LES
C O L L O Q U E S
DE L'INSTITUT SUPERIEUR DES MATÉRIAUX
ET DE LA CONSTRUCTION MÉCANIQUE
COLLOQUE DU LUNDI 24 NOVEMBRE 1952
Géométrie des systèmes articulés
et thème général
sur les liaisons rotatives dans l'espace
Principe d'équivalence
dans la conception cinématique des machines
•Te me propose de rappeler, ici, quelques-uns de mes travaux cinématiques — me bornant surtout à ceux qui sont les plus anciens (1) et relatifs exclusivement aux systèmes articulés.
Dans cet exposé, j'essaierai de faire apparaître, aussi nettement que possible, les idées générales afférentes aux problèmes des liaisons rotatives (ou équivalentes), donc des liaisons participant à la
(1) « Contribution à la géométrie des systèmes arti-culés » (couronné par l'Académie des sciences), extrait du Bulletin de la Société mathématique de France
(t. LIX, fasc. III-IV, 1931).
« Théorie générale des joints de transmission de rota-tion à couples d'emboîtement», extrait du Génie civil
du 15 avril 1933.
« Les transmissions à couples d'emboîtement », extrait du Génie civil du 10 juin 1933.
«Liaisons rotatives à couples d'emboîtement», extrait de l'Usine du 26 avril 1934.
« Nouveaux mécanismes de liaisons rotatives », extrait du Génie civil du 15 septembre 1934.
«Théorie générale des joints de transmission», extrait du Journal S.I.A. de mars 1938.
« General Theory of shaft coupling », extrait de
The Institution ol Mechanical Engineers, octobre 1949.
composition des ensembles mécaniques géométri-quement déformables. Et dégagerai de toute cette question la synthèse susceptible d'éclairer et conduire le chercheur et l'ingénieur d'études dans la conception de machines nouvelles où figurent des couples d'emboîtement.
Et au sujet, precisement, de ces derniers mé-canismes, je crois bon de débuter par une analyse détaillée de leur principe.
I. — COUPLES D'EMBOITEMENT La position relative de deux corps solides dans l'espace est régie par des mécanismes appelés
couples d'emboîtement qui permettent, entre ces
deux corps, des mouvements à caractère géomé-trique susceptibles d'être à un ou à plusieurs degrés de liberté, selon le cas. A la limite, si la jonction entre les deux corps est sans déplace-ments relatifs possibles (c'est-à-dire s'il y a liaison rigide), le degré de liberté tombe, bien entendu, à zéro.
Les couples d'emboîtement rencontrés usuel-lement sont les suivants :
a) Le couple rotoïde (ou à charnière) qui, autour d'un axe lié aux deux corps, tolère un simple mouvement de rotation ou pivotement entre ceux-ci. Puis, le couple prismatique (ou de glissement, ou à tiroir) qui conduit à la tolérance d'une simple translation rectiligne entre les corps en liaison — ce dernier couple pouvant être considéré comme un cas extrême du précédent dans lequel le rayon d'articulation serait infi-niment grand (c'est-à-dire, l'axe étant rejeté à l'infini, dans un plan quelconque perpendiculaire à la direction du glissement).
Ces deux couples en question sont évidemment
ail premier degré de liberté.
Il en est un autre, également au premier degré de liberté : c'est le couple hélicoïdal (ou à vis), puisque les deux mouvements superposés et rela-tifs résultant de cette liaison (une rotation et une translation) sont conjugués, c'est-à-dire dépen-dants l'un de l'autre, donc obligatoirement simul-tanés et définis par relativité.
b) Le couple verrou qui tolère à la fois des translations rectilignes et des pivotements dont l'axe est parallèle à la direction de translation — ces deux mouvements relatifs étant complè-tement indépendants l'un de l'autre. J'appellerai également ce couple verrou : couple roulis, p a r rapprochement avec un autre dont j'ai décelé l'existence et proposé l'emploi dans un joint de transmission, sous la dénomination : couple
tan-gage — ce dernier étant un mécanisme qui
to-lère, à la fois, des translations rectilignes et (dans le plan unique de celles-ci) des pivotements d'axe perpendiculaire à la direction de translation. Ces deux mouvements relatifs possibles (translations et pivotements) sont, bien sûr, tout à fait indé-pendants l'un de l'autre. Et, évidemment, comme le couple verrou, le couple tangage est au second
degré de liberté.
c) Le couple sphérique (ou à genouillère) qui tolère en toute liberté n'importe quel pivotement autour d'un point unique commun aux deux corps. Si ce point (011 centre) se trouve rejeté à l'infini, le mécanisme devient alors un couple plan, et constitue une liaison plane tolérant tous
les mouvements plans possibles relatifs entre les deux corps (et cela dans tout plan normal à la direction de l'infini où se trouve rejeté le centre précédent).
Ces deux derniers couples d'emboîtement sont, évidemment, au troisième degré de liberté.
On montre, par l'analyse, à quoi se résument, sous forme mathématique, ces divers modes ou types de liaisons géométriques entre deux corps dans l'espace — chacune de ces liaisons corres-pondant à un certain nombre bien déterminé de conditions paramétriques; et qui sont respecti-vement de : six conditions lorsqu'il y a liaison
indéformable (degré de liberté nul); cinq
condi-tions lorsqu'il y a liaison par couple rotoïde, ou par couple prismatique (un degré de liberté); quatre conditions lorsqu'il y a liaison par couple
verrou, ou par couple tangage (deux degrés de
liberté); trois conditions lorsqu'il y a liaison par
couple sphérique ou par couple plan (trois degrés
de liberté). Autrement dit, le nombre des condi-tions paramétriques afférentes à chaque couple d'emboîtement, ajouté au nombre des degrés de liberté se r a p p o r t a nt à ce même mécanisme, donne une somme constamment égale à 6.
Or, afin de rendre très imagée et suggestive cette question des équivalences entre les liaisons géométriques et le nombre des conditions para-métriques correspondantes (lesquelles pourront être représentées par des coordonnées cartésien-nes, ou polaires, ou angulaires), j'ai établi, inten-tionnellement, les petites démonstrations extrê-mement simples que voici :
La position d'un corps dans l'espace pouvant être définie par trois quelconques de ses points, on voit aussitôt que la position relative de deux corps entre eux peut se ramener à celle d'un triangle (matérialisant l'un des corps) par rapport à un trièdre trirectangle lié à l'autre corps (c'est-à-dire le matérialisant de cette manière).
Et il est bien évident que, du point de vue mathématique, le nombre des conditions inhé-rent à chaque type de liaison est parfaitement indépendant du choix des axes de coordonnées, c'est-à-dire du choix originel qu'on a pu faire quant à ce triangle et quant à ce triède simulta-tanément adoptés pour références de représenta-tion. Ou, si l'on veut : ce nombre reste le même quels que soient le triangle et le triède utilisés pour la démonstration.
Je vais donc choisir ceux-ci au bénéfice de la simplicité (donc, au mieux de la commodité).
1" Degré de liberté = 0 (liaison indéformable).
Je p r e n ds le triangle ABC (fig. 1) de manière que son côté AC soit confondu avec Ox. Et je vois, immédiatement, que sa position sera définie si, successivement, je me fixe, par exemple, les trois coordonnées du point A : x.t = ij„ = z a = 0;
puis me fixe les deux coordonnées g,. = 0 et
zc = 0 du point C (dont la position résulte,
puisque la longueur AC est donnée par hypothèse de construction); et enfin, me fixe l'une, quel-conque, des coordonnées de B (zh, par exemple)
puisque B se trouve sur la circonférence
section des deux sphères de centres respectifs A et C et rayons connus AB et CB.
Au total, les six coordonnées xa, //.,, r„, y,., -,
et r,, situent bien la position relative déterminée (liaison indéformable) des deux corps l'un par rapport à l'autre, et constituent une forme des six conditions paramétriques annoncées.
2 Degré de liberté = 1 (couple rotoïde et
couple prismatique).
Fie. 2.
Envisageons, d'abord, les deux corps liés par un couple rotoïde. Je peux toujours matérialiser, géométriquement, les deux corps de manière que les deux lignes confondues (fig. 2) AC et Ox s'orientent suivant l'axe du couple rotoïde d'hy-pothèse. Donc, si je me fixe les trois coordonnées du point A (x., = y., = r„ = 0), puis les deux coordonnées y,. = 0 et r,. = 0 du point C (dis-tant de A d'une longueur AC. donnée p a r
construc-Fic. 3.
tion), je vois que l'imposition de ces cinq condi-tions paramétriques x„, y«., z», -;/,., r,. se traduit par la liberté complète de pivotement du point B autour de l'axe Ox, c'est-à-dire par la libre rota-tion relative des deux corps ABC et 0 x y z autour de l'axe rotoïde commun Ox.
Si, maintenant (fig. 3), je suppose les deux corps liés p a r un couple prismatique dont la direction de translation serait celle des deux lignes confon-dues ox et AC (choisies pour cela), je vois que si je fixe les deux coordonnées y„ = o et za = o
du point A, puis les deux coordonnées ;/,. = o el cc = o du point C; et, enfin, la coordonnée r h du
point B (qui se trouve sur la circonférence connue d'intersection des deux sphères de centres respec-tifs A et C), ces cinq coordonnées paramétriques
".i> rc et rh resteront constantes et
inva-riables quelles que soient les positions successives de ABC dans son glissement relatif de translation suivant la direction ox par r a p p o r t au trié dit
Qxyz. Ces cinq conditions définissent donc h
mouvement possible de liaison. 3" Dey ré de liberté
couple tangage). = 2 ( c o u p l e v e r r o u et
F I G .
Considérons, d'abord, le cas du couple verrou
(fig. 4). Et supposons qu'on ait choisi le triangle ABC et le trièdre O xyz de manière que les deux lignes confondues AC et Ox représentent l'axe de rotation du couple verrou, en même temps que sa direction de coulissement. On voit que si l'on se fixe les deux coordonnées ya = o et ra = o du
point A, puis les deux coordonnées ;/c = o el
rc — o du point C, ces quatre coordonnées y„.
"a, ;/c, zc resteront constantes et invariables
quelles que soient les positions relatives de pivo-tement (autour de Ox), et de glissement (le long de ce même axe) que peut avoir le triangle ABC. par rapport au trièdre O xyz. Donc, ces quatre conditions paramétriques définissent bien les pos-sibilités du mouvement relatif envisagé.
Considérons à présent le cas du couple tangage (fig. 5). Et supposons que Oxyz soit choisi de manière à être confondu avec le plan de transla-tion afférent à ce couple; la directransla-tion de glis-sement étant oy, tandis que l'axe de pivotement demeure perpendiculaire à oy '(donc parallèle à ox).
Je vois que si je me iixe les deux coordonnées ra et r„ du point A, et les deux coordonnées
c o o r d o n n é e sa, "a, xc et cc resteront constantes
et invariables quelles que soient les positions rela-tives de translation (en direction 0 y ) et de pivo-tement (autour d'un axe parallèle à Ox) que peut avoir le triangle ABC par r a p p o r t au trièdre
Oxyz. Donc, définissent le mouvement annoncé.
4" Degré de liberté = 3 (couple sphérique et
On conçoit, immédiatement, que si l'on envi-sage un triangle ABC dont les trois sommets de-meurent chacun à une distance constante (les trois distances" pouvant être égales ou non) du centre 0, les deux corps seront liés p a r couple sphérique. De même, si (fig. 6) les trois sommets ABC demeurent, chacun, à une distance cons-tante (les trois distances pouvant être égales ou non) d'un plan de référence ( 0 x y p a r exemple), les deux corps seront liés par couple plan. Dans les deux cas, la liaison sera définie par trois lon-gueurs, c'est-à-dire par trois conditions paramé-triques.
II. — CHAINES FERMÉES DE n CORPS A n COUPLES ROTOIDES
Ces premières indications se trouvant données, je vais maintenant rappeler quelques considéra-tions classiques concernant les chaînes fermées à articulations rotoïdes.
Soient n corps solides disposés à la queue leu leu, dans l'espace, et liés, deux à deux, par couples rotoïdes d'orientations arbitraires pour constituer une chaîne articulée fermée — donc, comprenant, au total, n articulations à charnières.
Puisqu'il est toujours possible de p r e n d r e l'un quelconque des n corps comme élément de base ou de référence (et le rendre solidaire d'un trièdr e trirectangle, par exemple), on voit que l'ensemble se ramène à une suite (ou chaîne)de n — 1 maillons (ou corps) dont les deux maillons d'extrémités viennent, chacun, s'articuler sur le maillon (ou corps) formant base de référence — et fermant, ainsi, la chaîne articulée.
Pour que cette chaîne fermée soit indéformable (géométriquement parlant), il faut que la position des n — 1 corps du circuit externe soit mathéma-tiquement définie (c'est-à-dire, invariablement dé-terminée) par r a p p o r t au trièdre (ou corps) de référence. Or, on sait que six conditions sont nécessaires pour définir toute position géométrique relative d'un corps quelconque par r a p -port à sa référence. Donc, finalement, il f a u d r a ici en tout au moins : 6 . (n-1) conditions para-métriques pour situer immuablement, entre eux, les éléments constitutifs d'un tel ensemble.
Mais cet ensemble possédant, par construction, n couples rotoïdes, on voit que. de ce fait, il doit obéir à 5 X n conditions paramétriques (attendu que chaque couple rotoïde représente cinq condi-tions). On arrive, ainsi, à l'inégalité bien connue : 6 (ri — 1) < 5 n si — je le répète — on veut que la chaîne soit indéformable, puisque le nom-bre des conditions ainsi imposées par la présence des n articulations rotoïdes est supérieur au nombre minimum des conditions exigées; c'est-à-dire, supérieur au nombre strictement néces-saire pour définir la position déterminée (donc, immobilisée) des n — 1 corps par rapport à celui île référence.
Et inversement, la chaîne sera, évidemment, déformable si :
6 (n
— 1) > 5
n
Or, une telle inégalité est satisfaite à partir de n = 7. Pour cette valeur de n, on a une chaîne déformable an premier degré de liberté le nombre des conditions qu'il faudrait pour définir la position relative unique des n - 1 corps par rapport au premier l'emportant d'une unité sur celui que représentent les n liaisons rotoïdes.
Et les degrés de liberté croîtront, c'est évident, en même temps que n pour les chaînes fermées successives obtenues en faisant croître n.
Toutes ces choses ont été signalées depuis
temps déjà. Et leur expression appartient au do-maine des connaissances acquises. Mais j'ajou-terai la petite remarque suivante :
Si, au lieu de comporter, exclusivement, des couples rotoïdes (ou équivalents) — c'est-à-dire des liaisons exprimant cinq conditions par pré-sence unitaire — la chaîne fermée possédait des couples d'emboîtement d'autre nature (donc, équivalents à quatre ou à trois conditions seu-lement chacun, au lieu de cinq), il faudrait tota-liser toutes les conditions inhérentes aux liaisons apportées par ces divers couples en tandem, et voir si le nombre de ces conditions se trouve supérieur ou non au nombre de 6 x (n — 1) (ce dernier étant, on l'a souligné, celui que réclame-rait au moins la chaîne pour être indéformable, c'est-à-dire telle que chacun, de ses maillons aurait une position unique et invariable par cons-truction).
Selon la composition de la chaîne en fonction de ses divers couples d'emboîtement, on arrive-rait donc à une chaîne fermée, déjà mathémati-quement déformable pour des valeurs de n infé-rieures à 7.
En pratique, on observera de pareils exemples.
III. — CHAINES FERMÉES PARADOXALES Ce qui précède nous amène à la conclusion très classique suivante : toute chaîne fermée, de n corps, à n couples rotoïdes, est mathématiquement indéformable pour n < 7.
Or, c'est une entière évidence de constater qu'il existe des chaînes déformables pour des valeurs de n inférieures à 7. Et qui, par exemple, le sont : au premier degré de liberté, pour n = 4; au deuxième degré de liberté, pour n = 5; et au troisième, pour n = 6, s'il s'agit de chaînes fer-mées dans lesquelles les n axes des couples ro-toïdes sont concourants en un même point ou, à la limite, parallèles entre eux (le point de ren-contre étant alors rejeté à l'infini).
Ainsi, l'on sait bien que tout système pyrami-dal articulé est déformable à partir de n = 4 (axes concourants en un même point à distance finie). Et qu'il en est, évidemment, de même pour tout système articulé correspondant dont toutes les articulations sont parallèles entre elles.
Mais si semblables systèmes ont des applica-tions mécaniques considérables (joint de cardan ou angle tétraèdre articulé, quadrilatère articulé à axes parallèles, etc.), leur dérogation à la règle mathématique générale dégagée plus haut ne pré-sente, du point de vue analytique, aucun intérêt, p a r le fait même de leur toute évidente défor-mabilité. C'est pour cela que ces chaînes évoquées ci-dessus (et certaines autres du même ordre), se trouvant déformables quoique leur nombre d'articulations rotoïdes est inférieur à 7. sont dénommées : chaînes banales.
Or, les travaux de Pliicker (1) et son école ont permis de démontrer qu'il devait y avoir des chaînes fermées, de n corps et à n couples ro-toïdes non concourants (ou non tous courants), et qui pour des valeurs de n inférieures à 7 pos-sédaient, cependant, la propriété très remarquable d'être déformables.
Cette dérogation (moins qu'évidente), à la règle mathématique générale qui vient d'être rappelée, fait que ces chaînes portent le nom de : chaînes
paradoxales.
C'est alentour de 1910 seulement que fut dé-couverte, par Bennett, la première chaîne para-doxale, déformable au premier degré de liberté.
Je n'insiste pas, momentanément, sur ce méca-nisme extrêmement curieux, et dont la théorie ^e trouve exposée dans les traités et les cours de cinématique supérieure. Mais redirai, simple-ment, ceci :
Le mécanisme de Bennett est une chaîne fer-mée paradoxale, à quatre couples rotoïdes, dans laquelle les côtés opposés du quadrilatère arti-culé sont égaux deux à deux. Les longueurs de deux côtés successifs sont dans un rapport égal au rapport des sinus provenant des angles que présentent, entre eux, dans l'espace, les axes d'ar-ticulation correspondante. Et, enfin, les quatre axes d'articulation appartiennent constamment à une quadrique réglée (hyperboloïde à une seule nappe) qui, évidemment, lors de chaque défor-mation du mécanisme, se transforme et, finale-ment, dégénère en un paraboloïde lorsque les quatre côtés sont alignés suivant une même droite. Ce mécanisme très intéressant est utilisé pour transmettre, parfois, des rotations ou des pivo-tements d'un arbre à un autre arbre (dans le cas, bien entendu, où ces arbres ne sont ni parallèles, ni concourants).
Cette chaîne paradoxale à quatre couples rotoïdes étant découverte, il restait à trouver les chaînes paradoxales fermées, à cinq, puis à six couples rotoïdes, respectivement.
C'est en 1931 que j'eus la chance de les découvrir.
Ayant fait alors leur présentation mathéma-tique complète dans le Bulletin de la Société
mathématique de France (voir le mémoire
men-tionné au début de cette étude), je me conten-terai, ici, de reprendre, essentiellement et exclusi-vement. la question à propos de la chaîne à cinq
ill Je rappelle, très brièvement, qu'un vecteur AB, pris arbitrairement sur une droite, a pour coordonnées pluckériennes : 1, m, n (qui sont, respectivement, les projections de AB sur les trois axes Oxyz), et : p, q, r (qui en sont les moments par rapports à ces mêmes axes).
Les rotations relatives autour de n droites définies par leurs coordonnées pluckériennes conduisent à n rela-tions vectorielles qui permettent ainsi d'établir des sys-tèmes d'équations homogènes ayant pour inconnues les vitesses angulaires W,, W», ... W„ correspondantes.
L'obtention de solutions non toutes nulles pour ces équations se traduisant par l'annulation de déterminants, on en arrive ainsi à prévoir l'existence des chaînes para-doxales et les propriétés qui s'y rapportent.
couples rotoïdes (dont j'ai donné les deux solutions complémentaires). Par manque de place, je passerai sous silence celle à six couples rotoïdes; mais ferai très brièvement apparaître une autre solution déduite de la chaîne para-doxale à cinq couples — solution constituant, elle aussi, une chaîne paradoxale, mais à six articula-tions, et qui s'ajoute à celle dont l'exposé existe dans le mémoire stipulé à l'instant (et non repro-duite en ces pages).
Dès à présent, je remémore les propriétés connues suivantes qui se dégagent de la démons-tration ancienne même, faisant prévoir, par la goémétrie pluckérienne, l'existence des chaînes paradoxales :
a) Dans une chaîne paradoxale à six couples rotoïdes, les six axes d'articulation s'appuient, constamment, sur une même droite (dont lu position varie, évidemment, en fonction des déformations successives du mécanisme). Autre-ment dit, les six axes sont liés par un complexe de droites;
b) Dans une chaîne paradoxale à cinq couples
rotoïdes, les cinq axes d'articulation s'appuient, constamment (durant les déformations), sur un système variable de deux droites. Autrement dit. les cinq axes sont liés par une congruence de droites;
c) Dans une chaîne parodoxale à quatre couples
rotoïdes, les quatre axes d'articulation s'appuient, constamment (durant les déformations), sur une
même infinité variable de droites. Cette dernière affirmation apparaît facilement, si l'on se sou-vient, au sujet du mécanisme de Bennett, que les quatre axes rotoïdes appartiennent, constamment, à une même quadrique réglée (première généra-tion). En conséquence, ils rencontrent constam-ment l'infinité d'autres droites formant la seconde génération de cette même quadrique.
Je vais donc donner ici (comme annoncé) les deux solutions complémentaires concernant la chaîne à cinq couples rotoïdes — y ajoutant, en application de la première, un « hyperboloïde a r t i c u l é » , à simples couples rotoïdes (1). Et pour ces questions, je me contenterai de reproduire, à peu près tel quel, le texte que j'avais publié jadis dans le bulletin de la Société Mathématique de France, au sujet de ces problèmes.
fA suivre.j
F.-E. M YARD,
Ingénieur E.C.P., Ex-Membre du Conseil de la Société mathématique de France. Lauréat de l'Académie des Sciences
lli L'hyperboloïde articulé classique à liaison? sphé
riques est d'une conception évidente. Il n'en est pas di
même de l'Hyperboloïde articulé à liaisons exclusi-vement rotoïdes, dont il va être question, et à propo-duquel j'ai fait réaliser un petit modèle de démons-tration (comme ont été réalisés, pareillement, des mo-dèles représentant les deux solutions de la chaîne para-doxale à cinq couples rotoïdes l.
