Vers une acceptabilité graduelle des arguments dans les systèmes d'argumentation

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Vers une acceptabilité graduelle des arguments dans les

systèmes d’argumentation

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex

To cite this version:

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex. Vers une acceptabilité graduelle des arguments

dans les systèmes d’argumentation. [Rapport de recherche] IRIT-2002-42, IRIT - Institut de recherche

en informatique de Toulouse. 2002. �hal-02881285�

dans les systèmes d'argumentation

C. Cayrol

M.C. Lagasquie-S hiex

Dé embre 2002

L'argumentation est basée sur l'é hange et l'évaluation d'arguments

interagis-sant, puis sur la dénition d'arguments a eptables en fon tion de l'évaluation

proposée.Dans e do ument,enpartantdu adrede travailproposé par[Dun95℄,

quiénumèreun ertainnombred'a eptabilités olle tives,etenutilisantles

éva-luations graduelles que nous avons proposées dans [CLS01, CLS02℄, nous nous

1 Introdu tion 1

2 A eptabilité olle tivede [Dun95℄ 3

2.1 Le adrede[Dun95℄etsareprésentationgraphique . . . 3

2.2 A eptabilité olle tive. . . 4

2.3 Diérentsniveauxd'a eptabilitéd'unargument . . . 5

2.3.1 Niveauxdebase . . . 5

2.3.2 Premierranementdesniveauxdebase . . . 6

2.3.3 Quelques asparti uliers. . . 6

3 Évaluationgraduelle desintera tions 9 3.1 L'appro helo ale de[CLS01℄(évaluationgénérique) . . . 9

3.2 L'appro heglobale de[CLS01℄(évaluation partuples) . . . 10

3.2.1 L'étiquetaged'unargumentparuntuple . . . 11

3.2.2 Comparaisond'argumentsàl'aidedetuples . . . 12

3.2.2.1 Lesidéesutilisées . . . 12

3.2.2.2 L'algorithmede omparaison . . . 12

3.2.3 Quelquespropriétés . . . 13

3.3 Diéren esessentiellesentreévaluationslo ale etglobale . . . 15

4 Vers unea eptabilité graduelle 17 4.1 Comparaisonbaséesurl'évaluationgraduelle . . . 17

4.2 Situationd'unargumentparrapportàses ontrariants. . . 17

4.3 Compatibilitéentrea eptabilité olle tiveet évaluation graduelle . . . 18

4.3.1 Exemplesmontrantlanon ompatibilitédansle asgénéral . . . 18

4.3.2 Casparti uliersmenantàla ompatibilité . . . 19

4.3.2.1 Premier as. . . 19

4.3.2.2 Se ond as . . . 20

5 Con lusion 25

Introdu tion

[Dun95℄amontréquele adredel'argumentation onstitueunoutilpuissantpermettantaussibienl'étude denombreux systèmesformelsderaisonnementde sens ommunqueladénition d'unesémantiquepour lesprogrammeslogiques. L'argumentationest baséesur l'é hangeet l'évaluationd'argumentssupportant des opinions, des assertions. On trouvedes appli ations notamment dans le domainejuridique, dans les systèmesd'aideàlaprisededé ision olle tiveoud'aideàlanégo iation.La ara téristiquefondamentale d'unsystèmed'argumentationestlaprésen ed'intera tionsetnotammentderelationsde ontrariétéentre les argumentsavan és.Si l'argument prend parexemple laforme d'unepreuve logique, onpeutavan er des arguments pour une proposition et des arguments ontre ette proposition,i.e. pour la proposition ontraire.

Lepro essusd'argumentation omportedon uneétaped'évaluationdelafor erelativedesargumentsen présen e,l'obje tifnalétantdeséle tionnerlesargumentslesplusa eptablesenfon tiondel'évaluation hoisie.Ondistingue:

 uneévaluationditeintrinsèquequiévalueunargumentindépendammentdesintera tionsave lesautres arguments. On peut ainsi exprimer àquel point l'argument augmente la onan e en l'assertion qu'il supporte.Cetteévaluationpeutprendrediérentes formes(voir[KAEF95,Par97,PS97,AC98℄).  une évaluation desintera tions selonlaquelle unargumentest évaluéenfon tiondeses ontrariants,

des ontrariants de ses ontrariants (ses défenseurs), ... 1

. Plusieurs appro hes ont été proposées (voir [Dun95, AC98, JV99, BH01, CLS01, CLS02℄

2

) qui se distinguent par la ri hesse de l'ensemble desvaleursdisponiblespourévaluerunargument.

Évaluation intrinsèqueet priseen omptedesintera tionsonttrèssouventété utiliséesséparément,selon lesappli ations envisagées.Ontrouve ependantquelquestravauxqui proposentune ombinaisonde es deux ritères(voirparexemple[AC98℄etdansunemoindremesure[CLS01℄).

A tuellement, la majorité des travaux sur l'a eptabilité des arguments onsiste à exploiter la prise en omptedesintera tionsen onsidérantquel'a eptabilitéd'unargumentestdénieparsonappartenan e àun ertaintyped'ensembles(lesensemblesdénis ommea eptables);onparled'a eptabilité olle tive. Le adre de [Dun95℄ est tout à fait approprié à une telle appro he mais onduit à des états binaires : l'argumentest a eptéounon.

Notre obje tif est d'introduire une gradualité dans ette notion d'a eptabilité de manière à distinguer entre arguments plusou moins a eptables et ainsi dénirdes niveaux d'a eptabilité.Pour ela, nous allons her heràexploiterlesévaluationsgraduellesdesintera tions,parlapriseen omptedelaqualité des ontrariants,desdéfenseurs,...

Dans lase tion2page3,nous nouspla eronsdansle adredénipar[Dun95℄ : elui d'unsystème d'ar-gumentation onstituéd'unensembled'argumentset d'unerelationbinairesur etensemble.Onutilisera unereprésentationgraphiquedessystèmesd'argumentation.Celanouspermettradeprésenterdesnotions d'a eptabilité olle tiveproposéespar[Dun95℄et d'identierlesdiérentsniveauxd'a eptabilité olle -tivequel'onpeutainsiatteindre,enparti ulier,quandonprenden omptelasituationd'unargumentpar rapportà elledeses ontrariants.

Puis,danslase tion3page9,nousrappelleronsdeuxtypesd'évaluationgraduelleissusde[CLS01℄:une 1

Nousneprendronsen ompte i ique lesintera tions duesàlanotion de ontrariétéentre arguments!Il peut exister d'autrestypesd'intera tion(parexempledesargumentsquiserenfor eraientaulieudese ontrarier).

2

dans[CLS01℄.

Nousproposeronsalors,danslase tion4page17,unenotiond'a eptabilitégraduellebaséesurles évalua-tionsgraduelles: ondéduit desévaluations graduellesune omparaisondesargumentsquel'on onfronte auxniveauxd'a eptabilité olle tive.

A eptabilité olle tive de [Dun95℄

2.1 Le adre de [Dun95℄ et sa représentation graphique

Nousnousplaçons dansle adreabstraitdénipar[Dun95℄.Soitlesystème d'argumentation <A;R> ,A étantunensembled'argumentset RunerelationbinairesurAappeléerelationde ontrariété :soitA

i et A j 2A,A i RA j signieraqueA j

est ontrariéparA i ,ouqueA i ontrarieA j (aussinoté(A i ;A j )2R). Unsystèmed'argumentationseraditbien-fondésietseulements'iln'existepasdeséquen einnieA

0 ,A 1 , ...,A n

,...telleque8i;A i 2Aet A i+1 RA i .

Nousnepré iseronspasdavantageleformatdesarguments,nilarelationde ontrariété.

Notations : SoitA2A,l'ensemblefA i

2AjA

i

RAg estnoté R (A)et l'ensemblefA i 2AjARA i gest noté R +

(A).<A;R>dénit ungrapheorientéG (ditgraphedes ontrariétés).

Exemple: Lesystème<A=fA 1 ;A 2 ;A 3 ;A 4 g;R=f(A 2 ;A 3 );(A 4 ;A 3 );(A 1 ;A 2 )g> dénit legrapheG suivantayantA

3

pourra ine:

A3

A4

A1

A2

Dénition 1(Représentationgraphique du systèmed'argumentation) SoitGlegraphedes ontra-riétésasso ié àunsystème d'argumentation<A;R>,ondénit:

Feuilledu graphedes ontrariétés UnargumentA2AtelqueR (A)=?seraune feuillede G. Chemindans le graphedes ontrariétés Un hemindeAversBestunesuited'argumentsC=A 1 ::: A n telleque :  A=A 1 ,  A 1 RA 2 ,  ...,  A n 1 RA n ,  A n =B.

La longueurde e heminest alorsn 1(lenombre d'ar s onstituant e hemin)etseranotéel C

. L'ensembledes heminsde Avers B seranotéC(A;B).

Dépendan e, indépendan e, ra ine-dépendan e d'un hemin Soit 2 hemins C

A 2 C(A 1 ;A n ) et C B 2C(B 1 ;B m ).

Cesdeux hemins seront dits dépendants ssi 9A i 2 C A , 9B j 2C B tel queA i =B j . Indépendants sinon.

Cesdeux heminsserontdits ra ine-dépendantsenA n ssiA n =B m et8A i 6=A n 2C A ,69 B j 2C B telqueA i =B j .

Cir uits dans legraphe des ontrariétés Un ir uit 1 estun hemin C=A 1 ::: A n A 1 tel que 8i;j2[1;n℄;i6=j;69A i ;A j 2C telsqueA i =A j .

Un ir uit est isoléquandau undesargumentsle omposantn'a d'attaquanten dehors du ir uit. Deux ir uits C A = A 1 ::: A n A 1 et C B = B 1 ::: B m B 1

sont inter onne tés ssi 9i2[1;n℄;9j2[1;m℄ telsqueA i =B j . 1

Cettedénitiond'un ir uit orrespondàladénitiond'un ir uitélémentaireenthéoriedesgraphes(ne ontientpas2 ar sayantlamêmeorigine,oulemêmebut).

légèrementmodiéesparnossoins 2

.Onadon :

Dénition 2(Attaquants/Défenseurs dire ts/indire ts d'un argument) SoitA2A:  Les attaquantsdire ts de Asont lesélémentsde R (A).

 Les défenseursdire tsde A sontlesattaquants dire ts desélémentsde R (A).  Les attaquantsindire tsde A sontleséléments A

i dénis par: 9C2C(A i ;A)telquel C =2k+1, ave k1.  Les défenseursindire tsdeA sontles élémentsA

i dénispar: 9C2C(A i ;A)telquel C =2k,ave k2.

Ondiraplusgénéralementque,sil'argumentAestunattaquant(dire touindire t)del'argumentB,alors AattaqueB (ouB est attaquépar A). Demême,sil'argumentA estundéfenseur(dire touindire t)de l'argumentB,alorsAdéfendB (ouB est défendupar A).

Dénition 3(Bran hes d'attaqueet de défensed'un argument) Soit A 2 A, une bran he d'at-taque (resp. de défense) pour A est un hemin dans G d'une feuille vers A de longueur impaire (resp. paire). Ondiraalors queAest ra ined'unebran hed'attaque(resp.dedéfense).

Toutes esnotionssontillustréessurl'exemplesuivant:

A1

A2

A3

A4

B2

C1

C2

D2

C3

D1

E1

B1

A

Sur e grapheG, onadon (entreautres):  un hemindeC 2 versAdelongueur2(C 2 B 1 A),  2 ir uitsA 1 A 3 A 2 A 1 et A 1 A 3 A 4 A 1 , ha un delongueur3 quine sontpasisolés (remarquonsqueA

1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 4 A 1 n'estpasun ir uitd'aprèsnotredénition),

 lesdeux ir uits itéspré édemmentsontinter onne tés(enA 1 etA 3 ),  les hemins D 1 C 1 B 1 et C 3 B 2

A sont indépendants, alors que D 1 C 1 B 1 AetC 3 B 2

Asontra ine-dépendantsetqueD 1 C 1 B 1 A etC 2 B 1 Asontdépendants,  D 1 ,C 2 ,E 1

sontlesfeuilles deG,

 D 1 C 1 B 1

Aestunebran hed'attaquepourA,alorsqueC 2

B 1

A estunebran hededéfensepourA,

 B

1 etB

2

sontlesdeuxattaquantsdire tsdeA,

 C 1 ,C 2 etC 3

sontlestroisdéfenseursdire ts deA,

 D

1 etD

2

sontlesdeuxattaquantsindire tsdeA,

 E

1

estleseuldéfenseurindire tdeA.

2.2 A eptabilité olle tive

L'idéeexploitéei iestquel'a eptabilitéd'unargumentdépenddesonappartenan eà ertainsensembles (ditsensembles a eptablesouextensions) ara tériséspardespropriétéstellesque:

Dénition 4(Propriétésde base des extensionsd'après[Dun95℄) Soit<A;R>unsystème d'ar-gumentation, ona:

Ensemblesans onit UnensembleEA est sans onitsietseulementsi69A;B2E telqueARB. Défense olle tive Soit E  A, A 2 A. E défend ( olle tivement) A si et seulement si 8B 2 A, si BRA;9C 2E tel queCRB. E défendtousseséléments siet seulement si8A2E,si 9B2A tel queBRAalors 9C2E telqueCRB.

[Dun95℄ dénit plusieurssémantiques pourl'a eptabilité olle tivedontlessémantiques admissible, pré-férée etstable (ave , pourextensions respe tives,lesensemblesadmissibles,lesextensionspréféréeset les extensionsstables):

Dénition 5(Quelques extensionsd'après[Dun95℄) Soit<A;R>unsystème d'argumentation. 2

Lesnotionsdéniesdans [Dun95℄sont ellesd'attaque etdedéfenseindire te, sa hantquepour[Dun95℄unattaquant (resp.défenseur)dire testaussiunattaquant(resp.défenseur)indire t, equin'estpasle asi i.

défendtousses éléments.

Extension préférée Un ensemble E A est une extension préférée si et seulement si E est maximal pour l'in lusionparmilesensemblesadmissibles.

Extension stable Unensemble E A est une extension stable siet seulement si E est sans onit et E ontrarietoutargumentn'appartenant pasàE ( 'est-à-dire8A2AnE,9B2E telqueBRA).

Remarquonsquel'a eptabilitéd'unargumentausensdeDungestbaséesurlapriseen omptede haque ontrariantde etargumentprisséparément(iln'yapasdenotionde ontrariétéglobalesurunargument). Nousrappelonsaussiquelquespropriétésessentielles :

Propriété 1(Existen e d'extension[Dun95℄) Soit<A;R>unsystème d'argumentation, ona: 1. Toutensembleadmissible de <A;R> est ontenu dansune extensionpréféréede <A;R>. 2. <A;R>possède aumoinsune extensionpréférée.

3. Si <A;R> est bien-fondé alors il possède une et une seuleextension préférée qui est aussi la seule extensionstable.

4. Touteextensionstable estaussi uneextensionpréférée (etnon vi e-versa). 5. Iln'existepastoujoursd'extension stable.

Propriété 2 SoitE uneextensionpréféréeA, E ontient touslesargumentsnon ontrariés de A.

Preuve : Soit E une extension préférée  A, supposons que E ne ontienne pas tous les argumentsnon ontrariésdeA.Don ,soitA2Aunargumentnon ontrariételqueA62E. ÉtudionsE[fAg :

 SoitE[fAgestsans onitetalors ommeAestnon ontrariéetEuneextensionpréférée, E[fAgsedéfend olle tivement,don E[fAgestadmissibleetEE[fAg.Contradi tion ave lefaitqueE estuneextensionpréférée!

 SoitE[fAg ontientun onit,don :

 Soit9B2E telqueBRA, equi estimpossiblepuisqueAest non ontrarié.

 Soit9B 2E telqueARB.Or, ommeA estnon ontrarié,C2E telqueCRA.Don , E ne peut pas défendre B olle tivement, e qui est en ontradi tion ave E extension préférée!

En on lusion,l'hypothèseEne ontientpastouslesargumentsnon ontrariésdeAdébou he

uniquementsurdes ontradi tions.Elleestdon fausse. 

Propriété 3 SoitE uneextensionstable A,E ontienttouslesargumentsnon ontrariésde A.

Preuve:SoitEuneextensionstableA,supposonsqueEne ontiennepastouslesarguments non ontrariésdeA.Don ,soit A2Aunargumentnon ontrariételqueA62E.

PuisqueA62E alors ildoitexister dansE unautre argumentB qui ontrarieA; or, ela est impossiblepuisqueAestnon ontrarié.

Don , l'hypothèse E ne ontient pastous les argumentsnon ontrariésde A débou he sur

une ontradi tion.Elleestdon fausse. 

2.3 Diérents niveaux d'a eptabilité d'un argument

2.3.1 Niveaux de base

Sousunesémantiquedonnée,l'a eptabilitéd'unargumentdépend, d'aprèsDung,desonappartenan eà uneextension de ettesémantique.Cela onduitàtroisétatspossibles:

 soitl'argumentestuni-a epté, arilappartientàtouteslesextensionspour ettesémantique,  soitl'argumentestexi-a epté, arilappartientàaumoinsune extensionpour ettesémantique,  soitil estnon-a epté ariln'appartientàau uneextensionpour ette sémantique.

Toutefois, es3niveauxd'a eptabiliténousparaissentinsusants.Parexemple,que on luredansle as d'argumentsse ontrariantl'unl'autreet quiseraienttousdeuxexi-a eptés?

On propose alorsune nouvelledénition, elle d'unargumentproprement-a epté quitient ompte de la situation d'unargumentparrapportàses ontrariantspourunesémantiquedonnéeS etainsipermetde ranerla lassedesargumentsexi-a eptés.

Dénition 6 SoitA2A, A est proprement-a eptépourS ssi A appartient àune extension pour S et 8B2AtelqueBRA, B n'appartientpasàune extensionpourS.

Ainsi, onessayede apturerl'idée qu'unargumentserameilleur dupoint de vuedel'a eptabilitési ses attaquantsdire tsnesontpasa eptés.

Propriété 4 SoitS unesémantiqueausensde [Dun95 ℄.SoitA2A.

Si Aestuni-a eptéalors A estproprement-a epté. Laré iproque estfausse,en général.

Preuve : Un argument et un ontrariant ne peuvent appartenir à une même extension au sensde [Dun95℄ ar elleest sans onit. Don , puisque A est uni-a epté ela signie que A appartientàtouteslesextensions,don au undesattaquantsdire tsdeAnepeutappartenir àunde es ensembles.

Pourlaré iproque,utilisonsle ontre-exemplesuivantdansle adredelasémantiquepréférée:

K

H

B

A

J

C

F

E

_G

On a i i 2 extensions préférées fK ;H;Gg et

fA;E;K ;Hg.L'argumentAestproprement-a epté(B et C n'appartenant à au une extension préférée, alors queAappartientàunededeuxextensions).Par ontre, A n'est pas uni-a epté puisqu'il n'appartient pas à touteslesextensionspréférées.



Cettenotionpermet deranerlesniveaux déjàvus. Pourune sémantiqueS et unargumentA, onales diérentsétats:

 Aest uni-a epté,siA 2àtouteslesextensionspourS (ilseradon aussiproprement-a epté),  Aest proprement-a epté (don pardénitionexi-a epté),

 Aest seulement-exi-a epté,siAn'estpasproprement-a eptémaisAexi-a epté.

 A est non-a epté si A 62 à au une extension pour S (don , par dénition, il ne pourra pas être proprement-a epté!).

Un exemple Soitlesystème d'argumentationsuivant

A

E

G

B

C1

_C2

D

F

Onadeux extensionspréférées fD;C 2

;A;Gg et fD;C 2

;E;Gg. Don , pourla sémantiquepréférée,lesniveauxd'a eptabilitésontlessuivants:

 D, C 2

etGsontuni-a eptés,

 iln'yapasd'argumentproprement-a epté,  AetE sontseulement-exi-a eptés,

 B,C 1

et F sontnon-a eptés.

2.3.3 Quelques as parti uliers

Danstousles asoùiln'existequ'uneseuleextension,lestroispremières lassesse onfondent.Parexemple:  Souslasémantiquepréférée,quandil n'yapasde ir uitpair(résultatissude[Dou02℄).

 Souslasémantiquedebase( 'estune autresémantiqueproposéeparDungvoir[Dun95, Dou02℄et nonprésentéei iqui présentelaparti ularitéden'avoirqu'uneseuleextension).

En eet, s'il n'existe qu'une seule extension, alors le fait que A appartienne àtoutes les extensions est équivalentaufaitqu'ilappartienneaumoinsàune desextensions. D'autrepart,ave une seuleextension ontenantA,les ontrariantsdeAnesontdon dansau uneextensionetAestalorsproprementa epté. Maisonaaussi:

 Souslasémantiquestable,la lassedesuni-a eptésse onfondave elle desproprement-a eptés: Montronsd'abordqueAuni-a epté)Aproprement-a epté:8E,Eextensionstable,A2E; Eextensionstabledon 8B62E,9C2EtelqueCRB,enparti ulier,pourles ontrariantsde ApuisqueAappartientàtouteslesE extensionsstables;don ha undes ontrariantsdeA

àuneextensionstable;don A estproprement-a epté.

Dansl'autresens,soitAproprement-a epté,don ilexisteEextensionstabletellequeA2E et8B;BRA,B62E

0 ,8E

0

extensionstable.Raisonnonsparl'absurdeensupposantqu'ilexiste une extensionstableE

00

telle queA62E 00

;or,siA62E 00

, elaimplique que9B2E 00

telque BRA, don B ontrariant de A appartientà une extension stable; don ontradi tion ave l'hypothèseAproprement-a epté;don E

00

n'existepasetA estuni-a epté.

 Sous lasémantiquepréférée, quand iln'y apasde ir uitimpair,la lassedesuni-a eptésse onfond ave elledesproprement-a eptés:

S'iln'existepasde ir uitimpair,alorsonpeutexploiterunrésultatissude[DBC01,DBC02℄ reprisdans[Dou02℄quimontreque,dans e as-là,touteextensionpréféréeeststable( equi orrespondàlanotiondesystèmed'argumentation ohérentde[Dun95℄).Ainsi,onréutilisele résultatpré édent on ernantlasémantiquestable pourl'appliqueràlasémantiquepréférée.

Évaluation graduelle des intera tions

Nousavonsproposédeuxméthodesd'évaluationdistin tesdontl'obje tifestdetenir omptedelaqualité desattaquantsetdesdéfenseursd'unargument.

3.1 L'appro he lo ale de [CLS01℄ (évaluation générique)

Cette appro he propose de al uler la valeur d'un argument uniquement en fon tion des valeurs de ses ontrariants.Ils'agitd'uneappro hegénériquequi re ouvredestravauxexistants([BH01,JV99℄). On formalise ette évaluationen prenantl'hypothèse suivante : ondispose d'un ensemble W totalement ordonné par une relation notée  et admettant un plus petit élément (V

Min

) et d'une partie V de W, ontenantV

Min

et admettantunplusgrandélémentV Max

.

Dénition 7(Évaluationgraduellegénérique) Soit<A;R> unsystème d'argumentation. Une éva-luation estune appli ation v :A!V telleque:

1. 8A2A, v(A)V Min

2. 8A2A, siR (A)=?,alors v(A)=V Max 3. 8A2A, siR (A)=fA

1 ;:::;A

n

g6=?, alors v(A)=g(h(v(A 1 );:::;v(A n ))) oùh :V  !W telleque(V 

dénote l'ensemble dessuitesniesd'éléments de V)  h(x)=x  h()=V Min  h(x 1 ;:::;x n ;x n+1 )h(x 1 ;:::;x n ) et g :W !V telleque  g(V Min )=V Max  g(V Max )<V Max

 g est de roissante(si xy alors g(x)g(y))

Remarquons que h(x 1 ;:::;x n )  max(x 1 ;:::;x n

) est une onséquen e des propriétés de la fon tion h. Nousavonsi iquelquespropriétésdont ertainessontissuesde[CLS01℄:

Propriété 5(voir[CLS01℄) Lafon tiong satisfait pourtoutn1:

g(V Max )g 3 (V Max ):::g 2n+1 (V Max )g 2n (V Max ):::g 2 (V Max )V Max Si deplusg est stri tementdé roissante etg(V

Max )>V

Min

,lesinégalités i-dessussont stri tes.

Propriété 6(Pré-ordre total) Une évaluationv donnéeparla dénition 7induit unpré-ordretotal  surl'ensemble desargumentsAdénipar:AB ,v(A)v(B).

Preuve : La fon tion d'évaluation v asso ie à haqueargumentA une valeur v(A) dans un

ensembleV quiest unepartied'unensembleW totalementordonné. 

Propriété 7(Valeurdans un ir uit) Soitun ir uitisolédelongueurndanslegraphedes ontrarié-tés.Sinestimpair,touslesargumentsdu ir uit ontlamêmevaleur quiestunpointxede g,etsinest pair, haqueargumentdu ir uitapour valeur unpointxe deg

n .

n n 1 2 1  Sinest pair:n=2k etv(A

1 )=g(v(A 2 ))=:::=g 2k 1 (v(A 2k ))=g 2k (v(A 1 )),don v(A 1 ) estunpointxedeg

2k =g

n

.Demêmepourtout1i2k. Par ontre, les A

i

n'ont pas for ément la même valeur : par exemple, pour n = 2, ave l'évaluation de [JV99℄, on a v(A

1

) = +et v(A 2

) = ave g(+) = et g( ) = +. Si on

imposequetouslesA i

ontlamêmevaleur,alors ettevaleurseraunpointxedeg(puisque onaurav(A 1 )=g(v(A 2 ))=g(v(A 1 ))!).  Si n est impair : n =2k+1et v(A

1 ) =g(v(A 2 )) =:::= g 2k (v(A 2k +1 ))= g 2k +1 (v(A 1 )), don v(A 1

)estunpointxedeg 2k +1

=g n

.Demêmepourtout1i2k+1. Or, ommelafon tiongestdé roissante,lafon tiong

2k +1

l'estaussietonaalorslerésultat mathématique suivant qui s'applique : siune fon tion dé roissante admetdes pointsxes, ilssonttouségaux

1 .Ainsi,v(A 1 )=:::=v(A 2k +1 ).Or,v(A 1 )=g(v(A 2 ))=g(v(A 1 )),don v(A 1

)estunpointxedeg.

Ainsi,pourtout1i2k+1,v(A i

)estunpointxedeg.



Propriété 8(Prin ipesrespe tés voir [CLS01℄) L'évaluationgraduelledonnéeparladénition7page pré édenterespe teles prin ipessuivants:

P1 L'évaluationestmaximalepourunargumentsansattaquantetnonmaximalepourunargumentattaqué etnon défendu.

P2 L'évaluation d'unargument est fon tion de l'évaluation de tous les attaquants dire ts (la ontrariété dire te).

P3 L'évaluation d'unargumentestune fon tiondé roissante de l'évaluationde la ontrariété dire te. P4 La ontributiond'unattaquantdire td'unargumentnepeutpasdiminuerl'évaluationdela ontrariété

dire te pour etargument.

Ladénition7pagepré édente ara tériseune lassed'évaluationsgraduellesdont ertainesinstan essont déjà onnues:

Propriété 9(Lien ave [JV99℄ voir [CLS01℄) Toutétiquetageenra inéde<A;R>ausensde[JV99 ℄ peutêtredéni omme uneinstan e v de l'évaluationgénériquetelleque:

 V =W =f ;?;+gave <?<+,  V Min dénoté par ,  V Max dénoté par+,  g dénie par g( )=+, g(+)= ,g(?)=?  et hétant lafon tion max.

Propriété 10 (Lien ave [BH01℄ voir[CLS01℄) Lafon tion d'évaluation graduellede [BH01℄ peut êtredénie ommeune instan ev de l'évaluation génériquetelleque:

 V =[0;1℄,  W =[0;1[,  V Min =0,  V Max =1,  g :W !V dénieparg(x)= 1 1+x  et hpar h(fx 1 ;:::;x n g)=x 1 +:::+x n .

3.2 L'appro he globale de [CLS01℄ (évaluation par tuples)

Cette appro he onsiste à étiqueter un argument ave un tuple (on parlera alors de la valeurtuplée de l'argument),puisà omparerlesargumentsàl'aidede esvaleurtuplées.

1

Lapreuvede erésultatesttrèssimple:soitgfon tiondé roissante,soientet deuxpointsxesdeg.Si6=,on peutsupposerque>,don queg()g()(parladé roissan edeg),don que (puisqueetsontdespoints xesdeg) equiest une ontradi tionave l'hypothèse>.Choisirl'hypothèseinversemèneaussiàune ontradi tion. Don 6=estfausse.

L'idéeest d'avoiruneétiquettequireètelastru turedelapartie dugraphedes ontrariétésdont l'argu-mentétiqueté estlara ine. L'étiquette pourunargumentA est don untuplerépertoriantleslongueurs detouteslesbran hesd'attaqueetde touteslesbran hesdedéfensemenantàA.Le asd'un graphedes ontrariétés omportantdes ir uitsfaitl'objetderèglesspé iquesdanslesquelleson onsidèrele ir uit omme un méta-argument possédant deux bran hes, une d'attaque de longueur 1 et une de défense de longueur2( haqueargumentdu ir uitestàlafoisattaquéetdéfenduparle ir uit)surlequelserajoute ensuitel'impa tdesattaquantsextérieursau ir uitet eluidesautres ir uitsinter onne tés.Toutes es idéesontdébou hédans[CLS01℄surlesrèglessuivantes:

Règle 1(Valeurd'un argumentn'appartenantpas à un ir uit) Soitl'argumentAn'appartenant pasàun ir uit,savaleur sera:

siA n'estpasattaqué

v(A) = ()(aussinotée:v(A)=(0))

si A a pour attaquants dire ts les arguments

B 1

;:::;B n

dont les valeurs respe tives sont les tuples (b 1 1 ;:::;b 1 m 1 );:::;(b n 1 ;:::;b n m n ) v(A) = (b 1 1 +1;:::;b 1 m 1 +1; :::; b n 1 +1;:::;b n m n +1)

Règle 2(Valeurd'un argumentappartenant à un ir uit) Soit un argument A appartenant aux ir uits C 1 ... C m . Soit C 0 1 ... C 0 n

autres ir uits inter onne tés à l'un des C i ou entre eux 2 . Soit X 1 ...X p

argumentsn'appartenant pasaux ir uitsmaisattaquants dire tsde l'undes ir uits 3

.On note:  l

i

:longueurminimale d'un hemin d'unélémentde C 0 i vers A,  l X i (longueur 4 d'un hemin de X i vers A),  haque argumentX i apourvaleur :v(X i )=(x i 1 ;:::;x i k i ). on aalors : v(A) = ( mfois z }| { 1;2;:::;1;2; 1+l 1 ;2+l 1 ; :::; 1+l n ;2+l n ; x 1 1 +l X 1 ;:::;x 1 k 1 +l X 1 ; :::; x i 1 +l X i ;:::;x i k i +l Xi

; autantdefoisqu'ilyade heminsdeX i versA :::; x p 1 +l X p;:::;x p k p +l Xp )

Des exemples d'étiquetage omplet : Prenonsle graphe des ontrariétés suivantet appliquons les règlespré édentes:

2

An'appartientdon àau undesC 0 i . 3

C'est-à-direattaquantsdire tsd'élémentsdes ir uits:8X i ,9C2fC1;:::;Cm;C 0 1 ;:::;C 0 n gtelque9Y 2CetX i RY. 4

S'ilyaplusieurs heminsmenantdeX i

D

G

H

A

F

I

J

C

B

E

K

L

Q

P

M

N

O

()

()

(1,2,2)

(1,2,1)

(1,2,3)

(1,2,2,3,2)

(1,2,3,4,3)

(2,3,4)

(2,3,3)

(1,2,3,4,4)

(1,2,4,5,5)

(1,2)

(1,2)

(1,2)

(2,3)

(1,3,4)

(1,2,3,4,5,2,4,5)

Pour D, E, F, L, Q et P, on utilise la règle 1 page pré é-dente. Les valeurs de tous les autres argu-mentssontfourniespar la règle 2 page pré é-dente.

Dénition 8(Évaluationgraduellepar tuples) Soitvuneappli ationdeAdansl'ensembledessuites d'entiersnaturels,v serauneévaluationpartuplessietseulement siv respe telesrègles1pagepré édente et2page pré édente.

3.2.2 Comparaison d'arguments à l'aide de tuples

3.2.2.1 Les idéesutilisées

Étantdonnéque,dansuntuple,lesvaleurspaires( orrespondantauxbran hesdedéfense)etlesvaleurs impaires( orrespondantauxbran hesd'attaque)nejouentpaslesmêmesrles,nousnepouvonspasnous ontenter d'une simple omparaison lexi ographique.Nous avonsdon hoisi de omparer les tuples en deuxphasesbiendistin tesenadoptantuneattitudeprudente :

 Unepremièrepasse permetdedétermineret omparerlenombredebran hesd'attaqueetlenombrede bran hesdedéfense de ha un.Celanousdonnedeux ritères(unpourladéfenseetunpourl'attaque). Si esdeux ritèressontena ord, 'est-à-direquel'undestuplesaplusdebran hesdedéfenseetmoins debran hesd'attaquequel'autre,alorsonpeut on lure.Demême,silesdeux ritèressontendésa ord (l'undestuplesaplusdebran hesdedéfenseetplusdebran hesd'attaquequel'autre),lestuplessont onsidérés ommein omparables.

 Sinon,les deuxtuples ayantlemême nombred'attaqueset lemême nombrededéfenses, une se onde passe omparelaqualitérespe tivedesattaquesetdesdéfenses.La omparaisonported'unepartsurles partiespairesdestuples,d'autrepartsurlespartiesimpairesdestuples.I i-aussi,en asdedésa ord, la on lusionestl'in omparabilitédestuples!Cette omparaisonutiliseunprin ipelexi ographique. Voi iquelquesexemplespourxerlesidées:

 (1;2) est meilleur que(1;1;2) aron amoinsde bran hesd'attaque dansle premiertuple quedans le se ondpourunnombredebran hesdedéfenseidentique(première passe).

 (1;2) est in omparable ave (1;1;2;2) ar on a, dans le premier tuple, à la fois moins de bran hes d'attaqueetmoins debran hesdedéfense quedanslese ond(première passe).

 (2;3) estmeilleur que(1;2) ar ona,danslepremiertuple, demeilleuresbran hesd'attaqueque dans lese ond(ellessontpluslongues)pourdesbran hesdedéfenseidentiques(se ondepasse).

 (2;3)est meilleurque(3;4) arona,danslepremiertuple,demeilleuresbran hesdedéfensequedans lese ond(ellessontplus ourtes)pourdesbran hesd'attaqueidentiques(se ondepasse).

 (1;2) estin omparable ave (3;4) arona,danslepremier tuple,àlafois deplusmauvaises bran hes d'attaqueetdemeilleuresbran hesdedéfensequedanslese ond(se ondepasse).

Toutes esidéesontdébou héessurl'algorithme1donnédanslase tion3.2.2.2.

3.2.2.2 L'algorithmede omparaison

Notations SoitX unargumentet v(X)savaleur,posons:  n

a

(X) = nombre de bran hes d'attaque menant à X ( 'est-à-direnombre d'éléments impairs dans le tuplev(X)),enposantquen

a

(X)=0siX estune feuille;  n

d

(X)=nombredebran hesdedéfensemenantàX ( 'est-à-direnombred'élémentspairsdansletuple v(X)),enposantquen

d

(X)=1siX estune feuille;  v 0 (X)=f (v(X)),lafon tionf

 v p (X) = f p (v(X)), la fon tion f p

(t) onsistant à ne garder du tuple t que les valeurs paires ( elles représentantdeslongueursdebran hesdedéfense),

 v 0 i (X) =f i (v 0 (X)), lafon tion f i

(t) onsistantà ne garder dutuple t que les valeursimpaires ( elles représentantdeslongueursdebran hesd'attaque).

Justi ationdes hoix Lesdonnéesn a

(X),n d

(X)serventàee tuerla omparaisonquantitative(pour savoirsiX estmeilleurqueY,ilfaut queX aitmoins d'attaquesETplusdedéfensesqueY).

Quantàv 0 (X),v 0 p (X),v 0 i

(X),ilspermettrontla omparaisonlexi ographiquedestuplesdansle asoùX et Y auraientlemême nombred'attaques et dedéfenses. RemarquonsquepourX dontla valeurest (), onav 0 (X)=v 0 p (X)=v 0 i (X)=().

Remarque : Il est impossible pourun argument A d'avoir n a

(A) = n

d

(A) = 0 (en eet, n a

(A) = 0 implique qu'au unebran hed'attaquen'arriveàA et n

d

(A)=0implique qu'au unebran hededéfense n'arriveàA, don ,puisqu'au unebran hequellequesoit sanature n'arrivesur A,A est unefeuille; or,siAestune feuille,ondoitavoirn

d

(A)=1!Contradi tion.).

Dénition La omparaison

5

de2argumentsAet B vasefaired'aprèsl'algorithme1.

Algorithme1:Comparaisonde2tuples enutilisantles omparaisonsdesnombresdebran hes

%Des riptiondes paramètres: %

%v(A),v(B):2tuples %

début

siv(A)=v(B)alorsAB ETBA %Cas1%

sinon

sina(A)=na(B) etnd(A)=nd(B)alors

% omparaisonslexi ographiquesentrev 0 p (A)etv 0 p (B)etentrev 0 i (A)etv 0 i (B)% siv 0 p (A)lexv 0 p (B)ETv 0 i (A)lexv 0 i (B)alorsAB % as2% sinon siv 0 p (A) lex v 0 p (B)ETv 0 i (A) lex v 0 i (B)alorsAB % as 3%

sinon A6B etA6B %Ondé idedenepastran her! as4%

sinon sin a (A)n a (B)ETn d (A)n d (B)alorsAB % as5% sinon sin a (A)n a (B)ETn d (A)n d (B)alorsAB % as 6%

sinon A6B etA6B %Ondé idedenepastran her!Cas7%

n

3.2.3 Quelques propriétés

Soitv uneévaluationpartuples, onalespropriétéssuivantesdont ertainessontissuesde[CLS01℄:

Propriété 11 (Pré-ordre partiel etValeurminimale) Lafon tiond'évaluationpartuplesasso iéeà l'algorithme 1 induit un pré-ordre partiel  sur l'ensemble des arguments dont les éléments maximaux serontlesfeuillesayantpourvaleur ().

L'argument?ayantpourvaleur letuple (1;:::;1)

| {z }

1

estla valeur minimale 6

pour larelation.

Preuve :Lapreuvepourlepré-ordreestdonnéedans[CLS01℄.

Pourlavaleurminimale, eladé ouledire tementdel'algorithme1.Eneet,ilsutde onsta-ter que tout argument ayant au moins une bran he de défense sera toujours meilleur que ? ( as5et 6del'algorithme de omparaison),et quetout argumentdiérentde ?n'ayantque 5

Dans [CLS01℄,nous avionsproposédeux méthodesde omparaison.I i,nous n'en reprendrons qu'uneseule, ellequi induitunpré-ordrepartielsurl'ensembledesarguments.

6

Remarquonsque etargument orrespondau asd'unargument ontrariéparuneinnitéd'argumentseux-mêmesjamais attaqués.

diérent, as2et 3silenombredebran hesest identique). 

Propriété 12 (Indépendan e des bran hes) SoitunargumentAayantpourattaquantsdire tsA 1 de valeur v(A 1 ) = (a 1 1 ;:::;a 1 m1 ), ..., A n de valeur v(A n ) = (a n 1 ;:::;a n mn ). Soit l'argument A 0 ayant pour attaquants dire ts A 1 1 de valeur v(A 1 1 ) = (a 1 1 ), ..., A 1 m1 de valeur v(A 1 m1 ) = (a 1 m1 ), ..., A n 1 de valeur v(A n 1 )=(a n 1 ), ..., A n mn de valeur v(A n mn )=(a n mn

). Alorsv(A)=v(A 0

).

Preuve :Celadé ouledire tementdesrèglesde al ul1page11et2page11.  Cettepropriétémontrebienl'aspe tindépendant delapriseen omptede haquebran hemêmequand lesdites-bran hesnesontpasindépendantesgraphiquement!Surl'exemplesuivant,AetA

0

ontexa tement lamêmevaleur(2;2) bienqu'ilssoientra inedesous-graphesdiérents:

A

B

C1

C2

C1

C2

B1

B2

A’

Lesdeux dénitions quisuiventdéterminentpré isémentlesnotionsd'amélioration/détériorationdes dé-fenses/attaques omposant les prin ipes que respe te l'évaluation par tuples (voir propriété 13 page i- ontre).

Dénition9 (Amélioration/détériorationdesdéfenses/attaques partie 1) SoitAunargument ayant pour valeur v(A)6=() telle que v

0 p (A)=(x p 1 ;:::;x p n

)(le tuple des défenses, don x p j est unentier pair,8j2[1::n℄)etv 0 i (A)=(x i 1 ;:::;x i m

)(letuple desattaques,don x i j

estunentierimpair,8j2[1::m℄). Ondénit :

Uneaméliorationde ladéfense onsisteà  soitrajouterune bran he de défenseàA :

v 0 p (A)devientf (x p 1 ;:::;x p n ;x p n+1 ) ave x p n+1 entierpair;  soitdiminuerune bran he de défensede A :

9j 2 [1::n℄ tel que v 0 p (A) devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x 0p j ;x p j+1 ;:::;x p n ) ave x 0p j < x p j et x 0p j pair;

 soitsupprimerla seulebran he de défense menantàA: siinitialementv(A)=(x p j )ave x p j

pair etquev(A)devient (); Uneaméliorationde l'attaque onsisteà

 soitrajouterune bran he d'attaqueàA : v 0 i (A)devient f (x i 1 ;:::;x i m ;x i m+1 )ave x i m+1 entierimpair;  soitdiminuerune bran he d'attaque deA :

9j 2 [1::m℄ tel que v 0 i (A) devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x 0i j ;x i j+1 ;:::;x i m ) ave x 0i j < x i j et x 0i j impair;

Unedétériorationde la défense onsiste à  soitsupprimerune bran he de défense àA:

9j2[1::n℄ telquev 0 p (A)devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x p j+1 ;:::;x p n );  soitrallongerune bran he de défense deA :

9j 2 [1::n℄ tel que v 0 p (A) devient (x p 1 ;:::;x p j 1 ;x 0p j ;x p j+1 ;:::;x p n ) ave x 0p j > x p j et x 0p j pair;

Unedétériorationde l'attaque onsisteà  soitsupprimerune bran he d'attaque àA:

9j2[1::m℄ telquev 0 i (A)devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x i j+1 ;:::;x i m );  soitrallongerune bran he d'attaquede A :

9j 2 [1::m℄ tel que v 0 i (A) devient (x i 1 ;:::;x i j 1 ;x 0i j ;x i j+1 ;:::;x i m ) ave x 0i j > x i j et x 0i j impair.

Dénition10 (Amélioration/détériorationdes défenses/attaquespartie 2) SoitAunargument ayantpour valeurv(A)=()(don v

0 p (A)=v 0 i (A)=()). Ondénit:

Uneaméliorationde l'attaque onsisteàrajouterune bran he d'attaqueàA : v 0 i (A)devient(x i j )ave x i j entier impair;

v 0 p (A)devient(x p j )ave x p j entier pair.

Propriété 13 (Prin ipes respe tésvoir[CLS01℄) Soit v une évaluation par tuples (don dénie parlesrègles1page 11et 2page 11) asso iéeàl'algorithme 1page13,v respe telesprin ipes suivants: P1

0

L'évaluation est maximale pour unargumentsans attaquant et non maximale pour unargument at-taqué(qu'il soitdéfendu oupas).

P2 0

L'évaluation d'unargumentprenden ompte touteslesbran hes dont etargumentestra ine. P3

0

L'amélioration de la défense oula détérioration de l'attaque onduisent àaugmenter la valeur d'un argument.

P4 0

L'amélioration de l'attaque ou la détérioration de la défense onduisent à diminuer la valeur d'un argument.

3.3 Diéren es essentielles entre évaluations lo ale et globale

Dans[CLS01℄,lele teurtrouveraune omparaisonde esappro hesave lesautresappro hesdudomaine ([Dun95,JV99,BH01℄),ainsiqu'une omparaisonappro helo ale appro heglobale.

Rappelonstoutefoissurunexemplelepointessentielquilesdiéren ie:

B

D

C1

C2

C’

B’

Sur etexemple,ave l'appro helo ale,on onstatequeBadeuxattaquantsdire ts(C 2 devaleurmaximale et C 1 )alorsqueB 0 n'enaqu'un(C 0

devaleurmaximale).Don B 0

estmeilleur queB.

Ave l'appro he globale, on onstate que deux bran hes (une d'attaque et une de défense) mènent à B alorsqu'ilyaunebran hed'attaquequimèneàB

0

.Don B estmeilleurqueB 0

(puisqu'ilaaumoinsune défensealorsqueB

0

n'enaau une).Dans e as-là,l'attaquantC 1

aperdusonstatutnégatifd'attaquant, puisqueilestenfaitporteurd'unedéfense pourB!

Ainsi, onpeutsynthétiser lesrésultatsobtenuspar esappro hessouslaforme d'un tableauqui illustre bienlesdiéren esessentiellesentreappro helo aleetappro heglobalelorsqu'on omparedesarguments (seulslesargumentsjamaisattaqués sontpartoutlesmeilleurs!):

Casdel'appro heglobale

les arguments

n'ayant que des

bran hesd'attaque 

les arguments ayant des bran hes d'at-taqueetdesbran hes dedéfense



les arguments

n'ayant que des

bran hesdedéfense 

les argumentsjamais attaqués

Cas del'appro helo ale

les arguments ayant plusieurs attaquants dire tsnonattaqués



les arguments ayant unseulattaquant di-re tnonattaqué



les arguments ayant unseulattaquant di-re tattaqué(et éven-tuellementdéfendu) lesargumentsayantplusieursattaquantsdire tsattaqués(et éventuel-lementdéfendus)



les argumentsjamais attaqués

Vers une a eptabilité graduelle

L'obje tif estd'exploiterl'évaluationgraduelledesintera tionspourdénirdenouveauxniveaux d'a ep-tabilité olle tive.

4.1 Comparaison basée sur l'évaluation graduelle

Soitv uneévaluationgraduelle,onpeutdénirunev-préféren e utilisantlepré-ordreissudev :

Dénition11 SoitA;B2A, A estv-préféréàB ssiB6A.

Remarquonsque,dansle asoùl'évaluationv induitunpré-ordretotalsur l'ensemble desarguments,on a:Aestv-préféréàB ssiAB.

Cettev-préféren epeutêtreutiliséeauseind'unniveaud'a eptabilité(parexemple, eluidesarguments exi-a eptés) pourobtenir des arguments mieux a eptés que d'autres.Attention, ette v-préféren e est bien-sûr fon tion de l'évaluation v hoisie. Illustrons ette notion sur l'exemple suivant qui présente un mêmegraphemaisave deuxévaluationsgraduellesdiérentes:

A

E

_G

B

C1

_C2

D

F

()

₍₁₎

()

(1)

(2)

(1,2)

(1,2,2,3)

(1,2,3,4)

E

A

G

B

C1

_C2

D

F

0,674

0,482

0,666

0,5

1

0.5

1

0,4

Évaluation par tuples

Évaluation de [BH01]

Ave l'évaluation partuples,onobtient:

D;C 2 G B AE F;C 1

(Bn'estpas omparableave A ouE)

Ave l'évaluation de[BH01℄, onobtient:

D;C 2

EGC

1

;FAB

Si onapplique ettev-préféren esansrespe terlesniveauxd'a eptabilitédénisense tion2.3.2page6, onarriveàdessituations ontre-intuitives(parexemple,ave [BH01℄,E serav-préféréàGalorsqueGest uni-a eptéet Eseulement-exi-a epté!).

4.2 Situation d'un argument par rapport à ses ontrariants

I i, on her heàutiliserdire tement ettev-préféren epoursituer,dupointdevuedel'a eptabilité,un argumentetses ontrariants.

Ainsi,onessayede apturerl'idéequ'un argumentseramieux a eptés'ilest aumoinsaussibonqueses attaquantsdire ts (ouin omparable ave euxdansle as d'unordre partiel!).L'ensembledes arguments bien-défendus va dépendre de l'évaluation hoisie. Si on reprend l'exemple donné en se tion 4.1 page pré édente, on onstate que les arguments bien-défendus sont D, C

2

, G et A (A in omparable ave B mais meilleur que E) pour l'évaluation par tuples, alors qu'ave l'évaluation de [BH01℄ les arguments bien-défendus sontD, C

2

,GetE (E meilleurqueA).

Remarquons aussi que, omme dans le as des sémantiques de [Dun95℄, la dénition 12 onsidère les ontrariantsunparun.Elle n'estdon pasadaptéeàuneévaluationqui utiliseraitla ontrariétédanssa globalité( equiest parexemplele asdans[BH01℄).

4.3 Compatibilité entre a eptabilité olle tive et évaluation

gra-duelle

Nousdisposons don d'unenouvellenotiond'a eptabilité(dénition12)dontil fautétudierla ompati-bilitéave lapartitionenniveauxproposéeense tion2.3.2page6.

On onstatetrèsvite surdiversexemplesque es deuxappro hesnesontpas ompatibles.

4.3.1 Exemples montrant la non ompatibilité dans le as général

Passons enrevue quelques exemplespour ha unedes évaluations graduelles lesplus onnues(deux ins-tan esdel'évaluationlo alegénérique:[BH01,JV99℄etl'évaluationglobalepartuplesde[CLS01℄)etpour lessémantiquesdel'a eptabilitélesplus lassiques(les sémantiquespréféréeetstable de[Dun95℄).

Argumentproprement-a epté maispasbien-défendu Onai iaumoins3exemples:  l'argumentA respe teladénition6page6maispasladénition 12:

B1

C1

A

B2

C2

B3

C3

1

1

0.5

_0.5

0.5

1

0.4

v(A) < v(Bi) quel que soit i = 1, 2, 3

B1, B2, B3 n’appartiennent à aucune ext préférée

1 seule ext préférée et stable = { C1, C2, C3, A}

 l'argumentA respe teladénition6page6maispasladénition 12:

C

D

B

₋

A

?

?

?

v(A) < v(B)

B n’appartient à aucune ext préférée

Ici, 2 ext préférées et stables : {C,A} et {D,A}

 l'argumentI respe teladénition6page6maispasladénition12:

A

B

C

D

E

F

G

I

H

(3)

()

₍₁₎

₍₂₎

(3)

(3,4,4)

(4,5,5)

_(5,6,6)

_(6,7,7)

v(I) < v(G)

G n’appartient pas à l’ext préférée

1 seule ext préférée et stable = {A,C,F,I}

Argumentbien-défendu maispasproprement-a epté Onai iaumoins3exemples:  l'argumentC respe teladénition 12maispasladénition6page6:

D

_A

C

B

?

?

?

+

v(C) >= v(B)

C n’appartient pas à l’ext préférée et stable

1 seule ext préférée et stable : {D, B}

 l'argumentF respe teladénition 12pagepré édentemaispasladénition 6page6:

B

F

E

G

H

A

0.618

0.618

0.472

0.679

0.5

1

2 ext préférées et stables = {A,H,E} et {B,H,F}

F appartient à 1 ext préférée et stable

v(F) > v(E) et E appartient aussi à 1 ext préférée et stable

alors que E attaque F

 l'argumentGrespe teladénition 12pagepré édentemaispasladénition 6page6:

A

B

C

D

E

F

G

I

H

(3)

()

₍₁₎

₍₂₎

(3)

(3,4,4)

(4,5,5)

_(5,6,6)

_(6,7,7)

G n’appartient pas à l’ext préférée

v(G) > v(F)

1 seule ext préférée et stable = {A,C,F,I}

4.3.2 Cas parti uliers menant à la ompatibilité

Nousnousplaçonsdansle ontexted'unsystèmed'argumentationave unerelationRnieetn'admettant au un ir uit

1

.Lessémantiquesstableetpréféréeneproposentalorsqu'uneseuleextensionetlesniveaux d'a eptabilitéuni-a eptés,exi-a eptés,proprement-a eptésfusionnent.

Dans e ontexte,il yaaumoinsdeux asparti uliersmenantàune ompatibilité.

4.3.2.1 Premier as

Il on ernel'évaluationgraduelleglobalepartuples:

Propriété 14 SoitGlegrapheasso iéà<A;R>unsystèmed'argumentationave Rnieetn'admettant au un ir uit etvériant la onditionsuivante :9A2Atelque

 8X

i

,8i=1:::n, feuillede G,9 unseul hemin de X i vers A,X 1 i ::: X li i Aave X 1 i =X i etl i la longueur de e hemin (sil

i

est paire, e hemin estune bran he de défense pourA, sinon 'est une bran he d'attaque),

 tousles heminsdeX i

vers Asont ra ine-dépendants enA,  8A

i

2A, 9X

j

une feuille tellequeA i

appartienneàun hemin de X j

versA. Soitv une évaluation partuples.SoitS une sémantique2{préférée, stable}. 8B2A, B exi-a eptépour S ,B bien-défendupourv.

Preuve : Lapreuvereposesur l'étude des ontraintes entre valeurssur haque hemin.Soit X

i

unefeuille,le heminC2C(X i ;A)est lesuivantX 1 i ::: X li i Aave X 1 i =X i et l i la longueurde e hemin(sil

i

estpaire, e heminestunebran hededéfensepourA,sinon 'est unebran hed'attaque).

Les ontraintesentreX 1 i àX l i i

sontlessuivantes(voir[CLS01℄):

X 1 i X 3 i :::X l i i X 2 i X 4 i :::X l i 1 i sil i impaire 1 ou X 1 i X 3 i :::X l i 1 i X 2 i X 4 i :::X l i i sil i paire 2 1

Don ,pourle heminX 1 i ::: X i i

,l'ensembledesargumentsbien-défendusestfX 1 i ;X 3 i ;:::;X i i g sil i estimpaire,fX 1 i ;X 3 i ;:::;X li 1 i

gsinon( esonttouslesargumentsayantunevaleur stri -tementsupérieureà elle deleursattaquantsdire ts etindire ts).Nousnoterons etensemble A ep

i .

Par dénition, et ensemble est sans- onit, il défend seséléments (puisqu'il ne ontientque la feuille et tous les arguments du hemin défendus par ette feuille) et don attaque tous lesargumentsrestants.Sion her heàrajoutern'importequelargumentX 2fX

1 i ;:::;X li i gn A ep i

,onobtientun onit(puisquetouslesargumentsrestantssont euxquisont ontrariés pardesélémentsdeA ep

i ).Don .pourfX 1 i ;:::;X l i i g,A ep i

estuneextensionpréféréeet stable. PosonsA 0 =AnfAg,R 0 larestri tiondeRàA 02 et Union_A ep=[ i A ep i ,onaalors Union_A epquiestune extensionpréféréeetstablede(A

0 ;R

0 ). Voyonsmaintenantle asdeA.

 SoitA n'est pasbien-défendu, don il existe unattaquant dire t X li i

de A telque v(A)< v(X li i ). Onadeux as:  soitX l i i orrespondàl i impairedon v(X l i i )=(l i

1) (nombrepair!), equisignieque X

li i

2Union_A ep. OnaalorsUnion_A ep [fAgqui n'estpassans onit.Don Union_A epestaussiuneextensionpréféréeetstable de<A;R>.

 soit X li i orrespond à l i pairedon v(X li i ) = (l i

1) (nombre impair!), don pour que v(A) soitinférieure àv(X

l i i

)il faudrait queA n'aitau unebran hede défense e qui est impossible puisque labran he venant de X

l i i

est une bran he de défense pour A! Don ontradi tion.Ce asnepeutpasseproduire.

 SoitAestbien-défendu, equisigniequetouteslesbran hesmenantàAsontdesbran hes dedéfensepourA(don l

i

estpairepour haquebran hei).OnaalorsUnion_A ep[fAg qui est sans onit et A qui est défendu ontre ha un de ses attaquantsdire ts (puisque X

li 1 i

2Union_A eppour haquebran hei).Don Union_A ep[fAgestune exten-sionpréféréeet stablede<A;R>.

Onadon l'ensemble desargumentsbien-défendusqui est uneextension préféréeet stablede <A;R>.Et ommeonestdansle asoù etteextensionestunique,onpeutdon on lureque

8B2A,B exi-a epté,B bien-défendu. 

Remarquonsque ettepropriété 14page pré édenten'estengénéralpasvériéeparuneévaluation géné-rique.Ce s hémasuivantfournitun ontre-exemplepourl'évaluationde[BH01℄:

B1

C1

B2

C2

B3

C3

A

0,4

0,5

_0,5

0,5

1

1

1

Sur e s héma, on onstate que l'ensemble des arguments bien-défendus est fC 1 ;C 2 ;C 3 g (don A pas-bien-défendu) et pourtant l'ensemblefC

1 ;C

2 ;C

3

;Agest unensemble admissible ( 'est même l'extension préférée).

4.3.2.2 Se ond as

Ce se ond as on ernel'évaluationgraduellelo alegénérique:

Propriété 15 Soit<A;R> unsystème d'argumentation ave Rnie et n'admettantau un ir uit. Soit S une sémantique 2 {préférée, stable}. Soit v une évaluation graduelle lo ale vériant la ondition (i) suivante : (8i=1:::n;g(x i )x i ))(g(h(x 1 ;:::;x n ))h(x 1 ;:::;x n )) (i)

8A2A, Aexi-a epté pourS , Abien-défendupour v. 2 R 0 estlarestri tiondeRàA 0 sietseulementsiR 0 =f(a;b)jaRb;a2A 0 ;b2A 0 g.

Lemme 1 Soit <A;R> un système d'argumentation ave R nie et n'admettant au un ir uit. Soit S une sémantique2{préférée, stable}. Soitv uneévaluation graduellegénériquevériantla ondition(i).

1. Cas1:Si Aest exi-a epté etqueA n'aqu'unseul ontrariant notéB alorsv(A)v(B). 2. Cas2:Si B estnon-a epté etqueB n'a qu'unseul ontrariant notéC alors v(B)v(C).

Preuve du lemme : Sa hant que l'on est dans le ontexte d'un système d'argumentation <A;R>ave Rnieetn'admettantau un ir uit(don uneseuleextensionpréféréeetstable notéeE,don nonvide),onsaitdon que:

 siAestexi-a eptéetsiAaun ontrariantnotéB alorsB estnon-a epté,

 siB est non-a epté alorsil existeaumoins unargumentC telqueCRB et C exi-a epté (puisqueBn'estpasdansE etqueE eststablealorsCdoit2E).Don ,afortiori,siB est non-a eptéetn'aqu'unseul ontrariantC,alorsC seraexi-a epté.

Puis,onfaitlapreuveparindu tion surlaprofondeurd'unarbredepreuvepourAouC.  Casdebase pourle as1: Aexi-a eptéave ununique ontrariantB, don onaBRAet

C 1

:::C n

ontrariantsdeB, equi donneunarbredepreuvedelongueur2pourAave un desC

i

non ontrarié,parexempleC 1 ;onaalors: v(B) = g(h(v(C 1 );:::;v(C n )))  g(v(C 1 )) puisqueh(v(C 1 );:::;v(C n ))h(v(C 1 ))=v(C 1 ) et quegestdé roissante

 g(V Max ) arv(C 1 )=V Max don : v(A) = g(v(B))  g 2 (V Max )

Or,onsaitparlapropriété5page9queg 2 (V Max )g(V Max ),don v(A)v(B).

 Cas de base pour le as 2 : on a CRB ave C unique ontrariantde B, e qui donne un arbrede preuvede longueur0pourC, 'est-à-direC non ontrarié; don v(C) =V

Max et v(B)=g(V

Max

)v(C)(d'aprèsladénition7page9).

 Casgénéralpourle as1:A exi-a eptéave ununique ontrariantB,don on aBRA et C

1 :::C

n

ontrariantsdeB,ave undesC i

exi-a epté,parexempleC 1 ; onsidéronsle sous-graphemenantàC 1 auquelonajouteC 1

RBRA,etposonsl'hypothèsed'indu tionsuivante (issuedu as2): g(v(C 1 ))v(C 1 ) Don : v(B) = g(h(v(C 1 );:::;v(C n )))  g(v(C 1

)) toujourspourlesmêmesraisonsquedansle asdebase

 v(C

1

) parhypothèsed'indu tion

 h(v(C

1

);:::;v(C n

)) propriétédeh

onadon ,à ausedeladé roissan edeg :

v(A) = g(v(B))  g(h(v(C 1 );:::;v(C n )))=v(B)

 Casgénéralpourle as2:B est non-a epté,don C estexi-a epté;supposons queC ad-metteplusieurs ontrariantsD

1 :::D

p

i i thèsed'indu tionsuivante (issuedu as1):

8i=1:::p,g(v(D i ))v(D i ) don : v(C) = g(h(v(D 1 );:::;v(D p )))  h(v(D 1 );:::;v(D p

)) appli ation dela ondition(i)

puisquel'hypothèsed'indu tionprise orrespondàlaprémissede(i)

don : v(B) = g(v(C))  g(h(v(D 1 );:::;v(D p )))=v(C)  Preuve:Supposonsque(i)vraieetétudionsA2Aquiestexi-a epté.SoitB

i

,i=1:::n,les ontrariantsdeA.Alors,pour haquei=1:::n,danslesous-graphemenantàB

i

et omplété parB

i

RA,onappliquelelemmeet ona:g(v(B i ))v(B i ),8i=1:::n.Ainsi,onobtient: v(A) = g(h(v(B 1 );:::;v(B n )))  h(v(B 1 );:::;v(B n )) enappliquant(i)  v(B i );8i=1:::n propriétédeh

Don ,Aestbien-défendu.

Pourlaré iproque,soit A2A bien-défendu. NotonsB 1

;:::;B n

les ontrariantsdeA et sup-posons que A n'estpasexi-a epté. Alorsil doit existerau moins un ontrariantB

i

de Atel queB

i

estexi-a epté(puisqu'iln'yaqu'uneseuleextensionpréféréeetstable).Onpeutdon appliquerle as2dulemme surlesous-graphemenantàB

i omplétéparB i RAetonobtient g(v(B i ))v(B i ).Don ,il existeB i

un ontrariantdeAtelque:

v(A) = g(h(v(B 1 );:::;v(B n )))  g(v(B i )) propriétédehetdé roissan edeg  v(B i ) utilisationdulemme

Cequiest en ontradi tionave Abien-défendu. Don Aestexi-a epté. 

Remarque : Cette ondition(i)est:

 faussepourl'évaluationlo aleproposéepar[BH01℄:ilsut dereprendrelegraphesuivant:

B1

C1

B2

C2

B3

C3

A

0,4

0,5

_0,5

0,5

1

1

1

Sa hantqueg(x)= 1 1+x eth(x 1 ;:::;x n )= n i=1 x i

(voirpropriété 10page10),on onstatealorsque:  8i=1:::3,x i =v(B i )=0:5,  8i=1:::3,g(x i )=0:66,don g(x i )x i ,  et pourtantg(h(x 1 ;x 2 ;x 3 ))=v(A)=0:46h(x 1 ;x 2 ;x 3 )=1:5!

alorsg(h(x 1 ;:::;x n ))=g(Max(x 1 ;:::;x n ))=g(x j ),x j

étantleplusgranddesx i

;or,parhypothèse, g(x i )x i , 8x i

, don enparti ulierpourx j ;don ,ona: g(h(x 1 ;:::;x n ))=g(x j )x j =Max(x 1 ;:::;x n )=h(x 1 ;:::;x n )  faussepourlesévaluationslo alesdéniesave htelleque9n>1ave h(x

1 ;:::;x n )>Max(x 1 ;:::;x n ) (quellequesoitlafon tiong stri tementdé roissante):ilsut dereprendrele ontre-exempleproposé pour [BH01℄ en onstatant que h(x

1 ;x 2 ;x 3 ) = 1:5 et que Max(x 1 ;x 2 ;x 3

) = 0:5; don , que l'on a 9n>1(=3) ave h(x 1 ;:::;x n )>Max(x 1 ;:::;x n ).

Con lusion

Dans epapier,nousavons her héàgradualiserlanotiond'a eptabilitéd'unargument.Pour ela,nous noussommesappuyéessurlanotiond'a eptabilité olle tivede[Dun95℄quipermetdéjàd'avoir3niveaux d'a eptabilité(uni-a eptés,exi-a eptés,non-a eptés).Nousavonsalors her héàintroduirelapriseen ompte d'uneévaluationgraduelledesargumentsdanslanotiond'a eptabilité olle tive.

Celanousaamenéàproposerdiversesnotionsappli ablesàunargument:

 lesargumentsproprementa eptés: euxdontles ontrariantsnesontpasa eptés(pourunesémantique donnée),

 lav-préféren e entreargumentsissuedire tementdel'évaluationv,

 lesargumentsbien-défendus: euxquisontv-préférésàleurs ontrariants(pouruneévaluationgraduelle v donnée).

La première notionpermet de ranerle niveau des exi-a eptésen deux sous-niveaux (les proprement-a eptéset lesseulement-exi-a eptés).

Lase ondenotionpermetdegradualiserlatotalitédesniveauxd'a eptabilitémaisseulementenl'utilisant àl'intérieurde haqueniveau.

Latroisièmenotionpermet dedénirdeuxnouveauxniveauxd'a eptabilité(lesbien-défendusetles pas-bien-défendus). Malheureusement,nous avons onstaté sur diversexemples que, dans le as général, es niveauxn'étaientpas ompatiblesave euxproposéspar[Dun95℄etranésàl'aidedelapremièrenotion (l'a eptabilité propre);et ela,bienquelesnotionsd'argumentbien-défenduet d'argument proprement-a eptésoienttouteslesdeux onstruitesàpartirdesintera tionsentrearguments.

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