Autour des états cohérents déformés et du modèle de Hubbard avec phonons

Remerciements

Cette thèse a été réalisée au sein du laboratoire de physique théorique (LPT) de la faculté des Sciences de Rabat.

En premier lieu, je tiens beaucoup à remercier Monsieur Le Professeur Yassine Hassouni. En sa qualité de Directeur du Laboratoire et aussi de directeur de mes travaux de recherches, Monsieur le Professeur Yassine Hassouni a dirigé ce travail avec toute compétence, patience et générosité d’âme. Il m’a toujours apporté les conseils précieux, les encouragements et l’aide précieuse qui ont permit à ce travail de voir le jour. Qu’il trouve ici le témoignage de toute ma gratitude et de ma profonde reconnaissance.

Mes remerciements à Monsieur Mourad El Baz, Professeur assistant à la faculté des Sciences de Rabat. Je dois témoigner du grand contentement que j’ai eu en collaborant avec lui. Qu’il trouve ici l’expression de mon grande estime.

Je remercie tous les Professeurs du Laboratoire de physique théorique pour l’encouragement et l’aide qu’ils m’ont apporté durant les années de préparation de ma thèse. Je veux surtout exprimer ma profonde gratitude et ma reconnaissance à Monsieur le Professeurs H. Boutaleb et Monsieur le Professeur A. Hassouni.

Je remercie Mme R. Charkaoui, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat et membre de la l’académie Hassan II des Sciences et techniques pour avoir accepter de présider le jury de ma thèse. J’avoue que c’est un grand honneur pour moi.

Je remercie Monsieur M. Mdarsi Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, Mme W. Lazrak Professeur à l’Ecole Normale Supérieure de Rabat et Monsieur A.

Marrakchi Professeur à la Faculté des Science de Fès pour l’honneur qu’ils me font en acceptant de faire partie de mon jury.

Je remercie également Monsieur le Professeur A. Trabelsi, Faculté des Sciences de Tunis et Directeur du CNSTN (Tunisie). Professeur Trabelsi et malgré ses diverses occupations a accepté de faire partie du jury de ma thèse. J’avoue que c’et un grand honneur pour moi.

Mes remerciements vont aussi à Monsieur G. Baskaran, Senior Professor,

Institute of Mathematical Sciences, Chennai (Inde) et membre de l’Indian National Science Academy pour l’honneur qu’il me fait pour avoir accepter d’écrire un rapport

sur mes travaux de recherches.

Je remercie le Centre International de Physique Théorique (ICTP, Trieste) pour son hospitalité et pour l’aide dont j’ai bénéficié pour réaliser une bonne partie du travail de recherche.

L’Université de Tunis a toujours subventionné mes visites scientifiques au laboratoire de Physique théorique pour permettre d’avancer dans mon travail de recherche. Je saisie cette occasion pour remercier vivement Monsieur Le Président de l’université de Tunis.

Je remercie également Monsieur le Professeur Said Belgacem, Directeur de L’IPEIT, Université de Tunis pour son aide et ses encouragements. Je remercie aussi tous les collègues de l’IPEIT qui m’ont remplacé pour assurer mon cours lors de mes multiples visites au Laboratoire de Physique Théorique. Mon collègue Tarek Sbeouelji est particulièrement remercié.

Table de matières

Introduction générale 1

Chapitre I : Autour des généralisations des états cohérents

et de leurs applications 5

I-1 Introduction……… ……5

I-2. Etats de Glauber……….6

I-3. Généralisation de la notion d’EC ……….7

I-3.1. ECC et rapport avec les groupe de Weyl-Heisenberg……… ………8

I-3.2. Les EC et leur rapport avec la théorie des groupes………... 9

I-3.3. Applications des EC en physique……… ……...11

I-4. Aperçu sur les groupes quantiques et les oscillateurs déformés ………12

I-4.1. Les groupes quantiques………. 12

I-4.2. Les oscillateurs harmoniques déformés………..13

I-5. ECD et supraconductivité à haute température critique………15

I-5.1. Généralités sur le phénomène de la supraconductivité………..16

I-5.2. Le modèle de Hubbard………...17

I-5.3. Le mécanisme d’appariement de Yang……… ..18

I-5.4. Effet isotopique en SHTc……….20

I-5.5. Couplage électron-phonon ……….22

I-5.6. L’hamiltonien effectif………24

I-5.7. Modèle de Hubbard avec phonons et symétrie quantique………26

I-5.7.a. Symétrie locale[su(2)_j]_q………...26

I-5.7.b. Symétrie globale U_q(su(2))………..27

Chapitre II : Oscillateurs harmoniques généralisés et ECD correspondants

II-1. Introduction ……….33 II-2 : Article I………...34

New construction of Coherent States for Generalized Harmonic Oscillator Rep. Math. Phys. Vol 50, No 2 (2002) 263

Chapitre III : Oscillateurs fermioniques et ECD correspondants 47

III-1. Introduction………47 III-2 Article II………..48

Graded

Z3 − Grassmann variables, parafermions ant their coherent states

Phys. Lett. B 536 (2002) 321-326

Chapitre IV : Modèle de Hubbard avec phonons et ECD relatifs 54

IV-1. Introduction………54 IV-2. Article III………55

Superconducting coherent states for an extended Hubbard model Int. J. Mod. Phys B. Vol. 17, No.27 (2003) 4859-4866

Conclusions et perspectives

63

Annexe I : Les états cohérents canoniques 65 Annexe II : Les états cohérents fermioniques et algèbre de Grassmann 72 Annexe III : Aspects conventionnel et inconventionnel

de la supraconductivité 76

Annexe IV : Modèle de Hubbard standard et états cohérents relatifs 81

Introduction générale

Les états cohérents ont été introduits par Glauber [1], en 1963, dans le contexte de l’optique quantique. Ils ont constitué un outil, à la fois, nécessaire et efficace pour décrire les radiations d’une émission laser. Ils permettent, en particulier, de rendre compte de l’une des propriétés essentielles d’un faisceau laser, à savoir sa cohérence. Cette dernière se traduit par le fait que tous les trains d’onde sont en phase. C’est pour cette raison que la dénomination états cohérents (EC) a été alors léguée aux états de Glauber.

Au cours de l’année même (c’est-à-dire 1963), Klauder [2] introduit un système d’états, similaire à celui de Glauber, dans l’objectif de sonder, en termes de valeurs moyennes, la relation entre systèmes quantiques et classiques. Notons que la contribution de Klauder s’inscrit, en fait, dans le même élan de l’idée ayant été déjà émise par Schrödinger en 1926 lorsqu’il a étudié les états associés à l’oscillateur harmonique quantique qui permettent aux valeurs moyennes des opérateurs impulsion et position de se rapprocher le plus possible de leurs homologues classiques [5]. L’apport qui mérite d’être souligné à propos de ces travaux de Kaluder est qu’ils incarnent la possibilité de généraliser la notion d’EC [5,7] à différents domaines de la physique.

La généralisation des EC, au sens de leur extension à des domaines de la physique régis par un formalisme hamiltonien autre que celui de l’oscillateur harmonique, a commencé à émerger à partir des années soixante-dix. Les premières tentatives ont été marquées par des inadéquations qui se traduisent par des résultats divergents [7,10, 66]. L’approche de généralisation la plus adéquate a été établie par Perelomov [4] et Gilmore [5]. Ces deux auteurs ont, indépendamment l’un de l’autre, trouvé l’issue qui consiste à établir le lien entre la théorie des groupes et la construction des EC. A la lumière de cet apport, on s’aperçoit que les EC de Glauber sont eux-mêmes en rapport avec une structure algébrique qui est le groupe de

Weyl-Heisenberg [4,5]

Perelomov et Gilmore ont ainsi ouvert un horizon sans limites à l’extension et à la généralisation des EC. L’idée repose sur la détermination de l’algèbre de Lie qui est en rapport avec le groupe régissant les symétries du système étudié. Ensuite, on en déduit le groupe dynamique qui joue dans la construction des EC relatifs au système en question, un rôle similaire à celui du groupe de Weyl-Heisenberg dans le cas de la construction des EC correspondants à l’oscillateur harmonique bosonique. Ainsi, on

assiste à l’apparition d’une vaste littérature qui concerne l’extension de la notion d’EC à divers domaines de la physique. Ces généralisations ne sont pas stimulées uniquement pour répondre à des questions posées par les mathématiques [24] (ou la physique mathématique), mais aussi pour des nécessités d’ordre physique [5,6,16]. En effet, dans plusieurs contextes, les EC constituent un outil à la fois efficace et pertinent qui permet de déterminer les grandeurs physiques caractéristiques des systèmes étudiés.

Pour rendre compte du rôle joué par les EC en physique, nous citerons deux références importantes dont l’une est due à Klauder [7] et l’autre à Gilmore [5]. Ces deux références peuvent être considérées comme étant de véritables « catalogues » dans lesquels on peut trouver un très grand nombre d’exemples concrets d’application des EC dans divers domaines de la physique. De par les applications et les exemples fournis par ces deux références majeures, nous développerons en annexe IV la construction des EC [15] relatifs au modèle de Hubbard. Il importe de souligner qu’il s’agit d’un modèle [11] (le modèle de Hubbard) qui admet une importance particulière en physique de la matière condensée. Dans des limites bien appropriées, il permet de rendre compte des propriétés de plusieurs matériaux allant des isolants jusqu’aux systèmes antiferromagnétiques. Il fait l’objet d’études à la fois intensives et continues depuis qu’il a été suggéré en 1987 par P.W. Anderson [12] pour décrire le phénomène de la supraconductivité à haute température critique [13].

La construction des EC qui correspondent au modèle de Hubbard standard est due à Penson et Solomon [15]. Ces deux auteurs fournissent la preuve que ces états constituent un outil mathématique efficace permettant non seulement de contourner un nombre de questions ouvertes en rapport avec le modèle de Hubbard, mais aussi d’avoir accès à la détermination les grandeurs physiques pertinentes [44] qui caractérisent la transition supraconductrice (voir annexe IV). La méthode utilisée par ces deux auteurs nous servira par la suite de base d’appui pour construire les états

cohérents déformés (ECD) relatifs au modèle de Hubbard avec phonons qui exhibe

une symétrie quantique [16, 21]. Cette étude que nous entreprendrons au chapitre IV a pour objectif d’illustrer le rôle joué, en physique de la matière condensée, par les symétries quantiques, ainsi que les ECD qui leur correspondent.

Les symétries quantiques [19,20] dites aussi groupes quantiques ne sont pas, contrairement à ce que leur dénomination peut laisser entendre, de véritables groupes ; mais ils sont plutôt des algèbres de Hopf . Ils ont fait leur apparition comme structures mathématiques sous-jacentes dans l’étude de plusieurs problèmes physiques tels que la

théorie quantique de diffusion inverse (Quantum Inverse Scattering) [20], ou en tant

que solution de l’équation de Yang-Baxter [20]. Par ailleurs, les groupes quantiques peuvent être considérés comme étant des déformations des algèbres de Lie classiques qui dépendent d’un (ou, éventuellement, de plusieurs) paramètre(s) de déformation. Néanmoins, il faut faire observer que ces déformations sont assujetties à une contrainte importante : il est impératif qu’elles permettent de retrouver l’algèbre non déformé lorsque le(s) paramètre (s) de déformation tend(ent) vers l’unité [19,20].

Il existe aussi d’autres structures algébriques déformées. Il s’agit des oscillateurs quantiques déformés qui ont, d’ailleurs, fait leur apparition dans la littérature bien avant l’avènement des groupes quantiques. Ils interviennent dans l’étude de plusieurs systèmes physiques. Ils sont surtout appliqués dans la description des systèmes où les effets anharmoniques jouent un rôle dominant [25]. Ils ont été utilisés, également, en vue d’obtenir une nouvelle théorie de champ où l’on peut envisager certains écarts par rapport à la statistique de Bose Einstein ou du principe d’exclusion de Pauli [30]. Ainsi, Bezerra [29] en se servant des oscillateurs bosoniques déformés a été en mesure d’envisager l’étude de la construction une théorie perturbative généralisée. D’autre part, les oscillateurs fermioniques déformés qui traduisent une certaine généralisation du principe d’exclusion de Pauli [25,30], ont été utilisés par Parthasarathy [33] pour réaliser des algèbres supersymétriques quantiques. D’un point de vue purement algébrique, les oscillateurs déformés ne possèdent pas [22-24] en général de structures d’algèbres de Hopf. Ils sont définis en tant que déformations des oscillateurs ordinaires qui font intervenir un ou, éventuellement, plusieurs paramètres de déformation. Néanmoins, ces déformations sont assujetties à une réserve importante : redonner l’algèbre des oscillateurs ordinaires lorsque le(s) paramètre(s) tend(ent) vers l’unité.

Par ailleurs, l’avènement de ces structures algébriques déformées a soulevé la question des constructions des états cohérents déformés (ECD) qui leur correspondent. Plusieurs méthodes de construction ont été proposées dans la littérature pour répondre aux besoins de cette question. Cependant, nous trouvons qu’il est instructif de répartir les divers ECD construits en trois types de familles : Elles correspondent respectivement aux oscillateurs bosoniques déformés, aux oscillateurs fermioniques déformés et aux groupes quantiques.

La construction des ECD relatifs aux groupes quantiques peut être achevée en faisant appel est achevée à deux approches possibles. Il y a d’une part, une première alternative [67], de caractère essentiellement fondamental ; elle est basée sur l’idée d’adopter la méthode de Perelomov et Gilmore au contexte des symétries quantiques. En revanche, la deuxième alternative [68], qui est plutôt « pragmatique », consiste à procéder par analogie avec une construction classique préalablement connue (se rapportant à un groupe de Lie classique). Il importe de souligner, à ce propos, que la deuxième approche est la plus utilisée en littérature [68]. Nous nous en servirons pour la construction des ECD relatifs au modèle de Hubbard avec phonons [16,21], et ce en procédant par analogie avec l’étude menée Penson et Solomon [15] pour la détermination des EC relatifs au modèle de Hubbard standard.

La construction des ECD relatifs aux oscillateurs bosoniques déformés se base sur un nombre minimum de critères émis par Klauder [7]. Celui-ci considère, qu’un ensemble d’états est cohérent lorsque ces états obéissent à un minimum incompressible de conditions mathématiques: la normalisabilité, la continuité et la

construction d’ECD bosoniques ; elles ne diffèrent entre elles que par la façon dont elles cherchent à remplir la condition de la résolution de l’identité.

La construction des ECD correspondant aux oscillateurs fermioniques déformés est beaucoup moins répandue en comparaison avec ses homologues bosoniques. Les ECD fermioniques font appel aux variables grassmanniennes généralisées dont le degré de nilpotence est supérieur à deux. Dans la littérature, on dénombre essentiellement deux manières de réaliser ces constructions dont l’une est due à Kerner [34-35] et l’autre à Majid [36-37].

Cette thèse est organisée comme suit :

Dans le chapitre I nous donnerons un aperçu sur l’évolution de la notion d’états cohérents. Nous procéderons alors à un tour d’horizon qui nous permettra d’introduire de manière consécutive et graduelle les différentes méthodes de généralisation de la notion d’EC. Nous commencerons d’abord par introduire les EC conventionnels généralisés. Ils doivent se placer naturellement en amont des états cohérents déformés (ECD). Ensuite, nous discuterons les raisons physiques nécessaires et suffisantes qui ont stimulé l’introduction de la notion d’ECD. Nous aborderons également l’application des ECD en physique et nous focaliserons en particulier sur les raisons nécessaires et suffisantes qui permettent de les utiliser pour étudier le phénomène de la supraconductivité à haute température critique.

Le chapitre II sera consacré à l’étude des oscillateurs harmoniques bosoniques déformés. Nous introduirons alors une algèbre dynamique qui permet d’unifier plusieurs oscillateurs déformés introduits auparavant dans la littérature. Nous étudierons également la construction des ECD qui se rapportent à cette algèbre d’oscillateur généralisée [17] et nous déterminerons leur expression explicite correspondant à un oscillateur déformé spécifique.

Dans le chapitre III, nous nous intéresserons à l’étude des ECD fermioniques. Nous nous appuierons sur les structures algébriques introduites par Kerner pour établir une relation entre les variables grassmanniennes Z₃ −graduéeset les parafermions. La construction des ECD est la conséquence directe de cette relation [18].

Dans le chapitre IV, nous étudierons la construction des ECD qui correspondent à la symétrie quantique Uq(su(2))que présente le modèle de Hubbard avec phonons [21]. En outre, nous fournirons la preuve que ces états permettent de rendre compte du phénomène de la supraconductivité [16], et ce dans la mesure où ils permettent de déterminer les grandeurs caractéristiques de la transition supraconductrice.

Dans la conclusion, nous commenterons nos résultats et nous énumérerons les perspectives qu’ils peuvent avoir.

Chapitre I

Autour des généralisations

des états cohérents

et de leurs applications

I -1. Introduction

La notion d’états cohérents [1] (EC) a fait l’objet de généralisations qui ne cessent de trouver des applications de plus en plus nombreuses et pertinentes en dehors du domaine où elles ont pris naissance (à savoir l’optique quantique). C’est Perelomov [4] et Gilmore [5] qui, en établissant le lien entre la théorie des groupes et ces états, ont rendu de telles extensions possibles. Par ailleurs, l’avènement des groupes quantiques [19,20] et des oscillateurs quantiques déformés [22-25] a induit une nouvelle généralisation qui a donné lieu à la notion d’états cohérents déformés (ECD). Le constat qui mérite d’être souligné à propos de la construction des ECD est l’existence d’une diversité de méthodes [28-37, 67-68]. Néanmoins, on peut cerner ces différentes méthodes en deux catégories. L’une faisant appel à des approches typiques ou bien appropriées au contexte des structures algébriques déformées [67]. L’autre s’appuyant sur une analogie formelle avec la construction des EC classiques [6, 7, 34, 35, 68]. C’est cette deuxième méthode qui est la plus utilisée surtout lorsqu’il s’agit de construire des ECD relatifs à des groupes quantiques. Nous ne pouvons alors nous passer de revoir un nombre d’idées de base se rapportant aux travaux des pionniers et aussi à ceux de Perelomov et Gilmore. En effet, les idées qu’incarnent ces travaux à la base de la naissance de la notion d’EC permettent, dans une certaine mesure, de révéler les processus de généralisation à employer.

L’ensemble de considérations que nous venons de mentionner nous incite à user de ce chapitre pour faire un tour d’horizon qui retrace l’évolution des idées dans le domaine des EC. Ce tour permettra, entre autres, de paver le chemin à l’étude des

ECD se rapportant aux oscillateurs déformés ainsi qu’à ceux relatifs au modèle de

Notre point de départ sera un passage en revue des EC de Glauber [1].

I-2. Les EC de Glauber

Glauber construit les EC en adoptant un ensemble de trois définitions :

(i)Les EC sont des états propres de l’opérateur annihilation de l’oscillateur harmonique a,

z z z

a = , (1)

où z est un nombre complexe.

(ii)Les EC sont obtenus en faisant agir un opérateur dit de déplacement,D(z), sur

l’état du vide de l’oscillateur harmonique,

0 ) (z D z = , (2) avec ) exp( ) ( * a z a z z D = + − , z∈C (3)

(iii) Les EC sont des états quantiques qui minimisent les relations d’incertitude de Heisenberg 2 1 ) ( ) (∆p 2 ∆x 2= , (h=1) (4)

En partant de ces définitions, qui sont d’ailleurs équivalentes, on montre aisément (voir annexe I) que les EC sont explicitement exprimés par :

∑

− = n n n n z z z ! ) 2 exp( 2 (5)

où z∈C et n est un état propre de l’opérateur nombre d’occupation N et de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique bosonique libre :

) 2 / 1 ( + = N H hω (6) où a a N = + (7)

est l’opérateur nombre de particules.

∑

= n n n 1 et (8a) ' ' nn n n =δ (8.b)

En utilisant l’équation (5), on peut montrer aisément que les EC vérifient les propriétés suivantes [7]:

• Ils réalisent une correspondance entre l’espace de Hilbert et l’espace de

Fock-Bargmann [40] et ce dans la mesure où les EC permettent d’exprimer les états en termes de fonctions analytiques (voir équation (5))

• Ils sont continus en fonction de la variable complexe z :

0 ' →

−z

z alors z − z' →0 (9)

• Ils ne sont pas mutuellement orthogonaux

• Ils sont stables dans le temps car un état cohérent évoluant dans le temps reste

un état cohérent.

• Les EC constitue un système plus que complet parce que d’une part ils permettent de résoudre l’unité et de l’autre ils ne sont pas deux à deux orthogonaux. La résolution de l’unité fait alors appel à une fonction poids positive W( z²)telle que :

∫∫

d²zW(z²) z z = I (10)

où I est l’opérateur identité et d²z=dxdy.

L’ensemble de propriétés que nous venons d’énumérer ainsi que les définitions de Glauber mentionnées ci-dessus constituent un minimum essentiel permettant de donner une idée sur les EC inventés par les pionniers, Schrödinger, Glauber et Klauder. Ces états sont appelés dans la littérature moderne d’ECC (états cohérents canoniques), et ce pour les distinguer des diverses généralisations dont la notion d’EC a fait et continue de faire l’objet. Ainsi, nous sommes conduit à entreprendre un tour d’horizon qui couvre les différentes extensions de la notion d’EC.

I-3. L’évolution de la notion d’EC

Les premières tentatives de généralisation de la notion d’EC ont commencé à émerger vers le début des années soixante-dix [10,66].Ils se sont articulées autour de l’extension de l’une au moins des définitions de Glauber. Le fait marquant à propos de

ces premières approches est la divergence des résultats auxquels ils aboutissent [7]. L’une des causes de cette divergence est qu’en dehors du contexte de l’oscillateur harmonique les définitions de Glauber ne sont plus équivalentes entre elles. En conséquence, un lien étroit s’établit entre la définition adoptée et le résultat obtenu [7].

Les inadéquations des approches ne vont pouvoir être surmontées que grâce aux travaux de Perelomov [4] et Gilmore [5]. Ces deux auteurs ont, indépendamment l’un de l’autre, trouvé l’issue adéquate qui consiste à établir un lien intime entre la théorie des groupes et la construction des EC. A la lumière de cet apport, on s’aperçoit alors que même les EC de Glauber s’appuient, en fait, sur une structure algébrique qui est le

groupe de Weyl-Heisenberg.[3]

I- 3.1. ECC et rapport avec le groupe de Weyl-Heisenberg

Désignons par GW le groupe de Weyl-Heisenberg et par W l’algèbre de Lie qui lui correspond. Les éléments de cette algèbre sont tout simplement les opérateurs qui entrent dans la formulation de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique bosonique unidimensionnel. Cette algèbre est engendrée par le triplet d’opérateurs [3] :

{

+

}

a a I, , (11) avec 2 iP X a= + , 2 iP X a+= − (12) où

[

X,P

]

=iI,

[ ] [ ]

I,X = I,P =0 (13)

Les opérateurs aet a+obéissent aux relations de commutation ordinaire :

I a a, +]=

[ , [I,a]=[I,a+]=0 (14)

Vu que le passage de l’algèbre au groupe se fait par le biais de la fonction exponentielle alors un élément générique du groupe s’écrit sous la forme:

) ( ) exp( ) exp( ) , , ( : s x p w isI Dα g = = = (15) où ) exp( ) ( a a Dα = α + −α (16) avec 2 p i x+ = α , 2 p i x− = α (17).

p x

s, , sont des paramètres réels.

La loi de multiplication dans W est donnée par [4] :

) , ], [ 2 1 ( ) , , )( , , (s1 x1 p1 s2 x2 p2 = s1 +s2 + x2p1−x1p2 x1+x2 p1+ p2 (18)

Si on désigne par _{H un espace de Hilbert qui est considéré comme étant l’espace de} représentation unitaire irréductible du groupe W alors un état de _{H s’écrit sous la} forme : 0 ) ( ψ ψ =U g (19) où ) ( ) exp( ) ( ) ( ) (g U s D α isI Dα U = = , (20) avec ) ( ) ( 1 g U g U− = (21) 0

ψ est un état arbitraire de H .

Comme en mécanique quantique l’état d’un système est défini à une phase près, on en déduit que le groupe d’isotropie, Λ, associé àψ₀ est un sous groupe distingué de GW qui est engendré par l’unité I. Il s’ensuit que l’on peut décrire un EC [3] par un élément de l’espace quotient GW /Λ :

0

) (α ψ

α =D . (22)

Il y a lieu de souligner que dans ce développement théorique l’état α est obtenu grâce à l’action de l’opérateur unitaire D(α) sur un état arbitraire ψ₀ jouant le rôle du vecteur de référence (fudicial vector). En revanche, lorsqu’il est question de construire les EC qui se rapportent à un système physique donné utilisant le formalisme de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique bosonique le choix de l'étatψ₀ acquiert une importance particulière [3,7]. Ainsi, les EC de Glauber sont obtenus à partir de l’équation (22) en prenant l’état du vide 0 comme référence. Par contre, dans certaines applications de l’optique quantique, il convient de considérer l’état ψ₀ comme l’un des vecteurs n de l’espace de Fock correspondant à l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique [43].

Ayant en vue le rapport entre EC de Glauber et théorie des groupes on peut concevoir un rapport similaire permettant la construction des EC qui correspondent à un système physique régi par un formalisme autre que celui de l’oscillateur harmonique. L’idée repose sur la donnée du groupe de la symétrie du système à

étudier. A partir de l’algèbre de Lie associée à cette symétrie, on puise alors ce qu’on appelle le groupe dynamique [3,4,7]. Ce dernier sera pour les EC généralisés recherchés l’analogue de ce qui est l’algèbre de Weyl-Heisenberg pour les EC canoniques. Nous donnons ci-après un aperçu sur la méthode généralisation des EC au sens de Gilmore [5]. Cette approche présente l’avantage d’être particulièrement adéquate pour la construction des EC relatifs à des systèmes de la physique de la matière condensée (les problèmes à N corps) [53].

I-3.2. Les ECG et leur rapport avec la théorie des groupes

Considérons un système quantique décrit par un hamiltonienH. En généralHainsi que l’ensemble des opérateurs

{ }

A qui entrent dans la caractérisation du système sont exprimés à l'aide d’un ensemble complet d’opérateurs

{ }

T_i = g. Le terme complitude est pour signifier que g reste fermé par opérations de commutation. Ceci veut dire qu’étant donné deux éléments Ti et Tj appartenant à g alors on a [3]:

g T Ti, j]∈

[ (23)

L’hamiltonien et les opérateurs de transition s’expriment par : )

(Ti

H

H = et A= A(Ti). (24)

Dans le cas particulier d’un système à N-corps [53], l’hamiltonien s’écrit sous la forme :

∑

∑

+ ₊ + + = ijkl l k j i ijkl j i j i j i a a v a a a a c H , , (25) avec j i

c_, (resp. v_ijkl) étant les éléments de matrice du terme libre de l’hamiltonien (resp. du terme d’interaction).

+

i

a et a_iétant les opérateurs de création et d’annihilation (bosonique ou fermionique). L’algèbre associée à l’hamiltonien (25) est so( n2 )pour les systèmes fermioniques (resp. sp( n2 )pour les systèmes bosoniques) [5] ; elle est engendrée par

{

ai aj,ai aj,aiaj

}

+ +

+ _.

Trois données nécessitent d’être spécifiées avant de procéder à la construction explicite des EC [3].

(i) un groupe dynamiqueG associée à une algèbregqui est déterminé à partir de la donnée des propriétés algébriques des opérateurs du système

quantique à étudier. g est engendrée par les opérateurs

{ }

T_i tels que :

∑

= k k k ij j i T c T T, ] [ (26) k ij

C étant les facteurs de structures de g ;

(ii) l’espace de Hilbert des états physiques doit être une représentation unitaire

irréductible du groupeG ;

(iii) l’état de référence Φ0 = réf doit appartenir à l’espace de Hilbert et doit être normalisable.

Les EC sont par la suite obtenus en invoquant:

• le sous groupe de stabilité maximale qu’on noteΛ. Il est défini comme étant

l’ensemble des éléments h dont l’action sur le vecteur de référence n’induit

qu’un changement de phase. on peut donc écrire :

0 ) ( 0 = Φ Φ iΦ h e h , h∈Λ ; (27)

• tout élément g∈G admet une décomposition unique en un produit de deux

éléments, l’un appartenant à Λ et l’autre à G/Λ ; ceci veut dire que :

G g∈ alors g =Ωh (28.a) où Λ ∈ h et Ω∈G/Λ (28.b)

L’action d’un élémentg∈Gsur Φ0 est donnée par : ) ( 0 0 0 h i e h g Φ =Ω Φ =ΩΦ Φ . (29)

D’autre part, comme en mécanique quantique les états d’un système physique sont définis à un facteur de phase près il s’ensuit que l’on peut écrire un état cohérent généralisé se présente sous une forme telle qu’indiquée par l’équation (29). Il s’ensuit que la définition générale d’un état cohérent, au sens de la théorie des groupes, est donné par :

0 Φ Ω =

Il importe de signaler que si on se contente de se limiter strictement aux considérations liées à la théorie des groupes alors on peut prendre Φ₀ comme un état totalement arbitraire [4]. En revanche, lorsqu’il est question de construire les EC se rapportant à un système physique donné, le choix de Φ₀ acquiert une importance tout à fait particulière [3]. Ce choix est dicté non seulement par des raisons « techniques » (c’est-à-dire calculatoires) en rapport avec la construction des EC mais surtout par le besoin de conserver la structure topologique de l’espace de phase quantique étudié [5,6].

I-3.3. Applications des EC en physique

L’établissement du rapport entre la construction des EC et la théorie du groupe est à la base de la généralisation de ces états à divers domaines de la physique. Il suffit alors de mettre en exergue les symétries que présente un système physique donné pour ensuite construire les EC qui lui correspondent. Cette extension des EC qui est en soit une entreprise mathématique importante est stimulée surtout par le rôle que jouent ces états dans l’étude des problèmes physiques. En effet, ils (les EC) permettent, dans plusieurs contextes, de déterminer les grandeurs physiques caractéristiques tels que le spectre et les fonctions de corrélation. Klauder [7] et Gilmore [3] ont « catalogué », chacun dans une référence à part, des exemples concrets sur l’apport que constitue l’application des EC dans plusieurs domaines de la physique. Ces deux auteurs fournissent la preuve que la notion d’EC est, dans un sens, similaire à une « tutelle » qui s’étend pour coiffer presque toutes les branches de la physique. En effet, les EC sont utiles pour étudier une immense variété de problèmes qui touchent à la physique nucléaire, physique des particules, physiques statistiques, etc [3,7]. En réalité, la littérature récente montre que les EC font toujours l’objet d’extensions incessantes stimulées par de nouvelles découvertes. A titre d’exemple, non sous contentons de citer les travaux de Penson et Solomon [15] qui consiste en l’application des EC pour étudier le phénomène de supraconductivité à haute température critique qui est censé être décrit à l’aide du modèle de Hubbard [11]

Pour construire les EC qui correspondent au modèle de Hubbard, Penson et Solomon usent de la symétrie SO(4) présentée par ce modèle (voir annexe III). L’apport essentiel de ces EC réside non seulement dans le fait qu’ils permettent de contourner un nombre de problèmes ouverts associés au modèle de Hubbard (que nous discuterons ultérieurement), mais aussi qu’ils sont de véritables états supraconducteurs. En effet, ils prouvent que ces EC leur permettent de déterminer diverses grandeurs physiques qui entrent dans la caractérisation d’un supraconducteur dont en particulier le paramètre d’ordre de la transition supraconductrice appelé

ODLRO [44,45] (off-diagonal long range order).

Nous mentionnons le travail de Penson et Solomon pour deux raisons : la première est pour souligner que le EC généralisés au sens Gilmore et Perelomov s’étendent même à des questions qui sont d’actualité en recherche. La seconde est que l’étude de leur construction va nous fournir un nombre d’outils mathématiques dont

nous servirons par la suite pour déterminer les états cohérents déformés correspondant à la symétrie quantique vérifiée par le modèle de Hubbard étendu qui intègre les phonons du réseau [21].

Signalons que paver le chemin à la construction des ECD relatifs au modèle de Hubbard étendu qui est l’une des questions essentielles autour de laquelle s’articule ce travail il est instructif de commencer d’abord par introduire un certains nombre de notions. Nous trouvons que nous ne pouvons pas nous passer de donner un aperçu qui se veut, à la fois, général et succinct sur les structures algébriques qui se situent en arrière plan de la notion d’états cohérents déformés (ECD).

Ainsi nous sommes conduit à donner une digression sur les oscillateurs harmoniques déformés et les groupes quantiques ainsi que sur les différentes constructions des ECD qui leurs correspondent.

I-4. Aperçu sur les groupes quantiques et les oscillateurs déformés.

I-4.1. Les groupes quantiques

Les groupes quantiques appelés aussi symétries quantiques apparaissent comme structures mathématiques sous-jacentes dans plusieurs contextes physiques tels que la théorie quantique de diffusion inverse (quantum inverse scattering) ou en tant que solution de l’équation de Yang-Baxter [19,20]. Récemment, Montorsi et Rasetti [21] démontrent l’émergence des symétries quantiques dans le contexte de la physique de la matière condensée. En effet, ils prouvent que le modèle de Hubbard qui tient compte des phonons exhibe en fait la symétrieU_q(su(2)).

D’un point de vue purement mathématique, la dénomination groupes quantiques ne doit pas laisser entendre que ces structures sont de véritables groupes. En fait, ils sont des algèbres de Hopf appelés parfois algèbres quantiques [19,20]. Ils peuvent être considérées comme étant des déformations des algèbres de Lie classiques qui font appel à un (ou éventuellement plusieurs) paramètre(s) de déformation. Cependant, il faut observer que ces déformations sont assujetties à une condition importante : ils sont contraints de redonner les algèbres de lie classiques (c’est-à-dire non déformées) lorsque le(s) paramètre(s) de déformation) tend(ent) vers l’unité [19,20].

Notre objectif ne consiste pas à étudier systématiquement les groupes quantiques. En fait, nous nous intéressons surtout aux conditions d’émergence de la symétrie U_q(su(2)) lorsque le modèle de Hubbard est étendu pour tenir compte des phonons. Cette investigation est utile pour justifier la méthode à employer en vue de construire les ECD qui correspondent à cette symétrie.

Par ailleurs, lorsqu’il s’agit de construire les ECD correspondant à des groupes quantiques on constate qu’il existe deux manières de faire. Il y’a une première approche [67] qui repose sur une adaptation des idées de Perelomov et Gilmore au

contexte des groupes quantiques ; mais il s’avère qu’elle est difficile à accomplir et ce à cause de la non trivialité de l’espace quotient. Une seconde approche [68] consiste à procéder par analogie avec la construction des EC conventionnels qui correspondent aux groupes de Lie classiques (non déformés). C’est la deuxième méthode que nous emprunterons pour la construction des ECD au modèle de Hubbard avec phonons et ce en s’inspirant des résultats de Penson et Solomon.

Le procédé de construction des ECD relatifs aux groupes quantiques est différent de leurs homologues relatifs aux oscillateurs quantiques. Cette différence d’approches est le résultat des différences algébriques qui distinguent ces oscillateurs des groupes quantiques.

I -4.2. Les oscillateurs harmoniques déformés

Les oscillateurs quantiques déformés ne possèdent pas en général de structures d’algèbres de Hopf. Du point de vue mathématique, ils sont définis en tant que déformations [22-25] des oscillateurs ordinaires qui font appel à un ou plusieurs paramètres de déformation. Néanmoins, ils (les oscillateurs déformés) sont appelés à redonner le cas ordinaire (c’est-à-dire non déformé) lorsqu’on fait tendre le paramètre (ou, éventuellement, les paramètres) de déformation vers l’unité.

Sur le plan historique, il faut signaler que ces oscillateurs ont fait leur apparition [26,27] avant l’avènement des groupes quantiques. Pour donner une idée substantielle sur les structures algébriques des oscillateurs déformés nous nous contentons ici de donner deux exemples. Le premier est celui d’Arik-Coon [72]:

I a qa aa a a, +]_q = + − + = [ (31) 0 ] , [ ] , [a I = a+ I = avec 1 0≤q≤ . Le second est celui de Biedenharn-Macfarlane [22] :

N q a qa aa+ − + = − (32) avec [N,a]=−a , [N,a+]=a+

A partir des années 80, plusieurs autres déformations d’oscillateurs bosoniques, à un ou plusieurs paramètres de déformation, ont été consécutivement introduites dans la littérature [23, 24, 31,32]. Ils sont envisagés dans l’étude de plusieurs systèmes physiques [28-31, ]. Tels que les systèmes ou les effets anharmoniques [72] jouent un rôle dominant, en optique quantique ou même pour obtenir une nouvelle des champs qui présente des écarts par rapport à la statistique de Bose-Einstein [30, 33].

Le résultat le plus marquant à propos de l’application des oscillateurs bosoniques déformés pour l’étude de problèmes physiques concrets est que les déformations à deux paramètres s’avèrent équivalentes à des déformations à un seul paramètre [32]. D’autre part, on constate que plusieurs versions de ces oscillateurs présentent des similitudes ce qui a stimulé alors plusieurs auteurs pour chercher à unifier ces oscillateurs [9,41].

L’étude des oscillateurs déformés et des méthodes utilisées pour les unifier, nous conduit à introduire une algèbre dynamique [17] qui permet d’englober plusieurs oscillateurs déformés généralisés dans un sens unificateur. Ceci nous induit alors pour envisager l’étude de la construction des ECD relatifs à cet oscillateur généralisé (c’est-à-dire oscllateurs unifiés). Les développements explicites qui correspondent à cet oscillateur généralisé ainsi qu’à la construction des ECD qui s’y rapportent sont différés au chapitre II. Nous contentons ici de donner un aperçu succint sur les critères de Klauder [7] concernant la construction des ECD qui correspondent aux oscillateurs bosoniques déformés.

La construction des états cohérents déformés (ECD) est l’une des questions qui a été toujours et restera associée aux oscillateurs bosoniques déformés. Cette construction est réalisée conformément aux critères de Klauder : Un ensemble

{

z ,z∈C

}

d’états de l’espace de Hilbert ne peut constituer un ensemble d’états cohérents que lorsqu’il satisfait à un nombre minimal de conditions (établis par Klauder [7]):

(i) z est normalisable,

(ii) z est continu en fonction de la variable z ce qui veut dire que :

0 ' → −z

z entraîne z − z' →0,

(iii)

{ }

z est complet dans H et vérifie la résolution de l’opérateur identité ce

qui fait appel à une fonction poids w(z2)positive telle que :

I z z z w z d =

∫∫

2 ( 2) .

En vue de trouver un analogue de la représentation de Fock-Bargmann [42], nous exigeons de ECD pour les oscillateurs harmoniques déformés que nous allons construire à la Klauder, de remplir une condition supplémentaire [17]: être des états propres de l’opérateur annihilation.

Autour des critères de Klauder s’articulent trois méthodes de constructions des

ECD. Elles ne diffèrent entre elles que par la manière dont elles cherchent à remplir les

Jackson [74], utiliser les intégrales ordinaires tout en faisant un choix judicieux de la

fonction poids ou même utiliser une fonction poids préalablement connue et ensuite déterminer l’oscillateur déformé qui peut bien lui correspondre [22, 72].

Outre les oscillateurs bosoniques déformés, on peut constater que plusieurs oscillateurs fermioniques déformés ont été également introduits dans la littérature. Ils peuvent être présentés comme des déformations relations de commutations fermioniques et laissent entendre donc une généralisation du principe d’exclusion de Pauli [25,30]. Ces oscillateurs trouvent des applications physiques pertinentes ; aussi ils ont été considérés par Parthasarathy [33] pour construire une théorie supersymétrique fractionnaire.

La construction des ECD fermioniques est très peu étudiée comparée à son homologue bosoniques déformés. Nous faisons observer que pour le cas ordinaire c’est-à-dire l’oscillateur fermionique ordinaire la construction des EC fait appel aux variables grassmanniennes qui, vu leur rapport avec le principe d’exclusion de Pauli, sont des variables anticommutantes de degré de nilpotence égal à deux [38,39] (ou tout simplement de carré nul). En revanche, les ECD qui correspondent aux oscillateurs fermioniques déformés, doivent être construits en utilisant des variables grassmanniennes généralisées dont le degré de nilpotence est forcement supérieur à deux, ce qui laisse entendre une généralisation du principe de Pauli. Dans la littérature, on dénombre deux approches permettant de définir les variables grassmanniennes généralisées [58,59] : l’une est due a Kerner [34,35]et l’autre à Majid[36,37]

Notre contribution consiste à utiliser les variables de Kerner [34,35] pour étudier les oscillateurs fermioniques Z3 −gradués et construire les ECD qui leurs

correspondent [18]. Nous préférons développer cette étude dans le chapitre III, et nous réservons ce qui suit à la discussion du modèle de Hubbard avec phonons, de la symétrie quantique Uq(su(2))qui le caractérise ainsi qu’à la construction des ECD qui lui sont reliés [16].

I-5. ECD et supraconductivité à haute température critique

Montorsi et Rasetti [21] démontrent que l’hamiltonien de Hubbard étendu qui tient compte des vibrations du réseau présente une symétrie quantiqueU_q(su(2)). C’est le couplage des phonons à la densité de charge électronique qui induit cette symétrie non triviale dans le contexte de la physique de la matière condensée. Nous nous proposons dans cette partie, d’étudier dans les plus amples détails les raisons qui ont induit cette symétrie et de montrer qu’il est possible d’envisager de construire les ECD relatifs au modèle de Hubbard avec phonons [21].

Nous fournirons la preuve que ces ECD permettent de rendre compte du phénomène de la supraconductivité à haute température critique. Pour parvenir à le montrer nous trouvons qu’il est utile de commencer d’abord par introduire en amont

de ces développements une digression sur le phénomène de la supraconductivité [50-59].

I-5.1. Généralités sur le phénomène de la supraconductivité

Un supraconducteur est un matériau qui, lorsqu’il refroidi au dessous d’une certaine température critique T_c(caractéristique du matériau), présente une résistivité électrique nulle et devient un diamagnétique parfait [49]. Ces matériaux sont répartis en deux familles. Le critère de répartition -qu’on peut évoquer au prime abord est d’ordre phénoménologique- il prend en considération la nature des matériaux et leurs températures de transition à la supraconductivité. Les métaux et les alliages métalliques qui présentent la possibilité de transiter à la supraconductivité à des températures critiques situées au- dessous de 30°K constituent la famille des

supraconducteurs conventionnels [50-53] En outre, il y a les supraconducteurs non conventionnels ou supraconducteurs à haute température critique qui sont des

composés à base d’oxyde de cuivre dont les températures de transition se situent au-dessus de 30°K et peuvent même surpasser le seuil de liquéfaction de l’azote [13].

D’un point de vue théorique, les deux aspects de la supraconductivité sont décrits par deux formalismes hamiltoniens différents. Le phénomène de la supraconductivité conventionnelle dont la découverte remonte à 1911 a été complètement élucidé en 1957 grâce à la théorie BCS [48, 52]. En revanche, les supraconducteurs à haute température critique (SHTc), mis en évidence expérimentale pour la première fois en 1986, sont censés être décrits [12,14] par le modèle de

Hubbard [11].

La théorie BCS baptisée selon les initiales de ces auteurs (Bardeen, Cooper et

Schrieffer) est une théorie quantique microscopique. Elle est basée sur la notion clef de

paires de Cooper [59]. Selon la théorie BCS, lorsqu’un conducteur est refroidi au-dessous de sa température de transition, il y a apparition d’une interaction attractive permettant aux électrons de s’associer en paires de Cooper. Un électron spin, « ↑ » d’impulsion→ksituée au voisinage du niveau de Fermi apparié avec un autre électron d’impulsion−→k et de spin « ↓ » forment une entité bosonique de spin net nul qui est

la paire de Cooper. La transition à l’état supraconducteur est interprétée en terme de

condensation de Bose des paires de Cooper [52].

La formation des paires de Cooper au-dessous de TC est favorisée par les vibrations des ions du réseau (c’est-à-dire les phonons). La preuve expérimentale sur ce rôle joué par les phonons est fournie par la loi isotopique [27] :

C T

M : masse isotopique, T_c :température critique du matériau et α=_0,5±₁₀°_{° et C une}

constante.

L’une des prévisions importantes déduite à partir de la loi isotopique est l’existence d’un seuil de 23° K qu’aucune température critique de transition

métal-supraconducteur ne peut dépasser. Mais cette prédiction sera mise en défaut par la

découverte des supraconducteurs à haute température critique [13].

Les supraconducteurs à haute température critique (SCHTc) ont été découverts

par Bednorz et Muller. En effet, ils démontrent expérimentalement, en 1986, que la céramiqueLa₂CuO₄(qui est un isolant à l’état pur), devient supraconducteur lorsqu’elle est adéquatement dopée à l’aide du Sr (Strontium) ou Ba(Baryum) . Les températures de transition de La2−x(Ba)xCuO4et La2−x'(Sr)x'CuO4 étant respectivement

K

Tc=30° et Tc=38°K[13]. Cette découverte qui défie les prédictions de la théorie BCS à plus d’un égard et tout particulièrement en ce qui concerne les valeurs de T_c , a permis alors d’inaugurer l’ère de supraconductivité à haute température critique (SCHTc) (ou aussi supraconductivité non conventionnelle). La recherche des substrats à température critique plus élevée à conduit en 1988 aux composés YBCuO[65] dont la valeur de TC dépasse le seuil de la température de liquéfaction de l’azote (voir annexe III). Pour décrire la physique des matériaux SCHTc, le modèle de Hubbard à la limite

du couplage fort a été alors proposé par P.W. Anderson.

I-5.2 Le modèle de Hubbard

L’hamiltonien de Hubbard s’écrit :

∑

∑

↑ ↓ > < + ₊ = i i i i ij i a U n n a t H _σ σ σ (34) avec :

<ij> sites proches voisins

+ σ

i

a (resp. a_jσ ) opérateur de création (resp. annihilation) d’un électron spin ↓ =↑, σ en un site –i- . σ σ σ i i i a a

n = + est l’opérateur nombre d’occupation d’un site –i-.

U élément de matrice de la répulsion coulombienne «on site », U>0

t : élément de matrice du terme saut (hopping term) entre sites proches

voisins

Le couplage fort correspond àU >>t.

Le premier terme de l’hamiltonien (34) traduit la tendance des électrons à se répandre dans le réseau, quant au second il exprime le rôle joué par la forte répulsion coulombienne qui tend à éviter aux électrons la double occupation d’un même site. Ainsi, dans le cas particulier où le nombre d’électrons est égal au nombre de sites du

réseau alors la forte répulsion coulombienne impose la contrainte suivante sur le nombre d’occupation :

∑

= σ σ 1 i n . (35)

et le système est dit en bande demi pleine.

Lorsque cette contrainte (35) est satisfaite les électrons restent figés à raison d’un électron par site et le système se trouve à l’état isolant. En outre, on montre que l’hamitonien de Hubbard, devient identique à l’hamiltonien antiferromagnétique

∑

〉 〈 → → − = ij j i AFM J S S H ) 4 1 . ( (36) avec 4 0 2 > = U t J .

Ce résultat souligne l’importance jouée par les interactions, à la fois, électrique et magnétique en SCHTc [16,30].

Par ailleurs, nous pouvons constater que la contrainte (35) sur l’occupation permet de discerner deux secteurs d’énergie [30] pour le modèle de Hubbard standard. Le domaine de faible énergie correspond au système au-dessous de la bande demi pleine. En revanche, lorsque le nombre de porteurs de charges excède le nombre de sites on assiste à l’apparition de doubles occupations et le système se trouve alors dans le secteur de haute énergie. Les deux secteurs étant séparés par un gap de valeur égale à U.

L’un des problèmes encore ouvert de la physique de la matière condensée est que dans le secteur de faible énergie les états fondamentaux et excités des modèles de Heisenberg et aussi de Hubbard ne sont connus qu’en dimension D=1. C’est l’ansatz de Bethe (1931) qui permet d’obtenir le spectre de la chaîne de Heisenberg et puis Lieb et Wu [64] s’en sont servi pour déterminer celui de la chaîne de Hubbard. En revanche, en dimension D=2, aucune solution exacte n’est connue et les spectres de ces deux hamiltoniens restent encore un problème ouvert de la physique de la matière condensée [56]. Ceci explique pourquoi les études théoriques qui utilisent le modèle de Hubbard dans le secteur de faible énergie pour décrire le phénomène de la supraconductivité sont essentiellement des théories de champ moyen [12, 58].

En se plaçant dans le secteur de haute énergie, Yang [45] construit explicitement un ensemble d’états propres de l’hamiltonien de Hubbard. C’est ces états qui vont être mis à profit par Penson et Solomon [15] pour construire les EC relatifs au modèle de Hubbard standard. Nous donnons ci-après un bref aperçu sur cette construction qui est amplement développée dans l’annexe III.

I-5.3 Le mécanisme d’appariement de Yang

La nature des interactions à la fois électrique et magnétique qui caractérisent le modèle de Hubbard, se traduisent, en bande demi pleine, par un groupe de symétrieSO(4)≈SU_m(2)×SU_S(2)/Z₂ . Le groupe SU_m(2) généré par les opérateurs spins : ↓ Λ ∈ + ↑ + ₌

_∑

i i i a a S , (36.a) + + − _{=(S )} S , (36.b)

∑

Λ ∈ ↑ ↓ − = i i i Z n n S ( ) 2 1 (36.c)

est en rapport avec les propriétés antiferromagnétiques du système. Quant à au groupe )

2 ( S

SU qui traduit les symétries électroniques du modèle est engendré par les

opérateurs de Yang [45] qui sont dits aussi opérateurs « η− pairing » :

∑

Λ ∈ + ↓ + ↑ + ₌ i i i a a η (37.a) + + =(η ) η (37.b) et ) ˆ ( 2 1 L N z = − η (37.c)

L étant le nombre total des sites du réseauΛ,

∑

∑

↓ =↑ Λ ∈ = = , , ˆ σ σ i i i i n n N (38)

Le mécanisme d’appariement de Yang permet de déterminer exactement, dans le

secteur de haute énergie du modèle de Hubbard, les états propres de l’hamiltonien de Hubbard pour toute dimension spatiale. Les états de Yang sont donnés par :

0 ) ( ) , ( N N N M + = Ψ β η , N= 1,….,M (39) ) , (N M

β est un facteur de normalisation.

Soulignons que Korepin et al [60] montrent que ces états peuvent être connectés à la solution de Lieb et Wu qui sont, dans le secteur de faible énergie, des états propres de l’hamiltonien de Hubbard unidimensionnel.

En s’appuyant sur ces considérations de symétrie et sur le mécanisme d’appariement de Yang, Penson et Solomon ont été en mesure de construire des EC relatifs au modèle de Hubbard (voir appendice IV). Ces EC normalisés sont donnés par : f f C 2exp( ) [1 2] M/2exp( ) 1 µη µ µη µ ₌ − _{= +} − (40) avec 0 ) ( ! 1 M M f = η+ (41)

0 est l’état du vide et f jouant le rôle de vecteur de référence. ( f correspond à tous les états d’appariement occupés).

Les EC de Penson et Solomon permettent de mettre différentes fonctions de corrélations caractéristiques du système étudié. En particulier il démontrent que ces EC sont, en fait, des états supraconducteurs car il permettent de déterminer le paramètre d’ordre de la transition supraconductrice : le « ODLRO » qui est considéré comme étant la définition de la supraconductivité.

Les résultats obtenus par Penson et Solomon vont nous servir de base d’appui pour envisager la construction des ECD qui correspondent au modèle de Hubbard étendu (c’est-à-dire qui tient compte des vibrations du réseau ou en d’autres termes les phonons).

I-5. 4. Effet isotopique en SHTc

L’extension du modèle de Hubbard pour y inclure un terme qui tient compte du phonon est légitimée par le fait que les matériaux SCHTc exhibe un effet isotopique. Lorsqu’on considère le composé YBCO, les mesures expérimentales [65] montrent que la substitution de l’isotope de l’oxygène 18Opar 16O, aolrs on obtient :

te cons T

Mα _c= tan avecα=0,02. (42).

Le fait marquant dans cette extension est que le couplage électron-phonon induit une symétrie quantique U_q(su(2)) qui se substitue à la SU_S(2) relative à la symétrie électronique du modèle de Hubbard standard. Pour rendre compte de ce rôle non trivial joué par les phonons il est alors inévitable d’accréditer les fonctions de Wannier. Elles sont données par [49]:

) ( ) . exp( 1 ) (→

∑

→ → → → → − = ik R r M r k K n i ni ψ φ (43.a) avec ) ( ) . exp( ) (→ → → → → → r = ik r u r k n k n ψ (43.b) La fonction → K n

ψ est appelée fonction de Bloch. Elle est appropriée à la description de la structure de bande d’un solide. Elle fait intervenir le terme ( )

→ → r u k n qui possède la même périodicité que le réseau. Les indices n et →k correspondent respectivement à la bande et au vecteur d’onde parcourant la zone de Brillouin

Les équations (43.a-b) montrent qu’un site -i- du réseau est connecté à l’origine par le vecteur Ri

→

(qui spécifie la position du site –i-) et donc on a :

) ( ) ( _ni i ni r r R → → → − =φ φ . (44)

Les fonctions de Wannier sont couramment utilisées en physique des solides pour évaluer les éléments de matrices de l’hamiltonien du système à étudier [49, 53]. Cette procédure peut être appliquée au cas du modèle de Hubbard. Pour cela, il suffit de partir d’une expression de cet hamiltonien en terme de la « première quantification »:

∑

∑

≠ → → → − + = j i j i i i V r r r h H ( ) 2 1 ) ( (45) où : N i≤ ≤ 1 , ) , ( 2 ) ( 2 i i i V r R m p r h → → +

= est un opérateur à une seule particule qui rend compte de l’énergie cinétique de l’électron -i et aussi de toutes les interactions de cet électron avec les potentiels externes tel que celui créé par les ions du réseau.

) (ri r j

V → −→ : représente l’énergie d’interaction coulombienne entre deux électrons l’un occupant la position ri

→

et l’autre r j

→

.

En introduisant les opérateurs création et annihilation ai+_σ et aiσ ( désignent ici des opérateurs fermioniques) correspondant à un électron de spin σ =↑,↓dans l’état φ_i (l’indice n de la bande étant tout simplement omis), l’hamiltonien de Hubbard s’écrit :

∑∑

∑

+ ₊ + + = ijkl k l j i ij j i ija a ijV kl a a a a t H ' ' ' σσ σ σ σ σ σ σ σ (46) avec

∫

∗ →₋→ − _∆+ →₋→ = ( , )) ( ) 2 ² )( ( i _l j ij V r R r R m R r dr t φ h φ (47) et ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ' → → → → → ∗ → ∗ → →

∫

− = drd r r r V r r r r kl V ij φi φj φk φl (48)

L’hamiltonien de Hubbard standard correspond aux choix suivants :

t

tij = si i et j sont proches voisins 0 = ij t sinon (49) et    = = = = on l k j i si U kl V ij sin 0 (50)

Moyennant ces définitions ainsi que le principe d’exclusion de Pauli, l’hamiltonien de Hubbard standard s’écrit:

∑

∑

↑ ↓ > < + ₊ = i i i i ij i a U n n a t H _σ σ σ

où le signe <i, j > est pour désigner sites - i et j- proches voisins.

I-5.5. Couplage électron-phonon

Afin d’étudier le couplage électron-phonon, on utilise dans la notation introduite par

Montorsi et Rasetti [21] :l’hamiltonien de Hubbard, pour un réseau Λ de M sites et de

dimension D renfermant N électrons, est exprimé dans l’ensemble grand canonique par : ) ( ) ( hop el loc el H H H = + (51)

Les termes (loc) el

H et (hop) el

H sont donnés par :

) ( [ _{, , , ,} ) ( ↓ ↑ Λ ∈ ↑ ↓ + − =

_∑

_{i i} i i i loc el Un n n n H µ (52)

∑ ∑

↓ =↑ + ₊ = j i i j hop el t a a hc H , , , ) ( .) . ( 2 1 σ σ σ (53)

) (loc el

H exprime les contributions locales (par site) à l’énergie du système. Il fait intervenir le potentiel chimiqueµ qui est un multiplicateur lagrangien permettant de fixer le nombre d’électrons présents dans le réseau.

) (hop el

H appelé terme « hopping » ; il correspond au mouvement itinérant des électrons du réseau.

L’introduction des phonons entraîne une modification des éléments de matrice du terme « hopping ». Elle est l’expression de la variation de la distance entre sites proches voisins qui est induite par les vibrations du réseau. Ainsi, si l’on considère que les phonons sont de simples oscillateurs indépendants d’Einstein de masse M et de pulsation ω alors ils sont décrits par l’hamiltonien :

∑

Λ ∈ + = i i i Ph M x M p H 2 2 ² 2 1 2 ω (54) avec ij j i p i x , ]= hδ [ (55)

x et p commutent avec tous les opérateurs fermioniques.

Tenir compte des vibrations du réseau revient à ajouter à l’hamiltonien (51) le terme Ph

H . Cette extension de l’hamiltonien entraîne une modification du terme (hop) el

H et ce à travers le changement qui affecte les éléments de matricetij. Dans ces conditions l’hamiltonien de Hubbard étendu qui tient compte des phonons s’écrit :

) ( ) ( hop ph el ph loc el H H H H = + + ₋ (56) Le terme (hop) ph el H ₋ s’écrit :

∑ ∑

↓ =↑ + − = + j i i j ij hop ph el t a a hc H , , , ) ( .) . ( σ σ σ (56)

avec des éléments de matrice t_ijqui sont maintenant donnés par [21,53]:

∫

− − − ∆+ − − = ∗ ) ( ) , ( 2 ² )( ( i i l j j ij V r R r R x m x R r dr t φ h φ (57)

où xi et xj sont introduites dans les fonctions de Wannier pour tenir compte des écarts que peuvent avoir les ions durant leur mouvement vibratoire.

D’autre part, en tenant compte de la contribution du potentiel propre (V(r,R_l))de chacun des ions alors (hop)

ph el