ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2014-2015
CONTR ˆOLE CONTINU
S´eries num´eriques.
Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.
Tous les exercices sont ind´ependants.
Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.
Exercice 1 Soient a et b deux r´eels positifs. Pour tout n ∈ N, on note un =
2n+ an
2n+ bn
D´eterminer la nature de la s´erie P un en fonction des valeurs de a et b. On repr´esentera les
diff´erents r´esultats obtenus sous la forme d’un d´ecoupage du plan (aOb).
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Exercice 2 L’objectif de cet exercice est d’´etudier en d´etails le comportement de la s´erie P1 n.
Ainsi, pour tout n ∈ N∗, on note un = 1 n et Sn= n X k=1 uk
1. Justifier rapidement de la divergence de la s´erie P un. En d´eduire la limite lim n→+∞Sn.
2. Un ´equivalent simple
(a) Montrer par un argument graphique ou analytique que
∀n > 2, ln(n + 1) − ln(n) 6 un 6 ln(n) − ln(n − 1)
(b) En d´eduire un encadrement de la somme partielle Sn.
(c) Montrer que ln(n + 1)
ln(n) −→ 1 en +∞ et en d´eduire un ´equivalent simple de la somme partielle Sn en +∞.
3. La constante d’Euler Pour tout n > 2, on note
vn= 1 n + ln n − 1 n , Tn = n X k=2 vk et γn= Sn− ln(n)
(a) Montrer que la s´erie P vn est convergente. On rappelle pour cela que ln(1 − u) = −u − u 2 2 + o(u 2 ) (b) Exprimer Tn en fonction de Sn et ln(n).
(c) En d´eduire la nature de la suite (γn).
Note : la limite γ ≈ 0.577 de la suite (γn) est appel´ee la constante d’Euler. Elle fait partie
des constantes universelles.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Exercice 3 Soient (an) la suite d´efinie par a0 = 0, a1 = 1 et
∀n > 2, an= an−1+ 2an−2
et f la s´erie enti`ere d´efinie par
f (x) =
+∞
X
n=0
anxn
1. Calculer les termes a2, a3 et a4.
2. Montrer par r´ecurrence que
∀n ∈ N, 0 6 an6 2n
3. En d´eduire que pour tout x ∈−12,12, la s´erie P anxn converge. Que peut-on en d´eduire
quant au rayon de convergence R de la s´erie enti`ere f ? 4. Pour tout x ∈] − R, R[, on note
g(x) = f (x)(1 − x − 2x2) (∗)
(a) Montrer que pour tout x ∈] − R, R[, on a g(x) = x (on pourra remplacer, dans l’expression (∗), f (x) par la somme, d´evelopper puis tout rassembler en une seule s´erie de la forme
+∞
X
n=0
bnxn, les coefficients bi d´ependant des coefficients ai).
(b) En d´eduire f (x) sous la forme d’une fraction rationnelle.
? ? ?
CORRECTION
Exercice 1 :
La nature de la s´erie P un d´epend de la position de a et b par rapport `a 2. Ainsi,
• Si a < 2 et b < 2, alors un ∼
2n
2n = 1. Le terme g´en´eral un ne tend donc pas vers 0 et la
s´erie associ´ee diverge grossi`erement.
Note : en cas d’´egalit´e, on a un∼ 2 ou un ∼ 12 ou un∼ 1. Dans tous les cas, il y a encore
divergence grossi`ere de la s´erie. • Si a > 2 et b < 2, alors un ∼ an 2n = a 2 n
. Le terme g´en´eral un est donc ´equivalent au
terme g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique de raison q = a
2 > 1. La s´erie P un est donc
divergente.
Note : le r´esultat est encore valable si a = 2 et b < 2 ou si a > 2 et b = 2. • Si a < 2 et b > 2, alors un ∼ 2n bn = 2 b n
. Le terme g´en´eral un est donc ´equivalent au
terme g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique de raison q = 2b < 1. La s´erie P un est donc
convergente.
Note : si a = 2 et b > 2, le r´esultat est similaire. Cependant, si a < 2 et b = 2, alors un ∼ 12 et la s´erie associ´ee diverge.
• Si a > 2 et b > 2, alors un ∼ an bn = a b n
. Il faut alors distinguer les cas a < b et a > b : – Si a < b, la s´erie P un converge `a la vitesse d’une s´erie g´eom´etrique convergente.
– Si a > b la s´erie P un diverge `a la vitesse d’une s´erie g´eom´etrique divergente.
On peut r´esumer l’´etude ci-dessus par le dessin suivant :
a
b
2
2
a
=
b
CV
DV
DV
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :
1. La s´erie P 1
n est une s´erie de Riemann de param`etre α = 1. Il s’agit donc d’une s´erie
divergente car α 6> 1. La s´erie ´etant `a termes positifs, la suite (Sn) de ses sommes partielles
est croissante. ´Etant divergente, on a Sn → +∞.
2. (a) Soit n > 2. La fonction t 7→ 1t ´etant d´ecroissante, on a ∀t ∈ [n, n + 1], un> 1 t Ainsi, un = Z n+1 n undt > Z n+1 n 1 tdt = [ln t] n+1 n = ln(n + 1) − ln(n) De mˆeme, ∀t ∈ [n − 1, n], un6 1 t Ainsi, un = Z n n−1 undt 6 Z n n−1 1 tdt = [ln t] n n−1= ln(n) − ln(n − 1)
(b) En sommant les in´egalit´es ci dessus pour k allant de 2 `a n, on a ln(n + 1) − ln 2 = n X k=2 ln(k + 1) − ln(k) 6 n X k=2 uk6 n X k=2 ln(k) − ln(k − 1) = ln(n) On obtient alors un encadrement de Sn = Pnk=1uk en ajoutant u1 = 1 `a chaque
membre de cette in´egalit´e. D’o`u :
ln(n + 1) − ln 2 + 1 6 Sn 6 ln(n) + 1 (c) ln(n + 1) ln(n) = ln n 1 + 1n ln(n) = 1 + ln 1 + n1 ln(n) → 1
Ainsi, en divisant la chaˆıne d’in´egalit´es ci dessus, on obtient : ln(n + 1) ln(n) − ln 2 − 1 ln(n) 6 Sn ln(n) 6 1 + 1 ln(n)
Chacune des bornes tendant vers 1 en +∞, le th´eor`eme des gendarmes assure que le quotient Sn
ln(n) → 1. Autrement dit,
Sn∼ ln(n)
3. (a) D’apr`es le D.L. de ln(1 − u) donn´e, on a ln n − 1 n = ln 1 − 1 n = −1 n − 1 2n2 + o 1 n2 D’o`u vn= 1 n + ln n − 1 n = − 1 2n2 + o 1 n2 ∼ − 1 2n2
La s´erie P vn est donc de mˆeme nature que la s´erie
P 1
2n2 qui est une s´erie de
(b) Pour tout n > 2, on a Tn= n X k=2 vk = n X k=2 1 k + ln k − 1 k = n X k=2 1 k − n X k=2 ln(k) − ln(k − 1) = Sn− 1 − ln(n)
(c) D’apr`es le calcul pr´ec´edente, on a, pour tout n > 2 : γn= Sn− ln(n) = Tn+ 1
Or la s´erie P vn ´etant convergente, la suite (Tn) converge. En notant T sa somme,
on a
lim
n→+∞γn= T + 1
Ainsi, la suite (γn) converge.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 : 1. a2 = a1+ 2a0 = 1 a3 = a2+ 2a1 = 3 a4 = a3+ 2a2 = 5 2. Soit P(n) : 0 6 an6 2n.
• Initialisation : on a 0 6 a0 = 0 6 20 = 1 et 0 6 a1 = 1 6 21. Donc la propri´et´e est
vraie aux rang 0 et 1.
• H´er´edit´e : supposons qu’il existe un rang n > 1 pour lequel P(n − 1) et P(n) soit vrai. Puisque an+1 = an+ 2an−1, an+1 est la somme de deux termes positifs et il est
´egalement positif. De plus, puisque an−1 6 2n−1 et an6 2n, on a
an+1= an+ 2an−1 6 2n+ 2.2n−1 = 2.2n= 2n+1.
Donc
0 6 an+1 6 2n+1
et P(n + 1) est vraie.
• Conclusion : P(n) ´etant vraie aux rang n = 0 et n = 1 et ´etant h´er´editaire, elle est vraie pour tout n ∈ N.
3. Pour tout x ∈−12,12, on a
0 6 |anxn| 6 (2|x|)n
Or |x| < 12 assure que 2|x| < 1. Le terme g´en´eral |anxn| est donc major´e par le terme
g´en´eral d’une s´erie g´eom´etrique convergente. Donc la s´erie P |anxn| converge et la s´erie
P anxn converge ´egalement.
On peut donc en d´eduire que le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere P anxn est
sup´erieur ou ´egal `a 1 2.
4. Pour tout x ∈] − R, R[, on a g(x) = f (x)(1 − x − 2x2) = +∞ X n=0 anxn ! (1 − x − 2x2) = +∞ X n=0 anxn− x +∞ X n=0 anxn− 2x2 +∞ X n=0 anxn = +∞ X n=0 anxn− +∞ X n=0 anxn+1− +∞ X n=0 2anxn+2 = +∞ X n=0 anxn− +∞ X n=1 an−1xn− +∞ X n=2 2an−2xn = +∞ X n=2 (an− an−1− 2an−2)xn+ a0+ a1x − a0x
Or par d´efinition de la suite (an), on a
a0 = 0, a1 = 1, an− an−1− 2an−2 = 0 ∀n > 2
D’o`u g(x) = x.
5. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a
∀x ∈] − R, R[, f (x) = g(x) 1 − x − 2x2 = x 1 − x − 2x2 ? ? ?