N) Si N >= A et N <= B M+1 -> M FinSi FinPour Sortie Afficher M
On trouve alors M = 96. On peut alors dire qu’à 96%, le nombre d’apparition de la face 6 se situe dans l’intervalle [12, 28]. On nomme alors cet intervalle, intervalle de fluctuation de N au seuil de 96%.
12.3.2 Définition
Définition 12.5 X est une variable aléatoire qui suit une loi binomialeBin(n, p), α un réel tel que 0 < α < 1 et a et b sont deux réels.
On dit que[a , b] est un intervalle de fluctuation de X au seuil de 1 − α, si et seulement si : P(a ≤ X ≤ b) ≥ 1 − α.
12.3.3 Intervalle de fluctuation asymptotique
Théorème 12.6 Si la variable aléatoire Xnsuit une loi binomialeBin(n, p) alors pour tout réel α de ]0 , 1[, on a : lim n→+∞P X n n ∈ In = 1 − α où In= " p− uα p p(1 − p) √ n ; p + uα p p(1 − p) √ n #
uαétant le nombre tel que P(−uα≤ Zn≤ uα) = 1 − α lorsque Zn∼ N(0, 1).
On appelle variable fréquence, la variable aléatoire Fn = Xnn qui à tout échantillon de taille n associe la fréquence f obtenue.
12.3 Intervalle de fluctuation, la théorie en Terminale S 13
R 12.7 Le mot asymptotique vient du passage à la limite de l’intervalle In, la loi binomiale peut alors être assimilé
à la loi normale.
Dv
• Preuve On pose Zn= √Xn−np
np(1−p). On pourra utiliser cet intervalle de fluctuation dans les conditions de
l’approximation normale de la loi binomiale (n ≥ 30, np ≥ 5, n(p − 1) ≥ 5). D’après le théorème de De Moivre-Laplace :
lim
n→+∞P(−uα≤ Zn ≤ uα)
suit une loi normale centrée réduite de variable aléatoire Zn.
On sait, d’après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour tout α de]0 , 1[, il existe un unique réel strictement positif uαtel que :
P(−uα≤ Zn≤ uα) = 1 − α. De plus −uα≤ Zn≤ uα −uα p np(1 − p) ≤ Xn− np ≤ uα p np(1 − p) np− uα p np(1 − p) ≤ Xn ≤ np+ uα p np(1 − p) p− uα p p(1 − p) √n ≤ Xnn ≤ p + uα p p(1 − p) √n Donc : lim n→+∞P X n n ∈ In = 1 − α.
Propriété 12.8 Il faut connaître l’intervalle Inde fluctuation au seuil de 95% correspondant à α = 0, 05 et qui donne uα = 1, 96. In= " p− 1, 96 p p(1 − p) √ n ; p + 1, 96 p p(1 − p) √ n # .
Exemple 12.9 Si l’on reprend l’exemple sur les120 lancers de dé à jouer avec N comme variable
aléatoire. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de95% (dans les conditions de l’approxi-mation normale) est alors :
p− 1, 96 p p(1 − p) √ n = 1 6 −1, 96 q1 6 ×56 √120 ' 0,100. p+ 1, 96 p p(1 − p) √ n = 1 6+ 1, 96 q1 6 ×56 √120 ' 0,233. Donc In= [0, 100; 0, 233] qui correspond à la variable aléatoire fréquence 120N .
Si on revient à la variable N, l’intervalle de fluctuation est alors : [120 × 0, 100; 120 × 0, 233] = [12; 28],
R 12.10 Cet intervalle peut être simplifié par l’intervalle Jn= p−√1n; p + √1n .
En effet, la fonction x 7→ x(1 − x) = x − x2 est une fonction du second degré qui s’annule en0 et 1,
elle admet donc un maximum (coefficient négatif devant x2) en0, 5. On a alors f(0, 5) = 0, 25. Elle est
positive entre0 et 1. On a alors :
0 ≤ p(1 − p) ≤ 0, 25 ⇔ 0 ≤pp(1 − p) ≤p0, 25 = 0, 5. On en déduit alors que0 ≤ 1, 96pp(1 − p) ≤ 1. On a alors :
0 ≤ 1, 96 p
p(1 − p)
√n ≤ √1n. On a ainsi In⊂ Jn. On a alors dans la plupart des cas P(Fn∈ Jn) ≥ 0, 95.
12.3.4 Prise de décision
Propriété 12.11 Soit fobs la fréquence d’un caractère observée d’un échantillon de taille n d’une
population donnée. On suppose que les conditions de l’approximation normale de la loi binomiale sont remplies : n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5.
Hypothèse : La proportion du caractère étudié dans la population est p. — Si fobs∈ In, on ne peut rejeter l’hypothèse faite sur p.
— Si fobs∈ I/ n, on rejette l’hypothèse faite sur p.
Exemple 12.12 Pour créer ses propres colliers, on peut acheter un kit contenant des perles de cinq
couleurs différentes (marrons, jaunes, rouges, vertes et bleues), dans des proportions affichées sur le paquet.
Ainsi les perles marrons et les perles jaunes sont annoncés comme représentant chacune20% de l’ensemble des perles tandis que les perles rouges sont annoncées à10%.
On veut vérifier cette information. Pour cela, on choisit d’observer un échantillon aléatoire de perles et de construire un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de95% pour la proportion de perles marrons.
On constitue donc un échantillon, que l’on considère aléatoire, de690 perles. On a dénombré 140 perles marrons.
La prise de décision est la suivante : si la proportion de perles marrons dans l’échantillon n’ap-partient pas à l’intervalle de fluctuation, on rejette l’hypothèse selon laquelle les perles marron repré-sentent20% des perles.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique I au seuil de95% pour la proportion de perles marrons.
2. Calculer la proportion de perles marrons dans l’échantillon. Que peut-on en conclure ? 3. Dans le même échantillon, il y avait152 perles et 125 perles rouges. Que peut-on conclure de
ces résultats ?
Dv
• Preuve — Solution. 1. En ce qui concerne les perles marrons, on a : n= 690 et p + 0, 2, donc : n≥ 30, np = 138 ≥ 5 et n(1 − p) = 552 ≥ 5.
12.4 D’autres exemples 15 Nous sommes bien les hypothèses du théorème de De Moivre-Laplace.
On calcule ensuite : p− 1, 96 p p(1 − p) √n = 0, 2 − 1, 96√0,2 × 0,8√690 ' 0,1702 p+ 1, 96 p p(1 − p) √n = 0, 2 + 1, 96√0,2 × 0,8√690 ' 0,2298. On a donc : I= [0, 17; 0, 23].
2. On calcule la fréquence fm = 140690 ' 0, 203. Comme fm ∈ I, on ne peut pas rejeter l’hypothèse
selon laquelle les perles marron représentent20% des perles.
3. On calcule la fréquence des perles jaunes : fj = 152690 ' 0, 220. Comme fj ∈ I, on ne peut pas
rejeter l’hypothèse selon laquelle les perles jaunes représentent20% des perles. Pour les perles rouges, il faut calculer un nouvel intervalle de fluctuation :
p− 1, 96 p p(1 − p) √n = 0, 1 − 1, 96√0,1 × 0,9√690 ' 0,0886 p+ 1, 96 p p(1 − p) √n = 0, 1 + 1, 96√0,1 × 0,9√690 ' 0,1224
On a donc : I0= [0, 08; 0, 13] (on prend l’intervalle par excès). On calcule la fréquence des perles
rouges fr = 125690 ' 0, 18. Comme fr ∈ I/ 0, on doit rejeter l’hypothèse selon laquelle les perles
rouges représentent10% des perles.
12.4
D’autres exemples
12.4.1 Confiance des électeurs
Monsieur Z, chef du gouvernement d’un pays lointain, affirme que52% des électeurs lui font confiance. On interroge100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considé-rer qu’il s’agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 5%, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Monsieur Z, dans un sens, ou dans l’autre.
1. On fait l’hypothèse que Monsieur Z dit vrai et que la proportion des électeurs qui lui font confiance dans la population est p= 0, 52. Montrer que la variable aléatoire X, correspondant au nombre d’électeurs lui faisant confiance dans un échantillon de 100 électeurs, suit la loi binomiale de paramètres n= 100 et p = 0, 52.
2. On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées P(x ≤ k) où X suit la loi binomiale de paramètres n= 100 et p = 0, 52 k P(X ≤ k) ≈ 40 0, 0106 41 0, 0177 42 0, 0286 43 0, 0444 · · · · 61 0, 9719 62 0, 9827 63 0, 9897 64 0, 9941
(a) Déterminer a et b tels que :
— a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) ≥ 0, 025 ; — b est le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0, 975. (b) Comparer l’intervalle de fluctuation à95%,ha
n;nb
i
, ainsi obtenu grâce à la loi binomiale, avec l’intervallehp−√1 n; p + 1 √ n i .
3. Énoncer la règle décision permettant de rejeter ou non l’hypothèse p = 0, 52, selon la valeur de la fréquence f des électeurs favorables à Monsieur Z obtenue sur l’échantillon.
4. Sur les100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Monsieur Z. Peut-on considérer, au seuil de5%, l’affirmation de Monsieur Z comme exacte ?
12.4.2 Algues toxiques
Dans un pays lointain,10% des plages étaient atteintes par des algues toxiques. On a modifié le processus de rejets chimiques : on admet que le nouveau processus de rejet, très différent du précédent, pourrait augmenter ou diminuer cette fréquence.
On veut établir, puis mettre en œuvre, une procédure statistique permettant de décider, au seuil de 5%, si le nouveau processus de rejets a, ou non, un impact significatif, dans un sens ou dans un autre, sur la fréquence d’apparition de ces algues.
1. Énoncer une règle de décision permettant de rejeter, ou non, au seuil de décision de 5%, l’hypothèse selon laquelle10% des plages sont touchées par ce type d’algues après la mise en place du nouveau procédé, à l’aide d’un échantillon aléatoire de150 plages.
2. Sur un échantillon aléatoire de150 plages, on constat que 9 plages sont atteintes. Peut-on, au seuil de décision de5%, rejeter l’hypothèse précédente de 10% de plages polluées ?
12.4.3 Homogénéité de lots dans une production
La proportion d’ampoules à économie d’énergie non-conformes dans la production d’une en-treprise est p = 0, 07. L’entreprise souhaite fournir des lots d’ampoules pour lesquels elle puisse « garantir » qu’environ95% d’entre eux ont une fréquence d’ampoules non-conformes entre 0, 06 et 0, 08.
Quelle taille minimale n du lot à prendre pour répondre à cette contrainte ?
12.5
Avec Xcas
12.5.1 Énoncé
À l’aide d’un logiciel, on souhaite simuler le lancer de400 pièces de monnaie équilibrées, puis calculer la fréquence d’apparition de « pile ». On veut ensuite répeter2000 fois l’expérience.
Au résultat « pile », on associe la valeur1 et à « face » le résultat 0.
On génère donc400 nombres aléatoires 0 ou 1 et on note la fréquence des 1.
On répète2000 fois cette expérience. On obtient une série statistique de fréquence d’apparition du nombre1.
On cherche alors la proportion des valeurs situées à l’intérieur de l’intervalle I = [p−√1
n; p+√1n] où p est la probabilité théorique et n la taille de l’échantillon.
12.5 Avec Xcas 17
12.5.2 Expérimentation avec Xcas On aura donc ici n= 400, p = 1/2 et
I = 1
2 − √400;1 12+√4001
= [0, 45; 0, 55]. Réalisation d’un échantillon de taille400
x:=randvector(400,’rand(2)’); count_eq(1,x); count_eq(1,x)/400 count_eq(1,x)/400.0; Simulation On va réaliser un programme. u:=[];
pour j de 0 jusque 1999 faire
x:=randvector(400,’rand(2)’); u[j]:=count_eq(1,x)/400.0; fpour;
Utilisation de la simulation
On utilisera le mode graphique (Alt+G)
f:=max(u)-min(u); a:=1/2-1/sqrt(400) b:=1/2+1/sqrt(400)
classes(u,0,f/30)
histogram(classes(u,0,f/30));
purge(x)
droite(x=a);droite(x=b);
2000-count_int(a,u)-count_sup(b,u)
(2000-count_int(a,u)-count_sup(b,u))/2000
Bibliographie
[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.
[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.
[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html
[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_
accompagnement.pdf.
[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.
[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF
[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http:// bacamaths.net.
[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :
http://www.math.univ-montp2.fr/
[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp
[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.
[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW
[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org
[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net
[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/
[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011. [16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.
[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.
http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/ TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.
[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf
[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf
[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.
[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf
[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm
[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.
[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf
[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.
[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html
[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf
[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.
[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.
[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.
[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.
mathematex.net/ecs-touchard/wiki.
[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_ JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.
[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010. [36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.
[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf
[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.
http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf
