Devoir de synthèse n°2 4ème Sc Expérimentales Mr zayani 04 03 10

(1)

Exercice n°1 : (4 points)

Répondre par « vrai » ou « faux » sans justification.

1)Soit f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle [0,3], si

( )

3 3

0

f t dt

≤

0

g t dt

∫

alors, pour tout x de [0,3] on a :

f (x)

≤

g(x)

.

2)Soit f une fonction définie et dérivable sur [–1,1] dont la dérivée est continue sur cet intervalle et vérifiant f (–1) = –f (1) alors :

1 1 1

tf '(t)dt

1

f (t)dt

−

= −

−

∫

3)Le réel

(

)

π π −

−

∫

2 3 2

x

tan x dx

_{vaut 0.}

4)Si f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin2_{x alors elle est la primitive pour tout}

réel x de la fonction g(x) = sin2x.

Exercice n°2 : (4 points)

Pour tout x 0, 2 π   ∈_ _  on pose f(x) = tan 2_x.

1) Etudier les variations de f et tracer sa courbe

C

dans un R.O.N

(

O,i, j

)

.

2) a) Montrer que f réalise une bijection de 0, 2

π

 

 

  sur IR+.

b) Tracer la courbe

C

_{’ de f}–1_{dans le même repère que}

C

_C

C

_.

3) a) Soit 4 0

I f ( x )dx π

=

_∫

. Calculer I et donner une interprétation graphique de I. b) En déduire la valeur de l’intégrale 1 1

0 J =

∫

f − ( x )dx. 4) a) Vérifier que 4 4 2 0 0 1 f ( x )dx + f ( x )dx 3 π π =

∫

.

b) On désigne par A le domaine du plan limité par

C

_,

( )

_O,i

_{et les droites x = 0 ,}_x

4

π

= .

Calculer le volume du solide S obtenu par rotation de A autour de

( )

O,i

.

Exercice n°3 : (4 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormal

(

O,i, j,k

)

La figure représente un parallélépipède ; le point O est le milieu de [AD].

Soit P le milieu du segment [EF].

1) a) Quel ensemble de points de l’espace a pour équation z = 2 ?

b) Déterminer une équation du plan (ABF). c) En déduire un système d’équations qui caractérise la droite (EF).

Lycée 07 Novembre 1987

de Métlaoui

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Prof : Mr ZAYANI

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Date: 04/03/2010

DEVOIR DE SYNTHESE N°2

MATHEMATIQUES

(2)

2) a) Quelles sont les coordonnées des points A, G et P ? b) Placer sur la figure le point Q de coordonnées 0,1,0

2

 

 

 .

c) Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ).

3) Calculer le volume du tétraèdre ABQG.

Exercice n°4 : (3 points)

On donne le tableau de variation d'une fonction f dérivable sur IR :

1) On considère les intégrales suivantes :

3 2 1

0 5 -1

I f ( t )dt, J= − f ( t )dt et K= f ( t )dt −

=

_∫

Pour une seule des ces intégrales, on peut affirmer qu'elle est positive, et pour une seule, on peut affirmer qu'elle est négative. Préciser ces deux intégrales et justifier ce choix.

2) À l'aide des informations contenues dans le tableau de variations de f, donner un encadrement par des nombres entiers de chacune des intégrales suivantes :

1 2

0 1

A=

∫

f ( t )dt et B =

∫

f ( t )dt 3) On définit, pour tout réel x, la fonction F par x

0

F ( x ) =

∫

f ( t )dt

a) Déterminer deux entiers naturels a et b strictement positifs tels que a ≤F( 2 ) ≤b. b) Etudier la limite de F lorsque x tend vers+∞.

c) Etudier le sens de variation de la fonction F.

Exercice n°5 : (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct

(

O,i, j ,k

)

.

On donne les plans :

P : x + y + 1 = 0 , Q : 2x – y + z – 1 = 0 et le point A(2,1,–2) 1) a) Montrer que P et Q sont sécantes suivant une droite D.

b) Donner une représentation paramétrique de D. c) Vérifier que 1 v 1 3   ₋    ₋   

est un vecteur directeur de D.

2) a) Donner une équation cartésienne du plan R passant par A et perpendiculaire à D. b) Calculer d(A,D) la distance de A à D.

3) Soit Sm : x2 + y2 + z2 – 2mx – 2y + 4z + 4 = 0 ;

(

m∈ ℝ

)

.

a) Montrer que pour tout m∈ ℝ, Sm est une sphère dont on précisera le centre Im et le

rayon Rm.

b) Déterminer suivant les valeurs de m les positions relatives de Sm et P.

4) a) Pour m = –1, déterminer l’intersection de S–1 et Q.

b) Déterminer les équations cartésiennes des plans parallèles à Q et sécants à S–1

suivant des cercles de rayon 2 2 .