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Discussions sur l'évaporation d'une gouttelette mouillante

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(1)

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Discussions sur l’évaporation d’une gouttelette

mouillante

Geoffroy Guéna

To cite this version:

Geoffroy Guéna. Discussions sur l’évaporation d’une gouttelette mouillante. Analyse de données,

Statistiques et Probabilités [physics.data-an]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2007.

Français. �tel-00292745�

(2)

Spé ialité : Physique

Thèsede do torat présentée par

Georoy Guéna

pour obtenir legradede do teurde l'UniversitéParis VI.

Titre delathèse :

Dis ussions sur l'évaporation d'une gouttelette mouillante.

Soutenue le 18o tobre 2007 devantle jury omposé de :

M

me

Martine Ben Amar M. DanielBeysens M

me

Anne-Marie Cazabat M. Jean-Pierre Hulin M. Laurent Limat M. FrançoisLequeux Dire tri e de thèse Rapporteur Rapporteur Membre invité

(3)
(4)

Je tiens à ouvrir ette page de remer iements en saluant la mémoire du Professeur Pierre-Gilles deGennes. Il o upait la haire dephysiquede la matière ondensée au Collège deFran e depuis 1971 lorsque j'ai débuté ma thèse au Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, ratta hé à ette haire. J'ai eu la han e de dé ouvrir le monde de la re her he en un lieu où ha un étaitlibre d'évoluer dans un univers serein etpréservé. Davantagequ'une expérien e, e fûtune façon d'entrevoir e que pourrait être un systèmeidéal où s ien e et so iétéfont orps.

Nousdûmes à regret quitter leCollègede Fran e mais, je remer ie Ja ques Meunier denous avoirouvert les portesdu Laboratoire de Physique Statistiqueà l'É ole Normale Supérieure.

Cettethèse auraeu deux ouleurs. Après monUniversité, j'ai étéa ueuilliau Collège pour ensuiteallerà l'É ole... Quelleévolution!mais, surtout `Quellebelle journée ça auraété!'

En eet,j'ai eula han e de ren ontrer durantmathèse unepersonneayantla volonté toute parti ulière de transmettre une parole, madire tri e dethèse Anne-MarieCazabat. Mer i Anne-Mariepourtonengagement etlesensque tudonnes àtontravail.Lesthésque nousprenionsen n dejournée l'étaient souventen ompagnie de Mi helMoreauqui a été un demes professeurs etque je remer ie pour l'attention onstante qu'il m'aportée es dernières années.

J'ai été très honnoré que Messieurs Jean-Pierre Hulin et Laurent Limat a eptent d'être rapporteurs du présent mémoire. Je ne saurais assez les en remer ier. Je remer ie également MartineBen Amar d'avoir bien voulu présider le jury de ette thèse. Monsieur Daniel Beysens a a epté departi iper à e jury et je lui ensuis très re onnaissant. Enn,je remer ie François Lequeux d'avoir a epté notre invitation au dernier moment. Je suis parti ulièrement heureux d'avoir pu onstituer un jury de personnes que j'estime de la sorte et je tiens en ore une fois leur exprimer ma gratitude.

Durant es troisannées,j'ai vu trois thèsess'imbriquerpouraboutir à quelque hosequi res-semble dorénavant à un travail de groupe, une jolie histoire dont le dénouement reste à venir. Mer iàChristophePoulard dem'avoirintroduit à e ri heproblèmedegouttelettes volatilessans jamais hélas m'avoir désigné elle qui fait déborder le vase... Je salue très ami alement Ulysse Delabre pour avoir partagé son regard ritique au ours de nos nombreuses dis ussions, dis us-sionsdesquelles il sortait bien souvent quelque hose de ri he.Quelle relève! Mer i également à CélineRi hard dontlepassage pleindesourires aapporté unpeu d'é lat dansnotre sallede ma-nipe. Mer i auxstagiairesquinouspermettentparfoisdenoussentirutiles, AoueaAmoussouvi, SébastienHerbertainsique, Pierre-Arnaud ArtolaetPas al Allançon. Jeremer ieégalement les an iens du groupe, Ahmed Amraoui et Olivier Béni hou, qui ont su rester présents à nos tés pour nousapporter leur aide et leur soutienami al lorsqu'ilétait né essaire.

Christian Ruyer-Quilet Frédérique Giorgiutti m'ontproposé defaire unséminaire au FAST quelques jours avant ma soutenan e. Je tiens à remer ier tous eux qui se sont dépla é à ette o asion, grâ e à eux j'ai pu aborder la soutenan e ave beau oup plus de onan e.

(5)

à le rendre parfois plus admirable en ore. Je remer ie les adeptes du afé ollégial et des re-pas onfraternels durant e que je me risquerait à appeler l'âge d'or du Collège, Marie-Ali e Guedeau-Boudeville, Raymond Ober, Hubert Hervet, Marie-Fran e Gestin, Josette Comes-Gary maisaussi,Mathilde etÉtienneReyssat, DavidQuéré, HélèneBondil,Marie-Cé ile Lamblet, Li-liane Léger, Thomas Vilmin, A hod Aradian, Élie Raphaël, Julien S heibert, Sébastien Besson, Georges Debrégeas et enn Alexis Prévost. Je suis parti ulièrement re onnaissant de l'attention d'Alexis à ette thèse et je le remer ie i i pour m'avoir oert es instants de dis ussion durant lesquels il sait faire preuve d'un di ernement parti ulier. Alexis a également été le iment qui nous a permis defa iliter notre installation à l'É ole alors qu'il était ratta hé au groupe de Di-dierChâtenet. Mer i don au groupe Châtenet dans son ensemble pour sona ueil. Je remer ie haleureusement Zaïre Dissi et Nora Sadaoui pour nous avoir permis de dépasser les moments deottement qui ontsuivi notre déménagement à l'É ole ainsi que tous eux qui ont a epté de pousser unpeu lesmurspourque nouspuissionsnousinstaller. Unnouveaulieu apportede nou-velles ren ontres,je saluelesthésards duLPSnotamment,Éri HerbertetChristopheChevallier ainsi que les hommes en bleu qui, par leur présen e et leur entrain,égayaient ma des ente vers les manipes du deuxième sous-sol.

Ma famille, mes amis par e qu'ils sont lebonheur qu'ils m'apportent.

(6)

Avant propos 5

I Gouttelettes de liquide pur 7

1 Évaporation de gouttelettes mouillantes : une introdu tion 9 1.1 Évaporation d'unegoutteletted'aérosol . . . 11 1.2 Notionsdemouillage . . . 21 1.3 Tauxd'évaporation d'unegouttelette reposant surun substrat. . . 23

2 Phénoménologie de gouttelettes mouillantes en évaporation 33 2.1 Donnéesexpérimentales:Étatzéro de l'analyse . . . 36 2.2 Unpremier modèlede gouttelettevolatile . . . 39 2.3 Jusqu'oùpeut-on dé rire lesexpérien es? . . . 46

3 Considérations expérimentales 51

3.1 Guidepratique desexpérien es . . . 53 3.2 Le as débattude l'eau. . . 57 3.3 Retoursurles hypothèses dumodèle . . . 60

4 Lignes de onta t stationnaires 77

4.1 Pourquois'intéresser à l'étalement?. . . 79 4.2 Réexionsautourde l'extension maximale . . . 85 4.3 Gouttesnourries . . . 93

5 L'attrait des lignes de onta t mobiles 99

II Gouttelettes à gradients 103

1 Mise en garde 105

2 Gouttes de mélange binaire 107

2.1 Régimesd'évaporation de gouttelettes demélange. . . 107 2.2 Dis ussionsurlediagramme de phase d'unegoutte demélange. . . 111 2.3 Évolutionpréditepar unmodèle qualitatif . . . 115

3 Ouverture 121

(7)

Annexes 123

A Tableaux omplémentaires 124

A.1 Constantesphysiquesdesliquides étudiés . . . 124 A.2 Valeurs al ulées du paramètre d'évaporation

j

o

. . . 125

B Formes autosimilaires 126

B.1 Étalement d'unegouttelette de liquide non-volatil . . . 126 B.2 Rétra tiond'unegouttelette deliquide volatil . . . 127 B.3 Vers desexposantsqui ne sont pasuniversels?. . . 128

C Gravité, un eet statique 129

C.1 Aplatissement de laquestion . . . 129 C.2 Corre tiond'uneet statique . . . 130 C.3 Eetde lagravitésurletemps de rétra tion . . . 133

D Surfa e réfra to-réé hissante 136

E Pré ision sur le volume déposé lorsdu dépt à la seringue 138

Table des gures 141

Liste des tableaux 143

(8)

Cette thèse s'ins rit dansla ontinuité du travail ee tué par Christophe Poulard au Labo-ratoiredePhysiquede laMatièreCondenséedu CollègedeFran eentre lesannées2002 et2005 [Pou05℄. Il on erne la dynamique de gouttelettes mouillantes posées sur un substrat et plus spé iquement,laphasede rétra tioninduite par l'évaporation duliquide.Cettethèse aabouti àun premier modèle développé en ollaboration ave Martine Ben Amar LPS-ENS [PGC

+

05℄. Bien que simpli ateur, e modèle a le mérite de apter les ara téristiques essentielles d'un phénomène omplexe. Il suppose notamment que l'évaporation est ontrlée par la diusion stationnairedu omposévolatil danslaphase vapeuretquelesystèmeest isotherme.

Ce modèle est globalement en très bon a ord ave l'expérien e. Toutefois, son domaine d'appli abilitéest restreint et ertaines deses hypothèsessujettesà aution.Ilest alors utilede reprendreune dis ussionrigoureuse duproblème ande mieuxen omprendre lesspé i ités.

L'étude de hangementsde phasetels l'évaporation ou la ondensationestsigni ative pour la ommunauté s ientique en raison notamment de nombreuses appli ations industrielles qui leur sont asso iées. D'une façon générale, on peut iter les travaux de D. Beysens [BK86℄ et Wayneretal. [GPWJ03 ℄surlesgures desoue.En e qui on erne l'évaporation,leproblème pris un nouveau jour à la suite des travaux de R. Deegan [DBD

+

97 ℄ sur l'évaporation d'une gouttelette de suspension olloïdale ou en ore, de L. Pau hard [PA03 , Pau06℄ sur des sytèmes également omplexes. Nousnous intéressonsi i àune question apparemment plussimple : elle del'évaporation d'une gouttelettede liquide pur déposéesur unsubstrat. Toutefois, ilapparaît dans e systèmeunproblèmed'hydrodynamiquespé ique: eluideslignesde onta tmobiles, questionen ore aujourd'hui d'a tualité[Rio05℄.

L'évaporation estun phénomène qui révèle ladynamique de relaxation d'unsystème initia-lement porté en dehors de l'équilibre thermodynamique. En e sens, sa modélisation n'est pas évidente arelle s'a ompagne de phénomènes de transport aussibienà l'é helle mi ros opique quema ros opique.Nousverronsqu'ilestpossiblededé rirelesystèmeenfaisantl'hypothèseque l'équilibre thermodynamiqueest lo alement vérié à l'interfa e liquide-vapeuret quel'essentiel delaphysique quinousintéresse est ontenu dansun pro essusdetransportma ros opique.

Dans un premier temps, nous onsidèrerons un as idéalement simple : l'évaporation d'une goutteletted'aérosol.Ensuite,nousdétailleronspluspré isémentnotresystème:unegouttelette mouillantes'évaporantsurunsubstratetnalement,nousappréhenderonslafaçondontonpeut modéliser ladynamiquede esgouttelettes. Au longdes premiers hapitres, nous aborderons la questiondeseetsthermiques(lesystèmeest-ilisotherme?), elledupro essusdetransport per-tinent pourdé rire l'évaporation (pro essusdetransportà l'é helle mi ros opiqueou àl'é helle ma ros opiqueetformede estransports).Tout e i,and'étayerleshypothèsesdumodèleque noustâ honsdedévelopper.Danslase ondepartiede emanus rit,nousaborderons laquestion de l'évaporation d'une gouttelette de mélange binaire. Cette question a un intérêt propre ar 'est une situation que l'on ren ontre dans la pratique plus souvent que les liquides purs. De plus,l'étudedu omportementdesgouttes demélangeapporte desélémentsde dis ussionsurla dynamiquedusystème quinousintéresse initialement :unegouttelette deliquide pur.

(9)
(10)
(11)
(12)

Évaporation de gouttelettes

mouillantes : une introdu tion

(13)
(14)

Sommaire

1.1 Évaporationd'une goutteletted'aérosol . . . 11

1.1.1 Tauxd'évaporationd'unegoutteletted'aérosol . . . 12

1.1.2 Retoursurunmodèlestationnaireisotherme . . . 15

1.1.3 Dis ussionsurlespro essusd'évaporation . . . 19

1.2 Notionsde mouillage . . . 21

1.3 Taux d'évaporationd'une gouttelette reposant sur un substrat . . . 23

1.3.1 Modèlestationnaireisotherme . . . 23

1.3.2 Etlatempératuredanstoutça? . . . 25

1.1 Évaporation d'une gouttelette d'aérosol

L'expérien e ourante nousindiqueque l'évaporation est unphénomène endothermique. On pourrait même penser que les eets thermiques sont prédominants dans e pro essus omme l'indiquent labaissede latempérature aprèslapluieouen ore,lasagessepopulairequi onsiste àpasserun oupdeserpillièrelesjoursde ani ule.Pluss ientiquement,nous onnaissons l'uti-lisation deuides dits aléoporteurs dansles é hangeurs thermiquesqui onsistent en des y les d'évaporation- ondensation. Dans es aslà,leseetsthermiquessont ee tivement signi atifs ar ils résultent de bilans sur des surfa es importantes et des volumes notables. La question est de savoir dans quelle mesure les eets thermiques qui a ompagnent es hangements de phase pilotent les dynamiques lo ales et, e qui nous on erne i i, le omportement de gouttes individuelles.

Voyonsdon ommentdé rirel'évaporationd'unegoutteletted'aérosolsphériqueetimmobile dansune atmosphère inerte, le systèmeétant initialement isotherme. Pour faire simple, suppo-sonsdansunpremier temps queleliquide esttoujours en équilibreave savapeurauniveau de l'interfa e. C'est à e sujet que James Clar k Maxwell a élaboré un modèle d'évaporation sta-tionnaire en 1877 dans un arti le sur la diusion

1

.Nous allonsreprendre son raisonnement, e quinouspermettrade poserles jalonsd'unefuturedis ussionnotammenten equi on erne les phénomènesthermiques.Lesrésultatsservirontégalementdebasede omparaisondansl'analyse denosexpérien es,lorsque l'onintroduit unsubstrat dansleproblème.

Fig.1.1:Unegoutted'aérosolisolée.

1

(15)

1.1.1 Taux d'évaporation d'une gouttelette d'aérosol

Dénissonstout d'abord le omportement dusystème dansl'hypothèse simpled'une évapo-rationstationnaire isotherme.

Nous supposons que l'équilibre thermodynamique est toujours satisfait à l'interfa e liquide vapeur. Par suite, l'évaporation est ontrlée par la diusion du omposé volatil dans l'atmo-phère.Noussommesi idansle adred'unmodèleàunephase(leliquiden'intervientque omme onditionlimite) etl'évaporation maintient lapressionde saturation ie l'équilibre thermodyna-mique lo alement près de l'interfa e. Le pro essus diusifest modélisable par laloi de Fi k. Si l'onintroduitlamassevolumique du omposévolatildanslaphasegazeuse

ρ

,leuxdematière sortant, en toutpoint de l'interfa e,

φ

m

apour expression:

φ

m

≡ D

m



∇ρ



i

. −

n

(1.1)

n

représente lanormaleàl'interfa eetpar onséquent



∇ρ



i

. −

n

estlamesuredugradient de masse volumique al ulé dans la dire tion normale à l'interfa e (l'indi e

i

est là pour à l'interfa e).Par ailleurs,

D

m

estle oe ient de diusionde masse du omposévolatil dansla phasegazeuse. Ce uxest égal à laquantité de matière

dm

s'évaporant par élément de surfa e

ds

etde temps

dt

:

φ

m

dm

dt

.

ds

Nous her honsà relier un uxde matière à une variation de volume. Le taux de variation duvolume s'é rit :

dV

dt

Z

j ds

(1.2)

expressiondanslaquelleonintroduitunenouvellegrandeur

j

,letauxd'évaporation.Plus pré isé-ment,

j

estlavariationdevolumeparunitédesurfa easso iéeauuxdematièreperpendi ulaire àl'interfa e. Il vient :

j ≡ φ

m

L

(1.3)

ave

dm = ρ

L

· dV

ρ

L

estlamassevolumique duliquide.

L'obtention du taux d'évaporation né essite de onnaître le prol de on entration dans la phasevapeur.Dansle adred'unpro essusdetransportdiusifstationnaire,lamassevolumique

ρ

de lavapeurestsolution del'équation :

sp

ρ = 0

(1.4)

sp

= ∂

rr

+ 2/r · ∂

r

est l'expression du lapla ien en oordonnées sphériques (

sp

pour `en oordonnées sphériques'). C'est un problème désormais lassique des mathématiques de la diusionqui onsiste à her her leprol de on entrationqui vérie un ensemble de onditions auxlimitesd'undomaine los fermé. D'unepart, l'équilibre thermodynamiqueétant vérié très prèsdel'interfa e,lamassevolumiquedelavapeuryestégaleàlamassevolumiqueàsaturation

ρ

sat

.D'après l'équationdesgaz parfaits:

ρ

sat

= M

P

sat

(T )

RT

(1.5)

ave

M

lamassemolairedu omposévolatil.Lesystèmeétantsupposéisotherme,latempérature de l'interfa e est égale à la température ambiante :

T

.On note d'autre part que le prol de densitédoitsera order loinde lagoutte àlavaleur

ρ

,ave par dénition:

(16)

sat m a sse vo l u m i q u e distance au centre Liquide Vapeur L

Fig.1.2:S hémareprésentantleproldedensité.Àgau he,lamassevolumique est elleduliquide.Lamar he,représentel'interfa eetàdroitede ettemar he setrouvel'atmosphère. Danslaphasegazeuse,le proldedensité résulted'un pro essus de diusionet letaux d'évaporationest donné par legradient de la massevolumiqueprisauniveaudel'interfa e(ligneverte).

Lavapeurse ondenserait dansle as ontraire

ρ

> ρ

sat

.

La solutionstationnaire

ρ

vériant les onditions limitesdé rites plus haut

(

ρ

=

ρ

sat

à l'interfa e

ρ

→ ρ

à l'inni

s'é rit simplement dansle as d'unegouttelette de formesphérique etde rayon

R

ρ − ρ

=

R

r

ρ

sat

− ρ



(1.6)

r ≥ R

est la distan e au entre de la goutte. Le taux d'évaporation de la gouttelette est nalement donné par legradient du prol dedensitépar laformule:

j =

D

m

ρ

L

h

dr

i

r=R

onformément à l'équation1.3. Nous pouvons faire apparaîtredans esexpressions un nouveau paramètre

j

o

qui dé rit la volatilité du liquide à la température onsidérée. Ce nombre a la dimensiond'un oe ient dediusion ets'é rit de lamanièresuivante:

j

o

= D

m

·

ρ

sat

− ρ

ρ

L

(1.7)

Ontrouvenalement une expression trèssimple pourle tauxd'évaporation :

(17)

Puisen intégrant le tauxd'évaporation sur lasurfa ede lagouttelette, ilvient :

dV

dt

= − 4πj

o

R

(1.8)

En hoisissant les valeurs typiques de l'eau :

D

m

∼ 10

5

m

2

/s

(ou

D

m

= 0.1 cm

2

/s

) et

ρ

sat

L

∼ 10

5

(pour une pression partielle de

P

sat

∼ 1 000 P a

), on trouve que le paramètre d'évaporation

j

o

estde l'ordrede

j

o

∼ 10

10

m

2

/s

(ou en ore

j

o

∼ 10

4

mm

2

/s

).

Il faut noter à e stade une propriété tout à fait parti ulière du pro essus d'évaporation dansune atmosphère raisonnablement dense. Le taux de variation de volume d'une gouttelette d'aérosol s'évaporant dans un régime diusif est proportionnel à son rayon et non pas à sa surfa e omme e serait le as dans le vide. Pour une gouttelette sphérique, le volume s'é rit

V = 4π/3 · R

3

.L'équation 1.8possède une solution simple qui onstituele résultat essentieldu modèled'évaporation stationnaire isothermeproposépar Maxwell :

R(t) =

p2j

o

(t

o

− t)

t

o

est le temps où le rayon s'annule. Ainsi, le rayon suit une loi de puissan e en fon tion de l'intervalle de temps avant disparition de la goutte

τ ≡ t

o

− t

, loi ara térisée par un exposant

1/2

e qui est ara téristique des pro essus diusifs. On trouve parfois dans la littérature, e résultat sous le nomde la`

D

2

law' ar la surfa e de la gouttelette dé roît linéairement ave le temps (i i,

D

estlediamètre de lagoutte) f Fig.1.3.

Fig.1.3:Illustrationdela

D

2

law:lasurfa eetnonlevolumedela gout-telettedé roîtlinéairementave letemps.Gouttederayoninitial

Ro

= 0.85 mm

dansunétatsuperhydrophobe(ellepeutêtre onsidérée ommesphérique).tiré de [Fu 59℄.

En introduisant

R

o

≡ R(τ = τ

o

)

ave

τ

o

le temps que met la gouttelette à s'évaporer, on trouve qu'une gouttelette de rayon initial

R

o

s'évaporeen untemps :

τ

o

=

R

o

2

2j

o

(1.9)

Pour la valeur de

j

o

itée plus haut, une goutte d'aérosol de volume initial

V

o

= 1 µL

ie

R

o

= 0.6 mm

s'évaporeenun temps

τ

o

= 1 800 sec

soit,une demi heure.

Mots lefs : Aérosols; Diffusion;

D

2

(18)

1.1.2 Retour sur un modèle stationnaire isotherme

Considérons maintenant les eetsthermiques asso iés au pro essus d'évaporation. Oublions un instant que le volume de la gouttelette hange et imaginons une situation stationnaire du pur point de vuedu bilan thermique. L'évaporation étant endothermique, latempérature de la gouttelette diminue. Cette question a été soulevée très tt dans le domaine de la physique des aérosolsetonpeutentrouveruneanalysedétailléedansletraitédeFu hs [Fu 59 ℄.Cetteanalyse estreprise i-dessous.

Premièreappro he

L'évaporation du liquide né essite l'apport de haleur. L'atmosphère fournit et apport de haleur à lagoutte et refroidit à proximité de lagouttelette. Dans e al ul, la température de la goutte est supposée homogène, la ondu tivité du liquide étant bien supérieure à elle du gaz.Pour unesituationstationnaire, le hampdetempérature dansl'atmosphère estsolutionde l'équation:

sp

T = 0

dont lasolutiondanslaphasevapeurestde lamême forme queleprolstationnairede on en-tration:

T − T

=

R

r

T

i

− T



Cette fois, la température de l'interfa e

T

i

est in onnue mais, elle est déterminée par le taux d'évaporation 'està dire par la quantité de matière évaporée. En eet, la quantité de haleur fournieà lagoutte par l'atmophères'é rit d'unepart :

dQ = 4πR · χ T

i

− T

 · dt

(1.10)

χ

estla ondu tivité thermiquede l'air.D'autre part,la haleur latente asso iée àla vapori-sation d'unélément demasse

dm

s'é rit d'après1.8:

dQ = 4πR · L

v

j

o

ρ

L

· dt

(1.11)

Enégalisantdon leuxde haleurprovenantduthermostatetla haleurlatente onsommée lorsdel'évaporation(Eq.1.10&Eq.1.11),ontrouveunepremièreexpression

∆T

pourlabaisse detempérature indépendant de lataille delagoutte

R

:

∆T

=

L

v

j

o

ρ

L

χ

(1.12)

Sil'onprendlesvaleurs orrespondant àpeuprèsau asde l'eaus'évaporant dansl'atmosphère,

j

o

∼ 10

10

m

2

/s

(ou

j

o

∼ 10

4

mm

2

/s

) et

L

v

∼ 2.5 10

6

J/kg

à température ambiante et la valeur onnuepar ailleursdela ondu tivitéthermiquedel'air

χ = 0.02 W/m/K

,ontrouve une baissede température de

10



C

à

30



C

suivant l'humidité relativedumilieu(laplusimportante baisse de température ayant lieu pour une atmosphère sè he

ρ

= 0

). Cela voudrait dire que les gouttelettes d'aérosol isolées gèleraient pour de faibles humidités relatives e qui estgénant on eptuellement. Cette variation de température est trop importante pour ne pas onsidérer que les propriétés thermodynamiques du système ont alors varié. Voyons don omment tenir omptede ela dansune appro he anée.

(19)

Appro he anée

Silatempérature del'interfa e diminue, lapression desaturation etpar onséquent,letaux d'évaporation diminuent également. Ce i a pour eet de limiter l'eet du refroidissement. Si dans un même temps, le pro essus de transport n'est pas altéré par la baisse de température, l'expressionduparamètred'évaporation

j

o

utiliséedansl'équation1.12doitêtrere onsidérée.Si onseréfèreàsadénition(Eq.1.7),ilfautmaintenant onsidérerqueleparamètred'évaporation s'é rit :

j

o

(T

i

) = j

o

(T

) ·

ρ

sat

(T

i

) − ρ

ρ

sat

(T

) − ρ

Une plus juste estimation

∆T = T

− T

i

de la baisse de température peut être exprimée en fon tiondelapremière estimation rue

∆T

danslaquelleonarempla é

j

o

par

j

o

(T

)

.

∆T

est maintenant une onstantedu problème:

∆T =

L

v

j

o

(T

i

) ρ

L

χ

= ∆T

·

ρ

sat

(T

i

) − ρ

ρ

sat

(T

) − ρ

(1.13)

ouen ore pour simplier les é ritures :

∆T

∆T

= δ ·

1 − λ/δ

1 − λ

expressiondanslaquellenousavonsintroduitdeuxnouvellesgrandeurs:ledegréd'insaturationà l'inni

λ ≡ ρ

sat

(T

)

quiestunparamètrede ontrledel'évaporationet

δ ≡ ρ

sat

(T

i

)/ρ

sat

(T

)

quidé ritladiminution de l'évaporation ave la hute detempérature.

Estimons don

δ

,

λ

étantdonné par l'expérien e.Compte tenudufaitquelegaz estparfait, nous her honsàestimer la hutedelapressiondesaturation (d'aprèsEq.1.5 :

P

sat

∝ ρ

sat

).En utilisant larelationde Clapeyron :

dP

sat

dT

=

L

v

M

T (v

G

− v

L

)

v

L

= M/ρ

L

et

v

G

= M/ρ

sont lesvolumesmolairesde laphaseliquideetgazeuse respe tive-ment (

v

L

≪ v

G

). En supposant quela haleur latenteest onstante, il vient une foisla relation deClapeyron intégrée, l'expressionde

δ

:

P

sat

(T

i

)

P

sat

(T

)

= exp

h

L

v

M

RT

∆T

T

i

i

≃ exp

h

L

v

M

RT

∆T

T

i

si

T

i

≃ T

Pour allerau plussimple,noustraiteronsi i,le asde l'évaporation dansune atmosphèresè he (

λ = 0

), les solutions étant fa ilement généralisablesau asd'une atmosphère humide (

λ 6= 0

). Dans le as d'une atmosphère sè he (

λ = 0

), on trouve que lerefroidissement de l'interfa e est donné parl'équation :

∆T

∆T

≃ exp

h



L

RT

v

M

∆T

T



∆T

∆T

i

(1.14)

dont lasolution est onnue 2

.La baissede la température etdu taux d'évaporation sont repré-sentées en fon tion de l'humidité relative de l'air par la ourbe I de la gure 1.4 (la ourbe II orrespondant aumodedetranfertradiatifde haleur

3

,pro essusquenousnedis utonspasi i).

2

Ce sont les fon tions

W

de Lambert.

W (b)/b

est solutionde l'équation :

x = e

bx

.Dansle as de l'eau,

(20)

Fig.1.4:Chutedelatempératureettauxd'évaporationenfon tionde l'humi-ditérelativedumilieupourunegoutted'aérosolisolée.Lagure omportedeux axes.À gau he (traitspleins),

dr

2

/dθ

orrespond à

dR

2

/dt

dans nosnotation. Cetermeestproportionnelànotre

jo

en

10

6

cm

2

/s

.Àdroite(traitspointillés),

to

estlabaissedetempérature

∆T

dansnosnotations.La ourbeI orrespond àunegoutted'aérosolisoléeetuntransfertde haleurdiusif,la ourbeIIàun tranfertradiatif.tiré de [Fu 59 ℄.

Notre démar he revient à employer le modèle de Rankine qui est le modèle le plus simple de la pression de saturation, il est appli able pour de faibles variations de température. Dans le as général, ledegré d'insaturation

λ

n'est pas nul mais, il existe

4

une solution analytique à l'équation1.13.Enprenant

∆T

/T

∼ 1/10

, onformémentàl'estimationpré édente,ontrouve uneestimation plus réalistedela hutedetempérature à l'interfa e :

∆T

∆T

≃ 0.3

pour

λ = 0.5

∆T

∆T

≃ 0.5

pour

λ = 0.

Finalement, dans une situation stationnaire du point de vue desé hanges de haleur, et en ignorant lavariationderayondelagoutte,l'évaporationprovoqueraitune hutedetempérature

T

− T

i

d'environ

∼ 8



C

dansune atmosphère humide (

λ = 0.5

) et

∼ 15



C

(

λ = 0

) dans une atmophère sè he. L'approximation d'un système isotherme

T

i

∼ T

n'est don pas justiée a posteriori.

Ward et al. ont également étudié l'évaporation d'une goutteletted'eau sphérique suspendue à un thermo ouple dans sapropre vapeur [MGW02℄. Ils ontrlent très pré isemment le degré d'insaturation

λ

.Àunetempérature

T

= 25



C

etpourunepressiondevapeur

P

v

= 2880 P a

ie estforte,samolaire

M

estfaible,ainsi

b

resteàpeuprès onstant.

3

Danssonarti le surla diusion[Max77 ℄, J.C. Maxwell élabore son modèled'évaporationdans lebutde prédire equ'onappellelatempérature humide del'atmosphère.Lesthermomètresàbulbehumide omparentla températureindiquéeparunthermomètrederéféren eà elle,donnéeparunthermomètreenrobédansuneouate imprégnéed'eau.L'évaporationdel'eauquiestunefon tiondel'humiditérelativerefroiditlese ondthermomètre. Dansson arti le, letransportdelamatière estdiusifmaispar ontre,le transfertde haleurestradiatifie il estproportionnelàlasurfa edu bulbe, e quiexpliquel'existen ed'une deuxième ourbesurlagure1.4.Le tranfertradiatifestprédominantpourlessystèmesdegrandetaille.

4

Lasolutionde(1.13)dansle asgénéral

λ 6= 0

s'é rit

W

b e

λ b

1−λ

1−λ

”.

b −

λ

(21)

λ = 0.8

,ilsobserventquelatempératuredelavapeurprèsdel'interfa eadiminuéde

2.5



C

dans lavapeuretde

3.5



C

dansleliquide.C'est unpeumoinsque e quel'onvient de al uler.An de omprendre ettediéren e,ilfautsouligner qu'ilssepla enttrèsprèsdelasaturationetque parailleurslelibre par ours moyen desmolé ulesdanslaphasegazeuse,uniquement onstituée de molé ules d'eau, est plus grand. Ces deuxeets se ompensent du point de vue de la hute de température et, dans leur ondition d'évaporation, on trouve pour

λ = 0.8

:

∆T ≃ 4



C

. Sans vouloir expliquer leur expérien e, on voit que notre appro he simple donne des résultats ohérents.

Lesystèmen'estpasdon pasglobalementisotherme.Néanmoins,ilfautremarquerque,dans lasituation stationnaire (goutte de volume onstant), ladiminution de température ne dépend pas de la taille de la goutte. Une fois la gouttelette thermalisée, le paramètre d'évaporation

j

o

est don bien une onstante qui peut être déterminée à partir des propriétés du liquide et de sa vapeur à la température ambiante

T

(même si elle est estimée ave plus ou moins de bonheur dans notre as). Les temps ara tériques pour atteindre la solution stationnaire du point de vue thermiquesont ourts devant letemps ara téristique de ladynamique. Pour s'en onvain re,il sutde omparer

D

th

∼ 1

-

10 mm

2

/s

à

j

o

∼ 10

4

mm

2

/s

f Eq.1.9.Celaindique queleprolstationnairede température estatteint très rapidement etquele refoidissementn'a qu'une inuen e très relative sur les lois de puissan e observées durant l'évaporation de goutte d'aérosolquipeuventdon être approximativement dé rites àl'aided'unmodèleisothermedont lesparamètres devront toutefois êtredis utés.

Con lusion sur le refroidissement des gouttelettes d'aérosol

Leseetsthermiquessontdangereusementgrandsdanslesaérosols.Toutefois,ilyadeseets de ompensation e quifont quela loi

D

2

mar he ave desparamètres qui ne sont pastriviaux f Fig.1.5. Au ontraire, lorsque les gouttes sont posées sur un substrat, on s'attend à e que elui- i, généralement de ondu tivité thermique bien supérieure à elle de l'air, joue un rle d'autant plus important que les lms de liquide seront min es (petits angles de onta t). Nous reviendronssur ettequestionàlande e hapitre.L'intuitionlaissepenserqu'ilpeuttoutefois y avoir de petits problèmes lo aux et la question du prol de température près de l'interfa e reste ouverte.

Fig.1.5:Loidepuissan eobservéepourlediamètre(

2r

en

µm

)d'une goutte-lettesuspendueenfon tiondel'intervalledetempsavantdisparition(

θo

− θ

en minutes).Les ourbessedé alentenfon tiondelatempératureetdel'humidité relativemais,laloienpuissan e

1/2

estobservéedans haque as.tiréde[Fu 59℄.

(22)

Fig.1.6: Proldetempérature stationnairemesuré àproximitédel'interfa e liquide-vapeuren oursd'évaporationstationnaire.droiteTempératuredu ther-mostat:

T∞

= 25



C

;

Pv

= 600 P a

,gau he

T∞

= 25



C

;

Pv

= 300 P a

.La hute detempératurede l'interfa e est trèsmarquée (

Ti

< 4



C

)par e que la dépres-siondel'en einteest importante. D'aprèsWard et al.droite [WS01℄; gau he [WD04 ℄;

1.1.3 Dis ussion sur les pro essus d'évaporation

Pro essus thermique ou pro essus diusif?

Nous venons de voir qu'une gouttelette en évaporation n'est pas un système isotherme. D'autre part, nous avons fait l'hypothèse que l'équilibre thermodynamique est respe té lo a-lement près l'interfa e durant le pro essus d'évaporation. L'interfa e est thermalisée ave l'at-mosphèreetil n'existedon pasde dis ontinuité de température. Ce in'est pasné essairement vraietdans ertains as, il arrive même que eté art àl'équilibre gouverne l'évaporation.

En eet, à l'aide d'un montage expérimental très ontrlé, Ward et al. [WS01, WD04℄ ont misen éviden eunedis ontinuité detempérature àproximitéde l'interfa e eau-vapeuren ours d'évaporation stationnaire. Ce i indique que l'interfa e est hors-équilibre. Les mesures sont ef-fe tuéesà l'aide d'unthermo ouple de faible dimension de sorte à ne pas perturberle système, etde grandes pré autions sont prisesan d'assurer un régimed'évaporation stationnaire:dans etteexpérien e,le liquideest déposédansune rigoleetilest onstamment nourrian de om-penserlespertesdevolumeprovoquéesparl'évaporation.L'évaporation duliquide seproduiten présen edesaproprevapeurabsen ed'atmosphèredansuneen eintethermaliséeportéeà despressionsdel'ordrede

P

v

∼ 500 P a

pourl'eau,pressionlégèrementinférieureàsapressionde saturation.Ils observent que lerefroidissement de l'interfa e et ladis ontinuité de température sont d'autant plusimportants queladépression estmarquée f Fig.1.6.

Cetteexpérien eest apparemment en ontradi tion ave l'hypothèse d'unéquilibre thermo-dynamique lo alement a hevé près de l'interfa e. Toutefois, dans ette expérien e, les auteurs provoquent une évaporation intense en appliquant une forte dépression sur le système. Alors,

(23)

latempérature hute de

25



C

etl'é art de température de part etd'autre del'interfa e est de

2



C

.Sil'onrevient auxbaissesdetempératurequel'ona al uléesàlase tionpré edente,onse trouvenalement onfortédansl'idéequel'interfa eestee tivementàl'équilibreave lavapeur saturéedansle asquenous ren ontrons ee tivement.

Con lusion sur l'évaporation des gouttelettes d'aérosol

L'évaporation d'une gouttelette d'aérosol immobile dans une atmophère inerte est un pro- essus diusif. Les phénomènes thermiques asso iés à l'évaporation sont importants ( hute de température de plusieursdegrés)mais, ene sontpaseuxquipilotent lepro essus:l'hypothèse d'unéquilibrethermodynamiquelo alprèsdel'interfa eestjustiéetantquel'onnesepla epas dansdessituationsextrêmes oùdes ontraintes extérieuresprovoquent une évaporation intense. Enrevan he,dansle asd'unsystèmequirelaxede lui-même, les hosessemblent ee tivement sepasserbienplus almement.

En fondant ette présentation sur l'analyse de J. C. Maxwell [Max77 ℄ qui a été reprise en-suiteparFu hs [Fu 59 ℄,nousavonsprésenté unmodèlesimpledel'évaporationd'unegouttelette isoléeen faisant l'hypothèse d'un pro essusstationnaire. En revan he,nousn'avonspasdis uté le régime transitoire au ours duquel s'établit le prol stationnaire de densité dans la vapeur. C'estunequestionépineusepuisqu'unequantitédematièreinnies'estévaporéelorsqueleprol stationnairededensitéestatteint

5

.Toutefois,laformedu proldedensitéesttrès pro he dela solutionstationnaireaprèsuntemps

τ

dif f

∼ L

2

D

m

.En hoisissantdesvaleurstypiquespro hes

de elles de l'eau,

D

m

∼ 10

5

m

2

/s

etune distan e ara téristique de l'ordre de lataille d'une gouttelette

R

o

∼ 1 mm

, e temps

τ

dif f

∼ 0.1 sec

est très ourt devant le temps de vie d'une gouttelettede rayon initial que l'ona al ulé pré édemment (

τ

o

= 1 800 sec

pour

R

o

= 1 mm

). Laquestion durégimetransitoire n'est pasvraiment pertinente dansle asdesaérosols.On no-tera ependant que e temps ara téristique roît ommele arré de l'é helle ara téristique du système.Pour lesgouttesreposantsurunsubstrat,nousverronsquelaquestiondela stationna-ritéseposeauxtempstrès ourts,justeaprès ledéptmais, que ettehypothèse esta eptable par lasuite.

Une remarque qui noussuivra tout au long de e manus rit est de souligner la très grande simpli itédes loisobtenues (i i,la fameuse

D

2

law).Un raisonnement très simpliste permet de dé rire orre tement laphysiquedesphénomènes,mêmesiuneanalyseplusnequeleproblème est, dansledétail,bien plus omplexe.

Commegénéralement,pourdesquestionsasso iéesàdespro essusde diusion,lessolutions obtenues dépendent de la géométrie, il va nous falloir reprendre l'analyse que nous venons de présenter dans le as d'une gouttelette sur un substrat mais avant e i, introduisons quelques notions demouillage.

Évaporation ontrlée par

la diffusion du omposé volatil dans l'atmosphère

5

(24)

1.2 Notions de mouillage

Paramètre d'étalement initial

On onstatequ'ilse réeuninterfa e quanddeuxphasesnon-mis iblessontmisesen onta t (pensons à l'huile etl'eau par exemple). Le mélange de es deuxphases étant don défavorable énergétiquement, elaaun oûtd'apporterdesmolé ulesde haquephaseauniveaudel'interfa e auquel on asso ie une énergie interfa iale. On introduit la notion d'énergie libre de surfa e

F

, telleque:

F = γ A

A

estl'aire de l'interfa eet

γ

latensioninterfa iale. La valeur de

γ

est donnéepar lanature desintera tions intermolé ulaires dans les deux phases et 'est une onstante pour un système ma ros opique.Dansle asd'unliquideenprésen ed'unephasediluée(l'atmosphère),onparlera pluttde tension super ielle.

Dans les problèmes de mouillage, on onsidère trois interfa es délimitant les trois milieux en présen e : un substrat (solide ou liquide), un liquide et un gaz (l'atmosphère par exemple). Nousasso ionsà esinterfa es troisénergies libres:

γ

SG

pour l'interfa e substrat-gaz,

γ

SL

pour l'interfa e substrat-liquide et

γ

LG

pour l'interfa e liquide-gaz.

Pour prédire si un liquide mouille un substrat, il est possible d'avan er un argument sous forme de bilan énergétique. Pour ela, il s'agit de omparer l'énergie libre par unité de surfa e d'unsubstratmouilléà elledusubstratinitialementse .Lavariationd'énergieentreunsubstrat re ouvertd'unlm épaisetle substratinitialement se s'é rit par unité desurfa e :

∆F/A = (γ

SL

+ γ

LG

) − γ

SG

Cettedernièreexpression faitapparaître leparamètre d'étalement initial

S

o

S

o

= γ

SG

− (γ

SL

+ γ

LG

)

qui résulte don du bilan énergétique sur les énergies interfa iales. On emploie i i l'expression initial ar ette appro he n'est valable qu'aux temps ourts ie tant que les phases ne sont pas en oremutuellementsaturées.Alors,lesubstratquin'estpasen onta tdire tave leliquideest se .C'estlesigneduparamètred'étalement initialquiindiques'ilestfavorableénergétiquement àune gouttede s'étalersur unsubstrat. Ondistingue deux as:

le mouillage total (

S

o

> 0

) pour lequel la situation où un lm de liquide re ouvre le substrat esténergétiquement favorable (par onséquent l'étalement d'une gouttelettel'est également)

lemouillage partiel (

S

o

< 0

) pour lequel ettesituation est défavorable. Situations d'équilibre

Dans la géométrie d'une gouttelette reposant sur un substrat, les trois interfa es se ren- ontrent enlieu que l'onappelle ligne triple.En situationde mouillagepartiel, aux temps longs ie lorsque l'équilibre himique estatteint,l'anglema ros opiquequeformelagouttelette ave le substratprendune valeurdonnée parlarelation de Young [dG85, dGBWQ02 ℄ :

S = γ

LG

(cos θ

eq

− 1)

Contrairement à e que nous présentions pré édemment, on se réfère i i à l'équilibre thermo-dynamique. Celasignie don que les phases sont mutuellement saturées.Notamment

S

,est le

(25)

paramètre d'étalement à l'équilibre dans lequel le terme

γ

SG

doit être onsidéré omme étant l'énergie interfa iale du substrat en onta t ave l'atmosphère saturée en liquide. En pratique, leparamètre d'étalement dièrepeu du paramètre d'étalement initial lorsque lesystème est en situation de mouillage partiel

S ≃ S

o

. À la saturation, l'interfa e substrat-vapeur saturée pré-senteunene ou he d'épaisseurmolé ulaire (voire sub-molé ulaire)adsorbée ausubstratetles énergiesinterfa ialessontpeu hangées:lemouillagedusubstratparleliquideesteneetpartiel en présen e d'une atmosphère saturée en la vapeur du liquide. En revan he, lorsqu'un liquide mouilletotalement unsubstrat, ilestfavorableausystèmed'inter aler unlmdeliquideentrele substratetlavapeur. Par onséquent,sil'onmet lestroisphases en onta t:lesubstrat

S

etla vapeursaturée

G + L

,lesystème évolura systématiquement vers ette situation d'équilibre. En es ir onstan es,l'energieinterfa iale

γ

SG+L

(enprésen e de

L

)n'estpasdéniepuisque l'inter-fa esubstrat-vapeursaturée onsisteenfaitenunlmépais.En esensleparamètred'étalement estnul ensituation de mouillagetotal.

Étalement spontané

Lorsquel'ondéposeunegouttede liquideensituation demouillagetotalsurunsubstrat, on observequ'elles'étale spontanément aril s'agitlàd'unpro essusde relaxationversl'équilibre. Les mé anismes de relaxation vers l'équilibre himique étant lents omparés à la dynamique d'étalement, Pierre-Gilles de Gennes propose de onsidérer que la dynamique est déterminée par la valeur du paramètre d'étalement initial [dG85 ℄. Il est positif et il le reste. Dans une situation stationnaire l'énergie gagnée par le système est alors dissipée dans le bord de goutte arlelmestà etendroitmoinsépaisetles ontraintesvisqueusesimportante.Cela orrespond à e que de Gennes appelle le mouillage se :la vapeur du liquide est absente de l'atmosphère ie onnéglige letransportpar laphasevapeuretletransports'opèrepar laphase liquide.

Distinguer plusieurs é helles dans le système permet de traiter le problème par mor eaux. L'é helle mi ros opique relève du détail des intera tions du liquide ave le substrat et 'est uneé helle intermédiaire oumésos opique quipiloteladynamique,lesystèmeayant parailleurs relaxéàl'é hellema ros opiqueversl'équilibre.Ils'agiti idel'équilibremé anique:lagoutteest globalement àl'équilibre hydrostatiqueet,lorsque lagoutte estpetite, elleprendlaformed'une alottesphérique.Dansunesituationstationnaire,l'anglede onta t

θ

estdéterminéparl'égalité entre lapuissan e dissipée par unité de lignede onta t etlapuissan e fournie,proportionnelle àlavitessede laligne de onta t

V

LdC

.Cetteargument de stationnarité permetde trouverune relationentrelavitessedelalignede onta t etl'anglede onta t, ontrouve

6

[dG85 ,GHP01 ℄:

θ

3

=

γ

V

LdC

ln Ξ

ln Ξ

est un terme qui provient de la régularisation des ontraintes visqueuses. Cette loi a étévériée pourlapremière fois par Tanner [Tan79℄.À l'aided'unargument ma ros opique de onservationduvolume liéàla alotteontrouveune loidepuissan epourl'étalement spontané d'unegoutteletteen situation demouillage total :

R

10

=

5

3

γ

η lnΞ

 4V

π



3

· t

6

(26)

1.3 Taux d'évaporation d'une gouttelette reposant sur un sub-strat : un eet de la géométrie

Nous revenons maintenant à la question du taux d'évaporation en présen e d'un substrat touten onservantuneappro hestationnaire.Nousallonsmontrerquel'introdu tiondusubstrat hange signi ativement laformedutauxd'évaporationmais,quelespro essusnes'entrouvent pas altérés. Nous reprendrons notamment la question de la thermique et nous verrons que le substratjoue unrle essentielsur e point.

1.3.1 Modèle stationnaire isotherme

L'évaporation étant un pro essus ontrlé par la diusion du omposé volatil dans l'atmo-sphère,le tauxd'évaporation dépend de lagéométrie du problème. Celui- i se omplique sensi-blement lorsqu'ils'agit d'unegouttelettereposant surun substraten raison deladisparition de lasymétrie sphérique.En 1822,Sreznevsky démontra

7

quesi lagoutte onserve laforme d'une portion de sphère formant un angle

θ

onstant ave le substrat, letaux de variationdu volume resteproportionnelaurayon.Celapeutseretrouveràl'aided'uneanalysedimensionnellesimple. Eneet,lavariationde volume estdonnéepar l'intégraledutauxd'évaporation

j

surlasurfa e delagouttelette ouen ore :

dV

dt

= −h j i S

ave

hji

letauxd'évaporation moyen surlasurfa e delagouttelette. Par ailleurs, danslalimite d'unrégime d'évaporationdiusif,

j

estdonné parlegradient de on entration prisàl'interfa e

j ∝

∇ρ |

i

· −

n

.Ainsi,sil'on her he àadimensionnerletauxd'évaporation, pour unegouttelette d'angle donné reposant sur un substrat inni, la seule longueur ara téristique pertinente

8 est lerayon del'aire mouilléepar lagouttelette

R

.Ilvient don que

h j i ∝

ρ

R

sat

· h φ (θ) i

(1.15)

ave

φ (θ) ∝ ˜

∇˜

ρ |

i

la solution expli ite du taux d'évaporation qui dépend de la ourbure de l'interfa eie del'anglede onta t.Nousreviendronssurune formeexpli iteparlasuite.Dufait que

φ

ne dépend pas des dimensions latérales du système maisuniquement de la géométrie, il apparaît quené essairement :

dV

dt

∝ −R

Comme dans le as des aérosols, le taux d'évaporation moyen est inversement proportionnel à l'extension ara téristique delagouttelette

j ∝ 1/R

.

7

ZH.R.Ph.Kh.O.14420,483(1882) 8

Cettelongueurestéquivalenteaurayonde ourburepuisque

θ

est onstant.

(27)

o

Fig.1.8:Lentillebi onvexe

Pour une gouttelette en forme de alotte sphérique, la onnaissan e de l'interfa e n'est en-tièrement spé iée que par l'adjon tion du paramètre

θ

à la valeur du rayon

R

. On s'attend don à e quele taux d'évaporation soit de laforme :

j ≡ j(R, θ)

.Une forme généraledu taux d'évaporation en présen ed'unsubstrat ne seraproposée que trèsré emment dansle adredes expérien es deDeegan etal. [DBD

+

00℄.

L'analysedesauteursreposesurlaremarquesuivante:lorsquel'évaporationeststationnaire, l'équationde ladiusiondanslaphasevapeurest analogueà l'équationde Poisson,

∆ψ = 0

ψ

lepotentieléle triques'apparente àladensité

ρ

delavapeur.Dans e asparti ulier,l'analogie éle trostatiqueàemployerestlasuivante:letauxd'évaporationestanalogueau hampéle trique normalàlasurfa ed'unelentille ondu tri eportéeàunpotentiel onstant f Tab.1.1.Comme leux de matière à travers le substrat est nul, on onsidère le asd'une lentille bi onvexe qui, pour des raisons de symétrie, assure que le hamp éle trique normal au plan équatorial de la lentille estnul( 'est lelieu où setrouverait le substrat).

Laformulegénéraledutauxd'évaporation présentéedans[DBD

+

00℄esttrès ompliqué. Par ontre, il en existeune approximationà proximitédu oin[Ja 62 ℄ :

j ∼ (R − r)

λ

(1.16)

λ = (π − 2θ)(2π − 2θ)

ave i i

θ

le demi-angle du oin. Onretrouve bieni i ladépendan e dutaux d'évaporation ave l'angle

θ

.

Il onvient à e stadedefaire unensemble deremarquesqualitatives. Le tauxd'évaporation n'est pas onstant (il dépend de

r

, la distan e à l'axe de la goutte) et de plus, il diverge à la lignede onta t, quand

r = R

.La divergen e dutaux d'évaporation s'interprète fa ilement par un eet de pointe grâ e à l'analogie éle trostatique. Plus physiquement, l'évaporation étant un

potentiel onstant déterminé équilibrethermodynamique

ρ

sat

ψ

o

ρ

sat

ψ

ρ

hamp éle triqueà l'interfa e taux d'évaporation

E ∝



∇ψ



i

· −

n

j ∝



∇ρ



i

· −

n

Charge totale variationde volume

Q

dV /dt

(28)

bilan des molé ules qui quittent l'interfa e sur elles qui y reviennent, on onçoit bien que la probabilité qu'une molé ule a de s'é happer dénitivement est plus importante au bord e qui a pour eet de faire augmenter le taux d'évaporation à proximité de la ligne de onta t. Par ailleurs, ette formulegénéraledu taux d'évaporation prèsde laligne de onta t ontient le as desaérosols ommele aslimite oùl'interfa e liquide formeun anglede

π/2

ave le substratau niveau de laligne de onta t. C'est normalpuisque l'onfait ainsidisparaîtrelapointe.

Lorsque le oin s'ane ie l'angle de onta t diminue, dans letraitement ma ros opique du tauxd'évaporation,l'analogieéle trostatiqueprendlaforme simpled'undisqueplat ondu teur àpotentiel onstant.Ceproblème estplussimple etaétérésolu

9

par Weber en1873.Ontrouve dans ertains ouvrages spé ialisés [Cra75 ℄, la solution au problème du disque de Weber qui, transposé ànotre situation,possèdel'expression suivante:

j =

j

o

R

2

− r

2

ave

j

o

=

2

π

·



ρ

sat

ρ

L

D

m



(1.17)

Cette expression de

j

o

est équivalente à elle que l'on obtient dans le as d'une gouttelette d'aérosolà un fa teur

2/π

près, préfa teurnumérique rendant ompte de lagéométrie.

Onremarquetoutdesuite que,siletauxd'évaporation divergeàlalignede onta t, letaux devariation devolume reste ni. Enintégrant 1.17sur lasurfa edu disque, ilvient

10 :

dV

dt

= −2π j

o

R

(1.18)

Sil'onreprend lesmêmesgrandeursphysiquesquepré édemment, letemps devie d'une goutte-lette ayant un volume initial de

1 µL

etangle de onta t initial

θ = 1.2

(ie

R

o

= 4 mm

) quise rétra teengardant unangle de onta t onstant,est

τ

o

= 600 sec

soit troisfoismoinsquepour une goutte d'aérosol de volume équivalent.Cette diminution du temps de vie tient du faitque, pour un volume donné, lorsque l'angle de onta t est faible, l'étendue de l'interfa e augmente onsidérablement.

1.3.2 Et la température dans tout ça?

Nous avons vu en introdu tion que l'évaporation provoque une hute de température de quelquesdegrésdansle asdesgouttes d'aérosol.Étant donnéqueletauxd'évaporationdiverge àlaligne de onta t, l'intuitionindiquequ'il peutyavoirdeseetsimportantspour une goutte sur un substrat. Toutefois, nous allons voir qu'il faut prendre quelques pré autions avant de on lure.

Film liquide étendu sur un substrat

Pour ommen er, onsidérons le as d'un lm min e `inniment' étendu et homogène en train de s'évaporer sur un substrat lui-même inni. Le lm est supposé homogène de sorte que letransport de haleur ne s'ee tue que dansune seule dire tion (pas de transport latéral i i). Nous allons vérier omme nous l'avons suggéré plus haut que la présen e d'un substrat hange signi ativementleproldetempérature.Il onvientdesoulignerquepouruntellm,la situationstationnaireest elledanslaquelleleuxde haleurseraitxé(etnonlatempérature à l'inni

T

) e quine orrespondpastoutàfaitànotresituation expérimentale. Toutefois,nous nousintéressonsi iessentiellement aux onditionsquedoitsatisfaireleproldetempératureaux

9

ÜberBessel's heFun tionenundihreAndwendung aufdieTheoriedeselektris henStröme,Crelle,Bd.75 10

R

1

0

x/

(29)

0 gout t e l e t t e vapeur vapeur f i l m substrat h t e m p é r a t u r e distance au centre R 0 T ambiante T ambiante t e m p é r a t u r e distance au substrat

Fig.1.9: S hémasqualitatifs duproldetempératuredansle asde l'évapo-rationstationnaired'unegoutteletted'aérosol(àgau he)etd'unlm(àdroite). Dansle as d'un lm,iln'existepas desolutionstationnaire du prolde tem-pératurequisera ordeasymptotiquementà latempératureambiante

T∞

.Ce s hémareprésenteunprol transitoire.

interfa es. La dis ussionqui va suivre pourra être transposée au asd'une gouttelette reposant surunsubstratqui, ommenousl'avonsmontré,présentedessolutionsstationnairesbiendénies en e qui on erne lesproblèmes de diusion.

Reprenonsles onditionslimitesquedoitsatisfaireleproldetempératureàl'interfa eentre deuxmilieux

1

et

2

ondu teursde haleur.Dansle asd'un`bon' onta tthermique,l'interfa e està l'équilibredon ,thermalisée

11 :

T

1

= T

2

Pour vérierla onditionde onservationde l'énergie,leproldetempératuresatisfaità l'in ter-fa eune ondition surles uxde haleur.Pour unélément desurfa e

dS

:

χ

2

∇T |

2

− χ

1

∇T |

1

= δQdS

où les

χ

i

sont les ondu tivités thermiques de ha un des milieux,

∇T |

i

les gradients de tem-pérature normaux à l'interfa e pris dans ha un des milieux et

δQdS

représente un éventuel termedesour e. Dansle as del'évaporation, 'estla haleur latentede vaporisation :

δQdS = L

v

φ

m

Z

δ(z − z

i

)dz

δ(z − z

i

)

est une fon tion de Dira ave

z

i

la position de l'interfa e et

φ

m

le ux massique déjà ren ontré au Ÿ1.1. Au ours du régime transitoire, le prol de température adopte don

11

Les`mauvais' onta tsthermiquessontfréquentslorsde onta tsentresolides.Onmesureunedis ontinuité dele température à l'interfa e que l'on modélise par une ondu tan ede surfa e

H

:

dQ

dt

‹dS = H(T1

− T2

)

.

Ce iest du à laprésen e d'airdansles infra tuosités du onta t.Pour favoriser le onta tthermique, ilsut d'introduireune ou hedeliquide dansles intersti es du onta tsolide. Onutiliseparfois mêmedel'eau pour ela.

(30)

qualitativement l'allure représentée sur la gure 1.9. En raison de la présen e d'un terme de sour e,legradient de température hange de signe àl'interfa e liquide-air.

Dufaitdel'évaporation,lelmpuisedela haleurdanssonenvironnementetlatempérature de elui- i diminue. La ondition de ra ordement des prols de température s'é rit au niveau del'interfa e liquide-vapeur :

χ

air

∇T |

air

− χ

liq

∇T |

liq

= ρ

L

j L

v

(1.19) Par ailleurs, la température de l'interfa e liquide-substrat diminue également pour satisfaire la ondition:

∇T |

subs

∇T |

liq

=

χ

liq

χ

subs

(1.20)

Le lm refroidit né essairement le substrat puisque le gradient de température pris dans le substratà l'interfa e substrat-liquide n'est pasnul. Toutefois, si l'onse réfère aux ondu tivités thermiques répertoriées dansle tableau 1.2, on voit qu'il se dégage deux situationsdistin tes : elle où le liquide s'évapore sur un matériaux amorphe (médio re ondu teur de haleur, l'eau sur du verre étant parti ulièrement ritique) et elle où le liquide s'évapore sur un matériaux ristallin (bon ondu teur de haleur)

12 .

χ

D

th

(W/m/K)

(10

6

m

2

/s)

mm

2

/s

sili ium

130

80

verre

1.3

0.8

eau

0.6

0.2

al anes

0.12

0.1

PDMS

0.11

air

0.025

25

χ

eau

verre

= 0.5

χ

alc.

verre

= 0.1

χ

eau

Si

= 0.005

χ

alc.

Si

= 0.001

Tab. 1.2: Propriétésthermiquesdes matériaux lassés par ondu tivité ther-mique dé roissante.

χ

est la ondu tivité thermique et

Dth

= χ‹ρ Cp

, la dif-fusivitéthermique. Letemps d'établissementdu prolstationnaire de tempéra-tureest de l'ordre de

∼ 1/10

e

sec

pour un lm de

100 µm

. nb Air à

1 atm

:

CP

= 10

3

J/kg/K

,

ρ = 1 kg/m

3

Mots lefs : Thermique; Substrat; Sili ium;

...substrat de ondu tivité thermique et de apa ité alorique innies

Sidansle asd'unlminnimentétendu, iln'existepasdesolutionstationnaireduprolde température sera ordant asymptotiquement àlatempérature ambiante

T

,onpeuttoutefois dis uter un as qui présente une solution stationnaire : le as d'un substrat de ondu tivité thermique innie

χ

subs

≫ χ

liq

et une atmophère de ondu tivité thermique nulle

χ

liq

≫ χ

air

. La haleur né essaire à l'évaporation est alors entièrement apportée par le substrat et on peut négliger les ontributions de l'atmosphère. D'autre part, le substrat ne refroidit paspuisque sa apa ité aloriqueestsupposée innie:

T

subs

≡ T

, 'estégalement latempérature duliquide àl'interfa e liquide-substrat. La ondition1.19 seréé ritsimplement :

χ

liq

∇T |

liq

= −ρ

L

j L

v

12

(31)

0 T ambiante t e m p é r a t u r e distance au substrat substrat f i l m vapeur

Fig.1.10:S hémaduprolstationnairedetempératurepourunlmmin eet homogènedansle asoù

χsubs

= ∞

et

χair

= 0

Leproldetempérature varielinéairement ave ladistan eausubstratetontrouvel'expression delatempérature à l'interfa e liquide-air :

T

i

= T

ρ

L

jL

v

χ

liq

h

(1.21)

h

est l'épaisseur du lm. On onstate dans ette solution que lorsque

h

varie  géomé-trie gouttelette  il apparaît un gradient de température le long de l'interfa e, le bord de la goutteétant thermalisé ave lesubstrat(on rappelle que

χ

subs

→ ∞

).

Plaçons nous d'abord dans le adre de bilans globaux en oubliant la divergen e du taux d'évaporation. Nous pouvons faire une estimation très grossière ie en négligeant le transport latéral de la haleur, de la hute de température au sommet d'une gouttelette de rayon

R

et d'angle

θ

.Si l'on faitl'hypothèse que lagoutte est thermalisée ave le substrat auniveau de la lignede onta t, lesommetest l'endroitle plusfroidde l'interfa e.En introduisant

j ≃ j

o

/R

et

h ≃ Rθ

dansl'équation 1.21, on trouve une estimation de la baissede température au sommet delagoutte qui nedépend quede sonangle

θ

.Elle est del'ordre de

∼ 0.01



C

f Tab.1.3.

eau hexane heptane o tane nonane

∆T (



C)

0.01 0.06 0.04 0.03 0.02

Tab. 1.3: Refroidissement du sommet al ulé pour des gouttelettes volatiles reposantsurunsubstratde ondu tivitéthermiqueinnielagoutteformantun angle

θ = 0.01 rad

ave lesubstrat.L'atmosphèren'est paspriseen omptei i. L'eau onduitbienla haleur equifaitquemalgrésa haleurlatenteimportante, lerefroidissement al ulérestepro hedesvaleursdesal anes.

nbeau

Lv

= 2.4 10

6

J/kg

etal anes

Lv

= 0.32 10

6

J/kg

La hute de température provoquée par l'évaporation est don bien moins importante en présen ed'unsubstratquepourlesgouttelettesd'aérosol :nousavionsalors onstatédes hutes de l'ordre de plusieurs degrés. Celatient uniquement du fait quela ondu tivité thermiquedes substrats que nousemployons est beau oup plus élevée que ellede l'air. D'une ertaine façon,

(32)

e résultat n'a rien de surprenant ar on sait bien que les uides aléoporteurs des é hangeurs de haleur sont e a es ar ils emportent de la haleur dusubstrat etnon pas vraiment par e qu'ilsendimininuent latempérature.

Lo alement, les hoses dièrent. Il onvient de remarquer que ette estimation grossière de la hute detempérature apporteunenouvellequestion.Nousvenonsdevoirquelesommetdela goutteestplus froidpar equ'il estplus éloignédusubstrat. Par ailleurs,letaux d'évaporation, etpar onséquentlaquantitéde haleuremportée,augmentent àlalignede onta t.Silagoutte a la possibilité de refroidir le substrat, l'inhomogénéité du taux d'évaporation est également à l'originede gradientsde température :

∇T ∝ ∇j

. Onpourraitmême roireque elui- idevient inniàlaligne de onta tpuisqueletauxd'évaporationdivergeà etendroit.Ceseraitnégliger àtortletransportlatéralde haleur.Ceproblèmen'est passimple arpour trouverneserait- e que le signe du gradient de température, il faudrait onnaître à la fois la forme de l'interfa e etdu taux d'évaporation. Par ailleurs eux- i sont ouplés etnous ne sommes pas apables de tran her la question sur des eetsns à e stade.Nous pouvons tout de même iter à e sujet lestravauxde Hu & Larson.

Goutte épaisse sur un substrat de ondu tivité nie mais de apa ité alorique innie

Le prol de température dansune goutte volatile reposant sur un substrat de ondu tivité thermique nie (du verre, rappelons que

χ

eau

verre

= 0.5

) a été ré emment al ulé numéri-quement par Hu & Larson [HL05b , HL05a ℄ en tenant ompte à lafois du transport verti al et latéralde haleurdanslesubstrat.Ilsmontrentaupassagequepourdesgoutteletteslestransferts thermiquess'opèrent pardiusion,l'adve tion de la haleur par lesuxhydrodynamiquesétant toujoursnégligeable.Pour dé rirel'évaporation,lesauteurssepla entdansle adred'unmodèle d'évaporation ontrlée par la diusion. La gouttelette déposée est en situation de mouillage partiel, la ligne de onta t est don a ro hée au substrat et l'angle de onta t est important e qui favorise l'apparition de gradients

∇T ∝ θ

. Il faut souligner que lors du al ul du prol de température, les auteurs font l'hypothèse quela ondu tivité thermique de l'air estnulle e qui implique que le liquide est thermalisé par le substrat seulement. Par ailleurs, il existe un thermostatqui maintient latempérature stationnaire loin delagoutte.

Le al ulduprolstationnairedetempérature danslesubstratetlagoutte(Fig.1.11)donne des hutes de température au sommet qui sont en a ord ave l'estimation quenous venons de mener f Tab.1.3.Commenousledisionsplushaut,ilyadeux ontributionsàl'apparitiond'un gradient thermique : d'une part, l'interfa e est pentue et d'autre part, l'évaporation n'est pas homogène.Cesdeux ontributionssontd'eet ontraireetlegradient detempérature hange de signepour unanglede onta t d'environ

10

 ontrairement au asd'unsubstratde ondu tivité thermique innie.Pour les gouttes très plates, 'est l'inhomogénéité du taux d'évaporation qui l'emporteetles auteurs trouvent un gradient important: pour

θ = 10

,

∇T ≃ 20 K/m

.

(33)

Fig.1.11:Proldetempératuredansunegoutteenévaporationreposantsurdu verre.Lessimulationssontfaitesentenant omptedela ondu tivitédusubstrat uniquement.Températureambiante:

T∞

= 25



C

.Tiréesde [HL05b,HL05a ℄.

(34)

Lesauteursobserventdeseetsnotables arilssepla entdansle asdesubstratsenverre.Si ons'intéresseà l'évaporation stationnaired'unegoutteletted'eausurdusili ium (le onstituant essentiel de notre substrat), le problème se pose diéremment puisque si l'on se reporte aux valeursdela ondu tivitéthermiqueduSili ium,onvoitquenossubstratspeuventêtre onsidérés ommeétantde ondu tivitéthermiqueinnie f Tab.1.2.Enrevan he,leur apa ité alorique estnie.Leurtempératureestdon homogènemais,baisselégèrementdurantl'évaporation.Une mesurepréliminaireave l'o taneindiqueune hutedetempératuredel'ordrede

∼ 0.01



C

etune étudeplussystématique est en ours [Del09℄.La distribution detempérature dansleliquide est ensuiteidentiqueà elle al uléepourunsubstratde ondu tivitéet apa ité aloriqueinnies.

Con lusion sur l'évaporation d'une gouttelette reposant sur substrat

Nous avons posé dans e hapitre les jalons de notre dis usion de l'évaporation d'une gout-telette mouillante. Nous avons vu que, du point du formalisme, l'évaporation des gouttelettes reposant sur un substrat est très pro he de elle desgouttelettes d'aérosol. Nous avonssoulevé leproblèmede l'anglede onta tqui devient unepartie intégrantede ladynamiquedusystème même s'iln'apparaît pasdire tement dansletauxd'évaporation.

Par ailleurs, nousavonssouligné la spé i ité de notre problèmequi est que l'on s'intéresse à la relaxation d'un sytème hors équilibre sans qu'au une ontrainte extérieure ne lui soit ap-pliquée.Nous avons vu que dans le asdes aérosols, les eets thermiques sont très importants arl'air est un mauvais ondu teur de haleur. En présen ed'un substrat, les eets diminuent signi ativement ar le rapport

χ

air

subs

est très faible. Typiquement, les eets passent de quelquesdegrés à quelques entièmes de degré elsius. Toutefois, laprésen e d'unsubstrat mo-dielaforme dutaux d'évaporation etlaquestion d'éventuels gradientsde température ( ertes faibles) estposée. Dans le al ulde Hu & Larson, l'apparition de gradients thermiques est due à laforme du taux d'évaporation mais, leur analyse estadaptée à un substrat qui n'est pas un bon ondu teur de haleur.

Notre système ombinant dessubstrats bon ondu teurs et des gouttes extrêmement plates depar leur situation de mouillagetotal, apparaît don ommetrès peu sensible auxeets ther-miques.

Nousallonsmaintenantaborderlesujetdenotreexpérien e:l'évaporationd'unegouttelette mouillante. Dans ette situationexpérimentale,laprésen ed'uneligne de onta tmobile donne un jour nouveau à ette introdu tion qui était basée sur des onsidérations sur des systèmes stationnaires.Ainsi,laquestiondurégimetransitoiredupointdevuedelathermiquerestepour etteraison ouverte.

(35)
(36)

Phénoménologie de gouttelettes

mouillantes en évaporation

(37)

Figure

Fig. 1.10 : S
héma du prol stationnaire de température pour un lm min
e et homogène dans le 
as où χsubs = ∞ et χair = 0
Fig. 2.1 : Courbes d'évolution du rayon R pour trois gouttes d'huile de sili
one légère et volatile dont on a fait varier le volume initial
Fig. 2.3 : Mesures de l'angle (en radian) et du rayon (en millimètre) au 
ours de la rétra
tion
Fig. 2.6 : Simulation numérique du modèle de 
oin. Les trois 
ourbes se réfèrent
+7

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