Réflexions sur l'enseignement des mathématiques
dans les Centres d'apprentissage
U n gros e f f o r t p é d a g o g i q u e a été f a i t depuis t r o is a n s p a r les p r o f e s s e u r s des C e n t r e s d ' a p p r e n -t i s s a g e , bien conseillés p a r leurs i n s p e c -t e u rs e-t les Ecoles N o r m a l e s d ' A p p r e n t i s s a g e . Les leçons s o n t v i v a n t e s et concrètes, comme il se doit d a n s t o u t e s les classes et tout p a r t i c u l i è r e m e n t d a n s les centres . Mais, pour les m a t h é m a t i q u e s , il semble que cet e n s e i g n e m e n t n ' a i t p a s été assez pensé, p a s plus d'ailleurs que l ' e n s e i g n e m e n t de l'histoire et de la g é o g r a p h i e conçu de f a ç o n v r a i m e n t t r o p t r a d i -tionnelle.
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Bien entendu, il est a u s s i d a n s la t r a d i t i o n d ' é g r a t i g n e r les p r o g r a m m e s officiels. On p e u t r e g r e t t e r d'y voir encore figurer l'antique règle de t r o is (1), la s u b s t i t u t i o n des lettres a u x nombres, les o p é r a t i o ns sur les expression s littérales, les c a s d ' é g a l i t é des t r i a n g l e s . M a i s ils ont u n double et g r a n d m é r i t e : d ' a b o r d celui de ne p a s p e r d r e de vue les applications utiles des m a t h é m a t i q u e s à l ' u s a g e des a p p r e n t i s , ensuite celui de laisser au p r o f e s s e u r une g r a n d e liberté d a n s l ' a g e n c e m e n t des leçons.
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Il m ' a semblé p r é c i s é m e n t que cette liberté n ' é t a i t p a s soupçonnée p a r nos p r o f e s s e u r s ou qu'elle les g ê n a i t , alors qu'ils y devaient t r o u v e r l'occasion de mille originalités.
P a r exemple, le p r o g r a m m e de g é o m é t r i e des deuxième et troisième a n n é e s a été i n t e r p r é t é comme doit l'être u n p r o g r a m m e de collège... J e veux dire qu'on y a vu l'ordre f o r t e m e n t déductif des t h é o r è m e s de la g é o m é t r i e classique. Aussi, t r o p de p r o f e s s e u r s , p o u r s u i v a n t p e u t - ê t re inconsciem-m e n t je ne sais quelle a s s i inconsciem-m i l a t i o n avec les Collèges techniques, enseignent-ils à m o n g r é une g é o m é t r i e t r o p ordonnée, et i n t e r p r è t e n t mal, t o u j o u r s à m o n gré, le désir e x p r i m é p a r les p r o g r a m m e s qui est de m o n t r e r a u x élèves c o m m e n t on établit u n e p r o p r i é t é p a r la voie du r a i s o n n e m e n t (2). P l u s i e u r s p r o f e s s e u r s , c e p e n d a n t a v e n t u r é s m a l e n c o n t r e u s
e-( 1 ) C f . R e v u e T . A . S. nu 10 d e juillet 1948 , page 4 2 .
( 2 ) Programmes officiels.
m e n t d a n s les cas d'égalités des triangles , les t r i a n g l e s semblables ou les p a r a l l é l o g r a m m e s , estim e n t q u ' u n e e n t o r se au bel o r d o n n a n c e estim e n t d ' E u -clide c o m p r o m e t le souci de c u l t u re qui doit ê t r e celui des m a î t r e s à tous les s t a d e s d e l'ensei-g n e m e n t .
L a culture, selon M. H a d a m a r d , est un « e n t r a î -n e m e -n t de l'esprit à la p r a t i q u e du j u g e m e -n t et du r a i s o n n e m e n t ». Cet e n t r a î n e m e n t p e u t être aussi bien obtenu en d é d u i s a n t de A à Z qu'en d é d u i s a n t de M à Z. D a n s le déroulement des événement s se s u c c é d a n t d a n s u n film, il y a des « t r o u s » de t e m p s qui ne b r i s e n t p a s le fil r e l i a n t e n t r e ' eux les événements . E t d a n s tous les o r d r es d'ensei-g n e m e n t il en v a ainsi : la n o t i o n de p r i m i t i v e donnée d a n s la classe de m a t h é m a t i q u e s élémen-t a i r e s s e r a compléélémen-tée eélémen-t épurée b e a u c o u p plus élémen-t a r d à la F a c u l t é ; combien d ' é t u d i a n t s ont-ils abouti à la notion de longueur de la c i r c o n f é r e n c e eu m o n t r a n t qu'elle n ' e s t p a s s e u l e m e n t obtenue à p a r t i r des polygones r é g u l i e r s i n s c r i t s et circons-crits au cercle ? On comprend bien c e p e n d a n t qu'une telle d é m o n s t r a t i o n est indispensable à la r i g u e u r du r a i s o n n e m e n t . M ê m e d a n s les classes de la Faculté, on f a i t appel à des h y p o t h è s e s -intuitives ( f r o t t e m e n t ) ou à des « p r é l i m i n a i r e s i n t u i t i f s » ( 3 ) . Ayons donc le courage, d a n s les C e n t r e s d'ap-prentissage, de briser la longue et f o r t e chaîne de la géométrie, non p a s pour en s é p a r e r tous les maillons, m a i s pour en conserver quelque 30 ou 40 chaînons plus c o u r ts bien e n t e n d u , m a i s aussi solides que la chaîne.
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J e m'explique : c h a q u e p r o f e s s e u r ou g r o u p e de p r o f e s s e u r s d e v r a i t procéder à un découpage de p r o g r a m m e en a u t a n t de leçons effective s qu'on en donne au cours de la scolarité ; il ne devrait p a s s ' a t t a c h e r à lier ces leçons s u i v a n t l'ordre habituel. Il i m p o r t e peu, p a r exemple, que des notions de t r i g o n o m é t r i e soient données en d e u x i è me a n n é e s a n s a t t e n d r e que soit étudié le t h é o r è m e de P y t h a -g o r e en troisième année, comme semble l'indiquer le p r o g r a m m e . Il est indispensable de le f a i r e en
( 3 ) Lain et Bouligand : Calcul différentiel et intégral.
effet a v a n t que les élèves utilisen t le t o u r ou qu'en m é c a n i q u e on parle de p e n t e ou de conicité. E t a u c u n e e n t o r s e n ' e s t p r a t i q u e m e n t f a i t e à la logique, car p e u t - o n m ' e x p l i q u er s'il est p l u s p u r de dire : on appelle sinu s B le r a p p o r t — ( t r o i s i è m e a n n é e ) ou bien le côté b s'obtien t en m u l t i p l i a n t a p a r u n n o m b r e appelé èin B et qu'on t r o u v e d a n s des t a b l e s ( p r e m i è r e ou deuxième a n n é e ) ?
Dire en troisième a n n é e cette chose i n f i n i m e nt C
belle, que le r a p p o r t — d'une c i r c o n f é r e n c e à son d i a m è t r e est i n d é p e n d a n t de la g r a n d e u r du d i a -m è t r e , p e u t a i s é -m e n t ê t r e dit en p r e -m i è r e a n n é e sous la f o r m e :' C = n D. Aussi bien est-il impos-sible de d é m o n t r e r c o r r e c t e m e n t à nos élèves : C^
D ~~
D a n s u n articl e p a r u d a n s la R e v u e (4), j ' a ; m o n t r é c o m m e n t, avec r i g u e u r , on p o u v a i t déduir e d'un t r a c é simple les notion s m a foi a s s e z s a v a n t e s de point e t de cercle a s y m p t o t e s . Or nos élèves c o n n a i s s e n t à leur e n t r é e a u c e n t r e ( e n t o u t cas, le p r o f e s s e u r de dessin i n t e r v i e n t dès leur e n t r é e pour les leur r a p p e l e r ) les t r a c é s de la droite, de la circonférence — des perpendiculaires — des
parallèles. Ce sont ces t r a c é s qui sont pour e u x
d'un u s a g e c o u r a n t à l'atelier. T e n t e r u n e justifi-cation pénible de ces t r a c é s si s o u v e n t e x é c u t é s et vérifiés provoqu e u n e p e r t e de t e m p s , n ' a c c r o c h e p a s l ' i n t é r ê t de l ' e n f a n t et, p a r t a n t , n ' e s t d ' a u c u n s e c o u r s pour sa f o r m a t i o n intellectuelle.
Il y a u n e a u t r e notion qui est i n t u i t i v e ; celle de la symétrie. C'est pourquoi j e n ' h é s i t e r a i s p a s à étudier les p a r a l l é l o g r a m m e s , r e c t a n g l e s , carrés, a v a n t le t r i a n g l e et à lier i m m é d i a t e m e n t l'étude des a n g l e s et celle de la circonférence.
E t je n e p a r l e que pour m é m o i r e de
l'homo-thétie, notion plus intuitive que la s i m i l i t u de depuis
qu'il y a des photos et des a g r a n d i s s e m e n t s .
Autre exemple.
II s e r a i t a b s u r d e d ' i n t r o d u i r e d a n s les C e n t r e s d ' a p p r e n t i s s a g e u n e é t u d e de l ' a l g è b r e telle qu'on la conçoit d a n s les Collèges t e c h n i q u e s ou mo-d e r n e s ou classiques ; la m a n i p u l a t i o n mo-des n o m b r e s n é g a t i f s n ' e s t p a s f a i t e pour les a p p r e n t i s ; on r é f l é c h i r a en e f f e t que le bon sens évite de si m a u -v a i s e s r e n c o n t r e s q u a n d les p r o b l è m e s sont posés c o m m e ils le s o n t d a n s la vie c o u r a n t e .
P o u r moi, « l'algèbr e » se r a m è n e r a i t à des no-tions s i m p l e s :
a) L ' a p p r e n t i se t r o u v e en présence d ' u n e f o r
-b) M a i s c e t t e f o r m u l e , qui donne V, donn e aussi R et h. Or, il n ' e s t p a s d ' u s a g e de donner en m ê m e t e m p s que (1) les f o r m u l e s 3 V 3 V (2) h — — et R2 — (3) - R2 - h
mule, p a r exemple : V = R2 h (1). Cette
f o r m u l e , il n ' e s t p a s conduit à l'établir, m a i s seu-lement à l'appliquer. Il doit donc savoir r e m p l a c e r les lettres p a r leur valeur ;
Donc, il f a u t a p p r e n d r e à l'élève à t i r e r h et R2 de (1).
c) C o m m e n t ? D ' a b o r d en r e m p l a ç a n t les l e t t r e s p a r leurs v a l e u r s n u m é r i q u e s connues, en e f f e c t u a i t t o u t e s les o p é r a t i o n s qu'il est possible d ' e f f e c t u e r . On se t r o u v e en p r é s e n c e de deux t y p e s d' « é q u a -tions » qui se résolvent, soit p a r transposition des t e r m e s , soit p a r multiplication (ou division).
d) E t u d i o n s donc ces deux t y p e s p a r u n g r a -phique t r è s é l é m e n t a i r e ( t r a n s p o s i t i o n ) , p a r u n r a i s o n n e m e n t t r è s simple ( m u l t i p l i c a t i o n ) .
Ce n ' e s t p a s d a n s cet article que je puis d a v a n t a g e préciser. Le rôle des p a r e n t h è s e s que l'on r e n c o n t r e r a i n é v i t a b l e m e n t et considérées c o m m e f o r -m a n t u n bloc, est facile à expliquer. J e s o u h a i t e en t o u t cas, pour les a p p r e n t i s , que, sur les direc-tives p r é c é d e n t e s , les p r o f e s s e u r s b â t i s s e n t une « a l g è b r e » en trois leçons e x t r ê m e m e n t f e r t i l e en applications.
Autre vœu.
Que soit b a n n i e « la s u b s t i t u t i o n des l e t t r e s a u x n o m b r e s >> ; c'est l'inverse qu'il f a u t obtenir. J e ne s a i s si on a m i s fin à la vieille querelle des pro-f e s s e u r s de p h y s i q u e : les u n s d é s i r a i e n t que le p r o b l è m e soit résolu p a r u n e f o r m u l e l i t t é r a l e sus-ceptible d'une a p p l i c a t i on n u m é r i q u e finale, les a u t r e s d é s i r a i e n t que t o u s les r é s u l t a t s p a r t i e l s soient o b t e n u s avec des données n u m é r i q u e s , préci-s é m e n t pour que l'élève ne p e r d e p a préci-s en c h e m i n le sens des réalités. Au C e n t r e d ' a p p r e n t i s s a g e , a u -cune h é s i t a t i o n n ' e s t possible : la m e s u r e c o m m a n d e ,
et a v e c elle son corollaire, la précision de
chantier (5).
On t r o u v e r a bien a i s é m e n t de n o m b r e u x e x e m -ples qui a b o u t i r o n t en définitive à m o n t r e r qu'on d e v r a i t c o u r a g e u s e m e n t , c o m m e il a été dit plus h a u t , r e n o n c e r a u x m a t h é m a t i q u e s classique s d a n s leur e n c h a î n e m e n t r i g o u r e u x à p a r t i r des notions f o n d a m e n t a l e s simples ( e n a p p a r e n c e , d'ailleurs). L a f o r m a t i o n n e s e r a i t , certes pas, c o m p r o m i se et en t o u t cas, elle se r é v é l e r a i t plus r a p i d e si on se l i m i t a i t à provoquer, et à contrôler la déduction à « l'intérieur » d'une leçon, m ê m e à p a r t i r de « t h é o r è m e s i n t u i t i f s » m a i s toujours à partir de
principes, et non de constatations, à l'occasion d'exercices ou de << t h é o r è m e s » n o u v e a u x .
C'est p a r le r e t o u r c o n s t a n t a u x p r i n c i p e s que l ' e n s e i g n e m e n t des m a t h é m a t i q u e s p e u t ê t r e à la f o i s u t i l i t a i r e et culturel. E t peu i m p o r t e que ces p r i n c i p e s soient ou non reliés à la source h a b i t u e l le
( 4 ) Cf. R e v u e T . A . S . n° 2 d e N o v e m b r e 1 9 4 7 , page 3 4 .
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des a x i o m e s des m a t h é m a t i q u e s . M ê m e les p u r i s t e s n ' o n t j a m a i s t e n t é a u p r è s de leurs élèves de r é d u i r e le n o m b r e d'axiomes au m i n i m u m , ce qui est u n t r è s difficile problème.
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U n mot encore qui n ' e s t p a s h o r s du s u j e t . Puisqu'il convient au p r i x d'un a l l é g e m e n t des m é -t h o d e s de f o r m e r -tou -t de m ê m e l ' a p p r e n -t i à la r i g u e u r de la déduction, surveillons c o n s t a m m e n t n o t r e l a n g a g e et le sien.
Ainsi, et p a s s e u l e m e n t d a n s les classes du Technique, les q u a t r e o p é r a t i o n s f o n d a m e n t a l e s t e n d e n t à devenir en algèbre, le tirer, le faire-p a s s e r , le chasser, je faire-porter... Il faire-p a r a î t aussi que des milliers d'élèves c o m p r e n n e n t ce j a r g o n : en
44 combien de fois 6... il y va 7 fois... Ï1 n'y va pas 8 fois p a r c e que 8 fois 6 est plus fort que 44 ;
(on c o m p r e n d alors pourquoi il n ' y v a pas...). Il y a encore des h a u t e u r s qui tombent..., etc...
Est-il inutile de r a p p e l e r que les conjonctions or, donc, p a r c e que, f o n t p a r t i e de la l a n g u e f r a n çaise et qu'il les f a u t utiliser de f a ç o n s y s t é m a -tique, p r é c i s é m e n t pour g u i d e r et souvent provo-quer le r a i s o n n e m e n t et la déduction ?
P u i s s e n t ces quelques réflexions f a i r e n a î t r e des expériences p é d a g o g i q u e s p e r m e t t a n t de donner d a n s les C e n t r e s d ' a p p r e n t i s s a g e u n e n s e i g n e m e n t original destiné à f o r m e r l'intelligencé à p a r t i r des r é a l i t é s que sont les aptitudes, les h a b i t u d e s de nos élèves et les besoins de l ' a p p r e n t i s s a g e .
R . ORIOL, Inspecteur principal de l'Enseignement Technique.
