Oraux Blancs III

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Oraux blancs III. PSI. Mai 2007.

Exercice 1 Pour tout couple (x, y) ∈ R2_{, on note}

N (x, y) = sup t∈R x + ty 1 + t + t2 . Montrer que N dénit une norme sur R2 _{et tracer la boule unité}

BN(0, 1) = {(x, y) ∈ R2/ N (x, y) 6 1}. ******************** Exercice 2 On pose In= Z 1 0 xn 1 + xdx. 1. Montrer que lim

n→∞In= 0. 2. Exprimer In en fonction de n. 3. Déterminer ∞ X n=1 (−1)n n .

Exercice 3 Écrire la matrice de la symétrie de R2 _{d'axe la droite d'équation ax + by = 0 dans}

la base canonique de R2 _{(On rappelle que la symétrie σ}

D d'axe D vaut 2πD− id où πD est la

projection orthogonale sur D).

******************** Exercice 4 Soit (un)n∈N la suite dénie par

un= nn+1 2 en_n! . 1. Montrer que ∀n ∈ N, log un+1 un = n log 1 + 1 n −1 n +1 2log 1 + 1 n .

2. En déduire que la série P log un+1

un

puis que la suite (log(un))convergent.

3. En déduire qu'il existe un réel a > 0 tel que n! ∼ +∞a √ nn e n .

(2)

Exercice 5 Soit

Φ : R[X]2 → R[X] (P, Q) 7→ R∞

0 e

−t_{P (t)Q(t)dt}

1. Montrer que Φ est un produit scalaire. 2. Déterminer inf(a,b)∈R2R

R+e

−t_(t2_{− at − b)}2_dt_.

********************

Exercice 6 Soit f : R → R, continue, T -périodique telle que f(0) > 0. 1. Montrer qu'il existe a > 0 tel queZ

a 0 f (t) dt > 0. 2. En déduire queZ +∞ 0 f (t) dtdiverge.

(On pourra considérer la primitive F (X) = Z

X

0

f (t) dt et étudier les suites (un) et (vn)

données pas un= F (nT )et vn= F (a + nT ).)

Exercice 7 Soient a, b, c trois réels. On considère la matrice M =   1 a 1 0 1 b 0 0 c  .

Pour quelles valeurs des paramètres a, b, c la matrice M est-elle diagonalisable ? ********************

Exercice 8 Pour tout n ∈ N∗_{, on note}

fn(x) = (−1)n

x2n+1

4n2_{− 1}

1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P_n>1fn(x). La série converge-t-elle

pour x = R, x = −R 2. Montrer que ∀ x ∈ R, |x| < 1 ⇒ ∞ X n=1 f_n0(x) = −x arctan x 3. En déduire la somme f = P∞ n=1fn.

(3)

Exercice 9 Soit E un espace vectoriel. 1. Soit (Uk)k∈N une famille d'ouverts de E.

(a) Montrer que [

k∈N

Uk est encore un ouvert.

(b) Montrer que quelque soit la famille d'indices k1, . . . , ks, l'union s

\

i=1

Uki est encore un

ouvert.

2. Soit (Fk)k∈N une famille de fermés de E.

(a) Montrer que \

k∈N

Fk est encore un fermé.

(b) Montrer que quelque soit la famille d'indices k1, . . . , ks, l'union s [ i=1 Fki est encore un fermé. ******************** Exercice 10 Pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R, on note

un(x) =

nx 1 + n3_x2.

1. Montrer que la série P un converge simplement sur R.

2. Pour tout n∈ N, étudier la fonction un sur R.

3. En déduire que pour tout a > 0, la série P unconverge normalement sur ] − ∞, −a, ] ∪ [a, +∞[.

4. A-t-on convergence normale sur R ?

Exercice 11 Soit (fn)la suite de fonctions dénie sur [0, 1] par

fn(x) = xnlog(cos(x)).

1. Montrer que la suite (fn)converge simplement sur [0, 1]. On notera f sa limite.

2. À-t-on convergence uniforme sur [0, 1] ?

3. Montrer que pour tout a ∈]0, 1[, la suite (fn)converge uniformément vers f sur [a, 1].

4. En déduire lim n→+∞ Z a 0 fn(t) dt. 5. Montrer que Z 1 0 fn(t) dt −→ n→+∞0. ******************** Exercice 12 Soit 1  −2 6 −3 

(4)

Exercice 13 1. Montrer que la matrice suivante est la matrice d'une isométrie de R2_. B = √ 2 2 1 −1 1 1

2. Déterminer l'isométrie associée à A via la base canonique de R2_.

********************

Exercice 14 Soit (fn)n∈N∗ la suite de fonctions dénies sur [0, 1] par

∀ x ∈ [0, 1], fn(x) =    n2x si _{0 6 x 6 1/n} −n2_{(x − 2/n)} _si 1/n 6 x 6 2/n 0 si _{2/n 6 x 6 1}

1. Tracer le graphe de fn pour quelques valeurs de n.

2. La suite (fn)converge-t-elle simplement sur [0, 1] ? Si oui, quelle est sa limite f ?

3. La suite (fn)converge-t-elle uniformément vers f sur [0, 1] ?

Exercice 15 Soit u l'endomorphisme de R3 _{dont la matrice dans la base canonique est donnée}

par A =   1 2 4 1/2 1 2 1/4 1/2 1  .

1. Montrer que A est diagonalisable. 2. Calculer An _{pour tout n ∈ N.}

******************** Exercice 16 Pour tout n ∈ N∗_{, on note P}

n la fonction polynomiale dénie sur R+ par

Pn(x) = xn+ xn−1+ . . . + x − 1.

1. Montrer que pour tout n ∈ N∗_{, P}

n admet une unique racine un positive.

2. Montrer que pour tout n ∈ N∗_{, on a}

Pn(un+1) < 0.

3. En déduire le sens de variation de la suite (un), puis sa nature.

4. Montrer que la suite (un

n)tend vers 0 quand n → +∞.

(5)

Exercice 17 1. Montrer que la matrice suivante est la matrice d'une isométrie de R2_. A = −1 5 −4 3 3 4 .

2. Déterminer l'isométrie associée à A via la base canonique de R2_.

********************

Exercice 18 Soit α ∈ R xé. On dénit sur [0, 1] la suite de fonctions (fn)n∈N∗ par

∀x ∈ [0, 1], fn(x) =      nα_{x(1 − nx)} _{si 0 6 x 6} 1 n 0 si 1 n6 x 6 1 1. Montrer que (fn)converge simplement vers une fonction f à déterminer.

2. Déterminer une condition nécessaire et susante sur α pour que la suite (fn) converge

uniformément vers f sur [0, 1].

3. Déterminer une condition nécessaire et susante sur α pour que lim n→+∞ Z 1 0 fn(x) dx = Z 1 0 f (x) dx. 4. Commenter.

Exercice 19 Soient a et b deux réels positifs. Déterminer en fonction de a et b la nature de la série de terme général

5

√ n an

bn_{+ 5}√n.

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Exercice 20 On munit R3 _{de sa structure euclidienne usuelle. Soit P le plan de R}3 _d'équation

2x − 2y + z = 0.

1. Déterminer une BON {e1, e2}de P et un vecteur normé {e3}de P⊥.(On pourra considérer

la base {(1, 2, 2), (1, 1, 0)} de P.) On obtient ainsi une BON B = {e1, e2, e3} de R3.

2. On pose u = (4, −1, −1). Déterminer le projeté orthogonal ΠP(u) de u sur P, ainsi que

l'angle entre u et ΠP(u).

3. Pour tout vecteur X ∈ R3_{, exprimer Π}

P(X)en fonction des coordonnées de X dans la base

{e1, e2, e3}.