Devoir Maison d'entraînement #3 - PAGE A CONSERVER
Nom: ...
Prénom:...
I. Angles orientés.
Penser à mettre sa calculatrice en mode "radians".
Il faut connaître (ou savoir retrouver par proportionnalité) les conversions de radians en degrés des angles "classiques":
Radians (rad) 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
Degrés (°) 0° 30° 45° 60° 90° 180°Il faut aussi savoir "construire" (c'est-à-dire dessiner) ces angles sur un cercle trigonométrique. On peut utiliser la technique de la "rosace" pour π/3 et sa bissectrice pour π/6, qui sont rappelées dans ma vidéo Youtube "Trigonométrie: construction d'angles".
Mesure principale: c'est celle qui est comprise dans l'intervalle
]
−
π π
; ]
; attention,−
π
n'en fait donc pas partie !Dans un triangle: La somme des mesures principales, orientées positivement, des trois angles d'un triangle est π.
Quelques formules:
La relation de Chasles:
( ) (
u v
,
=
u w
,
) (
+
w v
,
)
(sert à "intercaler" un vecteur dans un angle entre d'autres vecteurs) Pour prendre l'opposé de l'un des deux vecteurs:(
AB CD
,
) (
=
BA CD
,
)
+
π
, et aussi(
AB CD
,
) (
=
AB DC
,
)
+
π
Pour prendre l'opposé des deux vecteurs:(
AB CD
,
) (
=
BA DC
,
)
Pour "échanger" les deux vecteurs:
(
AB CD
,
)
= −
(
CD AB
,
)
Multiplier l'un ou les deux vecteurs par un réel positif ne change pas la mesure de l'angle; mais si on multiplie par un réel négatif, c'est comme si on prenait l'opposé et il faut se reporter aux formules ci-dessus.
II. Vecteurs colinéaires, équations cartésiennes de droites.
A. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs
u
etv
sont colinéaires ssi il existe un réel non nulk
tel quev
=
ku
.Dans la plupart des exercices, on utilise la caractérisation analytique:
'
'
'
'
a
a
ab
a b
b
b
=
−
; ne pas oublier qu'il s'agit d'unesoustraction !!!! J'ai utilisé les notations:
u
a
b
et'
'
a
v
b
.Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Trois points A, B, C sont alignés ssi les vecteurs
AB
etAC
sont colinéaires.B. Equation réduite de droite
L'équation réduite est l'équation de la forme
∆
y
=
mx
+
p
, où:• m est le coefficient directeur; s'il est positif, la droite "monte", s'il est négatif elle "descend"; elle monte/descend plus ou moins "vite" selon que m est "grand" ou "petit" en valeur absolue: il s'agit de la pente de la droite .
• p est l'ordonnée à l'origine: c'est l'ordonnée à laquelle
∆
coupe l'axe (Oy) des ordonnées. Une équation réduite ne peut pas représenter une droite verticale (car m serait infini).Dans le cas d'une tangente à une courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a, m est le nombre dérivé de f en a, c'est-à-dire que
m
=
f a
'( )
.Un vecteur directeur de
∆
y
=
mx
+
p
estv
1
m
;ainsi, deux droites d'équations réduites respectives
y
=
mx
+
p
ety
=
m x
'
+
p
sont parallèles ssim
=
m
'
.C. Equation cartésienne de droite
L'équation cartésienne est l'équation de la forme
∆
ax
+
by
+ =
c
0
, avec(
a b ≠
;
) (
0; 0
)
. Une équation cartésienne peut représenter n'importe quel type de droite, y compris verticale.Un vecteur directeur de
∆
ax
+
by
+ =
c
0
estv
b
a
−
; ainsi, deux droites d'équations cartésiennes respectives
0
ax by c
+
+ =
eta x b y c
'
+
'
+
'
=
0
sont parallèles ssiab
'
−
a b
'
=
0
.III. Statistiques descriptives.
Le fait de disposer d'une calculatrice performante ne dispense pas d'écrire les formules, pour montrer que l'on connaît son cours (et gagner les points correspondants). Sur votre TI, la moyenne est notée
x
, l'écart-typeσ
x
, et l'effectif totaln
.Paramètres de position Paramètres de dispersion
Dépend
des valeurs extrêmes Moyenne:
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
...
...
...
n x
n x
x
f x
f x
n
n
+
+
=
=
+
+
+
+
Etendue: (plus gde valeur) - (plus pte valeur)
Ecart-type:
σ
=
V
, avec(
)
2(
)
2(
)
2 1 1 2 2 3 3 1 2 3...
...
n x
x
n
x
x
n
x
x
V
n
n
n
−
+
−
+
−
+
=
+
+
+
ou bien: 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3...
...
n x
n x
n x
V
x
n
n
n
+
+
+
=
−
+
+
+
Ne dépend pas des valeurs extrêmesMédiane
m
,Premier quartile
Q
1, troisième quartileQ
3Ecart inter-quartile:
3 1
IV. Suites.
Penser à régler sa calculatrice en mode "suites".
Ne pas confondre les suites définies explicitement par une relation du types
u
n=
f n
( )
, et les suites définies par récurrence, "en fonction du terme précédent". Revoir le calcul des termes à la calculatrice.V. Quelques conseils.
Comme "dernières révisions" avant l'épreuve, je vous propose de revoir vos "fiches" , et de relire votre cahier d'erreurs: il vous indiquera sur quels points vous devez être particulièrement vigilants.
Je vous conseille de décider à l'avance dans quel ordre il vous semble pertinent de traiter les exercices: en commençant par les thèmes sur lesquels vous vous sentez à l'aise, et en terminant par ceux qui vous semblent les plus difficiles, mais pas forcément dans l'ordre du sujet. Surtout, ne perdez pas de temps si vous "pataugez" sur un exercice: passez au suivant, vous y reviendrez plus tard s'il vous reste du temps. Inutile de "laisser de la place" pour finir un exercice "plus tard"; il vous suffira d'indiquer clairement "suite de l'exercice 3", par exemple.
A titre indicatif, pour un sujet de 2 heures, il faut essayer de passer sur un exercice "5 minutes par point". Cela signifie que si la question vaut 1 point, il ne faut pas y passer plus de 5 minutes, si elle vaut 3 points pas plus de 15 minutes etc...
Si le sujet comporte une feuille "annexe", pour faire un graphique par exemple, ne pas oublier de la rendre avec sa copie, après avoir bien inscrit son nom dessus.
Devoir Maison d'entraînement #3 - Page à rendre.
Il faut que tu fasses ce devoir toi-même pour détecter les points que tu dois réviser pour le devoir commun, mais rien ne t'empêche d'y réfléchir en groupe avec tes amis; il faut juste qu'à la fin, tu saches faire tout ça tout(e) seul(e)....
Nom: ...
Prénom:...
A. Angles orientés. (extrait des épreuves communes 2013-2014)Dans le plan orienté, soit un triangle ABC tel que
(
;
)
6
AB AC
=
π
et
(
,
)
5
BA BC
= −
π
.
1°) Tracer un triangle ABC vérifiant ces deux propriétés.
2°) Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants:
a)
(
BA AC
;
)
... ... ... ... ... ... ...b)
(
BC BA
;
)
... ... ... ... ... ... ...c)
(
CA CB
;
)
... ... ... ... ... ... ... ... ...B. Vecteurs colinéaires, équations cartésiennes de droites.
Les questions 1°) et 2°) sont totalement indépendantes l'une de l'autres (ce sont deux exercices différents).
1°) Dans un repère, on donne les vecteurs:
u
(
3;1
)
,v −
(
2; 2
)
etw
(
1; 7
)
a) Vérifier que les vecteurs
u
etv
ne sont pas colinéaires.... ... ...
b) Déterminer les nombres
a
etb
tels quew
=
au
+
bv
... ... ... ... ...
2°) Le plan est muni d'un repère. Dans chacun des cas suivants (qui sont indépendants les uns des autres), déterminer une
équation cartésienne de la droite
d
(pour la question b, on pourra donner une équation réduite).a)
d
passe par les pointsA
(
5; 2
)
etB − −
(
1; 3
)
... ... ... ... ... ... ...
b)
d
a pour coefficient directeur−
3
et passe par le point2
;5
3
A
−
... ... ... ... ... ... ... ...c)
d
passe par le pointA −
(
5; 4
)
et admet pour vecteur directeur1;
2
3
u
... ... ... ... ... ... ... ... ...d)
d
est parallèle à (AB) oùA −
(
3;3
)
etB
(
2;1
)
et passe par le pointC
(
4; 4
−
)
.... ... ... ... ... ... ... ... ...
e)
d
passe par le pointA −
(
3; 2
)
et est parallèle à la droite d'équation−
2
x
+
5
y
− =
1
0
. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... C. Statistiques descriptives.Une société de location possède 500 véhicules. On a étudié, au cours de l'année 2009, le nombre de journées d'immobilisation. On a obtenu la série suivante:
Nombre de journées d'immobilisation 1 2 3 4 5 6 7 8
Effectif 11 34 86 121 120 88 28 12
1°) Déterminer la médiane et l'écart inter-quartile de cette série.
... ... ... ... ... ... ...
2°) Tracez le diagramme en boîte correspondant à cette série.
... ... ... ... ... ... ... ...
3°) Calculez la moyenne et l'écart-type de cette série.
... ... ... ... ... ... ...
4°) Pour résumer la série, lequel des couples calculés respectivement aux question 1°) et 3°) vous semble-t-il le plus approprié?
... ... ... ... ... ... ...
D. Suites.
Soit la suite
v
définie pour tout entiern ≥
1
par:1
( )
1
5
12
n n nv
= + −
− 1°) Calculerv
1,v
2 etv
3. ... ... ...2°) Exprimer les termes
v
2n etv
2n+1 en fonction den
.... ... ... ... ... ... ... ... ...
3°) Vérifier que pour tout entier
n ≥
1
,v ≠
n1
et que le rapport 11
1
n nv
v
+−
−
est indépendant de l'entiern
.Pourquoi a-t-on voulu vérifier que pour tout entier
n ≥
1
,v ≠
n1
?... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...