Apport des méthodes volumiques dans la confrontation théorie-expérience : application à la rupture fragile et aux contacts conformes

Texte intégral

(1)THESE Pour l’obtention du grade de. Docteur de l’Université de Poitiers Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées (Diplôme national – Arrêté du 7 août 2006) Ecole Doctorale : Sciences et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Energétique et Aéronautique Secteur de recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces Présentée par :. Yoann BARRANGER ___________________________. Apport des méthodes volumiques dans la confrontation théorie/expérience : application à la rupture fragile et aux contacts conformes ___________________________ Directeurs de thèse : Valéry VALLE Jean-Christophe DUPRE Pascal DOUMALIN Date de soutenance : 06 décembre 2010 Devant la commission d’examen JURY M. M. GREDIAC, M. F. DUBOIS, M. B. WATTRISSE, M. M. BORNERT, M. M. CHEIKH, M. P. DOUMALIN, M. J.-C. DUPRE, M. V. VALLE,. Professeur, Université de Clermont-Ferrand Professeur, Université de Limoges Professeur, Université Montpellier II Chercheur, Ecole Polytechnique, Palaiseau Maître de Conférences, Université Toulouse II Figeac Maître de Conférences, Université de Poitiers Chargé de Recherche CNRS, Université de Poitiers Professeur, Université de Poitiers. Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur.

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(3) « Celui qui est maître de l’éducation peut changer la face du monde ». Gottfried Wilhelm Leibniz.

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(5) 5HPHUFLHPHQWV. Ce mémoire est l’aboutissement d’un travail réalisé au sein de l’Institut Pprime (U.P.R. 3346), et plus particulièrement au sein de l’ancien Laboratoire de Mécanique des Solides de l’Université de Poitiers (U.M.R. 6610).. Je tiens tout d’abord à remercier Monsieur le Professeur Fabrice Brémand, responsable de l’équipe Photomécanique et Rhéologie lors de mon arrivée, de m’avoir permis d’entreprendre et de mener à bien ce travail de recherche au sein de l’équipe.. Je suis particulièrement sensible à l’attention que m’ont portée Monsieur le Professeur Frédéric Dubois et Monsieur le Professeur Bertrand Wattrisse en acceptant d’être rapporteurs de ma thèse. Je leur adresse toute ma reconnaissance et les remercie de cet honneur qu’ils m’ont fait. Je tiens à remercier également Monsieur le Professeur Michel Grédiac, Monsieur Michel Bornert et Monsieur Mohammed Cheick pour l’honneur qu’eux aussi m’ont fait en acceptant de participer au jury.. Je tiens ensuite à exprimer toute ma reconnaissance et à remercier vivement Messieurs Valéry Valle, Jean-Christophe Dupré et Pascal Doumalin qui ont dirigé mes travaux de thèse. Leur disponibilité, leurs explications, leurs conseils et surtout leurs connaissances ont très largement contribué à la réalisation de ce travail. Chacun d’entre eux a apporté son propre savoir, ses propres exigences, son propre recul sur les différents él éments de ce travail, tout ceci ayant permis de me faire évoluer à titre personnel tout au long de ces trois années. A tous les trois, je vous adresse un grand merci, ce travail de recherche vous doit beaucoup.. Par ailleurs, je tiens à remercier tout particulièrement les anciens doctorants, aujourd’hui Maîtres de conférences, Arnaud Germaneau et Stéphen Hédan pour les aides qu’ils ont pu me fournir (que celles-ci concernent ce travail, les points administratifs liés à la.

(6) thèse, ou encore les différents documents et conseils fournis pour préparer la suite). Je vous remercie très sincèrement tous les deux pour tout cela. J’adresse aussi mes remerciements à tout le reste des membres de l’équipe, qu’il s’agisse de Franck, Mario, Ismaelle ou Hassan pour leur sympathie et toutes les discussions que j’ai pu avoir avec chacun d’entre eux. Plus généralement, j’adresse mes remerciements à tous les membres du laboratoire, en particulier à Mathieu, Sébastien et Christian pour leur disponibilité et surtout leur sympathie. De même, je souhaite remercier les personnes de l’ENSMA qui m’ont permis d’effectuer mon monitorat dans d’excellentes conditions, ainsi que ceux qui ont mis à ma disposition les moyens informatiques et logiciels m’ayant permis de réaliser une partie de mes travaux de thèse. Je les remercie également pour m’avoir permis de poursuivre en ATER chez eux, ce qui a été un élément important pour parvenir à terminer ma thèse dans les meilleures des conditions, en restant proche de mes directeurs de thèse.. Je remercie très chaleureusement Manu qui, pendant ces trois années, a ét é certainement une des personnes parmi les plus importantes. Pour les repas de midi partagés, pour les très nombreuses discussions, mais aussi et surtout pour le soutien procuré pendant les phases de rédaction et de soutenance de ce mémoire, cela a été un réel réconfort d’avoir quelqu’un qui avance de manière quasi-simultanée à soi.. Enfin, je ne saurais terminer ces remerciements sans remercier de tout mon cœur l’ensemble de ma famille pour m’avoir supporté pendant tout ce temps, et ce dans tous les sens du terme ... A tous mes cousins, je vous dis merci et espère repartager de nombreuses soirées avec vous (pensée particulière pour David qui m’aura causé de belles frayeurs peu avant la soutenance, je te souhaite un rétablissement total pour pouvoir plonger de nouveau ensemble le plus rapidement possible). A mes parents, Jacques et Catherine, je dédie ce mémoire. Pour tout ce que vous m’avez apporté et m’apportez encore aujourd’hui, je ne vous remercierai jamais assez tous les deux. Pour finir, le dernier remerciement ira à mon frère (auquel j’associe Marion). Pour toi Benoit, je n’ai tout simplement pas les mots pour exprimer à quel point je te suis profondément reconnaissant, et ce réellement à tous points de vue..

(7) Table des matières. 7DEOHGHVPDWLqUHV. Introduction ....................................................................................................... 11 Partie 1. Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration ................. 17 1.. Problématique................................................................................................................... 19. 2.. Champs de déplacements et contraintes en fissuration .................................................... 23 2.1.. Approches théoriques de la mécanique de la rupture........................................... 23. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.2.1. 2.1.2.2.. 2.1.3. 2.1.3.1. 2.1.3.2. 2.1.3.3.. 2.1.4.. 2.2.. 2.2.2.1. 2.2.2.2. 2.2.2.3. 2.2.2.4. 2.2.2.5. 2.2.2.6. 2.2.2.7.. 3.. Théorie de Griffith .......................................................................................................... 24 Intégrale J de Rice .......................................................................................................... 26. Approche locale ...................................................................................................... 27 Modes élémentaires de rupture ....................................................................................... 27 Elasticité plane et fonctions d’Airy................................................................................. 29 Solutions analytiques des champs de contraintes et de déplacements ............................ 30. Conclusion .............................................................................................................. 36. Méthodes utilisées en mécanique de la rupture.................................................... 38. 2.2.1. 2.2.2.. 2.3.. Origines de la mécanique de la rupture................................................................... 23 Approche énergétique ............................................................................................. 24. Simulations numériques.......................................................................................... 38 Méthodes expérimentales........................................................................................ 41 Interférométrie de Michelson.......................................................................................... 41 Les caustiques ................................................................................................................. 43 Moiré interférométrique.................................................................................................. 45 Méthode des grilles ......................................................................................................... 47 Fibre à réseaux de Bragg................................................................................................. 49 Photoélasticimétrie 2D et 3D .......................................................................................... 51 Corrélation d’images numériques et volumiques............................................................ 53. Conclusion............................................................................................................ 57. Etude volumique d’un cas de fissuration ......................................................................... 59 3.1.. Procédure de corrélation....................................................................................... 59. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.2.1. 3.1.2.2.. Introduction............................................................................................................. 59 Approche bidimensionnelle .................................................................................... 60 Principe ........................................................................................................................... 60 Transformation matérielle............................................................................................... 61. -7-.

(8) Table des matières 3.1.2.3. 3.1.2.4. 3.1.2.5. 3.1.2.6. 3.1.2.7. 3.1.2.8. 3.1.2.9.. 3.1.3. 3.1.3.1. 3.1.3.2.. 3.2.. Extension de la méthode au cas tridimensionnel .................................................... 76 Extension de la CIN ........................................................................................................ 76 Association avec un microtomographe à rayons X de laboratoire .................................. 78. Evaluation des champs de déplacement en fissuration stationnaire..................... 82. 3.2.1. 3.2.1.1. 3.2.1.2. 3.2.1.3. 3.2.1.4.. 3.2.2. 3.2.2.1. 3.2.2.2.. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.4.1. 3.2.4.2.. 3.3.. Coefficient de corrélation................................................................................................ 63 Procédure de minimisation.............................................................................................. 64 Procédures d’interpolation .............................................................................................. 65 Calcul des déformations.................................................................................................. 65 Essais de déplacement..................................................................................................... 67 Essais de déformation ..................................................................................................... 72 Conclusion ...................................................................................................................... 75. Etude expérimentale................................................................................................ 82 Choix des matériaux et des dimensions de l’éprouvette ................................................. 82 Fabrication de l’éprouvette et détermination de ses caractéristiques mécaniques .......... 84 Montage expérimental .................................................................................................... 87 Paramètres de la corrélation volumique .......................................................................... 88. Etude théorique ....................................................................................................... 89 Utilisation du second terme des séries de Williams ........................................................ 89 Expression du facteur d’intensité de contraintes............................................................. 89. Etude numérique 3D par éléments finis.................................................................. 90 Résultats et comparaisons ....................................................................................... 92 Confrontation des résultats théoriques avec les résultats expérimentaux........................ 99 Confrontation des résultats numériques avec les résultats expérimentaux.................... 104. Conclusions et perspectives ............................................................................... 109. Partie 2. Analyse d’un contact conforme, étude d’un élément aéronautique ........................................................................................................................... 113 1.. Problématique................................................................................................................. 115 1.1.. Problème général................................................................................................ 115. 1.2.. Problématique pour l’établissement d’un outil de simulation numérique. (collaboration Albi-Figeac-Poitiers) .............................................................................. 118 1.2.1. 1.2.2.. 2.. Etude de la répartition de contraintes.................................................................... 118 Choix des méthodes expérimentales ..................................................................... 119. La photoélasticimétrie .................................................................................................... 123 2.1.. Phénomène de biréfringence .............................................................................. 123. 2.2.. Lois optico-mécaniques...................................................................................... 123. 2.3.. Equations caractéristiques de la propagation d’une onde lumineuse dans un. milieu photoélastique ..................................................................................................... 128. -8-.

(9) Table des matières 2.4.. Approches pour la schématisation du milieu photoélastique ............................. 132. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3.. 2.5.. Méthode par découpage optique ........................................................................ 139. 2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 2.5.4.. 2.6.. Schématisation bidimensionnelle.......................................................................... 133 Schématisation tridimensionnelle par H. Aben..................................................... 135 Schématisation tridimensionnelle discrétisée ....................................................... 138. Développement de méthodes de photoélasticimétrie tridimensionnelle............... 139 Utilisation de la diffusion de la lumière comme polariseur .................................. 141 Méthode par découpage optique ........................................................................... 143 Développement de la méthode par découpage optique......................................... 145. Exploitation des franges photoélastiques ........................................................... 148. 2.6.1. 2.6.2.. Calcul des contraintes ........................................................................................... 148 Comparaison des franges ...................................................................................... 150. 2.6.2.1. Expression de l’intensité lumineuse pour différentes schématisations d’un milieu photoélastique .................................................................................................................................. 150 2.6.2.2. Comparaison de l’intensité lumineuse .......................................................................... 152. 2.6.3.. 2.7. 3.. Conclusion.......................................................................................................... 156. Etude d’un modèle géométrique simplifié bidimensionnel............................................ 159 3.1.. Etude expérimentale........................................................................................... 159. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.3.1. 3.1.3.2.. 3.2.. 3.3.. Une rangée de billes...................................................................................................... 162 Trois rangées de billes .................................................................................................. 165. Description de la modélisation numérique............................................................ 166 Résultats, franges numériques .............................................................................. 168. Confrontation des résultats numériques et expérimentaux ................................ 169. 3.3.1. 3.3.2.. 3.4.. Caractéristiques mécaniques du matériau et géométrie ........................................ 159 Montage expérimental .......................................................................................... 161 Essais expérimentaux et résultats.......................................................................... 162. Etude numérique ................................................................................................ 166. 3.2.1. 3.2.2.. 4.. Choix de procédure pour notre cas d’étude .......................................................... 155. Une rangée de billes.............................................................................................. 169 Trois rangées de billes .......................................................................................... 171. Conclusion.......................................................................................................... 172. Etude d’un modèle géométrique simplifié tridimensionnel ........................................... 175 4.1.. Etude expérimentale........................................................................................... 176. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3.. Géométrie de la butée à billes modèle .................................................................. 176 Fabrication des butées et caractéristiques ............................................................. 177 Montage expérimental .......................................................................................... 180. -9-.

(10) Table des matières 4.1.4. 4.1.5.. 4.2.. Essais expérimentaux et protocole........................................................................ 181 Résultats................................................................................................................ 182. Etude numérique ................................................................................................ 187. 4.2.1. 4.2.2.. Description de la modélisation numérique............................................................ 187 Résultats................................................................................................................ 189. 4.3.. Confrontation des résultats numériques et expérimentaux ................................ 190. 4.4.. Evolution du modèle numérique ........................................................................ 192. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3.. Conditions de symétries........................................................................................ 192 Caractéristiques mécaniques des billes ................................................................. 194 Possibilités d’évolution......................................................................................... 197. 4.5.. Suite de l’étude................................................................................................... 197. 4.6.. Conclusion.......................................................................................................... 199. Conclusions et perspectives ............................................................................ 201 Annexes............................................................................................................. 207 A1.. Généralités pour la photoélasticimétrie...................................................................... 209 A1.1.. Onde lumineuse.............................................................................................. 209. A1.2.. Le polariscope à lumière rectiligne ................................................................ 212. A1.3.. Le polariscope à lumière circulaire ................................................................ 215. A1.4.. Détermination de la constante photoélastique................................................ 217. A2.. Influence de la caméra en CIN ................................................................................... 221. A3.. Facteur de corrélation et superposition de deux champs lumineux ........................... 225 A3.1.. Calcul du facteur de corrélation [PLOU 96] .................................................. 225. A3.2.. Superposition de deux champs lumineux....................................................... 229. Références bibliographiques .......................................................................... 235. - 10 -.

(11) Introduction. ,QWURGXFWLRQ. - 11 -.

(12) Introduction. - 12 -.

(13) Introduction. ,QWURGXFWLRQ. De nos jours, lorsque nous sommes confrontés à un problème mécanique, trois approches peuvent être utilisées pour tenter d’apporter une réponse à celui-ci. La première est l’approche analytique. Celle-ci repose sur l’écriture du problème mécanique en utilisant la théorie de la mécanique des milieux continus. Pour en garantir la résolution, des hypothèses sont mises en place, faisant par exemple abstraction des effets mécaniques liés à l’épaisseur des systèmes étudiés, ou prenant en compte la nature des chargements macroscopiques. Cependant, ce type d’approche n’est que rarement porté à des approches tridimensionnelles car la résolution peut être difficile, voire impossible. Qui plus est, les avancées technologiques et l’évolution des méthodes d’estimation expérimentale de champs ont permis de mettre en défaut certains modèles pourtant encore utilisés dans l’industrie ou la recherche en mécanique. La seconde approche est la modélisation numérique, bien souvent associée à la méthode des éléments finis. L’utilisation de ces modèles est de plus en plus courante, voire systématique, de nos jours grâce à l’augmentation continue de la puissance des machines de calculs. Ces modèles numériques permettent de simuler le comportement des matériaux et des structures afin d’en évaluer par exemple la répartition des contraintes et les éventuels risques liés à l’endommagement ou à la rupture. Cependant, l’établissement de ce type de modèle est parfois réalisé au détriment d’essais expérimentaux. Or, lors de l’étude de cas aussi bien complexes (de par leur forme, leur chargement…) que simples, des erreurs peuvent apparaître lorsque les conditions aux limites, le maillage ou les données liées au matériau ne sont pas définis conformément à la réalité. Les modèles éléments finis sont en effet basés sur des approximations établies pour rendre possible la résolution du problème mécanique, ce qui nécessite une vérification expérimentale afin de s’assurer que celles-ci fournissent effectivement des champs mécaniques proches des champs réels. La dernière approche est celle expérimentale. Grâce aux avancées technologiques réalisées en matière d’imagerie, il est possible de réaliser des mesures sans contact. Celles-ci permettent d’effectuer des mesures de champs en surface et au sein d’un matériau sans en modifier la structure ni le comportement. Les techniques de mesures 2D, ainsi que celles dites 2D½ pour. - 13 -.

(14) Introduction des surfaces courbes, sont les plus utilisées pour aborder des problèmes mécaniques grâce à une relative facilité de mise en œuvre. Cependant, de par leur aspect surfacique, ces techniques ne permettent pas d’accéder directement et sans hypothèse à l’évolution des grandeurs mécaniques suivant l’épaisseur. Afin de pouvoir répondre à un problème mécanique. tridimensionnel,. il. peut. s’avérer. nécessaire. d’acquérir. les. champs. tridimensionnels. Cependant, ces méthodes expérimentales d’investigation tridimensionnelle étant parfois plus difficiles à mettre en œuvre, leurs utilisations et leurs développements ne sont encore que peu réalisés pour des cas industriels.. De par les difficultés relatives à chacune de ces approches pour tenter de résoudre des problèmes mécaniques complexes ou d’apparence simple, il apparaît donc intéressant de confronter chacune d’entre elles lors de l’analyse de ces problèmes. Par cette démarche, il serait possible de montrer les limitations de chacune d’elles, mais également de valider les hypothèses qui permettent les résolutions analytiques et numériques. Dans ce travail, deux problèmes mécaniques distincts sont abordés : un cas académique de fissuration et un cas industriel de contact conforme. En partant de ces deux problèmes à analyser, le but est d’appliquer cette démarche de confrontation tout en effectuant un choix de méthode expérimentale présentant un minimum d’hypothèses afin de valider les approches analytiques et numériques.. Dans les travaux traitant de la validation expérimentale de simulations numériques 3D ou de modèles analytiques, les hypothèses sont souvent vérifiées par des approches expérimentales surfaciques (voire ponctuelles) et non volumiques. On peut alors se demander par exemple si à ce champ expérimental surfacique correspond une configuration unique de la simulation numérique 3D. De plus, tous les objets d’étude ne présentent pas forcément une surface plane de taille suffisante accessible pour réaliser des mesures surfaciques. On peut donc également se demander si ce type de confrontation partielle est suffisant, voire pertinent, pour attester de la viabilité d’un modèle numérique complet. Par conséquent, il apparaît plus pertinent de valider ces modèles à partir d’une confrontation avec des champs expérimentaux 3D, ceci permettant d’approcher au mieux du cas réel à étudier avec un minimum d’hypothèses. Le travail a été réalisé au sein de l’axe Photomechanics and Experimental Mechanics (PEM) de l’Institut Pprime de Poitiers. Cette équipe possède des compétences et un savoir faire dans le développement de méthodes de mesure sans contact : corrélation, suivi de marqueurs,. - 14 -.

(15) Introduction méthodes de moiré, interférométrie, caustiques, photoélasticimétrie, thermographie,… Parmi les méthodes permettant de réaliser des mesures volumiques, deux d’entre elles seront utilisées dans ce travail. La première est la photoélasticimétrie 3D par découpage optique développée au sein de l’équipe. Cette technique permet d’étudier les répartitions de contraintes tridimensionnelles relatives à l’état d’équilibre de la structure pour des problèmes d’élasticité sur des matériaux transparents. La seconde est la corrélation volumique qui donne accès aux grandeurs cinématiques (déplacement et déformation de la matière), permettant ainsi de déterminer l’évolution de la géométrie des pièces étudiées. Pour utiliser cette méthode, il est nécessaire d’acquérir au préalable des images volumiques de la structure interne des matériaux étudiés. Pour cela, la corrélation volumique est couplée à des techniques de tomographie qui permettent de cartographier un ou plusieurs paramètres physiques à travers tout un volume. Selon la technique tomographique utilisée, il est ainsi possible d’obtenir les images volumiques pour des matériaux aussi bien transparents que nontransparents.. Ce mémoire s’articulera autour de deux grandes parties, chacune divisée en plusieurs chapitres. Chacune des grandes parties traitera d’un des deux problèmes mécaniques évoqués précédemment. La première partie concerne l’étude d’un cas fondamental d’analyse mécanique proche d’une singularité, le cas précis de la fissuration stationnaire sollicitée en mode I sur une plaque épaisse. Le premier chapitre de cette partie situe notre problématique dans le domaine de la mécanique de la rupture. Un second chapitre présente de manière non-exhaustive les méthodes utilisées jusqu’à présent pour obtenir les champs de déplacements et contraintes lors d’études de cas de fissuration. Ce chapitre présentera donc la théorie relative à la mécanique de la rupture et ses hypothèses, ainsi qu’une brève présentation des diverses méthodes permettant d’obtenir les champs complets ou partiels dans les cas de fissuration, que ce soit en surface ou à cœur du matériau. Le troisième et dernier chapitre présente ensuite notre cas précis d’éprouvette fissurée sollicitée en mode I. Le choix des méthodes est effectué avant de présenter plus précisément la procédure retenue. Le problème mécanique est alors étudié suivant les trois approches précédemment citées afin de les confronter entre elles. Ainsi, les limitations de la théorie de la mécanique de la rupture linéaire, de l’approche numérique tridimensionnelle et de celle expérimentale sont abordées pour la résolution de ce problème mécanique de fissuration.. - 15 -.

(16) Introduction La deuxième partie concerne l’étude d’une pièce industrielle aéronautique. Cette étude a été commandée par l’industriel RATIER-FIGEAC (équipementier Airbus) afin d’établir un modèle numérique capable d’estimer la répartition des contraintes et l’usure d’un système vis à billes implanté dans la totalité de la gamme d’avions Airbus. Un premier chapitre présente la problématique liée aux observations faites par RATIER-FIGEAC, le système à étudier, ainsi que les différentes étapes d’étude établies afin de réduire petit à petit le nombre d’hypothèses émises pour valider le modèle numérique. Dans un second chapitre, la méthode de mesure est détaillée ainsi que la méthode de confrontation permettant de valider le modèle numérique par l’expérience. Le chapitre trois présente ensuite la première étape de simplification effectuée en 2D, aussi bien du point de vue expérimental que numérique afin de s’assurer de la validité du modèle éléments finis établi. Enfin, le chapitre quatre établit une confrontation similaire à celle effectuée dans le chapitre trois, mais pour un cas tridimensionnel plus proche du cas réel.. - 16 -.

(17) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration. 3DUWLH$QDO\VHSURFKHG¶XQH VLQJXODULWpFDVGHOD ILVVXUDWLRQ. « Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions également commodes, qui l’une et l’autre nous dispensent de réfléchir ». Henri Poincaré (La Science et l’Hypothèse). - 17 -.

(18) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration. - 18 -.

(19) Chapitre 1 : Problématique. . 3UREOpPDWLTXH. Toute structure mécanique présente des défauts microscopiques dus aux matériaux utilisés ou à leur procédé de fabrication. Lors d’une sollicitation mécanique, une concentration de contraintes apparait au niveau de ces défauts pouvant provoquer l’apparition d’une fissure à l’échelle macroscopique. Ces défauts macroscopiques sont préjudiciables à la stabilité de ces structures à cause des concentrations de contraintes plus importantes à leur voisinage. Ceci est d’autant plus vrai lorsque les fissures commencent à se propager et à atteindre des proportions non négligeables par rapport à l’échelle de la structure. Cependant, la présence de défauts macroscopiques peut être supportée par la structure sans pour autant lui être fatal tant qu’il n’y a pas propagation. Savoir différencier les défauts et ce qu’ils pourraient avoir comme conséquences s’est ainsi avéré nécessaire pour éviter d’avoir à remplacer des structures entières alors que celles-ci pourraient être utilisées sans risque malgré la présence de ces défauts. Afin de pouvoir évaluer ces risques, surveiller et prévoir l’évolution de ces défauts, ainsi que d’appréhender au mieux les problèmes qui leur sont liés, la discipline de mécanique de la rupture a été créée sur les bases de la mécanique des milieux continus en palliant les manques de celle-ci concernant la prise en compte de défauts.. Plusieurs facteurs environnementaux peuvent avoir une influence sur le risque de rupture, et donc sur la durée de vie des structures. La température extérieure par exemple influe sur la nature de la fissure. En effet, lorsque la température s’abaisse, les matériaux deviennent cassants, on parle alors de rupture brutale et de comportement fragile. Dans ce cas, la théorie de l’élasticité peut être appliquée malgré l’apparition d’une petite zone plastique proche de la pointe de fissure. Ce caractère fragile existe pour tout solide, mais apparaît à différentes températures selon la nature du matériau. A l’inverse, pour des températures plus élevées, une plus grande déformation plastique accompagne la rupture, la théorie de l’élasticité ne peut donc plus être utilisée dans ce cas, le comportement en fissuration est alors qualifié de ductile. Dans le cas des matériaux à comportement fragile, la propagation de fissure est généralement plus préjudiciable et difficilement contrôlable que pour un cas de rupture ductile. En rupture fragile, l’approche qualitative des cas de fissuration négligeant la zone plastique et les. - 19 -.

(20) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration éventuelles non-linéarités relève de la mécanique de la rupture linéaire. Cette discipline s’applique ainsi aux structures élastiques soumises à un chargement donné afin de prévoir les risques de rupture et le comportement des fissures macroscopiques.. Dans la discipline de la mécanique de la rupture linéaire, les études ont été menées à très grande majorité pour des plaques minces contenant une fissure préexistante qui traverse la plaque suivant son épaisseur. Un système d’effort était ensuite appliqué afin d’écarter les lèvres de la fissure, celui-ci provoquant ou non une propagation de la fissure (dans le cas où la fissure ne se propage pas, on parlera de fissuration stationnaire). Grâce aux observations réalisées, des formulations ont été établies afin de quantifier les champs de déplacement en surface de ces plaques [WEST 39] [WILI 57] [EFTI 77], à la fois pour les composantes planes de déplacement (ux, uy) et pour le déplacement hors plan (uz), ce dernier étant principalement observé proche de la pointe de la fissure où les variations de relief sont les plus importantes. Cependant, même si les premiers résultats expérimentaux ont confirmé ces formulations [IRWI 57] [THEO 72], avec les améliorations constantes dans les méthodes de mesure, celles-ci ont été petit à petit mises à mal, mettant ainsi en évidence les limitations des hypothèses émises lors de l’élaboration de ces formulations. En effet, l’épaisseur de la structure y est par exemple négligée, ainsi que l’évolution de toutes les grandeurs mécaniques suivant celle-ci. Le domaine de validité de ces formulations semble ainsi limité à des cas réels de plaques minces, mais il parait peu probable que celles-ci soient représentatives des cas réels où les effets tridimensionnels ne peuvent être négligés.. Ce caractère tridimensionnel de la fissuration a été confirmé par la suite, en particulier proche de la pointe de fissure par des méthodes optiques expérimentales, permettant ainsi d’apporter des améliorations aux formulations établies pour le déplacement hors plan [PFAF 95] [HUMB 00a] et pour les composantes planes de déplacement [HEDA 10]. Cependant, les méthodes expérimentales qui ont permis cette mise en évidence du caractère 3D de la fissuration et l’évolution des formulations étaient uniquement des méthodes de mesure surfaciques.. Afin de prendre en compte en plus l’épaisseur et l’évolution des grandeurs mécaniques suivant celle-ci, il est nécessaire d’acquérir des données au sein du volume. Grâce à cela, il. - 20 -.

(21) Chapitre 1 : Problématique sera ainsi possible de montrer les limites de certaines hypothèses pour un cas où l’épaisseur ne peut pas être négligée par rapport aux autres dimensions de la plaque. Pour cela, nous effectuerons notre étude sur un cas classique d’éprouvette SEN (Single Edge Notch Crack) en fissuration stationnaire sollicitée en mode I mais présentant une épaisseur importante en regard aux autres dimensions de l’éprouvette. L’objectif sera dans un premier temps de choisir une méthode adaptée à ce cas d’étude pour obtenir des champs cinématiques, puis d’établir les limitations des hypothèses émises pour l’approche théorique et celle numérique pour ce cas de fissuration de plaque épaisse.. Pour le chapitre suivant, une présentation de la théorie de la mécanique de la rupture est tout d’abord effectuée. Dans un second temps, nous verrons différentes méthodes (numériques et expérimentales) utilisées en mécanique de la rupture, ainsi que leur applicabilité à notre cas d’étude.. - 21 -.

(22) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration. - 22 -.

(23) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration. . &KDPSVGHGpSODFHPHQWVHW FRQWUDLQWHVHQILVVXUDWLRQ. 2.1. Approches théoriques de la mécanique de la rupture 2.1.1. Origines de la mécanique de la rupture La mécanique de la rupture est basée sur l’existence d’une discontinuité des champs de contraintes et de déformations dans un matériau. Ce phénomène à l’échelle macroscopique se traduit par la création d’une surface de discontinuité qu’on appelle fissure. Grâce à cette approche, il est alors possible théoriquement de lier les relations de la mécanique traditionnelle des milieux continus (équations d’équilibre, de compatibilité, loi de comportement du matériau,…) avec les conditions aux limites relatives à la présence géométrique d’une fissure afin d’obtenir les champs de contraintes, déformations et déplacements dans un milieu fissuré. Cependant, il est souvent difficile, voire impossible, d’obtenir les solutions analytiques permettant de créer ce lien entre relations mécaniques et conditions aux limites engendrées par la présence d’une fissure.. Dans le cas des matériaux fragiles, Inglis fut un des premiers à étudier formellement un problème de rupture au début du XXème siècle [INGL 13]. Pour ses travaux, Inglis considéra le cas d’un trou elliptique bidimensionnel inclus dans une plaque élastique soumise à une contrainte nominale ınom uniformément répartie à l’infini et perpendiculaire au grand axe. En utilisant la théorie de l’élasticité, il exprima la contrainte maximale (ıyy)max agissant au sommet du grand axe de l’ellipse dans la direction de ınom :. (ı yy )max. 1/2 § § a · ·¸ ¨ = ı nom 1 + 2¨ ¸ ¨ © R ¹ ¸¹ ©. (2-1). (ıyy)max est ainsi reliée à la contrainte nominale par la quantité (a/R), avec (a) représentant la longueur du demi grand axe de l’ellipse et (R) le rayon de courbure au point considéré. En. - 23 -.

(24) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration notant (b) la longueur du demi petit axe, (R) devient minimal à cet endroit avec pour valeur (b²/a). Si on considère que le trou est circulaire (soit R=a), la contrainte maximale (ıyy)max vaut 3ınom. En revanche, lorsque l’on se place dans le cas d’une fissure (soit RÆ0), la contrainte devient infinie, ceci signifiant qu’un milieu fissuré ne peut supporter aucune charge extérieure. Afin de lever ce problème de contrainte infinie en pointe de fissure, deux types d’approches ont été utilisées : l’approche énergétique et l’approche locale.. 2.1.2. Approche énergétique 2.1.2.1. Théorie de Griffith L’approche énergétique est basée sur un bilan d’énergie global prenant en compte une énergie de création de surface. Griffith supposa qu’une fissure ne pouvait se propager que si elle recevait une énergie suffisante nécessaire à la création d’une nouvelle surface de rupture [GRIF 20]. En se plaçant dans le cas d’un matériau fragile idéal, pour un accroissement (da) de la longueur de fissure, Griffith suppose que l’énergie totale (E) ne varie pas, ce qui se traduit par :. (2-2). dE = dWpot + dWS = 0. avec (WS) représentant l’énergie de création de surface et (Wpot) l’énergie potentielle qui vaut Wpot = W - Wext , avec (W) l’énergie de déformation du milieu et (Wext) le travail des forces extérieures appliquées. Pour un processus adiabatique, (W) correspond à l’énergie interne qui dépend alors uniquement du tenseur des déformations ( İ ). En posant une hypothèse de milieu infini, la propagation de fissure n’a pas d’influence sur les conditions aux limites, ce qui signifie que le travail des forces extérieures ne varie pas. Avec cette hypothèse, on se retrouve donc dans un cas où Wpot ≈ W . Or, d’après l’équation (2-2), la rupture n’est possible que si la variation d’énergie potentielle due à un accroissement (da) de la fissure est égale à l’énergie de création de surface.. - 24 -.

(25) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration Ainsi, en normalisant les quantités précédentes par rapport à l’unité d’épaisseur pour un milieu bidimensionnel, l’énergie (dWS) s’écrit : (2-3). dWS = 2 γda. avec (Ȗ) l’énergie de création pour une surface libre créée, ce qui implique le coefficient 2 afin de prendre en compte les deux surfaces créées lors de l’accroissement de la fissure. Le paramètre (G), appelé taux de restitution d’énergie, fut ensuite introduit et estimé à partir de l’équation (2-3) :. G=−. d Wpot = 2Ȗ da. (2-4). Tant que l’égalité est respectée, on parle de rupture contrôlée ou de croissance stable de la fissure [BUI 78]. En se basant sur les travaux d’Inglis sur les défauts elliptiques de longueur (2a), Griffith put calculer l’énergie de déformation (W) avec l’hypothèse de plaque infinie :. W=−. ʌa 2 ı 2nom E. (2-5). *. avec E * = E /(1 − υ 2 ) en déformations planes et E * = E en contraintes planes (les notions de déformations planes et contraintes planes seront développées dans la partie 2.1.3.2 de ce mémoire).. Griffith conduisit ensuite des expériences sur des barres de verres qu’il supposa porteuses de nombreuses micro-fissures assimilées à des entailles elliptiques. A partir de cela, il introduisit deux critères de rupture (ır) [MIAN 95]. Le premier d’entre eux fut un critère considérant que la rupture se produit lorsque la contrainte maximale de tension au voisinage de l’entaille est égale à la contrainte de cohésion du matériau. En utilisant les équations (2-1) et (2-2), il établit le critère de rupture suivant : § EȖρ ı r = ¨¨ © 4ab 0. · ¸¸ ¹. 1. 2. (2-6). - 25 -.

(26) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration avec (b0) la distance inter atomique et ρ = b 2 / a petit devant (a). Avec cette expression, (ır) tend vers 0 lorsque (ȡ) tend vers 0, ce qui n’est pas concevable physiquement. Face à ce problème, Griffith élabora un second critère en considérant que la rupture se produit lorsque la variation d’énergie de déformation élastique due à un accroissement de longueur (d2a) est égale à la variation d’énergie de surface due à la variation de surface (2d2a). Ainsi, à partir des équations (2-2), (2-3) et (2-4), il put établir ce nouveau critère : § 2E * Ȗ · ¸ ır = ¨ ¨ ʌa ¸ ¹ ©. 1. 2. (2-7). Ce critère de rupture a été vérifié pour des matériaux parfaitement élastiques comme le verre et a fait l’objet d’études complémentaires afin d’apporter un terme correctif permettant son utilisation dans des cas ductiles [OROW 49].. 2.1.2.2. Intégrale J de Rice En utilisant une méthode d’intégrale de contour, il est possible de déterminer une autre expression du taux de restitution d’énergie (G). Cette méthode, appelée intégrale J, a été développée par Rice [RICE 68] et permet d’estimer l’énergie dissipée dans le domaine adjacent à la fissure lorsque le chargement extérieur n’est pas seulement utilisé pour propager la fissure. En considérant un cas de plaque purement élastique d’épaisseur unitaire où les forces extérieures massiques sont négligeables, l’intégrale J a pour expression : ∂u · § J = ³ ¨ W (İ )dy − T ( n ) i ¸ds ∂x ¹ ī©. (2-8). avec (W) la densité d’énergie de déformation, ( T(n ) ) le vecteur contrainte, (ui) le vecteur déplacement, (ds) l’élément de contour et (Ƚ) le contour fermé. Rice démontra que l’intégrale J était nulle pour tout contour fermé ne contenant pas la pointe de fissure, ce qui implique que cette intégrale est indépendante du contour d’intégration. Ainsi, à partir de l’équation (2-8), on peut déduire que les termes définis par les équations suivantes sont égaux de signe opposés.. - 26 -.

(27) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration. ș ij =. ∂W ∂İ ij. T(n ). ∂u i ∂ § ∂u i · ds = ¨ ı ij ¸ ∂x ∂x j © ∂x ¹. (2-9). (2-10). L’indépendance de l’intégrale J vis-à-vis du contour en élasticité permet donc de la considérer comme un paramètre mécanique équivalent au taux de restitution d’énergie introduit par Griffith. Sur la base de l’intégrale J, une nouvelle méthode par intégrale de contour (appelée intégrale M [CHEN 77]) a été développée afin d’effectuer une séparation de différents modes de rupture lors d’une sollicitation par mode mixte. Cette intégrale M, développée pour des matériaux élastiques isotropiques, a ensuite été étendue aux matériaux viscoélatiques orthotropiques par le biais d’une méthode appelée intégrale Mș [DUBO 99] [MOUT 07]. Cependant, ces méthodes par intégrale de contour ont été développées uniquement pour des cas bidimensionnels et nécessite l’utilisation de champs cinématiques virtuels pour pouvoir définir l’état cinématique proche de la pointe de fissure.. 2.1.3. Approche locale En parallèle des travaux énergétiques menés en mécanique de la rupture, certaines études ont tenté d’obtenir directement les champs de contraintes et déplacements au voisinage de la pointe de fissure. Ces études constituent l’approche locale des phénomènes de fissuration, celle-ci étant basée sur l’utilisation des modes élémentaires de rupture.. 2.1.3.1. Modes élémentaires de rupture Une fissure est représentée par deux surfaces planes (appelées lèvres) qui se coupent selon une courbe appelée front de fissure. Dans la suite de notre étude, nous nous limiterons au cas de plaques élastiques fissurées sur un seul coté (appelé Single Edge Notch – SEN) comme nous l’avions énoncé lors du chapitre précédent. Ce type d’éprouvette est représenté en Figure 2.1. Nous considérerons également pour la suite un front de fissure rectiligne perpendiculaire aux surfaces libres de charge de notre matériau (dans le cas d’une sollicitation en mode I).. - 27 -.

(28) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration. y r. θ L. O. x. z. h W Figure 2.1 : Représentation d’une éprouvette fissurée SEN et de son système de coordonnées La base orthonormée (O,x,y,z) est centrée en pointe de fissure à mi-épaisseur avec l’axe z tangent au front de fissure. L’axe x est situé dans le prolongement de la fissure. Afin de repérer un point au sein de l’éprouvette, il est possible d’utiliser ce système de coordonnées, mais pour simplifier la mise en équation on lui préfère généralement le système de coordonnées cylindriques (r,ș,z) avec (r) représentant la distance au front de fissure et (ș) la coordonnée angulaire prise à partir de l’axe x. Enfin, le plan défini par les axes x et z sera appelé plan ligament (Plig). Trois mouvements cinématiques élémentaires (Figure 2.2) sont définis pour ce type d’éprouvette. Ceux-ci sont indépendants les uns des autres et possèdent chacun leurs formulations analytiques pour les champs de contraintes et de déplacements. Ils peuvent être superposés entre eux afin de pouvoir représenter tout problème de fissuration [IRWI 57], on parle alors de mode mixte. Le mode I est obtenu par l’application d’un chargement plan symétrique par rapport au plan de fissure, il est également appelé mode d’ouverture. Le mode II, appelé mode de glissement plan, est obtenu en appliquant des efforts opposés normaux au front de fissure. Enfin, le mode III est obtenu pour des efforts opposés tangents au front de fissure, il est appelé mode de glissement anti-plan.. - 28 -.

(29) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration. Mode I. Mode II. Mode III. Figure 2.2 : Modes élémentaires de fissuration Pour la suite de notre étude, nous n’étudierons que le mode I. La démarche scientifique qui a permis d’obtenir les formulations analytiques pour ce mode est présentée dans les paragraphes suivants.. 2.1.3.2. Elasticité plane et fonctions d’Airy Dans le cas d’une plaque infinie sollicitée en mode I (donc avec un chargement indépendant de z), le problème devient plan pour la détermination du vecteur déplacement (u) et du tenseur de contraintes ( ı ). Le problème est simplifié en se plaçant dans le cas de l’élasticité plane en suivant deux approches classiques qui proposent des hypothèses supplémentaires sur la forme de (u) et ( ı ) [HENR 82]. La première de ces approches est appelée déformations planes (DP) et impose les conditions suivantes sur le déplacement : u x = u x ( x,y ) ° ®u y = u y ( x,y ) °¯u z = 0. (2-11). La seconde est appelée approche des contraintes planes (CP) et suppose que le tenseur des contraintes ( ı ) ne dépend que de x et y : ı xz = ı yz = ı zz = 0. (2-12). - 29 -.

(30) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration Le domaine d’application de ces deux approches en mécanique de la rupture est généralement différent et dépend de caractéristiques géométriques de l’objet d’étude. Les contraintes planes sont généralement utilisées pour caractériser les grandeurs cinématiques pour des plaques de faible épaisseur (h) et pour les surfaces de plaques épaisses. A l’inverse, les déformations planes sont généralement utilisées pour caractériser les grandeurs cinématiques à mi-épaisseur pour des plaques épaisses [MIAN 95].. Afin de simplifier les équations d’équilibre, les forces volumiques sont négligées. En tenant compte de la loi de Hooke et de l’hypothèse des petites déformations, les approches (DP) et (CP) conduisent alors aux équations d’équilibre suivantes :. ∂ı xy ∂y. =0. (2-13). ȣ(ı xx + ı yy ) (DP) ı xz = ı yz = 0 et ı zz = ® (CP) ¯0. (2-14). Ces équations d’équilibre sont vérifiées par le tenseur de fonction de contraintes ( ĭ ) en posant :. (. ı = rot t rot ĭ. ). (2-15). 0 · §0 0 ¨ ¸ avec ĭ = ¨ 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 A( x, y ) ¸ © ¹. La fonction (A) permet d’exprimer les contraintes, elle est appelée fonction d’Airy :. ı xx =. ∂ 2A ∂y. 2. ı yy =. ∂ 2A ∂x. 2. ı xy =. ∂ 2A ∂x ∂y. (2-16). 2.1.3.3. Solutions analytiques des champs de contraintes et de déplacements Le développement de la fonction d’Airy fut apporté par Westergaard [WEST 39]. Celui-ci utilisa une fonction complexe (Z). pour un problème symétrique d’une plaque fissurée. chargée hydrostatiquement.. - 30 -.

(31) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration. (2-17). A = Re Z + y Im Z. avec. dZ dZ dZ =Z ; = Z' =Z ; dz dz dz. A partir des équations définies en (2-16), il est alors possible de déterminer les contraintes : ı xx = ReZ − yImZ' ° ®ı yy = ReZ + yImZ' °¯ı xy = − yReZ'. (2-18). Afin de trouver la fonction (Z) qui permette de vérifier également les conditions aux limites du problème considéré, Westergaard se plaça dans le cas d’une plaque infinie sous chargement biaxial de même amplitude (ı) dans les deux directions pour une longueur de fissure 2a (voir Figure 2.3). Dans cette configuration, Westergaard proposa la fonction solution suivante :. Z=. ıw w² − a². (2-19). avec w = x + iy . Afin d’exprimer le champ de contraintes proche de la pointe de fissure, dans la solution (2-19), le terme (w) est remplacé par (a+u) avec u = re iș (où r et ș sont les coordonnées cylindriques telles que définies sur la Figure 2.3). La fonction solution définie par l’équation (2-19) devient alors proche de la pointe de fissure (i.e. |u|Æ 0) :. Z u →0 =. ıa ı aπ KI = = 2au 2πu 2 πu. (2-20). Cette expression introduit le terme (KI), appelé facteur d’intensité de contraintes. Ce terme est fonction uniquement du chargement extérieur et de la demi-longueur de la fissure et sera expliqué plus en détails lors de l’étude de notre cas de fissuration.. - 31 -.

(32) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration. ı yy. y→ ∞. =ı. M. y w. r. u 0. x. ı xx. x →∞. =ı. 2a. Figure 2.3 : Plaque infinie fissurée sous chargement biaxial Avec cette nouvelle fonction solution (Z), il est alors possible d’exprimer les contraintes proches de la pointe de fissure en fonction de coordonnées polaires précédemment définies : °ı xx (r , ș ) = ° ° ®ı yy (r , ș ) = ° °ı ( r , ș ) = °¯ xy. ș KI 3ș · § ș ·§ cos¨ ¸¨1 − sin sin ¸ 2 2 ¹ 2ʌr © 2 ¹© 3ș · ș KI § ș ·§ cos¨ ¸¨1 + sin sin ¸ 2 2 ¹ 2ʌr © 2 ¹© 3 KI ș ș ș § · § · § · sin ¨ ¸ cos¨ ¸ cos¨ ¸ 2ʌr ©2¹ ©2¹ © 2 ¹. (2-21). De même, les déplacements dans le plan ont été exprimés par Westergaard aussi bien pour l’approche des contraintes planes que pour celle des déformations planes : KI °°u x ( r , ș ) = 2ȝ ® K °u y ( r , ș ) = I °¯ 2ȝ. r ș· § ș ·§ cos¨ ¸¨ ț − 1 + 2 sin 2 ¸ 2ʌ 2¹ © 2 ¹© r ș · § ș ·§ sin ¨ ¸¨ ț + 1 − 2 cos 2 ¸ 2ʌ 2¹ © 2 ¹©. - 32 -. (2-22).

(33) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration avec ț = (3 − ȣ ) (1 + ȣ ) dans le cas des contraintes planes, et ț = 3 − 4ȣ dans le cas des déformations planes. (ȝ) est le second coefficient de Lamé (aussi appelé module de cisaillement), (E) le module d’Young et (ȣ) le coefficient de Poisson. Notons que les champs de contraintes présentent une singularité en r-1/2 alors qu’elle est en r1/2 pour les champs de déplacement.. Cependant, ces expressions pour les champs de déplacements ont été établies pour un cas idéal de matériau élastique infini fissuré. En réalité, les plaques étudiées ont des dimensions finies avec des fissures qui ne sont pas forcément localisées au centre. La Figure 2.4 montre les éprouvettes standard généralement trouvées dans la littérature [LABB 80] [TADA 85] pour des sollicitations en mode I, à savoir les éprouvettes CN (Central Notch), DEN (Double Edge Notch) et SEN, cette dernière ayant été présentée précédemment plus précisément en Figure 2.1 dans la partie 2.1.3.1 étant donné qu’elle sera la géométrie de référence pour notre étude.. L. 2a. a. a. a. 2W. 2W. W. CN. DEN. SEN. Figure 2.4 : Eprouvettes standards de fissuration En partant de ce constat, Williams [WILI 57] proposa une solution alternative permettant d’obtenir les formulations de champs également pour des cas présentant une fissure sur un bord d’éprouvette, utilisant ainsi une hypothèse de plaque « semi-infinie ». Pour son approche, le chargement devient uniaxial et perpendiculaire au plan de fissure (comme. - 33 -.

(34) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration représenté en Figure 2.4), laissant ainsi le bord présentant la fissure libre de charge. La fonction d’Airy utilisée n’est plus sous forme complexe et s’écrit : A (r,ș ) = r Ȝ +1F(ș ). (2-23). avec (Ȝ) un scalaire et F(ș) une fonction à déterminer. En utilisant cette forme de fonction, il put obtenir sous forme de développements limités les composantes du tenseur des contraintes : °ı xx (r , ș ) = ° ° ®ı yy ( r , ș ) = ° °ı ( r , ș ) = °¯ xy. 3ș · ș KI § ș ·§ cos¨ ¸¨1 − sin sin ¸ + 0 × r n 2 2 2 ¹ 2ʌr © 2 ¹© KI 3ș · ș § ș ·§ cos¨ ¸¨1 + sin sin ¸ + 0 × r n 2 2 2 ¹ 2ʌr © 2 ¹© ș ș ș KI 3 § · § · § · sin ¨ ¸ cos¨ ¸ cos¨ ¸ + 0 × r n 2 2ʌr ©2¹ ©2¹ © 2 ¹. (2-24). Les formulations de Williams intègrent ainsi les solutions asymptotiques déterminées par Westergaard (2-21), ce qui étend leur utilisation aux cas de fissuration sous chargement uniaxial pouvant présenter une fissure sur un bord libre de charge.. De par cette intégration des formulations de Westergaard à celles de Williams, Eftis étudia un cas similaire à celui présenté en Figure 2.3 proposé par Westergaard [EFTI 72,77], mais en adoptant cette fois ci un chargement biaxial quelconque (le chargement suivant la direction x devint ı xx. x →∞. = kı ). Ainsi, une nouvelle fonction solution (Z) fut établie afin de déterminer. les nouveaux champs de contraintes et de déplacements : °ı xx ( r , ș ) = ° ° ®ı yy (r , ș ) = ° °ı (r , ș ) = °¯ xy. ș 3ș · KI § ș ·§ cos¨ ¸¨1 − sin sin ¸ − (1 − k )ı 2 2 ¹ 2ʌr © 2 ¹© ș 3ș · KI § ș ·§ cos¨ ¸¨1 + sin sin ¸ 2 2 ¹ 2ʌr © 2 ¹© ș ș ș KI 3 § · § · § · sin ¨ ¸ cos¨ ¸ cos¨ ¸ 2ʌr ©2¹ ©2¹ © 2 ¹. KI °°u x (r , ș ) = 2ȝ ® °u y ( r , ș ) = K I °¯ 2ȝ. r ș· ı § ș ·§ cos¨ ¸¨ ț − 1 + 2 sin 2 ¸ − (1 − k )r cos θ 2ʌ 2¹ E © 2 ¹© r ș · ȣı § ș ·§ (1 − k )r sin θ sin ¨ ¸¨ ț + 1 − 2 cos 2 ¸ + 2ʌ 2¹ E © 2 ¹©. - 34 -. (2-25). (2-26).

(35) Chapitre 2 : Champs de déplacements et contraintes en fissuration Ces formulations d’Eftis (2-25) correspondent à un cas particulier des développements limités proposés par Williams (2-24). La solution de Westergaard est conservée à la fois pour les champs de contraintes et ceux de déplacement lorsque k=1. Cependant, Eftis démontra que les conditions aux limites imposées pour obtenir les expressions des déplacements (2-26) n’étaient valables que pour ce cas-ci où k=1. Une nouvelle fonction solution (Z) fut alors élaborée afin de donner les relations de déplacements suivantes, applicable pour un chargement uniaxial (k=0) : KI °°u x ( r , ș ) = 2ȝ ® °u y ( r , ș ) = K I °¯ 2ȝ. r ș · (1 − k )(ț + 1) § ș ·§ cos ¨ ¸¨ ț − 1 + 2 sin 2 ¸ − r cos θ 2ʌ 2¹ 8ȝ © 2 ¹© r ș · (1 − k )(3 − ț ) § ș ·§ sin ¨ ¸¨ ț + 1 − 2 cos 2 ¸ + r sin θ 2ʌ 2¹ 8ȝ © 2 ¹©. (2-27). Ainsi, les formulations (2-27) deviennent applicables dans le cas d’une éprouvette SEN sollicitée en mode I étant donné que les formulations obtenues pour un chargement uniaxial entrent dans le cadre des développements limités de Williams.. Pour le déplacement hors plan uz de la surface du matériau, la formulation a été déterminée comme étant liée aux contraintes par la relation suivante :. u z (r , θ, z ) = −. ȣ ı xx + ı yy dz E³. (. ). (2-28). Celle-ci est soumise à l’hypothèse de plaque semi-infinie d’épaisseur (h) pour un cas de chargement uniaxial. Cette composante est variable suivant l’épaisseur et est développée comme suit afin d’obtenir ses variations en fonction de la coordonnée z à laquelle nous voulons obtenir sa valeur :. z · θ ȣ § 2 u z (r , θ, z ) = − ³ ¨¨ K I cos − ı ¸¸dz rʌ 2 E 0© ¹. =−. § θ · ȣı z cos¨ ¸ + E E 2ʌr ©2¹ 2 zK I ȣ. - 35 -. (2-29).

(36) Partie 1 : Analyse proche d’une singularité, cas de la fissuration Le repère d’étude étant centré à mi-épaisseur pour la coordonnée z, pour un problème symétrique suivant le plan médian (plan situé à la demi-épaisseur) l’expression de uz sera donc identique au signe près pour aller jusqu’à la surface libre opposée. En se plaçant dans ce cas, il est donc aisé d’obtenir les valeurs de déplacement à travers toute l’épaisseur (h) du matériau.. 2.1.4. Conclusion Suite aux travaux originaux d’Inglis, deux approches ont été développées : l’approche énergétique et l’approche locale. La première permet de mettre en place des critères de rupture ainsi que d’estimer l’énergie dissipée dans le domaine adjacent à la fissure. La seconde permet quant à elle de formuler les champs de contraintes et de déplacements proches de la pointe de fissure. Comme il a été énoncé lors du chapitre précédent, nous nous intéresserons aux champs cinématiques obtenus pour une éprouvette fissurée de type SEN sollicitée en mode I. Par conséquent, nous ne considérerons que l’approche locale pour la suite de notre étude.. A travers les paragraphes précédents, nous avons pu voir que les différentes évolutions de l’approche locale étaient soumises à plusieurs hypothèses. Celles-ci sont récapitulées dans le Tableau 2.1 pour chacune des évolutions apportées par Westergaard, Williams et Eftis. Comme pour notre cas d’étude une sollicitation en mode I a été choisie, les formulations de Westergaard qui supposent un chargement biaxial identique suivant les deux directions ne peuvent être considérées. De plus, nous avons choisi d’effectuer notre étude sur une éprouvette de type SEN qui présente une fissure sur un bord libre de charge, ce qui est pris en compte par les développements limités de Williams. Bien qu’Eftis ait basé ses travaux sur ceux de Westergaard, ses formulations lors d’un chargement uniaxial correspondent à une solution particulière des développements limités de Williams. Ainsi, pour un chargement uniaxial sur une éprouvette présentant une fissure en bord libre, les formulations d’Eftis peuvent être considérées afin d’apporter un second terme aux développements limités de Williams. Pour notre étude d’éprouvette SEN sollicitée en mode I, cette solution sera utilisée pour déterminer les champs cinématiques.. - 36 -.