ARTheque - STEF - ENS Cachan | Perspective cavalière d’un cercle.

(1)

«

Perspective cavalière d'un cercle

1° Abaisser de F ' la p e r p e n d i c u l a i r e sur E ' G ' ; 2° P o r t e r de p a r t et d ' a u t r e de F ' d e u x seg-m e n t s I F ' et J F ' égaux à O'G' (dans le cas de la figure (2) O'G' = R r a y o n du c e r c l e ) ;

3° Le g r a n d axe n o r m a l de l'ellipse est la bissectrice de l'angle IO'J (le petit axe étant p e r -p e n d i c u l a i r e au g r a n d axe);

4° La valeur du g r a n d axe 2a = 10' + O ' J ; la valeur d u petit axe 2b = 10' O'J.

Le t r a c é de l'ellipse p e u t se f a i r e alors p a r les m é t h o d e s a p p r o c h é e s c o n n u e s.

Cette c o n s t r u c t i o n est générale, et p e u t être utilisée d a n s les écoles et les b u r e a u x d'études. Il existe u n e c o n s t r u c t i o n g r a p h i q u e qui p e r m e t

de d é t e r m i n e r en position et en g r a n d e u r les axes p r i n c i p a u x de l'ellipse, p e r s p e c t i v e cavalièr e d'un cercle d o n n é .

— E n r e m a r q u a n t que les d i a m è t r e s du cercle (EG et HF) d e v i e n n e n t d i a m è t r e s c o n j u g u é s de l'ellipse (E'G' et F ' H ' ) , on est r a m e n é au pro-blème s u i v a n t :

« D é t e r m i n e r les axes d ' u n e ellipse, connais-sant d e u x d i a m è t r e s c o n j u g u é s en g r a n d e u r et en position. »

Ce p r o b l è m e est c o n n u et l'on p r o c è d e de la f a ç o n s u i v a n t e :

(2)

D é m o n s t r a t i o n de la construction

E n r a p p e l a n t le t h é o r è m e s u i v a n t : « Deux d i a m è t r e s c o n j u g u é s cpielconques d é t e r m i n e n t sur une t a n g e n t e fixe d e u x segments dont le p r o d u i t est c o n s t a n t et égal au c a r r é d u d e m i - d i a m è t r e p a r a l l è l e à la tangente.

A'B' t a n g e n t e à l'ellipse — O'Bi et O'Q' axes de l'ellipse ( d i a m è t r e s c o n j u g u é s p a r t i c u l i e r s ) .

D ' a p r è s le th. : B,F' . Q ' F ' = O'G

C o m m e I F ' = F ' J = O'G' nous avons IF"2

= BiF'.F'Q'; F T = B J ' . F ' Q ' . I et J sont sur le cercle de d i a m è t r e BiQ' — ce cercle passe égale-m e n t p a r O'.

Arc IQ' = a r c JQ' O'Q' est alors bissectrice de l'angle Ï O T (c.q.f.d.).

Valeur des axes de l'ellipse. — Nous allons d é m o n t r e r que :

O'I + O'J = 2 a O'I — O'J = 2b Les t h é o r è m e s d'Apollonius nous d o n n e n t : (1) a2_{+ b- = a'}2_{+ b'= (a' = O'G' b' = O'F')}

ab = a'b' sin a 'a — F'O'G')

Ces deux r e l a t i o n s n o u s d o n n e n t :

(a — b)2_{= a" + b'}2_{— 2a'b' sin a}

(a -f b)2_{= a" + b"•> + 2a'b' sin o}

O ' F ' K = ~ tp d a n s le t r i a n g le O ' F ' J n o u s avons :

OT2_{= ÔT}75_{" + FM}2_{— 2 0 ' F ' . F ' J cos} _{— o j}

O'J2_{= a'}2_{+ b'}2_{— 2a'b' sin o en t e n a n t c o m p t e}

d ^ ( l )

O'J2_{= (a —}

b)-Q ' J = b)-Q — b

D a n s le t r i a n g l e O'F'I on a :

Ô ï2_{= OT}1 2_{+ F P + 2 0 ' F ' . F ' I cos ( — - - f )}

O T = a"~ + b'1_{+ 2a'b' sin <? d ' a p r è s (1)}

O'I = a +b F i n a l e m e n t :

O'I + O'J = 2a et O'I - - O'J = 2b (c.q.f.d.) M. KERGUIGNAS,

Professeur au Collège technique de Cherbourg.