JEUX DE CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES DANS L'ESPACE
Expérimentations autour des solides de Platon pour la construction
des connaissances géométriques.
Thierry DIAS, Jimmy SERMENT
HEP Vaud (Lausanne) – Collège secondaire de Pully (Vaud)
MOTS-CLÉS : POLYÈDRES – EXPÉRIENCE
RÉSUMÉ : Dans cet article nous présentons un jeu de construction de formes géométriques dans l'espace permettant de convoquer plusieurs dimensions: didactique, épistémologique, esthétique et culturelle. Les objets géométriques qui sont en jeu sont les polyèdres réguliers plus connus sous le nom de solides de Platon. Nous proposons cinq mises en situations qui permettent des expériences sensibles et théoriques au service de la construction de connaissances mathématique.
ABSTRACT: In this paper we present a construction set of geometric shapes in space to reveal several dimensions: didactic, epistemological, aesthetic and cultural. Regular polyhedrons that are involved are best known as the Platonic solids. We offer five put in situations that allow sensitive and theoretical experience in the service of the construction of mathematical knowledges.
1. DES JEUX DE CONSTRUCTION POUR APPRENDRE Avec qui peut-on jouer ?
Dans cet article issu de l'atelier proposé lors des journées d'étude de Chamonix, nous abordons la question des jeux de constructions au service des apprentissages géométriques. Nous pensons effectivement que ces activités scientifiques proches d'une forme de bricolage (Durand-Guerrier, Dias, & Pelay, 2010) sont susceptibles de développer des connaissances et de valoriser les apprentissages des élèves. La mise en œuvre de tels jeux en classe est également une occasion de réfléchir sur des questions didactiques relatives à l'enseignement et notamment sur la notion de démarche dans le champ scientifique. Leur utilisation dans le contexte de l'animation scientifique est également tout à fait appropriée pour mettre en œuvre un contrat de type ludique différent du contrat didactique (Pelay, 2012).
Dans le contexte de l'enseignement spécialisé, Serment (2012a; 2012b) a montré que les constructions de solides pouvaient permettre de bâtir de véritables situations d'apprentissages mathématiques. Le jeu est utilisé comme un moyen de « débloquer » les peurs que certains enfants ont vis à vis des mathématiques, et permet de comprendre certaines notions par soi-même ce qui permet de valoriser l'enfant. La construction des connaissances utilise ainsi le recours aux expériences personnelles, qui par une dialectique constante avec la théorie, sont à même de structurer des apprentissages (Dias, 2012). Dans le cadre scolaire, c'est l'action qui est privilégiée au profit de la mise en mots ce qui nous place dans une perspective résolument piagétienne. Les manipulations, les bricolages et autres investigations sont autant de mise en actes des connaissances comme nous avons pu l'observer à de nombreuses reprises dans nos différentes confrontations à la contingence des classes de l'enseignement spécialisé (Dias, 2011).
Comment joue-t-on ?
Dans l'atelier de ces journées d'étude, nous avons proposé une forme de mini-tournoi en équipes afin de fournir une dimension ludique aux situations de recherches mathématiques. En ajoutant deux contraintes aux tâches de construction (tâche à durée limitée et diversification des niveaux de difficulté), nous avons renforcé l'agôn (au sens de Caillois) du jeu par le développement d'une petite compétition entre les équipes. Les joueurs devaient collaborer au sein de leur équipe dans un esprit de partage tant de leurs connaissances théoriques que des actes ou des techniques à mettre en œuvre pour résoudre les différents problèmes. Lors de cet atelier, nous avons constaté à plusieurs reprises que la dimension ludique dynamisait la recherche mathématique et que la mutualisation des connaissances s'en trouvait également renforcée. Chaque joueur investissant sa participation et son rôle avec ses propres moyens et ses propres ressources. Les animateurs de l'atelier ne se contentaient que d'énoncer les consignes et d'effectuer parfois les relances nécessaires à la résolution du problème, en se gardant bien entendu de toute intervention pouvant dénaturer la recherche.
L'intérêt de ces jeux de construction est de changer du schéma traditionnel d'apprentissage. Par exemple, le fait de changer d'échelle, de se pouvoir se mettre à l'intérieur des formes permet de changer radicalement leur perception.
Avec quoi joue-t-on en mathématiques ?
Les jeux de construction que nous détaillerons plus loin sont également l'occasion de proposer une réflexion épistémologique sur les objets mathématiques que nous mettons en jeu, et plus
particulièrement en géométrie. Les objets que nous confions aux mains des joueurs sont des formes en carton pour la plupart, résultats de constructions partant le plus souvent de patrons. Cela correspond à notre façon de donner accès à une représentation d'objets très théoriques ainsi devenus sensibles. Les manipulations, les emboitages et emballages de ces objets permettent une construction progressive des connaissances, acquisition qui s'appuie également sur une dialectique oscillant entre intuitions et expériences.
Les différentes énigmes proposées ont comme fil rouge une catégorie d'objets historiquement très reconnus: les solides de Platon. Depuis que nous travaillons autour de ces objets géométriques, nous avons remarqué à de nombreuses reprises que leur dimension esthétique et culturelle n'était pas anodine (Dias, 2008). On peut raisonnablement parler d'un enjeu esthétique se caractérisant par de nombreuses satisfactions des utilisateurs qui les découvrent, les construisent, les manipulent. On peut penser que ces fameux polyèdres provoquent de telles réactions du fait de leur régularité de leurs propriétés.
2. LES JEUX DE L’ATELIER
Les jeux proposés s'appuient sur la dimension expérimentale des mathématiques notamment par la mise en œuvre de manipulations d'objets concrets. Les aspects à la fois magique, esthétique et ludique de la découverte collaborative de formes en 3D sont des éléments essentiels des activités que nous proposons dans cet atelier. Ils sont particulièrement adaptés en contexte d'enseignement spécialisé comme nous l'avons expérimenté à plusieurs reprises.
Cinq mises en situations ludiques de construction d'objets géométriques en 3 dimensions sont proposées ici. Les participants sont invités à collaborer au sein d'équipes de trois ou quatre joueurs à l'aide d'une fiche de suivi (voir annexe 1) permettant une capitalisation de points de jeux. Pour chaque énigme de construction, des niveaux de difficultés sont proposés au choix des joueurs de l'équipe. En fin d'atelier, un défi collectif clôture les recherches et les constructions. Les résultats sont donnés dans l'élan.
Jeu n° 1 : le puzzle de l’icosaèdre
Figure 1: les solides de Platon
L'intérêt du jeu réside dans ses dimensions esthétique et culturelle. En effet, il s'agit d'emboîter les cinq polyèdres réguliers dans l'ordre suivant (du contenant au contenu):
Cette forme d'emballage des solides de Platon est un puzzle qui consiste à paver l'espace en utilisant non seulement les cinq polyèdres réguliers mais également une ou plusieurs de leur décomposition géométrique. L'ordre n'est pas celui de l'emboîtement proposé par Kepler dans le Mysterium Comographicum mais dépend des contraintes liées aux propriétés géométriques de ces solides. Trois niveaux de difficultés sont proposés aux joueurs de l'atelier, ces niveaux sont dépendants du nombre de pièces du puzzle, de la présence ou non d'enveloppes aidant au choix des solides à emballer entre eux, et des couleurs des pièces.
Jeu n° 2 : le serpent-octaèdre
Figure 2: seprent magique
Le serpent magique est un casse-tête en trois dimensions qui se prête à de petites compétitions entre individus ou binômes. Il s'agit de reproduire une forme d'après un modèle le plus rapidement possible. Le modèle de base est une approximation de l'octaèdre dans sa version tronquée. Les niveaux de difficultés entre les modèles 1 et 3 permettent d'approcher plus précisément la forme régulière de l'octaèdre (voir leur présentation dans l'annexe "fiche de suivi").
Jeu n° 3 : la boule-cube
Figure 3: Origami dans l'espace
La troisième activité est un jeu d'assemblage de polyèdres. Le but est de collaborer en vue d'une construction collective : celle de la célèbre "boule-cube réversible". Il s'agit de retrouver les
section hexagonale régulière). Pour réussir à reconstituer les charnières permettant l'utilisation de la boule-cube comme un origami transformable, les joueurs les plus ambitieux peuvent utiliser un document vidéo montrant les transformations et articulations de la boule-cube. Ceux qui préfèrent s'appuyer sur une manipulation de l'objet peuvent utiliser un modèle mis à leur disposition.
Jeu n° 4 : le dodécaèdre géant.
Figure 4: dodécaèdre géant
Dans cette activité, les joueurs doivent reconstituer un solide (le dodécaèdre dans le cas de cet atelier) à partir de ses arêtes. La difficulté de l'activité consiste à travailler dans une dimension peu habituelle puisque chaque arête du solide visé mesure 1 mètre. L'objet final peut donc atteindre une grandeur importante ce qui nécessite une collaboration entre joueurs dans la construction. Les connecteurs représentants les sommets du polyèdre sont une variable didactique permettant de complexifier la tâche. Il est en effet possible de fournir aux joueurs un lot de ces objets comportant quelques intrus.
Après la construction du polyèdre il est proposé aux joueurs d'utiliser de la ficelle à tendre entre les sommets du solide pour représenter un carré1, ce qui correspond au niveau de difficulté moyen. Une étape supplémentaire est possible en tentant de représenter un cube avec la ficelle (toujours en reliant les sommets du dodécaèdre).
Défi final : la pyramide infernale
Il s’agit de réaliser un puzzle en trois dimensions (une pyramide) dans un minimum de temps. Ce puzzle est surprenant car il ne comporte que deux pièces identiques mais la complexité de la tâche est au rendez-vous ! Nous pensons qu'il s'agit là d'une expérience de type contre-intuitive (Eastes & Pellaud, 2004) dont les exemples ne sont pas si nombreux en mathématiques.
BIBLIOGRAPHIE
DIAS, T. (2012). Manipuler et expérimenter en mathématiques. Paris: Magnard.
DIAS, T. (2011). À la recherche des polyèdres réguliers. Nouveaux cahiers de la recherche en éducation, 14(1), 29–48.
DIAS, T. (2008). L’apprentissage de la géométrie dans la scolarité obligatoire: une dialectique entre objets sensibles et objets théoriques. Claude Bernard Lyon 1, Lyon. Retrieved from http://hal.archives-ouvertes.fr/tel-00635724/
DURAND-GUERRIER, V., DIAS, T., & PELAY, N. (2010). Mathématiques et réalité, une problématique centrale dans l’apprentissage des mathématiques à l’école. Des mondes bricolés?: Arts et sciences à l’épreuve de la notion de bricolage, 177.
EASTES, R.-E., & PELLAUD, F. (2004). Un outil pour apprendre: l’expérience contre-intuitive. Union des professeurs de physique et de chimie, 98, 1197–1208.
PELAY, N. (2012). Jeu et apprentissages mathématiques. Université Claude Bernard Lyon 1. Retrieved from
http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00665076/PDF/Pelay_nicolas_2010_these_jeu_et_apprentissages_mathematiques.pdf SERMENT, J. (2012a). Sections du cube... en version géante. Math-Ecole, 218, 35-39.
SERMENT, J. (2012b). Les constructions géométriques dans l’espace pour l’apprentissage de la géométrie (mémoire de master of arts en enseignement spécialisé non publié). Haute Ecole Pédagogique du canton de Vaud de Lausanne, Suisse.
ANNEXE 1 identifiant de l'équipe: total : Jeu n°1: Le puzzle de l'icosaèdre consigne: utiliser tous les polyèdres à disposition pour construire un icosaèdre 10 points: en utilisant les solides blancs 6 points: en utilisant les solides en couleurs 2 points: en utilisant les solides en couleurs et les enveloppes Jeu n°2: la boule-cube consigne: Utiliser les 16 solides unités et réaliser les charnières nécessaires à la construction de la boule-cube. 10 points: en utilisant le modèle présenté en vidéo 6 points: en utilisant le modèle réel Jeu n°3: le dodécaèdre géant consigne: construire un dodécaèdre géant 10 points: construction du dodécaèdre et inscription d'un cube avec la ficelle 6 points: construction du dodécaèdre et inscription d'un carré avec la ficelle 4 points: construction du dodécaèdre
