DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par :Discipline ou spécialité :
Présentée et soutenue par
Président du jury : Rapporteur : Rapporteur : Directeur de thèse : Ecole doctorale : Unité de Recherche :
CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENS
vers une analyse symbolique des circuits quantiques
THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
L’Université Toulouse III – Paul SabatierNano-physique
par :
Nicolas RENAUD
le 17 novembre 2009
M. Jean-Pierre Launay Mme. Françoise Remacle M. Stephan Roche
M. Christian Joachim M. Mark Ratner M. Thierry Amand
Science de la matière Groupe NanoScience CEMES
CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENS
une analyse symbolique des circuits quantiques
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Paul Sabatierle 17 novembre 2009
JURY
Science de la matière NanoScience CEMES
CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENS
i
THESE
PRESENTEE DEVANT
L’UNIVERSITE DE TOULOUSE
Par Nicolas Renaud
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITE DE TOULOUSE
SPECIALITE NANO-PHYSIQUE
CALCULATEURS QUANTIQUES HAMILTONIENS
vers une analyse symbolique des circuits quantiques
SOUTENUE LE 17 NOVEMBRE 2009 DEVANT
Pr´esident du jury M. Jean-Pierre Launay Directeur de th`ese M. Christian Joachim
Rapporteur Mme. Fran¸coise Remacle
Rapporteur M. Stephan Roche
M. Mark Ratner M. Thierry Amand
Ecole doctorale : Science de la mati`ere
Ce travail de th`ese a ´et´e effectu´e dans le magnifique cadre du CEMES, anciennement LOE et nouvellement baptis´e Campus Gaston Dupouy. Mes premiers remerciementss vont donc au gens travaillant, ou ayant travaill´e, pour que ce campus soit aussi agr´eable qu’il l’est aujourd’hui.
Je tiens `a remercier les membres de mon jury, tout particuli`erement Jean-Pierre Lau-nay, qui a bien voulu en ˆetre le pr´esident ainsi que mes rapporteurs, Fran¸coise Remacle et Stephan Roche pour le soin qu’ils ont apport´es dans l’examination de mon travail. Je tiens ´egalement a remercier Thierry Amand pour ses corrections d´etaill´ees ainsi que Mark Ratner pour ˆetre venu de si loin malgr´e la barri`ere de la langue.
Mes plus sinc`eres remerciements vont bien entendu `a mon directeur de th`ese, Chris-tian Joachim, qui au del`a des techniques et des m´ethodes m’a communiquer son enthou-siasme (parfois) d´ebordant. Car la recherche c’est avant tout de l’envie, pour toutes ces envies partag´ees : Merci.
Parce qu’on prend toujours la suite de quelqu’un, profitant avidement de son travail : merci Ivan. Pour ses heures pass´ees `a se moquer de mes codes, mes d´efaites m´emorables au ping-pong, m’avoir convaincu que j’´etais capable de faire de l’escalade ou encore nos soir´ees Dubliners : eskerrik asko, comme on dit par chez toi l’ami.
Faire la liste exhaustive et d´etaill´ee de tout les gens avec lesquels j’ai appr´eci´e passer ces trois ans serait vraiment trop long. Alors au hasard et dans le d´esordre : Oliv’ et ses bandelettes protectrices, Ben’j et son anglais no regels, Florient et ses 4mm de graisse, Florent et la seule machine au monde `a faire ca, Jacques et ses avions qui d´ecollent `a l’heure, Couette et sa couette, Cook et son nez, Mohamed et les myst`eres de la chimie, Dodo et sa nappe, la famille Garcelot, Pepette et sa chemise mauve, Nelson et sa Nelso-nette, Houria ca pique dans la bouche, Gringo et sa dent, La petite et la mouette, Gonz et les Gondol´e, la mafia espagnole, Chris et Marion parce qu’on est jamais assez impair, Eeva pour tout transformer en or ...
Bien entendu, je ne peut pas finir ces remerciements sans parler de la famille. Alors pour le support apport´e pendant ces trois ans, mais aussi pendant les 24 avant : Les Tilleuls et `a la Pacouline, merci ! !
Table des mati`
eres
1 La M´ecanisation du Calcul 1
A - L’´electronique mol´eculaire . . . 3
B - Traitement quantique de l’information . . . 5
1 · Le calcul quantique . . . 5
2 · Le calcul quantique Hamiltonien . . . 6
C - Organisation de ce travail de th`ese . . . 7
2 Contrˆole de la trajectoire 13 A - Trajectoire des syst`eme quantiques . . . 13
1 · D´efinition de la trajectoire dans l’espace des ´etats . . . 13
2 · Trajectoires des poly`enes cycliques . . . 16
3 · Contrˆole de la trajectoire . . . 19
B - Contrˆole de la distance D(t) . . . . 20
1 · Calcul de D(t) . . . . 20
2 · Conditions de r´esonances de D(t) . . . . 21
3 · Contrˆole des r´esonances . . . 23
4 · Conditions d’interf´erence et d’anti-r´esonance de D(t) . . . . 27
5 · Cons´equences . . . 30
C - Contrˆole de la fr´equence Ω . . . 32
1 · Calcul de Ω par filtrage de Fourier . . . 32
2 · Calcul de Ω par filtrage de Green . . . 36
3 · Comparaison des filtrages de Green et de Fourier . . . 39
4 · Interf´erences et r´esonances fr´equentielles . . . 40
D - Conclusion . . . 45
3 Perturbation des trajectoires 51 A - Perturbations internes du Hamiltonien . . . 51
1 · Perturbation sur le contrˆole de D(t) . . . . 52
2 · Perturbation sur le contrˆole de Ω . . . 55
3 · Comparaison . . . 56
B - Perturbations dues `a l’environnement . . . 57 iii
1 · Mod`ele de Fano . . . 57
2 · Trajectoires . . . 58
C - Fid´elit´e des trajectoires . . . 60
D - Conclusion . . . 62
4 Portes logiques contrˆol´ees en distance 65 A - Introduction . . . 65
B - Conditions de r´esonances . . . 66
1 · Syst`eme `a deux ´etats : oscillations de Rabi . . . 66
2 · Syst`eme `a trois ´etats : ´equations diophantiennes . . . 69
C - M´ethode des groupes cycliques . . . 71
1 · Groupe cyclique et trajectoire p´eriodique . . . 72
2 · Implantation de Portes logiques . . . 74
3 · Conclusion . . . 81
D - Perturbation des syst`emes optimis´es . . . 82
1 · Perturbation interne du Hamiltonien . . . 82
2 · Interaction avec l’environnement . . . 84
E - Conclusion . . . 85
5 Portes logiques contrˆol´ees en fr´equence 89 A - M´ethode des Heff inverse . . . 90
B - Interf´erences dynamiques . . . 95
1 · Pr´esentation de la m´ethode . . . 95
2 · Tables de Karnaugh pond´er´ees . . . 97
3 · Implantation des fonctions Bool´eennes de deux variables . . 98
4 · Conclusion . . . 100
C - R´esonances fr´equentielles . . . 101
1 · Pr´esentation de la m´ethode . . . 102
2 · Implantation des fonctions Bool´eennes de deux variables . . 105
3 · Conclusion . . . 111
D - Stabilit´e . . . 116
E - Conclusion . . . 118
6 Processus de mesure 121 A - Introduction . . . 121
B - Mesure de Ω par courant tunnel . . . 123
1 · Relation entre Ω et Pa→b dans un cas simple . . . 123
2 · Relation entre Ω et Pa→b dans le cas g´en´eral . . . 130
3 · G´en´eralisation `a N ´electrodes . . . . 134
4 · Application aux portes logiques . . . 135
TABLE DES MATI `ERES v
7 R´ealisation de QHC 143
A - Mol´ecules Aromatiques . . . 144
1 · Rotation d’un groupe chimique . . . 144
2 · Manipulation STM d’atomes de surfaces . . . 156
3 · Application d’un champ ´electrique . . . 160
B - Structuration de syst`emes p´eriodiques . . . 165
1 · Structuration d’un mono-feuillet de graph`ene . . . 165
2 · Modification d’une surface de Si(001)-(2×1)-H . . . . 168
C - Conclusion . . . 170
8 Mont´ee en complexit´e 177 A - Interf´erom`etres Quantiques G´en´eralis´es . . . 178
1 · Pr´esentation du syst`eme . . . 178
2 · Application . . . 179
3 · Fonction Bool´eenne usuelles de N variables . . . . 181
4 · Fonction `a plusieurs sorties . . . 183
B - Circuits Spectraux Quantiques . . . 184
1 · Pr´esentation du syst`eme . . . 184
2 · Fonctions usuelles de M variables . . . . 187
3 · R´ealisation d’un demi-additioneur . . . 189
4 · R´ealisation d’un additionneur-complet . . . 191
5 · R´ealisation d’un additionneur 2 bits . . . 194
C - Performances des architectures . . . 199
1 · Duplications des donn´ees d’entr´ee . . . 199
2 · Parall´elisation du calcul . . . 200
3 · Amplitude du signal de sortie . . . 201
4 · Dimensions du syst`eme . . . 201
D - Conclusion . . . 202
Conclusion 207 Perspectives 211 Representation des trajectoires 217 A - Repr´esentation de Bloch . . . 217
1 · Syst`emes `a deux ´etats . . . 217
2 · Syst`emes `a N ´etats et sph`ere de Bloch r´eduite . . . . 222
Calcul des Esp´erances de D(t) et Ω 229 C - Esp´erance de D(t) . . . . 229
D - Esp´erance de Ω . . . 231
Interf´erom`etres quantiques g´en´eralis´es 233
Expression Bool´eenne de la partie imaginaire de Ω(E) 239
Calcul du T (E) 243
Chapitre 1
La M´
ecanisation du Calcul
En ´etablissant un lien entre l’alg`ebre de Boole [1] et les r`egles de connexion des circuits ´electriques, Claude Shannon fut le premier `a dessiner des circuits ´elec-triques capables d’effectuer n’importe quelle op´eration arithm´etique [2]. Il donna ainsi le sch´ema de ce qui deviendra une des briques de base de l’´electronique moderne : l’additionneur binaire. Ce circuit permet de calculer la somme, S =
{sk+1, sk, sk−1, . . . , s1, s0}, de deux nombres binaires A = {ak, ak−1, . . . , a1, a0} et
B = {bk, bk−1, . . . , b1, b0}. L’addition de a0 et b0 donne la somme s0 et la retenue
c1 qui doit ˆetre ajout´e `a a1 et b1 et ainsi de suite. Le circuit est alors construit directement `a partir des expressions symboliques des si et ci (voir figure 1.1) [2].
Les r´epercussions de cette r´evolution sont encore visibles aujourd’hui puisque ce circuit est, `a quelques am´eliorations pr`es [3], omnipr´esent dans l’´electronique mo-derne.
En 1947, une deuxi`eme r´evolution propulsa l’architecture de Shannon au pre-mier plan de l’industrie mondiale : le transistor. Les extraordinaires propri´et´es de ce composant [4, 5] lui permirent de rempla¸cer rapidement les interrupteurs et les diodes utilis´es jusqu’alors pour la r´ealisation des circuits logiques. La miniaturisa-tion de ces dispositifs, encore d’actualit´e [6], a lanc´e une course `a l’augmentaminiaturisa-tion des ressources de calculs implant´ees sur une surface donn´ee, illustr´ee par la d´esor-mais c´el`ebre loi de Moore [7]. Pourtant, l’utilisation de cette approche pose des probl`emes importants pour le futur d´eveloppement de l’´electronique.
a) b)
Fig. 1.1 – Circuit original imagin´e par C.E. Shannon pour l’addition de deux nombres. Le circuit de gauche permet d’effectuer la somme : a0+ b0, donnant le
bit de poids faible de S, s0 = a0 ⊕ b0 et la retenue c1 = a0 · b0. Le circuit de
droite permet de d’effectuer la somme aj + bj + cj donnant le j-i`eme bit de S, sj = aj ⊕ bj ⊕ cj et la (j+1)-i`eme retenue cj+1 = aj · bj · cj [2].
Le premier probl`eme provient de la constante miniaturisation des transistors. Est-il possible de r´eduire ce composant `a la taille d’une seule mol´ecule ou d’un seul atome ? Si la r´eponse `a cette question s’av`ere positive, comment alors continuer d’augmenter la densit´e d’int´egration ?
Un deuxi`eme probl`eme provient de la miniaturisation du circuit. En effet, pour que les lois de Kirchoff restent valides, deux composants doivent ˆetre s´epar´es par une distance minimale d’une dizaine de nanom`etres [8, 9] afin que la phase de l’´electron soit perdue [10]. Cette s´eparation spatiale minimale limite de fait la mi-niaturisation du circuit dans son ensemble.
Enfin, un dernier probl`eme porte sur le traitement des informations. Chaque donn´ee est g´en´eralement dupliqu´ee `a diff´erents endroits du circuit (il y a par exemple deux a0 et deux b0 dans le circuit 1.1a). Devant commander plusieurs transistors, chaque donn´ee doit ˆetre port´ee `a diff´erents endroits ce qui engendre
A -. L’ ´ELECTRONIQUE MOL ´ECULAIRE 3
un probl`eme d’encombrement sur le circuit. De plus, chaque calcul est effectu´e par ´etape, en propageant des informations d’une ´etape `a une autre. Sur le circuit 1.1, les retenues cj se propagent, ce qui implique que le calcul de sj ne peut se faire
que si sj−1 et cj ont d´ej`a ´et´e calcul´es. Bien que cette propagation de la retenue
ait aujourd’hui ´et´e contourn´ee grˆace `a une architecture l´eg`erement diff´erente [3], la propagation des donn´ees et leur duplication en diff´erents endroits du circuit restent deux contraintes fortes de l’approche de Shannon.
A -
L’´
electronique mol´
eculaire
Afin de r´epondre au probl`eme de la miniaturisation des composants, A. Aviram et M. Ratner proposent en 1974, d’utiliser une mol´ecule unique connect´ee `a deux ´electrodes m´etalliques comme une diode [11, 12, 13]. Ils proposent donc d’utiliser le caract`ere quantique du transfert ´electronique intramol´eculaire, pour r´ealiser un dispositif de l’´electronique classique. Ce premier composant mol´eculaire n’est mal-gr`e tout pas modifiable de l’ext´erieur et ne pr´esente qu’une seule fonction : laisser passer le courant dans un sens et le bloquer dans l’autre.
Les premiers composants pouvant changer d’´etat sous une action ext´erieure sont imagin´es en 1982 par Aviram [14, 15]. Bien d’autres auteurs, avec parmi eux F.L. Carter [16], et C. Joachim [17], ont propos´e d’autres commutateurs bas´es par exemple sur la modulation de la transparence d’une jonction tunnel en changeant la conformation d’une mol´ecule y r´esidant. Tous ces dispositifs pr´esentent deux conformations stables, couplant ou d´ecouplant les deux extr´emit´es de la mol´ecule, assurant ainsi la fonction d’interrupteur.
En 1988 Aviram ´etend le concept d’´electronique mol´eculaire aux portes logiques et aux m´emoires [18]. Utilisant les lois de Shannon et les interrupteurs mol´eculaires, il propose les premiers circuits mol´eculaires r´ealisant des fonctions logiques simples [19]. Avec la r´ealisation de transistors grˆace `a une seule mol´ecule de C60 [20] ou un seul nanotube de carbone [21], cette approche a rapidement propos´e de nom-breux dispositifs [22, 23]. N´eanmoins, tout comme dans les circuits classiques, les
nano-fils m´etalliques reliant ces composants mol´eculaires doivent ˆetre suffisamment longs pour que le circuit fonctionne correctement.
Pour r´esoudre le probl`eme de la miniaturisation du circuit dans son ensemble, F.L. Carter a propos´e, d`es 1984, d’incorporer tout les fils et les parties actives d’un circuit `a l’int´erieur d’une seule mol´ecule [16], la consid´erant alors comme une petite unit´e de calcul autonome. Cette approche a permis l’implantation de fonctions logiques dans une seule mol´ecule [24, 25, 26] allant mˆeme jusqu’`a la r´ealisation d’un additionneur binaire [27]. N´eanmoins elle se heurte `a la nature lin´eaire de la superposition des courants `a travers une mol´ecule. Les dispositifs issus de cette approche contiennent donc le plus souvent des ´el´ements non lin´eaires, ce qui rend leur synth`ese d’autant plus difficile [26]. De plus, se limitant `a l’architecture de Shannon, ces circuits ne proposent pas un traitement des informations diff´erent des circuits classiques.
Fig. 1.2 – Porte logique mono mol´eculaire r´ealisant une fonc-tion OR. Les entr´ees logiques sont encod´ees dans les tensions appliqu´ees en B et C alors que la sortie est lue grˆace `a l’inten-sit´e du courant mesur´e en A [24].
B -. TRAITEMENT QUANTIQUE DE L’INFORMATION 5
B -
Traitement quantique de l’information
De nombreuses pistes ont ´et´e explor´ees pour proposer un traitement des infor-mations diff´erent de celui propos´e par l’approche de Shannon [5]. Il a par exemple ´et´e propos´e de faire de la logique tout-optique [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37], ou `a base de micro-onde [38, 39, 40, 41]. Les propositions les plus novatrices sont certainement celle bas´ees sur l’utilisation des propri´et´es quantiques du traitement de l’information.
1 ·
Le calcul quantique
Les bases du calcul quantique ont ´et´e ´etablies au milieu des ann´ees 80 par R. Feynman et D. Deutsch [42, 43, 44, 45]. S’appuyant sur le principe de superposi-tion de la m´ecanique quantique, cette approche propose de trouver une solusuperposi-tion au probl`eme de la duplication des donn´ees et de parall´eliser les op´erations. Ainsi, les bits de donn´ees sont encod´es dans le vecteur d’onde initial du syst`eme, |Ψi. Ces bits ne prennent plus exclusivement les valeurs 0 ou 1, mais peuvent prendre des valeurs superpos´ees, `a la fois 0 et 1 : |Ψi = c0|0i + c1|1i avec pour seule condition :
|c0|2+ |c1|2 = 1. Une op´eration men´ee sur ce bit d’information donne la superposi-tion des r´esultats obtenus si ce bit ´etait ´egal `a 0 ou `a 1. Cet algorithme permet de r´ealiser la mˆeme op´eration, qui doit n´eanmoins ˆetre r´eversible [46, 47], mais cal-cul´ee pour diff´erentes valeurs des donn´ees d’entr´ee. Bien d’autres algorithmes ont ensuite ´et´e propos´es pour tirer profit des ressources de calcul qu’offre un syst`eme quantique [48, 49], et de nombreux ouvrages reprennent en d´etail les principes et les avanc´ees du calcul quantique [50].
Bien que tr`es prometteur, le calcul quantique a attir´e quelques critiques de la communaut´e scientifique [51]. Une des premi`eres porte sur l’absence totale de r´esistance au bruit de ces circuits [4, 52]. En effet, `a cause de l’utilisation de la superposition des ´etats, un bit d’entr´ee proche de “1”, dont la fonction d’onde est : |Ψi = lim²→0
¡
²|0i +√1 − ²2|1i¢, peut tout aussi bien ˆetre une superposition particuli`ere d’´etats ou un “1” erron´e [4]. Cette approche n´ecessite par cons´equent un contrˆole important du bruit auquel le syst`eme est soumis [53].
2 ·
Le calcul quantique Hamiltonien
Une approche plus r´ecente propose ´egalement un traitement quantique de l’in-formation. Cette approche, baptis´ee Calcul Quantique Hamiltonien, abr´eg´ee QHC, propose de contrˆoler la trajectoire, ρ(t), d’un syst`eme quantique `a travers son es-pace de Hilbert afin de construire des dispositifs ´electroniques r´ealisant des fonc-tions Bool´eennes [54, 55, 56]. Les donn´ees d’entr´ee, α, sont encod´ees dans des param`etres bien identif´es du Hamiltonien, H(α), du syst`eme. Un changement de la valeur de ces param`etres d´eforme ρ(t) et cette d´eformation est utilis´ee pour encoder les donn´ees de sortie. Diff´erentes caract´eristiques de ρ(t) peuvent ˆetre uti-lis´ees pour encoder ces donn´ees : la distance D(τm) entre ρ(t) et un ´etat cible `a un
temps donn´e ou encore la fr´equence d’´evolution dominante, not´ee Ω, de ρ(t) dans la direction de cet ´etat cible.
Les travaux de J. Fiurasek et I. Duchemin ont d´ej`a d´emontr´e les innovations que cette approche apporte dans le traitement des informations [57, 58]. Ces circuits quantiques peuvent calculer plusieurs op´erations en parall`ele en ne n´ecessitant pas de duplication des donn´ees d’entr´ee. Aucune r`egle d’architecture n’´etant connue avant notre travail, la construction de ces circuits est jusqu’a pr´esent assur´ee par un long processus d’optimisation num´erique.
Fig. 1.3 – Demi-additioneur r´ealis´e en suivant l’approche QHC. Les don-n´ees d’entr´ees sont encod´ees dans les angles Θ1 et Θ2 et les deux sorties
dans les probabilit´es |hφAN D|Ψ(t)i|2 et |hφXOR|Ψ(t)i|2. L’´evolution du syst`eme
est d´eclench´ee par sa pr´eparation dans un ´etat non stationnaire |φINi et est
contrˆol´ee par les angles Θi. Des millions
de mol´ecules ont du ˆetre test´ees afin de converger vers celle-ci [57].
C -. ORGANISATION DE CE TRAVAIL DE TH `ESE 7
C -
Organisation de ce travail de th`
ese
Pour assurer le d´eveloppement du calcul quantique Hamiltonien, il est primor-dial de trouver les r`egles sous-jacentes qui gouvernent cette architecture quantique. L’´etude des propri´et´es de ρ(t) va nous permettre de formuler les expressions sym-boliques respect´ees par ces circuits quantiques et ainsi de formuler ces r`egles.
Pour cela, nous mettrons en avant lors du chapitre 2 les conditions que doit respecter le syst`eme pour que D(t) et Ω s’annulent ou au contraire soient maxi-males. L’impact des perturbations, qu’elles soient engendr´ees par une source de bruit ou par la pr´esence de continuum, sera abord´e au chapitre 3. La fid´elit´e des trajectoires vis-`a-vis d’une trajectoire id´eale y sera ´egalement d´efinie.
Les chapitres 4 et 5 seront consacr´es `a la r´ealisation de portes logiques dans des syst`emes quantiques. Le chapitre 4 traitera du contrˆole de D(t) alors que le 5 abordera celui de Ω. Lors de ces deux chapitres nous proposerons des m´ethodes de construction des syst`emes quantiques bas´ees sur les expressions symboliques des fonctions qu’ils r´ealisent.
Les moyens de mesure possibles des sorties de ces fonctions logiques seront abord´es au chapitre 6. Nous mettrons l’accent sur le lien existant entre Ω et le co-efficient de transmission ´electronique au travers du syst`eme. Une fois ce lien ´etabli, le r´esultat des portes logiques contrˆol´ees en fr´equence pourra ˆetre simplement me-sur´e grˆace au courant tunnel parcourant les syst`emes les r´ealisant. En appliquant les m´ethodes de construction du chapitre 5 `a des syst`emes mol´eculaires simples, nous pr´esenterons au chapitre 7 des sch´emas d’implantation r´ealistes dont une, r´ealisant une fonction NOR, est en cours d’´etude exp´erimentale.
Enfin, lors du chapitre 8, nous g´en´eraliserons les solutions d’implantations pr´e-sent´ees au chapitre 5 `a des fonctions logiques complexes. Nous m`enerons ´egalement l’´etude comparative des performances de l’approche QHC permettant de mettre en avant ses points forts, tel que la parall´elisation de diff´erentes op´erations logiques, et ses faiblesses, comme la faible restoration des donn´ees d’entr´ee.
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[58] I. Duchemin, Th`ese de l’universit´ee Paul Sabatier, 2006
Chapitre 2
Contrˆ
ole de la trajectoire des
syst`
emes quantiques
A -
Trajectoire des syst`
emes quantiques dans leur
espace des ´
etats
1 ·
D´
efinition de la trajectoire dans l’espace des ´
etats
L’´evolution au cours du temps de l’op´erateur densit´e, ρ(t) = |Ψ(t)ihΨ(t)|, asso-ci´e `a un syst`eme quantique, repr´esent´e par le Hamiltonien H suppos´e ind´ependant du temps, est r´egie par l’´equation [1, 2, 3] :d
dtρ(t) =
1
i~[H, ρ(t)] (2.1)
L’op´erateur ρ(t) d´ecrit l’´evolution au cours du temps des populations et des co-h´erences des ´etats et contient toutes les informations de la trajectoire du syst`eme dans son espace des ´etats, E . L’op´erateur H se d´ecompose sur une base discr`ete d’´etats, {|φ1i, |φ2i, . . . , |φNi}, appel´ee base locale, comme :
H = |φ1i |φ2i |φNi h11 h12 . . . . h†12 h22 . . . . ... ... . .. ... ... . .. hN −1,N h†N −1,N hN N (2.2)
o`u chaque ´etats |φii peut par exemple repr´esenter une orbitale atomique du syst`eme
[4, 5, 6]. Puisque H est ind´ependant du temps, la r´esolution de (2.1) est imm´ediate et donne :
ρ(t) = U(t) |ψaihψa| U†(t) (2.3)
o`u |ψai = |Ψ(t = 0)i est l’´etat initial de l’´evolution et U(t) l’op´erateur d’´evolution
temporel, d´efinit comme [2] :
U(t) = e−iHt/~ (2.4)
Le calcul de ρ(t) peut donc s’effectuer en calculant |Ψ(t)i et en formant ensuite la matrice |Ψ(t)ihΨ(t)|. Au cours de cette ´evolution, la probabilit´e de pr´esence d’un ´etat donn´e, ρb = |ψbihψb|, est donn´ee par [2] :
Pab(t) = Tr[ρ(t)ρb] (2.5)
a) Calcul de |Ψ(t)i
Le calcul de |Ψ(t)i peut se faire directement `a partir de l’op´erateur d’´evolution temporel. La diagonalisation du Hamiltonien H donne les valeurs propres de cet op´erateur : {λ1, λ2, . . . , λN} et ses vecteurs propres : {|Ψ1i, |Ψ2i, . . . , |ΨNi}. Le
Hamiltonien s’´ecrit alors : H = U† S U o`u U est la matrice de changement
de base, form´ee par les vecteurs propres {. . . , |Ψii, . . .} et S est la repr´esentation
A -. TRAJECTOIRE DES SYST `EME QUANTIQUES 15
propres et des vecteurs propres de H en appliquant le th´eor`eme spectral `a (2.4) [7, 8] :
|Ψ(t)i = U†e−iSt/~U|Ψ
ai (2.6)
Pour les cas o`u les expressions de U et S sont connues, cette m´ethode m`ene `a l’expression analytique de |Ψ(t)i. Cette expression peut ´egalement ˆetre obtenue par la transform´ee de Laplace de l’´equation de Schr¨odinger r´egissant son ´evolution temporelle [9] : i~d|Ψ(t)i dt = H|Ψ(t)i ←→ ³ pI + i ~H ´ | ˜Ψ(p)i = |Ψ(0)i (2.7) o`u p est la variable conjugu´ee de t. La composante de | ˜Ψ(p)i sur un des ´etats de la base locale, |φni, est alors donn´ee par :
hφn| ˜Ψ(p)i = 1 det ³ pI + i ~H ´An(p) = An(p) ΠN j=1(p − pj) (2.8) o`u An(p) est le d´eterminant de la matrice form´ee `a partir de
¡
pI + i
~H ¢
o`u la ni`eme colonne a ´et´e remplac´ee par |Ψ(0)i. Le calcul du coefficient hφn|Ψ(t)i, qui
s’appuie sur les pˆoles de (2.8), est alors simplement donn´e par la transform´ee de Laplace inverse de (2.8), et n´ecessite l’expression analytique des z´eros, not´es
pi, du polynˆome det
¡
pI + i
~H ¢
. Cette m´ethode de calcul s’av`ere particuli`erement int´eressante si la complexit´e de l’expression des vecteurs propres de H rend le calcul direct de |Ψ(t)i par le propagateur temporel difficile. N´eanmoins le calcul analytique des pˆoles de (2.8) ´etant ´equivalent au calcul des valeurs propres du Hamiltonien, cette m´ethode ne peut en aucun cas amener une solution qui est inaccessible par la m´ethode du propagateur temporel [9].
b) Repr´esentation de la trajectoire
La trajectoire ρ(t) d’un syst`eme contenant N ´etats quantiques est d´efinie par
N2 coefficients complexes, tous ´etant une superposition de N (N −1)
2 sinuso¨ıdes. La repr´esentation de ρ(t) n´ecessite par cons´equent une m´ethode adapt´ee. Pour les sys-t`emes quantiques contenant deux ´etats, une repr´esentation bien connue est celle
de Bloch, qui construit `a partir des ´el´ements de ρ(t) une courbe ´evoluant `a la surface d’une sph`ere, appel´ee alors sph`ere de Bloch [10, 13]. Cette m´ethode peut ˆetre adapt´ee aux syst`emes contenant N ´etats quantiques, en ne consid´erant seule-ment qu’une restriction de ρ(t), not´ee ρ|φii,|φji(t), sur un sous-espace de dimension
deux sous-tendu par les deux ´etats |φii et |φji. Cette trajectoire restreinte peut
alors ˆetre repr´esent´ee dans une sph`ere, appel´ee sph`ere de Bloch r´eduite (cf Annexe A). La trace de ρ|φii,|φji(t) n’´etant a priori pas ´egale `a 1, cette trajectoire peut
p´en´etrer l’int´erieur de la sph`ere mˆeme si le syst`eme n’est pas en interaction avec un continuum. D’autres m´ethodes de repr´esentation sont bien entendu possibles. Celle de Majorana [11, 12], utilisant la projection st´er´eographique inverse sur une sph`ere des racines d’un polynˆome, construit `a partir de |Ψ(t)i, est sans doute la plus commune (cf Annexe A). N´eanmoins de par sa simplicit´e, la repr´esentation de Bloch reste la plus facilement compr´ehensible et sera utilis´ee dans la suite pour repr´esenter les trajectoires des syst`emes quantiques ´etudi´es.
2 ·
Trajectoires des poly`
enes cycliques
Pour illustrer le concept de trajectoire, calculons la trajectoire quantique d’un ´electron, dans le r´eseau π d’un poly`ene cyclique, dans l’approximation de H¨uckel simple [6, 14, 16]. Les expressions analytiques des valeurs propres et des vecteurs propres de ces syst`emes nous permettent de calculer |Ψ(t)i directement grˆace `a l’op´erateur d’´evolution. Le Hamiltonien du r´eseau π d’un poly`ene cyclique est donn´e sur sa base locale par :
H = |φ1i |φ2i |φ3i . . . |φN −1i |φNi e ω 0 . . ω ω e ω . . . 0 ω e . .. . . . . . .. ... . .. . . . . . .. e ω ω . . . ω e (2.9)
A -. TRAJECTOIRE DES SYST `EME QUANTIQUES 17 |Ψli = 1 √ N N X ν=1 · cos(2π(ν − 1)l N ) + sin( 2π(ν − 1)l N ) ¸ |φνi (2.10) el= e + 2ω cos µ 2π N (N − 1 + l) ¶ (2.11)
o`u l prends les valeurs : 0, 1...., N. Supposons que l’´etat initial de l’´evolution,
|ψai, soit compl`etement localis´e sur une seule des orbitales pz du syst`eme. Puisque
tout les ´etats sont ´equivalents, nous choisissons |ψai = |φ1i. Inversant l’´equation (2.10), la d´ecomposition de cet ´etat sur la base propre du syst`eme s’´ecrit : |ψai =
1
√ N
PN
n=1|Ψni. L’´equation (2.6) donne alors :
|Ψ(t)i = 1 N N X ν=1 " N X n=1 e−ient/~ µ cos(2π(ν − 1)n N ) + sin( 2π(ν − 1)n N ) ¶# |φνi (2.12)
Il est alors possible de former la matrice densit´e du syst`eme ρ(t) = |Ψ(t)ihΨ(t)|. Appliquons l’expression (2.12) au cas du benz`ene pour lequel N = 6 [18]. Notre choix se porte sur le benz`ene puisque de part la commensurabilit´ee de ses valeurs propres [6], sa trajectoire quantique est une courbe alg´ebrique ferm´ee (cf Annexe A). Afin d’all´eger les expressions nous posons ici ~ = 1, il vient alors :
|Ψ(t)i = 1 3 ¡ cos(2ωt) + 2 cos(ωt)¢|φ1i − i 3 ¡ sin(ωt) + sin(2ωt)¢¡|φ2i + |φ6i ¢ + 1 3 ¡ cos(2ωt) − cos(ωt)¢¡|φ3i + |φ5i ¢ − i 3 ¡ sin(2ωt) − 2 sin(ωt)¢|φ4i (2.13)
Afin d’obtenir une visualisation simple de la trajectoire, une coupe de l’hypersph`ere `a la surface de laquelle ´evolue ρ(t) doit ˆetre effectu´ee. Selon le choix des deux ´etats supportant le sous-espace de restriction, la portion de trajectoire repr´esent´ee n’est bien entendu pas la mˆeme. Les coordonn´ees dans la sph`ere de Bloch r´eduite des restrictions ρ|φ1i,|φ2i(t) et ρ|φ1i,|φ4i(t) sont donn´ees par :
T12 = X (t) = 1 9 ¡
2 cos2(2ωt) + 5 cos2(ωt) + 3 cos(3ωt) + cos(ωt) − 2¢
Y (t) = −1 9 ¡
sin(4ωt) + 3 sin(3ωt) + sin(ωt) + 2 sin(2ωt)¢
Z(t) = 0 T14 = X (t) = 1 9 ¡
2 cos2(2ωt) + 8 cos2(ωt) + 4 cos(ωt) − 5¢
Y (t) = −1 9 ¡
sin(4ωt) + 4 sin(ωt) − 4 sin(2ωt)¢
Z(t) = 0
Ces n´ephro¨ıdes [17] d´efinies dans le plan (X , Y ) sont repr´esent´ees sur la figure 2.1. Le fait qu’elles ne passent jamais par le centre de la sph`ere, indique qu’une partie de la trajectoire reste toujours dans le sous-espace de restriction. L’´etude de l’ordre et du genre des courbes alg´ebriques obtenues par restriction de la trajectoire ρ(t) sur un sous-espace, reste une question int´eressante mais qui ne rentre pas dans le cadre de cette th`ese.
a) b)
Fig. 2.1 – Repr´esentation de la trajectoire d’un ´electron, initialement localis´e dans une seule orbitale du r´eseau π d’un benz`ene dans le mod`ele de H¨uckel simple. Selon le choix des ´etats sous-tendant le sous-espace de restriction, repr´esent´es ici par des sph`eres `a la surface de la sph`ere de Bloch r´eduite, diff´erentes courbes sont obtenues.
A -. TRAJECTOIRE DES SYST `EME QUANTIQUES 19
3 ·
Contrˆ
ole de la trajectoire
Supposons que nous disposions d’un param`etre variable dans le Hamiltonien du syst`eme. Un changement de ce param`etre d´eforme naturellement la trajectoire. Reprenons l’exemple du benz`ene. Supposons qu’il nous est possible de contrˆoler la valeur du couplage, α, entre l’´etat |φ2i du r´eseau π du benz`ene et un ´etat
suppl´ementaire isol´e d´energie e. Repr´esentons alors ρ|φ1i,|φ4i(t) en fonction de la
valeur de α :
α = ω
4 α = ω2 α = 2ω3 α = 3ω4 α = ω
Fig. 2.2 – Trajectoire ρ|φ1i,|φ4i d’un benz`ene initialement pr´epar´e sur l’´etat |φ1i
et dont l’´etat |φ2i interagit avec un ´etat isol´e au travers d’un couplage α. Plus la
valeur de α augmente, plus la trajectoire initiale est d´eform´ee.
La d´eformation provoqu´ee par une variation de α peut ˆetre mise `a contribution pour contrˆoler diff´erentes caract´eristiques de ρ(t). La distance, D(τp), entre ρ(τp)
et un ´etat particulier du syst`eme, ρb = |ψbihψb| appel´e ´etat cible dans toute la
suite, peut varier drastiquement en fonction des param`etres de contrˆoles. On peut par exemple forcer le syst`eme `a atteindre l’´etat cible au temps τp ou au contraire
le forcer `a appartenir l’espace compl´ementaire de ρb `a ce temps. On appelle ce
contrˆole un contrˆole en distance. Un autre contrˆole possible est celui de la fr´e-quence dominante de ρ(t) dans la direction ρb. Cette fonction, qui est donn´ee par
la projection de ρ(t) dans la direction de ρb, est une superposition de N (N −1)2
fonc-tions oscillantes, chacune ayant un poids diff´erent dans la s´erie de Fourier de cette fonction. La fr´equence dominante d’´evolution, Ω, est celle dont le poids est le plus fort. Une variation de Ω entraˆıne donc une acc´el´eration ou au contraire une d´e-c´el´eration de ρ(t) dans la direction ρb. Ce contrˆole est appel´e contrˆole en fr´equence.
Maintenant que nous avons mis en avant la d´eformation des trajectoires in-duite par une modification du Hamiltonien, et les possibilit´es de contrˆoles que cela implique, nous allons ´etudier plus en d´etails au cours des paragraphes 2-B et 2-C les solutions de contrˆoles en distance et en fr´equence propos´ees ici.
B -
Contrˆ
ole de la distance D(t)
1 ·
Calcul de D(t)
Une mesure possible de la distance [19, 20, 21, 22] , D(t), entre ρ(t) et l’´etat cible ρb, est donn´ee par la distance de Hilbert-Schmidt normalis´ee [19] :
D(ρ(t), ρb) =
1
2T r|ρ(t) − ρb| (2.14) avec |A| =√A†A. Cette distance est nulle lorsque ρ(t) atteint l’´etat cible et ´egale
1 quand ces deux ´etats sont orthogonaux. Elle d´epend du Hamiltonien, H, du syst`eme et peut donc ˆetre contrˆol´ee par un changement des param`etres hij. Dans
le cas ou ces deux ´etats sont purs cette distance s’´ecrit simplement comme :
D(t) = |1 − T r[ρ(t)ρb]| = [|1 − Pab(t)|] 1/2
(2.15) Posons que l’´etat initial, |ψai, et l’´etat cible, |ψbi, se d´ecomposent sur la base
propre du syst`eme comme :
|ψai = N X n=1 in|Ψni et |ψbi = N X n=1 cn|Ψni (2.16)
et que les coefficient cn et in soient tous r´eels. Alors la probabilit´e Pab(t) s’exprime
en fonction des diff´erences deux `a deux des valeurs propres de H : ωnm = λn−λ~ m,
comme [9] : Pab(t) = N X n=1 i2 nc2n+ 2 N −1 X n=1 N X m>n incnimcmcos(ωnmt) (2.17)
B -. CONTR ˆOLE DE LA DISTANCE D(T ) 21
2 ·
Conditions de r´
esonances de D(t)
Pour un contrˆole efficace en distance, il faut qu’`a un temps donn´e, τp, la distance
D(t) entre ρ(t) et l’´etat cible ρb puisse valoir 0, c’est `a dire que la trajectoire du
syst`eme atteigne compl`etement ρb. La trajectoire est alors appel´ee r´esonante dans
la direction ρb. Puisque D(t) d´epend uniquement de Pab(t), tout nos calculs peuvent
porter sur les propri´et´es que doit pr´esenter cette fonction presque p´eriodique pour atteindre 1. La condition de r´esonance s’´ecrit alors comme :
Pab(τp) = N X n=1 i2nc2n+ 2 N −1X n=1 N X m>n incnimcmcos(ωnmτp) = 1 (2.18)
Nous allons montrer que trois conditions sont n´ecessaires pour r´ealiser (2.18). Ces conditions peuvent se r´esumer comme :
– les coefficients du d´eveloppement de l’´etat initial et de l’´etat final sur la base propre du syst`eme doivent respecter : |cn| = |in|,
– le Hamiltonien doit pr´esenter des valeurs propres commensurables, s’´ecrivant toutes comme λn = Zkn, avec Z r´eel et kn un entier. Il g´en`ere ainsi une
trajectoire p´eriodique dans l’espace de Hilbert du syst`eme,
– si ˜ωnm = kn− km est paire alors cnincmim > 0 et cnincmim < 0 si ˜ωnm est
impaire
Ces conditions sont loin d’ˆetre respect´ees par tout les Hamiltoniens, et seul certains Hamiltoniens tr`es sp´ecifiques peuvent g´en´erer une trajectoire p´eriodique entre deux ´etats de leur base locale. La d´emonstration de ces trois conditions est donn´ee dans notre publication [27] de mani`ere d´etaill´ee, nous les red´emontrons ici de mani`ere plus intuitives.
a) Condition sur les coefficients cn et in
Par hypoth`ese l’´etat cible, |ψbi, est l’´etat qu’atteint |Ψ(t)i `a un certain temps τp :
|ψbi = e−iHτp/~|ψai = N
X
n=1
in|Ψni (2.19)
avec in = cne−iλnτp/~. Nous avons ´egalement impos´e que in soit r´eel. L’unique
|cn| = |in| (2.20)
Le d´eveloppement de l’´etat initial et de l’´etat cible sur la base propre du syst`eme est donc soumis `a une condition de sym´etrie dans cette base qui sera d´evelopp´ee `a la section B.3 de ce chapitre.
b) Commensurabilit´e des valeurs propres
Si quelque soit n, e−iλnτp/~ = ±1, alors toute les valeurs propres de H s’´ecrivent
comme :
λn = kn
π~ τp
kn ∈ Z (2.21)
le rapport de deux valeurs propres : λn/λm = kn/km est un donc nombre rationnel
et par cons´equent ces deux valeurs propres sont commensurales entre elles. De plus si e−iλnτp/~ = ±1 alors (e−iλnτp/~)2 = e−iλn2τp/~ = 1. Au temps τ = 2τ
p,
cn = in et par cons´equent |ψ(2τp)i = |ψai : l’´evolution est revenue `a son point de
d´epart, elle est par cons´equent p´eriodique [34, 35, 36]. c) Parit´e des fr´equence r´eduites
D’apr`es (2.20), les coefficients in peuvent s’´ecrire comme : in = (−1)xncn, xn
pre-nant les valeurs 0 ou 1, on peut alors ´ecrire :
Pab(t) = N X n=1 c4 n+ 2 N −1X n=1 N X m=n+1 (−1)xn+xmc2 nc2mcos(ωnmτp) (2.22)
La seule solution pour satisfaire l’´equation (2.18), est que Pab(t) =
³PN
n=1c2n
´2 . Pour cela il faut que :
N −1X n=1 N X m=n+1 (−1)xn+xmc2 nc2mcos(ωnmτp) = N −1X n=1 N X m=n+1 c2 nc2m (2.23)
B -. CONTR ˆOLE DE LA DISTANCE D(T ) 23
c’est `a dire que :
(−1)xn+xmcos(ω
nmτp) = 1 (2.24)
Par cons´equent si le cos(ωnmτp) = 1 alors xn + xm doit ˆetre pair, signifiant que
cnincmim > 0. Si au contraire cos(ωnmτp) = −1 alors xn+ xm doit ˆetre impair et
donc cnincmim < 0. La valeur du cosinus est enti`erement d´etermin´e par les valeurs
des kn pr´esent dans l’expression des valeurs propres suivant : cos(ωnmτp) = −1
si la fr´equence r´eduite ˜ωnm = kn − km est paire et cos(ωnmτp) = 1 sinon. Par
cons´equent pour que la trajectoire atteigne |ψbi il faut que cnincmim > 0 si la
fr´equence r´eduite, ˜ωnm, est paire et que cnincmim < 0 si ˜ωnm est impaire .
3 ·
Contrˆ
ole des r´
esonances d’un syst`
eme `
a trois ´
etats
Pour illustrer le contrˆole des trajectoires, ´etudions celle d’un syst`eme quantique pr´esentant trois ´etats. Le contrˆole des syst`emes `a deux ´etats, beaucoup plus simple, est bri`evement trait´e dans l’annexe A. L’expression exacte de |Ψ(t)i permet la d´etermination des valeurs des param`etres menant `a une trajectoire r´esonante entre l’´etat initial et l’´etat cible. Il est alors possible de contrˆoler la distance minimale atteinte entre ρ(t) et l’´etat cible en fonction de la variation de ces param`etres. Prenons le syst`eme `a trois ´etats le plus simple :H =
|φai |φci |φbi
à 0 α 0 !
α e α
Les deux param`etres de contrˆoles α et e, doivent permettre de d´eformer la tra-jectoire pour qu’elle atteigne compl`etement l’´etat cible ou contraire qu’elle s’en ´ecarte. L’expression de Pab(t) est n´ecessaire pour trouver les valeurs de ces
pa-ram`etres menant `a une trajectoire r´esonante. Les valeurs propres et les vecteurs propres de ce syst`eme sont donn´es par :
λ0 = 0 λ±= 12 ¡ e ±√e2+ 8α2¢ U = 1 √ 2 |Ψ+i |Ψ0i |Ψ−i cos θ 1 sin θ cos θ −1 sin θ √ 2 sin θ 0 −√2 cos θ hφa| hφb| hφc| avec cos θ = q 1 2 + |e|
2√e2+8α2. La pr´eparation initiale du syst`eme sur |φai m`ene `a la
probabilit´e de pr´esence de l’´etat |φbi [49] :
Pab(t) = 1/4
£
1 + cos4(θ) + sin4(θ) + 2 cos2(θ) sin2(θ) cos(Ω0t)
−2 sin2(θ) cos(Ω +t) − 2 cos2(θ) cos(Ω−t) ¤ (2.25) avec : Ω0 = √ e2 + 8α2, et Ω ±= e 2± Ω0 2 (2.26)
La d´efinition de U montre que la condition : |cn| = |in|, est respect´ee par ce syst`eme
quelque soit la valeur des param`etres de contrˆole. En revanche la commensurabilit´e des valeurs propres, r´egie par l’´equation :
nλ+= mλ− n, m ∈ Z (2.27)
n’est a priori pas respect´ee. En injectant dans cette ´equation les expressions des valeurs propres, on trouve la condition n´ecessaire `a une trajectoire p´eriodique :
e =√2|(n + m)|√
B -. CONTR ˆOLE DE LA DISTANCE D(T ) 25
avec bien entendu nm < 0. Les trois fr´equences d’´evolutions composants le spectre de ρ(t) peuvent alors toutes s’exprimer en fonction des param`etres n et m : Ω+,0,− = q
2
−nm{|n|, |m|, |n − m|}. Seule les fr´equences r´eduites, c’est `a dire la partie enti`ere
de ces fr´equences, sont importantes. Elles sont donn´ees par :
˜ ω+ = |n| p+= − 1 2cos 2θ (2.29) ˜ ω0 = |m| p0 = − 1 2sin 2θ (2.30) ˜ ω− = |n − m| p− = cos2θ sin2θ (2.31)
o`u les p+,0,− sont les poids de chacune des fr´equences, directement tir´es de l’´equa-tion (2.25). Ces poids correspondent bien entendu aux diff´erents produits cnincmim.
La condition reliant les parit´ees des fr´equences r´eduites aux signes de ces coeffi-cients nous indique alors que pour avoir une ´evolution r´esonante il faut que n et
m soient tous les deux impairs.
Les coordonn´ees de la trajectoire restreinte ρ|φai,|φbi sont, en posant ~ = 1 pour
´eviter de surcharger les expressions, donn´ees par :
Tab = X (t) = cos2θ cos(λ +t) + sin2θ cos(λ−t) Y (t) = cos2θ sin(λ +t) + sin2θ sin(λ−t) Z(t) = 1
2(cos4θ + sin2θ − 1) + cos2θ sin2θ cos ((λ+− λ−)t)
(2.32)
La p´eriode de ces cyclo¨ıdes sph´eriques est atteinte quand les trois termes oscillants composant la trajectoire se synchronisent. Il est facile de montrer que la valeur de cette p´eriode est :
τp =
~
|α|
p
2|nm|π (2.33)
Afin d’illustrer les trajectoires r´esonantes nous donnons quelques exemples sur la figure 2.3. Le param`etre de contrˆole est ici le rapport entre e/α qui selon sa valeur donne une trajectoire p´eriodique r´esonante ou au contraire une trajectoire pseudo-p´eriodique. Le contrˆole e/α sur la valeur maximale de Pab(t) est repr´esent´e
sur la figure 2.4. On y voit clairement apparaˆıtre des maximums qui correspondent au cas r´esonants et des minimums qui correspondent au cas p´eriodique mais non r´esonants, c’est `a dire lorsque la condition reliant les poids des fr´equences et leur parit´e n’est pas respect´ee [49].
Fig. 2.3 – Probabilit´es Pab(t) et trajectoires dans la sph`ere de Bloch r´eduites sous
tendu par |φai et |φbi. Ces quatres cas sont r´esonants.
Fig. 2.4 – Les maximums, observ´es sur la variation de l’amplitude maximale de
Pab(t) en fonction du
para-m`etre de contrˆole e/α, cor-respondent au trajectoires r´esonnantes pour les diff´e-rentes valeurs de n et m [9].
B -. CONTR ˆOLE DE LA DISTANCE D(T ) 27
4 ·
Conditions d’interf´
erence et d’anti-r´
esonance de D(t)
Maintenant que nous connaissons les conditions pour que la trajectoire atteigne compl`etement un ´etat cible, il est tout naturel d’´etudier les cas o`u cette trajectoire doit appartenir au sous-espace orthogonal `a l’´etat cible. Il faut donc pour cela que la probabilit´e de pr´esence Pab(τp) respecte :Pab(τp) = N X n=1 i2 nc2n+ 2 N −1X n=1 N X m>n incnimcmcos(ωnmτp) = 0 (2.34)
Deux situations respectent cette condition : l’interf´erence dynamique et
l’antir´e-sonance. Nous allons montrer que bien que la premi`ere constitue un ph´enom`ene
que nous n’avons pas encore rencontr´e, la deuxi`eme est similaire aux conditions de r´esonances vu dans le paragraphe pr´ec´edent.
a) Interf´erence dynamique
Une situation respecte la condition (2.34) quelque soit t. En effet si l’´etat initial et l’´etat cible appartiennent `a deux sous-espaces propres orthogonaux, c’est `a dire si :
cnin= 0 ∀ n (2.35)
alors Pab(t) reste nulle au cours du temps. Cette configuration d´efinit une relation
d’interf´erence, appel´ee dans la suite interf´erence dynamique, entre l’´etat initial et l’´etat cible. Bien que ces deux ´etats soient physiquement reli´es dans la base locale du syst`eme, la trajectoire ρ(t) ne peut atteindre l’un en ´etant partie de l’autre. Un exemple bien connu est l’interf´erom`etre quantique dont le Hamiltonien est donn´e par [25, 48] : H = |φ1i |φ2i |φ3i |φ4i . k k . k . . k k . . −k . k −k .
le montrer ´ecrivons la matrice de diagonalisation de H : U = |Ψ1i |Ψ2i |Ψ3i |Ψ4i 0 −1/√2 1/√2 0 −1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2 −1/√2 0 0 −1/√2 hφ1| hφ2| hφ3| hφ4| (2.36)
Les ´etats |φ1i et |φ4i se d´ecomposent donc respectivement sur les sous-espaces propres sous-tendu par {|Ψ2i, |Ψ3i} et {Ψ1i, |Ψ4i}, et v´erifient donc la relation (2.35). Les coordonn´ees et la repr´esentation de ρ|φ1i,|φ4i sont donn´ees sur la figure
2.5. La trajectoire oscille donc entre son ´etat de d´epart et le centre de la sph`ere restant sur l’axe qui relie ces deux ´etats. Elle reste donc orthogonale `a |φ4i tout au long de l’´evolution. T14= X (t) = cos2(kt) Y (t) = 0 Z(t) = 0 Fig. 2.5 – Tra-jectoire associ´ee `a un interf´erom`etre quantique. La trajectoire reste dans le sous-espace orthogonal `a l’´etat cible.
B -. CONTR ˆOLE DE LA DISTANCE D(T ) 29
b) Antir´esonance
Si les ´etats |ψai et |ψbi ne v´erifient pas la condition d’interf´erence dynamique,
la seule solution pour que la condition (2.34) soit respect´ee est que le temps τp soit
´egal `a la p´eriode τ de la trajectoire, celle-ci devant donc ˆetre p´eriodique. En effet la condition d’antir´esonance, Pab(τp) = 0 ´equivaut `a :
¯ ¯ ¯PNn=1cnine−iλnτp/~ ¯ ¯ ¯2 = 0, qui implique : N X n=1 cnine−iλnτp/~ = 0 (2.37)
En extrayant l’´el´ement n = m de la somme, et en d´ecomposant en partie r´eelle et partie imaginaire il vient :
−cmim = N X n=1,n6=m cnincos(ωnmτp) (2.38) 0 = N X n=1,n6=m cninsin(ωnmτp) (2.39)
Une solution de l’´equation (2.39) est alors : ωnmτp = knmπ ∀ n, m. En r´einjectant
cette condition dans (2.38) il vient :
N
X
n=1,n6=m
(−1)xnc
nin+ cmim = 0; (2.40)
xnprenant les valeurs 0 ou 1. Puisque hψb|ψai = 0, les coefficients cnet inrespectent
PN
n=1cnin= 0. Ainsi pour satisfaire (2.40) il suffit que :
cos(ωnmτp) = 1 ∀ n, m (2.41)
Cette ´equation signifie que τp est la p´eriode de la fonction Pab(t). Les trajectoires
antir´esonantes ne peuvent donc ˆetre que des trajectoires p´eriodiques revenant `a leur ´etat de d´epart, `a un facteur de phase global pr´es.
5 ·
Cons´
equences
Les conditions de r´esonances que nous venons de mettre en ´evidence imposent des contraintes fortes sur la base propre et les valeurs propres du Hamiltonien du syst`eme. L’application de ces conditions a des cons´equences sur les caract´eristiques des syst`emes quantiques pouvant pr´esenter une trajectoire r´esonante entre deux ´etat de leur base locale. La plus ´evidente, dict´ee par la condition (2.20), est que deux ´etats ne peuvent ˆetre r´esonant uniquement si’ils ont la mˆeme ´energie [9]. D’autres cons´equences sont d´evelopp´ees ici.
a) P´eriodicit´e de la trajectoire
Une trajectoire ne peut ˆetre r´esonante entre deux ´etats de la base locale uni-quement si elle est p´eriodique, les valeurs propres de H devant alors ˆetre com-mensurables entre elles. Tout comme la trajectoire d’un rayon enferm´e dans une boite r´efl´echissante [28], le caract`ere p´eriodique des trajectoires quantiques est donc soumis `a des conditions de commensurabilit´e des param`etres d´eterminants de son ´evolution.
N´eanmoins il est tr`es simple de construire un Hamiltonien g´en´erant une trajec-toire p´eriodique. En effet tous les Hamiltoniens : H = USU†, o`u les ´el´ements de
la matrice diagonale S sont commensurables, g´en`erent une telle trajectoire. Cette trajectoire n’est pas pour autant r´esonante entre deux ´etats, la matrice de chan-gement de base, U, ne v´erifiant pas forc´ement les conditions sur les coefficients cn
et in et la parit´e des fr´equences r´eduites.
Si en revanche seuls quelques ´el´ements de H sont modifiables, il devient extrˆe-mement difficile de rendre toutes les valeurs propres de H commensurables entre elles. La plupart du temps, l’expression de ces valeurs propres n’est mˆeme pas connue, et seule leur localisation sur l’axe r´eel est possible par le biais d’ovales de Cassini ou de cercles de Gerschgorin [30, 31, 32, 33]. N´eanmoins mˆeme en connaissant les expressions des valeurs propres, le syst`eme d’´equations diophan-tiennes form´e par leur quotients, est tr`es difficilement soluble [29]. Forcer ces valeurs propres `a ˆetre commensurables entre elles reste un probl`eme difficile [32].
B -. CONTR ˆOLE DE LA DISTANCE D(T ) 31
b) Relation de sym´etrie entre les ´etats r´esonants
Les ´equations reliant les coefficient cn et in au parit´es des fr´equences propres
r´eduites d´efinissent une relation de sym´etrie entre l’´etat initial et l’´etat cible. En effet la matrice, M d´efinie par : c = Mi est donn´ee par :
c1 c2 ... cN = ±1 0 . . . 0 ±1 . .. ... ... ... 0 0 ±1 i1 i2 ... iN (2.42)
o`u le signe des ´el´ements est donn´e par la parit´e des fr´equences propres r´eduites. Cette matrice est par d´efinition une matrice de sym´etrie d´efinie sur la base propre de l’op´erateur H. Les deux ´etats sont donc sym´etriques par rapport `a un plan de sym´etrie de cette base propre. Cette relation s’av`ere tr`es int´eressante pour trouver, si il existe, l’´etat r´esonant d’un ´etat donn´e. Ainsi dans le cas du benzene, qui pr´esente des valeurs propres commensurables, la matrice de sym´etrie des ´etats r´esonants dans la base propre du syst`eme est donn´ee par :
M = |Ψ1i |Ψ2i |Ψ3i |Ψ4i |Ψ5i |Ψ6i 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 (2.43)
l’´etat r´esonant, | ˜φ1i associ´e l’´etat de la base locale, |φ1i est alors donn´e par :
| ˜φ1i = UMU†|φ1i = − 1 3|φ1i +
2
3(|φ3i + |φ5i) (2.44) o`u U est la matrice de changement de base form´ee par les vecteur propres du benz`ene.
C -
Contrˆ
ole de la fr´
equence Ω
La fr´equence effective d’´evolution, Ω, entre les deux ´etats |ψai et |ψbi est la
composante dominante de la projection de ρ(t) dans la direction ρb de l’espace de
Hilbert du syst`eme [9]. C’est donc la composante de poids fort de la transform´ee de Fourier :
F(w) = Z ∞
−∞
ρbρ(t)ρb e−iwtdt (2.45)
Pour l’´etude de la fr´equence effective d’´evolution, il est tr`es utile de construire un Hamiltonien effectif qui ne prend en compte que cette composante dominante. De nombreuses techniques, bas´ees sur les transformations de Bloch [46] ou de des Cloizeaux [47], ont ´et´e propos´ees pour la formulation d’Hamiltonien effectif [24, 37, 38, 39, 40, 41, 42]. Une formulation simple de cet Hamiltonien effectif est pr´esent´ee ici et est mise en relation avec la transform´ee de Fourier de la fonction
Pab(t). La r´esolvante, ou fonction de Green, G, du Hamiltonien permet ´egalement
la formulation d’un Hamiltonien effectif [43, 44, 45]. Cette m´ethode est expos´ee ensuite et la comparaison entre les deux m´ethodes montre clairement que pour un syst`eme donn´e, ces deux Hamiltoniens effectifs sont identiques loin des singularit´es de G. La forme particuli`erement simple du Hamiltonien effectif obtenue `a partir de G, permet l’´etude de ph´enom`enes int´eressants `a travers l’analyse des propri´et´es de l’op´erateur de d´eplacement Rab(z) [43].
1 ·
Calcul de Ω par filtrage de Fourier
La relation entre Ω et Pab(t) vient naturellement en d´eveloppant le terme
ρbρ(t)ρb dans l’´equation (2.45). Il vient alors :
F(w) = ³ Z ∞ −∞ Pab(t) e−iwtdt ´ |ψbihψb| (2.46)
La fr´equence effective d’oscillation est donc le terme dominant dans la transform´ee de Fourier de la probabilit´e de pr´esence Pab(t).
C -. CONTR ˆOLE DE LA FR ´EQUENCE Ω 33
a) Crit`ere de Bloch
L’expression (2.17) de Pab(t) est la s´erie de Fourier d’une fonction presque
p´eriodique. Le terme, Pnc2
ni2n en est la valeur moyenne et nous avons vu que le
terme :
pωnm = cnincmim = hψa|Pn|ψbihψb|Pm|ψai (2.47)
o`u Pk = |ΨkihΨk|, est le poids de la fr´equence ωmn. Selon le crit`ere de Bloch, la
fr´equence dominante, Ω, est alors donn´e par la diff´erence des deux valeurs propres qui maximisent pωnm [46].
b) Oscillation Effective
L’oscillation effective, lissant la fonction Pab(t), est une oscillation de Rabi [2]
dont l’expression est :
Peff(t) = Aeffsin2(Ωt) (2.48)
o`u Ω est la fr´equence effective d’´evolution, d´etermin´ee grˆace au crit`ere de Bloch et Aeff l’amplitude des oscillations effectives. La valeur de Aeff est donn´ee par l’amplitude maximale que peut atteindre Pab(t) :
Aeff = sup ¡ Pab(t) ¢ = N X n=1 c2ni2n+ 2 N −1X n=1 N X m=n+1 |cnincmim| (2.49) c) Hamiltonien Effectif
Le Hamiltonien, qui g´en`ere l’´evolution (2.48), est un Hamiltonien effectif de dimension deux uniquement support´e par les deux ´etats |ψai et |ψbi. La fonction
Pab(t) d’un syst`eme `a deux ´etats s’´ecrit :
P(t) = 4α 2 a2+ 4α2 sin 2 Ã√ a2+ 4α2 2 t ! (2.50) o`u a est la diff´erence en ´energie de ces deux ´etats et α le couplage qui les relie. En ´egalant les expressions (2.48) et (2.50) on obtient :
a = Ω(1 − Aeff)1/2 α = A1/2eff Ω
2 (2.51)
Le Hamiltonien effectif g´en´erant les oscillations effectives entre |ψai et |ψbi et
donn´ees par (2.48) peut donc se mettre sous la forme :
Heff = |ψai |ψbi µ ¶ 0 A1/2eff Ω 2 A1/2eff Ω 2 Ω(1 − Aeff)1/2 (2.52)
Cette m´ethode de construction d’un Hamiltonien effectif, bas´ee sur l’analyse de Fourier du syst`eme, est ´equivalente `a la transformation de Bloch, et permet un lissage pr´ecis de la trajectoire, `a la seule condition qu’une des fr´equences composant le spectre de Pab(t) ait un poids plus important que les autres. Comme nous allons
le voir, les param`etres du Hamiltonien permettent d’augmenter la valeur Ω ou au contraire de la diminuer jusqu’`a l’annuler.
d) Application `a un syst`eme `a trois ´etats
Pour illustrer le filtrage de Fourier et l’influence des param`etres de contrˆole sur Ω, ´etudions le syst`eme `a trois ´etats d´ej`a rencontr´e au chapitre 2-B.4. Pour per-mettre une oscillation entre l’´etat initial et l’´etat cible lorsque α = 0, un couplage direct, µ, est introduit entre ces deux ´etats. Le Hamiltonien du syst`eme est alors :
H =
|φai |φci |φbi
à 0 α µ !
α e α µ α 0
