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FONCTION EXPONENTIELLE
0) Une approche
Mise en place de la méthode, résolution de l’équation f ’ = f vérifiant f(0) = 1.
Comme il a été vu lors du TP en introduction, la méthode d’Euler permet de représenter graphiquement une fonction ou une suite de points dont les valeurs sont « proches » de celles d’une fonction f que l’on recherche, qui vérifie des conditions sur sa dérivée et qui vérifie une condition initiale du type f(x0) = y0, en utilisant les tangentes à la courbe représentative de f en différents points. Dans le cas où on cherche f telle que f(0) = 1 et pour tout réel x, f ’(x) = x, pour avoir l’allure du graphe de f sur l’intervalle [0 ; a], on discrétise cet intervalle en n intervalles d’amplitude h = a/n, et on trace à l’aide d’un tableur ou d’un algorithme, une fonction affine par morceaux obtenu en reliant par des segments, les points de coordonnées (ia/n, yi ), i entier variant de 0 à n, avec : y0 = 1
et yi+1 = yi(1 + a/n).
On obtient par exemple, sur l’intervalle [0 ; 1], en prenant n = 20 le tableau et la courbe ci-dessous. Sur le tableau, on fait aussi apparaître les valeurs de la fonction x ֏ exp(x) ainsi que sa courbe représentative. On pourrait, en augmentant les valeurs de n, constater que les écarts entre les deux courbes s’amenuisent.
L’application d’une telle méthode permet de visualiser qu’une telle fonction existe et d’en déterminer des valeurs aussi proche que l’on souhaite, même sans connaitre l’expression de cette fonction.
Leonhard Euler (Bâle 1707 - St Pétersbourg 1783), met de l’ordre dans les différentes découvertes du XVIIe siècle tout en ajoutant une part imposante de découvertes personnelles, tant au niveau de la quantité (plus de 800 articles, son oeuvre complète tenant sur 74 volumes) que de la qualité. Il travaille aussi bien dans des domaines comme la géométrie élémentaire (droite et cercle qui portent son nom), l’arithmétique (où il prouva bon nombre de conjectures non encore démontrées jusque là), l’algèbre, la mécanique ou encore l’astronomie. C’est pourtant en analyse que son apport est le plus important de tous où il organise ses développements autour du concept de fonctions ou de suites. Grâce à son travail, le calcul infinitésimal devient enfin une branche autonome des
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mathématiques. Outre ces nombreux résultats, on lui doit aussi les notations e, l’imaginaire i, sin, cos, tan,... la systématisation de l’utilisation du symbole π, et les termes “dérivées” et “primitive”.
L'identité d’Euler + 1= 0 constitue pour beaucoup la plus belle des formules mathématiques en
regroupant en une seule égalité toute l’histoire des nombres. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la page wikipédia dédiée à Leonhard Euler ou sur la partie histoire des maths du site Maths.Ita.
I) Définitions
1) Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle f ’ = f et f(0) = 1.
a) Conformément au programme, l’existence de cette fonction est admise en 1ère. Cependant, l’utilisation de la méthode d’Euler amène à conjecturer l’existence d’une telle solution.
b) Unicité :
Montrons dans un premier temps que pour tout x ∈ ℝ, f(x) ≠ 0.
Posons g(x) = f(x)f(–x). f étant dérivable sur ℝ, g l’est aussi comme produit de fonctions dérivables. On a g’(x) = ________________________________________
= ________________________________________ = _____________________________________ = 0
g est donc constante sur ℝ. Or, g(0) = f(0)f(–0) = ____×____ = _____.
Donc, pour tout x ∈ ℝ, g(x) = 1. C’est-à-dire que pour tout x ∈ ℝ, f(x)f(–x) = 1, donc pour tout x ∈ ℝ,
f(x) ≠ 0.
Supposons qu’il existe deux fonctions f1 et f2 qui répondent au problème. Comme f2(x) ≠ 0,
posons h(x) = ( )( ). h est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables. On a h’(x) = ________________________________ = _______________________________ = 0.
h est donc constant sur ℝ. Or, h(0) = ( )( ) = = 1. Donc, pour tout x ∈ ℝ, h(x) = 1, c’est-à-dire que pour tout x ∈ ℝ, ( ) = ( ).
2) Définition : l’unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f ’ = f et f(0) = 1 est appelée
fonction exponentielle et est notée exp .
3) Conséquences directes de la définition : exp(0) = 1 ;
la fonction exp est dérivable sur ℝ et ( ( )) = exp(x).
II) Relations fonctionnelles
1.a) D’après le théorème du II.1), on sait que exp(x)exp(–x) = 1, soit, comme exp(x) ≠ 0, pour tout
x ∈ ℝ, exp(–x) = …….. .
b) Posons ℎ la fonction définie sur ℝ par ℎ (x) = exp(x + a)exp(–x). ℎ (x) = __________________________________________________________
= ________________________________________________________ = ________________________________________________________ = 0
Donc ℎ est constante sur ℝ . De plus ℎ (0) = exp(___ + a)exp(____) = exp(a). Donc, pour tout x ∈ ℝ :
3 c) exp(a – b) = exp(a + ______) = exp(____)exp(_______) = ……..…….. .
d) En généralisant le résultat du c) ci-dessus, on montre que pour tout entier naturel n,
exp(na) = ( ( )) . On en déduit ensuite, en posant p = –n que la relation reste toujours vraie sur
les entiers relatifs.
(Remarque : ce résultat pourra être démontré en classe de terminale spécialité maths à partir d’un nouveau type de raisonnement)
2) On retient : a et b étant 2 réels et n un entier relatif
exp(a + b) = exp(a)exp(b) exp(–b) = !(") exp(a – b) = !( )
!(") exp(na) = ( ( )) .
III) Nombre e
1) p désigne un entier relatif. exp(p) = exp(p×1) = ( (1))! . En posant exp(1) = e, on a alors
exp(p) = ep.
2) Par convention, et suite aux relations trouvées au II), on étend cette notation à tout réel x, soit exp(x) = ex.
3) Les propriétés du II) deviennent alors :
$%&= $ & ; '& = (
& ; $'& = $
& et )$ = ( $)). 4) avec la méthode d’Euler, avec un pas infinitésimal, on a e ≈ 2,718281.
V) Etude de la fonction f : x ֏
1) La fonction exponentielle est définie et dérivable sur ℝ.
2) Pour tout réel x, ( ) = . On sait que ≠ 0 et on a de plus, = + = , +- . Donc, pour tout réel x : > 0. On retient :
> 0 la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
x –∞ +∞
f ’(x) …
variations de f
3.a) Equation de la tangente en 0 :
y = f ’(0)(x – 0) + f(0) ____________________________ ______________________. b) Position de Cf par rapport à cette tangente :
Posons d(x) = – (x +1). d’(x) = – 1. La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, donc, pour tout x > 0, > > 1, et pour tout x < 0, < < 1. D’où le signe de d’(x) :
x –∞ 0 +∞ De plus, d(0) = – (0 + 1) = 1 – 1 = 0
Il en découle que pour tout réel x, d(x) > 0, soit > + 1.
La courbe représentative de la fonction exponentielle est toujours au dessus de sa tangente en 0, d’équation y = x + 1.
d’(x) … …
d
4 4) Représentation graphique de la fonction exponentielle :
5) Applications aux équations et inéquations :
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, pour tout réel a et b on a :
$ = & a = b $ > & a > b
6.a) a et b désignent deux réels quelconques, comme il a été vu dans le chapitre sur les fonctions dérivées, la dérivée de la fonction g(ax + b) est ag’(ax + b).
En particulier, si g(x) = exp(x) = ex, comme g’(x) = exp(x) = ex, alors la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = eax + b ( = exp(ax + b)) est donc ___f ’(___________) à savoir ___________ (= __exp(_______)). a et b étant deux réels quelconques, la fonction x ֏ $ % & est dérivable sur ℝ et :
2 $ % &3 = $ $ %&.
b) Exemple : soit f(x) = '4 % . On a ici a = ___ et b = __ ,
donc f est dérivable sur ℝ et f ’(x) = _________________. o -4 -2 2 1 2 3 4 e