Tests param´etriques `a un ´echantillon
Param`etre µ ( 2 connue) µ ( 2 inconnue) 2 p
H0 : ✓ = ✓0 µ = µ0 µ = µ0 2 = 02 p = p0 Statistique Z0 = ¯ X µ0 /pn T0 = ¯ X µ0 S/pn W 2 0 = (n 1)S2 2 0 Z0 = ¯ X p0 q p0(1 p0) n si n est grand. D´ecision On rejette H0 si : H1 : ✓ 6= ✓0 |Z0| > z↵/2 |T0| > t↵/2,n 1 W02 > 2↵/2,n 1 ou W02 < 21 ↵/2,n 1 |Z0| > z↵/2 H1 : ✓ > ✓0 Z0 > z↵ T0 > t↵,n 1 W02 > 2↵,n 1 Z0 > z↵ H1 : ✓ < ✓0 Z0 < z↵ T0 < t↵,n 1 W02 < 21 ↵,n 1 Z0 < z↵
Erreur 2e type* ( ) avec = µ µ
0 ( ) avec = µ µ0 ( ) avec = 20/ 2 (p) H1 : ✓ 6= ✓0 ⇣ z↵/2 p n⌘ ⇣z ↵/2 p n S ⌘ ⇣ p 2n 2 2 ↵/2,n 1 q n 1 2 ⌘ ✓p n(p0 p)+z↵/2 p p0(1 p0) p p(1 p) ◆ ⇣ z↵/2 p n⌘ ⇣ z↵/2 p n S ⌘ ⇣ p 2n 2 2 1 ↵/2,n 1 q n 1 2 ⌘ ✓p n(p0 p) z↵/2 p p0(1 p0) p p(1 p) ◆
H1 : ✓ > ✓0 On remplace le second terme de la formule du test bilat´eral par 0, et on remplace ↵/2 par ↵.
H1 : ✓ < ✓0 On remplace le premier terme de la formule du test bilat´eral par 1, et on remplace ↵/2 par ↵.
Taille d’´ech.* Les formules ci-dessous sont valides pour le test bilat´eral. Dans le cas unilat´eral, on remplace ↵/2 par ↵. n = (z↵/2+z )2 2 2 (z↵/2+z )2S2 2 32 + 12 ⇣ 0z↵/2+ z 0 ⌘2 ✓z ↵/2 p p0(1 p0)+z pp(1 p) p p0 ◆2
* Les symboles µ, 2 et p repr´esentent la vraie valeur du param`etre inconnu pour laquelle on d´esire calculer ou n. `A l’exception
Tests param´etriques `a deux ´echantillons (m ou n1 : taille du 1er´echantillon | n ou n2 : taille du 2e ´echantillon)
Test H0 Statistique Formule additionnelle H1 ⇤⇤ On rejette H0 si :
Deux moyennes µX µY = Z0 = ¯ X Y¯ q 2 X m + 2 Y n
Voir ci-dessous pour µX µY 6= |Z0| > z↵/2
(var. connues) erreur de 2e type et taille d’´ech.⇤ µ
X µY > Z0 > z↵ Deux moyennes µX µY = T0 = ¯ X Y¯ Sp q 1 m + 1 n Sp = s (m 1)S2 X + (n 1)SY2 m + n 2 µX µY 6= |T0| > t↵/2,m+n 2 ( 2 X = Y2) µX µY > T0 > t↵,m+n 2 Deux moyennes µX µY = T ⇤ 0 = ¯ X Y¯ q S2 X m + S2 Y n ⌫ = ⇣S2 X m + S2 Y n ⌘2 1 m 1 ⇣S2 X m ⌘2 +n 11 ⇣SY2 n ⌘2 µX µY 6= |T0⇤| > t↵/2,⌫ ( 2
X 6= Y2) arrondi `a l’entier inf´erieur µX µY > T0⇤ > t↵,⌫
Observations
µD = T0 =
¯ D
SD/pn Di = Xi Yi pour i = 1, . . . , n
Voir test d’une moyenne
appari´ees avec variance inconnue
Deux variances 2 X = Y2 F0 = S2 X S2 Y F1 ↵,n1,n2 = 1 F↵, n2, n1 2 X 6= Y2 F0 > F↵/2,m 1,n 1 ou F0 < F1 ↵/2,m 1,n 1 2 X > Y2 F0 > F↵,m 1,n 1 Deux proportions p1 = p2 Z0 = ˆ p1 pˆ2 r ˆ p(1 p)ˆ ⇣n11 +n12⌘ p =ˆ n1pˆ1+ n2pˆ2 n1+ n2 p1 6= p2 |Z0| > z↵/2 p1 > p2 Z0 > z↵ *On a ( ) = z↵/2 z↵/2 si H1 : µX µY 6= et ( ) = (z↵ ) si H1 : µX µY > , avec = µrX 2µY X m+ 2 Y n . On a m = n = (z↵/2+z )2( 2X+ Y2)
(µX µY )2 si H1 : µX µY 6= (on remplace ↵/2 par ↵ si H1 : µX µY > ).
**Pour e↵ectuer un test avec la contre-hypoth`ese H1 : µX µY < , on peut intervertir les ´echantillons respectifs de X et de
Y , et utiliser H1 : µY µX > 0 avec 0 = . Pour e↵ectuer un test avec les contre-hypoth`ese H1 : X2 < 2Y ou H1 : p1 < p2,