ARTheque - STEF - ENS Cachan | Une technique nouvelle de la règle à calculs et ses possibilités.

(1)

Une technique nouvelle

de la Règle à calculs et ses possibilités

Il ne sem ble pas que ce m erveilleux in stru m en t de tra v a il qu’est la règle à calculs soit apprécié a u ta n t qu’il d ev rait l’ê tre ; p o u rta n t cet appareil, aussi indispensable qu’un m ètre ou qu’un pied à coulisse — et, disons-le, d’un emploi presque aussi facile que ce d ern ier — d ev rait ê tre dans beaucoup de m ains, su rto u t à une époque où la nécessité de produire exige im périeusem ent l’utilisation de m oyens e t de m éthodes su p p rim a n t les causes d’erreu ra et les p erte s de tem ps.

Le renouvellem ent fréquent de calculs de m êm e type, la réalisation de calculs de série posent des problèmes particuliers ; or, ce sont précisém ent ces problèm es que l’on renco ntre dan s la pratiq u e indus trielle ; c’est une technique spéciale dans laquelle les m éthodes de dispositton, de réa lisa tio n et de contrôle des calculs jo uent un rôle prédom inant. D ans ce genre de questions il s’a g it m oins de connaître le résu ltat de telle opération que d’exécuter u n ensemble de calculs p e rm e tta n t de suivre im m é- dtatem ent l’influence de la variation d’un facteur sur le résultat.

D ans ce dom aine, la règle est un in stru m en t rem arqu able dont la supério rité a p p a ra ît incontes tab lem en t dès que l’on sa it en fa ire un usage rationnel.

Pourquoi, dans ces conditions, n ’étudie-t-on pas la règle en vue de ces applications ? P robablem ent parce que, dans sa description fa is a n t suite d an s les tra ité s de m ath ém atiq u es aux p ro priétés des loga rithm es, conserve-t-on l’habitude de la considérer comme une applicatio n im m édiate de ces loga rith m es et p ar conséquent com me un in stru m en t pour m ultiplications, divisions, e t non comme un appareil à l’usage de la pratiq u e industrielle.

Les notices généralem ent livrées avec la règle s’a tta c h e n t su rto u t à m o n trer le m écanism e de quel ques opérations arith m étiq u es : m ultiplication, divi sion, élévation au x puissances, etc.

L ’étu d ia n t d éb u tan t qui désire s ’intéresser à la règle est donc am ené, souvent m êm e a v a n t d’avoir appris à lire correctem ent les g rad u a tio n s des échelles, à essayer ce gen re de calculs ; si l’on ajoute que la règle ne donne p as l’ordre de g r a n deur du ré su lta t et que p ar conséquent son emploi nécessite de l’expérience et de la réflexion, on conçoit facilem ent que ce d éb u tan t soit vite découragé e t que la règle ne lui semble plus qu’une curiosité m athém atiqu e san s g ra n d intérêt.

Voilà sa n s doute les raiso n s pour lesquelles la règle à calculs n ’est pas utilisée a u ta n t qu’elle de v ra it l’être et su rto u t pourquoi elle ne rem plit pas le rôle im p o rta n t qu’elle est capable de tenir.

Nous avons donc pensé qu’il n ’é ta it peut-être p as san s in térêt de l’étudier sous un angle to u t différent ; aussi, ab a n d o n n an t l’o rdre habituellem ent suivi, envisageons-nous une technique nouvelle, d ’abord p o u r . sim plifier l’étude de la règle, pour utiliser ensuite cette dernière en vue des applications dont il vien t d’être question.

P our sim plifier l’étude de la règle, nous avons été conduits à gén éraliser le mode opératoire, c’est- à-dire à ratio n aliser les calculs à effectuer dont les notation s opératoires se ra m è n e n t alors en dernière analyse à une form e unique.

D’au tre p a rt, il é ta it indispensable de supprim er la difficulté de d éterm ination de l’o rdre de g ran d e u r du résu ltat, les procédés habituellem ent em ployés é ta n t en ré a lité peu p ratiq u es et conduisant fré-, quem m ent à de nom breuses e rre u rs (ceci é ta n t d’ailleurs peut-être une des raisons principales de restric tio n d’emploi de la règle). Or la g én érali satio n de la n o tatio n opératoire a pour conséquence heureuse de p erm e ttre égalem ent de g én éraliser la m éthode de d éterm ination de l’ordre de g ran d e u r du résu ltat, m éthode simple, facile et rapide, n’im posant aucun effort à la m ém oire pour rete n ir telle ou telle règle p articu lière de d éterm ination du nom bre de chiffres en tiers d’un résu ltat.

D ans une prem ière p artie, e t ap rès quelques défi n itions indispensables, nous aborderons im m édiate m e n t quelques exem ples sim ples : calculs num é riques d’abord, quelques applications techniques en suite. Le lecteur po u rra ainsi se fam ilia riser avec la notion de n o tation o p ératoire et vérifier lui-même com bien l’emploi de la règ le est ainsi rendu simple et facile.

D ans une deuxièm e p artie, nous exposerons la m éthode générale.

Enfin, dans une troisièm e partie, nous m o n tre rons com m ent il e st possible d’appliquer la méthode à la solution des problèm es les plus v ariés se situ a n t dans les divers dom aines de la science e t de la technique, physique, m écanique, résistance des m a tériaux, électrotechnique, etc..., et su rto u t com m ent il e st possible d ’étendre l’emploi des form es de correspondances en vue des applications dont il a été question précédem m ent, c’est-à-dire en définitive com m ent il est possible d’élargir le cham p d’appli cations de la règle à calculs.

(2)

P R E M IE R E P A R T IE L E S E C H E L L E S

Nous n ’envisagerons d an s cette prem ière p artie que les échelles logarithm iq ues classiques, dites échelle des nom bres, échelle des inverses, échelle des carrés, échelle des cubes. N ous laisserons de côté, provisoirem ent, les échelles trigonom étriques, les éQhelles de puissances, ainsi que l’échelle des m antisses.

Echelle des nom bres (module 1) (1).

Rappelons que la distance de l’origine 1 à une division quelconque 2, 3, 4... etc., est proportionnelle à la p a rtie décim ale du lo garith m e du nom bre considéré.

E C H E L L E / F I X E /

(su r la r è g le )

N otation sym bolique des différentes éch elles (F ig . 1) Les différentes échelles dont il vient d ’être question peuvent être utilisées dans les règles à calculs :

D ’une p a r t sur la règle : ce sont les échelles fixes. D’a u tre p a r t sur la rég lette : ce sont les échellcs m.obiles.

Nous donnerons une lettre de référence à cha- cime des échelles, m ajuscules pour les échelles fixes, m inuscules pour les échelles mobiles, savoir : Echelle des nom bresB (échelle fixe) b (échelle mobile)

Echelle inverse A » a »

Echelle des c a rré s » b ' » Echelle des cubes B’ » b’ >

module 1

module Vz

m dule Vs

B é c h e l l e d e / n o m b r e /

A échelle d e / invcr/c/

B* échelle d e / c a r ré /

échelle d e/ c u b e /

L cchclle d e / m anti//e/

ECHELLE/ MOBILE/ (sur la réglette)

b échelle d e / nombre/

identique à

B

<3l échelle d e / in v er/e/

>identique à

A

ccht;!Î3

d e / c a r r é /

identique è

Fig. 1

Les in tervalles sont alors subdivisés au dixième des u n ités principales suiv an t le m êm e principe.

E nfin les in tervalles ainsi obtenus so n t encore subdivisés :

E n 10 p a rtie s pour les intervalles en tre 1 et 2 (chaque division figure le 1/100).

E n 5 p a rtie s pour les intervalles en tre 2 e t 4 (chaque division figure le 2/100).

E n 2 p a rtie s pour les in tervalles en tre 4 e t 10 (chaque division figure le 5/100).

On obtient ainsi l’échelle dite des nom bres ou échelle de base qui se lit de gauche à droite.

Echelle inverse (module 1).

Echelle identique à la précédente, m ais se lisan t de droite à gauche.

Echelle des carrés (module 1/2).

L’u nité de longueur dans cette échelle e st deux fois plus p etite que celle de l’échelle des nom bres ; p a r suite, à une échelle des nom bres donnée corres pond deux échelles identiques placées bout à bout ; c’est l’échelle des carrés.

Echelle des cubes (module 1/3). '

L ’unité de longueur dans cette échelle est trois fois plus p etite qu,e celle de l’échelle des nom bres ; à une échelle des nom bres donnée correspond donc tro is échelles identiques placées bout à bout : c’est l’échelle des cubes.

Com binaison des échelles d an s les différentes règles. Le nom bre de modèles de règles à calculs actuel lem ent sur le m arché est considérable ; en réalité, un exam en un peu sérieux m ontre que ce nom bre se réd u it à quelques types seulem ent. L a véritable distinction réside dans le choix plus ou m oins judi cieux des différentes échelles et de leur position rela tive ta n t sur la règle que sur la réglette.

C’est de cette com binaison que résulte la possi bilité de réaliser tou tes les correspondances possibles ou une p a rtie seulem ent p e rm e tta n t ainsi l’emploi plus ou moins étendu de la règle.

Nous reviendrons su r cette question en tem ps opportun et nous donnerons à ce m om ent-là to utes indications utiles pour guider le choix du lecteur et lui p erm e ttre de discrim iner toute règle du poin t de vue de ses qualités propres.

P o u r le m om ent, nous nous contenterons de rappeler les deux modèles bien connus :

R ègle M annheim ordinaire (fig. 2)

B 2

B

b*

b

Fig. 2

(1 ) C e module I caractérise la longueur utile de l'échelle, c'est-à-dire la longueur de l'intervalle 1 - 1 0 . Cette longueur a généralement 12 cm. 5 dani les règles dites de poche, 25 cm. dans les règles normales, 50 cm. dans le« règles dites de bureau.

(3)

B3

B 2 De correspondances inverses :

a

b

Fig. 3 Règle dite règle R letz (P ig . 3)

dont les figures 2 e t 3 donnent la rep résen tatio n symbolique.

Correspondances.

E ta b lir une correspondance en tre deux nom bres a e t m c’est am ener le nom bre a lu sur une des échelles mobiles (échelles de la rég lette) en re g a rd du nom bre m lu su r une des échelles fixes (échelles de la règle).

Il existe deux g en re s de correspondances : Directe, si les échelles considérées se lisent dans le m êm e sens, quel que soit ce sens d ’ailleurs. •

Inverse, si l’une des échelles se lit en sens co n tra ire de l’au tre.

N otatio n d’ane correspondance.

On indiquera que le nom bre a doit ê tre am ené en re g a rd du nom bre m p a r la no tatio n symbolique — qu’il ne f a u t p as confondre avec le signe de la m

division.

On indiq uera ensuite la n a tu re et le sens des échelles utilisées en com plétant p a r une parenthèse indiq u an t ces échelles.

E xem ples : De correspondances directes :

a

m

'B

m

a . m Mode opératoire.

L a règle à calculs utilise les propriétés des échelles log arithm iques et, quelle que so it la m é thode utilisée, le mode o pérato ire rev ien t en dernière analyse :

1® A établir une prem ière correspondance en tre deux échelles, l’une mobile, l’a u tre fixe, le choix de ces deux échelles dépendant du calcul à effectuer. C ette prem ière correspondance A ie la position de la rég lette ; nous l’appellerons correspondance de fixation ;

2“ L a position de la rég lette é ta n t alors fixée, on étab lit une deuxième correspondance en déplaçant le curseur, soit en u tilisa n t les mêmes échelles, soit en u tilisa n t des échelles différentes, su iv a n t le calcul à réaliser ; u n des term es de cette correspondance é ta n t connu, le term e en re g a rd se ra le ré su lta t cherché.

C ette deuxième correspondance est la correspon dance résultante.

N otatio n sym bolique dn mode opératoire.

L a prem ière correspondance en traîn e la seconde et vice-versa ; nous indiquerons cette relatio n de correspondances p a r le signe <—> ; d’a u tre part, chacune des correspondances se ra indiquée comme il a été d it précédem m ent ; toutefois, si les deux correspondances u tilise n t les m êm es échelles, nous n ’em ploierons qu’une seule paren th èse indicative.

E xem ples :

L es deux correspondances u tilisent les m êm es échelles :

b *

B

Fig. 4 Fig. 5

m

Fig. 6

a

Fig. 7

m

Fig. 8

B 3

m

Fig. 9

(4)

On a e n tre ces q u atre nom bres, é ta n t donné les échelles utilisées, la relation :

a

n

m. Fig. 10

b

a

i

-n

m. Fig. 1 1

I/6S deux correspondances u tilisent des échelles différentes : a 71 'm

'B

â

b

Fig. 12

b

a

i

-b ^

b

n

Fig. 13 E SS A IS D E CALCULS

Afin d ’in téresser le lecteur à l’obtention de ré su lta ts im m édiats e t pour le fam iliariser avec la notion de no tatio n opératoire, nous allons, d ans ce qui suit, tr a ite r quelques exemples u tilisa n t les correspondances en tre l’échelle mobile des carrés (échelle b“, module 1/2) et l’échelle fixe des nom bres (échelle B, module 1).

Considérons q u atre nom bres •. a b m n, disposés su r les échelles comme indiqué sur la figure 14.

^ =. Const-anl-^-^)

Qui peut s ’écrire : a .

si a est le ré su lta t à calculer, b m n é ta n t connus ou

si w, est le ré su lta t à calculer, n a b é ta n t connus. Calculs types qui peuvent être symbolisés p ar la n o ta tio n opératoire unique suivante (qui est somm e toute l’im age de la disposition du calcul su r la règ le) ;

71 m

\'S>

I

N otation qui doit s’in te rp ré te r comme suit ; Correspondance de fixation

“ ) 6 lu su r l’échelle des c a rré s b^

” j n lu su r su r l’échelle des nom bres B. Correspondance résultante

^ J a lu su r l’échelle des c a rré s b’ ^ ( m lu su r l’échelle des nom bres B. A pplications num ériques.

I- — E xam inons d ’abord le cas où a est le ré su lta t à calculer.

E X E M PL E I. (P ig . 15) CcUc(c£e^ CZ ^ 0 , ^ f X

E crivons la n o tatio n opératoire :

OL S i. qui deirient ic i ^jJ tL ^

'

i.Z

, 6

m

R éalisons le calcul :

1» Correspondance de fixation (la réaliser avec le curseur). Amenons 0,41 lu sur l’une quelconque des deux échelles co n stitu a n t l’échelle des carrés b^

a

m

B

• jjZ

échelle mobile d e / ca rré/ (fur la réglette) mdule Vz

échelle fixe d e / nombre/ (xur la règle) m d u le'i

Fig. 14 ( 1 ) Nous établirons cette relation dans la deuxième partie.

“ y on^peut tout aussi bien faire usage de Téchelle des carrés fixe et de 1 échelle de* nombres mobile

b.

(2 ) - b

OU

---n 56

(5)

la prem ière, p a r exemple, en re g a rd de 3,2 lu sur l’échelle des nom bres B ; la position de la rég lette est alors fixée.

Correspondance résultante :

Déplaçons lentem ent le curseur vers la droite e t arrêtons-le lorsque le tr a i t de ce curseur se ra sur 4,6, lu su r l’échelle B. o A f 0, S4y

•b2

- i-. 3.2 4.6

B

Fig. 15

R em arquons que dan s ce déplacem ent le tr a i t du curseur est toujours dans la prem ière échelle des carrés, c ’est-à-dire dans l’èchelle des c a rré s sur la quelle on a v a it lu 0,41.

Cela posé, nous dirons : Sur l’échelle B :

4,6 e st de m êm e o rdre de g ran d e u r que 3,2 Alors su r l’échelle b’ :

a se ra de m êm e o rdre de g ran d e u r que 0,41, donc : a = 0,847.

Le ré s u lta t est donc im m édiat e t l’on voit com bien ce calcul e st facile !

E X E M P L E 2. (F ig . 16) U60^

Calculer a O M X

Ecrivons la no tatio n opératoire :

n.

' mce a u l det/ient /c i £ jJ tl _{3 . 2} ^ 6 0

a

E ssayons de réaliser ce calcul : , 1“ Correspondance de fixation : C’e s t la même que précédem m ent.

2° Correspondance résultante : Elle ne peut être établie.

E n effet, le nom bre 460 (é ta n t donné son ordre de g ran d e u r p a r ra p p o rt à 3,2) ne figure plus sur l’échelle B, m ais sur son prolongem ent à droite, p ro longem ent qui n ’existe p a s ; on ne p eu t donc savoir quel se ra l’o rd re de g ran d e u r du ré su lta t a qui, é ta n t en re g a rd de 460, ne figure plus su r l’échelle des c a rré s b’, m ais su r cette échelle égalem ent p ro longée à droite.

Conm îent procéder ?

On ram ène le calcul au cas sim ple précédent de la m anière suivante :

On rem place 460 p a r 4,6 X 10= (ij6 est de m êm e ordre de grandeur que 5,2). Or :

E n re g a rd de 3,2 on a 0,41 I E n re g a rd de 4,6 on a 0,847 Alors (flg. 17) : E n re g a rd de 460 (4,6 X 10^) on lira 0,847 X 10* • - 0 .8 4 7 x 1 0 '‘ 0,4 1 3 .B 4 6 0 Fig. 16 0 .4 1 3 .2 -4 6 0 i>= 4 ,6 V Fig- 17 P ourquoi 10* ?

P a rc e que la croissance su r l’échelle des carrés b^ est deux fois plus g ran d e que "sur l’échelle B.

A insi, p a r exemple, si au lieu de 460 nous avions eu :

4.600 nous au rion s éc rit 4.600 4,6 X 10’

alors a = 0,847 X 10“

0,0046 nous aurions éc rit 0,0046 = 4,6 X 10-'

alors a = 0,847 X 10-»

etc., etc...

L a tra n sfo rm a tio n s ’indique d an s la n o tation opératoire comme su it : 3 .Z " ^ 6 0 ^.6 x / 0 ^

a.

E X E M P L E 3. C a lc u ic r CL = ^ 1 0 A — ^—

L a n o ta tio n opératoire s ’éc rit , 3 , i

Æ-a - ?

A u-dessus de 3,2 se trouve 410 A u-dessus de 4,6 il fa u d ra lire 847.

•4,6 est de m êm e ordre de grandeur que S,S ; donc aucune tra n sfo rm a tio n à faire.

a est alors de même ordre de g ran d e u r que UlO, donc a — 847.

E X E M P L E 4.

C aU ulcr a = X

(6)

L a n o ta tio n opératoire s ’écrit e t se tranflform e comme su it : iilO ___ ^ <X,... E X E M PL E I b is . 0 ,0 0 i-6 ¥ , 6k / 0 - ^

On ram ène 0,0046 au m êm e o rdre de g ran d e u r que 3,2 ; 0,0046 = 4,6 X 10-“ A u-dessus de 3,2 on lit 410 A u-dessus de 4,6 on lit 847 A lors le ré su lta t a = 847 X 10-“ E X E M PL E 5. 0 0 0 ^ 6 ^ C ctU uuU ^ <X^ ^ O. k —

L a n o ta tio n opératoire s ’écrit e t se tran sfo rm e comme su it : o ,o o if i ^ ^ a.

3,z

o^oo^s

A u-dessus de 3,2 on lit 0,0041 A u-dessus de 4,6 on lit 0,00847 E t le ré su lta t a = 0,00847 X 10-' E X E M P L E 6. (F ig . 18) Calculer a = OAl X 3.S> û , ^ / œ

L a n o tation opératoire s ’éc rit : T ~ \ "*--- ^ TT" f . f A u-dessus de 3,2 on lit 0,41 A u-dessus de 7,1 on lit 2 -I' é c h e l l e 2* é c h e l l e

... ' ~T

o,4f 1 « = 2 1

_

---Fig. 18 E n effet :

0,41 est su r la prem ière échelle des carrés a est su r la deuxièm e échelle des carrés On lira donc 2 e t non 0,2.

II. — E xam inons m a in te n a n t le cas où m est le ré su lta t à calculer.

Ca.lc4j.Ltr fTtm

/

fT> ^ H. E crivons la n o tatio n o p ératoire :

, , S , déifient ic i

n

m

m.

t

81 e st de m êm e ordre de g ran d e u r que 49 ; donc aucune tra n sfo rm a tio n à faire.

Au-dessous de 49 on lit 1,4

Au-dessous de 81 on lira 1,8 wi = 1,8 E X E M P L E 2 bis.

CcJLcAjdiar fT ! f/O O

L a no tatio n o p érato ire s ’éc rit e t se tran sfo rm e comme su it

s u 1 0 ' S’ /o o

S X /O

On rem place 8.100 p a r 81 X 10*. SI est de mêm e ordre de grandeur que U9.

Au-dessous de 49 on a 1,4 A u-dessous de 81 on a 1,8

Alors, au-dessous de 8.100 (81 X 10“) on lira 1,8 X 10*.

Il est clair que si, au lieu de 8.100, nous avions eu :

810.000 nous au rion s éc rit 810.000 = 81 X 10‘ alors le ré su lta t se ra it w = 1,8 X 10-0,81 nous aurions éc rit 0,81 = 81 X 10-' alors le ré su lta t s e ra it »i = 1,8 X 10-' E X E M PL E 3 bis.

Co jLcajuU ^

L a n o tation opératoire s ’éc rit -

f.V-8 t O

m 810 n ’e st p as du même o rdre de g ran d e u r que 49 ; cepen dan t il n e f a u t p a s écrire 810 = 81 X 10, c a r su r l’échelle des carrés on ne peut faire usage que de puissances paires.

M ais nous savons que l’échelle des c a rré s se compose de deux échelles identiques placées bout à bout ; p a r suite :

49 se lira su r la prem ière échelle des carrés. 810 se lira su r la deuxième échelle des carrés. A u trem en t dit, nous pourrons pren d re 810 qui est de l’o rdre im m édiatem ent supérieur à 49. 58

(7)

Au-dessous de 49 on lit 1,4

Au-dessous de 810 on lit 5,7, d ’où m ~ 5,7. E X E M PL E 4 bis.

C

u

L

cm

-L

v

"

/72 =

00 810

L a n otatio n opératoire s’écrit et se tran sfo rm e comme suit : ¥ . 9

S'/ X -to

0,00 Si 0 Tn

7 '

'7TL-X 10

. - 5 / ,

/O '

Il est clair q u ’on ne p eu t prendre 8,1 qui se ra it évidem m ent de même o rdre de g ran d e u r que 4,9, m ais on a u ra it 0,00810 = 8,1 X 10-S ce que l’on ne p eu t accepter puisque sur l’échelle des carrés on ne p eu t fa ire u sage q u e . de puissances paires. On p ren d ra alors 81, qui e st de l’ordre im m édiatem ent supérieur à 4,9.

4,9 se lira sur la prem ière échelle des carrés * 81' se lira su r la deuxième échelle des carrés.

Au-dessous de 4,9 on lit 14

Au-dessous de 81 on lira alors 57 e t m = 57 X 10-’ Nous espérons que ces trop nom breux m ais indis pensables exemples au ro n t perm is au lecteur de se fam ilia riser avec cette notion de n o tation opéra toire ; nous allons m o n trer m a in te n a n t l’usage que l’on p eu t en faire.

Nous venons de voir que les deux échelles u tili sées, à savoir l’échelle des c a rré s b’ e t l’échelle des nom bres B p erm e tte n t de réaliser im m édiatem ent le calcul des expressions :

(X = - è . si a est le résultat à calculer 71

tTL = /î. / _ _ si m est le résultat à calculer

E n u tilisa n t la n o tatio n opératoire unique (im a g e du calcul su r la règle) :

Æ / j i et a lus sur l'échelle des carrés b-m lus sur l'échelle des nob-mbres B Or, il est clair que l’on peut a ttrib u e r aux nom bres a b m n des valeurs p articulières (n — 1, m = 1, etc.), ce qui p erm et le calcul en u n seul coup de règle, toujours de la m êm e m anière, d’un g ra n d nom bre d’expressions intéressantes.

E xem ples : ySiOur n. m i m m i m iv ii Noha^ion £_ , , a. 6 - 1 m ,

r)\fâi

n

m

7} 1 r v CL.

m

'-77^ m j a . m . m s \/a k ù a . î ï L - n . j / ^ Jn t a , n.

eu

' m a

m

A PP L IC A T IO N S T E C H N IQ U E S

Ces expressions tro u v en t leur application dans de nom breux calculs qui se posent fréquem m ent dans la p ratiq u e indûstrielle ; en p articu lier nous citerons : surfaces, volumes, poids, pressions, m om ents fléchissants, résistan c es électriques, pertes de charge, etc...

Il est évidem m ent nécessaire de résoudre d ’avance les opérations p o rta n t su r les q u an tités constantes et de m e ttre le ré su lta t de ces opérations sous la form e de constantes appropriées, appelées diviseurs ; il a p p a rtie n t naturellem ent à l’o pérateur de calculer les diviseurs appropriés à son usage particulier.

Nous allons m o n trer p a r quelques exemples com m ent on obtien t ces diviseurs et com m ent on les utilise.

Volume du cylindre dro it à base circulaire.

-.a.

oit H po&exnt

A'U-On recon naît dans l’expression du volume la form e générale a b — de no tatio n opératoire

n* qui devient ici :

H h au teu r ou longueur D diam ètre

V volume

(8)

E xem ple (fig. 19)

Calculer le volume de b arres cylindriques a y a n t une longueur de 2,20 m. et les diam ètres de 18, 22, 38 mm.

E xprim ons les dim ensions en dm. ; le volume sera exprim é en dm* ; la n o tatio n opératoire s ’écrit :

22

.

V, Va V i

0,18 o . l X

0,19

On a im m édiatem ent l’o rdre de g ran d e u r de W , ; W , = 2 , 6 9 w a tts

E t p a r sim ple déplacement du curseur : Wji = 7,92 w a tts W , W , 31,68 — 198 Wg = 352 —

R ésistance d’un ooaducteur : On déterm ine l’ordre de g ran d e u r de V i comme

indiqué précédem m ent ;

56x10

o , i ï . - l o ' V[ s O 56

6 2

22 56 8^4

B

25

1.m u Z.2

3 s

Fig. 19

E t, p a r suite, p a r sim ple déplacem ent du cur seur :

y .

0,84 dm “ V 3 = 2,5 dm “

Perte de puissance par effet Joule dans une

résistance. •

(Ce calcul se présen te d an s la déterm in ation des p e rte s dans le cuivre lors de la recherche du re n dem ent d’une m achine électrique.)

W = R P qui est de la form e

^ l« CAA e ù . A / «l« n o f. o ^ .

^

m. d ’où la n o ta tio n opératoire :

W

(

i l B/

R résistance en ohms I in ten sité en am pères W p erte en w atts. E xem ple :

L a résistance à chaud de l’in d u it d ’un m oteur est de 0,22 ohm s ; tra c e r la courbe des p ertes dans le cuivre avec la ch a rg e ; le m oteur absorbe à vide 3.5 am pères, en charge 40 am pères.

Nous donnerons à I des valeurs a rb itra ire s entre 3.5 e t 40, p a r exemple 3,5, 6, 12, 20, 30, 40 am pères.

L a n o tatio n opératoire s ’éc rit :

R

_{L =}

_{L l .}

li* "

4

D ans cette form ule ; L exprim e des cm.

d » > >

e » » microhm s-cm . R » » m icrohm s. Il est préférable d ’exprim er : L en m. d en mm. R en ohms, e en microhm s-cm . On a alors :

A S

TI

R

= L

e u . R «

_______

cL ^ L ^ '* fcn]»oi«n^

v w

-^

V Tl

C t h r i s t u r f o r K esisf'tu cm sJ E xpression de la form e 10' ,CC Ær ^ d e n o tû h %

d’où la n o ta tio n opératoire :

j

-cL A

( f j

L longueur en m. d d iam ètre en mm. R résistance en ohms A jdiviseur pour résistances. E xem ple (âg . 20)

Calculer la résistan ce d’un conducteur en cuivre de 4,5 km . de longueur e t de 12/10 de m m . (pour le cuivre A r = 0,148).

L a n o ta tio n opératoire s ’éc rit : 6 8 5 0 X 10"^

^5oO

^

d où R = 6 8 ,5 oRms

o , m s

itfSx/O -'*

(9)

Perte de puissance dans une ligne. O r ex: W = R i ^ = R = 1— v oi r e x e m p l e f > r t c é d e r > l _ ) po&ons K il v ie n t W = K i ? ( 2 ) (•1 ) e s H a forme d e Ot^ = o ^ L il) o u . "yZ ss ^ not’oir.

notation qui devient ici :

A

i O) A t, V£>. l o n ^ u c i x r fin rrv . D i v i S C u r ÿ » e u . r r e & t s t ' ^ a i n c c K C o n s V a n ^ c a yrL

B2

mètre, parcourue par des intensités de 15, ' 20, 25, 30 ampères. ( ^ r = : 0,148 pour le cuivre).

(1) Donne : 2 5 ° . -1 S50 X I0 ‘ K

ti'

o i l K « 5 | 5 i,h& X lo-"' (2) Donne : lO^ S, s W i X 10 W a . ^ W s 2 o a.5 W » 3 o > •

b

1 1,48

C ^ ^ C îl' <J< la f o r m e g é r y e r o le C£ ^ . cz de rtoh opér A - .

n-7X.

an

notation qui devient ici :

d

diamètre en mm. ampères en w atts. „ , (e t diai

«i

I

( w en

En résimiê :

Un

premier coup de règle donne la constante K.

Un

deuxième coup de règle permettra alors, par

simple déplacement du curseur, d’étudier la perte de

puissance W en fonction de I.

Exemple

(flg. 21)

Etudier la perte de puissance dans une ligne de cuivre de 250 m. de longueur, de 2,8 mm. de

dia-n - V ®

¥

¥ 5,5

e>.3

1 D*-

\

] ^ ₁

\l,5

\.2

_2,5

2.8

I 3 i l... , , 1 _____ _________________ 1 Fig. 21

On détermine l’ordre de grandeur de W : W = 1 , 5 8 X 10* = 158 w atts E t l’on a par