ARTheque - STEF - ENS Cachan | Trains épicycloidaux (suite)

TRAINS EPICYCLOIDAUX

par Michel BANGUET

Voici la suite de l'article de Michel

BAN GUET, professeur agrégé de mécanique en classe de mathématiques spétiales technologiques au Lycée BAGGIO de Lille.

Dans la première partie de cet article, parue dans le numéro 62 de notre revue, l'étude a porté sur les trains de Pecqueur. cette étude se poursui ici avec les

réducteurs "russes" et les transmissions de boîte automatique.

2-Réducteur .. russe"'

à

trains imbriqués

Ce réducteur "russe" est donné en exemple dans l'ouvrage "Eléments de Machines" publié aux Editions Mir de Moscou. Le livre précise que cette configuration est utilisée pour des rapports de réduction importants jusqu'à 100 ou plus, mais qu'il faut accepter alors une

nette baisse de rendement. Vérifions ...

2.1- Schéma;_

8:::.115

~

2.2- Loi cinématique: Train A,C,B: (roAJP)/(roBfP) =-BI A d'où (roA-rop)/(-rop) =-BI A et

roA_irop = (A+B)/A= 6 1

Train A,C,E,D:

(roAJP)/(roDfP) = -D.C/AE = -110/21 = -i d'où ro A_!roD = 6i/(i-5) = 132

ro N(j)D = roefros = + 132 1

2.3-Rendement:

Pour l'observateur fixe/bâti: perte de puissance :

LW= Ceroe(H.t) = Csros(1-ll~-t)

Pour l'observateur lié au porte-satellites (P):

• il voit passer sur A la puissance PA= Ceroe(1-roP/roe). Testons le signe de PA:: Ceroe >0 et roP/roe = 1/6 d'où PA >0, donc A est une "entrée" pour l'observateur lié à P.

• il voit passer sur D la puissance PD= Csros(l-roP/ros). Testons le signe de PD : Csros <0 et roP/ros

=

22 d'où PD >0 , donc D est encore une "entrée" pour l'observateur lié à P.

• il voit passer sur B la puissance PB = -CBroP .La dernière relation avec l'extérieur s'effectuant par B, ce ne peut être qu'une sortie pour l'observateur lié à P, puisque A et D sont des entrées.

Vérifions: l'équation de moment par rapport à l'axe général du réducteur permet d'écrire: Ce+Cs+CB = O. Si on suppose le rendement Il voisin de 1, Cs= -Ceroe/ ros et CB =Ce( roe/ros- 1) >0; de plus rop >0 d'où PB <0.

d'où 2 flux de puissance: flux A,C,B:

perte M'= PA+ P'B =PA (1-o-2) = P'B(1-1/cr2) flux D,E,C,B

perte M" =PD+ P"B =PD (1-o-2) = P"B(1-1/cr2) PB est pénible à exprimer et on garde

LW=&'+&"= (PA+ PD)(l- cr2) soit: LW= Ceroe(1-roP/roe)(l-cr2)- p Ceroe(l-roP/ros)(1-cr2) = Cero 1 - p et finalement: p = [cr2 + roP/roe(l-cr2)]/[l-(1-roP/ros)(l-cr2)) pour cr= 0,97 => p = 0,424, pour cr= 0,98 => p = 0,528, et pour cr= 0,99 => p = 0,694.

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2.4- Commentaires:

Le rendement est effectivement très médiocre L'ouvrage présentant ce mécanisme indique d'ailleurs que ce genre de construction est limitée à des puissances de IOOkW.

Ce réducteur est très rapidement irréversible ( voir Courbe 9) centre axes à x:

=

0.90 y= 0.00

graq.

x

=

0.01 grad y= 0.10

trait fin rendement en multiplicateur

}11

=

((1/6"")+(1-(1/6""))*22)/(1-5(1-(1/ô"))/6)

trait fort rendt réducteur

}l = (6""+(1-ô")/6)/(1-(1-22(1-ô")))

fO,l

b.9

0,91 0,95 0,97

0,

En plaçant en série trois cellules épicycloïdales ultra-plates (type

o

des trains de PECQUEUR) donnant une réduction de 6 par étage (au total rapport = 216), on arrive à un rendement global de 0,951 (bien meilleur que 0,694) pour cr = 0,99. Ce type de construction existe bien industriellement: exemple des réducteurs SADI.

3-Tnnsmïssions de boites albmaliques

3.1-Boîte

à

train de SIMPSON:

à 3 rapports et marche arrière 3.1.1 Schéma

Ce type de boîte groupant 2 cellules épicycloïdales ultra-plates identiques à dentures hélicoïdales pour réaliser un train de SIMPSON est fabriquée par la Société

de Transmissions Automatiques Cette

boite équipe en particulier des véhicules R9, FUEGO, R20, etc.

Le schéma de principe simplifié fait apparru.î:re les embrayages El et E2, et les freins FI , F2, à action hydraulique, qui permettent l'obtention des différents rapports.

Rapport El E2 FI 1ère actionné actionné 2ème actionné

3ème actionné actionné M. Ar actionné

3.1.2- Calculs des rapports: Train A,B,C =>

d'où relation (1) roA + 2roC = 3roS Train A,D,S =>

actionné

roC = roe et roP = 0: roC + 2roe = 3ros et roA + 2ros = 0 d'où roe/ros = 2,5

2ème: roC = roe et roA = 0 2roe = 3ros

d'où roe/ros = 1,5

3ème: roC = roe et roA = roe roe= ros

rotation en bloc de l'ensemble : roe/ros = 1

M.Ar: roA = roe et roP = 0 roe+ 2ros=O

d'où roe/ros = -2 3.1.3: Calculs des rendements:

Ière:

F2 actionné

Etudions d'abord le train épicycloïdal C,B,A:

Observateur fixe/bâti: voit le train épicycloïdal de rendement Il' 1

La perte de puissance est LlP = Ccroc(l-f.l' 1)

Observateur lié au porte-satellites (S): il voit passer sur C la puissance

Pc= Ceroe(l-())glroe).

Testons le signe de Pc: Ceroe >0 et ros/roe= 1/2,5 d'où Pc>O

donc C est vu comme une "entrée" par l'observateur lié à (S) et la perte de puissance, en supposant le même rendement de base cr pour chaque engrènement à axes fixes, est:

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AP = Ceroe(l-(0₅/roe)(l-cr2) = Ceroe(l-J.t'I) car les pertes sont indépendantes de la position de l'observateur. Il vient J.l'I = cr2

+

rosfroe)(l-cr2)

Etudions maintenant le train à axes fixes A,D,S: Le rendement pour l'observateur fixe est J.l"I = cr2 d'où le rendement global en 1ère: Ill= J.l'I.ll"I

1 Ill = cr2.[cr2

+

ros/roe)(l-cr2)] 1

pour cr= 0,98, on a Ill= 0,9376 et pour a= 0,99, on a Ill= 0,9684

le rendement est très bon. 2ème:

Comme ro A = 0, le train C,B,A transmet seul. Pour l'observateur fixe/bâti: perte de puissance AP = CeroeCl-J.l2)

Pour l'observateur lié au porte-satellites (S): il

voit passer sur C la puissance Pc= Ceroe(l-(J)sfroe).

Testons le signe: Ceroe >0 et ros/roe= l/1,5 d'où Pc >0, donc C est vu comme "entrée" par l'observateur lié à (S) et la perte de puissance est alors:

AP = Ceroe(l-(J)s/roe)(l-cr2) = Ceroe(l-J.l2) d'où:

1 ll2 = a2

+

rosfroe)(l-a2)

j

pour a = 0,98 , on a !-12 = 0,9868 et pour a

=

0,99 , on a !-12 = 0,9934

3ème: les engrenages n'ont aucun mouvement relatif interne, l'ensemble tourne en bloc et

1 J.l3 = 1

M.Ar: A moteur et P fix . Transmission par le train A,D,S à axes fixes pour l'observateur lié au bâti, d'où:

1 !lma = a2

pour cr

=

0,98 , on a !lma = 0,9604 et pour a = 0,99 , on a !lma = 0,980

Le rendement est toujours excellent !

3.2- Boîte

à

train de RA VIGNEAUX:

à 4 rapports et marche arrière 3.2.1: Schéma:

Le train de RA VIGNEAUX comporte un planétaire A (A = 21 dents), un planétaire B (B = 27 dents), une couronne à denture intérieure C ( C = 57 dents), et trois groupes de satellites disposés à 120°. Chaque équipage de stallites comporte un satellite S1 (Sl

= 15 dents) en prise avec A et engrenant avec le deuxième satellite S2 (S2 = 14 dents) lui-même en prise

avecB etC.

Les embrayages E1 et E2 peuvent lier respectivement les planétaires A et B à la sortie du convertisseur-coupleur. L'embrayage E3 peut entraîner

directement le porte-satellites P au régime du moteur (calage sur l'impulseur du convertisseur-coupleur).

Le porte-satellites P peut être arrêté (vitesse nulle/carter) par le frein F 1 (frein moteur en 1ère imposée ou marche arrière) ou la roue libre R.L (1ère non imposée).

Le frein F2 peut arrêter le plus grand planétaire

B.

Les différents embrayages ou freins sont à action hydraulique.

Obtention des différents rapports:

Rapports _{Et E2 E3}

1ère actionné 2ème actionné

3ème actionné actionné

4ème actionné

M. Ar actionné

3.2.2- Calcul des rapports: Train B, S2, C:

(rocœ)/(roBfp)

=

-CIB

=

-27/57 d'où 57 roc + 27 roB = 84 rop

Train A, SJ> S2, C:

(rocœ)/(roAJP) =+A/C = 21157 d'où 57roc- 21roA = 36rop

1ère: Ft ouR.L actionné actionné F2 actionné actionné ro A = roe et rop = 0 d'où 57ros = 21roe

2ème

et roefros = 2,714

ro A = roe et roB = 0 d'où

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rofiros = (57.48)/(21.84) et 3ème:

ro A= roB = roe ;

l'ensemble tourne en bloc et 4ème:

rop roe et roB = 0 d'où 57ros = 84roe

M.Ar: rop = 0 et roB = roe

et

rofiros =1,551

rofiros = 0,678

d'où 57 ros =- 27roe et rofiros = -2,11 Ces rapports sont très voisins de ceux de la boîte à 3 rapports étudiée antérieurement.

3.2.2 rendements des différents rapports:

Hypothèse: le rendement de base pour chaque engrènement vu à axes fixes est cr.

1ère:

Train à axes fixes/bâti. Entrée sur A et sortie sur C pour l'observateur fixe/bâti, d'où, (avec 3 engrènements successifs)

pour cr= 0,98 on a J.lt = 0,941 et pour cr= 0,99 on a J.ll = 0,970

2ème:

Observateur fixe/bâti : voit le train épicycloïdal avec entrée sur A et sortie sur C

Perte de puissance AP = Ceroe(l-J.12) = Csros(l-l/J.l2) Observateur lié au porte-satellites P: (voit le train à axes fixes)

A tourne à roA- roP. Puissance PA= Ce roe(I-roP/roe). Testons le signe de PA:

Ceroe >0 et roP/roe = 21/48 = 0,437 d'où PA >0. A= "entrée" pour l'observateur lié à P.

C tourne à (ros-roP). Puissance PC= Csros(l-roP/ros). Testons le signe de PC:

Csros <0 et roP/ros

=

57/84 d'où PC <0, donc C est "sortie" pour l'observateur lié à P. B tourne à (-roP). Puissance PB= -CBroP. Testons le signe de PB.

Equation de moment pour l'ensemble isolé: Ce+Cs+CB =0

Avec un rendement global voisin de I,

Cs = -Ceroe/ros = -I,55 Ce d'où CB = 0,55Ce >0 Donc PB <0 et

B est une "sortie" pour l'observateur lié à (P).

D'où 2 flux de puissance à partir de l'unique "entrée" A:

A, SI, S2, B (3 engrènements): M'= P'A +PB A, SI, S2, C (3 engrènements): M" = P"A +PC

La puissance motrice PA se répartissant en 2 flux inconnus, il est nécessaire d'exprimer les pertes à partir de PB et PC.

AP'= PB(I-llcr3)= -CBroP(l-llcr3)= (Ce+ Cs)(I-llcr3)roP avec Ce= -Csros/J.l2roe

AP" = PC(l-l/cr3) = Csros(l-roP/ros)(I-llcr3)

La perte de puissance indépendante de l'observateur donne: Csros(l-l/J.12) = = Cs(l-ros/J.12roe)(I-l/cr3)roP + Csros(1-roP/ros)(1-llcr3) d'où finalement /J.l2 = (1- (1-1/cr3)roP/roe]cr3 avec roP/ros = 21/48 = 0,437 pour cr= 0,98 on a J.12 = 0,9669 et pour cr= 0,99 on a J..l2 = 0,9833 3ème:

rotation en bloc de l'ensemble, aucun engrènement ne travaille d'où

IJ.l3 = 1 1 4ème:

transmission par le train B, S2, C.

Observateur fixe/bâti: voit le train épicycloïdal de rendement J..l4

Perte de puissance AP = Csros(1-1/J..l4) Observateur lié au porte-satellites P: P est arrêté d'où puissance nulle

C tourne à (ros-roP) d'où PC= Csros(l-roP/ros).

Testons le signe: Csros <0 et roP/ros = 57/84 PC <0 donc C est une "sortie" pour l'observateur lié à P.

B qui tourne à ( -roP) est donc obligatoirement l'entrée. La perte de puissance est

AP = Csros(1-roP/ros)(1-llcr2) = Csros(1-I/J..l4) d'où 1 J.l4 = 1/[1/cr2 + roP/ros(1-1/cr2)] / avec roP/ros = 57/84 pour cr = 0,98 on a J.l4 = 0,987 et pour cr = 0,99 on a J.l4 = 0,9935 M.Ar:

Train à axes fixes avec 2 engrènements d'où IJ.lma=cr2 1

pour cr= 0,98 on a J..lma = 0,9604 et pour cr= 0,99 on a J..l ma=0,980

CONCLUSION:

Le rendement est toujours excellent.

M. BANGUET

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