Analyse mathématique et numérique de modèles quantiques pour les semiconducteurs

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quantiques pour les semiconducteurs

Jihene Kefi

To cite this version:

Jihene Kefi. Analyse mathématique et numérique de modèles quantiques pour les semiconducteurs.

Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2003. Français. �tel-00005116v2�

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TOULOUSE III - PAUL SABATIER

pour obtenir legrade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ TOULOUSE III

etde

DOCTEUR DE L'ÉCOLE NATIONALE D'INGÉNIEURS DE TUNIS

Spécialité : Mathématiques Appliquées

par

Jihène Ke

Titre : Analyse mathématique et numérique de modèles quantiques pour les semiconducteurs.

Soutenue le19 Décembre 2003 devant lejury composé de MM :

N. Ben Abdallah Professeur àl'UniversitéToulouse3 Directeur de thèse

J. Carrillo Professeur àl'Universitéde Barcelone Rapporteur

P. Degond Directeur de recherche, CNRS Invité

L. ElAsmi Maître de Conférence àl'École Polytechnique de Tunisie Examinateur

T. Goudon Professeur àl'Universitéde Lille1 Rapporteur

T. Hadhri Professeur àl'École Polytechnique de Tunisie Directeur de thèse M. Jaoua Professeur àl'École Nationale d'Ingénieurs de Tunis Examinateur

Mathématiques pour l'Industrie et la Physique

Equationsaux Dérivées Partielles, Modélisation, Optimisation etCalcul Scientique UnitéMixtedeRecherches5640CNRS-Univ.PaulSabatierToulouse3-INSAToulouse-UniversitéToulouse1

UFRMIG,Univ.PaulSabatierToulouse3,118routedeNarbonne,31062TOULOUSEcédex4,France Tel : (33)05 615583 14,Fax: (33) 056155 8385, Mail :[email protected]

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Ce travail n'aurait pas été possible sans l'aide de nombreuses personnes.

Je tiens à remercier, tout particulièrement,Monsieur le Professeur Naoufel Ben Abdallah,undemesDirecteursdethèse,qui,àlandemonD.E.A(Diplômed'étude Approfondi) m'a fait conance en me proposant ce projet. Sa disponibilité, ses qua-lités d'enseignant et son côté humain, ont permis mon apprentissage à la recherche.

Je remercieMonsieur le Professeur TaïebHadhri, mon autre Directeurde thèse, également pour la conance qu'il m'a témoignée au début de ce projet, pour sa dis-ponibilitéet sesqualités humaines.

J'adressemesremerciementsàMessieurslesProfesseursJoséCarrilloetThierry Goudonde l'honneur qu'ilsme font en acceptantde juger cette thèse etd'en être les rapporteurs.Leurscommentaires pertinentset l'intérêtqu'ilsont accordéà ce travail m'ont permis d'en améliorer la rédaction.

Je tiens à remercier très spécialement Monsieur le Professeur Pierre Degond, Directeur de recherche au CNRS, qui m'a chaleureusement accueilli au MIP depuis mon stage de DEA et m'a donné l'opportunité de m'investir dans un travail très intéressant. Je le remercie de sa bienveillance à mon égard. C'est pour moi un réel plaisir de pouvoir lecompteraujourd'hui parmi les membres du jury.

Je voudrais aussi exprimer ma gratitude à Monsieur le Professeur Lassaad El Asmi qui a accepté de faire partie du jury. Je voudrais plus particulièrement remer-cier Monsieur le Professeur Mohamed Jaoua sans qui cette belle aventure n'aurait pas vu le jour.

Je tiens également à exprimer ma reconnaissance à Mademoiselle Hédia Chaker pour les conseils qu'ellem'a prodigués et les divers discussions qui m'ont enrichies.

Tout au long de ce travail, j'ai eu l'occasionde discuter avec de nombreuses per-sonnes. Je voudrais les remercier du temps qu'elles m'ont accordé, particulièrement Fabrice Deluzet, Miloslav Grundmann, Claudia Negulescu, Eric Polizzi, Olivier Pi-naud,Olivier Saut pour leurs remarques judicieuseset leursaides très précieuses.

Cette thèse a été eectuée en co-tutelle entre l'École Nationale d'Ingénieurs de Tunis et l'Université Paul Sabatierde Toulouse.

Merci au personneladministratifet techniquedes deuxinstitutions pour leur dis-ponibilité et leur dévouement.

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Et Maintenant, je voudrais adresser mes plus grands remerciements à mes pa-rents ici présents qui m'ont donné l'amour des sciences. Puisque, déjà, dans les années60, mon père avaittravaillésur lestransistors au CEA àSacalyet au CENG de Grenoble. Ma mère qui m'a toujours pousser à persévérer et donner le goût du travailbienfait.Ungrandmercià toutlesdeuxsansoubliertoutema grandefamille.

Je remercie mon ancé, Nourredine, pour son réconfort et sa patience. Sa pré-sence et sa compréhensionont été pour moi d'un grand soutien moral.

Je ne voudrais pas oublié tous mes amis, mathématiciens ou non, sans qui cette thèse ne se serait jamais aussi bien passée.

(10)

Introduction 14

1 Structure cristalline . . . 16

2 Plan d'étude . . . 24

2.1 Descriptionde la première partie : Monoband transport . . . . 25

2.2 Descriptionde la deuxièmepartie : Multibandtransport . . . 32

I Monoband transport 37 1 The Schrödinger with variable mass model 39 1 Introduction . . . 41

2 Settingof the problem . . . 41

3 Existenceof solutions . . . 43

3.1 A prioriestimates . . . 46

3.2 Compactness and continuity . . . 51

4 Semi-classicallimit . . . 52

4.1 Estimates . . . 54

4.2 Property of Wigner transform . . . 58

4.3 Proof of Theorem 4.1 . . . 58

5 Conclusion . . . 65

2 Mathematical analysis of the Kohn-Luttinger model 67 1 Introduction . . . 68

2 The derivation of the boundary conditions . . . 71

2.1 The leftinjection . . . 72

2.2 The rightinjection . . . 76

2.3 The macroscopicquantities . . . 77

3 The linearproblem . . . 78

3.1 Existence and uniqueness of solution . . . 78

3.2 The modiedKohn-Luttinger problem . . . 82

4 The modiedcoupled (Kohn-Luttinger)-Poisson model . . . 83

4.1 Estimatesindependentof . . . 87

(11)

1 Introduction . . . 96

2 The dierent equationsto solve . . . 96

2.1 The Kohn-Luttingeropen equation . . . 96

2.2 The ellipticequation onthe potential . . . 97

3 The discretizationby Hermitian niteelements . . . 98

4 The discretespaces . . . 101

4.1 The assembling of the elementarymatrix . . . 103

5 The approached problem . . . 104

5.1 The vector L . . . 107

6 Numericalimplementation . . . 108

6.1 The owchart . . . 108

7 Numericalresults . . . 111

7.1 Resonant intraband tunneling diode RTD . . . 111

7.2 Numericaldata . . . 112

7.3 Currentdensity . . . 112

8 Appendix A . . . 118

8.1 The matrix A V corresponding tothe potential . . . 118

8.2 The matrix A TDB c corresponding tothe boundary terms . . . 119

II Multiband transport 123 4 The two-band Schrödinger model 125 1 Introduction . . . 126

2 The settingof the problem and the main results . . . 126

3 The derivation of the boundary conditions . . . 128

3.1 The dispersionrelation . . . 129

3.2 The dierent modes and boundaryconditions . . . 131

4 The linearproblem . . . 132

4.1 The proof of Proposition 2.1 . . . 132

4.2 The macroscopicquantities . . . 134

5 The couplingwith the Poisson equation . . . 135

5.1 A prioriestimates . . . 135

5.2 Compactness and continuity . . . 140

6 Someremarks and comments . . . 141

7 Appendix A : Calculationof the matrix S . . . 143

5 Numerical analysis : Application to InAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs Interband device 145 1 Introduction . . . 146

(12)

3.2 Discretization of the Poisson equation. . . 149

4 Numericalresults . . . 151

4.1 Currentvoltage curve simulation . . . 152

4.2 Carrierdensity prole . . . 158

(13)

(14)

1 LeréseauL. . . 16

2 Lesbandesd'énergies. . . 20

3 Diodeàeettunnelrésonnantintrabande(RTD). . . 30

4 Lescourbescaractéristiquescourant-tensionpouruneRTD. . . 30

5 LescoecientsdetransmissionpouruneRTD. . . 31

6 Ladensitéélectroniquelorsque =0et<0. . . 31

7 Représentationschématiquedudiagrammede bandesd'énergied'unediodeà ef-fettunnelrésonnantinterbande unidimensionnellesousl'eetd'unediérencede potentielV 1 . . . 33

8 Lacourbecaractéristiquecourant-tensiondeladiodeInAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs àeet tunnel résonnantinterbande lorsque T =300K avec une largeurdes bar-rièresAlSbest de10Anget celledupuitsGaSbde30Ang. . . 34

9 SpectredetransmissiondeladiodedoublebarrièreRITDsousdeuxpolarisations Vpic=0:05Volt etVvallee=0:23Volt. . . 35

1.1 Thetwocases. . . 55

1.2 Behaviorofpotentialin neighborhoodofx=1 . . . 56

2.1 Dierentcasesofthepotentialvariation. . . 72

2.2 Computing the momentum vectorsaccording to the discriminantin the case of theleftinjection. . . 73

2.3 Computing the momentum vectorsaccording to the discriminantin the case of therightinjection. . . 77

3.1 Schematicofuniform mesh.. . . 98

3.2 TheHermitianniteelements. . . 99

3.3 Theow chart present the generalprocedure to compute the potential, density andcurrentatiterationi. . . 108

3.4 I(V)characteristicandenergyband diagramoftheresonantintrabandtunneling diode. . . 111

3.5 Potentialassociatedtotheresonantintrabandtunneling diode. . . 112

3.6 The transmission coecient corresponding to the parabolic (dashed curve) and non-parabolic(solidcurveanddash-dotcurve) energiesatT =300K. . . 113

(15)

curvefor<0)energiesatT =300K. . . 114

3.8 Thechargedensityin10 18 cm 3 andthepotentialatabiasofV =0Voltforboth parabolic (=0)andnon-parabolic(>0and<0)energies. . . 115

3.9 Thechargedensityin10 18 cm 3 versusthevoltagecorrespondingtotheparabolic (=0)andnon-parabolic(>0and<0)energiesatT =300K. . . 116

3.10 Thechargedensityin10 18 cm 3 andthepotentialatabiascorrespondingtothe peak of the I-V curve in g 3.7 for each parabolic ( = 0) and non-parabolic (>0and<0)energies. . . 117

4.1 Schematicenergy-banddiagramsforaonedimensioninterbandtunnel device un-derapotentialV. . . 127

4.2 Groupvelocity . . . 130

4.3 EnergyBands . . . 131

4.4 Schematicband structure. . . 142

5.1 QualitativeI(V)fortheresonantinterbandtunneling diode. . . 146

5.2 Schematicofnon uniformmesh. . . 149

5.3 Schematicenergy-band diagramsforaonedimensioninterbandtunneldevice. . . 151

5.4 Thecurrent-voltageforanInAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAsresonantinterband tun-nelingwith10Ang AlSbbarriersand30Ang GaSbwellwhenP =0. . . 153

5.5 Thecurrent-voltageforanInAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAsresonantinterband tun-nelingwith10Ang AlSbbarriersand30Ang GaSbwellwhenP =1:41e+6eV:m.154 5.6 Behavior of the current in the interband resonant tunneling diode at V pic = 0:05Volts.. . . 155

5.7 Calculatedtransmissioncoecientsoftheinterbandresonanttunnelingdiode ac-cordingtothetwobands.. . . 156

5.8 Calculatedtransmissioncoecientsoftheinterbandresonanttunnelingdiode ac-cordingtothetwopotentials. . . 157

5.9 Calculated transmission coecients of the interband resonant tunneling diode whenP =0with V =0,V >0andV <0. . . 157

5.10 Carrierdensityfor V =0Volts. . . 158

5.11 Carrierdensityfor 0:05Volts,correspondingtothepeak current. . . 159

5.12 Carrierdensityfor 0:23Volts,correspondingtothevalleycurrent. . . 159

5.13 Thetotalcarrierdensityversusthevoltage. . . 160

5.14 Carrierdensityaccordingtotheinterferenceandconduction terms. . . 160

(16)

Introduction générale

Au début du troisièmemillénaire,on est déjà à l'ère de la nanotechnologieoù il est possible de créer, observer, déplacer, agencer des objets de la tailled'un atome, nanoagrégat ou nanocristal. On commence à savoir fabriquer des nano-objets, plus complexes, possédant des formes et des fonctions bien dénies, comme des nano-circuits ou des nanomachines. On s'oriente là vers une miniaturisation extrême des dispositifsélectroniques. L'exempleleplusconnuest probablementceluides circuits intégrés : alors que la dimension d'un transistor était de quelques micromètres en 1970, elleest aujourd'hui de 130 nanomètres.

Deux approches existent. Uneapproche ascendanteappelée bottom-up car elle utilise les plus petits éléments accessibles de la matière pour concevoir des nano-composants puis des nanomachines. La seconde descendante appelée top-down consisteàréduirelatailledes composantsconstituantlesmachinesnées dela micro-électronique. Les nanocircuits posent cependant des problèmes de fonctionnement qui sont loin d'être résolus. À cette échelle, la mécanique quantique ([5], [22], [36], [84], [85], [86]...) s'impose, avec des lois de comportement complètement diérentes de cellesdes objetsmacroscopiques. Lesélectrons qui circulentdans ces composants acquièrent un caractère ondulatoirequi lesrends plus dicilement prévisibles.Pour cela, ona eu besoin de modélisationetsimulation numérique.

D'autre part, suite à l'émergence des semi-conducteurs à petite bande interdite, de nouveaux dispositifs ont fait leur apparition ces dernières années. Parmi les dif-férents dispositifs semi-conducteurs de taille nanométrique répondant à ce critère, ons'intéresseauxcomposantsàeet tunnelrésonnant dont deux catégoriesexistent l'uneintrabande etl'autreinterbande(nous détailleronsplus loinleursignication). Pour dénirletransport interbande,il fautavoirrecoursàl'approximationditek:P de l'équation de Schrödinger ([60], [61],...) que nous rappellerons succinctement ci dessous.

Les physiciens et les électroniciens ont déjà travaillésur ces types de dispositifs où un certain nombre de résultats expérimentaux a été obtenu ([100], [104], [105], [109]...). Pour mieux comprendre les phénomènes qui interagissent dans les semi-conducteurs, des études mathématiques de l'équation de Schrödinger décrivant le transport dans ce type de dispositifs ont aussi été eectuées ([11], [12], [13], [14],

(17)

1 Structure cristalline

Àl'échellequantique,unsemi-conducteurestunmatériauàl'étatsolidecristallisé avec une conductivité électronique intrinsèque. Dans l'espace R

3

, un cristal est un arrangement d'atomes selon un réseau cristallinL (voirgure 1).

~ e1 e ~ e 3 ~ e 2 Fig. 1:LeréseauL. Soient (~e i ) (i=1::3)

une base de vecteurs de Ltel que

L=fa 1 ~e 1 +a 2 ~ e 2 +a 3 ~e 3 ja 1 ;a 2 ;a 3 2Zg: Labase duale (~e i ) (i=1::3)

est déterminée par l'équation

~ e i :~e j =2Æ ij ; 8i;j =1;2;3 etle réseaudual L

( réseau réciproque ) s'écrit

L =fa 1 ~e 1 +a 2 ~e 2 +a 3 ~e 3 ja 1 ;a 2 ;a 3 2Zg:

Lacellule élémentaire du réseau L est déni par

C = ( 3 X i=1 t i ~e i j0t 1 ;t 2 ;t 3 <1 )

etlazonede BrillouinB est lacelluleélémentaireduréseaudualL

.Elleestlepetit volumedel'espaceréciproque;contenantl'origine;quiestentièrementcomprisentre lesplans médiansdes vecteurs du réseauréciproquepartant de l'origine.

B = k 2R 3 ;jkj min K2L 0 jk+Kj :

On note par conséquent,

jCjjBj=(2) 3

oùj:j représente le volume.

Le réseau d'atomes ou d'ions génère une distribution périodique de charge élec-trique, qui induitun potentiel périodique V

c

(x) ayant lapropriété suivante

V (x+l)=V (x); sur R 3

(18)

L'étatd'un électronlibre sedéplaçantdans un potentielpériodiqueest donnépar la fonction d'onde solutionde l'équation de Schrödinger dépendantedu temps

i~ @ @t = ~ 2 2m +V c (x) +V(x) (1.2)

où m;~ sont respectivement la masse élémentaire de l'électron et la constante de Planck réduite.Le potentiel V est un potentiel macroscopiquequi prend en compte lespotentielsappliquésetceux générésparleschargesdistribuées(dopage,électrons, etc..). V varie à une échelle spatiale beaucoup plus grande que le potentiel cristal-lin V

c

. Dans une première approximation, on peut considérer qu'il est localement constant.On regardealors l'équation

i~ @ @t = ~ 2 2m +V c (x) : (1.3)

On note par l'opérateurH

H = ~ 2 2m +V c (x) : L'équation(1.3) devient i~ @ @t =H : (1.4)

Lorsque l'Hamiltonien H ne dépend pas explicitement du temps, c'est le cas des systèmes conservatifs,qui correspond aux systèmes classiquesdont l'énergieest une constantedu mouvement. On peut chercher lessolutions sous la forme

= e

iEt ~

(1.5)

où dépenddescoordonnéesdel'espacemaisnedépendpasdutemps.Cettesolution représente un état d'énergie E. Substituant cette expression dans l'équation (1.4), onobtient

H =E (1.6)

quiporte lenom d'équation de Schrödinger indépendante du temps.

Lorsque lesystèmese trouve dansun état représentépar uneonde telleque celle de l'expression (1.5), on dit qu'il est dans un état stationnaire d'énergie E, et la fonction d'onde indépendante du temps est couramment désignée sous le nom de fonctiond'ondede l'étatstationnaire,bien quelafonctiond'ondevéritableendière par lefacteur de phase e

iEt ~

.

(19)

d'abor-long de cette étude nous ramener à une équation de Schrödinger à une dimension. Nousavons vu qu'il est possible de séparer dans l'équationde Schrödinger (1.4) les variables de temps et d'espace, ce qui a conduit à l'équation aux valeurs propres (1.6). Nousnous proposons alors de séparer aussi lesvariablesd'espaces.

Le problème à une dimension est intéressant non seulement comme modèle simple permettant de mettre en évidence un certain nombre de propriétés que l'on trouve dans des situations plus complexes, mais aussi parce que dans bien des problèmes ilest possiblede seramener après quelques manipulationsadéquates àla résolution d'équation de même type quel'équation de Schrödinger àune dimension.

L'opérateur H a un spectre avec une structure de bande. D'après le théorème de Blochl'un des théorèmes de base les plus importantsconcernant la structure de bande,sile potentielV

c

vérie (1.1),alors ilexiste une famillede base complèteb n;k telle que b n;k (x)=e ik:x u n;k (x); (1.7)

oùnest l'indicedebandecorrespondantauxdiérentessolutionsd'unmêmevecteur d'ondek etu

n;k

(x)estlafonctiondeBloch.Elleestaussipériodiquedelapériodicité du réseau. On remarque alors que toute fonction 2 L

2 (R) solution de l'équation de Schrödinger (1.6) vérie (x)= 1 jBj X n Z B ' n (k)b n;k (x)dk où' n (k)= Z R (x)b n;k (x)dx:

D'autre part,eninsérant(1.7)dansl'équationde Schrödinger(1.6),u n;k satisfait l'équationsuivante ( p 2 2m + h m k:p+ h 2 k 2 2m +V c (x))u n;k (x)=E n (k)u n;k (x); (1.8)

oùp est l'opérateurmomentdonné par p= i~ d dx

.

Lorsque k =0,l'équation (1.8)prend une forme particulièrement simple

( ~ 2 2m d 2 d 2 x +V c (x))u n;0 (x)=E n (0)u n;0 (x); (1.9) oùE n

(0)est l'énergiede la énième bande auniveau de k =0. Elleest associée à la fonction de Blochu n;0 . L'opérateur ~k:p m

dans(1.8)est alorstraitécommeuneperturbationdans l'Hamil-tonien de Schrödinger. Il permet de déterminer les fonctions d'ondes u

n;k

(x) et les valeursd'énergieE

n

(k)pourdes petitesvaleursdek voisines dek =0enfonctionde u

n;0

(x) et E n

(0). D'après Kohn-Luttinger [77], on peut utiliser e ikx

u n;0

commebase complète adaptée à l'étudeautour de k =0.Ainsi, s'écrit

= X F n (x)u n;0 (x);

(20)

où F n (x)= 1 jBj Z B ' n (k 0 )e ik 0 x dk 0 :

Lorsqu'onprojettel'équationdeSchrödinger(1.6)surcettenouvellebase,onobtient lesystème k:P sur lesfonctions F

n

appelées fonctionsenveloppes.

( h 2 2m d 2 d 2 x +E n (0))F n (x)+i~ X n 0 P n;n 0 m dF n 0 dx (x)=EF n (x); (1.10) où P n;n 0 = i~ Z u n 0 ;0 du n;0 dx dx etP n;n 0 =P n 0 ;n :

L'équation(1.10) s'écrit aussi sous formematricielle

0 B B B B B @ h 2 2m d 2 d 2 x +E 1 (0) i~ P n;n 0 m d dx : : : i~ P n;n 0 m d dx h 2 2m d 2 d 2 x +E n (0) 1 C C C C C A 0 B B B B @ F 1 (x) : : : F n (x) 1 C C C C A =E 0 B B B B @ F 1 (x) : : : F n (x) 1 C C C C A : (1.11) Sion considère F n

comme une onde plane s'écrivant F n (x)=a n e ikx , ona alors 0 B B B B B @ h 2 k 2 2m +E 1 (0) ~ P n;n 0 m k : : : ~ P n;n 0 m k h 2 k 2 2m +E n (0) 1 C C C C C A 0 B B B B @ a 1 : : : a n 1 C C C C A =E 0 B B B B @ a 1 : : : a n 1 C C C C A : (1.12)

EnrésolvantcetteéquationparrapportàE,onobtientunerelationdedispersion dontlessolutionssontlesbandesd'énergie (E

i )

i=1;::;n

(k).Cesénergiessontdiscrètes, elles existent entre les bandes d'énergies interdites aux électrons (appelées gap). D'autre part, les électrons sont des fermions et obéissent au principe d'exclusion de Pauli. Ils ne peuvent donc pas être dans le même état quantique. Les électrons remplissent lesétatsd'énergie distribués en bande,par énergiecroissante. Parmices bandes,oncitelabandeconduction,labandedevalenceetlabandespin-orbite(voir

(21)

k E(k ) E g k=0 Bandedeconduction

BandedeValencedestrouslourds

Bandedevalencedestrouslégers

Bandespin-orbite

Fig.2: Lesbandesd'énergies.

Au voisinage de k = 0 qui correspond au minimum de la bande de conduction, c'estàdiredanslarégiondudiagrammeénergétiqueoùsontlocaliséslesélectronsde conduction,onpeutdévelopperlafonctionE

n

(k)en sériede Taylor.Danslamesure où il s'agit d'un minimum, la dérivée première est nulle, de sorte qu'en limitant le développement audeuxième ordre,l'énergie s'écrit

E n (k)=E n (0)+ k 2 2 d 2 E n (0) d 2 k :

On peut aussi l'écriresous la formesuivante

E n (k)=E n (0)+ ~ 2 k 2 2m ; oùm

est lamasse eective donnée par

m = ~ 2 d 2 E n (0) d 2 k : (1.13)

De plus, il faut noter que dans cette vision semi-classique, un électron de la n-ième bande est décrit par une particule ponctuelle se déplaçant à la vitesse v

n (k) donnéeparlavitessede groupedupaquetd'ondeassociéàl'électrondansunevision quantique: v n (k)= 1 ~ dE n (k) dk :

Par conséquent, l'équation(1.11) devient

~ 2 d 2 F n 2 +V(x)F n =E n (k)F n ; (1.14)

(22)

oùV est un potentielextérieur.

Les eets de la structure de bande sont incorporés dans les paramètres du ma-tériau tel que E

n et m

. Ainsi, l'électron au voisinage du minimum de la bande de conductionsecomportecommeun électron libre de massem

. Danslamesureoùla courbure de la bande de conduction varie peu au voisinage du minimum, la masse eectivem

est constanteetpar suite l'énergieE n

(k) varie quadratiquement avec le vecteur d'ondek.Cetteloide variationconstituece quel'onappellel'approximation des bandes paraboliques.

Lorsque l'énergiecinétique des électrons devient très importantel'électron s'éloigne de E

n

(0) dans l'espace des énergies, sa masse eective varie et l'approximation pa-raboliquen'est plus justiée.

Plusieurs résultats expérimentaux, théoriques et numériques sur cette équation (1.14) ont été réalisés [11], [12], [13], [14], [15], [17], [18], [19], [89], [90], [93], [94], [95], [101] et [111]. Or ce modèle (1.14) découle de l'approximation la plus générale de la masse eective ~ 2 2 d dx ( 1 m (x) d dx )+V(x) = q 2 2m ; (1.15)

oùq =~k est lemoment.

Cette équation (1.15) a été étudiée par [3], [4], [9], [16], [20], [40], [43], [44], [47] et [48]. Dans le chapitre 1 de ce mémoire (voir [62]), on a fait une analyse mathématiquerigoureuse de ce modèlecouplé avec Poisson. On a aussi eectuéune analyse asymptotique minutieuse type limite semi-classique de ce modèle vers le modèlecinétiqueassocié. Pour cela,onautilisélatransformée de Wigner([42], [52], [53], [55], [74], [81], [82], [118], [122]...).

Ces deux modèles précédents (1.14) et (1.15) semblent être insusants. Ils sont encore au stade simplicateurs de point de vue électronique pour décrire les phé-nomènes physiques qui puissent interagir entre les diérentes bandes d'énergie qui constituent le semi-conducteur.

Sionrestreintlaprojectionde l'équation(1.14)auxquatrespremières bandestel quelabandede conduction,ensuitelabandede valencequiestconsidérée dégénérée d'où une bandede valenceassociée aux trouslourds et uneautre associée aux trous légers et la dernière bande celle associée au spin orbite (voir gure 2) , on obtient l'Hamiltoniende Kane [60] et[61]. Il est donné par une matrice88

H 1 0 0 H (1.16)

(23)

avec H 1 = 0 B B B B B B B B B B B B B @ ~ 2 2m d 2 dx 2 +V(x) i s 2 3 ~P d dx i s 1 3 ~P d dx 0 i s 2 3 ~P d dx ~ 2 2m d 2 dx 2 Eg+V(x) 0 0 i s 1 3 ~P d dx 0 ~ 2 2m d 2 dx 2 Eg +V(x) 0 0 0 0 ~ 2 2m d 2 dx 2 Eg+V(x) 1 C C C C C C C C C C C C C A

oùm est la masse de l'électron, E g

est l'énergiedu gap, P est le coecient de cou-plage entre la bande de conduction et la bande de valence et est le gap entre la bandede valence etla bandespin-orbite.

Dans notre mémoire,on aétudié lemodèlede Kane àdeux bandescomme dans ([6], [23], [43], [107] et [115]) où on a découplé la bande de valence des trous lourds et ona négligé le couplage spin-orbite. Dans notre étude, on lui a donné le nom de Schrödingerà deux bandes. Il s'écrit alors

0 B @ ~ 2 2m d 2 dx 2 +V(x) i~P d dx i~P d dx ~ 2 2m d 2 dx 2 E g +V(x) 1 C A =E : (1.17)

Danslarésolutiondumodèleàquatrebande,Kaneadéjànotélanon-parabolicité de ces diérentes bandes la bande de conduction, la bande de valence associée aux trous légers, la bande de valence associée aux trous lourds et la bande associée au spinorbite.Suiteàçaplusieursétudesprenantencomptelanon-parabolicitédansla structuredebandeontétéeectuées([7],[8],[41],[43],[69],[92]et[115]).Enrésolvant l'équation(1.16),l'énergiecinétique d'un électron sur labande de conductionE

c ,la bande de valence associée aux trous légers E

v

et celle associée au spin orbite E spin peut s'écrire commesuit

E c;v = ~ 2 k 2 2m + E g 2 1(1+ 8P 2 E 2 g k 2 ) 1 2 ; (1.18) E spin = ~ 2 k 2 2m P 2 k 2 3(E g +) (2E g +)P 4 k 4 3(E g +) 2 : (1.19)

L'énergie cinétique d'un électron sur la bande de valence associée aux trous lourds E

v;l ourd

est par contre considérée paraboliqueets'écrit commesuit

E v;l ourd = ~ 2 k 2 2m : (1.20)

Les équations (1.18) et (1.19) peuvent être développées comme suit pour l'énergie cinétiquede labande de conduction

E c = E g + ~ 2 2m k 2 1 E g ~ 2 2m ~ 2 2m 2 k 4 ; (1.21)

(24)

pour la bandede valence E v = ~ 2 2m v k 2 1 E g ~ 2 2m v ~ 2 2m 2 k 4 (1.22)

etpour labande spin orbite

E spin = ~ 2 k 2 2m spin 3(2E g +)P ~ 2 2m spin ~ 2 2m 2 k 4 (1.23) où 1=m c 1=m+4P 2 =(3~ 2 E g ); 1=m v 4P 2 =(3~ 2 E g ) 1=m avec m c;v

est lamasse eectiveselon labanded'énergie de conduction oude valence et 1=m spin P 2 =(3~ 2 (E g +)) 1=m avec m spin

est la masse eective selon la bande spin orbite. Ici, les termes d'ordre élevés, proportionnels à k

6

sont négligés. Alternativement, on écrit les équations précédentes (1.21)-(1.22)-(1.23)comme suit

E c = E g + q 2 2m c c q 4 4m c 2 ; (1.24) E v = q 2 2m v + v q 4 4m v 2 ; (1.25) E spin = q 2 2m spin spin q 4 4m spin 2 (1.26) où c = 1 E g 1 m c m 2 ; v = 1 E g m v m 1 2 et spin = 3(2E g +)P 1 m spin m 2 : Dans(1.24)et(1.25)letermeen q 4

est de signecontraireàcelui deq 2

tandisqueles deux signessontidentiques pour (1.26).Ainsi,ausigne prés,onal'énergiecinétique E quis'écrit comme suit

E(q) = q 2 2m + q 4 4m 2 (1.27) oùm

lamasse eectiveetlecoecient peutêtre positifounégatifselon labande d'énergie. Lorsque est positif, l'énergieE(q)est croissante en fonctionde q

2 alors que ce n'est pas le cas lorsque <0 pour lequel l'énergieE(q)n'est monotone que pour k trés petit.

(25)

avec l'équationdePoissonest bienposé.Enrestant danslecadred'une étude unidi-mensionnelleetensebasantsurlathéoriedelamasseeective,ondénitl'opérateur K d'ordre4 de Kohn-Luttinger (voir [77]) commesuit

K = ~ 2 2m d 2 dx 2 + ~ 4 4m 2 d 4 dx 4 : (1.28)

Dansles simulationsnumériques présentées dans lechapitre 3, lecas <0est éga-lement testé.

Dans les deux derniers chapitres 4 et 5, on a consacré notre étude au modèle Schrödinger à deux bandes dénit dans (1.17). On s'est intéressé à l'étude mathé-matique de ce modèle dans le cas linéaire ensuite dans le cas non-linéaire lorsqu'on coupleavec Poisson.Endernierlieu, onaanalysé numériquementce modèle etona représenté les caractéristiquesphysiques telque la courbe courant-tension, la trans-missionet ladensité électronique.

2 Plan d'étude

La présente thèse est consacrée à l'étude d'un modèle de transport quantique et se décompose essentiellement en deux parties. On y étudie un modèle quantique appelémodèlede Schrödingeroùdeux approches sontdénies. L'une monobandeet lasecondemultibande.Danstouslescas,ladémarcheestlamême.Eneet, dupoint de vue mathématiqueelle consisteà dénirun opérateurH de la façonsuivante

H =E : (2.29)

Ensuite,ondérivelesconditionsauxbords transparentes qui permettent danslecas linéaire de démontrer l'existence et unicité de solution. Dans le cas non-linéaire où lepotentielest self-consistant,onmontre l'existence de solution.

Dupoint devue numérique,leprincipeest encorelemêmedans lesdeux approches. Ilestbasésurunschémaitératif.Ilconsisteàrésoudreungrandnombredefoiscette équation (2.29) suivant la valeur de l'énergie E au cours de chaque itération où le potentielest donné audépart.On obtientla fonctiond'onde pour chaque énergie E. Ensuite, on calcule la densité électronique associée à ces fonctions d'ondes. En injectant dans l'équationunidimensionnelle standard de Poisson

d dx ( r (x) dV dx ) = e(N D n(x)); (2.30)

on détermine le nouveau potentiel. Le test d'arrêt du schéma itératif consiste à comparerlenouveau potentielaveclepotentielprécédenten normeL

1

parexemple. Ilest ànoterquepourplus de diversité,onautilisé dansnotreétudepour lemodèle Kohn-Luttingerdelapremière partieune méthode d'élémentsnisalors quedansla secondepartie,onautilisélaméthodede diérencenie pourlemodèleSchrödinger

(26)

2.1 Description de la première partie : Monoband transport

Lapremièrepartiedelaprésentethèseconcerneuneapprochemonobandedu mo-dèle Schrödinger. En premier lieu, elle comporte l'étude mathématique du modèle SchrödingeravecmassevariablecoupléavecPoissonainsiquelalimitesemi-classique de ce modèle. Ensecond lieu, elleconcerne l'étudemathématique du modèle Kohn-Luttinger, qui provient d'une approche non-parabolique de l'énergie, couplé avec Poisson. Et en dernier lieu, on termine cette première partie par une étude numé-riquedu modèle Kohn-Luttinger.

2.1.1 Chapitre 1 : The Schrödinger with variable mass model (en colla-boration avec N. Ben Abdallah [16 ] et [62])

On étudie lemodèle quantiqueSchrödingeravec masse variableunidimensionnel danslecasstationnairelorsd'injectiond'électronsimultanéedepartetd'autred'une zone quantiquenotée Q. Lemodèle est décritpar l'équation suivante

~ 2 2 d dx ( 1 m(x) d q dx ) eV(x) q =[ q 2 2m eV + i~ 2 ] q ; q0; x2[0;1]; (2.31) où q

est la fonction d'onde associée à un électron qui arrive par la gauche (+) (resp. par ladroite ( )). e est la charge électriqueélémentaire et (x;q) sont les va-riables position et moment.Le paramètre de régularisation 0 est un coecient d'absorption. La limite semi-classique est eectuée uniquement dans le cas > 0 (voirThéorème 2.2). Tandis que peut être pris égal àzéro dans l'étudedu modèle linéaireou non-linéairede Schrödinger avec masse variable(voirThéorème 2.1).

LazonequantiqueestsoumiseàunediérencedepotentielV V +

oùV +

=V(0) etV =V(1). On considère lecas oùV

+

>V , lecas contraire se traitede lamême manière.Deplus,onsupposequelamasseeectivemestdépendantedelapositionx àl'intérieurdelazoneQetqu'elleestconstanteailleursetm

+

=m(0); m =m(1).

D'autre part, connaissant l'expression du potentielde part et d'autrede la zone quantique, onpeut résoudre explicitement l'équationde Schrödinger avec masse va-riable etonobtient q (x)=e i q ~ x +r q e i q ~ x ; + q (x)=t + q e i ~ + q q 2 m m + +2em (V V + )x pour x<0; (2.32) q (x)=t q e i ~ + q q 2 m + m +2em + (V + V ) (x 1) ; + q (x)=e i q ~ (x 1) +r + q e i q ~ (x 1) pour x>1; (2.33) où r q et t q

sont respectivement les coecients de réection et de transmission. +

p

a (a 2 R) représente la racine carrée complexe dont la partie imaginaire est positive.On peut ensuitese ramener àl'intervalle[0;1],en éliminantles coecients r q ett q

. On obtient alors les conditionsaux bords type Fourier suivantes

~ q 0 (0)+iq q (0)=2iq; ~ + q 0 (0)= i + r m m q 2 +2em (V V + ) + q (0); (2.34)

(27)

~ q 0 (1)=i + r m + m q 2 +2em + (V + V ) q (1); ~ + q 0 (1) iq + q (1)= 2iq: (2.35)

Pour déterminer l'expression de la densité de charge, on suppose qu'il existe deux sourcesplacéesen 1et+1selondes prolsde distributionsG (q)etG

+

(q).Par conséquent, la densitéde charge vaut

n(x)= Z +1 0 G (q)j q (x)j 2 dq+ Z +1 0 G + (q)j + q (x)j 2 dq:

Unefois que ladensité est déterminée, lepotentiel V résoutl'équation de Poisson

d 2 V dx 2 =n(x); (2.36)

avec comme conditions auxbords

V(0)=V ; V(1)=V +

: (2.37)

On énonce tout d'abord leshypothèses suivantes

Hypothèses 2.1

(H 1) Il existec et C >0 tel quecm(x)C: (H 2) G et G

+

sont deux fonctions à support compact et vérient

G 0 et R +1 0 G (q)dq <1:

Dans lasuite, on suppose quesuppG [0;q 0 ] avec q 0 >0.

Dans [62], sous les hypothèses précédentes et en utilisant le théorème de point xeLeray-Schauder (voirref.[54]), onmontre l'existence de solution du modèle sta-tionnaireSchrödingeravec masse variable coupléavec Poisson.

Théorème 2.1 Sous leshypothèses(H-1)-(H-2)etlorsque =0, lesystème (2.31)-(2.37) admet une solution (

q ;V) tel que q 2H 1 (0;1) et V 2W 2;+1 (0;1):

Avant d'énoncerlethéorème principalde ce chapitre,ondénitd'abord la trans-formée de Wigner, associée à une fonction d'onde , par

W ~ [ ](x;p)= 1 2 Z R e ip x+ ~ 2 x ~ 2 d; (2.38)

où désigne leconjugué de . Ensuite, onintroduit l'espacedes fonctionstests

A = '='(x;p)=F (')(x;)2L 1 (R ;C([0;1] )) (voir[74]),

(28)

oùF p

est latransformée de Fourierpar rapport à p.On dénit par A 0

l'espace dual de A.

On suppose aussi que lepotentielélectrostatique vérie leshypothèsessuivantes

Hypothèses(H)

SiV >V +

, on suppose alors queV 0

(x)0au voisinage de x=1. SiV <V

+

, on suppose alors queV 0

(x)0au voisinage de x=0.

Théorème 2.2 Soit V 2 C 2

(0;1) xé et vérie les hypothèses (H) . Soit > 0 et (

q

) q2R

+ la solution du problème (2.31)-(2.35). Supposons également que m 2 C 2 (0;1)et queG satisfait R +1 0 (1+q)G

(q)dq <1. Ondénit par O unefonction C

1

àsupportcompactidentiquementégaleà1auvoisinagede[0;1].Alorslafonction de Wigner déni pour (x;p)2[0;1]R

! ~ (x;p)= R +1 0 G + (q)W ~ [O + q ](x;p)dq+ R +1 0 G (q)W ~ [O q ](x;p)dq;(2.39)

converge,quand~tendverszéro,dansA 0

faible*versl'uniquesolutionf duproblème suivant (P Lim ) 8 < : dE dp df dx dE dx df dp +f =0 sur [0;1]; f(0;p)=G (p); f(1; p)=G + (p); p>0; où E = p 2 2m(x)

eV(x) est l'énergie totale.

Finalement,l'objectifdenotreétudeestatteint.Ils'agitd'analyserdesconditions aux limites sur l'équation de Schrödinger avec masse variable se réduisant dans la limitesemi-classiqueàdesconditions auxbordsrentrantespourlemodèlecinétique. Notonsdeplus queladiérenceentrelalimitesemi-classiqueduproblème Schrödin-geravecmassevariablequ'onabordeicietcelleétudiéelorsquemestconstante(voir [11] et[15]) sesitue auniveau du problème vériépar lalimite de latransformée de Wignerassociéeà

q

.Cedernierestunproblèmedépendantdeq,qétantl'implusion de l'électron en x = 0. Pour cela et an de retrouver le problème cinétique limite, ona été amené à une étude rigoureuse du supportde lalimite de la transformée de Wigner sur lacourbecaractéristique issue de (x=0;p=q).

2.1.2 Chapitre 2 : Mathematical analysis of the Kohn-Luttinger model

Dansce chapitre,ons'intéresseaucas oùla massem est considérée constanteet la structure de la bande d'énergie est donnée par l'approximation non-parabolique (1.25). Dans le cas unidimensionnel, l'opérateur associé à cette énergie est l'opéra-teur de Kohn-Luttinger K donnée par (1.28).

(29)

On étudie alors l'équationde Kohn-Luttinger(qu'on noteraKL) K q eV(x) q =E(q) q (2.40)

avec les conditions auxbords mixtes typesFourier suivantes

~ 2 q 00 (0)=~(q iq) q 0 (0)+iqq q (0) 2iq(q iq) (2.41) ~ 3 q 000 (0)=~(q 2 iq(q iq)) q 0 (0)+iqq (q iq) q (0) 2iqq (q iq)(2.42) ~ 2 q 00 (1)= ~(p ip + ) q 0 (1)+ip + p q (1) (2.43) ~ 3 q 000 (1)=~(p 2 ip + (p ip + )) q 0 (1) ip + p (p ip + ) q (1): (2.44)

Lepotentielest self-consistant.Il vérie l'équationde Poisson suivante

d 2 V d 2 x = n(x) (2.45) V(0) = V 1 ; V(1)=V 2 : (2.46)

Ladensité de charge n(x) est donnée par

n(x)= Z +1 0 G(q)j q (x)j 2 dq:

On suppose que la distribution G est une fonction positive bornée et à support compact de façon que

Z +1 0 q n G(q)dq<1; 8n2N:

Pourlarésolutiondecetypedeproblèmecouplé(2.40)-(2.46),onétudietoutd'abord lecas linéaire.Ensuite, une fois quel'existence et unicitéde solution est assurée, on passe à l'étude complète du problème couplé. Dans cette étude onest arontéà un sérieux problème (similaire au problème rencontré dans la résolution du problème couplé Schrödinger-Poisson dans le cas multi-dimensionnel (voir [12])), il réside en faitdansl'existencede modespropresE

j

=E(q j

)etj 0pourlesquels lesrésultats d'existence etd'unicitéde solutiondu problème Kohn-Luttingerlinéairene sontpas vériés.

Cependant,commedans [12],ladensitéélectroniqueassociéeauproblèmecouplé est égale à la somme de la densité associée à ces états propres et de celle associée auxétats de scattering

n(x) = Z +1 0 G(q)j q (x)j 2 dq+ X j2N d j X l =1 l j j l j (x)j 2 : (2.47)

G(q)représentele prolde lasource placéeen 1 associéàl'état de scattering q

.

l j

0 sont les coecients d'occupation et l j

(30)

On se rend compte assez facilement que la dénition de n(x) dans (2.47) pose bien un problème.En eet, lesfonctions

q

sontles états de scatteringdu problème Kohn-Luttinger. Si le principe d'absorption limite peut assurer la construction de ces états alors il n'est pas faciled'en déduire leur comportement au voisinage d'une valeurpropreplongéedanslespectrecontinu.Ainsiauvoisinaged'unevaleurpropre E

j

, ondispose uniquement de l'estimation

jj q jj L 2 (0;1) C jE(q) E j j

quidonne lieuà une singularité non-intégrable.

Pour résoudre ce problème, on adopte une procédure d'absorption limite non-linéaire (utilisée aussi dans [12] et [78]). On commence par ajouter un terme d'ab-sorption

i~ 4

àl'énergie, dans l'équationde Kohn-Luttingerpour assurer l'unicité

K q =[E(q)+i ~ 4 ] q

où K est l'opérateur de Kohn-Luttinger et > 0. Ce qui, en vue des conditions aux limites, rend le problème bien posé. La densité électronique est calculée par la formule n (x)= Z +1 0 G(q)j q (x)j 2 dq:

Ladeuxièmeétapeest deconstruireune solutiondu problèmecoupléavec l'équation de Poisson d 2 V d 2 x =n (x):

On montre l'existence de solution du problème couplé modié pour > 0 par le théorèmede pointxeLeray-Schauder[54].Ensuite,onpasseàlalimite !0dans le problème non-linéaire. On obtient une densité électronique somme de la densité des états de scattering etde la densité des états propres.

Cemodèleserautilisédanslapratiquepourlasimulationdescomposantsdutype diode à eet tunnel résonnant intrabande (qu'on notera RTD, Resonant Tunneling Diode), d'où le chapitre 3suivant.

2.1.3 Chapitre 3 : Numerical analysis of the KL model : Application to the intraband device

Onarésolunumériquementleproblèmecouplé(Kohn-Luttinger)-Poissonparune méthode itérative de Gummel linéaire. On a choisi une méthode d'éléments nis. Conformément au cadre fonctionneldu problème Kohn-Luttinger, on a donc utilisé des éléments nis Hermitiens. Le but de cette étude numérique est la simulation numérique d'une RTD (voir gure 3) en utilisant une relation de dispersion

(31)

non-GaAs

GaAs GaAlAs GaAlAs GaAs

Fig. 3: Diodeàeettunnel résonnantintrabande(RTD).

Il s'agit de déterminer les caractéristiques type courbe courant-tension donnée par l'expression de ladensité de courant suivante

J(V) = e~ 2m ( Z +1 0 G(k) ~ 2 m =m( : d 3 dx 3 d dx : d 2 dx 2 )+2=m( : d dx ) dk; (2.48) ladensité de charge n(x) = Z +1 0 G(k)j (x)j 2 dk; (2.49)

etle coecient de transmission donnépar

T(q)= p + q(q 2 +q 2 ) j~ 0 (1)+p (1)j 2 (2.50)

où=m partie imaginaire.

Les résultats obtenus sont présentés dans les gures suivantes pour le cas para-bolique et non-parabolique. Les phénomènes observés sont d'une nature similaire à celle trouvée dans [18], [19], [40], [47], [48], [84], [94] pour le cas parabolique lorsque =0; dans [69]pour lecas non-paraboliquelorsque <0.

0

0.2

0.4

0

20

40

60

80

100

120 Voltage (V)

Current density (kA/cm

2 )

α

=0

α

<0

Fig.4: Lescourbescaractéristiquescourant-tensionpouruneRTD.

(32)

res-nul.Lescourbessonten accord trèssatisfaisantavec lesmesures expérimentales qui prévoient de plus petites densités de courant dans lecas non-parabolique.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

10 −8

10 −7

10 −6

10 −5

10 −4

10 −3

10 −2

10 −1

10

0 Electron energy (eV)

Log

10 (Transmission)

α

=0

α

<0

Fig. 5:Lescoecientsdetransmissionpourune RTD.

L'eet de résonance apparaît clairement dans la gure 5, où le graphique du logarithme de la probabilité T (2.50) de transmission pour la diode à eet tunnel résonnant est tracé en fonction de l'énergie en eV. On a comparé la transmission pour l'approximation paraboliqueet non-parabolique. Notons que l'eet est légère-ment plus prononcépourl'approximationnon-paraboliquequand <0.Lerésultat principalest que la diérence dans la transmission est tout à fait petite dans toute lagamme d'énergie considérée.

0

20

40

60

80

100

120

140

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Position (nm)

Carrier density (10

18 cm

−3

)

Nonparabolic

α

<0

Parabolic

α

=0

55

60

65

70

75

80

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 Position (nm)

Carrier density (10

18 cm

−

3 )

Nonparabolic

α

<0

Parabolic

α

=0

Fig. 6:Ladensitéélectroniquelorsque=0et<0.

Demême danslagure6,onnoteune légèreréductionde ladensitéélectronique dans lazone du puits de la diode àeet tunnelrésonnant (voir g3) due àl'eet de

(33)

2.2 Description de la deuxième partie : Multiband transport

La deuxième partie est consacrée à l'approche Multibande plus précisément à l'approche bibande du modèleSchrödingeroùune étudemathématiqueest eectuée ainsi qu'une étude numérique.

2.2.1 Chapitre 4 : The two-band Schrödinger model

Dansce chapitre,ona évoqué laquestiondu couplage entre labandede conduc-tion et la bande de valence. Pour cela, on s'est intéressé au modèle Schrödinger à deux bandes. Il provient du modèle Kane. Le modèle à deux bandes modélise les phénomènes interbandes dans les diodes à eet tunnel résonnant. Dans le cas adi-mensionné,il est déni par

0 B @ d 2 dx 2 +V(x) iP d dx iP d dx d 2 dx 2 2Æ+V(x) 1 C A (x)=E (x): (2.51)

Unepremièreétapeversl'analysedecemodèleestd'établirlesconditionsauxlimites quantiques qui tiennent compte d'un courant électronique non nul. En eet, on a dérivéles conditions auxbords suivantes

d dx (0) iK (E) (0)=i(k c (E)I 2 K (E))~e c + (E) (2.52) d dx (1) iK + (E V 1 ) (1)=0; (2.53)

pour lesquels on a montré l'existence de solutions dans le cas linéaire lorsque V est xé.

Avant d'énoncer le théorème principal de ce chapitre, on a déni tout d'abord les quantités macroscopiques issues du modèle Schrödinger à deux bandes. En notant par f

0

(E) lastatistique de distributionselon laquelle ona injecté lesélectrons, ona dénila densité de charge par

n(x) = Z +1 0 f 0 (E)j (x)j 2 dE V c (E) (2.54) etla densitéde courant J(x) = Z +1 0 f 0 (E)(=m(D )) dE V c (E) ; (2.55) oùV c

(E) est lavitesse de groupe etD est lamatricesuivante

D = 0 B @ d dx iP iP d 1 C A : (2.56)

(34)

Pour lecas non-linéaire, lepotentiel V est self-consistant, il est soumis à l'équation de Poisson d 2 V dx 2 =n(x); (2.57)

avec les conditions auxbords suivantes

V(0)=0; V(1)=V 1

>0: (2.58)

Onaénoncéicilerésultatprincipalqu'onadémontrédanscechapitre.Avantcela,on asupposé en plus que ladistribution f

0

(E) est une fonction C 1

à supportcompact telque suppf

0 (E)[0;E 0 ]avec E 0 >0et vérie f 0 (E)0et Z +1 0 f 0 (E)dE <1: (2.59)

Théorème 2.3 Sousl'hypothèse(2.59),lesystème(2.51)-(2.58)admetunesolution ( ;V) tel que 2H 1 (0;1)H 1 (0;1); V 2W 2;+1 (0;1):

Lapreuvede ce théorème est aussi basée sur un argument de pointxe. Leprincipe reste lemême quecelui utilisé dans l'étudedu modèle Schrödinger àune bande que ce soitSchrödinger avec masse variableou Kohn-Luttinger.

Le modèle bibande qu'on vient de présenter peut être utilisé pour modéliser le transportélectroniquedans unediodeàeettunnelrésonnantinterbande(qu'on no-teraRITD,ResonantInterbandTunnelingDiode).D'oùlebutdudernierchapitre5.

2.2.2 Chapitre5:Numericalanalysis:ApplicationtoInAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAs Interband device

Dans ce chapitre, on a considéré une diode à eet tunnel résonnant interbande unidimensionnellereprésentée dans lagure 7.

000000000000000000000000000000

111111111111111111111111111111

0000000000000000000000000000000

1111111111111111111111111111111

Valence band

Band−gap

Conduction band

0 1 x E 0 e S D V 1 0

Fig.7:Représentationschématiquedudiagrammedebandesd'énergied'unediodeàeettunnel résonnantinterbande unidimensionnellesousl'eet d'unediérencedepotentielV .

(35)

Elle est basée sur la juxtaposition de matériaux provoquant la présence d'un gap brisé avec un recouvrement local des bandes de conduction et de valence. Les électrons, dans ce type de structure, se déplacent de la bande conduction vers la bande de valence à travers le puits quantique. L'électrode émettrice S est placée en x = 0 alors que l'électrode collectrice D est placée en x = 1. On applique une diérencede potentielle positiveentre lesdeux électrodes.On suppose queV(0)=0 etV(1)=V

1 >0.

On a eectué la résolution de l'équation de Schrödinger à deux bandes comme uneéquation diérentielle ordinaireen utilisantlaméthode de Runge-Kuttad'ordre 4àpas adaptatif. Pour leproblème couplé,ona utiliséune procédureitérativetype Gummellinéaire.

Lecode numérique,qu'onaimplémenté,sedécomposeen deux parties.Pourune énergieE et un potentielV données, onacommencé par calculerla fonctiond'onde à partir de l'équation de Schrödinger à deux bandes. On en déduit le coecient de transmission. En répétant cette procédurepour un nombre ni d'énergie, les co-ecients de transmission obtenus sont ensuite utilisés pour calculer la densité de courantassociéaupotentieldonné.Onacalculéaussiladensitéde charge.On a uti-lisésavaleur pour calculer unenouvellevaleurdu champsV en résolvantl'équation de Poisson.

Lesrésultatsnumériquesobtenussontlessuivants.Pourlacourbecaractéristique courant-tension, onobtient

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

20

40

60

80

100

120 Voltage (V)

Current density (kA/cm

2 )

Ipic

Ivalley

T=300K

Fig.8:Lacourbecaractéristiquecourant-tensiondeladiodeInAs/AlSb/GaSb/AlSb/InAsàeet tunnel résonnantinterbande lorsqueT =300K avecune largeurdesbarrièresAlSb est de10Ang etcelledupuitsGaSbde30Ang.

Lepic du courant est de l'ordre de 110kA=cm 2

(36)

polarisa-la bande de valence. Le rapport entre la valeur au pic du courant et celle du cou-rant à la vallée est de 8:3. Ces valeurs sont bonnes à premier à bord. Par exemple, le pic du courant, atteint pour un voltage de 0:05 Volt, est comparable à ce qu' a été obtenuexpérimentalementdans l'étudefaitepar Söderström etaldans [106].Le rapport pic-vallée est aussi satisfaisant. La valeur simulée du pic du courant est 10 fois plus grande que celle obtenue expérimentalement (voir par exemple dans [64]). La première explication possible et courante [21] est que la simulation numérique d'une diode est trop idéale par rapportau détaild'une mesure expérimentale d'une telle structure. De plus, une largeur de barrière ou du puits inexacte peut changer la valeur du pic du courant ainsi que celle de la vallée. En eet, des études expéri-mentales montrant l'inuence de paramètres géométriques (largeur du puits et des barrières) sur la caractéristique courant-tension d'une RITD ont été réalisées dans [63] et[64].

Le second résultat de simulation est montré dans la gure 9, qui compare le coecient de transmission en fonction de l'énergie pour deux valeurs de potentiel. L'uneobtenue lorsque lecourant aatteintlepicetl'autrelorsqu'ilaatteintlavallée dans lagure 8.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

10 −6

10 −5

10 −4

10 −3

10 −2

10 −1

10

0 Energy (eV)

Log transmission coefficient

Vvalley=0.23V

Vpic=0.05V

Fig.9:SpectredetransmissiondeladiodedoublebarrièreRITDsousdeuxpolarisationsVpic= 0:05Volt etVvallee=0:23Volt.

L'eet de résonnance apparaît clairement dans la gure 9, où le graphique du coecient de transmission est tracé en fonction de l'énergie en eV. On note que l'eet est plus prononcépourla tensionappliquéecorrespondante aupic du courant (courbepleine)plutôtquecellecorrespondanteaucourantdelavallée.Lepremierpic est atteintpour une basse énergie 0:02eV dans la régiondu 0:15eV correspondant à la bande de valence. Les deux pics suivants sont atteints pour des énergies plus élevées correspondants aux énergies de résonance dans la bande conduction. Ces

(37)

(38)

Première partie

(39)

(40)

Chapitre 1

The Schrödinger with variable mass

model

Sommaire

1 Introduction . . . 41 2 Setting of the problem . . . 41 3 Existence of solutions . . . 43 4 Semi-classical limit. . . 52 5 Conclusion. . . 65

(41)

This chapter has been a subjectof paper[62] to appear on Quarterlyof Applied Mathematics, underthe title

The Schrödinger with variable mass model : mathematical analysis and semi-classicallimit

It makes even a subject of anote [16]on collaborationwith NaoufelBen Abdal-lahonComptes Rendusde l'Académiedes Sciences deParis(C.R.Acad.Sci. Paris, tome. 331, SérieI, pp 165-170,2000).

Abstract.

Inthispaper,weproposeandanalyzeaone-dimensionalstationaryquantum-transport model:the Schrödingerwith variablemass. Inthe rst part, weprovethe existence of asolutionfor this model, witha self-consistentpotentialdetermined by the Pois-sonproblem,whereas,inthe secondpart,werigorouslystudy itssemi-classicallimit which gives usthe kinetic modellimit.The rigorouslimitwas basedon the analysis of the support of the Wigner transform.

Key words.Schrödingerwith variablemass;semi-classicallimit;Wigner trans-form.

(42)

1 Introduction

Electronicdevicesbasedonheterostructuresaredominatedbyquantum-interference eects, such as tunneling eect orwave interference. These phenomena usually take placeonactiveregionsof the devices.One ofthe mostrepresentative devicesin des-cribingsuchphysicalphenomenaistheResonantTunnelingDiode(RTD).Ingeneral, semiconductor devices are three-dimensionalstructures. Here, the RTD is represen-ted in one dimension because of its geometry and doping proles. We assume that thequantum zone(Q) occupiesaninterval[0;1].Inaddition,whenthe lengthofthe quantum zone (Q) isof the order of some nanometers, anelectron submitted tothe microscopic periodic potential, behaves like an electron of an eective mass m de-pendingonmaterial.Therefore, wehavetoconsideraneectivemass approximation instudyingsuchdevices. Themoreappropriateapproachtoeective-masstheory,is theuse oftheDanielBenDukeapproachwhichmoreconveniently includesthe mass variationeects [20]. In one dimension, the associatedHamiltonianis writtenas

H = ~ 2 2 d dx ( 1 m(x) d dx ):

Itcorresponds tothe Schrödinger Hamiltonianwhen the massis constant.Weknow that the Schrödinger model has rst been extensively analyzedin dierent contexts and settings (see refs [28], [29], [42], [89] and [90]...). There is a solution when the potentialiseitherprescribedorcomputedself-consistently.Itssemi-classicallimithas been analyzed in order to derive the interface conditions and to dene the kinetic modellimit(see refs [12], [52], [53], [74], [81], [82], [96]...).

Themathematicalanalysisforthe quantumandkineticmodels developeduptonow do not take into account the variation of mass. The purpose of the present paper is to study the quantum model Schrödinger with variable mass and to derive the associatedkinetic model .

The paper is organized as follows : in section 2, we set the problem and dene the model. In section 3,we provethe existence of a solutionwhen the modelis coupled to Poisson. Finally, in the section 4, the semi-classical limit is investigated when analyzingthe support of Wigner transform and we conclude insection 5.

2 Setting of the problem

As mentioned above and as treated in ref [12], the quantum region (Q) is re-presented by an interval [0;1]. We suppose that the electrons, with charge e, are emitted at both sides of the region (Q). An external potential V is applied at the edgesofthe device.Wesuppose that each edgeisconnectedwiththe same material, sofor x <0,V(x)=V and for x>1, V(x)=V

+

. Furthermore,the eective mass depends on the variable x inside the Q zone and is constant outside. We denote by m itsvalueforx0andm

+

itsvalueforx>1.Then,let q

(43)

zone according to the momentum q. It describes the transport of electron by the following equation ~ 2 2 d dx ( 1 m(x) d q dx ) eV(x) q =[ q 2 2m eV +i ~ 2 ] q ; q0; x2[0;1]:

We have added an absorption term i ~

2

in the second term of the left hand side of the previousequation.The coecient is non-negativeand ~ isthe reduced Planck constant.The absorption termis not needed inthe analysis ofthe Schrödinger with variable mass-Poisson for a xed ~. However, when passing to the limit ~ ! 0, it willprovideindependent apriori estimates.

For the boundary conditions at x = 0 and x = 1, we assume that q

is a wave coming from 1 with an amplitude equals to 1. A part of it is reected by the potential and goes back to 1, whereas the other part is transmitted and travels to1.

SinceV isdenedontheintervals] 1;0]and[1;+1[,theSchrödingerwithvariable mass can be solved explicitlyand isgiven by

q (x)=e i q ~ x +r q e i q ~ x ; + q (x)=t + q e i ~ + q q 2 m m + +2em (V V + )x for x<0 (2.1) q (x)=t q e i ~ + q q 2 m + m +2em+(V+ V ) (x 1) ; + q (x)=e i q ~ (x 1) +r + q e i q ~ (x 1) for x>1(2.2) wherer q and t q

arerespectively thereection and the transmissioncoecients and +

p

a(a2R) the complex square root with non-negative imaginarypart.

TheSchrödingerwithvariablemasscanbereducedtotheinterval[0;1].Weeliminate the coecients r q and t q

.Then, we obtain Fouriertype boundary conditions

~ q 0 (0)+iq q (0)=2iq; ~ + q 0 (0)= i + r m m + q 2 +2em (V V + ) + q (0) ~ q 0 (1)=i + r m + m q 2 +2em + (V + V ) q (1); ~ + q 0 (1) iq + q (1)= 2iq:

Inorder todenethe charge density,weassume thatthere existsourcesat 1 and +1sendingtheelectrons accordingtoaproleG (q)and G

+

(q).Hence,thecharge density is equal to n(x)= Z +1 0 G (q)j q (x)j 2 dq+ Z +1 0 G + (q)j + q (x)j 2 dq:

Once the charge density isdened, the potentialV solves the Poisson equation

d 2 V dx 2 =n(x);

with the followingboundary conditions

(44)

3 Existence of solutions

In this section, we use the Leray-Schauder xed point Theorem (see ref.[54]) to prove the existence of a solution for the stationary Schrödinger with variable mass-Poisson problem. We follow the method given in ref.[15]. Before stating the main Theorem of this section, let's rst recall the system

~ 2 2 d dx ( 1 m(x) d q dx ) eV(x) q =[ q 2 2m eV +i ~ 2 ] q ; q0; x2[0;1]: (3.3) ~ q 0 (0)+iq q (0)=2iq;~ + q 0 (0)= i + r m m + q 2 +2em (V V + ) + q (0) (3.4) ~ q 0 (1) =i + r m + m q 2 +2em + (V + V ) q (1);~ + q 0 (1) iq + q (1)= 2iq (3.5)

coupled with the Poisson problem

d 2 V dx 2 =n(x); (3.6) V(0)=V ; V(1)=V + : (3.7)

The charge density n isgiven by

n(x)= Z +1 0 G (q)j q (x)j 2 dq+ Z +1 0 G + (q)j + q (x)j 2 dq: (3.8)

Forthe sakeof clarity in the sequel, we willnote

n(x)=n (x)+n + (x); where n (x)= Z +1 0 G (q)j q (x)j 2 dq: (3.9)

Second, we assume the following

Hypotheses 3.1

(H 1) There exist c and C>0 such that cm(x)C: (H 2) G and G

+

are compactly supported functions and verify

G 0 and R +1 0 G (q)dq<1:

In the sequel, weassume that suppG [0;q 0 ]with q 0 >0.

Theorem 3.2 Under hypotheses (H 1) (H 2) and when 0, the system (3.3)-(3.7) admitsa solution ( q ;V) such that 2H 1 (0;1) and V 2W 2;+1 (0;1):

(45)

In order to prove this Theorem, we will construct the solution ( q

;V) with a xed point procedure. Starting with a potential V 2 L

1

(0;1), we solve (3.3)-(3.5). We nd a solution which we note by

q

(V). Then, we dene the charge density n(V) associated to

q

(V) to which we propose a new potential noted by V

. It is computed by solving the Poisson equation

d 2 V d 2 x =n(V)

and satises the boundary conditions

V (0)=V ; V (1)=V + :

In the sequel, we willdenote by T,the operatortransforming V intoV T :L 1 (0;1) ! L 1 (0;1) V 7 ! V (3.10) Toprovethat(V; q

(V))isasolutionoftheSchrödingerwithvariablemass-Poisson system, weneed to prove that V is axed pointof T. Forthis, we apply the Leray-Schauderxed point Theorem (see ref.[54]).

The proof of Theorem 3.2 is organized in several steps. At rst, we prove the following Theorem.

Theorem 3.3 LetV in L 1

(0;1), m satises(H 1) and 0, thenthe Schrödin-ger with variablemass problem (3.3)-(3.5) admits a unique solution

q 2H 1 (0;1). Proof. Let ' 2 H 1

(0;1) as a test function. Then, we integrate from 0 to 1. This gives the followingformulation

Z 1 0 ~ 2 2 d dx ( 1 m(x) d dx ) e(V(x) V ) q 2 2m i ~ 2 q (x) '(x)dx=0:(3.11)

Afterthat, we integrate by parts and use the boundary conditions (3.4)-(3.5). We obtainfor = q ~ 2 2 Z 1 0 1 m(x) q 0 ' 0 dx Z 1 0 [e(V V )+ q 2 2m +i ~ 2 ] q 'dx i~ 2m + + r m + m q 2 +2em + (V + V ) q (1)'(1) i~ 2m q q (0)'(0)= i~ m q'(0): (3.12) For = + q ,we get ~ 2 2 Z 1 0 1 m(x) + q 0 ' 0 dx Z 1 0 [e(V V + )+ q 2 2m + +i ~ 2 ] + q 'dx i~q 2m + q (1)'(1) i~ 2m + r m m q 2 +2em (V V + ) + q (0)'(0)= i~ m q'(1): (3.13)

(46)

The variationalproblem(3.12) and (3.13) can be written as search q 2H 1 (0;1);suchthat 8'2H 1 (0;1); Q ( q ;')+C ( q ;')=L ('); (3.14) with Q ( q ;') = 1 m(x) q 0 ' 0 dx+ Z 1 0 q 'dx; (3.15) C + ( q + ;') = Z 1 0 [e(V V + )+ q 2 2m + +i ~ 2 ] + q 'dx Z 1 0 + q 'dx i~q 2m + + q (1)'(1) i~ 2m + r m m + q 2 +2em (V V + ) + q (0)'(0); (3.16) C ( q ;') = Z 1 0 [e(V V )+ q 2 2m +i ~ 2 ] q 'dx Z 1 0 q 'dx i~ 2m + + r m + m q 2 +2em + (V + V ) q (1)'(1) i~ 2m q q (0)'(0);(3.17) L + (') = i~ m q'(0); L (')= i~ m + q'(1): (3.18)

We can easilyprove the followingestimates

Q ( ; ) Cjj jj 2 H 1 (0;1) (3.19) C ( ;') Cjj jj L 2 (0;1) jj'jj L 2 (0;1) +Cjj jj C 0 (0;1) jj'jj C 0 (0;1) Cjj jj H 1 (0;1) jj'jj H 1 (0;1) : (3.20)

According tothe Riesz representation, there exist A Q , A C and f L 2 H 1 (0;1) such that Q ( ;')=<A Q ;'> H 1 (0;1) ; C ( ;')=<A C ;'> H 1 (0;1) and L (')=<f L ;'> H 1 (0;1) :

Then, the variationalproblem(3.14) reads

A Q +A C =f L : We notice that A Q is inversible whereasA C

is a compact operator from H 1

(0;1) toH

1

(0;1).Therefore the Fredhlomalternativeinsuresthat the variationalproblem (3.14)is uniquely solvableif A Q +A C

is injective.But this isequivalent toprove that the variational problem (3.14) with vanishing right hand side has no solution but the identicallyvanishing one.

We thus consider a solution of where the right hand side is set equal to zero, choose the test function ' =

and take the imaginary part of (3.14). We get for + q m + j + q (1)j 2 + 1 m r [ m m + q 2 +2em (V V + )] + j + q (0)j 2 + Z 1 j + q (x)j 2 dx=0 (3.21)

(47)

and for 1 m + r [ m + m q 2 +2em + (V + V )] + j q (1)j 2 + q m j q (0)j 2 ++ Z 1 0 j q (x)j 2 dx=0; (3.22)

where, for a real number a, the relation p (a) + = <e( + p

a) holds with (a) +

= max(a;0).

Then, we can deduce that

q

(1)=0 and + q

(0)=0:

Usingthe homogenous version of the boundary conditions (3.4)-(3.5),we alsohave

q 0 (1)=0 and + q 0 (0)=0:

In this case, we cannot use the Cauchy Lipschitz Theorem due to the fact that the Schrödinger with variable mass equation is a second-order ordinary dierential equation with variable coecients. For this, integrating equation (3.3) two times from 0 to x, using that V is bounded in L

1

(0;1) and that m satises (H 1), we get the followingestimate

j q (x)j C Z x 0 (x t)j q (t)jdt:

Then,as a consequence of the GronwallLemma, we get that

j q

(x)j 0 8x2[0;1]

which implies that q

=0:

Now, we give the followinga priori estimates.

3.1 A priori estimates

First, let us give some bounds on q . Choosing q as a test function in (3.14) and taking the imaginary part,weobtain

R q; +T q; + m q Z 1 0 j q (x)j 2 dx=1 (3.23) with R q; = j q (0) 1j 2 ; T q; = m qm + r [ m + m q 2 +2em + (V + V )] + j q (1)j 2 (3.24) R q;+ = j + q (1) 1j 2 ; T q;+ = m + qm r [ m m q 2 +2em (V V + )] + j + q (0)j 2 : (3.25)

(48)

Equation (3.23)with the boundaryconditions (3.4)-(3.5) implies j q (0)j 2; j~ q 0 (0)j2q (3.26) j + q (1)j 2; j~ + q 0 (1)j2q: (3.27) Lemma 3.4 Let V 2L 1 (0;1), q

solution of ((3.3)-(3.5))and let q 0

>0 be given. Then, there existsC >0 depending on q

0 such that 8q2[0;q 0 ] jj q jj L 1 (0;1) Ce C p jjVjj L 1 : (3.28)

Forthe proof weneed the subsequent Lemma.

Lemma 3.5 Let Y continuous and satisfy

jY(t)ja Z t 0 Z s 0 jY(u)jdudt+b

where a and b are constants. If Y 0

is a solution of the equation

Y 0 (t)=a Z t 0 Z s 0 Y 0 (u)dudt+b then jY(t)jY 0 (t):

Proof Lemma 3.5 . Letconsider Y 0 the limitof Y 0 such that Y 0 (t)=a Z t 0 Z s 0 Y 0 (u)dudt+b+: We have Y 0 (0) =b+ >b jY(0)j:

Then,there exists t 0 such that 8t2[0;t 0 ],wehave Y(t)Y 0 (t).

Moreover, we can proveeasily that

I =ft2[0;1] suchthat Y(s) Y 0

(s); 8s2[0;t]g

is an open and closed set. Then, I = [0;1] and jY(t)j Y 0

(t); 8t 2 [0;1]. Conse-quently, when goesto zero, we obtainjY(t)jY

0

(t); 8t2[0;1].

Furthermore, Y 0

satisfy the following system Y 00 0 (t)=aY 0 (t) Y 0 (0) =b; Y 0 0 (0)=0;

wherethe solutionis Y 0

(t)=bsinh( p

at). Afterthat, we get

jY (t)jbe p

a :

(49)

This ends the proof of Lemma.

Proof Lemma3.4. Wetreatthe case with q

. Integrating equation(3.3)between 0and xtwotimes, we get

q (x)= Z x 0 m(s) Z s 0 a(t) q (t)dtds+ Z x 0 m(s) m q 0 (0)ds+ q (0) (3.29) where a(t)= 2 ~ 2 ( q 2 2m +e(V(x) V )) and jja(t)jj L 1 C(q 2 +jjVjj L 1):

Usingtheabove estimates(3.26)and denoting byC 1 =C(q 2 +jjVjj L 1 ),thereexists C 2

depending onq such that equation (3.29)is bounded by

j q (x)jC 1 Z x 0 Z s 0 j q (x)jdtds+C 2 :

From Lemma3.5, wededuce that

jj q jj L 1 (0;1) C 2 e C 1 p jjVjj L 1 : C 1 and C 2 depend on q but q 2 [0;q 0

]. Then, for all q in this intervall, the corres-ponding constantare bounded by anindependentconstant C of q such that

jj q jj L 1 (0;1) Ce C p jjVjj L 1 :

In ordertoapply the Leray-Schauderxed pointTheorem (see ref.[54]),we need to prove that T, dened by (3.10), is compact, continuous and to have a uniform bound onxed pointsof T for 2[0;1].Letus begin by the laststep.

Lemma 3.6 :

There exists a constant M >0, such that 8 2 [0;1] and for all V 2 L 1

(0;1) such that V =TV and where T is dened by(3.10), we have

jjVjj W

2;1 (0;1)

M: (3.30)

Proof. The proof of this Lemma 3.6 follows in analogy with that of Theorem V.1 in ref. [12]. We again use

q

as a test function in (3.14), but now we take the real part. This leads to

~ 2 2 Z 1 1 m(x) j q 0 (x)j 2 dx Z 1 [e(V(x) V )+ q 2 2m ]j q (x)j 2 dx C 1 q