• Aucun résultat trouvé

Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance"

Copied!
158
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: tel-00011586

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011586

Submitted on 10 Feb 2006

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

applications à la finance

Afef Sellami

To cite this version:

Afef Sellami. Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance.

Math-ématiques [math]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 2005. Français. �tel-00011586�

(2)

D.F.R. Mathématiques de la dé ision

THÈSE

pour l'obtention dutitrede

Do teur en S ien es

(Arrêté du25 avril2002)

Spé ialité : Mathématiques Appliquées

Présentéepar

Afef SELLAMI

12Dé embre 2005

Méthodes de quanti ation optimale pour

le ltrage et appli ations à la nan e

JURY

Dire teurs de thèse : Monsieur Gilles PAGÈS

Professeur à l'Université Paris VI

Monsieur Huyên PHAM

Professeur à l'Université Paris VII

Rapporteurs : Madame Valentine GENON-CATALOT

Professeur à l'Université Paris V

Monsieur François LE GLAND

Dire teur de re her he àl'IRISA-INRIARennes

Suragants : Monsieur Vlad BALLY

Professeur à l'Université Marne-la-Vallée

Monsieur Christian ROBERT

Professeur à l'Université Paris Dauphine

Invitée : Madame Agnès SULEM

(3)
(4)

Mespremiers remer ieme nt s vont à mes parents et à mes soeurs pour toutleur amour et

leursoutien.Audelàdesdistan es,ilsont sume ommuniquerleurénergie etmeredonner

la onan equimefaisaitdéfautdanslesmomentsdedoute.Cetravailleurestdédiéave

toutemagratitude.

Cette thèse n'aurait jamaisvu lejour sans lepré ieux en adrement de mes dire teurs de

thèseM. GillesPagèset M.HuyênPhamquionttoujourssu êtredisponiblesetàl'é oute

demes interrogatio ns.Grâ eà leur impli ation ,leur patien e et leurs onseils e travaila

puêtre menéà bout, jeleur en seraiàjamaisredevable.

Je remer ieaussiMme. ValentineGenon-Catalot etM. FrançoisLe Gland d'avoira epté

derapporter etravail.LestravauxdeM.VladBallyontbeau oup ontribuédans

l'orien-tation de mes re her hes. Je suis aujourd'hui honorée par sa présen eparmi les membres

du jury et je lui en suis très re onnaissante. M. Christian Robert, Mme Agnès Sulem et

M. Nizar Touzi ont étéinitiateurs de ette thèse par leurs oursdu DEAMASE, quej'ai

suivisave beau oup d'intérêt, je suis heureuse qu'ilsaient a epté d'être dans mon jury

et jeles en remer ie sin èrement.

Enn, mer i aux thésards du bureau5C9 à Chevaleret pour ette belle ambian e et tous

les bons moments partagés autour d'un goûter ou d'une dis ussion passionnée. Mer i à

Stéphane Gaias pour ses initiations au C++ . Un grand mer i également à M. Ja ques

Portèsquiatoujoursputrouverletempsderésoudremesproblèmesinformatiques,malgré

unemploi dutemps très hargé.

Je ne saurai oublier de remer ier tous mes amis qui m'ont épaulée durant es dernières

années. Ma pensée vaà Marouen, qui atoujours été làpour moi,à Alia,Nessrine, Noura

et Walid dont l'amitié m'est très hère, à tous les autres que je ne saurai nommer, qu'ils

(5)
(6)

Introdu tion 9

0.1 Quanti ation optimale et appli ations . . . 9

0.1.1 Dénitions et résultatspréliminaires . . . 9

0.1.2 Appli ation àl'intégration numérique . . . 13

0.1.3 Autresappli ations . . . 15

0.2 Leproblème dultrage . . . 16

0.2.1 Le ltrage optimal . . . 17

0.2.2 Lesméthodes d'approximatio n . . . 21

0.3 Prin ipaux résultats . . . 25

I Filtrage par quanti ation 29 1 First Order s hemes 31 1.1 Introdu tion . . . 32

1.2 Prelimina ries . . . 33

1.2.1 Quantizatio n lterings hemes. . . 33

1.2.2 Ba kground onquantizationand optimal quantization . . . 37

1.2.3 Generi rst orders heme . . . 39

1.3 Onesteprst orderiterative s heme . . . 41

1.3.1 Denitionof the s heme . . . 42

1.3.2 Errorbounds . . . 44

1.4 Two stepiterativerst order s heme . . . 49

1.4.1 Integration byparts formula. . . 49

1.4.2 Numeri als heme . . . 50

1.4.3 Errorbounds . . . 53

1.4.4 The ase ofregularizing kernels . . . 56

1.5 Convergen e resultfor the normalized lter . . . 57

1.6 Numeri alillustrations . . . 59

(7)

1.6.2 Canoni al sto hasti volatilitymodel (SVM). . . 61 1.6.3 Numeri al stability . . . 62 AppendixA . . . 67 AppendixB . . . 73 2 Comparison approa h 77 2.1 Introdu tion . . . 78 2.1.1 Sequential denition . . . 79

2.2 Quantizationbased lters . . . 81

2.2.1 Zero order s heme . . . 81

2.2.2 First order s hemes . . . 82

2.3 Parti le lters . . . 85

2.3.1 Sequential Importan e Sampling( SIS) . . . 85

2.3.2 Sequential Importan e Resampling or Bootstraplter ( SIR) . . . . 87

2.3.3 Elements for a omparison . . . 88

2.4 State Equations . . . 89

2.4.1 Kalman lter (KF) . . . 90

2.4.2 Canoni al sto hasti volatilitymodel (SVM). . . 90

2.4.3 Expli it nonlinear lter[18℄ . . . 90

2.5 Numeri al experiments . . . 92

2.5.1 Stationary suboptimal quantizers . . . 92

2.5.2 Convergen e tests. . . 93

2.5.3 Results and omments . . . 93

II Prétraitements par quanti ation et appli ation en ltrage 101 3 Observation prepro essing fornumeri al ltering 103 3.1 Introdu tion . . . 104

3.2 Optimal ltering: dis rete signals . . . 105

3.2.1 Sequential s hemes . . . 105

3.2.2 Stabilitywith respe tto observationimpre ision . . . 107

3.2.3 Example . . . 109

3.3 Continuousstate signals . . . 110

3.3.1 Example . . . 115

4 Ameri an options inpartial observation markets 121 4.1 Introdu tion . . . 122

4.2 Preliminaries . . . 123

(8)

4.3.2 Theerror analysis . . . 127

4.3.3 Optimal quantization and rateof onvergen e . . . 131

4.3.4 Pra ti al implementa tion ofthe optimal approximatinglter pro ess 134

4.4 Appli ation : optimalstopping under partial observation . . . 137

(9)
(10)

0.1 Quanti ation optimale et appli ations

Laquanti ationestuneméthodeissuedutraitementdusignaletdel'information.Elle

onsisteàappro herunsignalàvaleursdansunespa e ontinuparunsignalàvaleurdans

unespa edis ret.Al'origine, ettete hniqueaétémotivéepardesraisonspratiques

d'é o-nomiede transmission[20℄, etavuensuitesesappli ationss'élargir àdiérentsdomaines,

notamment, depuis quelquesannées, les probabilités numériques. Dans ette se tion nous

allonsadopter une présentation résolument probabiliste de laquanti ation en rappelant

quelques resultats théoriques utiles et en mettant en éviden e ses appli ations les plus

ré entes.

0.1.1 Dénitions et résultats préliminaires

0.1.1.1 Quanti ation de variables aléatoires

Onsepla edansunespa edeprobabilité

(Ω,

F, P)

,etonsedonneunevariablealéatoire à valeursdans

R

d

,

X

, de loi

P

X

supposée simulable. Un entier

N

∈ N

étant xé, un

N

-quantieur est une appli ation borélienne

h

N

appliquant

R

d

dans un ensemble ni

Γ =

{x

1

, . . . , x

N

} ⊂ R

d

.

Pour dénir de manière unique l'appli atio n

h

N

, on a besoin de spé ier en plus une partition borélienne

(A

i

)

1≤i≤N

de l'espa e

R

d

pour avoir:

h

N

(X) =

N

X

i=1

x

i

1

A

i

(X).

Le

N

-quantieur est don spé ié par ladonnée de : 

Γ =

{x

1

, . . . , x

N

}

la grille de quanti ation de taille

N

appelée aussi ensemble des entres, des points de quanti ation ou des entroïdes, ou en ore

N

-quantieur as-so iéà

h

N

.

 Unepartitionborélienne

(A

i

)

1≤i≤N

del'espa e

R

d

.A haqueensemble

A

i

seraasso ié un entre

x

i

que l'onsupposera toujours appartenirà

A

i

(11)

Fig.1 Partitionsde l'espa easso iéesàune grille dequanti ationen deuxdimensions

Quand

X

∈ L

p

, ondénitun

N

-quantieur

L

p

-optimal de

X

par l'appli atio n

h

N

solution duproblème d'optimisationparamétré par lataille delagrille de quanti ation

N

:

inf

{kX − h(X)k

p

p

, h : R

d

→ R

d

,

appli ation boreliennet.q.

|h(R

d

)

| ≤ N}.

(0.1.1)

D'après les résultats établis par exemple dans [25℄, e problème admet une solution

h

N

déniepar un

N

-quantieur

Γ

N

=

{x

1

, . . . , x

N

}

, vériant :

E

|X − h

N

(X)

|

p

= E min

x∈h

N

(R

d

)

|X − x|

p

,

et par la partition

(C

i

))

1≤i≤N

, dite de Voronoï, asso iée à et ensemble, dénissant

h

N

omme uneproje tionaupluspro hevoisinsurl'ensembledes entres

(x

i

)

1≤i≤N

(voir Figure1).Soit :

C

i

)

⊂ {ξ ∈ R

d

t.q.

|ξ − x

i

| = min

1≤k≤N

|ξ − x

k

|}.

La distorsion 1 s'é rit alors :

D

X,p

N

:=

kX − h

(X)

k

p

p

=

k min

1≤i≤N

|X − x

i

|k

p

p

.

Elle onverge vers zero quand la taille du quantieur

N

tend vers

+

, et sa vitesse de onvergen eest régie par lethéorèmede Zador énon é omme suit:

1

Onnoteraparailleursl'erreurdequanti ation

kX − h

N

(X)k

p

.

(12)

Théorème 0.1.1 (Cf.[25,4℄)Onsuppose que

R

R

d

|ξ|

p+r

P

X

(dξ) < +

pour

r > 0

.Alors,

lim

N

(N

p

d

D

X,p

N

) = J

p,d

kϕk

d

d+p

,

P

X

(dξ) = ϕ(ξ)λ

d

(dξ) + ¯

µ(dξ)

,

µ

¯

⊥λ

d

(

λ

d

mesure de Lebesgue sur

R

d

) et pour tout

q

∈ R

+

,

kgk

q

:= (

R

|g|

q

(u)du)

1

q

.

Remarque 0.1.1

J

p,d

orrespond à la limite pour la loi uniforme sur

[0, 1]

. On sait que

J

p,1

=

2

p

(p+1)

1

et que

J

2,2

=

5

18

3

. D'une manièregénérale, on ne onnaît pasla valeur de ette onstante pour

d > 2

, maison a

J

2,d

d

2πe

. (Cf.[25℄).

Nouspouvonsainsié rireque

kX − h

N

(X)

k

p

= O(N

1

d

)

auvoisinagede

N

→ +∞

. Par ailleurs, il sera essentiel de noter que les quantieurs

L

2

-optimaux vérient une

pro-priété ditede stationnarité, àsavoir que:

E

[X

|h

N

(X)] = h

N

(X).

(0.1.2)

Cette propriété permet d'utiliser des termes orre teurs de premier ordre dans les

dif-férentes appli ations de la quanti ation, omme nous allons le voir dans le paragraphe

suivant pour l'intégration numérique puis, plus loin,dans les exemplesd'évaluation

d'op-tions améri aines[6℄ ou deltrage (Cf.Chapitre 1).

D'un point de vuepratique, dénir lafon tion

h

N

pour une taille de quantieur xée

N

s'avère être un problème d'optimisation assez déli at à résoudre notamment dans le asmultidimensionnel. Eneet,pourplusieurs loisendimensions1,ilexistedessolutions

analytiques fermées ou semi-fermées qui peuvent aisément être al ulées. On itera par

exemple la quanti ation de la loi normale par la méthode de Newton [44℄, ou de la loi

exponentielle, entre autres, dans[17℄. Par ailleurs, dans le as parti ulier d'uneloi à

den-sitélog- on ave,lasolutionauproblème(0.1.1)est unique[28℄, e quipermet l'utilisation

e a ed'algorithmes numériquesd'optimisationtels quel'algorithmedugradientou elui

dupoint xeappeléaussiméthode deLloyd I[44, 2℄.

Cesméthodesdéterministesdeviennentrapidementdi iles àmettreen÷uvreen

dimen-sions supérieures à 1. D'une part par e qu'elles impliquent des al uls d'intégrales trop

omplexes au delàde la dimension 1, d'autres part, par e quela solution de (0.1.1) n'est

pasunique equidiminueen ore l'e a itédesrésolutionsnumériques. Dans e asalors,

on préfère utiliser desalgorithmes sto hastiques d'apprentissage fondéssur lasimulation.

On iteradans e ontextel'algorithmeCompetitiveLearningVe torQuantization (CLVQ

algorithm) aussiappelé algorithmede Kohonen à zéro voisins, les algorithmes génétiques

[26℄ ou l'algorithme de Lloyd I multidimensionnel [2℄. Une étude détaillée des méthodes

de quanti ation quadratique optimale est proposée dans [44℄. Il est à noter que 'est le

asquadratique

(p = 2)

qui est leplus souvent étudié surle plannumérique, même siles résultatsthéoriquessont généralement énon és pour

p

quel onque.

(13)

Nous ne détaillerons pas plus avant et aspe t de la quanti ation ar il n'est pas au

entre de notre travail.Nousnous intéresserons plutt àl'exploitation de esquantieurs

optimauxpourdiérentesappli ationspratiques. A eteet,ilest important d'introduire

toutd'abordunedénitiondepro essusquantié(ouquanti ationdepro essusdiérente

de lanotion de quanti ation fon tionnelle de pro essus. Cf. [33, 45℄). Ce sera l'objetdu

pro hainparagraphe.

0.1.1.2 Quanti ation de pro essus

Danslesdiérentesappli ationsdelaquanti ation, ilestsouventrequisde onsidérer

laquanti ationd'un pro essusmarkovien àtempsdis ret

(X

k

)

k≥0

donton onnaitla dy-namiqued'évolution demanièreàpouvoirensimulerlatraje toire.Une appro he possible

dans e as est de quantier haque variable

X

k

en tenant ompte de sa loi marginale, on parle don de quanti ation marginale . Pour ela, on doit se xer une taille de grille

N

k

à haque pas de temps et un

N

k

-quantieur

L

p

-optimal de

X

k

∈ L

p

que l'on notera

Γ

k

=

{x

1

k

, . . . , x

N

k

k

}

.

Par onséquent, ondénit laquanti ation (Voronoï) de

X

k

par :

ˆ

X

k

= h

N

k

(X

k

) =

N

k

X

i=1

x

i

k

1

C

i

k

)

(X

k

).

(0.1.3)

Le pro essus ainsi quantié

( ˆ

X

k

)

k≥0

ne vérie plus la propriété de Markov. Cependant, une approximation de laprobabilité de transition entre diérents états à deux dates

su - essives reste possible à travers les paramètres ompagnons

p

ij

k

, pour

i

∈ {1, . . . , N

k

}

et

j

∈ {1, . . . , N

k+1

}

dénispar :

p

ij

k

= P[X

k+1

∈ C

j

k+1

)

|X

k

∈ C

i

k

)]

= P[ ˆ

X

k+1

= x

j

k+1

| ˆ

X

k

= x

i

k

].

D'une manière générale, pour

0

≤ k < n

,

i

∈ {1, . . . , N

k

}

et

f

borélienne dans

R

d

, on notera:

b

P

k

f (x

i

k

) = E[f ( ˆ

X

k+1

)

| ˆ

X

k

= x

i

k

] =

N

X

k+1

j=1

f (x

j

k+1

)p

ij

k

.

Pour des horizons

n

raisonnables (

≤ 100

), il est don possible de al uler et de sto- ker dans des tables fa ilement a essibles les grilles de quanti ations et les paramètres

ompagnonsi.e.les

(x

i

k

)

et les

(p

ij

k

)

pour

0

≤ k ≤ n

,

1

≤ i ≤ N

k

et

1

≤ j ≤ N

k+1

. Ce pré-traitementdesdonnées,dito-line,permetdeminimiserles al ulsd'éventuelsestimateurs

utilisant laquanti ation.Unexemplede esgrillespour laloinormale entréeréduiteest

(14)

0.1.2 Appli ation à l'intégration numérique

Une appli ation immédiate de la quanti ation est le al ul d'approximatio ns

numé-riquesd'intégralesparrapportàunemesuredonnée.Onseposeleproblèmedel'évaluation

del'intégrale

E

[f (X)]

,pour

X

deloi

P

X

sur

(R

d

,

B(R

d

))

.Si

X

ˆ

désigneune

N

-quanti ation

L

2

-optimalede

X

nouspouvonsnousdonner omme estimateur:

E

[f ( ˆ

X)]

. Comme

X

ˆ

est unevariablealéatoiredis rète,le al ulde etestimateurserésumeraàunesomme

pondé-réenie,dontlestermessontlusàpartirdetablespré- al ulées.Enreprenantlesnotations

duparagraphe pré édent,on pose:

E

[f (X)]

≈ E[f( ˆ

X)] =

N

X

i=1

x

i

Z

1

C

i

(Γ)

(x)P

X

(dx) =

N

X

i=1

x

i

p

ˆ

i

,

p

ˆ

i

= P

X

(C

i

(Γ)) = P(X

∈ C

i

(Γ))

. Les pondérations

p

i

sont aussi des paramètres ompagnons qui peuvent être al ulés en

mêmetempsquelagrilledequanti ation

Γ

et sto késdansdestablesa essiblespendant l'estimation. L'erreurd'estimationest ontrléeparl'erreur dequanti ation

∆ = X

− ˆ

X

. Eneet, quand

f

est ontinue,dérivableà dérivée bornée, il existe

ξ

∈ (X, ˆ

X)

telque:

f (X)

− f( ˆ

X) =

hDf(ξ), ∆i,

< ., . >

désigne leproduits alaire anonique sur

R

d

.

Ce idonne lamajoration d'erreurqu'on appellera d'ordre zero :

|E[f(X)] − E[f( ˆ

X)]

| ≤ Ck∆k

1

≤ Ck∆k

2

.

(0.1.4) Quand

f

est ontinue, 2 fois dérivable, à dérivée se onde bornée, on peut développer

f

à un ordre supérieur an d'établir une majoration d'erreur d'ordre 1. En eet, il existe

ξ

∈ (X, ˆ

X)

telque :

f (X)

− f( ˆ

X) =

hDf( ˆ

X), ∆

i +

1

2

D

2

f (ξ)∆.

Ainsi, omme

ˆ

X

vérie lapropriétéde stationnarité (0.1.2), il estpossible d'établir :

|E[f(X)] − E[f( ˆ

X)]

| ≤ E|E[f(X) − f( ˆ

X)

| ˆ

X]

|

≤ CE|h∆, ∆i| ≤ Ck∆k

2

2

.

(0.1.5) EnutilisantlethéorèmedeZador0.1.1,onobtientuntauxde onvergen een

O(N

−1

d

)

dansle as de l'inégalité (0.1.4), et moyennant l'hypothèse plusrestri tivesur lafon tion

f

,on a untaux de onvergen e deux foisplus rapide

O(N

−2

d

)

àpartir de (0.1.5).

(15)

de

X

par un ensemble dis ret ni pondéré. L'estimateur de Monte Carlo s'é rit en eet omme lasommeéquipondérée suruné hantillon iidde taille

M

:

E

[f (X)]

1

M

M

X

i=1

f (X

i

)

(X

1

, . . . , X

M

)

iid

X

1

∼ P

X

.

Maissileprin ipe reste lemême, de grandesdiéren es séparent les deuxméthodes:

 Lesgrillesde quanti ation ainsiqueles pondérations peuventêtre al uléesoine,

et sto kées dans des tables a essibles par plusieurs appli ations à la fois.La

om-plexité du al ul ex lutdon lapro édured'optimisation desquantieurset ompte

seulement les opérations élémentaires de somme et de pondération . Au ontraire,

les méthodes de Monte Carlo utilisent une partie de la apa ité de al ul dans la

simulation online desé hantillons

X

i

.

 L'estimateurMonteCarloestunestimateuraléatoire,dontilfaudragérerlavarian e

lors desappli ations par despro édures de ontrle et de minimisation devarian e.

A sonopposé, l'estimateur par quanti ation estun estimateurdéterministe.

 La vitesse de onvergen e (en loi) des estimateurs de Monte Carlo est

O(N

1

2

)

(TCL); ilestindépendant deladimension.Laloidulogarithmeitéré règlelavitesse

de onvergen e p.s.en

q

log log N

N

.La onvergen e desestimateurs parquanti ation, bien que dépendant de la dimension, est asymptotiquement plus rapide jusqu'à la

dimension

2

pour elles du type ordre 0 et jusqu'à la dimension

4

pour elles du type ordre 1.Au delà,laméthodede quanti ationne restepas ompétitive lorsque

N

→ +∞

; ependant elle se révèle en ore très e a e en pratique notamment en dimension moyenne

(d

≤ 10)

lorsque

N

n'est pastrès grand.

Il estdéli atde omparerune méthode déterministe omme laquanti ationet une

méthodefournissantunrésultataléatoire ommelaméthode deMonteCarlo.

Néan-moins,sil'onsetientàlapratiquedesutilisations,ilparaîtnaturelde omparer

l'er-reur de quanti ation ave la taille d'un intervalle de onan e. Typiquement, ave

un hoix adéquat d'intervalle de onan e, e i revient à omparer

kf(X) − f( ˆ

X)

k

2

et

f(X)

N

pour

X

ˆ

une

N

-quanti ation

L

2

-optimaleet

f

Lipshitzienne; oubien,plus universellement à omparer

kX − ˆ

X

k

2

et

X

N

pour les s hémas de quanti ation d'ordre 0 et

kX − ˆ

X

k

2

2

et

X

N

pour les s hémas d'ordre 1.Il est intéressant de voir alors qu'il existe des seuils ritiques

N

0

c

pour les s hémas d'ordre 0 et

N

1

c

pour les

s hémas d'ordre 1,pour lesquels

∀N ≤ N

0

c

≤ N

c

1

l'erreur par quanti ation est in-férieure à la longueur de l'intervalle de onan e donné par la méthode de Monte

Carlo. Cerésultat est détaillé dans[43℄.

Il est par ailleurs possible d'appliquer un raisonnement d'é hantillo nnage préférentiel

[49℄ dansl'intégration numérique par quanti ation.

Dénition 0.1.1 E hantillonnage Préférentiel : C'est la pro édure par laquelle on

(16)

un é hantillon iid

1

, . . . , ξ

N

)

d'une autre mesure de probabilité

µ

dite loi d'importan e, plusfa ile à simuler. S'il existe une fon tion

m

etune onstante

m

¯

vériant:

ν(dx) = m(x)µ(dx)

et

m(x)

≤ ¯

m,

l'approximation est alors donnée par

ν

1

N

P

N

i=1

m(ξ

i

ξ

i

.

Si on désigne par

p

la densité de

X

et par

q

une densité d'importan e qui vériera

f

p

q

∈ C

b

, on pourra utiliser la quanti ation d'une variable

Y

de densité

q

pour estimer

E

[f (X)]

.

E

[f (X)] = E[f (Y )

p(Y )

q(Y )

]

E

[f ( ˆ

Y )

p( ˆ

Y )

q( ˆ

Y )

],

(0.1.6)

|E[f(X)] − E[f( ˆ

Y )

p( ˆ

Y )

q( ˆ

Y )

]

| ≤ CkY − ˆ

Y

k

2

.

0.1.3 Autres appli ations

La quanti ation a historiquement onnu plusieurs appli ations dans le domaine de

la théorie de l'information, du traitement du signal et de sa ompression. Cependant, la

solution qu'elle ore au problème d'intégration numérique permet de l'appliquer dansde

nouveaux domaines pour résoudre des problèmes impliquant un al ul numérique

d'inté-grales,d'espéran esoud'espéran es onditionne lles.Detelsproblèmesseposentennan e

dansle adrede modèlesd'évaluationdeproduits dérivés,oùun al ul d'espéran e

ondi-tionnelleestrequisetsouvent, etypedeproblèmesestreformulédemanièrerétrogradeen

utilisantunprin ipe deprogrammationdynamique.La quanti ation, depar sonprin ipe

depré-traitementet de al ulo-line desgrilless'adaptebienà etyped'appro he.Parmi

les appli ations qui s'ins rivent dans e adre, on ite [7℄, où est proposé un algorithme

d'évaluationd'optionsaméri ainesetd'estimationdetempsd'arrêtoptimal,ladate

d'exer- i e de l'option, lorsque l'a tif sous ja ent suit une diusion brownienne. Comme pour le

problème d'intégration numérique, l'utilisation de quantieurs stationnaires permet dans

etteappli ationd'améliorerl'estimationnumériqueparlepassageàunordresupérieurde

onvergen e(Cf.[6℄).Parailleurs,PagèsetPham[42℄dénissentunequanti ation

marko-viennedepro essusquipréservelapropriétédeMarkovdupro essusoriginaletpermetde

proposerunesolutionnumériqueàunproblèmede ontrlesto hastiqueapparaissantdans

desproblématiquesnan ièresdegestiondeportfeuille.Dans esappli ations,larésolution

numérique rétrograde estrendue possible grâ eaux grillesdequanti ationpré al ulée s.

Uneautreappli ationissuedudomainedutraitementdusignalest elledelarésolution

deproblèmesdeltragenonlinéaire.Elleaétéintroduitedans[41℄,oùla onstru tiond'une

(17)

ommepourl'intégrationnumérique,leproblèmedeltragenonlinéaireadmetunesolution

numériqueprobabilistedetypeMonteCarlo,onpeutalorsseposerlesquestionssuivantes:

Comment sepositionnent les méthodes de ltrage par quanti ation par rapport auméthodesparti ulaires du typeMonte Carlo?

Peut-on dénir des pro édures de pré-traitement en ore plus élaborées pour amé-liorer la rapidité du al ul on line? Quel serait l'eet de telles pro édures sur le taux de

onvergen ede l'erreur d'estimation?

Toujoursdansle adredultrage,ilseraintéressantd'étudierlepassage àdess hémas

numériques de type ordre 1, omme il a été suggéré dans [43℄ où l'utilisation de la

pro-priété de stationnarité permet de dénir des pseudo-s hémas ré ursifs ajoutant un ordre

de onvergen e. Ces s hémas ne sont pasimplémenta bles en l'état ar ils mettent en jeu

desquantitésnon a essibles numériquement .La question estdon :

Comment dénir des s hémas numériques de premier ordre implémenta bles et présérvant letaux de onvergen e mis enéviden e par lespseudo-s hémas?

Enn, ilestintéressant derelever quelepoint ommunà toutes lesappli ations itées

est l'utilisation de formulation rétrograde pour établir des majorations de l'erreur sur la

valeurobje tif,enfon tiondel'erreurdequanti ation. ParlebiaisduthéorèmedeZador,

il devient ensuite possible de déduire un taux de onvergen e en fon tion de lataille des

grilles.Ennan e, laproblématique dultrage estomniprésente danslesmodèles d'a tifs

àvolatilité sto hastique : la volatilité estvue omme un signaldont le ours de l'a tifest

l'observation bruitée. Làen ore une questionse pose:

En utilisant le ltre par quanti ation peut-on proposer des solutions à des pro-blèmesd'évaluationd'optionsaméri aines [7, 6℄oud'optimisationdeportefeuille[42℄ dans

un adreà observationpartielle, typiquement un modèleà volatilité sto hastique?

Dans notre travail, nous nous sommes intéressés à l'appli atio n de la quanti ation

auproblème du ltrage, plus parti ulière ment au al ul du ltre par quanti ation d'une

partet àlaquanti ationdultre d'uneautre.Le problèmedultrage étant au ÷ur des

développement sde ette thèse,nousy onsa rerons toutela se tionquisuit.

0.2 Le problème du ltrage

Nous nous intéressons maintenant aux spé i ations d'un problème de ltrage et à

quelquessolutions proposéesdanslalittérature pour lerésoudre. Onparle deproblèmede

ltrage quand on est fa e à un système dont l'évolution en fon tion du temps est gérée

par un pro essus a hé dont on n'observe que des états bruités. Le ltrage s'ins rit dans

uneappro he bayesiennedere onstitution delaloi onditionnelledupro essus a héàun

instant donné en s'appuyant surles observations faitesjusqu'à etinstant. Il onnait des

appli ations diverses aussi bien dans le domaine de la ommande de systèmes physiques

(18)

modèled'étatspourtoutelathèse.Parailleurs,nouspasseronsenrevuequelquesméthodes

numériques de ltrage qui nousserviront de pointsde départ à denouvellesméthodesou

depointsde omparaison ave elles- i.

0.2.1 Le ltrage optimal

Onsepla edansle adred'unproblèmeàtempsdis retetàhorizonnixé

n

∈ N

.On onsidèrelespro essussignal

(X

k

)

etobservation

(Y

k

)

régisparlesdynamiquessuivantes:

(

X

k

= F

k

(X

k−1

, ε

k

),

X

0

de loi

µ

0

onnue àpriori,

Y

k

= G

k

(X

k

, η

k

),

k

≥ 1.

(0.2.1)

k

)

et

k

)

désignent des suites indépendant es de variables aléatoires iid et indépen-dantes de

X

0

. La suite

k

)

1≤k≤n

modélise l'innovation du pro essus a hé,

k

)

1≤k≤n

représente l'imperfe tiondesobservations. Onseproposede déterminer l'étatdu système

à une date nale

n

xée, en s'appuyant sur les observations faites jusqu'à ette date. Au sens de ladistan e quadratique, l'estimation optimale de

X

n

sa hant les observations

Y

1:n

= (Y

1

, . . . , Y

n

)

estdonnée par l'espéran e onditionne lle :

E

[X

n

|Y

1:n

].

Demanière plus générale, l'information la plus ri he disponible à travers les observations

Y

1:n

estdonnée parlaloi onditionne lle

L(X

n

|Y

1:n

)

. Leproblème dultrage onsistedon à al uler etteloide probabilité,de manièreexa tedansle asdultrage optimal, oude

manièreappro hée, onparlera dans e as deltrage sous-optimal.

La formulation expli ite dela solutionau problème dultrage n'est généraleme nt pas

possible.Eneet,dansun adregénéral 'estunproblèmededimensioninnie.Auniveau

desappli ations,on aspireleplussouvent àappro her ladensitédelaloi onditionnelleà

travers un ensemble de fon tionstests qu'onnotera de manière générique

f

. Onsedonne don pour obje tif de al uler, dansunpremier temps :

Π

y,n

(dx) = P[X

n

∈ dx|Y

1

= y

1

, . . . , Y

n

= y

n

],

ou

Π

y,n

f = E[f (X

n

)

|Y

1

= y

1

, . . . , Y

n

= y

n

].

Il seraensuitepossible d'envisager leproblèmed'évaluationdu ltre aléatoire :

Π

Y,n

(dx) = P[X

n

∈ dx|Y

1

, . . . , Y

n

]

ou

Π

Y,n

f = E[f (X

n

)

|Y

1

, . . . , Y

n

].

0.2.1.1 Modèle général d'états

 Lepro essus signal

(X

k

)

estune haînede Markovdont ladynamique estrégie par l'équation:

(19)

F

k

: R

d

× R

q

→ R

d

, est une fon tion borélienne et

k

)

1<k≤n

est une suite de variables aléatoires à valeurs dans

R

q

de même loi (de densité

p

), indépendant es entreellesetindépendant esde

X

0

.Laloi

µ

0

de

X

0

estsupposée onnuea priori.Par ailleurs, on désigne par

P

k

(x, dx

)

le noyau de transition de

X

k

à

X

k+1

, et on note pour toutefon tion

f

:

µ

0

f =

Z

f (x)µ

0

(dx)

et

P

k

f (x) =

Z

f (x

)P

k

(x, dx

).

 Le pro essusdesobservations

(Y

k

)

obéit àladynamiquesuivante :

Y

k

= G

k

(X

k

, η

k

),

G

k

: R

d

× R

q

→ R

d

est une fon tion borélienne et

k

)

une suite de variables aléatoires iidà valeursdans

R

q

independant es de

σ(X

0

, ε

k

, k

≥ 1)

. Onsupposeque la loi onditionnelle

L(Y

k

|X

k

)

est absolument ontinue par rapport à la mesure de Lebesgue sur

R

d

. Soit:

P

[Y

k

∈ dy|X

k

= x

k

] = g

k

(x

k

, y)λ

d

(dy).

(0.2.2)

La loi initiale du signal étant a priori onnue, on pourra supposer sans perte de

généralité que

Y

0

= y

0

xé.

 Le pro essus

(X

k

, Y

k

)

estune hainede Markovde transitiondonnée par :

P

[(X

k

, Y

k

)

∈ (dx, dy)|X

k−1

, Y

k−1

] = P[Y

k

∈ dy|X

k−1

, Y

k−1

, X

k

]P[X

k

∈ dx|X

k−1

, Y

k−1

],

= g

k

(x, y)P

k−1

(X

k−1

, dx)λ

d

(dy).

grâ e àl'indépenda n e entre

η

k

et

(X

k−1

, η

k−1

)

et à (0.2.2). Par onséquent, laloijointe

L(X

0

, . . . , X

n

, Y

0

, . . . , Y

n

)

s'é rit :

L(X

0

, . . . , X

n

, Y

0

, . . . , Y

n

) = µ

0

(dx

0

y

0

n

Y

k=1

g

k

(x

k

, y

k

)P

k

(x

k−1

, dx

k

d

(dy

k

),

et par la formule de Bayes pour les ve teurs aléatoires à densité, on en déduit la

formulede KallianpurStriebel[27℄ :

E

[f (X

0:n

)

|Y

1:n

= y

1:n

] =

R

. . .

R

R

f (x

0:n

0

(dx

0

)

Q

n

k=1

g

k

(x

k

, y

k

)P

k

(x

k−1

, dx

k

)

. . .

R

µ

0

(dx

0

)

Q

n

k=1

g

k

(x

k

, y

k

)P

k

(x

k−1

, dx

k

)

.

(0.2.3)

Plus parti ulière ment, ondénit leltre évaluésur lafon tion test

f

par :

Π

y,n

f = E[f (X

n

)

|Y

1:n

= y

1:n

] =

π

y,n

f

π

y,n

1

,

π

y,n

f

estle ltre nonnormalisédéni par :

π

y,n

f = E[f (X

n

)

n

Y

k=1

(20)

 Dans la suite, un é hantillon

y

1:n

d'observations étant xé, on onfondra par om-moditéladensité onditionne lle

g

k

ave lafon tion de vraisemblan e asso iée :

g

k

(x

k

)

Déf

= g

k

(x

k

, y

k

),

ladépendan e en

y

k

seraimpli ite lorsque l'observation est xée.

0.2.1.2 Formulation ré ursive

En utilisant la propriété de Markov du signal

(X

k

)

, il est possible de dé omposer séquentiellement le al ul de

Π

y,n

f

par un argument de programmation dynamique. En eet, le passage d'un ltre à une date intermédiai re

0

≤ k ≤ n − 1

au ltre à la date suivante peut être fait en deux étapes onnues sous le nom d'étapes de prédi tion et de

miseàjour.

Π

k

Prédi tion

−→

Π

k+1|k

Miseàjour

−→

Π

k+1

.

Prédi tion C'est une étape de transition linéaire qui utilise l'information a priori de la

transitiondusignal. Ondénit alors laprédi tion :

Π

k+1|k

(dx

) =

Z

Π

k

(dx)P

k

(x, dx

).

(0.2.4)

Mise à jour C'est l'étape de orre tion de la prédi tion qui utilise l'information fournie

par lanouvelle observation, tombée à la date

k + 1

onsidérée.Elle est non linéaire aree tue une normalisation issue de la formulede Bayes pour l'espéran e

ondi-tionnelle.Expli itement, on a:

Π

k+1

(dx) =

g

k+1

(x)Π

k+1|k

(dx)

R

g

k+1

(x)Π

k+1|k

(dx)

.

(0.2.5)

Latransitionde

π

k

à

π

k+1

pourra aussiêtremodélisée parladénitiond'unopérateur detransition :

H

y,k

f (x) = E[f (X

k

)g

k

(X

k

, y

k

)

|X

k−1

= x],

1

≤ k ≤ n,

Ainsi,

π

y,0

f

= E[f (X

0

)]

Déf

= H

y,0

f,

π

y,k

f

= π

y,k−1

H

y,k

f,

1

≤ k ≤ n.

(0.2.6)

Dans la suite, il s'avèrera par ailleurs très utile de voir que ette onstru tion forward

pourra être inversée en un s héma rétrograde ou ba kward (voir [41℄). A ette n, nous

dénissons lesopérateurs

R

y,k

omme suit :

R

y,n

f

= f,

R

y,k−1

f

= H

y,k

R

y,k

f,

1

≤ k ≤ n.

(0.2.7)

(21)

0.2.1.3 Le modèle d'états dis ret

La formulation ré ursive du al ul du ltre par les équations (0.2.4) et (0.2.5) rend

larésolution du problèmenumériquement aisée dansle adred'un signal àespa e d'états

dis ret. Eneet, sipour tout

0

≤ k ≤ n

,

X

k

(Ω) =

{x

1

k

, . . . , x

N

k

k

}

et si

P

k

= (P

ij

k

)

désigne lamatri e de transitiondu signal

(X

k

)

entre

k

et

k + 1

, d'aprèsleparagraphe pré édent, lesopérateurs

H

y,k

s'é rivent simplement :

H

y,k

f (x

i

k−1

) =

N

k

X

j=1

f (x

j

k

)P

ij

k−1

g

k

(x

j

k

, y

k

).

permettant ainsiun al ul numérique expli itedultrepar lebiaisde laré ursion (0.2.6).

En onsidérant que

π

y,k

∈ M

1,N

k

(R)

et que

H

y,k

∈ M

N

k−1

,N

k

(R)

, on aboutit au systèmeré ursifmatri iel suivant :

H

y,k

ij

= P

ij

k−1

g

k

(x

j

k

, y

k

),

0 < k

≤ n,

π

y,0

= µ

0

,

π

y,k

= π

y,k−1

H

y,k

.

Finalement,en normalisant :

Π

i

y,n

=

π

i

y,k

P

N

n

j=1

π

j

y,k

et

Π

y,n

f =

N

n

X

i=1

Π

i

y,n

× f(x

i

n

).

0.2.1.4 Filtrage de Kalman

Quand on sort du adre dis ret pré édent, l'évaluation exa te du ltre en utilisant

les équations (0.2.4) et (0.2.5) devient plus déli ate, ar elle implique le al ul su essif

d'intégrales.Lemodèled'état ditdeKalman-Bu y onstitueundesraresmodèlesàespa e

d'états ontinu où une formulation expli ite du ltre est possible. On parle de ltre de

dimensionnie 2 . On onsidère:

X

k

= ρ

k

X

k−1

+ θ

k

ε

k+1

, X

0

∼ N (m

0

, Σ

0

),

Y

k

= X

k

+ α

k

η

k

,

ε

k

et η

k

iid

∼ N (0, I

d

),

ρ

k

, θ

k

, α

k

∈ M

d

(R).

(0.2.8)

Dans e as parti ulier,

(X

k

, Y

k

)

est une suite gaussienne d'où l'en déduit que le ltre

Π

k

ainsi que la prédi tion

Π

k+1|k

sont gaussiens de lois respe tives

N (m

k

, Σ

k

)

et

(22)

N (m

k+1|k

, Σ

k+1|k

)

. Les paramètres

m

k

,

Σ

k

,

m

k+1|k

et

Σ

k+1|k

sont onnus ré ursivement

par l'algorithmesuivant (Cf.[21℄),

k = 1, . . . , n

:

m

k+1|k

= ρ

k

m

k

,

Σ

k+1|k

= ρ

k

Σ

k

ρ

k

+ θ

k

θ

k

,

m

k

= m

k|k−1

+ K

k

Y

k

− m

k|k−1



,

Σ

k

= (I

− K

k

k|k−1

,

K

k

= Σ

k|k−1

Σ

k|k−1

+ α

k

α

k



−1

.

(0.2.9)

0.2.1.5 Le ltre expli ite de dimension innie

Dans un adre plus général, le modèle d'états est non linéaire ou non gaussien. Dans

es asplusieurstravauxontétéélaboréspourdénirles onditionspermettantd'avoirdes

ltresdedimensionnie. On iteradans esens[52, 50℄ pour lesltresàtempsdis ret, et

[13℄pour lesltresàtemps ontinu. Lesrésultatsde estravauxmontrentqu'endehorsde

quelques asparti uliers ([8, 12, 11, 10℄),peu de modèles permettent de dénirdes ltres

dedimension nie.

Dans e paragraphe nousnousinteressons aultre expli ite à dimension innie introduit

dans [18, 19, 12℄ qui sera repris plus tard dans les exemples d'appli ation (voir Chapitre

2). L'idée est de dénir une famille paramétrée de lois invariantes par les opérations de

prédi tion (0.2.4) et de mise à jour (0.2.5), en adoptant des onditions susantes sur la

transitiondusignal

P

k

et surlavraisemblan e

g

k

.Onintroduitdesfamilles

(

F

i,θ

)

i∈N,θ∈Θ

de lois paramétrées par un ensemble ni donné

Θ

qu'on élargit en une famille

F

¯

par le moyen de mélangesà oe ients

α = (α

i

)

i∈N

∈ S

.

¯

F = {ν =

X

i≥0

α

i

ν

θ

i

, α = (α

i

)

i∈N

∈ S, θ ∈ Θ, ν

θ

i

∈ F

i,θ

},

S =

{α = (α

i

)

i∈N

,

∀i ≥ 0, α

i

≥ 0,

P

i≥0

α

i

= 1

}

.

Le asintéressanten pratique est elui des oe ients demélange delongueur nie

l

∈ N

vériant

α

i

= 0

pour tout

i > l

,qui permettentde dénirdesloisdépendant d'un nombre nideparamètres.Enpartantd'unsignaldeloiinitialedans

F

¯

àparamètredemélangeni, onmontrequelaloi dultre et de laprédi tion sontaussidans

¯

F

et sont à oe ient de mélangedelongueur nie.Ces paramètres sont al ulablesséquentiellement expli itement

(Cf.Algorithme5).

0.2.2 Les méthodes d'approximation

Outre les développement s parti uliers pré édents, des méthodes numériques ont été

(23)

de trouver une représentation ni-dimensionnelle de la loi obje tif

Π

k

. Dans e qui suit, nousprésentons su intement trois méthodesd'approximation numérique.

0.2.2.1 Filtre de Kalman étendu

Cetteméthode estutiliséeen as demodèles gaussiens maisnon linéaires. Elle apour

prin ipe de onsidérerquelo alement,l'évolution du systèmepeut êtreappro hée par des

équationslinéairesviadesdéveloppement sdeTayloràl'ordreun.On onsidèrelesystème

nonlinéaire :

(

X

k+1

= F

k

(X

k

, ε

k+1

),

Y

k

= G

k

(X

k

) + α

k

η

k

.

(0.2.10)

Pour esystème,lepro essussolution

k

)

n'estpasgaussien,sesmomentsnepeuventêtre al ulés de manière simple. Cependant, e système peut être linéarisé an de permettre

la onstru tion d'un algorithme d'approximation ré ursif du type (0.2.9). La loi du ltre

Π

k

ainsi que elle de prédi tion

Π

k|k−1

sont alors appro hées par des lois gaussiennes

N (m

k

, Σ

k

)

et

N (m

k+1|k

, Σ

k+1|k

)

. Soit:

X

k+1

≈ F

k

(m

k

, 0) + D

x

F

k

(m

k

, 0)(X

k

− m

k

) + D

ε

F

k

(m

k

, 0)ε

k+1

,

Y

k

≈ G

k

(m

k|k−1

) + DG

k

(m

k|k−1

)(X

k

− m

k|k−1

) + α

k

η

k

.

Par analogieau modèle linéairegaussien, on dénit alors ré ursivement :

m

k+1|k

= F

k

(m

k

, 0),

Σ

k+1|k

= D

x

F

k

(m

k

, 0)Σ

k

D

x

F

k

(m

k

, 0)

+ D

ε

F

k

(m

k

, 0)D

ε

F

k

(m

k

, 0)

,

m

k

= m

k|k−1

+ K

k

Y

k

− G

k

(m

k|k−1

)



,

Σ

k

=

I

− K

k

DG

k

(m

k|k−1

)



Σ

k|k−1

,

K

k

= Σ

k|k−1

DG

k

(m

k|k−1

)

DG

k

(m

k|k−1

k|k−1

DG

k

(m

k|k−1

)

+ α

k

α

k



−1

.

(0.2.11)

A notre onnaissan e, ette méthode n'est pas mathématiquement justiée dans le

as général même si plusieurs développement ont été faits pour des as parti uliers (par

exemple[48℄pourdes asd'observationsentemps ontinu).Ellerestetoutefoistrèsutilisée

dans la pratique. Son e a ité est trés dégradée par l'existen e de fortes non linéarités,

l'impré ision danslaspé i ationde laloi initiale, l'instabilité dusystème[34, 46℄...

0.2.2.2 Méthodes de grilles

Cette méthode s'appuie sur la onstru tion de grilles d'approximatio n de haque

va-riable

X

k

pardesvariablesdis rètes.Danslestermesintroduitsenpremièrese tion,ils'agit dela onstru tiondequantieursdesvariables

X

k

etdeladénitiondetransitionsdis rètes

(24)

de la première se tion et désignons par les

ˆ

X

k

les

N

k

-quanti ations des

X

k

. On notera

(A

i

k

)

1≤i≤N

k

lapartitionasso iéeà ettequanti ationet

X

ˆ

k

(Ω) = Γ

k

=

{x

1

k

, . . . , x

N

k

k

}

.On

peutalorsappro herleltreré ursivementendénissantl'estimateur

ˆ

π

y,n

parl'algorithme inspirédu modèled'états dis ret([1, 41℄):

ˆ

H

y,k

f (x

i

k−1

) = E[f ( ˆ

X

k

)g

k

( ˆ

X

k

, y

k

)

| ˆ

X

k−1

= x

i

k−1

],

=

N

k

X

j=1

f (x

j

k

) ˆ

P

ij

k−1

g

k

(x

j

k

, y

k

),

ˆ

π

y,0

f

= E[f ( ˆ

X

0

)],

ˆ

π

y,k

f

= ˆ

π

y,k−1

H

ˆ

y,k

f.

En onsidérant que

π

ˆ

y,k

∈ M

1,N

k

(R)

et que

H

ˆ

y,k

∈ M

N

k−1

,N

k

(R)

, on aboutit au système ré ursifmatri iel suivant :

ˆ

H

y,k

ij

=

P

ˆ

ij

k−1

g

k

(x

j

k

, y

k

),

0 < k

≤ n,

ˆ

π

y,0

= ˆ

µ

0

= ˆ

H

y,0

,

ˆ

π

y,k

= ˆ

π

y,k−1

H

ˆ

y,k

.

Le hoix du quantieur, notamment de lagrille

Γ

k

et de la partition asso iée onstituent unpoint ru ialdansla qualitéde l'estimation. Comme pour leproblèmede l'intégration

numérique, ilest possible de voir ette appro he omme une approximationà l'ordre zéro

des opérateurs

R

k

dans (0.2.7). Ils sont séquentiellement appro hés par des opérateurs onstantspar mor eaux:

b

R

y,n

f

= f,

b

R

y,k−1

f

=

H

ˆ

y,k

R

b

y,k

f,

1

≤ k ≤ n,

(0.2.12)

pour obtenir de manièreéquivalente

π

ˆ

y,n

= b

R

y,0

.

Dans [41℄, ette dénition rétrograde (0.2.12) permet d'établir un ontrle de l'erreur

pour un hoix judi ieux du quantieur et de la fon tion test

f

. En eet, un hoix de quantieur

L

2

-optimalnouspermetd'établir untauxde onvergen e verszeroparlebiais

du théorème de Zador. Ce i est possible à travers le ontrle de l'erreur sur le ltre par

l'erreur dequanti ation:

Théorème 0.2.2 [41℄

Supposons

P

k

est Lips hitzienet

f

est bornée Lips hitzienne ontinue, alors il existe une suite positive de onstantes

(C

n

j

(y))

0≤j≤n

telles que :

n

f

− ˆπ

n

f

| ≤

n

X

j=0

(25)

Remarque0.2.2 Ladépendan eenlesobservationsdes onstantesréelles

C

n

j

(y)

peuvent êtrerendues expli ites.(Cf.[41℄).

Remarque0.2.3 Le résultat du Théorème 0.2.2 rend aussi e a e le hoix d'un

quan-tieur

L

p

-optimal pour établir un taux de onvergen e de l'erreur vers zéro. Le hoix

quadratiqueestjustiépar lafa ilité relativedu al ul numériquedesgrillesde

quant a-tion.

0.2.2.3 Méthodes parti ulaires

Cesontdesméthodesprobabilistesoùl'approximatio nestjustiéeparlaloidesgrands

nombres. L'idée est pro he des méthodes de grilles, dans le sens où le prin ipe

d'appro- her laloiparunemesuredis retenieestretenue.Commepourleproblèmed'intégration

numériqueparméthodedeMonteCarlo, ettemesuredis rète hargelespointsd'un

é han-tillon aléatoire appelé système de parti ules. L'algorithme du ltre à parti ules s'appuie

ensuitesurla propagationdans letemps du système de parti ulesinitialement issus d'un

é hantillonde laloiinitiale

µ

0

. L'algorithmeleplusélémentaire deltrage parti ulaireest leltre de Monte Carlo pondéré, appelé aussi SIS pour Sequential Importan e Sampling

algorithm.Pour haque dated'observation

k

, on dénitl'estimateur

Π

M

k

f

par :

Π

M

k

f =

M

X

i=1

w

k

i

f (X

k

i

)

X

i

k

iid

∼ L(X

0:k

)

et

w

i

k

=

g

k

(X

k

i

)w

i

k−1

P

M

i=1

g

k

(X

k

i

)w

k−1

i

.

Cet algorithme né essite de savoir simuler la loi jointe

L(X

0:k

)

e qui a l'avantage de pouvoir sefaireré ursivement grâ e àlanature markovienne dusignal.

D'un point de vue pratique, l'attrait de ette méthode réside dans la possibilité d'une

é ritureséquentielledelasolutionenutilisantleséquations(0.2.4)et(0.2.5).Eneet,étant

donnéunsystèmedeparti ules

(X

i

0:k

)

1≤i≤M

selon

L(X

0:k

)

,lesé hantillons

(X

i

0:k+1

)

1≤i≤M

simulésselon latransition

P

k

àpartir de

(X

i

0:k

)

1≤i≤M

sont iid selon

L(X

0:k+1

)

et d'après

(0.2.4)on dénitlaprédi tion empirique :

Π

M

k+1|k

f =

M

X

i=1

w

k

i

f (X

k+1

i

).

L'étape de orre tion (0.2.5) intervient sur les pondération s

w

i

k

par le al ul de lavaleur prisepar

g

k

en haquenouveaupoint simulé, soit :

Π

M

k+1

f =

P

M

i=1

g

k+1

(X

k+1

i

)w

i

k

f (X

k+1

i

)

P

M

i=1

g

k+1

(X

k+1

i

)w

i

k

=

M

X

i=1

w

k+1

i

f (X

k+1

i

).

(26)

proposed'ajouterune étapederéé hantillo nnageand'améliorer l'explorationdel'espa e

d'étatsparlesparti ules[22, 15℄.Cetyped'algorithm es séquentielsave réé hantillo nnage

multiplie lesparti ulesàfortes pondération s et élimine lesautres,ilestretrouvésous

plu-sieurs appellation s : ltre parti ulaire ave intera tion [39℄, ltre Bootsrap [24℄ ou ltre

Monte Carlo [39, 36, 30℄, on le notera SIR pour Sequential Importan e Resampling.

Dif-férents types de onvergen e de es méthodes sont établis dans [14, 15℄. Il est ependant

né essaire de mentionner que la solution du réé hantillo nnage peut s'avérer insusante

dans plusieurs as pratiques. Il arrive en eet qu'elle apauvrisse la population des

parti- ulesen on entrantlenuagesurpeudepoints.Latailleee tiveestainsiréduite,onparle

dedégénéres en e desparti ulesdu ltreSIR. Onsereportera à[1, 39℄ et auxréféren es

qu'ils ontiennent, pour une revue de quelques variantes permettant de résoudre e type

deproblèmes.

0.3 Prin ipaux résultats

Cette thèse présente quelques ontribution s à la résolution du problème du ltrage

en utilisant la méthode de la quanti ation optimale. Nous nous sommes intéressés aux

problèmesthéoriquesposésparlamajorationdel'erreurdansdiérentesappli ationsdu

l-tragepar quanti ationetàlavéri ationnumérique de esrésultatsvial'implément at ion

surma hine. Cetravail s'arti ule endeux parties. Lapremière est onsa rée à

l'approfon-dissement desméthodes deltrage par quanti ation déjà onstruites par Pagès et Pham

dans[41℄, en utilisant une appro he de développement au premier ordre (Chapitre 1).La

omparaison numérique de ette appro he par grilles àl'appro he Monte Carlodes ltres

parti ulaire sfaitl'objetduChapitre2,danslequel etteétudesedresseàtraversplusieurs

modèlesd'états. Dansladeuxièmepartie,nousnoussommesintéressésàl'optimisationde

la pro édure du ltrage numérique par le moyen de grilles de quanti ation pré al ulée s

soit àtraversla quanti ation desobservations d'unepart (Chapitre 3) ou d'autre partà

travers la quanti ation du ltre même (Chapitre 4). Le but dans la première appro he

était d'élaborer un algorithme de al ul plus rapide, tout en établissant une majoration

satisfaisante del'erreur. Ladeuxième visaitàdonnerune solutionnumériqueauproblème

d'évaluation d'option améri aine dans le adre d'un mar hé à volatilité sto hastique non

observée.

Le Chapitre 1 a étémotivé par les travauxde Pagès, Phamet Printems [43℄, qui

sug-géraient de onstruire des s hémas dits d'ordre 1 (Cf. paragraphes 0.1.2 et 0.1.3) pour

le al ul du ltre par quanti ation. L'introdu tion de orre teurs dits d'ordre 1, dans

les formules ré ursives(0.2.12), s'inspirant ainsi desrésultatsde Bally, Pagèset Printems

dans [6℄, a donné naissan e à deux di ultés à dépasser pour aboutir à des algorithmes

numériques implémenta bles ayant une onvergen e detype ordre 1. Il fallaitproposer des

(27)

problèmeselonleshypothèsessurlemodèled'état.Typiquement, ommedans[43℄,la

réso-lutionnumérique rétrogradedu ltrepar quanti ationpermet de onstruire unsquelette

de s héma dit s héma générique d'ordre un, où les termes orre teurs viennent s'ajouter

auxapproximations d'ordre zéroà lamanièred'un développement de Taylor.

b

R

n

f

= f,

d

DR

n

f

= Df,

b

R

k

f

= E[g

k+1

(X

k+1

, y

k+1

)



b

R

k+1

f (X

k+1

+

h d

DR

k+1

f

( ˆ

X

k+1

), ∆

k+1

i



| ˆ

X

k

],

0

≤ k ≤ n − 1.

(0.3.1)

Dans les deux algorithmes proposés dans le Chapitre 1, nous dénissons l'opérateur

d

DR

k+1

f

omme une approximation d'ordre zéro de

DR

k

f

, en partant de deux é ritures diérentes de e dernier. Le premier algorithme Algorithme 1 s'appuie sur une dénition

ré ursivedonnant

DR

k

en fon tionde

DR

k+1

, ledeuxièmeAlgorithme 2surune transfor-mationà la Malliavin de

DR

k

pourleréé rireenfon tion de

R

k+1

et d'unefon tion poids quel'on dénit(Cf.[6℄). Sousles hypothèses permettant ses onstru tions et d'autres sur

ladynamiquedusignal,nousétablissonsquelesapproximationsdeltre

π

ˆ

y,n

issuesdetels s hémas améliorent lerésultatdu Théorème 0.2.2 (Théorèmes1.3.1 et 1.4.1).

Dans le Chapitre 2, nous dressons une étude omparative de l'implément ation et de

la onvergen e numérique de es ltres par quanti ation ave les ltres à parti ules. Il

est intéressant d'y voir le parallèle qui peut être fait on eptuell ement entre les deux

appro hes. A partir desdiérentsexemples de modèles d'état qu'on a testés, il sedégage

quelesméthodesdeltrage parquanti ations'avèrente a esentermesde onvergen e

même si leur omplexité numérique augmente en dimension supérieure à 1. Par rapport

auxméthodesà parti ules, elles ont l'avantage de donnerune estimation déterministe au

ltreet d'éviter lesproblèmes poséspar lavarian e dessolutions parti ulaire s.

Dans le Chapitre 3, nous étendons la notion de quanti ation desobservations

intro-duitepar [38℄ pour les ltresàmodèles d'états dis ret(Cf.paragraphe 0.2.1.3) au as des

ltresàespa e d'états ontinu(Algorithmes6et 7).Ce iestrendu possible parl'adoption

des s hémas numériques de ltres par quanti ation. En eet, par son prin ipe de

pré-traitement oine,leltragepar quanti ationpermet desto keraupréalable, enplusdes

quantieursdu signal,les fon tionsde vraisemeblan eévaluées surles produits desgrilles

de quanti ation du signal et de l'observation. En projetant l'observation sursa grille de

quanti ation, il estainsipossible de onstruire unalgorithme nefaisant pasintervenir le

al uldelavraisemblan eonlineetpar onséqeuntplusrapide.L'erreur

L

1

surl'estimation

dultre aléatoire

Π

Y,n

est ontrléepar l'erreur dequanti ationde l'observation dansle asdis ret(Théorème 3.2.1), et par ellede l'observationet du signaldansle as ontinu

(Théorème 3.3.2).

(28)

d'a élé-traitement ompletdultrepar quanti ation. Ce iestétudiédansdeplusamplesdétails

dansleChapitre 4à travers une appli ation ennan e.

Nous nous sommes intéressés au problème d'évaluation d'options améri aines dans le

adred'unmodèledemar héàvolatilitésto hastique.Lavolatilité

X

k

estmodélisée omme unsignalMarkovien a hé,dont leprixd'a tif

Y

k

onstitue uneobservationbruitée. Nous donnonsunerésolutionnumériqueduproblèmedere her hedetempsd'arrêtdans e adre

demar hé à information in omplète.Soit :

u

0

=

sup

τ ∈T

Y

n

E

"

τ

X

k=0

f (X

k

, Y

k

) + h(X

τ

, Y

τ

)

#

,

(0.3.2) où

T

Y

n

est l'ensemble des temps d'arrêt adaptés à la ltration des observations

(

F

Y

k

) =

{Y

0

, . . . , Y

k

})

à valeurs dans

{0, . . . , n}

. En onsidérant la variable

Z

k

= (Y

k

, Π

Y,k

)

, e problèmeest transformé enun problèmede temps d'arrêtà information omplète :

u

0

=

sup

τ ∈T

Y

n

E

"

τ

X

k=0

ˆ

f (Z

k

) + ˆ

h(Z

τ

)

#

.

(0.3.3)

Z

k

seraune haînedeMarkovparrapportà

(P, (

F

Y

k

))

.Larésolutionparquanti ation, àlamanièredeBallyetPagèsdans[4℄estainsirenduepossible.Unemajorationdel'erreur

est donnée par le Théorème 4.4.2. Sur leplan numérique, et exemple est illustré par un

problèmed'évaluationd'option améri aine, ilest onstaté quelavaleurde l'optionen

ob-servation partielle onverge vers elleà observation totale,quand latailledesquantieurs

tend vers

+

.

Le hapitre 4 porte sur un arti le o-é rit ave H.Pham et W. Runggaldier et publié

dans[47℄.Les autres hapitresfont l'objetde pré-publi ations dulaboratoire de

Probabi-lités et Modèles Aléatoires. Tous les hapitres peuvent être lus indépendam ment les uns

des autres, le le teur est prié d'ex user les répétitions inévitables dans les dénitions et

(29)
(30)
(31)
(32)

First Order s hemes

Prépubli ati ondu laboratoire deProbabilit és et Modèles Aléatoires [54℄

The quantization based ltering method (see [41℄, [43℄) is a grid based approximation

method to solve nonlinear ltering problems with dis rete time observations. It relies on

o-line prepro essing of some signal grids in order to onstru t fast re ursive s hemes for

lter approximation. We give here an improvement of this method by taking advantage

ofthe stationaryquantizer property. Thekey ingredient isthe useofvanishing orre tion

termsto des ribe s hemes basedon pie ewise linearapproximations. Convergen e results

aregivenand omparisonwithsequentialMonteCarlomethodsismade. Numeri alresults

arepresented for both parti ular ases of linearGaussian modelsand sto hasti volatility

models.

Key words: Quantization, nonlinearltering, oine prepro essing, stationaryquantizer,

Figure

Fig. 1  Partitions de l'espa
e asso
iées à une grille de quanti
ation en deux dimensions
Figure 1.1: Quantizatio n lter approximations for SVM as a fun
tion of the quantizer
Figure 1.3: Quantizatio n lter estimator as fun
tions of quantizer size, in the SIR 
on-
Figure 1.5: Quantizatio n lter estimator for SVM using intuitive rst order s
hemes as
+7

Références

Documents relatifs

D ans une telle stratégie, il s'agit avant tout de construire un espace d'élém ents sim ultanés et veiller, non plus à revenir au point de départ, m ais à ne pas être subm ergé

Leurs interventions ont respectivement pour titre : Les cadres sous l’emprise managériale, Sous influence : ambivalence du discours managérial et fragilisation

Comité de rédaction : Régis Balry, Véronique Leroux, Bernard Colmont, Erwann Tripon, Brivaël Leboterf, Vincent Harel. Maquettage et coordination : Vincent Harel Tirage :

Etre anim ate ur dans l'école 6... Me rci

Puis nous nous attach e rons aux e nje ux de ce tte

J'ai obse rvé ou

To take advantage of many new features of Markov chain models and explore related mean-reversion markets, it is the purpose of this paper to study the corre- sponding

David Murgia souligne l’importance de ce travail sur la langue, rappelant que « les mots qualifient le monde et changer les mots c’est changer notre rapport au monde... On trouve