´Etude par simulation directe de l’interaction turbulence/surface plane sans
cisaillement en vue de l’analyse des transferts intercomposantes
Ga¨elle Campagne, Jean-Bernard Cazalbou, Laurent Joly & Patrick Chassaing
´Ecole Nationale Sup´erieure d’Ing´enieurs de Constructions A´eronautiques D´epartement de M´ecanique des Fluides
1 place Emile Blouin 31056 Toulouse [email protected]
R´esum´e :
Cette communication pr´esente une simulation directe de l’interaction turbulence/surface plane sans cisaillement. L’originalit´e de la configuration ´etudi´ee tient au fait que la turbulence est entretenue `a distance par un forc¸age al´eatoire localis´e au voisinage d’un plan de l’espace parall`ele `a la surface. L’´ecoulement est donc statistique-ment stationnaire et la couche de surface continˆustatistique-ment alistatistique-ment´ee par diffusion turbulente. On donne les premiers r´esultats de simulation obtenus. On discute de la pertinence de ces r´esultats pour l’interpr´etation des m´ecanismes de transfert ´energ´etique intercomposantes au voisinage d’une surface de blocage.
Abstract :
In this paper, direct numerical simulation is used to study the interaction between turbulence and a free surface. The configuration is original due to the fact that a random force generates turbulence in the vicinity of a plane parallel to the free surface. Turbulence is therefore statistically steady and the surface layer is continuously fed by turbulent diffusion. It is shown that the results obtained with this method can help the understanding of intercomponent energy-transfer phenomena.
Mots-clefs :
turbulence ; simulation directe ; surface libre ; forc¸age al´eatoire 1 Introduction
Dans un ´ecoulement pleinement turbulent, non confin´e, et pour des niveaux d’anisotro-pie mod´er´es, on observe que le transfert intercomposantes associ´e aux corr´elations pression-d´eformation est assimilable `a un m´ecanisme lin´eaire de retour `a l’isotropie. Il n’en va pas de mˆeme lorsque l’´ecoulement s’effectue `a proximit´e d’une surface imperm´eable (surface de blo-cage) : dans ce cas, le transfert intercomposantes ne s’effectue conform´ement au m´ecanisme de retour `a l’isotropie qu’au del`a d’une certaine distance, il est sensiblement affect´e (voire in-vers´e) au voisinage de la surface. On invoque traditionnellement l’effet d’impact (splat effect) pour expliquer cette modification dans la nature du transfert intercomposantes : des masses de fluide port´ees par des fluctuations normales `a la surface transf`erent leur ´energie dans les direc-tions tangentielles lorsqu’elles rencontrent la surface. Cette interpr´etation a ´et´e remise en cause en 1995 par les travaux de simulation directe de Perot et Moin [1] : les ´ev`enements d’impacts sont n´ecessairement associ´es `a des ´ejections (antisplat) ayant un effet inverse, le d´es´equilibre entre les deux types d’´ev`enements serait faible et ne pourrait ˆetre d´etermin´e que par les effets visqueux, actifs au voisinage imm´ediat de la surface. L’ann´ee suivante, ces conclusions ont ´et´e mod´er´ees par Walker, Leighton et Garza-Rios [2] : sur des champs obtenus par simulation di-recte dans la mˆeme configuration — mais aux temps courts —, le transfert intercomposantes
est plus intense, il existe un d´es´equilibre net entre impacts et ´ejections, toujours favorable aux premiers, et qui ne saurait ˆetre r´egl´e par la viscosit´e. Les r´esultats de distortion rapide obtenus r´ecemment par Magnaudet [3] semblent confirmer ce point.
La pr´esente ´etude a ´et´e entreprise pour r´eexaminer cette question dans une situation plus en rapport avec les applications, c’est-`a-dire quand la turbulence est entretenue `a distance : les simulations de Perot et Moin et de Walker et al. mettent en jeu une turbulence en d´ecroissance `a partir de l’instant initial o`u la surface est ins´er´ee. Il s’agira `a terme d’identifier les structures turbulentes responsables du caract`ere inhabituel du transfert intercomposantes dans la couche de blocage et d’en inf´erer des voies d’am´elioration pour la mod´elisation des corr´elations pression-d´eformation. Dans la suite de cette communication, on pr´esentera d’abord les m´ethodes num´eri-ques utilis´ees, pour passer ensuite `a la pr´esentation des premiers r´esultats de simulation. Enfin on ´evoquera les perspectives de l’´etude sur le transfert intercomposantes au voisinage de la surface.
2 M´ethodes num´eriques 2.1 G´eom´etrie du probl`eme
Le domaine de calcul est un parall´el´epip`ede rectangle, dans lequel la taille de maille est constante dans chaque direction. Les directions x et y sont trait´ees `a l’identique, elles sont p´eriodiques, de p´eriode 2π (ce qui permet de travailler avec des nombres d’onde entiers). La direction z est la direction dans laquelle on a plac´e une surface plane sans cisaillement (surface libre), `a chaque extr´emit´e du domaine de calcul. Ainsi pour chaque cas d’´etude, on pourra cumuler les statistiques au voisinage des deux surfaces. Le forc¸age s’effectuera dans une zone centrale parall`ele aux deux surfaces libres et d’´epaisseur finie en z (cf. 2.3).
FIG. 1 – D´efinition du domaine de calcul.
2.2 Code de calcul
Nous avons mis au point pr´ec´edemment dans le laboratoire [4] un code de calcul bas´e sur une m´ethode pseudo-spectrale, d´esormais classique depuis Orszag et Patterson [5], o`u les d´eriv´ees spatiales sont calcul´ees dans l’espace spectral et les termes non-lin´eaires dans l’espace physique. Nous appliquons la m´ethode de troncature selon la r`egle des 2/3 pour supprimer les erreurs de recouvrement, introduites par la m´ethode pseudo-spectrale. On choisit des conditions aux limites p´eriodiques dans les deux directions x et y de l’espace. La direction z subit un traite-ment particulier pour la repr´esentation des surfaces de blocage. Les grandeurs calcul´ees sont en effet d´ecompos´ees selon z en sinus et cosinus suivant leur parit´e. Ainsi les vitesses horizontales sont paires, et la vitesse verticale impaire, ce qui r´ealise les conditions de blocage : w(0) = 0 et
2.3 M´ethode de forc¸age
On trouve dans la litt´erature diff´erentes m´ethodes permettant de forcer une turbulence ho-mog`ene isotrope. Nous utilisons la m´ethode d’Alv´elius [6] : une force volumique al´eatoire est introduite dans l’espace spectral, aux faibles nombres d’onde, avec une distribution pr´ed´etermi-n´ee E = exp[−(κ − κf)2/c ]o`u κf est le nombre d’onde de forc¸age maximum, et c un facteur de concentration, fix´e ici `a 0,05. Par construction, cette force est `a divergence nulle afin d’ˆetre coh´erente avec le syst`eme d’´equations `a r´esoudre et d’´eviter une modification du champ de pression. Ce forc¸age est d’abord introduit dans l’ensemble du domaine de calcul puis confin´e, `a l’aide d’une fonction porte, `a la zone centrale : `a l’int´erieur de cette zone, la force reste in-chang´ee, alors qu’elle est annul´ee `a l’ext´erieur.
3 R´esultats de simulation
On examinera l’´evolution temporelle de statistiques volumiques prises sur l’ensemble du do-maine, mais compte tenu de l’homog´en´eit´e horizontale, on est ´egalement fond´e `a pratiquer des statistiques horizontales. Ces derni`eres donnent acc`es `a une information locale en z. La station-narit´e permet ´egalement de faire converger ces statistiques spatiales par cumul d’´echantillons pr´elev´es `a n instants. La convergence est ici obtenue par cumul de 100 ´echantillons temporels.
3.1 Nature du champ turbulent
La configuration retenue est la suivante :
– le domaine de calcul est de dimensions 2π3, avec une zone de forc¸age d’´epaisseur π/2 ; – le champ turbulent est discr´etis´e sur 1923 points et la r´esolution spatiale est isotrope :
∆x = ∆y = ∆z;
– l’´energie volumique inject´ee par le forc¸age `a chaque pas de temps est P = 0,1 ; – le spectre du forc¸age s’´etend de κ = 2 `a κ = 6 avec un maximum en κf = 4;
– le crit`ere de r´esolution des plus petites ´echelles est κmaxη = 2, o`u κmax = nx/3 pour ´eviter les probl`emes de recouvrement.
– le nombre de Reynolds de turbulence dans la zone de forc¸age Ref = uf`f/νvaut 410 (o`u `f est construite `a partir des valeurs de l’´energie cin´etique turbulente et de la dissipation dans la zone de forc¸age : `f = kf3/2/²f).
100 101 102 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 k E(k) pente −5/3 pente −7 Kf
FIG. 2 – Spectre ´energ´etique tridimensionnel `a t∗ = 60(t* est un temps adimensionnel, norm´e par un temps caract´eristique des structures inject´ees par forc¸age).
Sur la Figure 2, le spectre ´energ´etique tridimensionnel du champ turbulent ´etabli dans notre domaine de calcul pr´esente un d´ebut de plage de d´ecroissance en−5/3, caract ´eristique d’une turbulence pleinement d´evelopp´ee. L’´etendue de cette plage augmentera avec le nombre de Rey-nolds de la simulation. Aux grands nombres d’onde, on observe une augmentation importante de la pente, caract´eristique de la coupure dissipative. A la fronti`ere de r´esolution du spectre, ap-paraˆıt une l´eg`ere remont´ee du spectre, typique d’une sous-r´esolution aux plus grands nombres d’onde. La Figure 3 pr´esente les ´evolutions temporelles des trois composantes de la vitesse en
10 20 30 40 50 −2 −1 0 1 2x 10 −3 t* U,V,W
FIG. 3 – Evolution temporelle des trois composantes de la vitesse en moyenne volumique, normalis´ees par leurs ´ecarts-types : U (—), V (– –), W (–.–).
moyenne volumique, normalis´ees par les ´ecarts-types correspondants. Id´ealement, le type de forc¸age utilis´e doit conduire `a des vitesses moyennes nulles, ceci est obtenu ici `a moins de 0,3% pr`es. Sur la Figure 4, on a trac´e l’´evolution en fonction du temps de l’´energie cin´etique
turbu-10 20 30 40 0 2 4 6 t*
FIG. 4 – ´Evolution temporelle de l’´energie cin´etique turbulente normalis´ee par la valeur finale de sa moyenne volumique, en moyenne volumique (—) et en moyenne horizontale dans le plan z = 0(– –).
lente en moyenne volumique normalis´ee par sa valeur finale, et sa moyenne horizontale dans le plan z = 0 normalis´ee par la mˆeme valeur. Partant d’un champ de vitesse nulle, le forc¸age g´en`ere de la turbulence dans la zone centrale, et au bout de 5 temps caract´eristiques, les niveaux d’´equilibre statistique temporel des deux grandeurs semblent ˆetre atteints.
On donne en Figure 5-a les profils d’´energie cin´etique turbulente et de dissipation en moyen-ne horizontale. Comme on pouvait s’y attendre, ces deux grandeurs prenmoyen-nent leurs valeurs
maxi-[a] 0 2 4 6 8 −3 −2 −1 0 1 2 3 k z [b] 0 0.5 1 1.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 2 w’ / (u’+v’) z
FIG. 5 – (a) ´Evolution verticale de l’´energie cin´etique turbulente (—) et du montant de la dis-sipation (– –), et (b) Evolution verticale du facteur d’isotropie, grandeurs moyenn´ees dans les plans horizontaux (les traits horizontaux (...) correspondent `a la limite de la zone de forc¸age). libres. On pourrait observer que la d´ecroissance de l’´energie cin´etique turbulente est inhib´ee par la pr´esence de ces deux surfaces, au voisinage desquelles elle r´eaugmente l´eg`erement. S’agis-sant de la dissipation, il apparaˆıt des pics tr`es nets aux fronti`eres de la zone de forc¸age ; cet effet reste inexpliqu´e mais est certainement `a mettre en relation avec le confinement « brutal » du forc¸age par une fonction porte.
La Figure 5-b montre l’´evolution verticale de l’isotropie du champ de vitesse, d´efinie par I(z) = u(z)+v(z)2w(z) , o`u u, v, w sont les ´ecarts-types des trois composantes du champ de vitesse turbulent. `A partir de la zone centrale o`u le coefficient d’isotropie reste proche de l’unit´e, on observe qu’il augmente l´eg`erement pour atteindre un maximum de l’ordre de 1,2. Ceci traduit le fait que la composante w est plus importante que les deux autres ; ce r´esultat est coh´erent avec les exp´eriences de diffusion de turbulence `a partir d’une source plane (exp´eriences de grille oscillante, voir par exemple De Silva et Fernando [7]) o`u le coefficient d’anisotropie s’´etablit dans la plage 1,1–1,3. Apr`es avoir atteint son maximum, l’isotropie chˆute jusqu’`a s’annuler sur les surfaces libres ; cette plage de d´ecroissance correspond `a la zone affect´ee par les effets de blocage, et vaut 0,46`f.
3.2 Ind´ependance au maillage
L’ind´ependance au maillage a ´et´e test´ee en simulant l’´ecoulement `a Ref = 350 avec deux maillages diff´erents : 1283 et 1923, la viscosit´e ´etant celle fix´ee par le crit`ere κ
maxη = 2dans le cas le moins r´esolu.
On remarque sur la Figure 6-a que les ´evolutions temporelles de l’´energie cin´etique tur-bulente en moyenne volumique et dans le plan central du forc¸age conduisent aux mˆemes ni-veaux d’´equilibre pour les deux r´esolutions. De mˆeme, pour le spectre ´energ´etique tridimen-sionnel de la turbulence (cf. Figure 6-b), on constate qu’ils co¨ıncident pour les deux r´esolutions choisies. En outre, on observe que la l´eg`ere remont´ee du spectre en limite de r´esolution ob-tenu avec le maillage le plus grossier n’influence pas le reste du spectre ; de plus, les autres r´esultats pr´esent´es ne semblent pas affect´es par cette sous-r´esolution. Ceci valide donc le crit`ere de r´esolution retenu.
[a] 0 10 20 30 40 0 2 4 6 t* [b] 10 0 101 102 10−6 10−4 10−2 100 k E(k)
FIG. 6 – (a) Evolution temporelle des ´energies cin´etiques turbulentes, normalis´ees par la valeur finale de la moyenne volumique, en moyenne volumique et dans le plan z = 0 , et (b) Spectre ´energ´etique tridimensionnel `a t∗ = 60. N
x x Ny x Nz= 1283 (—), Nxx Ny x Nz = 1923(– –).
4 Conclusions
Les r´esultats pr´esent´es permettent l’´etude de l’interaction turbulence/surface libre dans le cas o`u la turbulence est maintenue et l’´ecoulement r´esultant statistiquement stationnaire : ils sont valid´es du point de vue de l’ind´ependance au maillage et l’extension de la zone affect´ee par l’effet de blocage est significative (de l’ordre de l’´echelle int´egrale dans la r´egion source). Les pics de dissipation obtenus en fronti`ere de zone forc´ee ne semblent pas de nature `a per-turber l’´ecoulement dans la couche de blocage. N´eanmoins on s’attachera `a les ´eliminer par un confinement moins abrupt du forc¸age avant de proc´eder `a la construction des bilans des tensions de Reynolds, n´ecessaires `a une ´etude plus approfondie des structures ´energ´etiques existantes `a la surface.
R´ef´erences
[1] B. Perot and P. Moin. Shear-free turbulent boundary layers. part 1. Physical insights into near-wall turbulence. J. Fluid Mech., 295 :199–227, 1995.
[2] D. T. Walker, R. I. Leighton, and L. O. Garza-Rios. Shear-free turbulence near a flat free surface. J. Fluid Mech., 320 :19–51, 1996.
[3] J. Magnaudet. High-Reynolds-number turbulence in a shear-free boundary layer : revisiting the Hunt-Graham theory. J. Fluid Mech., 484 :167–196, 2003.
[4] L. Bretonnet, L. Joly, and P. Chassaing. Direct numerical simulation of inertia-sensitive turbulence. European Turbulence Conference, July 2-5, Southampton, UK, (71), 2002. [5] S. A. Orszag and G. S. Patterson. Numerical simulation of three-dimensional homogeneous
isotropic turbulence. Phys. Rev. Lett., 28(2) :76–79, 1972.
[6] K. Alvelius. Random forcing of three-dimensional homogeneous turbulence. Phys. Fluids, 11(7) :1880–1889, 1999.