HAL Id: tel-00011586
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applications à la finance
Afef Sellami
To cite this version:
Afef Sellami. Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance.
Math-ématiques [math]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 2005. Français. �tel-00011586�
D.F.R. Mathématiques de la dé ision
THÈSE
pour l'obtention dutitrede
Do teur en S ien es
(Arrêté du25 avril2002)
Spé ialité : Mathématiques Appliquées
Présentéepar
Afef SELLAMI
12Dé embre 2005
Méthodes de quanti ation optimale pour
le ltrage et appli ations à la nan e
JURY
Dire teurs de thèse : Monsieur Gilles PAGÈS
Professeur à l'Université Paris VI
Monsieur Huyên PHAM
Professeur à l'Université Paris VII
Rapporteurs : Madame Valentine GENON-CATALOT
Professeur à l'Université Paris V
Monsieur François LE GLAND
Dire teur de re her he àl'IRISA-INRIARennes
Suragants : Monsieur Vlad BALLY
Professeur à l'Université Marne-la-Vallée
Monsieur Christian ROBERT
Professeur à l'Université Paris Dauphine
Invitée : Madame Agnès SULEM
Mespremiers remer ieme nt s vont à mes parents et à mes soeurs pour toutleur amour et
leursoutien.Audelàdesdistan es,ilsont sume ommuniquerleurénergie etmeredonner
la onan equimefaisaitdéfautdanslesmomentsdedoute.Cetravailleurestdédiéave
toutemagratitude.
Cette thèse n'aurait jamaisvu lejour sans lepré ieux en adrement de mes dire teurs de
thèseM. GillesPagèset M.HuyênPhamquionttoujourssu êtredisponiblesetàl'é oute
demes interrogatio ns.Grâ eà leur impli ation ,leur patien e et leurs onseils e travaila
puêtre menéà bout, jeleur en seraiàjamaisredevable.
Je remer ieaussiMme. ValentineGenon-Catalot etM. FrançoisLe Gland d'avoira epté
derapporter etravail.LestravauxdeM.VladBallyontbeau oup ontribuédans
l'orien-tation de mes re her hes. Je suis aujourd'hui honorée par sa présen eparmi les membres
du jury et je lui en suis très re onnaissante. M. Christian Robert, Mme Agnès Sulem et
M. Nizar Touzi ont étéinitiateurs de ette thèse par leurs oursdu DEAMASE, quej'ai
suivisave beau oup d'intérêt, je suis heureuse qu'ilsaient a epté d'être dans mon jury
et jeles en remer ie sin èrement.
Enn, mer i aux thésards du bureau5C9 à Chevaleret pour ette belle ambian e et tous
les bons moments partagés autour d'un goûter ou d'une dis ussion passionnée. Mer i à
Stéphane Gaias pour ses initiations au C++ . Un grand mer i également à M. Ja ques
Portèsquiatoujoursputrouverletempsderésoudremesproblèmesinformatiques,malgré
unemploi dutemps très hargé.
Je ne saurai oublier de remer ier tous mes amis qui m'ont épaulée durant es dernières
années. Ma pensée vaà Marouen, qui atoujours été làpour moi,à Alia,Nessrine, Noura
et Walid dont l'amitié m'est très hère, à tous les autres que je ne saurai nommer, qu'ils
Introdu tion 9
0.1 Quanti ation optimale et appli ations . . . 9
0.1.1 Dénitions et résultatspréliminaires . . . 9
0.1.2 Appli ation àl'intégration numérique . . . 13
0.1.3 Autresappli ations . . . 15
0.2 Leproblème dultrage . . . 16
0.2.1 Le ltrage optimal . . . 17
0.2.2 Lesméthodes d'approximatio n . . . 21
0.3 Prin ipaux résultats . . . 25
I Filtrage par quanti ation 29 1 First Order s hemes 31 1.1 Introdu tion . . . 32
1.2 Prelimina ries . . . 33
1.2.1 Quantizatio n lterings hemes. . . 33
1.2.2 Ba kground onquantizationand optimal quantization . . . 37
1.2.3 Generi rst orders heme . . . 39
1.3 Onesteprst orderiterative s heme . . . 41
1.3.1 Denitionof the s heme . . . 42
1.3.2 Errorbounds . . . 44
1.4 Two stepiterativerst order s heme . . . 49
1.4.1 Integration byparts formula. . . 49
1.4.2 Numeri als heme . . . 50
1.4.3 Errorbounds . . . 53
1.4.4 The ase ofregularizing kernels . . . 56
1.5 Convergen e resultfor the normalized lter . . . 57
1.6 Numeri alillustrations . . . 59
1.6.2 Canoni al sto hasti volatilitymodel (SVM). . . 61 1.6.3 Numeri al stability . . . 62 AppendixA . . . 67 AppendixB . . . 73 2 Comparison approa h 77 2.1 Introdu tion . . . 78 2.1.1 Sequential denition . . . 79
2.2 Quantizationbased lters . . . 81
2.2.1 Zero order s heme . . . 81
2.2.2 First order s hemes . . . 82
2.3 Parti le lters . . . 85
2.3.1 Sequential Importan e Sampling( SIS) . . . 85
2.3.2 Sequential Importan e Resampling or Bootstraplter ( SIR) . . . . 87
2.3.3 Elements for a omparison . . . 88
2.4 State Equations . . . 89
2.4.1 Kalman lter (KF) . . . 90
2.4.2 Canoni al sto hasti volatilitymodel (SVM). . . 90
2.4.3 Expli it nonlinear lter[18℄ . . . 90
2.5 Numeri al experiments . . . 92
2.5.1 Stationary suboptimal quantizers . . . 92
2.5.2 Convergen e tests. . . 93
2.5.3 Results and omments . . . 93
II Prétraitements par quanti ation et appli ation en ltrage 101 3 Observation prepro essing fornumeri al ltering 103 3.1 Introdu tion . . . 104
3.2 Optimal ltering: dis rete signals . . . 105
3.2.1 Sequential s hemes . . . 105
3.2.2 Stabilitywith respe tto observationimpre ision . . . 107
3.2.3 Example . . . 109
3.3 Continuousstate signals . . . 110
3.3.1 Example . . . 115
4 Ameri an options inpartial observation markets 121 4.1 Introdu tion . . . 122
4.2 Preliminaries . . . 123
4.3.2 Theerror analysis . . . 127
4.3.3 Optimal quantization and rateof onvergen e . . . 131
4.3.4 Pra ti al implementa tion ofthe optimal approximatinglter pro ess 134
4.4 Appli ation : optimalstopping under partial observation . . . 137
0.1 Quanti ation optimale et appli ations
Laquanti ationestuneméthodeissuedutraitementdusignaletdel'information.Elle
onsisteàappro herunsignalàvaleursdansunespa e ontinuparunsignalàvaleurdans
unespa edis ret.Al'origine, ettete hniqueaétémotivéepardesraisonspratiques
d'é o-nomiede transmission[20℄, etavuensuitesesappli ationss'élargir àdiérentsdomaines,
notamment, depuis quelquesannées, les probabilités numériques. Dans ette se tion nous
allonsadopter une présentation résolument probabiliste de laquanti ation en rappelant
quelques resultats théoriques utiles et en mettant en éviden e ses appli ations les plus
ré entes.
0.1.1 Dénitions et résultats préliminaires
0.1.1.1 Quanti ation de variables aléatoires
Onsepla edansunespa edeprobabilité
(Ω,
F, P)
,etonsedonneunevariablealéatoire à valeursdansR
d
,
X
, de loiP
X
supposée simulable. Un entierN
∈ N
∗
étant xé, un
N
-quantieur est une appli ation borélienneh
N
appliquantR
d
dans un ensemble ni
Γ =
{x
1
, . . . , x
N
} ⊂ R
d
.Pour dénir de manière unique l'appli atio n
h
N
, on a besoin de spé ier en plus une partition borélienne(A
i
)
1≤i≤N
de l'espa eR
d
pour avoir:h
N
(X) =
N
X
i=1
x
i
1
A
i
(X).
Le
N
-quantieur est don spé ié par ladonnée de :Γ =
{x
1
, . . . , x
N
}
la grille de quanti ation de taille
N
appelée aussi ensemble des entres, des points de quanti ation ou des entroïdes, ou en oreN
-quantieur as-so iéàh
N
.Unepartitionborélienne
(A
i
)
1≤i≤N
del'espa eR
d
.A haqueensembleA
i
seraasso ié un entrex
i
que l'onsupposera toujours appartenirà
A
i
Fig.1 Partitionsde l'espa easso iéesàune grille dequanti ationen deuxdimensions
Quand
X
∈ L
p
, ondénitun
N
-quantieurL
p
-optimal de
X
par l'appli atio nh
∗
N
solution duproblème d'optimisationparamétré par lataille delagrille de quanti ationN
:inf
{kX − h(X)k
p
p
, h : R
d
→ R
d
,
appli ation boreliennet.q.|h(R
d
)
| ≤ N}.
(0.1.1)
D'après les résultats établis par exemple dans [25℄, e problème admet une solution
h
∗
N
déniepar unN
-quantieurΓ
∗
N
=
{x
1
, . . . , x
N
}
, vériant :E
|X − h
∗
N
(X)
|
p
= E min
x∈h
∗
N
(R
d
)
|X − x|
p
,
et par la partition(C
i
(Γ
∗
))
1≤i≤N
, dite de Voronoï, asso iée à et ensemble, dénissanth
∗
N
omme uneproje tionaupluspro hevoisinsurl'ensembledes entres(x
i
)
1≤i≤N
(voir Figure1).Soit :C
i
(Γ
∗
)
⊂ {ξ ∈ R
d
t.q.
|ξ − x
i
| = min
1≤k≤N
|ξ − x
k
|}.
La distorsion 1 s'é rit alors :D
X,p
N
:=
kX − h
∗
(X)
k
p
p
=
k min
1≤i≤N
|X − x
i
|k
p
p
.
Elle onverge vers zero quand la taille du quantieur
N
tend vers+
∞
, et sa vitesse de onvergen eest régie par lethéorèmede Zador énon é omme suit:1
Onnoteraparailleursl'erreurdequanti ation
kX − h
∗
N
(X)k
p
.Théorème 0.1.1 (Cf.[25,4℄)Onsuppose que
R
R
d
|ξ|
p+r
P
X
(dξ) < +
∞
pourr > 0
.Alors,lim
N
(N
p
d
D
X,p
N
) = J
p,d
kϕk
d
d+p
,
où
P
X
(dξ) = ϕ(ξ)λ
d
(dξ) + ¯
µ(dξ)
,µ
¯
⊥λ
d
(λ
d
mesure de Lebesgue surR
d
) et pour toutq
∈ R
∗
+
,kgk
q
:= (
R
|g|
q
(u)du)
1
q
.Remarque 0.1.1
J
p,d
orrespond à la limite pour la loi uniforme sur[0, 1]
. On sait queJ
p,1
=
2
p
(p+1)
1
et queJ
2,2
=
5
18
√
3
. D'une manièregénérale, on ne onnaît pasla valeur de ette onstante pourd > 2
, maison aJ
2,d
∼
d
2πe
. (Cf.[25℄).Nouspouvonsainsié rireque
kX − h
∗
N
(X)
k
p
= O(N
−
1
d
)
auvoisinagedeN
→ +∞
. Par ailleurs, il sera essentiel de noter que les quantieursL
2
-optimaux vérient une
pro-priété ditede stationnarité, àsavoir que:
E
[X
|h
∗
N
(X)] = h
∗
N
(X).
(0.1.2)Cette propriété permet d'utiliser des termes orre teurs de premier ordre dans les
dif-férentes appli ations de la quanti ation, omme nous allons le voir dans le paragraphe
suivant pour l'intégration numérique puis, plus loin,dans les exemplesd'évaluation
d'op-tions améri aines[6℄ ou deltrage (Cf.Chapitre 1).
D'un point de vuepratique, dénir lafon tion
h
∗
N
pour une taille de quantieur xéeN
s'avère être un problème d'optimisation assez déli at à résoudre notamment dans le asmultidimensionnel. Eneet,pourplusieurs loisendimensions1,ilexistedessolutionsanalytiques fermées ou semi-fermées qui peuvent aisément être al ulées. On itera par
exemple la quanti ation de la loi normale par la méthode de Newton [44℄, ou de la loi
exponentielle, entre autres, dans[17℄. Par ailleurs, dans le as parti ulier d'uneloi à
den-sitélog- on ave,lasolutionauproblème(0.1.1)est unique[28℄, e quipermet l'utilisation
e a ed'algorithmes numériquesd'optimisationtels quel'algorithmedugradientou elui
dupoint xeappeléaussiméthode deLloyd I[44, 2℄.
Cesméthodesdéterministesdeviennentrapidementdi iles àmettreen÷uvreen
dimen-sions supérieures à 1. D'une part par e qu'elles impliquent des al uls d'intégrales trop
omplexes au delàde la dimension 1, d'autres part, par e quela solution de (0.1.1) n'est
pasunique equidiminueen ore l'e a itédesrésolutionsnumériques. Dans e asalors,
on préfère utiliser desalgorithmes sto hastiques d'apprentissage fondéssur lasimulation.
On iteradans e ontextel'algorithmeCompetitiveLearningVe torQuantization (CLVQ
algorithm) aussiappelé algorithmede Kohonen à zéro voisins, les algorithmes génétiques
[26℄ ou l'algorithme de Lloyd I multidimensionnel [2℄. Une étude détaillée des méthodes
de quanti ation quadratique optimale est proposée dans [44℄. Il est à noter que 'est le
asquadratique
(p = 2)
qui est leplus souvent étudié surle plannumérique, même siles résultatsthéoriquessont généralement énon és pourp
quel onque.Nous ne détaillerons pas plus avant et aspe t de la quanti ation ar il n'est pas au
entre de notre travail.Nousnous intéresserons plutt àl'exploitation de esquantieurs
optimauxpourdiérentesappli ationspratiques. A eteet,ilest important d'introduire
toutd'abordunedénitiondepro essusquantié(ouquanti ationdepro essusdiérente
de lanotion de quanti ation fon tionnelle de pro essus. Cf. [33, 45℄). Ce sera l'objetdu
pro hainparagraphe.
0.1.1.2 Quanti ation de pro essus
Danslesdiérentesappli ationsdelaquanti ation, ilestsouventrequisde onsidérer
laquanti ationd'un pro essusmarkovien àtempsdis ret
(X
k
)
k≥0
donton onnaitla dy-namiqued'évolution demanièreàpouvoirensimulerlatraje toire.Une appro he possibledans e as est de quantier haque variable
X
k
en tenant ompte de sa loi marginale, on parle don de quanti ation marginale . Pour ela, on doit se xer une taille de grilleN
k
à haque pas de temps et unN
k
-quantieurL
p
-optimal de
X
k
∈ L
p
que l'on notera
Γ
k
=
{x
1
k
, . . . , x
N
k
k
}
.Par onséquent, ondénit laquanti ation (Voronoï) de
X
k
par :ˆ
X
k
= h
∗
N
k
(X
k
) =
N
k
X
i=1
x
i
k
1
C
i
(Γ
k
)
(X
k
).
(0.1.3)Le pro essus ainsi quantié
( ˆ
X
k
)
k≥0
ne vérie plus la propriété de Markov. Cependant, une approximation de laprobabilité de transition entre diérents états à deux datessu - essives reste possible à travers les paramètres ompagnons
p
ij
k
, pouri
∈ {1, . . . , N
k
}
etj
∈ {1, . . . , N
k+1
}
dénispar :p
ij
k
= P[X
k+1
∈ C
j
(Γ
k+1
)
|X
k
∈ C
i
(Γ
k
)]
= P[ ˆ
X
k+1
= x
j
k+1
| ˆ
X
k
= x
i
k
].
D'une manière générale, pour
0
≤ k < n
,i
∈ {1, . . . , N
k
}
etf
borélienne dansR
d
, on notera:b
P
k
f (x
i
k
) = E[f ( ˆ
X
k+1
)
| ˆ
X
k
= x
i
k
] =
N
X
k+1
j=1
f (x
j
k+1
)p
ij
k
.
Pour des horizons
n
raisonnables (≤ 100
), il est don possible de al uler et de sto- ker dans des tables fa ilement a essibles les grilles de quanti ations et les paramètresompagnonsi.e.les
(x
i
k
)
et les(p
ij
k
)
pour0
≤ k ≤ n
,1
≤ i ≤ N
k
et1
≤ j ≤ N
k+1
. Ce pré-traitementdesdonnées,dito-line,permetdeminimiserles al ulsd'éventuelsestimateursutilisant laquanti ation.Unexemplede esgrillespour laloinormale entréeréduiteest
0.1.2 Appli ation à l'intégration numérique
Une appli ation immédiate de la quanti ation est le al ul d'approximatio ns
numé-riquesd'intégralesparrapportàunemesuredonnée.Onseposeleproblèmedel'évaluation
del'intégrale
E
[f (X)]
,pourX
deloiP
X
sur(R
d
,
B(R
d
))
.Si
X
ˆ
désigneuneN
-quanti ationL
2
-optimaledeX
nouspouvonsnousdonner omme estimateur:E
[f ( ˆ
X)]
. CommeX
ˆ
est unevariablealéatoiredis rète,le al ulde etestimateurserésumeraàunesommepondé-réenie,dontlestermessontlusàpartirdetablespré- al ulées.Enreprenantlesnotations
duparagraphe pré édent,on pose:
E
[f (X)]
≈ E[f( ˆ
X)] =
N
X
i=1
x
i
Z
1
C
i
(Γ)
(x)P
X
(dx) =
N
X
i=1
x
i
p
ˆ
i
,
oùp
ˆ
i
= P
X
(C
i
(Γ)) = P(X
∈ C
i
(Γ))
. Les pondérationsp
i
sont aussi des paramètres ompagnons qui peuvent être al ulés en
mêmetempsquelagrilledequanti ation
Γ
et sto késdansdestablesa essiblespendant l'estimation. L'erreurd'estimationest ontrléeparl'erreur dequanti ation∆ = X
− ˆ
X
. Eneet, quandf
est ontinue,dérivableà dérivée bornée, il existeξ
∈ (X, ˆ
X)
telque:f (X)
− f( ˆ
X) =
hDf(ξ), ∆i,
où
< ., . >
désigne leproduits alaire anonique surR
d
.
Ce idonne lamajoration d'erreurqu'on appellera d'ordre zero :
|E[f(X)] − E[f( ˆ
X)]
| ≤ Ck∆k
1
≤ Ck∆k
2
.
(0.1.4) Quandf
est ontinue, 2 fois dérivable, à dérivée se onde bornée, on peut développerf
à un ordre supérieur an d'établir une majoration d'erreur d'ordre 1. En eet, il existeξ
∈ (X, ˆ
X)
telque :f (X)
− f( ˆ
X) =
hDf( ˆ
X), ∆
i +
1
2
∆
′
D
2
f (ξ)∆.
Ainsi, ommeˆ
X
vérie lapropriétéde stationnarité (0.1.2), il estpossible d'établir :|E[f(X)] − E[f( ˆ
X)]
| ≤ E|E[f(X) − f( ˆ
X)
| ˆ
X]
|
≤ CE|h∆, ∆i| ≤ Ck∆k
2
2
.
(0.1.5) EnutilisantlethéorèmedeZador0.1.1,onobtientuntauxde onvergen eenO(N
−1
d
)
dansle as de l'inégalité (0.1.4), et moyennant l'hypothèse plusrestri tivesur lafon tionf
,on a untaux de onvergen e deux foisplus rapideO(N
−2
d
)
àpartir de (0.1.5).de
X
par un ensemble dis ret ni pondéré. L'estimateur de Monte Carlo s'é rit en eet omme lasommeéquipondérée suruné hantillon iidde tailleM
:E
[f (X)]
≈
1
M
M
X
i=1
f (X
i
)
où(X
1
, . . . , X
M
)
iid
X
1
∼ P
X
.
Maissileprin ipe reste lemême, de grandesdiéren es séparent les deuxméthodes:
Lesgrillesde quanti ation ainsiqueles pondérations peuventêtre al uléesoine,
et sto kées dans des tables a essibles par plusieurs appli ations à la fois.La
om-plexité du al ul ex lutdon lapro édured'optimisation desquantieurset ompte
seulement les opérations élémentaires de somme et de pondération . Au ontraire,
les méthodes de Monte Carlo utilisent une partie de la apa ité de al ul dans la
simulation online desé hantillons
X
i
.
L'estimateurMonteCarloestunestimateuraléatoire,dontilfaudragérerlavarian e
lors desappli ations par despro édures de ontrle et de minimisation devarian e.
A sonopposé, l'estimateur par quanti ation estun estimateurdéterministe.
La vitesse de onvergen e (en loi) des estimateurs de Monte Carlo est
O(N
−
1
2
)
(TCL); ilestindépendant deladimension.Laloidulogarithmeitéré règlelavitessede onvergen e p.s.en
q
log log N
N
.La onvergen e desestimateurs parquanti ation, bien que dépendant de la dimension, est asymptotiquement plus rapide jusqu'à ladimension
2
pour elles du type ordre 0 et jusqu'à la dimension4
pour elles du type ordre 1.Au delà,laméthodede quanti ationne restepas ompétitive lorsqueN
→ +∞
; ependant elle se révèle en ore très e a e en pratique notamment en dimension moyenne(d
≤ 10)
lorsqueN
n'est pastrès grand.Il estdéli atde omparerune méthode déterministe omme laquanti ationet une
méthodefournissantunrésultataléatoire ommelaméthode deMonteCarlo.
Néan-moins,sil'onsetientàlapratiquedesutilisations,ilparaîtnaturelde omparer
l'er-reur de quanti ation ave la taille d'un intervalle de onan e. Typiquement, ave
un hoix adéquat d'intervalle de onan e, e i revient à omparer
kf(X) − f( ˆ
X)
k
2
et2σ
f(X)
√
N
pourX
ˆ
uneN
-quanti ationL
2
-optimaleet
f
Lipshitzienne; oubien,plus universellement à omparerkX − ˆ
X
k
2
et2σ
√
X
N
pour les s hémas de quanti ation d'ordre 0 etkX − ˆ
X
k
2
2
et2σ
√
X
N
pour les s hémas d'ordre 1.Il est intéressant de voir alors qu'il existe des seuils ritiquesN
0
c
pour les s hémas d'ordre 0 etN
1
c
pour less hémas d'ordre 1,pour lesquels
∀N ≤ N
0
c
≤ N
c
1
l'erreur par quanti ation est in-férieure à la longueur de l'intervalle de onan e donné par la méthode de MonteCarlo. Cerésultat est détaillé dans[43℄.
Il est par ailleurs possible d'appliquer un raisonnement d'é hantillo nnage préférentiel
[49℄ dansl'intégration numérique par quanti ation.
Dénition 0.1.1 E hantillonnage Préférentiel : C'est la pro édure par laquelle on
un é hantillon iid
(ξ
1
, . . . , ξ
N
)
d'une autre mesure de probabilitéµ
dite loi d'importan e, plusfa ile à simuler. S'il existe une fon tionm
etune onstantem
¯
vériant:ν(dx) = m(x)µ(dx)
etm(x)
≤ ¯
m,
l'approximation est alors donnée par
ν
≈
1
N
P
N
i=1
m(ξ
i
)δ
ξ
i
.Si on désigne par
p
la densité deX
et parq
une densité d'importan e qui vérieraf
p
q
∈ C
b
, on pourra utiliser la quanti ation d'une variableY
de densitéq
pour estimerE
[f (X)]
.E
[f (X)] = E[f (Y )
p(Y )
q(Y )
]
≈
E
[f ( ˆ
Y )
p( ˆ
Y )
q( ˆ
Y )
],
(0.1.6)|E[f(X)] − E[f( ˆ
Y )
p( ˆ
Y )
q( ˆ
Y )
]
| ≤ CkY − ˆ
Y
k
2
.
0.1.3 Autres appli ationsLa quanti ation a historiquement onnu plusieurs appli ations dans le domaine de
la théorie de l'information, du traitement du signal et de sa ompression. Cependant, la
solution qu'elle ore au problème d'intégration numérique permet de l'appliquer dansde
nouveaux domaines pour résoudre des problèmes impliquant un al ul numérique
d'inté-grales,d'espéran esoud'espéran es onditionne lles.Detelsproblèmesseposentennan e
dansle adrede modèlesd'évaluationdeproduits dérivés,oùun al ul d'espéran e
ondi-tionnelleestrequisetsouvent, etypedeproblèmesestreformulédemanièrerétrogradeen
utilisantunprin ipe deprogrammationdynamique.La quanti ation, depar sonprin ipe
depré-traitementet de al ulo-line desgrilless'adaptebienà etyped'appro he.Parmi
les appli ations qui s'ins rivent dans e adre, on ite [7℄, où est proposé un algorithme
d'évaluationd'optionsaméri ainesetd'estimationdetempsd'arrêtoptimal,ladate
d'exer- i e de l'option, lorsque l'a tif sous ja ent suit une diusion brownienne. Comme pour le
problème d'intégration numérique, l'utilisation de quantieurs stationnaires permet dans
etteappli ationd'améliorerl'estimationnumériqueparlepassageàunordresupérieurde
onvergen e(Cf.[6℄).Parailleurs,PagèsetPham[42℄dénissentunequanti ation
marko-viennedepro essusquipréservelapropriétédeMarkovdupro essusoriginaletpermetde
proposerunesolutionnumériqueàunproblèmede ontrlesto hastiqueapparaissantdans
desproblématiquesnan ièresdegestiondeportfeuille.Dans esappli ations,larésolution
numérique rétrograde estrendue possible grâ eaux grillesdequanti ationpré al ulée s.
Uneautreappli ationissuedudomainedutraitementdusignalest elledelarésolution
deproblèmesdeltragenonlinéaire.Elleaétéintroduitedans[41℄,oùla onstru tiond'une
ommepourl'intégrationnumérique,leproblèmedeltragenonlinéaireadmetunesolution
numériqueprobabilistedetypeMonteCarlo,onpeutalorsseposerlesquestionssuivantes:
•
Comment sepositionnent les méthodes de ltrage par quanti ation par rapport auméthodesparti ulaires du typeMonte Carlo?•
Peut-on dénir des pro édures de pré-traitement en ore plus élaborées pour amé-liorer la rapidité du al ul on line? Quel serait l'eet de telles pro édures sur le taux deonvergen ede l'erreur d'estimation?
Toujoursdansle adredultrage,ilseraintéressantd'étudierlepassage àdess hémas
numériques de type ordre 1, omme il a été suggéré dans [43℄ où l'utilisation de la
pro-priété de stationnarité permet de dénir des pseudo-s hémas ré ursifs ajoutant un ordre
de onvergen e. Ces s hémas ne sont pasimplémenta bles en l'état ar ils mettent en jeu
desquantitésnon a essibles numériquement .La question estdon :
•
Comment dénir des s hémas numériques de premier ordre implémenta bles et présérvant letaux de onvergen e mis enéviden e par lespseudo-s hémas?Enn, ilestintéressant derelever quelepoint ommunà toutes lesappli ations itées
est l'utilisation de formulation rétrograde pour établir des majorations de l'erreur sur la
valeurobje tif,enfon tiondel'erreurdequanti ation. ParlebiaisduthéorèmedeZador,
il devient ensuite possible de déduire un taux de onvergen e en fon tion de lataille des
grilles.Ennan e, laproblématique dultrage estomniprésente danslesmodèles d'a tifs
àvolatilité sto hastique : la volatilité estvue omme un signaldont le ours de l'a tifest
l'observation bruitée. Làen ore une questionse pose:
•
En utilisant le ltre par quanti ation peut-on proposer des solutions à des pro-blèmesd'évaluationd'optionsaméri aines [7, 6℄oud'optimisationdeportefeuille[42℄ dansun adreà observationpartielle, typiquement un modèleà volatilité sto hastique?
Dans notre travail, nous nous sommes intéressés à l'appli atio n de la quanti ation
auproblème du ltrage, plus parti ulière ment au al ul du ltre par quanti ation d'une
partet àlaquanti ationdultre d'uneautre.Le problèmedultrage étant au ÷ur des
développement sde ette thèse,nousy onsa rerons toutela se tionquisuit.
0.2 Le problème du ltrage
Nous nous intéressons maintenant aux spé i ations d'un problème de ltrage et à
quelquessolutions proposéesdanslalittérature pour lerésoudre. Onparle deproblèmede
ltrage quand on est fa e à un système dont l'évolution en fon tion du temps est gérée
par un pro essus a hé dont on n'observe que des états bruités. Le ltrage s'ins rit dans
uneappro he bayesiennedere onstitution delaloi onditionnelledupro essus a héàun
instant donné en s'appuyant surles observations faitesjusqu'à etinstant. Il onnait des
appli ations diverses aussi bien dans le domaine de la ommande de systèmes physiques
modèled'étatspourtoutelathèse.Parailleurs,nouspasseronsenrevuequelquesméthodes
numériques de ltrage qui nousserviront de pointsde départ à denouvellesméthodesou
depointsde omparaison ave elles- i.
0.2.1 Le ltrage optimal
Onsepla edansle adred'unproblèmeàtempsdis retetàhorizonnixé
n
∈ N
∗
.On onsidèrelespro essussignal(X
k
)
etobservation(Y
k
)
régisparlesdynamiquessuivantes:(
X
k
= F
k
(X
k−1
, ε
k
),
X
0
de loiµ
0
onnue àpriori,Y
k
= G
k
(X
k
, η
k
),
k
≥ 1.
(0.2.1)
où
(ε
k
)
et(η
k
)
désignent des suites indépendant es de variables aléatoires iid et indépen-dantes deX
0
. La suite(ε
k
)
1≤k≤n
modélise l'innovation du pro essus a hé,(η
k
)
1≤k≤n
représente l'imperfe tiondesobservations. Onseproposede déterminer l'étatdu systèmeà une date nale
n
xée, en s'appuyant sur les observations faites jusqu'à ette date. Au sens de ladistan e quadratique, l'estimation optimale deX
n
sa hant les observationsY
1:n
= (Y
1
, . . . , Y
n
)
estdonnée par l'espéran e onditionne lle :E
[X
n
|Y
1:n
].
Demanière plus générale, l'information la plus ri he disponible à travers les observations
Y
1:n
estdonnée parlaloi onditionne lleL(X
n
|Y
1:n
)
. Leproblème dultrage onsistedon à al uler etteloide probabilité,de manièreexa tedansle asdultrage optimal, oudemanièreappro hée, onparlera dans e as deltrage sous-optimal.
La formulation expli ite dela solutionau problème dultrage n'est généraleme nt pas
possible.Eneet,dansun adregénéral 'estunproblèmededimensioninnie.Auniveau
desappli ations,on aspireleplussouvent àappro her ladensitédelaloi onditionnelleà
travers un ensemble de fon tionstests qu'onnotera de manière générique
f
. Onsedonne don pour obje tif de al uler, dansunpremier temps :Π
y,n
(dx) = P[X
n
∈ dx|Y
1
= y
1
, . . . , Y
n
= y
n
],
ouΠ
y,n
f = E[f (X
n
)
|Y
1
= y
1
, . . . , Y
n
= y
n
].
Il seraensuitepossible d'envisager leproblèmed'évaluationdu ltre aléatoire :
Π
Y,n
(dx) = P[X
n
∈ dx|Y
1
, . . . , Y
n
]
ouΠ
Y,n
f = E[f (X
n
)
|Y
1
, . . . , Y
n
].
0.2.1.1 Modèle général d'états
Lepro essus signal
(X
k
)
estune haînede Markovdont ladynamique estrégie par l'équation:où
F
k
: R
d
× R
q
→ R
d
, est une fon tion borélienne et
(ε
k
)
1<k≤n
est une suite de variables aléatoires à valeurs dansR
q
de même loi (de densité
p
), indépendant es entreellesetindépendant esdeX
0
.Laloiµ
0
deX
0
estsupposée onnuea priori.Par ailleurs, on désigne parP
k
(x, dx
′
)
le noyau de transition de
X
k
àX
k+1
, et on note pour toutefon tionf
:µ
0
f =
Z
f (x)µ
0
(dx)
etP
k
f (x) =
Z
f (x
′
)P
k
(x, dx
′
).
Le pro essusdesobservations(Y
k
)
obéit àladynamiquesuivante :Y
k
= G
k
(X
k
, η
k
),
oùG
k
: R
d
× R
q
′
→ R
d
′
est une fon tion borélienne et
(η
k
)
une suite de variables aléatoires iidà valeursdansR
q
′
independant es de
σ(X
0
, ε
k
, k
≥ 1)
. Onsupposeque la loi onditionnelleL(Y
k
|X
k
)
est absolument ontinue par rapport à la mesure de Lebesgue surR
d
′
. Soit:P
[Y
k
∈ dy|X
k
= x
k
] = g
k
(x
k
, y)λ
d
′
(dy).
(0.2.2)La loi initiale du signal étant a priori onnue, on pourra supposer sans perte de
généralité que
Y
0
= y
0
xé.Le pro essus
(X
k
, Y
k
)
estune hainede Markovde transitiondonnée par :P
[(X
k
, Y
k
)
∈ (dx, dy)|X
k−1
, Y
k−1
] = P[Y
k
∈ dy|X
k−1
, Y
k−1
, X
k
]P[X
k
∈ dx|X
k−1
, Y
k−1
],
= g
k
(x, y)P
k−1
(X
k−1
, dx)λ
d
′
(dy).
grâ e àl'indépenda n e entre
η
k
et(X
k−1
, η
k−1
)
et à (0.2.2). Par onséquent, laloijointeL(X
0
, . . . , X
n
, Y
0
, . . . , Y
n
)
s'é rit :L(X
0
, . . . , X
n
, Y
0
, . . . , Y
n
) = µ
0
(dx
0
)δ
y
0
n
Y
k=1
g
k
(x
k
, y
k
)P
k
(x
k−1
, dx
k
)λ
d
′
(dy
k
),
et par la formule de Bayes pour les ve teurs aléatoires à densité, on en déduit la
formulede KallianpurStriebel[27℄ :
E
[f (X
0:n
)
|Y
1:n
= y
1:n
] =
R
. . .
R
R
f (x
0:n
)µ
0
(dx
0
)
Q
n
k=1
g
k
(x
k
, y
k
)P
k
(x
k−1
, dx
k
)
. . .
R
µ
0
(dx
0
)
Q
n
k=1
g
k
(x
k
, y
k
)P
k
(x
k−1
, dx
k
)
.
(0.2.3)Plus parti ulière ment, ondénit leltre évaluésur lafon tion test
f
par :Π
y,n
f = E[f (X
n
)
|Y
1:n
= y
1:n
] =
π
y,n
f
π
y,n
1
,
où
π
y,n
f
estle ltre nonnormalisédéni par :π
y,n
f = E[f (X
n
)
n
Y
k=1
Dans la suite, un é hantillon
y
1:n
d'observations étant xé, on onfondra par om-moditéladensité onditionne lleg
k
ave lafon tion de vraisemblan e asso iée :g
k
(x
k
)
Déf= g
k
(x
k
, y
k
),
ladépendan e en
y
k
seraimpli ite lorsque l'observation est xée.0.2.1.2 Formulation ré ursive
En utilisant la propriété de Markov du signal
(X
k
)
, il est possible de dé omposer séquentiellement le al ul deΠ
y,n
f
par un argument de programmation dynamique. En eet, le passage d'un ltre à une date intermédiai re0
≤ k ≤ n − 1
au ltre à la date suivante peut être fait en deux étapes onnues sous le nom d'étapes de prédi tion et demiseàjour.
Π
k
Prédi tion
−→
Π
k+1|k
Miseàjour−→
Π
k+1
.
Prédi tion C'est une étape de transition linéaire qui utilise l'information a priori de la
transitiondusignal. Ondénit alors laprédi tion :
Π
k+1|k
(dx
′
) =
Z
Π
k
(dx)P
k
(x, dx
′
).
(0.2.4)Mise à jour C'est l'étape de orre tion de la prédi tion qui utilise l'information fournie
par lanouvelle observation, tombée à la date
k + 1
onsidérée.Elle est non linéaire aree tue une normalisation issue de la formulede Bayes pour l'espéran eondi-tionnelle.Expli itement, on a:
Π
k+1
(dx) =
g
k+1
(x)Π
k+1|k
(dx)
R
g
k+1
(x)Π
k+1|k
(dx)
.
(0.2.5)Latransitionde
π
k
àπ
k+1
pourra aussiêtremodélisée parladénitiond'unopérateur detransition :H
y,k
f (x) = E[f (X
k
)g
k
(X
k
, y
k
)
|X
k−1
= x],
1
≤ k ≤ n,
Ainsi,π
y,0
f
= E[f (X
0
)]
Déf= H
y,0
f,
π
y,k
f
= π
y,k−1
H
y,k
f,
1
≤ k ≤ n.
(0.2.6)
Dans la suite, il s'avèrera par ailleurs très utile de voir que ette onstru tion forward
pourra être inversée en un s héma rétrograde ou ba kward (voir [41℄). A ette n, nous
dénissons lesopérateurs
R
y,k
omme suit :R
y,n
f
= f,
R
y,k−1
f
= H
y,k
R
y,k
f,
1
≤ k ≤ n.
(0.2.7)
0.2.1.3 Le modèle d'états dis ret
La formulation ré ursive du al ul du ltre par les équations (0.2.4) et (0.2.5) rend
larésolution du problèmenumériquement aisée dansle adred'un signal àespa e d'états
dis ret. Eneet, sipour tout
0
≤ k ≤ n
,X
k
(Ω) =
{x
1
k
, . . . , x
N
k
k
}
et siP
k
= (P
ij
k
)
désigne lamatri e de transitiondu signal(X
k
)
entrek
etk + 1
, d'aprèsleparagraphe pré édent, lesopérateursH
y,k
s'é rivent simplement :H
y,k
f (x
i
k−1
) =
N
k
X
j=1
f (x
j
k
)P
ij
k−1
g
k
(x
j
k
, y
k
).
permettant ainsiun al ul numérique expli itedultrepar lebiaisde laré ursion (0.2.6).
En onsidérant que
π
y,k
∈ M
1,N
k
(R)
et queH
y,k
∈ M
N
k−1
,N
k
(R)
, on aboutit au systèmeré ursifmatri iel suivant :H
y,k
ij
= P
ij
k−1
g
k
(x
j
k
, y
k
),
0 < k
≤ n,
π
y,0
= µ
0
,
π
y,k
= π
y,k−1
H
y,k
.
Finalement,en normalisant :
Π
i
y,n
=
π
i
y,k
P
N
n
j=1
π
j
y,k
etΠ
y,n
f =
N
n
X
i=1
Π
i
y,n
× f(x
i
n
).
0.2.1.4 Filtrage de KalmanQuand on sort du adre dis ret pré édent, l'évaluation exa te du ltre en utilisant
les équations (0.2.4) et (0.2.5) devient plus déli ate, ar elle implique le al ul su essif
d'intégrales.Lemodèled'état ditdeKalman-Bu y onstitueundesraresmodèlesàespa e
d'états ontinu où une formulation expli ite du ltre est possible. On parle de ltre de
dimensionnie 2 . On onsidère:
X
k
= ρ
k
X
k−1
+ θ
k
ε
k+1
, X
0
∼ N (m
0
, Σ
0
),
Y
k
= X
k
+ α
k
η
k
,
ε
k
et η
k
iid
∼ N (0, I
d
),
ρ
k
, θ
k
, α
k
∈ M
d
(R).
(0.2.8)Dans e as parti ulier,
(X
k
, Y
k
)
est une suite gaussienne d'où l'en déduit que le ltreΠ
k
ainsi que la prédi tionΠ
k+1|k
sont gaussiens de lois respe tivesN (m
k
, Σ
k
)
etN (m
k+1|k
, Σ
k+1|k
)
. Les paramètresm
k
,Σ
k
,m
k+1|k
etΣ
k+1|k
sont onnus ré ursivementpar l'algorithmesuivant (Cf.[21℄),
k = 1, . . . , n
:m
k+1|k
= ρ
k
m
k
,
Σ
k+1|k
= ρ
k
Σ
k
ρ
′
k
+ θ
k
θ
′
k
,
m
k
= m
k|k−1
+ K
k
Y
k
− m
k|k−1
,
Σ
k
= (I
− K
k
)Σ
k|k−1
,
K
k
= Σ
k|k−1
Σ
k|k−1
+ α
k
α
′
k
−1
.
(0.2.9)0.2.1.5 Le ltre expli ite de dimension innie
Dans un adre plus général, le modèle d'états est non linéaire ou non gaussien. Dans
es asplusieurstravauxontétéélaboréspourdénirles onditionspermettantd'avoirdes
ltresdedimensionnie. On iteradans esens[52, 50℄ pour lesltresàtempsdis ret, et
[13℄pour lesltresàtemps ontinu. Lesrésultatsde estravauxmontrentqu'endehorsde
quelques asparti uliers ([8, 12, 11, 10℄),peu de modèles permettent de dénirdes ltres
dedimension nie.
Dans e paragraphe nousnousinteressons aultre expli ite à dimension innie introduit
dans [18, 19, 12℄ qui sera repris plus tard dans les exemples d'appli ation (voir Chapitre
2). L'idée est de dénir une famille paramétrée de lois invariantes par les opérations de
prédi tion (0.2.4) et de mise à jour (0.2.5), en adoptant des onditions susantes sur la
transitiondusignal
P
k
et surlavraisemblan eg
k
.Onintroduitdesfamilles(
F
i,θ
)
i∈N,θ∈Θ
de lois paramétrées par un ensemble ni donnéΘ
qu'on élargit en une familleF
¯
par le moyen de mélangesà oe ientsα = (α
i
)
i∈N
∈ S
.¯
F = {ν =
X
i≥0
α
i
ν
θ
i
, α = (α
i
)
i∈N
∈ S, θ ∈ Θ, ν
θ
i
∈ F
i,θ
},
où
S =
{α = (α
i
)
i∈N
,
∀i ≥ 0, α
i
≥ 0,
P
i≥0
α
i
= 1
}
.Le asintéressanten pratique est elui des oe ients demélange delongueur nie
l
∈ N
vériantα
i
= 0
pour touti > l
,qui permettentde dénirdesloisdépendant d'un nombre nideparamètres.Enpartantd'unsignaldeloiinitialedansF
¯
àparamètredemélangeni, onmontrequelaloi dultre et de laprédi tion sontaussidans¯
F
et sont à oe ient de mélangedelongueur nie.Ces paramètres sont al ulablesséquentiellement expli itement(Cf.Algorithme5).
0.2.2 Les méthodes d'approximation
Outre les développement s parti uliers pré édents, des méthodes numériques ont été
de trouver une représentation ni-dimensionnelle de la loi obje tif
Π
k
. Dans e qui suit, nousprésentons su intement trois méthodesd'approximation numérique.0.2.2.1 Filtre de Kalman étendu
Cetteméthode estutiliséeen as demodèles gaussiens maisnon linéaires. Elle apour
prin ipe de onsidérerquelo alement,l'évolution du systèmepeut êtreappro hée par des
équationslinéairesviadesdéveloppement sdeTayloràl'ordreun.On onsidèrelesystème
nonlinéaire :
(
X
k+1
= F
k
(X
k
, ε
k+1
),
Y
k
= G
k
(X
k
) + α
k
η
k
.
(0.2.10)
Pour esystème,lepro essussolution
(Π
k
)
n'estpasgaussien,sesmomentsnepeuventêtre al ulés de manière simple. Cependant, e système peut être linéarisé an de permettrela onstru tion d'un algorithme d'approximation ré ursif du type (0.2.9). La loi du ltre
Π
k
ainsi que elle de prédi tionΠ
k|k−1
sont alors appro hées par des lois gaussiennesN (m
k
, Σ
k
)
etN (m
k+1|k
, Σ
k+1|k
)
. Soit:X
k+1
≈ F
k
(m
k
, 0) + D
x
F
k
(m
k
, 0)(X
k
− m
k
) + D
ε
F
k
(m
k
, 0)ε
k+1
,
Y
k
≈ G
k
(m
k|k−1
) + DG
k
(m
k|k−1
)(X
k
− m
k|k−1
) + α
k
η
k
.
Par analogieau modèle linéairegaussien, on dénit alors ré ursivement :m
k+1|k
= F
k
(m
k
, 0),
Σ
k+1|k
= D
x
F
k
(m
k
, 0)Σ
k
D
x
F
k
(m
k
, 0)
′
+ D
ε
F
k
(m
k
, 0)D
ε
F
k
(m
k
, 0)
′
,
m
k
= m
k|k−1
+ K
k
Y
k
− G
k
(m
k|k−1
)
,
Σ
k
=
I
− K
k
DG
k
(m
k|k−1
)
Σ
k|k−1
,
K
k
= Σ
k|k−1
DG
k
(m
k|k−1
)
′
DG
k
(m
k|k−1
)Σ
k|k−1
DG
k
(m
k|k−1
)
′
+ α
k
α
′
k
−1
.
(0.2.11)A notre onnaissan e, ette méthode n'est pas mathématiquement justiée dans le
as général même si plusieurs développement ont été faits pour des as parti uliers (par
exemple[48℄pourdes asd'observationsentemps ontinu).Ellerestetoutefoistrèsutilisée
dans la pratique. Son e a ité est trés dégradée par l'existen e de fortes non linéarités,
l'impré ision danslaspé i ationde laloi initiale, l'instabilité dusystème[34, 46℄...
0.2.2.2 Méthodes de grilles
Cette méthode s'appuie sur la onstru tion de grilles d'approximatio n de haque
va-riable
X
k
pardesvariablesdis rètes.Danslestermesintroduitsenpremièrese tion,ils'agit dela onstru tiondequantieursdesvariablesX
k
etdeladénitiondetransitionsdis rètesde la première se tion et désignons par les
ˆ
X
k
lesN
k
-quanti ations desX
k
. On notera(A
i
k
)
1≤i≤N
k
lapartitionasso iéeà ettequanti ationetX
ˆ
k
(Ω) = Γ
k
=
{x
1
k
, . . . , x
N
k
k
}
.Onpeutalorsappro herleltreré ursivementendénissantl'estimateur
ˆ
π
y,n
parl'algorithme inspirédu modèled'états dis ret([1, 41℄):ˆ
H
y,k
f (x
i
k−1
) = E[f ( ˆ
X
k
)g
k
( ˆ
X
k
, y
k
)
| ˆ
X
k−1
= x
i
k−1
],
=
N
k
X
j=1
f (x
j
k
) ˆ
P
ij
k−1
g
k
(x
j
k
, y
k
),
ˆ
π
y,0
f
= E[f ( ˆ
X
0
)],
ˆ
π
y,k
f
= ˆ
π
y,k−1
H
ˆ
y,k
f.
En onsidérant queπ
ˆ
y,k
∈ M
1,N
k
(R)
et queH
ˆ
y,k
∈ M
N
k−1
,N
k
(R)
, on aboutit au système ré ursifmatri iel suivant :ˆ
H
y,k
ij
=
P
ˆ
ij
k−1
g
k
(x
j
k
, y
k
),
0 < k
≤ n,
ˆ
π
y,0
= ˆ
µ
0
= ˆ
H
y,0
,
ˆ
π
y,k
= ˆ
π
y,k−1
H
ˆ
y,k
.
Le hoix du quantieur, notamment de lagrille
Γ
k
et de la partition asso iée onstituent unpoint ru ialdansla qualitéde l'estimation. Comme pour leproblèmede l'intégrationnumérique, ilest possible de voir ette appro he omme une approximationà l'ordre zéro
des opérateurs
R
k
dans (0.2.7). Ils sont séquentiellement appro hés par des opérateurs onstantspar mor eaux:b
R
y,n
f
= f,
b
R
y,k−1
f
=
H
ˆ
y,k
R
b
y,k
f,
1
≤ k ≤ n,
(0.2.12)
pour obtenir de manièreéquivalente
π
ˆ
y,n
= b
R
y,0
.Dans [41℄, ette dénition rétrograde (0.2.12) permet d'établir un ontrle de l'erreur
pour un hoix judi ieux du quantieur et de la fon tion test
f
. En eet, un hoix de quantieurL
2
-optimalnouspermetd'établir untauxde onvergen e verszeroparlebiais
du théorème de Zador. Ce i est possible à travers le ontrle de l'erreur sur le ltre par
l'erreur dequanti ation:
Théorème 0.2.2 [41℄
Supposons
P
k
est Lips hitzienetf
est bornée Lips hitzienne ontinue, alors il existe une suite positive de onstantes(C
n
j
(y))
0≤j≤n
telles que :|π
n
f
− ˆπ
n
f
| ≤
n
X
j=0
Remarque0.2.2 Ladépendan eenlesobservationsdes onstantesréelles
C
n
j
(y)
peuvent êtrerendues expli ites.(Cf.[41℄).Remarque0.2.3 Le résultat du Théorème 0.2.2 rend aussi e a e le hoix d'un
quan-tieur
L
p
-optimal pour établir un taux de onvergen e de l'erreur vers zéro. Le hoix
quadratiqueestjustiépar lafa ilité relativedu al ul numériquedesgrillesde
quant a-tion.
0.2.2.3 Méthodes parti ulaires
Cesontdesméthodesprobabilistesoùl'approximatio nestjustiéeparlaloidesgrands
nombres. L'idée est pro he des méthodes de grilles, dans le sens où le prin ipe
d'appro- her laloiparunemesuredis retenieestretenue.Commepourleproblèmed'intégration
numériqueparméthodedeMonteCarlo, ettemesuredis rète hargelespointsd'un
é han-tillon aléatoire appelé système de parti ules. L'algorithme du ltre à parti ules s'appuie
ensuitesurla propagationdans letemps du système de parti ulesinitialement issus d'un
é hantillonde laloiinitiale
µ
0
. L'algorithmeleplusélémentaire deltrage parti ulaireest leltre de Monte Carlo pondéré, appelé aussi SIS pour Sequential Importan e Samplingalgorithm.Pour haque dated'observation
k
, on dénitl'estimateurΠ
M
k
f
par :Π
M
k
f =
M
X
i=1
w
k
i
f (X
k
i
)
oùX
i
k
iid∼ L(X
0:k
)
etw
i
k
=
g
k
(X
k
i
)w
i
k−1
P
M
i=1
g
k
(X
k
i
)w
k−1
i
.
Cet algorithme né essite de savoir simuler la loi jointe
L(X
0:k
)
e qui a l'avantage de pouvoir sefaireré ursivement grâ e àlanature markovienne dusignal.D'un point de vue pratique, l'attrait de ette méthode réside dans la possibilité d'une
é ritureséquentielledelasolutionenutilisantleséquations(0.2.4)et(0.2.5).Eneet,étant
donnéunsystèmedeparti ules
(X
i
0:k
)
1≤i≤M
selonL(X
0:k
)
,lesé hantillons(X
i
0:k+1
)
1≤i≤M
simulésselon latransitionP
k
àpartir de(X
i
0:k
)
1≤i≤M
sont iid selonL(X
0:k+1
)
et d'après(0.2.4)on dénitlaprédi tion empirique :
Π
M
k+1|k
f =
M
X
i=1
w
k
i
f (X
k+1
i
).
L'étape de orre tion (0.2.5) intervient sur les pondération s
w
i
k
par le al ul de lavaleur priseparg
k
en haquenouveaupoint simulé, soit :Π
M
k+1
f =
P
M
i=1
g
k+1
(X
k+1
i
)w
i
k
f (X
k+1
i
)
P
M
i=1
g
k+1
(X
k+1
i
)w
i
k
=
M
X
i=1
w
k+1
i
f (X
k+1
i
).
proposed'ajouterune étapederéé hantillo nnageand'améliorer l'explorationdel'espa e
d'étatsparlesparti ules[22, 15℄.Cetyped'algorithm es séquentielsave réé hantillo nnage
multiplie lesparti ulesàfortes pondération s et élimine lesautres,ilestretrouvésous
plu-sieurs appellation s : ltre parti ulaire ave intera tion [39℄, ltre Bootsrap [24℄ ou ltre
Monte Carlo [39, 36, 30℄, on le notera SIR pour Sequential Importan e Resampling.
Dif-férents types de onvergen e de es méthodes sont établis dans [14, 15℄. Il est ependant
né essaire de mentionner que la solution du réé hantillo nnage peut s'avérer insusante
dans plusieurs as pratiques. Il arrive en eet qu'elle apauvrisse la population des
parti- ulesen on entrantlenuagesurpeudepoints.Latailleee tiveestainsiréduite,onparle
dedégénéres en e desparti ulesdu ltreSIR. Onsereportera à[1, 39℄ et auxréféren es
qu'ils ontiennent, pour une revue de quelques variantes permettant de résoudre e type
deproblèmes.
0.3 Prin ipaux résultats
Cette thèse présente quelques ontribution s à la résolution du problème du ltrage
en utilisant la méthode de la quanti ation optimale. Nous nous sommes intéressés aux
problèmesthéoriquesposésparlamajorationdel'erreurdansdiérentesappli ationsdu
l-tragepar quanti ationetàlavéri ationnumérique de esrésultatsvial'implément at ion
surma hine. Cetravail s'arti ule endeux parties. Lapremière est onsa rée à
l'approfon-dissement desméthodes deltrage par quanti ation déjà onstruites par Pagès et Pham
dans[41℄, en utilisant une appro he de développement au premier ordre (Chapitre 1).La
omparaison numérique de ette appro he par grilles àl'appro he Monte Carlodes ltres
parti ulaire sfaitl'objetduChapitre2,danslequel etteétudesedresseàtraversplusieurs
modèlesd'états. Dansladeuxièmepartie,nousnoussommesintéressésàl'optimisationde
la pro édure du ltrage numérique par le moyen de grilles de quanti ation pré al ulée s
soit àtraversla quanti ation desobservations d'unepart (Chapitre 3) ou d'autre partà
travers la quanti ation du ltre même (Chapitre 4). Le but dans la première appro he
était d'élaborer un algorithme de al ul plus rapide, tout en établissant une majoration
satisfaisante del'erreur. Ladeuxième visaitàdonnerune solutionnumériqueauproblème
d'évaluation d'option améri aine dans le adre d'un mar hé à volatilité sto hastique non
observée.
Le Chapitre 1 a étémotivé par les travauxde Pagès, Phamet Printems [43℄, qui
sug-géraient de onstruire des s hémas dits d'ordre 1 (Cf. paragraphes 0.1.2 et 0.1.3) pour
le al ul du ltre par quanti ation. L'introdu tion de orre teurs dits d'ordre 1, dans
les formules ré ursives(0.2.12), s'inspirant ainsi desrésultatsde Bally, Pagèset Printems
dans [6℄, a donné naissan e à deux di ultés à dépasser pour aboutir à des algorithmes
numériques implémenta bles ayant une onvergen e detype ordre 1. Il fallaitproposer des
problèmeselonleshypothèsessurlemodèled'état.Typiquement, ommedans[43℄,la
réso-lutionnumérique rétrogradedu ltrepar quanti ationpermet de onstruire unsquelette
de s héma dit s héma générique d'ordre un, où les termes orre teurs viennent s'ajouter
auxapproximations d'ordre zéroà lamanièred'un développement de Taylor.
b
R
n
f
= f,
d
DR
n
f
= Df,
b
R
k
f
= E[g
k+1
(X
k+1
, y
k+1
)
b
R
k+1
f (X
k+1
+
h d
DR
k+1
f
( ˆ
X
k+1
), ∆
k+1
i
| ˆ
X
k
],
0
≤ k ≤ n − 1.
(0.3.1)Dans les deux algorithmes proposés dans le Chapitre 1, nous dénissons l'opérateur
d
DR
k+1
f
omme une approximation d'ordre zéro deDR
k
f
, en partant de deux é ritures diérentes de e dernier. Le premier algorithme Algorithme 1 s'appuie sur une dénitionré ursivedonnant
DR
k
en fon tiondeDR
k+1
, ledeuxièmeAlgorithme 2surune transfor-mationà la Malliavin deDR
k
pourleréé rireenfon tion deR
k+1
et d'unefon tion poids quel'on dénit(Cf.[6℄). Sousles hypothèses permettant ses onstru tions et d'autres surladynamiquedusignal,nousétablissonsquelesapproximationsdeltre
π
ˆ
y,n
issuesdetels s hémas améliorent lerésultatdu Théorème 0.2.2 (Théorèmes1.3.1 et 1.4.1).Dans le Chapitre 2, nous dressons une étude omparative de l'implément ation et de
la onvergen e numérique de es ltres par quanti ation ave les ltres à parti ules. Il
est intéressant d'y voir le parallèle qui peut être fait on eptuell ement entre les deux
appro hes. A partir desdiérentsexemples de modèles d'état qu'on a testés, il sedégage
quelesméthodesdeltrage parquanti ations'avèrente a esentermesde onvergen e
même si leur omplexité numérique augmente en dimension supérieure à 1. Par rapport
auxméthodesà parti ules, elles ont l'avantage de donnerune estimation déterministe au
ltreet d'éviter lesproblèmes poséspar lavarian e dessolutions parti ulaire s.
Dans le Chapitre 3, nous étendons la notion de quanti ation desobservations
intro-duitepar [38℄ pour les ltresàmodèles d'états dis ret(Cf.paragraphe 0.2.1.3) au as des
ltresàespa e d'états ontinu(Algorithmes6et 7).Ce iestrendu possible parl'adoption
des s hémas numériques de ltres par quanti ation. En eet, par son prin ipe de
pré-traitement oine,leltragepar quanti ationpermet desto keraupréalable, enplusdes
quantieursdu signal,les fon tionsde vraisemeblan eévaluées surles produits desgrilles
de quanti ation du signal et de l'observation. En projetant l'observation sursa grille de
quanti ation, il estainsipossible de onstruire unalgorithme nefaisant pasintervenir le
al uldelavraisemblan eonlineetpar onséqeuntplusrapide.L'erreur
L
1
surl'estimation
dultre aléatoire
Π
Y,n
est ontrléepar l'erreur dequanti ationde l'observation dansle asdis ret(Théorème 3.2.1), et par ellede l'observationet du signaldansle as ontinu(Théorème 3.3.2).
d'a élé-traitement ompletdultrepar quanti ation. Ce iestétudiédansdeplusamplesdétails
dansleChapitre 4à travers une appli ation ennan e.
Nous nous sommes intéressés au problème d'évaluation d'options améri aines dans le
adred'unmodèledemar héàvolatilitésto hastique.Lavolatilité
X
k
estmodélisée omme unsignalMarkovien a hé,dont leprixd'a tifY
k
onstitue uneobservationbruitée. Nous donnonsunerésolutionnumériqueduproblèmedere her hedetempsd'arrêtdans e adredemar hé à information in omplète.Soit :
u
0
=
sup
τ ∈T
Y
n
E
"
τ
X
k=0
f (X
k
, Y
k
) + h(X
τ
, Y
τ
)
#
,
(0.3.2) oùT
Y
n
est l'ensemble des temps d'arrêt adaptés à la ltration des observations(
F
Y
k
) =
(σ
{Y
0
, . . . , Y
k
})
à valeurs dans{0, . . . , n}
. En onsidérant la variableZ
k
= (Y
k
, Π
Y,k
)
, e problèmeest transformé enun problèmede temps d'arrêtà information omplète :u
0
=
sup
τ ∈T
Y
n
E
"
τ
X
k=0
ˆ
f (Z
k
) + ˆ
h(Z
τ
)
#
.
(0.3.3)où
Z
k
seraune haînedeMarkovparrapportà(P, (
F
Y
k
))
.Larésolutionparquanti ation, àlamanièredeBallyetPagèsdans[4℄estainsirenduepossible.Unemajorationdel'erreurest donnée par le Théorème 4.4.2. Sur leplan numérique, et exemple est illustré par un
problèmed'évaluationd'option améri aine, ilest onstaté quelavaleurde l'optionen
ob-servation partielle onverge vers elleà observation totale,quand latailledesquantieurs
tend vers
+
∞
.Le hapitre 4 porte sur un arti le o-é rit ave H.Pham et W. Runggaldier et publié
dans[47℄.Les autres hapitresfont l'objetde pré-publi ations dulaboratoire de
Probabi-lités et Modèles Aléatoires. Tous les hapitres peuvent être lus indépendam ment les uns
des autres, le le teur est prié d'ex user les répétitions inévitables dans les dénitions et
First Order s hemes
Prépubli ati ondu laboratoire deProbabilit és et Modèles Aléatoires [54℄
The quantization based ltering method (see [41℄, [43℄) is a grid based approximation
method to solve nonlinear ltering problems with dis rete time observations. It relies on
o-line prepro essing of some signal grids in order to onstru t fast re ursive s hemes for
lter approximation. We give here an improvement of this method by taking advantage
ofthe stationaryquantizer property. Thekey ingredient isthe useofvanishing orre tion
termsto des ribe s hemes basedon pie ewise linearapproximations. Convergen e results
aregivenand omparisonwithsequentialMonteCarlomethodsismade. Numeri alresults
arepresented for both parti ular ases of linearGaussian modelsand sto hasti volatility
models.
Key words: Quantization, nonlinearltering, oine prepro essing, stationaryquantizer,