Le th é orè m e d e Pyïh a g ore
Le théorème de Pythagore peut être traité de trois façons différentes :
1° En géométrie, en application des propriétés des triangles semblables (Livre III);
2° En géométrie, en application de l'étude des aires (pont-aux-ânes) ;
3° E n calcul, en application des produits remar-quables (procédé de calcul de l'Antiquité grecque).
Je proposerais que le théorème de Pythagore soit d'abord traité en application des produits remarqua-bles dans le cours de calcul de deuxième année d'ap-prentissage, de sorte que les élèves puissent utiliser cette proposition avant qu'elle prenne sa place nor-male après les triangles semblables dans le cours de géométrie de troisième année d'apprentissage.
Voici donc comment j'envisage la leçon dans cet esprit :
MATERIEL NECESSAIRE :
Pour les élèves : feuille de papier blanc suffisam-ment grande, crayon, règle, compas, ciseaux.
Au tableau noir : craies, torchon, règle, papier transparent, ficelle en qualité de compas.
Pour le maitre seul : une montre, instrument indispensable du pédagogue.
LEÇON :
a) Récitation de la leçon précédente : « Produits remarquables » (concrétisée comme la leçon qui va suivre).
u) Titre et situation de la leçon. Appel au concret : manipulation.
Nous allons étudier aujourd'hui une application des produits remarquables que l'on t r a i t e d'habitude en géométrie « le théorème de P y t h a g o r e ». Cette pro-position, qui concerne les triangles, reçoit un si g r a nd nombre d'applications à toutes les professions depuis si longtemps qu'il est important de la bien connaître et de se l'assimiler parfaitement.
Nous allons tâcher de l'établir nous-même, tous ensemble.
Prenez une feuille de papier blanc, construisez un carré quelconque, mais assez g r a n d : 8 cm. environ, dans la moitié supérieure de la feuille : ABCD. (Le professeur f a i t la construction au tableau et vérifie ensuite qu'elle a été faite sur leur papier par tous les élèves).
Marquez un point M sur AB, p a r t a g e a n t AB en segments inégaux. M non au milieu (figure 1). Appelez AM : a, MB : b. Soit S l'aire de ABCD.
D
Figure I.
Découpez le carré ABCD. Appliquez-le sur la moi-tié inférieure de la feuille et tracez le carré égal A'B'C'D' d'aire S' = S.
(Au tableau noir, on prend le calque de ABCD et on le reporte en A'B'C'D'). Le point M vient en M'. Effectuez sur vos carrés les constructions que j'effec-tue moi-même au tableau noir. (Figure II.)
Rappelez -vous notre dernière leçon '. Qu'avons-nous dans le carré de la figure 1 ?
(Les élèves répondent) :
— Deux carrés : l'un de côté a, d'aire St = a-,
l'autre de côté b, d'aire S, r = b\ et quatre triangles rectangles d'aires tu t2, t3, 14J réunis en deux
rectan-gles d'aire a X b chacun.
Donc : S = " SI + S2 + tt + f2 + t3 + tt (1).
Regardez la figure II. Qu'avons-nous dans le carré A'B'C'D' qui est aussi d'aire S ?
(Les élèves doivent répondre) :
Quatre triangles d'aires t\; t\; t'B; t\ et une sur-face d'aire S. et on a :
S = S3 + t\ + t\_ + t\ + t\ (2).
Découpez la figure II ; avec les triangles t\, t',, t'„ t\, couvrez les triangles tu t„ tz, t4.
Est-ce possible ?
(Les élèves doivent répondre) : — Oui.
— Pourquoi ?
(Revenir au deuxième cas d'égalité des triangles quelconques.)
— Qu'en concluez-vous ? Voyez-vous une relation entre les aires restantes S^ S2, S3 ?
(Insister, recommencer si nécessaire les gestes de la superposition jusqu'à ce que l'équivalence S3 = S ^ S ,
soit manifestement apparue à tous.)
Comparez (1) et (2). On simplifie au tableau noir où : S3 — Sj + S, (3).
(Il s'agit d'amener m a i n t e n a n t tous les élèves à comprendre ce que représente S3.)
Regardez la figure S3. Mesurez les côtés, mesurez
les angles. Qu'est-ce que S3 ?
(Tous les élèves doivent répondre) : — C'est un carré.
— Pourquoi ? Quel est son côté ?
(Montrer que les angles sont égaux parce qu'ils ont des suppléments égaux; que les côtés c sont égaux comme hypoténuses de triangles rectangles égaux. On peut opérer ces démonstrations à l'aide du calque dont on s'est servi au tableau noir.
Conclusion. — La relation (3) : S3 r = St + S,, peut
donc s'énoncer :
« Le carré construit sur l'hypoténuse (S3 sur c) d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés cons-truits sur les deux autres côtés (Sj sur a, S2 sur b). »
Ceci est l'énoncé du théorème de Pythagore. c) Passage à l'abstraction.
La figure I a été étudiée pendant la leçon précé-dente et sa décomposition en carrés et rectangles a donné :
1° S = (a + by = a2 + b2 + 2 ab.
La figure II se décompose en un carré S3 de côté c,
ainsi que nous l'avons vu et en quatre triangles rec-ab
tangles d'aires :
(Faire établir ceci par un élève au tableau noir avec la collaboration de la classe) donc :
(ab)
2° S = c2 + 4 — c2 + 2 ab
(La comparaison vous conduit, même avec les élèves médiocres, à la formule (3°).
Conclusion. — c- = a2 + b- (3°).
Ecrivez la formule et dessinez, à côté, un triangle rectangle (C = 1 droit) sur lequel vous marquerez a, b, c. (Faire la figure au tableau).
Cette relation est la traduction par une formule du théorème de Pythagore.
d) Applications et observations générales. 1° Ce théorème est très anciennement connu. On lui a donné le nom d'un philosophe mathématicien de l'Antiquité grecque (inutile de préciser les dates) qui l'a démontré mais ne l'a pas découvert. Il l'apprit, en effet, lui-même des géomètres égyptiens chargés de redistribuer les terres après chaque inondation du Nil. Les a r p e n t e u r s des pharaon s appliquaient cette pro-priété pour mener des perpendiculaires au rivage avec des cordes à trois, quatre, cinq intervalles séparés p a r des nœuds. Ils construisaient ainsi des triangles rec-tangles :
52 = 25 ; 42 + 32 = 16 + 9 = 25.
2° Applications professionnelles et exercices. (Le professeur peut les choisir sur les livres). Arithmétique et Géométrie, par CLUZEL (Editions
Fou-cher). N° 6, p. 139 — 20, p. 140 — 20 et 22. p. 146. Les Calculs industriels aux C.A.P., par BASQUIN 'et
CLUZEL ( E . F o u c h e r ) . 36
Géométrie (2» partie) par CLUZEL et ROBERT (Collec-tion de l'Enseignement Technique de la Librairie Delagrave). N° 145, p. 50.
Cours de Géométrie. - PHILIPPE et FROUMENTY. Biblio-thèque de l'Enseignement Technique. N° 24, p. 373, tome II.
3° La leçon suivante portera sur des applications géométriques du théorème de P y t h a g o r e aux carrés, triangles équilatéraux, relations entre corde, flèche et rayon; côté, rayon et apothème.
4° Construire l'équerre de corde dite équerre des Egyptiens, dont les côtés ont des longueurs propor-tionnelles respectivement aux nombres 3, 4 et 5; l'uti-liser sur le terrain.
Nota. — 1° Sur le cahier de l'élève a p p a r a î t r o n t : la figure I, la figure II reconstituée par collage, le texte du théorème, la formule et le triangle qui l'ac-compagne.
2° Comme application, on peut donner encore : le
calcul de la vraie distance de deux points étant don-nées la distance de leurs projections horizontales et la différence de leurs- cotes (épures de descriptive, lec-ture d'une carte d ' E t a t - m a j o r ) ; il f a u d r a réserver le calcul de l'impédance :
^ E H «.î L2
au cours de deuxième année des électriciens.
3° On n'oubliera pas dans tous ces exercices que l'extraction classique d'une racine carrée n'est pas au programme actuel de calcul; il f a u d r a donc se servir d'une table des carrés et des racines carrées des nom-bres entiers (p. 207, 208, Arithmétique et Géométrie,
d e CLUZEL).
M. ABBES
Inspecteur de l'Enseignement technique, Directeur technique à l'Institut de Psychologie et de Pédagogie
de l'Université de Lyon.
Et cette patrie, qu'il faut aimer, disons, avec Gonzague de Reynold, « Elle a besoin que vous l'aimiez dans son visage, dans la lumière de son soleil, dans les formes de ses montagnes, dans les reflets de ses lacs, le soir, dans la fraîcheur de ses prairies, le matin, dans ses forêts qui sentent la mousse humide et la résine, dans cette colline qui porte du blé, dans ce coteau qui porte du vin, dans le profil de votre cité, dans la silhouette de votre village, dans la maison où vous êtes né, dans, les tombes du cimetière, dans les chansons que vous savez, dans les souvenirs que vous avez ».
