Valeurs propres principales de problèmes elliptiques

ﻲﻤﻠﻌﻟا ﺚﺤﺒﻟا و ﻲﻟﺎﻌﻟا ﻢﻴﻠﻌﺘﻟا ةرازو

UNIVERSITE BADJI MOKHTAR

ﺔﺑﺎﻨﻋ

رﺎﺘﺨﻣ ﻲﺟﺎﺑ ﺔﻌﻣﺎﺟ

ANNABA

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Mémoire

En vue de l’obtention du diplôme de

MAGISTER

en Mathématiques.

Option

E

quations aux

D

érivées

P

artielles &

applications.

Présenté par:

ABDELMALEK

Brahim

Thème

VALEURS PROPRES PRINCIPALES DE

PROBLEMES ELLIPTIQUES

Directeur de Recherches:

A. Djellit.

Prof.

U.B.M. Annaba.

Devant le jury composé par:

S. Mazouzi Prof. U.B.M. Annaba Président.

F.Z Nouri Prof. U.B.M. Annaba Examinatrice.

To my parents.

To Tamrabet Sameh.

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Abstract

We consider the following elliptic problem :

Au = Bu _{dans R}n; n 3 (1)

Where is a real parameter, A is a linear operator of second order formally self-adjoint and uniformly elliptic, B is the operator of multiplication. The operators A and B are de…nited in a real Hilbert space.

First, we consider the case of Schrödinger’s operator := +q; and B is the operator of multiplication by a function g which decreases rapidly at in…nity. We choose the potential q in appropriate spaces. To this end, we apply the Weinberger’s theory to show the existence of a discrete spectrum, the eigenvalues are characterized by Courant-Fischer’s, formula known as Min-Max’s principle.

Then, a particular interest is devoted to the …rst eigenvalue. By an appropriate choice of the potential q; we obtain that the …rst positive (resp. negative) eigenvalue is principal i.e., the associated eigenfunction does not change sign. Finally, we treat the general case of the second order operator of the form : A = PDi(aij(x) Dj) :

Keywords :

- Principal eigenvalue - Min-Max’s principle - Weighted Sobolev spaces - Schrö-dinger’s operator - Eigenvalue problem.

Résumé

Nous considérons le problème elliptique suivant :

Au = Bu _{dans R}n; n 3 (1)

où est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire du second ordre formellement au-toadjoint, uniformément elliptique, et B est l’opérateur de multiplication. Les opérateurs A _{et B sont dé…nis dans un espace de Hilbert réel (ou complexe) H.}

Nous commençons par examiner le cas de l’opérateur de Schrödinger := + q; et B est l’opérateur de multiplication par une fonction g qui décroit "assez vite" à l’in…ni. Une première étape consiste à choisir le potentiel q dans des espaces appropriés. A cette …n, nous appliquons la théorie de Weinberger pour montrer l’existence d’un spectre discret ; les valeurs propres sont caractérisées par la formule de Courant-Fischer dit principe du Min-Max. En suite un intérêt particulier est dévoué à la première valeur propre. En choisissant judicieusement le potentiel q, nous obtenons que la première valeur propre positive (resp. négative) est principale c’est-à-dire que la fonction propre associée ne change pas de signe. Finalement nous traitons le cas d’un opérateur d’ordre deux de la forme : A = PDi_(a

ij(x) Dj) :

Mots clés :

- Valeur propre principale - Principe du Min-Max - Espaces de Sobolev à poids - Opérateur de Schrödinger - Problème aux valeurs propres.

Remerciements

Je tiens à adresser mes remerciements les plus chaleureux et ma profonde gratitude à mon encadreur Monsieur, Ali Djellit, professeur à l’université d’Annaba, pour m’avoir proposé le sujet de ce mémoire. C’est grâce à sa grande disponibilité, ses conseils, ses orientations, et ses encouragements que j’ai pu mener à bien ce travail .

Mes remerciements vont également à Monsieur, S. Mazouzi, professeur à l’univer-sité d’Annaba, pour avoir bien voulu me faire l’honneur d’accepter de présider le jury.

De même je remercie vivement,Mme F.Z. Nouri, professeur à l’université d’Annaba, et A. Moumeni, maître de conférence à l’université d’Annaba, pour l’honneur qu’ils m’ont fait de bien vouloir accepter de faire partie du jury.

En…n, je n’oublie pas de remercier toutes les personnes qui m’ont facilité la tâche et tous ceux que j’ai connu au département de mathématiques et qui ont rendu mes séjours au département agréables.

Table des matières

0.1 Introduction . . . 8

1 Notions préliminaires 10 1.1 Introduction . . . 10

1.2 Formulation variationnelle du problème . . . 11

1.3 L’opérateur T . . . 12

1.4 Spectre de T . . . 13

1.5 Identité de Picone . . . 15

1.6 _{Inégalité de Harnack dans R}n . . . 16

2 Opérateurs de type Schrödinger 21 2.1 Introduction . . . 21

2.2 Notation . . . 22

2.3 Existence de valeurs propres principales . . . 23

3 Opérateurs du second ordre à coe¢ cients variables 30 3.1 Introduction . . . 30

3.2 Existence de valeurs propres principales . . . 31

3.3 Cas d’un opérateur général d’ordre deux . . . 36

0.1

Introduction

Nous nous intéressons à l’existence des valeurs propres principales des problèmes aux limites elliptiques de la forme :

Au = Bu; _{dans R}n; n 3 (*)

où est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire uniformément elliptique, for-mellement autoadjoint du second ordre à coe¢ cients variables, et B est l’opérateur de multiplication par une fonction poids g de signe non constant. Les opérateurs A et B sont dé…nis dans un espace de Hilbert réel (ou complexe) H:

La détermination des valeurs propres et des fonctions propres est en général impos-sible sauf pour quelques problèmes simples. Il est toute fois posimpos-sible, par comparaison à des problèmes modèles, d’obtenir une estimation des valeurs propres (réelles). Les cher-cheurs ont établi deux catégories d’estimations : la première concerne l’estimation des "premières valeurs propres" -valeurs propres "principales"- qui, dans le cas d’un pro-blème aux limites de Dirichlet ou plus généralement d’un opérateur elliptique du second ordre sont associées à des fonctions propres positives ; la deuxième estimation concerne les "grandes valeurs propres", et dans ce cas ils ont étudié le comportement asympto-tique des valeurs propres quand tend vers l’in…ni ; ce comportement est représenté par la fonction de comptage N+_{( ; A; g; R}n)_{(resp. N ( ; A; g; R}n)) qui détermine le nombre de valeurs propres inférieures ou égale à (resp. le nombre de valeurs propres supérieures ou égale à ). En ce qui nous concerne, notre intérêt est porté sur la première catégorie. Les problèmes relatifs à l’existence de valeurs propres principales sont étudiés dans [11], [14], [19], [30] et [32] quand le potentiel q est positif ou nul et borné ; les autres résultats dans [13] et [15] concernent les situations où q = 0 et non borné:

Le cas n = 1 avec q non nécessairement positif est étudié par [35] : Ces problèmes là peuvent admettre des valeurs propres non réelles. En [28] ; les auteurs ont montré l’exis-tence d’une suite de valeurs propres lorsque n > 1 et borné. Allegretto & Mingarelli

[4]ont donné une estimation de la première valeur propre du problème traité dans [28]. Dans [25] et [37] les auteurs ont considéré des potentiels q ! 1 quand x ! 1; tandis que [20] ; [21] ; [22] et [24] ont utilisé des potentiels décroissant vers zéro à l’in…ni.

Nous observons une vaste littérature relative aux problèmes posés dans des domaines bornés, notamment les résultats élaborés dans [3] ; [29] ; [30] et [32] :

Si le problème (*) est considéré dans un domaine borné, les espaces de Sobolev or-dinaires conviennent parfaitement pour caractériser les solutions. Cependant dans un domaine non borné, il est nécessaire d’introduire les espaces de Sobolev à poids déjà rencontrés dans [6] ; [7] ; [9] ; [18] et [31] :

Le présent travail est organisé comme suit :

Dans le premier chapitre, nous rappelons tout d’abord la méthode de Weinberger [38] qui permet d’établir l’existence de valeurs propres. Ces valeurs propres sont caractérisées par le principe du Min-Max.

Le deuxième chapitre est consacré en premier lieu à l’étude des problèmes associés à des opérateurs de type Schrödinger := + q. Des considérations sur le potentiel q et le poids g s’avèrent nécessaire pour que le problème associé admette une double suite in…nie dénombrable de valeurs propres l’une positive tendant vers plus l’in…ni, et l’autre négative tendant vers moins l’in…ni. Nous montrons en particulier que la plus petite valeur propre est principale et simple.

Dans le dernier chapitre, nous traitons des problèmes associés à des opérateurs el-liptiques d’ordre deux de la forme :

n X i;j=1 @ @xi aij(x) @ @xj

+ q. Nous déterminons les conditions sur les coe¢ cients aij;le potentiel q et le poids g, pour que le problème relatif

à cet opérateur admette un spectre discret, puis nous démontrons ici aussi que la pre-mière valeur propre est principale et simple. Dans le dernier paragraphe, nous étudions des opérateurs elliptiques d’ordre deux plus généraux.

Chapitre 1

Notions préliminaires

1.1

Introduction

Nous étudions les problèmes aux valeurs propres de la forme

Au = Bu; (1.1)

où A et B sont des opérateurs autoadjoints dé…nis dans un espace de Hilbert V à image dans un autre espace de Hilbert H; avec V ,! H; l’injection étant continue et d’image dense, de plus nous supposons que l’opérateur A est positif de domaine dense. L’opérateur B est supposé A borné :

jBuj_H C_jAujH:

Pratiquement dans les problèmes aux limites étudiés A = + q; est un opérateur elliptique positif: B est l’opérateur de multiplication par la fonction poids g de signe non constant: Formellement (1:1) s’écrit u = A 1_Bu.

1.2

Formulation variationnelle du problème

Nous supposons que :

H et V sont des espaces de Hilbert réels (ou complexes), séparables;

(:; :) _{et ((:; :)) désignant leurs produits scalaires respectifs, et j:jH et k:kV} les normes associées.

a (:; :) _{et b (:; :) sont deux formes hermitiennes sur V telles que :}

i) a (:; :) _{est continue et coercive sur V c’est à dire 9M > 0 et 9C > 0; tels que}

ja (u; v)j M_kukVkvkV et a (u; u) C_kuk2_V; _{8 (u; v) 2 V V:} (1.2)

ii) b (:; :) _{est continue sur V c’est à dire 9M}0 _{> 0; tel que}

jb (u; v)j M0_kukVkvkV; _{8u; v 2 V:}

La résolution du problème aux valeurs propres (1.1) revient à la résolution du problème variationnel suivant : 8 < : Trouver ( ; u) 2 C V ; u 6= 0 véri…ant : a (u; v) = b (u; v) ; _{8v 2 V} (1.3)

Dé…nition 1.1. On dit que est une valeur propre de (1.3) s’il existe un vecteur u_{2 V non nul qui véri…e (1.3).}

Il résulte de ((1:2) ; i) que la forme quadratique a (u; u) dé…nit sur V un produit scalaire équivalent à ((:; :)) et donc, comme la forme b (u; v) est continue sur V, nous pouvons appliquer le théorème de représentation de Riesz ; on en déduit qu’il existe un opérateur T _{dé…ni sur V par :}

1.3

L’opérateur

T

Proposition 1.1. L’opérateur T ainsi dé…ni est linéaire, continu et autoadjoint sur V:

Preuve

La linéarité est évidente ; il résulte de ((1:2) ; ii) que :

C_{kT uk}2_V a (T u; T u) = b (u; T u) M0_{kukVkT ukV}

et donc en déduisant la continuité

kT uk_V M

0

C kukV:

En…n T est autoadjoint puisque les formes sont hermitiennes :

a (T u; v) = b (u; v) = b (v; u) = a (T v; u) = a (u; T v) : (1.5)

Remarque 1.1.

Il est classique d’associer au triplet variationnel (V; H; a (:; :)) sa réalisation : l’opéra-teur A est autoadjoint, positif et non borné dans H de domaine D (A) dé…ni par :

D (A) =_{fu 2 V; Au 2 Hg :} (Au; v)_H = a (u; v) ; _{8u 2 D (A) 8v 2 V:}

D’une manière analogue à la forme b (:; :) nous pouvons associer l’opérateur B autoadjoint dé…ni sur V par :

(Bu; v)_H = b (u; v) ;_{8u; v 2 V}

T = A 1B:

Remarque 1.2.

Le problème (1.3) peut s’écrire, en utilisant l’opérateur T ,

a (T u; v) = a (u; v) ;_{8v 2 V:} Soit

a ( T u u; v) = 0 ;_{8v 2 V} Il résulte de (1.2) que

T u = 1u: (1.6)

Ainsi, si u est un vecteur propre de (1.3) correspondant à la valeur propre non nulle, alors il est aussi un vecteur propre de (1.6) correspondant à la valeur propre 1 et réci-proquement.

1.4

Spectre de

T

Si nous supposons de plus que l’injection de V dans H est compacte, alors

T est compact,

et nous pouvons appliquer les résultats de la théorie spectrale classique des opérateurs autoadjoints compacts sur les espaces de Hilbert. Nous avons (Voir [11], [34],...).

Proposition 1.2. (i) Les valeurs propres de T sont réelles et (sauf peut être 0)

sont de multiplicités …nies.

propres associées, alors :

a '_i; '_j = 0 et b '_i; '_j = 0

(iii) Le spectre de T est constitué par (au plus) deux in…nités dénombrables de valeurs

propres, une positive et l’autre négative, tendant vers zéro :

1 < 2 ::: j j+1 ::: 0 ::: + j+1 + j ::: + 2 < +1 (1.7)

On répète chaque valeur propre selon sa multiplicité (on rappelle que la multiplicité de la valeur propre est la dimension du sous espace propre).

(iv) Les valeurs propres de T sont caractérisées par le principe du ”Min-Max” :

+

j+1 = _Vmin j2Uj

max

u?Vj fb (u; u) =a (u; u) = 1g

(1.8)

j+1 = max_V j2Uj

min

u?Vjfb (u; u) =a (u; u) = 1g

Uj étant l’ensemble de tous les sous espaces de V de dimension j

En particulier 1 = max 06=u2V b (u; u) a (u; u) Remarque 1.3.

Les valeurs propres de (1:3) notées j(a; b; V) sont égales à

1

j

et sont réelles ; de plus nous pouvons leur associer des fonctions propres réelles.

Il en résulte de (1.8) les lemmes suivants :

Lemme 1.1. Si a1(u; v) et a2(u; v) sont deux formes hermitiennes continues,

coercives sur V telles que a1(u; u) a2(u; u), 8u 2 V et si b (u; v) est une forme

+

j (a1; b; V) +j (a2; b; V) :

Lemme 1.2. Si b1(u; v) et b2(u; v) sont deux formes hermitiennes continues sur

V telles que b1(u; u) b2(u; u), u2 V et si a (u; v) est une forme hermitienne continue,

coercive sur V, alors :

+

j (a; b1; V) +j (a; b2; V) :

Lemme 1.3. _{Si (V}1; H; a) et (V2; H; a) sont deux triplets variationnels tels

que V1 ,! V2 alors:

+

j (a; b; V1) +j (a; b; V2) :

Nous introduisons l’inégalité de Hardy qui joue le même rôle que l’inégalité de Poincaré quand le domaine est borné.

Inégalité de Hardy [20] :

Il existe une constante C = C (n) > 0 telle que Z Rn ju (x)j2 jxj2 dx C Z Rnjru (x)j 2 dx (n 3) pour toute u 2 C1 0 (Rn) :

1.5

Identité de Picone

Pour des fonctions di¤érentiables u; v; v 6= 0; nous avons :

Z Rn v2 _r u v 2 dx Z Rnjruj 2 dx = Z Rn u2 v2 jrvj 2 dx 2 Z Rn u vru:rvdx = Z Rnr u2 v :rvdx

En e¤et, pour la première équation nous avons : Z Rn v2 _r u v 2 dx Z Rnjruj 2 dx = Z Rn v2 1 vru u v2rv 2 dx Z Rnjruj 2 dx = Z Rn u2 v2 jrvj 2 dx 2 Z Rn u vru:rvdx

Pour aboutir à la deuxième équation, il su¢ t de multiplier l’équation suivante Z Rnr u u v dx = Z Rn u vrudx + Z Rn u_r u v dx = 2 Z Rn u vrudx Z Rn u2 v2rvdx par ( rv).

Nous étudions dans ce qui suit l’inégalité de Harnack à l’espace Rn _{tout entier. Pour}

rappel, nous rencontrons les développements concernant cette inégalité dans Stampacchia [36] quand le domaine est borné.

1.6

Inégalité de Harnack dans

_R

n

Nous considérons l’opérateur elliptique

Lu = n X i;j=1 @ @xj aij @u @xi + dju + n X i=1 bi @u @xi + cu ! (1.9) Nous supposons que l’opérateur L est uniformément elliptique c’est à dire qu’il existe une constante > 0; telle que

n X i=1 aij(x) i j j j 2 (x_{2 R}n; _{2 R}n) (1.10)

8 > > > > > > < > > > > > > : jaijj M bi 2 Ln(Rn) di 2 Lr(Rn) c_{2 L}r2 (Rn) ; avec r > n 8x 2 Rn (1.11)

Nous désignons par Q (x0; )le cube de centre x0 et de côté .

Théorème 1.1 _{Soit u une solution positive de l’équation Lu = 0 dans R}n_:Alors

pour chaque compact G tel que G _Rn_{;il existe une constante positive K indépendante}

de u; telle que

max

G u K minG u (1.12)

avec K = K ( ; M; c; bi; di; G)

Démonstration

Du lemme 8.4 et du lemme 8.3 (voir [36] p. 240-241) nous déduisons qu’il existe deux constantes positives K et telles que

min Q(x0; 1) u K 1_n 1 Z Q u dx 1 : (1.13)

D’autre part, d’après le lemme 8.4, nous avons

max Q(x0; 2) u K 1_n 2 Z Q juj2dx 1 2 : (1.14)

Pour achever la démonstration il su¢ t de démontrer l’existence d’une constante K telle que, pour ₂ > ₁ nous avons

1 n 2 Z Q(x0; 1) u2dx 1 2 K 1_n 1 Z Q(x0; 2) u dx 1 (1.15) Si (1.15) est valable nous avons avec une constante convenable K

max Q(x0; 1) u K min Q(x0; 2) u K min Q(x0; 1) u; (1.16)

Le passage de (1.16) à (1.12) se fait alors de façon standard par recouvrement …ni.

Pour montrer (1.15); nous posons = n

n 2 =

2

2 et nous supposons que l’exposant à droite de (1.15) soit tel que s

6= 1 pour s entier (il su¢ t éventuellement de prendre un peu plus petit). Soit h un entier tel que h _{2: Nous posons q}

s = s

et rs = 2 s

2 1

h et nous utilisons le lemme 8.1, (voir [36] p. 239) avec = 1 sur Q (x0; rs+1) et 0hors de Q (x0; rs) et j xj 2 rs+1 rs = 2h 2 1 : Nous obtenons Z Q(x0;rs+1) uqs+1_dx 1 qs+1 _C ( _{2 1})qs2 Z Q(x0;rs) u dx 1

et en multipliant pour s = 0; 1; :::; h 1;nous avons

1 n 1 Z Q(x0; 1) uqh_dx 1 qh _c0 n 2 n qh 1 ( _{2 1})n(1 n) 1 n 2 Z Q(x0; 2) u dx 1 d’où (1.15) si 2 1 2 r > 0:

Théorème 1.2 _{Soit u une solution positive dans R}n_{de l’équation Lu =} n

X

i=1

(fi)_xi

où fi 2 Lp(Rn) avec p > n: Il existe une constante K > 0 telle que, si x0 2 Rn et est

su¢ samment petit nous avons

max Q(x0; ) u K min Q(x0; ) u + n X i=1 kfik_Lp_(Rn₎ 1 n_p ! : (1.17) Preuve

Soit x0 un point quelconque de Rn.

Soit R est su¢ samment petit de façon que la forme a (u; v) associée à L est coercive sur H₀1(Q (x0; R)) (voir théorème 3.1 dans [36] p. 200):

Si 2 < R nous posons u = v + w où w est la solution dans H1

0 (Q (x0; 2 )) de l’équation

Lw = X(fi)xi; v est une solution de l’équation homogène Lv = 0 avec v = u sur

@Q (x0; 2 ) :Grâce au principe du maximum (voir théorème 3.6 [36] p. 206) v est positive

dans @Q (x0; 2 ) : Alors d’après le théorème 1.1, nous avons

max

Q(x0; )

v K min

Q(x0; )

v:

Mais nous avons

min v + min w min u max u min v

donc max Q(x0; ) u max Q(x0; ) v + max Q(x0; ) w K min Q(x0; ) v + max Q(x0; ) w K min Q(x0; ) u min Q(x0; ) w + max Q(x0; ) w K min Q(x0; ) u + K max Q(x0; )jwj

Mais d’après le théorème 4.2 (voir [36] p. 215) nous avons

max

Q(x0; )jwj

K0X_kfikLp_(Rn₎ 1 n_p

Corollaire 1.1 Si l’opérateur L véri…e (1.10) et (1.11); alors les solutions non négatives de Lu = 0 sont positives ou identiquement nulles.

Preuve

Soit 0 _{un ouvert tel que} 0 _Rn_{: En e¤et,}

Si min

0 u = 0; alors v = u + ( > 0) est une solution de l’équation

Lv = " c n X i=1 @di @xi #

Nous avons Lv = n X i;j=1 @ @xj aij @ (u + ) @xi + dj(u + ) + n X i=1 bi @ (u + ) @xi + c (u + ) ! = n X i;j=1 @ @xj aij @u @xi + dju + dj + n X i=1 bi @u @xi + cu + c ! = n X i;j=1 @ @xj aij @u @xi + dju n X j=1 @ @xj dj + n X i=1 bi @u @xi + cv ! + c Lv = " c n X i=1 @di @xi #

D’après le théorème 1.2, nous avons,

max 0 v K 1 +kckL r 2_(Rn₎+kdik_Lr_(Rn₎ Donc max 0 u = 0

Chapitre 2

Opérateurs de type Schrödinger

2.1

Introduction

Dans ce chapitre nous considérons le problème aux valeurs propres 8 > < > : u + q (x) u = g (x) u u _! jxj!+1 0 dans Rn; n 3 (2.1)

où q et g sont des fonctions mesurables ; q 0(non identiquement nul) et g de signe non constant et décroit "assez vite" à l’in…ni.

Notre objectif est de montrer que le problème (2.1) admet un spectre discret. En suite nous montrons que la première valeur propre 1 est principale. De plus elle est simple

c’est à dire de multiplicité un.

Une première étude a été élaborée par [11], quand q 0 et g à support compact. Des résultats sur la non existence de valeurs propres principales positives …gurent dans le travail de [13] quand q 0 et R_R2gdx > 0. Dans [20], l’auteur a considéré le cas

R

R2gdx? 0 et q 0:

Un cas est étudié par [22] où le potentiel q est strictement positif ou nul pour des ouverts non bornés de R2:

spectre discret. Précisément si q 2 Ln2 (Rn) alors le problème (2.1) admet deux suites

in…nies dénombrables de valeurs propres tendant vers plus ou moins l’in…ni.

2.2

Notation

Nous désignons par 2 le conjugué de Sobolev de 2 i.e. 2 = 2n

n 2

Nous introduisons les fonctions suivantes sur Rn_:

(x) = 1 +_jxj2 1 2 (2.2) et p = 2 (x) ; > 0: (2.3)

Nous dé…nissons l’espace :

V (Rn) =nu_{2 D}0_(Rn) ; (p1) 1

2 _{u2 L}2_(Rn_{) ; ru 2 L}2_(Rn₎

o

: (2.4)

que l’on munit de la norme usuelle :

kuk_V(Rn₎ = Z Rnjruj 2 + p1juj2dx 1 2 :

V (Rn_{) est un espace de Hilbert (voir [31] p. 230).}

Nous dé…nissons des parties de V comme suit :

V = u 2 V j Z

Rn

g_juj2dx? 0 : (2.5)

Nous supposons que

q_{2 L}n2 (Rn) et 9 > 1; 9K > 0; jg (x)j

K 1 +_jxj2

; _{8x 2 R}n _(2.6)

Z Rn uvdx + Z Rn quvdx = Z Rn guvdx Nous obtenons Z Rnrurvdx + Z Rn quvdx = Z Rn guvdx Posons a (u; v) = Z Rnrurvdx + Z Rn quvdx et b (u; v) = Z Rn guvdx

Une formulation variationnelle du problème (2.1) est donnée par 8

< :

trouver (u; ) 2 V R; u 6= 0; tels que a (u; v) = b (u; v)

(2.7)

2.3

Existence de valeurs propres principales

Dé…nition 2.1. Soit une valeur propre du problème (2.1). est dite valeur propre principale si la fonction propre associée ne change pas de signe.

La forme a (u; v) est continue sur V. En e¤et,

ja (u; v)j = Z Rnrurvdx + Z Rn quvdx ja (u; v)j Z Rnjruj 2 dx 1 2 Z Rnjrvj 2 dx 1 2 + Z Rnjq (x)j n 2 _dx 2 n Z Rnjuj 2 dx 1 2 Z Rnjvj 2 dx 1 2 ja (u; v)j krukL2_(Rn₎krvk_L2_(Rn₎+kqk_Ln₂ (Rn₎kukL2 _(Rn₎kvk_L2 _(Rn₎

ja (u; v)j krukL2_(Rn₎krvk_L2_(Rn₎+ ckuk_L2 _(Rn₎kvk_L2 _(Rn₎

et comme

V ,!L2 (Rn)

ja (u; v)j kuk_Vkvk_V+ cc1c2kuk_Vkvk_V

ja (u; v)j M_kukVkvkV

d’où la continuité de la forme a (u; v) : sur V: La forme a (u; v) est coercive sur V. En e¤et, La coercivité se déduit de l’inégalité de Hardy.

a (u; u) = Z Rnjruj 2 dx + Z Rn q_juj2dx

Comme q 0;nous avons

a (u; u) Z Rnjruj 2 dx C_kuk2_V

et donc la forme bilinéaire a (u; v) est coercive sur V:

Par conséquent la forme bilinéaire a (u; v) dé…nit un produit scalaire sur V équivalent au produit scalaire usuel. Comme la forme bilinéaire b (u; v) est continue sur V, il existe d’après le théorème de représentation de Riesz, un opérateur linéaire T continu dans V ! V tel que

Les valeurs propres du problème (2.7) sont exactement les inverses de valeurs propres de T;associées aux mêmes fonctions propres.

Proposition 2.1. L’opérateur T est linéaire, continue et autoadjoint. Preuve

La continuité de l’opérateur T est évidente, et la propriété d’être autoadjoint résulte du fait que les formes a (u; v) et b (u; v) sont continues et hermitiennes.

Proposition 2.2. L’opérateur T est compact. Preuve

Soit BR la boule dans Rn de centre zéro et de rayon R.

Toute suite (un)bornée dans V reste bornée sur H1(BR) :Comme l’injection de H1(BR)

dans L2_(B

R)est compacte, alors (un)admet une sous-suite (notée encore (un)), de

Cau-chy dans L2_(B

R) : Pour tout m; n nous avons :

kT (un um)k2_V a (T (un um) ; T (un um)) 0

Z

Rn

p _j(un um)j jT (un um)j dx

En appliquant l’inégalité de Cauchy nous obtenons

kT (un um)k 2 V 02 Z Rn p2 1j(un um)j 2 dx 1kun umk2_L2_(B R)+ 2 1 (1 + R2₎2( 1) kun umk2_V

La première quantité du membre de droite tend vers zéro. Par hypothèse, kun umk_V est borné et

1

(1 + R2₎2( 1) tend vers zéro quand R tend vers

Nous pouvons appliquer à T les résultats de la théorie spectrale classique des opérateurs autoadjoints compacts.

Proposition 2.2. Le problème (2.1) admet une double in…nité dénombrable de valeurs propres l’une positive tendant vers +1 et l’autre négative tendant vers 1

+ j = inf A2Vj sup u2A\V+ 8 > > < > > : Z Rn jruj 2 + qu2 _dx Z Rn gu2_dx 9 > > = > > ; j = inf A2Vj sup u2A\V 8 > > < > > : Z Rn jruj 2 + qu2 dx Z Rn gu2_dx 9 > > = > > ; où Vj désigne la famille des sous-espaces de V de dimension j.

Théorème 2.1 Si le potentiel q est positif et si les hypothèses (2.2), (2.3), (2.4) et (2.6) sont véri…ées, alors les deux premières valeurs propres +1 et 1 sont les seules

valeurs propres principales du problème (2.1). Preuve

Remarquons tout d’abord que si est une valeur propre du problème (2.1) avec le poids g alors ( ) est une valeur propre du problème (2.1) avec le poids ( g) : De ce fait, il su¢ t d’étudier seulement l’existence des valeurs propres principales positives.

Soit +1 la première valeur propre du problème (2.1) associée à la fonction propre dans

V

Nous avons :

a ( ; u) = +₁b ( ; u) ; _{8u 2 V}

Supposons que la fonction _{change de signe sur R}n _{i.e. =} +

; où + (resp. ) la partie positive (resp. négative) de la fonction . Donc,

b ( ; ) = Z Rn g_{j j}2dx = Z Rn g + 2dx = Z Rn g + 2dx + Z Rn g 2dx = ₁ + ₂ et a ( ; ) = Z Rn jr j 2 + q_{j j}2 dx = Z Rn r + 2_{+ q} + 2 _dx = 1+ 2 = a +; + + a ; tel que + 1 = 1+ 2 1+ 2

Il est clair qu’au moins l’une des fonctions + ou _{appartient à V}+ car 2 V+:

Nous pouvons alors distinguer deux cas :

1: 2 > 0

ou

1: 2 < 0

+ 1 min 1 1 ; 2 2 a ( ; ) b ( ; ) = + 1

Ce qui implique que

+ 1 = 1 1 = 2 2

Cette dernière équation prouve que + et sont toutes les deux des fonctions propres associées à +₁:

Dans le deuxième cas nous obtenons :

+ 1 max 1 1 ; 2 2 a ( ; ) b ( ; ) donc + 1 = max 1 1 ; 2 2

Ceci veut dire que l’une des fonctions + ou est une fonction propre associée à +₁: Sans restreindre la généralité, supposons que + est une fonction propre associée à +1:

Appliquons l’identité de Picone à , + (voir [4]) :

Z Rnj j 2 r + 2 dx = Z Rn r + 2_{dx +} Z Rn + 2 _dx = Z Rn + 1g q + 2 dx + Z Rn q +₁g + 2dx = 0

ce qui implique que = c +:

Montrons que +₁ est la seule valeur propre principale positive du problème (2.1). Soit une valeur propre positive du problème (2.1) et soit ' une fonction propre associée à +1.

Supposons que est principale c’est à dire que ' est strictement positive. En appliquant encore une fois l’identité de Picone à ' et nous trouvons :

Z Rn '2 _r ' 2 dx = Z Rnjr j 2 dx + Z Rn 2 ' ' dx (*) = +₁ Z Rn g 2dx

Comme est une valeur propre positive du problème (2.1) nous avons nécessairement :

+ 1

(d’après le principe du Min-Max). De l’égalité ( ) nous obtenons : Z Rn '2 _r ' 2 dx = +₁ Z Rn g 2dx = 0

ce qui implique que ' = c et = +₁.

Théorème 2.2 La première valeur propre +₁ du problème (2.1) est simple. Preuve.

Nous supposons qu’il existe deux fonctions propres ₁ et ₂associées à +₁. En appliquant l’identité de Picone à 1 et 2 nous obtenons :

Z Rn 2 1 r 1 2 dx = 0

Chapitre 3

Opérateurs du second ordre à

coe¢ cients variables

3.1

Introduction

Ce chapitre est consacré à l’étude des problèmes aux valeurs propres associés à des opérateurs formellement autoadjoints, uniformément elliptiques d’ordre deux à coe¢ -cients variables de la forme :

Au = X

jij 1 jjj 1

Di aij(x) Dju

dans Rn n 3.

Nous commençons par étudier des problèmes de la forme : 8 > < > : Au + q (x) u = g (x) u; x_{2 R}n u _! jxj!10 (3.1)

A = n X i;j=1 @ @xi aij(x) @ @xj

Nous allons montrer sous certaines conditions sur le potentiel q et les coe¢ cients aij , le

problème ci-dessus admet deux suites in…nies dénombrables de valeurs propres, et nous prouvons également que la première est principale et simple.

Nous supposons que les coe¢ cients aij véri…ent l’hypothèse d’uniforme ellipticité c’est à

dire : 9 > 0; 8x 2 Rn; _{8 2 R}n; n X i;j=1 aij(x) i j j j 2 (3.2) avec j j2 = n X i=1 2 i

Nous supposons que les coe¢ cients aij sont symétriques c’est à dire

aij = aji (3.3)

De plus

aij 2 L1(Rn) (3.4)

Nous considérons la forme intégrodi¤érentielle :

a (u; v) = Z Rn n X i;j=1 aij(x) @u @xi @v @xj + q (x) uv ! dx

3.2

Existence de valeurs propres principales

Montrons que la forme a (u; v) est continue sur V. En e¤et

ja (u; v)j = Z Rn n X i;j=1 aij(x) @u @xi @v @xj + q (x) uv ! dx ja (u; v)j Z Rn n X i;j=1 aij(x) @u @xi @v @xj dx + Z Rnjq (x) uvj dx ja (u; v)j c1 Z Rnjruj 2 dx 1 2 Z Rnjrvj 2 dx 1 2 + c2 Z Rnjuj 2 dx 1 2 Z Rnjvj 2 dx 1 2

ja (u; v)j c1krukL2_(Rn₎krvk_L2_(Rn₎+ c2kukL2 _(Rn₎kvk_L2 _(Rn₎

c3kuk_Vkvk_V+ c4kuk_Vkvk_V

c_kukVkvkV

Donc la forme a (u; v) est continue La coercivité de la forme a (u; v)

a (u; u) = Z Rn n X i;j=1 aij(x) @u @xi @u @xj + q (x) u2 ! dx

Comme q est positif, nous avons

a (u; u) Z Rn n X i;j=1 aij(x) @u @xi @u @xj dx

En vertu de (3.2), nous obtenons

a (u; u) c Z

Rn

(_ru)2dx:

a (u; u) M_kuk2_V:

Alors la forme a (u; v) est coercive.

Nous nous intéressons à la plus petite valeur propre.

Théorème 3.1 Si le potentiel q est positif et si les hypothèses (2.6), (3.2), (3.3) et (3.4) sont véri…ées alors la première valeur propre positive (resp. négative) du problème (3.1) est une valeur propre principale.

Preuve.

D’après la caractérisation variationnelle de +₁ nous avons :

+ 1 = inf 8 > > > > > < > > > > > : R Rn n X i;j=1 aij(x) @u @xi @u @xj + q (x) u2 ! dx Z Rn gu2_dx ; u_{2 V;} Z Rn gu2dx > 0 9 > > > > > = > > > > > ; Soit la fonction propre associée à +1;donc réalise le minimum,

i.e. + 1 = R Rn n X i;j=1 aij(x) @ @xi @ @xj + q (x) 2 ! dx Z Rn g 2dx ;

Supposons que change de signe, alors = + :

Posons J ( ; ) = Z Rn n X i;j=1 aij(x) @ @xi @ @xj + q (x) 2 ! dx G ( ; ) = Z Rn g 2dx

Puisque les supports de + et sont disjoints nous avons :

J ( ; ) = J +; + + J ;

G ( ; ) = G +; + + G ;

Il est clair qu’au moins l’une des fonctions + ou _{appartient à V}+ car 2 V+:

Nous pouvons alors distinguer deux cas :

G +; + :G ; > 0

ou

G +; + :G ; < 0

Le premier cas implique que + ainsi que _{sont dans V}+ et donc

+ 1 min ( J +; + G +; + ; J ; G ; ) J ( ; ) G ( ; ) = + 1

Ce qui implique que

+ 1 = J +; + G +; + = J ; G ;

Cette dernière équation prouve que + et sont toutes les deux des fonctions propres associées à +₁: n X i;j=1 @u @xi aij(x) @ @xj + q (x) +₁g (x) ! + _{= 0} n X i;j=1 @u @xi aij(x) @ @xj + q (x) +₁g (x) ! = 0

Alors + et _{sont positives ou identiquement nulles sur R}n_{:(voir corollaire 1.1). Nous}

obtenons une contradiction avec _{qui change de signe sur R}n: Dans le deuxième cas nous obtenons :

+ 1 max ( J +; + G +; + ; J ; G ; ) J ( ; ) G ( ; ) donc + 1 = max ( J +; + G +; + ; J ; G ; )

Ceci veut dire que l’une des fonctions + ou est une fonction propre associée à +1:

De manière arbitraire, nous considérons que + est la fonction propre associée à +₁: i.e. J +; + = +₁G +; + Nous avons J +; + + J ; = +₁ G +; + + G ; Alors J ; = +₁G ;

Ceci est une contradiction avec le fait que G ; est négatif.

Théorème 3.2 La première valeur propre +1 du problème (3.1) est simple.

Preuve.

Nous supposons qu’il existe deux fonctions propres 1 et 2 associées à +

1. Pour tout

2 R; 1 + 2 est aussi une fonction propre associée à +

1; donc 1+ 2 ne change

A =_{f 2 R; ( 1}+ ₂) 0_{g ;} B =_{f 2 R; ( 1}+ ₂) 0_g

A _{et B sont non vides, fermés et A [ B = R: Par conséquent, il existe e 2 A \ B tel} que ₁ +_{e 2} = 0: Ceci implique que les fonctions propres ₁ et ₂ sont linéairement dépendantes

3.3

Cas d’un opérateur général d’ordre deux

Nous étudions maintenant l’existence des valeurs propres associées à des opérateurs uniformément elliptiques et autoadjoints homogènes du second ordre à coe¢ cients va-riables.

Nous considérons le problème : 8 > < > : Au = g (x) u; x _{2 R}n u _! jxj!1 0 (3.5) où A = X jij 1 jjj 1 Di aij(x) Dj

Nous supposons que les coe¢ cients aij sont mesurables, bornés et positifs et qu’ils

ap-partiennent à des espaces appropriés. Autrement dit

aij 2 L1(Rn) ; si ji + jj = 2

aij 2 Ln(Rn) ; si ji + jj = 1 (3.6)

aij 2 L n

2 (Rn) ; si ji + jj = 0

La forme intégrodi¤érentielle associée à l’opérateur A est :

a (u; v) = Z Rn X jij 1 jjj 1 aij(x) DiuDjvdx

Nous retrouvons principalement les résultats du paragraphe précédent.

Proposition 3.1. Si les hypothèses (2.6), (3.2), (3.3) et (3.6) sont véri…ées. Alors le problème (3.5) admet une double in…nité dénombrable de valeurs propres l’une positive tendant vers +1 et l’autre négative tendant vers 1:

Théorème 3.3 Les deux premières valeurs propres +1 et 1 sont les seules valeurs

propres principales du problème (3.5).

Théorème 3.4 La première valeur propre +1 du problème (3.5) est simple.

Conclusion générale

L

e travail accompli est une extension des travaux déjà élaborés sur des domaines bornés. Le choix du potentiel s’est avéré d’une importance capitale pour l’établissement des résultats. Nous souhaitons entreprendre le champ d’investigation sur une classe de potentiel plus élargie. D’autre part les résultats obtenus pour le Laplacien peuvent être étendus à des opérateurs d’ordre 2m à coe¢ cients variables. Il nous semble que la géné-ralisation des résultats obtenus est possible en choisissant les coe¢ cients de l’opérateur dans des espaces appropriés.

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