2.17 Un anneau principal non euclidien
Référence :D. Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses, 1996. Leçons concernées : 122.
On cherche à montrer qu’un certain anneau est principal mais non euclidien. Pour cela on commence par énoncer une condition nécessaire lorsqu’un anneau A est euclidien. Proposition 1. Soit A un anneau euclidien pour le stathme v. Alors il existe x P A non inversible tel que la restriction à AˆY t0u de la projection canonique A Ñ A{pxq soit surjective.
Démonstration. Si A est un corps x “ 0 convient. Sinon on choisit x P A non nul non inversible tel que vpxq soit minimal (c’est possible puisque v : A Ñ N). Si a P A, alors a “ xq ` r avec r “ 0 ou vprq † vpxq, ainsi a ` pxq “ r ` pxq. Si r ‰ 0, alors puisque vprq † vpxq, r est inversible. Ainsi, a ` pxq “ r ` pxq où r P AˆY t0u, d’où le résultat. Proposition 2. L’anneau A “ Z
„
1` i?19 2
⇢
n’est pas euclidien. Démonstration. Étape 1 : on pose ↵ “ 1`i?19
2 qui est racine de X2 ´ X ` 5 puisque ↵“ 1´i2?19 et donc ↵ ` ↵ “ 1 et ↵↵ “ 5. On a alors
A“ Zr↵s “ ta ` b↵ | a, b P Zu
qui est intègre comme sous-anneau de C. Avec ↵ “ 1 ´ ↵ on sait que A est stable par conjugaison et on considère alors, pour z “ a ` b↵, Npzq “ zz “ a2` ab ` 5b2 P N. On remarque que Npzz1q “ NpzqNpz1q et Npzq ° 0 si z ‰ 0.
Étape 2 : on détermine alors Aˆ le groupe des inversibles de A. Soit z P Aˆ, alors Npzz´1q “ Np1q “ 1 “ NpzqNpz´1q et donc puisque N est à valeurs dans N, Npzq “ 1. Ainsi, si z “ a ` b↵, a2` ab ` 5b2“ 1. Or
a2` ab ` b2• a2` b2´ |ab| • p|a| ´ |b|q2• 0
et donc 1 “ a2` ab ` 5b2 • 4b2, ainsi b “ 0 et donc a “ ˘1. On conclut que Aˆ “ t´1, 1u. Étape 3 : on suppose enfin par l’absurde que A est euclidien. D’après la proposition précédente, il existe x P A tel que A{pxq soit un corps à 2 ou 3 éléments. On a alors l’existence d’un morphisme d’anneaux ' : Zr↵s Ñ k où k “ Z{2Z ou Z{3Z. On remarque qu’alors ' restreint à Z est la projection canonique de Z sur Z{2Z ou Z{3Z. On pose “ 'p↵q qui est racine de X2´ X ` 5 dans k par propriété de morphisme d’anneaux de '. Or, X2´X `5 “ X2`X `1 dans Z{2Z qui n’a pas de racines et X2´X `5 “ X2´X ´1 dans Z{3Z qui n’admet pas non plus de racines : on a trouvé une absurdité.
On montre maintenant que A est principal au moyen du lemme suivant. Lemme 3. Soient a, b P Azt0u, alors il existe q, r P A tels que :
(i) r “ 0 ou Nprq † Npbq (ii) a “ bq ` r ou 2a “ bq ` r Démonstration. On considère x “ a
b “ abbb P C que l’on écrit x “ u ` v↵ avec u, v P Q. On note n “ tvu.
1) Si v Rsn `1
3, n`23r, on pose s, t les entiers les plus proches de u et v respectivement. On a alors |s ´ u| § 1 2, |t ´ v| § 13. On pose q “ s ` t↵ P A et on a Npx ´ qq “ ps ´ uq2` ps ´ uqpt ´ vq ` 5pt ´ vq2 § 1 4 ` 1 6` 5 9 “ 35 36 † 1 et donc r “ a ´ bq “ bpx ´ qq convient. 2) Sinon, on a 2x “ 2u ` 2v↵, et 2v Ps2n ` 2 3, 2n` 1 ` 13r et ainsi si m “ t2vu, 2v R sm `1
3, m`23r et on conclut avec le cas précédent.
Proposition 4. L’anneau A est principal.
Démonstration. On montre d’abord que l’idéal p2q est maximal dans A. En effet on a par division euclidienne,
A– ZrT s{pT2´ T ` 5q et ainsi1
A{p2q – ZrT s{p2, T2´ T ` 5q – Z{2ZrT s{pT2` T ` 1q et ce dernier est un corps puisque T2` T ` 1 est irréductible sur F
2.
Soit maintenant I un idéal non nul de A et a P I non nul tel que Npaq soit minimal. Si I “ paq on a terminé, sinon soit x P Izpaq. On applique alors le lemme précédent à x et a.
(i) Ou bien x “ aq ` r avec r “ 0 ou Nprq † Npaq, or r P I, donc r “ 0, ainsi x P paq, c’est impossible.
(ii) Ou bien 2x “ aq ` r avec r “ 0 ou Nprq † Npaq et de même r “ 0 donc 2x “ aq. On a alors aq P p2q maximal donc premier, ainsi a P p2q ou q P p2q. Si q P p2q, alors q “ 2q1 et donc x “ aq1 P paq ce qui est impossible. Ainsi a P p2q et q R p2q, et donc a“ 2a1 et x “ a1q. Puisque p2q est maximal et ne contient pas q, p2, qq “ A et donc 1“ 2 ` qµ avec , µ P A et ainsi a1 “ 2 a1` µqa1 “ a ` µx P I car a, x P I. On obtient une absurdité par minimalité de a.
Commentaire : c’est sûrement trop long : admettre le lemme, qui est technique et assez classique.
1. Une justification d’un résultat analogue est faite dans le développement ”Théorème des deux carrés”.