Développement d’un critère mixte d’optimalité pour les coefficients des multipôles simples et croisés en élasticité

UNIVERSITE Ferhat ABBAS SETIF 1    

THESE 

 Présentée à la Faculté des Sciences  Département de Mathématiques  Pour l’obtention du diplôme de 

DOCTORAT EN SCIENCES 

Option : Mathématiques Appliquées  Par    Mme. YASMINA BELATROUS 

THEME 

Développement d’un critère mixte d’optimalité pour 

les coefficients des multipôles simples et croisés en élasticité 

 

 

Soutenue le : 19 décembre 2019    Devant le Jury: 

MEROUANI Abdelbaki Professeur Université Ferhat Abbas Sétif 1 Président SAHLI Belkacem M.C.A. Université Ferhat Abbas Sétif 1 Rapporteur ZEDAM Lemnaouar Professeur Université Med Boudiaf Msila Examinateur ELLAGGOUNE Fateh Professeur Université 8 mai 1945 Guelma Examinateur KHEMIS Rabah M.C.A. Université 20 aout 1955 Skikda Examinateur BOUREGHDA Abdellatif M.C.A. Université Ferhat Abbas Sétif 1 Examinateur

J'exprime ma profonde reconnaissance à mon Directeur de thèse, Monsieur Belkacem SAHLI, d'avoir accepté de diriger cette thèse. Je le remercie pour ses nombreux conseils, ses orientations, et encouragements, pour ses suggestions et surtout ses corrections tout au long de ce travail.

Je voudrais aussi exprimer ma profonde gratitude envers les membres du jury pour leur disponibilité :

A Monsieur Abdelbaki Merouani, professeur au département de Mathématiques de l'université Ferhat-Abbas, Sétif 1, qui m'a fait l'honneur de présider ce jury.

A Messieurs les professeurs

Lemnaouar Zedam de l'université Mohamed Boudiaf de M'sila,

et Fateh Ellaggoune de l’université 8 mai 1945, Guelma, ainsi qu’aux docteurs Abdellatif

Boureghda de l’université Ferhat Abbas, Sétif 1, et Rabah Khemis de l’université 20 aout 1955-Skikda, qui ont tous accepté d'être les examinateurs de cette thèse.

Je les remercie tous et leur exprime toute ma profonde reconnaissance.

Enfin, j'exprime ma reconnaissance et ma gratitude à tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à la réalisation de ce travail.

SOMMAIRE

Introduction………. 01

Chapitre 1 : Formulation du problème……...……….04

Chapitre 2 : Critère d’optimalité usuel……...……….…………. 11

- Choix optimal des coefficients des multipôles simlpes ……….11

- Choix optimal des coefficients des multipôles croisés………....21

Chapitre 3 : Critère d’optimalité du nombre de conditionnement (cas du cercle)……...………..……….……….29

Chapitre 4 : Critère d’optimalité du nombre de conditionnement (cas du cercle légèrement déformé)……….………..….43

Chapitre 5 : Critère d’optimalité mixte (cas des coefficients simples)...….61

Conclusion ………...…………...….72

Annexe 1 ………...…...….75

Annexe 2 ………...……...….78

INTRODUCTION

L’étude des problèmes de diffraction des ondes (de gravité,

acoustiques, élastiques et électromagnétiques) dans un milieu contenant une partie non homogène (cavité, inclusion ou autres …) se formule très

souvent sous la forme d’un problème aux limites. La résolution de ce

problème peut se faire par diverses méthodes (différences finies, éléments finis, etc.…) [1,10,19,20,28,29,30]. Dans le cas de milieu infini, la méthode des représentations intégrales semble être la mieux adaptée pour la résolution de ce type de problèmes. Cette méthode réduit la résolution du

problème à celle d’une équation intégrale sur la frontière délimitant le

domaine. Cette équation intégrale peut être soit de premier espèce ou bien de second espèce. Cependant, un problème d’unicité de la solution de

l’équation intégrale apparaît. Cette anomalie est liée à la méthode de résolution utilisée plutôt qu’a la nature physique du problème. Certaines

solutions ont été proposées pour contourner cette anomalie (voir [6,7,8] pour une discussion détaillée des solutions proposées). Certaines de ces solutions sont basées sur la modification du noyau de l’équation intégrale, c'est-à-dire, la modification de la solution fondamentale connue sous le nom de fonction de Green. Cette modification fait intervenir des coefficients complexes appelés coefficients des multipôles, et qui doivent satisfaire à une condition large (1.24). Dans le cas d’ondes acoustiques, KLEINMAN, ROACH, KRESS et JONES [7,16,18] ont présenté une méthode de détermination d’un choix optimal de ces coefficients. Cette

méthode s’appuie sur la minimisation de la norme de l’opérateur intégral qui définit l’équation intégrale modifiée. La minimisation de la norme de

cet opérateur est liée à la convergence de la méthode itérative utilisée pour la résolution de cette équation intégrale modifiée, à savoir la méthode des

approximations successives. SAHLI [21, 27], a utilisé cette même méthode,

mais pour le cas d’ondes élastiques en deux dimensions, et Dans [3],

ARGYROPOULOS et KIRIAKI ont étudié le même cas, mais en trois dimensions. La particularité de ces ondes élastiques est la relative

complexité de l’équation différentielle régissant le phénomène de

diffraction.

D’autres travaux [4, 23, 24, 25, 26], ont développé un deuxième

critère d’optimalité pour les coefficients des multipôles, en minimisant la

norme du noyau de l’opérateur intégral modifié, à savoir, la norme de la

fonction de Green. Ce deuxième critère d’optimalité, est motivé par le fait,

qu’à travers la minimisation de la norme de la fonction de Green, on

minimise aussi la différence entre la fonction de Green modifié et la fonction de Green exacte.

Un troisième critère d’optimalité des coefficients des multipôles, a fait l’objet d’un récent développement, dans lequel SAHLI et DJENAIHI

[11, 22], a déterminé un autre choix optimal des coefficients des

multipôles, en prenant comme critère d’optimalité, la minimisation de la

norme de l’opérateur traction lié à la fonction de Green modifiée. Ce critère d’optimalité, est motivé par le fait, qu’à travers la minimisation de la norme de l’opérateur traction appliqué à la fonction de Green, on minimise

ainsi la norme de la différence entre le noyau modifié et le noyau exact de

l’opérateur intégral modifié.

Se basons sur les travaux d’ARGYROPOULOS, KIRIAKI et GINTIDES [2, 5], ainsi que GINTIDES, MINDRINOS et PALLIKARAKIS [9, 12, 13, 14, 15], on se propose dans ce travail de

limites régissant le phénomène de diffraction d’ondes élastiques. Le choix de ce nouveau critère d’optimalité, est lié directement à la stabilité numérique de la solution de l’équation intégrale modifiée. Notre travail qui porte sur les choix optimaux des coefficients des multipôles dans le cas

d’ondes élastiques en deux dimensions, est structuré en quatre parties. La

première partie est consacrée à la formulation mathématique du problème. Dans la deuxième partie, on rappel le choix optimal des coefficients des

multipôles dans le cas d’une frontière quelconque, en utilisons d’autres critères d’optimalité. La troisième partie traite à titre indicatif, le cas d’une frontière ayant la forme d’un cercle, des résultats intéressants sont obtenus, en minimisant le nombre de conditionnement de l’opérateur intégral

modifié, dans le but énoncé ci-dessus, mais également, afin d’assurer la convergence de la méthode itérative utilisée pour la résolution de

l’équation intégrale modifiée régissant le phénomène de diffraction d’ondes

élastiques, pour un rayon de convergence aussi grand que possible. Dans cette partie, la fonction de Green sera modifiée de deux façons différentes,

l’une en utilisant des coefficients des multipôles simples, et l’autre en

utilisant les coefficients des multipôles croisés. Et dans la dernière partie,

on étudie le cas d’une frontière ayant la forme d’un cercle légèrement

déformé. Le travail se termine par une conclusion avec un résumé des principaux résultats obtenus.

1 e 2 e o D  D 1 X 2 X P r D 

CHAPITRE 1

FORMULATION DU PROBLEME

Dans ce qui suit, on présente la formulation mathématique du

problème. Nous commencerons tout d’abord par introduire les notations

que nous utiliserons. On considère un domaineD  IR2, homogène, élastique, illimité extérieurement et limité intérieurement par une frontière

D

 (figure 1).



Figure 1 : représentation du domaine

On note par D_ l’intérieur de D tel queIR2  D  D D_

Le problème aux limites auquel nous nous intéresserons se formule comme suit : i) L’équation dans D :

 





rot



rot u

 

P



u

 

P P D K P u div grad k    0  1 1 2 2 (1.1)

ii) La condition sur la frontière D :

 

p f

 

p u T  p  D (Condition de Neumann) Ou bien : (1.2)

 

p g

 

p u  p  D (Condition de Dirichlet) iii) Les conditions de radiation :

Elles s’expriment sous la forme suivante [20]:

    p r P u Lim ' ( ) 0     p r P u Lim '' ( ) 0 0 ) ( . . ) ( 0 ) ( . . ) ( ' ' ' ' 2 1 ' ' 2 1                               P u K i r P u r Lim P u k i r P u r Lim p p r p p r p p (1.3)

où : grad



div u

 

P



k P u 2 ' _{( ) } 1

 



rot u P



rot K P u 2 '' _{( ) } 1 _(1.4) avec :     2 2 2   k et    2 2 _ K

2

 la fréquence des ondes.

T est l’opérateur traction qui agit sur la fonction u

 

p par rapport au point

p. Dans le cas d’un milieu isotrope T prend la forme suivante :

 

 

 

 

n

 

p rot u

 

p p D n p u p u div p n p u T p        .ˆ . 2 .ˆ (1.5)

où nˆ

 

p est la normale en pdirigée vers l’extérieur de D_.

Le problème aux limites tel qu’il est définit possède une solution unique

pour toutes les valeurs de la fréquence des ondes  [7].2

Pour obtenir une représentation intégrale de la solution de notre problème, une solution fondamentale et singulière est nécessaire. Cette solution est connue sous le nom de tenseur de Green. Dans le cas d’un

milieu homogène et isotrope, ce tenseur s’exprime comme suit [28] :













             I _K grad grad i Q P G 2 0 1 . . . 4 , (1.6)

où I est le tenseur d’unité,  H1₀



K.R



et H1₀



k.R



, H1₀

 

. désigne la fonction de Hankel d’ordre zéro et de premier espèce et R est la distance séparant les deux points Pet Q .

Ayant défini la solution fondamentale, les représentations intégrales

pour la solution de notre problème peuvent être maintenant obtenues. Il y’a deux méthodes pour l’obtention des représentations intégrales, la méthode directe et la méthode indirecte. La méthode directe s’appuie sur l’utilisation de la formule de Green [28], la méthode indirecte s’appuie sur

la notion de potentiel simple couche ou double couche. Nous commencerons par la méthode indirecte. Pour le problème de Dirichlet, la solution est recherchée sous la forme d’un potentiel double couche :

Où W

 

q est une fonction densité définie sur  . Cette représentationD

conduit à l’équation intégrale suivante :

 

p T G

   

q p W q ds W

 

p K W

   

p g p p D W D q q  _ _     



0 0 2 1 . . , 2 1 (1.8)

Où

K

₀ est l’opérateur intégral défini par :



K W

  

p T G

   

p q W q ds p D D q p  



 . . , 0 0 (1.9)

Pour le problème de Neumann, la solution est recherchée sous la forme

d’un potentiel simple couche :

 

P G

   

P q W q ds

   

SW P P D u D q   

_

 . . , 0 (1.10)

Où W

 

q désigne toujours une fonction densité inconnue définie sur  .D

Cette représentation conduit à l’équation intégrale suivante :

  

p K W

 

p f

 

p p D W     ₀ 2 1 (1.12)

Pour la méthode directe, l’application de la formule de Green à la

solution recherchée u et au tenseur de green G₀ dans le domaine limité intérieurement par D et par un cercle de grand rayon r_ (figure 2),

o  D  r D   C

conduit aux relations suivantes, où il a été tenu compte du fait que u et G₀ satisfont à l’équation (1.1) et aux conditions de radiation (1.3) :

 

P



u

 

q T G

 

q P Tu

   

q G q P



ds P D u D q q   

_

 . , . , . _{0 0} (1.13) et

 

p



u

 

q T G

 

q p Tu

   

q G q p



ds p D u D q q   

_

 . , . , . 2 1 0 0 (1.14)

Ce qui conduit à l’équation intégrale suivante :

 

p K u

 

p

  

S f p p D u           0 2 1 (1.16) Les deux équations intégrales (1.12) et (1.16) correspondants respectivement aux représentations intégrales (1.10) et (1.13) du problème donné sont des équations intégrales adjointes. Donc, en vertu des théorèmes de Fredholm [16] si l’une des deux possède une solution unique

il en sera de même pour l’autre. Or il est connu et établi (voir par exemple

[8]) que ces deux équations intégrales ne possèdent pas des solutions

uniques pour un spectre discret des valeurs de la fréquence des ondes  .2 Ce qui est en contradiction avec ce qui a été énoncé un peu plus haut.

Plusieurs méthodes ont été proposées pour contourner cette difficulté. On peut citer entre autre celle qui consiste a perturbé la fonction de Green G₀ en lui ajoutant une série de fonctions appelées multipôles. Dans ces multipôles intervient des coefficients arbitraires. Le tenseur de Green ainsi modifié est donné par [8] :

- Modification avec coefficients des multipôles simples :









_{  }





 

 



      0 2 1 2 1 2 0 1 . . 4 , , m l l m l m l m F P F Q a K i Q P G Q P G      (1.17-a)

- Modification avec coefficients des multipôles simples et croisés :









 

 



 

 

  

_{ }

  

                     0 2 1 2 1 3 3 2 0 1 . . 1 . . 4 , , m l _{m m}l _m l l l m l m l m Q F P F b Q F P F a K i Q P G Q P G         (1.17-b)

où a_mlet b_m sont successivement, les coefficients des multipôles simples et croisés, et

 



_m

   

_{p m p}



m P grad H k r E

F1  1 . .   , F_m2

 

P  rot



H1_m



K.r_p

  

.E_m _p eˆ₃





rp ,p



sont les coordonnées polaires du point, H1m

 

. représente la

fonction de Hankel d’ordre m et de type 1 et

 

_



_



      2 . sin 1 . cos .        p p m p m _m m E avec :       0 2 0 1 m m m 

désigne le produit tensoriel, ˆe₃est le vecteur unité dans la direction de z. Les équations intégrales modifiées correspondantes aux équations (1.12) et (1.16) deviennent alors respectivement :

  

p K W

 

p f

 

p p D W     1 2 1 (1.18)

 

p

 

K u

 

p

  

S f p p D u  1    2 1 (1.19) Où K1 est l’opérateur intégral modifié défini de la même façon que K0

mais avec G0 remplacée par G1.

Le tableau ci-dessous résume les formulations directes et indirectes conduisant à des équations intégrales modifiées de second espèce.

Conditions aux limites Equations intégrales Représentation dans D g u (Dirichlet) g W K W  1  2 1 W D u ₁ (1.20) g D W K W 1 1n 2 1 _{ } W S g D u 1  1 (1.21) f u T  (Neumann) f S W K W 1 ₁ 2 1 _  _{ } f S W D u 1  1 (1.22) f W K W    1 2 1 W S u ₁ (1.23) Où :



D_1ng



  

p T D₁g

 

p

Afin de garantir l’unicité des solutions des équations intégrales

(1.18) et (1.19), une condition suffisante mais pas nécessaire a été établie dans [8]. Cette condition porte sur les coefficients des multipôles et

s’exprime sous la forme suivante :

0 2 1 . 2 1 . 1 2       _        _{ }  m m m m a b a b et 0 4 1 2 1 2 2     _m l m b a (1.24)    m 0: et ,l 1:2

On, remarque alors que la condition (1.24) est une condition large. La

question que l’on se pose est parmi toutes les valeurs possibles que peuvent

prendre ces coefficients, est ce qu’il existe un choix optimal vis-à-vis d’un critère donné? C’est à cette question que l’on essayera de répondre en prenant comme critère d’optimalité la minimisation du nombre de conditionnement de l’opérateur intégral modifié Cond(M).

CHAPITRE 2

CRITERE D’OPTIMALITE USUEL

Dans le chapitre suivant, on énoncera quelques résultats qui nous

seront utiles par la suite, il s’agit des choix optimaux des coefficients des

multipôles simples et croisés [26, 27], et qui traite le critère d’optimalité lié

à la minimisation de la norme de l’opérateur intégral modifié. Ce critère

vise à garantir la convergence de la méthode itérative qui sera utilisée pour

la résolution de l’équation intégrale modifiée (1.18), et ceci pour le plus

grand spectre possible de valeurs de la fréquence . On rappelle que le2 rayon de convergence de la méthode des approximations successives

s’exprime sous la forme suivante [16] :

 D L K _   2 1 2 1 0  (2.1)

2-1 Choix optimal des coefficients des multipôles simples :

2-1-1 Théorème 1:

La norme de l’opérateur intégral modifié K1 est minimisée, si les coefficients des multipôles simples sont choisis comme suit :

l m l m l m f K i a _     2   4 (2.2) Où : 2 l m l m TF     (2.3)    l m l m l m K TF F f 0  ,  (2.4)

Démonstration :

La norme de notre opérateur intégral modifié est minimisée, si les coefficients des multipôles simples l

m

a minimisent la quantité K1w 2 pour

toute fonction wL₂

 

D . Calculons donc la norme K1w 2: 2 0 2 1w K w K  (2.5)





 

           0 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 , , , , 4 m m m m m m m K wTF F w a TF K w F w a K i        





 

           0 2 1 2 0 2 2 2 2 0 2 2 , , , , 4 m m m m m m m K wTF F w a TF K w F w a K i        





 

                 0 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 , , , 4 m n n m n m n m a TF TF F w F w a K i         





 

                 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , , , 4 m n n m n m n m a TF TF F w F w a K i         





 

                 0 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 , , , 4 m n n m n m n m a TF TF F w F w a K i         





                    0 2 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , 4 m n n m n m n m a TF TF F w F w a K i         

C’est un problème de minimisation standard, dont la condition nécessaire pour l’existence d’un minimum est l’annulation de la dérivée.

Donc, si on dérive par rapport aux coefficients 1

n a et 2 n a , on obtient :

 

D L w a w K a w K n n                             2 2 2 1 1 2 1 0 0   (2.6)

Ou sous la forme suivante :

0 , 4 0 2 1 2 1 1 1 2 1 * 0            m l n n l m l m n a TF TF F K i TF K        (2.7) 

En prenant le conjugué et en calculons le produit scalaire de (2.7) et (2.8) avec 1 n F et 2 n F respectivement, on obtient : 0 , 4 , 1 ₂ 1 1 1 1 * 0            n n n n n a TF TF K i F F T K (2.9) 0 , 4 , 2 ₂ 2 2 2 2 * 0            n n n n n a TF TF K i F F T K (2.10)

Les solutions de ce dernier système d’équations sont données par (2.2).

Il reste à démontrer que ce choix des coefficients des multipôles simples minimise effectivement la norme de notre opérateur intégral. Autrement dit, si 0

1

K désigne l’opérateur intégral modifié avec le choix optimal (2.2),

et K1 désigne l’opérateur intégral modifié avec un autre choix quelconque

des coefficients des multipôles, alors on doit avoir :

 

D L w w K w K₁0  ₁   ₂  (2.11)

Supposons pour cela que les coefficients (choisis arbitrairement) dans K1,

puissent s’écrire sous la forme :

 

l m l m l m a a   0  (2.12) Où aml

 

0

 _{sont définis par (2.2), on aura alors :}

     

 

 0   2 1 2 1 0 1 2 0 1 2 1 , , m l l m l m w F h w K w K w K        

 

    w K F w h m l l m l m 0 1 0 2 1 2 1 , ,         

 

        k n m l l m k n l m n k F w F w h h       , , , 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 où : h_ml

 

p _mlTF_ml

 

p (2.13)

le deuxième et le troisième termes du second membre de l’équation (2.13) s’annulent en raison du choix des coefficients dans 0

1

K . Ainsi (2.13) devient :

 

            0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 , m l k n l m n k k n l m Z h h Z w K w K       _(2.14) où :  l  m l m w F Z ,  (2.15)

La validité de notre résultat dépend de la positivité de la forme quadratique :

 

          0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 , m l k n l m n k k n l m Z h h Z       _(2.16)

Pour établir ce résultat, construisons un ensemble de fonctions orthonormées

 

l _ml₀1_::_2

m

U  à partir de

 

l _ml₀1_::2 m

h  , en utilisons par exemple la procédure de Gram-Schmidt [23] et l’indépendance linéaire de

 

l _ml₀1_::_2

m

h  . Il existe alors un ensemble de coefficients



s



p m d , tel que :

 

     0 2 1 2 1 p s s p s l p m l m d U h     _(2.17) On aura donc :

 

            0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 , , p s q r r q s p kr q n s l p m k n l m h d d U U h         _(2.18) * 0 2 1 2 1 D D d d p s ks p n s l p m  

 

     

Où D est la matrice a éléments ls p m

d , et *

D est sa conjuguée Hermitienne.

Mais *

D

D est semi définie positive [28]. Ce qui termine la démonstration du théorème 1.

2-1-2 Lemme 1 :

si D est un cercle de rayon a, alors les expressions des



l



_ml₀1_::_2 m F  sont données par : m m m m m m m m m m F c F a F F c F a F         22 1 22 11 2 2 1 1 2 1 1 , (2.19)

où :

 

 

                2 2 2 / 2 1 2 H ka ka m ka H ak am  m m (2.21)

 

 

                2 2 2 / 2 2 2 H Ka Ka m Ka H aK am  m m (2.22)

   

   

_   _  H ka H Ka ka m Ka H ka H Ka m akK cm m m m m / / 2 (2.23) 2 2 1 m m m m a a  c  (2.24) Démonstration :

En prenant le produit scalaire de (2.7) avec l m F et en utilisons (2.8), on obtient : k l n m m l k l n m k l n m I C  _    _

 

 0   2 1 2 1 (2.25) où : a k n l m k l n m F F I   ,   (2.26)

les expressions de (2.26) pour toutes les valeurs de lk1:2, sont données par [23] :

   _{ } n m m n m a I 11  1 (2.27)    _{ } n m m n m a I 22  2 (2.28)

 





_



12 _{ 1  1} n m m n m c I (2.29)

 





_



21 _{ 1  1} n m m n m c I (2.30)

En utilisons (2.27)-(2.30), on obtient le système linéaire suivant :

        2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 l n m l n m m l n m m l n m l n m m l n m m C a C c C c C a             (2.31)          2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 l n m l n m m l n m m l n m l n m m l n m m C a C c C c C a             (2.32)

Avec le même déterminant non nul donné par (2.24). ce qui conduit alors aux solutions données par (2.19) et (2.20).

2-1-3 Theorème :

Si D est un cercle de rayon a, alors le choix optimal des coefficients des multipôles simples qui minimize la norme de l’opérateur integral modifié define par (2.3), est donné par :





                m m m m m m m m m m m m m m m a c a d c c a a a 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ˆ ˆ . ˆ ˆ ˆ 2 1     (2.33)





                m m m m m m m m m m m m m m m a c c a d c a a a 1 1 2 2 1 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1     (2.34)





                m m m m m m m m m m m m m m m a c a d c c a a a 2 2 1 2 1 1 1 1 2 ˆ ˆ . ˆ ˆ ˆ 2 1     (2.35)





                m m m m m m m m m m m m m m m a c c a d c a a a 1 1 2 2 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1     (2.36) Où :

   

   

                J ka H ka ka m ka H ka J ak a_{m m} m _m m 2 / / 2 1 2 ˆ  (2.37)

   

   

                J Ka H Ka Ka m Ka H Ka J aK a_{m m} m _m m 2 / / 2 2 2 ˆ  (2.38)

   

   

_   _  J ka H Ka ka m Ka H ka J Ka m akK c_{m m} m _m m / / 2 ˆ  (2.39)

   

   

_   _  J Ka H Ka Ka m ka H Ka J ka m akK d_{m m} m _m m / / 2 ˆ _{ (2.40)}

 

 







 

 



 

 

 

 

                  _                  a ka J ka kJ a ka H ka H k a m ka H ka H ka J ka J k a m m m m m m m m m 2 / _/ // // 4 1 2 2 2 2 ˆ _       (2.41)

 



 

 





 

 



 

 

 

 

                         _            a Ka H Ka H K a Ka J Ka KJ a m Ka H Ka H Ka J Ka J K a _m m m m m m m m m 2 _/ / // // 2 2 2 2 2 2 2 ˆ _     (2.42)

 

 





 

 

 

 



 

 



                     _           Ka H Ka H a ka J ka kJ K a Ka H Ka H K ka J ka J k m m m m m m m m m m // / 2 / // 2 2 2 4 ˆ      (2.43)







 

 





 

 



 

 

 

 

_              _       _            a Ka H Ka KH a ka H ka kH a m Ka H Ka H ka H ka H K k m m m m m m m m m _{/ /} 2 // // 2 2 2 2 2 2 2 _     (2.44) Démonstration:

Pour calculer les valeurs des coefficients des multipôles simples l m

a , nous devons calculer les valeurs de l

m

f données par (2.4). Nous avons [23] :

 

 

q

 

q D l m l m p TF q T G q p ds F T K*0



₀ ,     _(2.45)

Si en utilise le développement de la fonction de Green [24] :

 

 

 

 

 

  

                0 2 1 2 1 2 0 ˆ ˆ . 4 . 2 1 , n k _n k _n k k n k n p F q F p F q F K i p q G       (2.46) On obtient :                 

  

     0 2 1 2 1 2 , ˆ , , ˆ . 8 n k l m k n l m k n l m l m l m F F TF TF TF F T K i f          (2.47)

Utilisons (2.19) et (2.20), on obtient les relations suivantes :









                m m m m m m m m m m m m m m m a c a d c c a a K i f f 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . 8    (2.48)









                m m m m m m m m m m m m m m m a c c a d c a a K i f f 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . 8    (2.49)

utilisons (2.48) et (2.49), on obtient les expressions des coefficients des multipôles tel que définis par (2.33)-(2.36).

2-1-4 Théorème :

si D est un cercle de rayon a, et si le choix optimal des coefficients des multipôles simples dans la modification (1.17a) est donné par les relations (2.33) a (2.36). Alors nous avons :

0

1 

K (2.50)

Démonstration :

D’après le lemme 2.1.2 et le théorème 2.1.3, la fonction de Green modifiée

admet le développement suivant :

 

_{  }



 



 

 



         0 2 1 2 1 2 1 . ˆ 4 , m l l m l m l m l m p F p a F p F K i q p G      

 

 



GD p,q GN p,q



2 1   (2.51) Où D G et N

G sont les fonctions de Green pour les problèmes de Dirichlet et de Neumann, sur le cercle respectivement. Alors :

 

p,q 0

GD et TqGN

 

p,q 0 pour Rp a et Rq a (2.52) Après quelques calculs, on obtient :

 

p q T G

 

p q G

T_q D ,  _q D , for R_p R_q a (2.53) Autrement dit, sur le cercle on a :

 

, 0 1 p q  G T_q (2.54) Ce qui implique :

 

D L w w K1 0,   2  (2.55)

d’où K₁w 0, et par conséquent notre équation intégrale admet une solution unique.

2-1-5 Lemme :

Se basons sur la technique utilisée dans [23], on considère une famille de frontières circulaires donnée paramétriquement par :

 

      a p 0 p 2 R (2.56) où  et    

sont des fonctions bornées.

Si on utilise les estimations établies dans [24] pour les vecteurs multipôles, on obtient :

 



 

 

   O p F p F a l m l m   (2.57)

 



 

 

   _{p TF p O} TF_ml  _ml _a  (2.58)

 

      _{F F F O} F_ml _n k   _ml _n k _a   , , (2.59)

 

      O TF TF TF TF a k n l m k n l m      , , (2.60)

 



 

 

   _{p F p O} F_ml  _ml _a  (2.61) 2-1-6 Théorème :

Si D est définit par (2.56), alors le choix optimal des coefficients des

multipôles simples qui minimise la norme de l’opérateur intégral modifié définie par (1.9), est donné par :

 

a O

 

 a a_m11  1_m1  (2.62)

   

a O a am  m  2 1 2 1 (2.63)

   

a O a am  m  1 2 1 2 _(2.64)

   

a O a a_m22  _m22  (2.65) Où aml

 

a

 _{est le choix optimal des coefficients des multipôles simples pour}

Démonstration : de (2.56), on a :

 



 

 

     _{p p O} a l m l m   (2.66)

 

p_ m

 

pa O

 

 m    (2.67) utilisons (2.57)-(2.61), on obtient :

 



 

 

   O p f p f a l m l m   (2.68) Ce qui conduit à (2.62)-(2.65). 2-1-7 Théorème :

Si D est défini par (2.56), et si le choix optimal des coefficients des multipôles simples dans la modification (1.9) est donné par les relations (2.62) à (2.65). Alors nous avons :

 



O

K1  (2.69)

Démonstration :

D’après le théorème (2.1.6), nous avons :



_{ }







 

 G p q T G p q O T_{p p a a} a   , , ₀ 0 (2.70)



_{ }







 

 G p q T G p q O Tq 0 ,  q_a 0 a, a  (2.71)



_{ }







 

 G p q T G p q O Tp 1 ,  p_a 1 a, a  (2.72)



_{ }







 

 G p q T G p q O Tq 1 ,  q_a 1 a, a  (2.73)



_K_w



 

_p



_{K w}



   

_{p O} a a   ₁ 1 (2.73) Utilisons (2.50), (2.73) devient :

 



 

_

 

 O p w K1  (2.74) Ce qui conduit à :

 

 O K1  .

2-2 Choix optimal des coefficients des multipôles croisés : 2-2-1 Théorème 1:

La norme de l’opérateur intégral modifié K1 est minimisée, si les coefficients des multipôles simples et croisés sont choisis comme suit :

/ ) 3 ( ) 3 ( 2 . . 4 . _l m l m l m l m l m l m f g K i a _              (2.75)

 

₂ . _/ . 4 . 1 _l m l m l m l m l m m l f g K i b _              (2.76) Où : 2 ) 3 ( ) 3 ( / . _m l _ml l m l m     _{  }    _(2.77) 2 l m l m TF     (2.78)    (3 )(3) , l m l m l m TF TF     (2.79)    l m l m l m K TF F f *0  ,  (2.80)      l m l m l m K TF F g *0 (3 )(3 ),  (2.81) Démonstration :

La norme de notre opérateur intégral modifié est minimisée, si les coefficients des multipôles simples et croisés l

m

a et bm minimisent la quantité K1w 2 pour toute fonction wL2

 

D . Calculons donc la norme

2 1w K : 2 0 2 1w K w K  (2.82)

 





 





  

                                    0 2 1 2 1 0 ) 3 ( ) 3 ( 0 ) 3 ( ) 3 ( 0 0 2 , , 1 , , , 1 , 4 m l l m l m m l l m l m l m l m m l l m l m w F w K TF b w K TF a w F TF w K b TF w K a K i            





 

           0 2 1 2 0 2 2 2 2 0 2 2 , , , , 4 m m m m m m m K wTF F w a TF K w F w a K i                                                  

 

        _{     }       w F w F TF TF b b TF TF b a TF TF b a TF TF a a K i k n l m m l n k k n l m n m k l k n l m m l k n k n l m n k l m k n l m k n l m , , , 1 , 1 , 1 , 4 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 2     _{   }             

C’est un problème de minimisation standard, dont la condition nécessaire pour l’existence d’un minimum est l’annulation de la dérivée de K1w 2.

Donc, si on dérive par rapport aux coefficients 1

n a , 2 n a et bn, on obtient :

 

D L w b w K a w K a w K n n n                                       2 2 1 2 2 1 1 2 1 0 0 0   (2.83)

Ou sous la forme suivante :

 1 , 0 , 4 0 2 1 2 1 ) 3 ( ) 3 ( 2 * 0 

 

             m l k n k n l m m l k n l m l m k n a TF TF b TF TF F K i TF K           (2.84)  



, 1 ,



0 4 0 2 1 2 1 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3 ( * 0 

 

                  m l k n k n l m m l k n l m l m k n a TF TF b TF TF F K i TF K           (2.85)

En prenant le conjugué et en calculons le produit scalaire de (2.84) et (2.85) avec k n F , on obtient :  



, 1 ,



0 4 , (3 )(3 ) 2 * 0             k n k n n k k n k n k n k n k n a TF TF b TF TF K i F F T K         

 



, 1 ,



0 4 , (3 )(3 ) (3 )(3 ) (3 )(3 ) 2 ) 3 ( ) 3 ( * 0                 k n k n n k k n k n k n k n k n a TF TF b TF TF K i F F T K          (2.87)

Les solutions de ce dernier système d’équations sont données par (2.75) et (2.76), avec un déterminant l/

m 

 non nul. En effet, nous avons en raison de

l’indépendance linéaire des fonctions

 

l _m,_l₀_:1_:2 m TF  et de l’inégalité de Schwartz : ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3 ( 2 2 ) 3 ( ) 3 ( 2 , m l l m l m l m l m l m l m TF TF TF TF       _{  }          _{ } 

Ce qui entraine que :

0 . (3 )(3 ) 2 /      l m l m l m l m     _{  }

Il reste à démontrer que ce choix des coefficients des multipôles simples et croisés minimise effectivement la norme de notre opérateur intégral. Autrement dit, si 0

1

K désigne l’opérateur intégral modifié avec le choix

optimal (2.75)-(2.76), et K1 désigne l’opérateur intégral modifié avec un

autre choix quelconque des coefficients des multipôles, alors on doit avoir :

 

D L w w K w K  1   2  0 1 (2.88)

Supposons pour cela que les coefficients (choisis arbitrairement) dans K1,

puissent s’écrire sous la forme :

 

l m l m l m a a   0  (2.89)

 

m m m b b  0  (2.90)

Où a_ml

 

0 et b_m

 

0 sont définis par (2.75)-(2.76), on aura alors :

     

 

 0   2 1 2 1 0 1 2 0 1 2 1 , , m l l m l m w F h w K w K w K        

 

    w K F w h m l l m l m 0 1 0 2 1 2 1 , ,         

 

        k n m l l m k n l m n k F w F w h h       , , , 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1

où : h_ml

 

p _mlTF_ml

   

p  1l_mTF_m(3)(3l)

 

p (2.91)

le deuxième et le troisième termes du second membre de l’équation (2.91) s’annulent en raison du choix des coefficients dans 0

1 K . Ainsi (2.91) devient :

 

            0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 , m l k n l m n k k n l m Z h h Z w K w K       _(2.92) où :  l  m l m w F Z ,  (2.93)

La validité de notre résultat dépend de la positivité de la forme quadratique :

 

          0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 , m l k n l m n k k n l m Z h h Z       _(2.94)

Pour établir ce résultat, construisons un ensemble de fonctions orthonormées

 

01::2    l m l m U  à partir de

 

01::2    l m l m

h  , en utilisons par exemple la procédure de Gram-Schmidt [23] et l’indépendance linéaire de

 

l _ml₀1_::_2

m

h  . Il existe alors un ensemble de coefficients



s



p m d , tel que :

 

     0 2 1 2 1 p s s p s l p m l m d U h     _(2.95) On aura donc :

 

            0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 , , p s q r r q s p kr q n s l p m k n l m h d d U U h         _(2.96) * 0 2 1 2 1 D D d d p s ks p n s l p m  

 

     

Où D est la matrice d’éléments ls

p m

d , et *

D est sa conjuguée Hermitienne.

Mais *

D

D est semi définie positive [24]. Ce qui termine la démonstration du théorème 1.

2-2-2 Théorème :

Si D est un cercle de rayon a, alors le choix optimal des coefficients

des multipôles simples et croisés qui minimise la norme de l’opérateur intégral modifié défini par (1.17b), est donné par :

               m m m m m m m m m m m c c a a a ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 2 / 2 1 1 1     (2.97)                m m m m m m m m m m m d c a a a ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 2 / 2 1 2 1     (2.98)                m m m m m m m m m m m c c a a a ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 2 / 2 1 1 2     (2.99)                m m m m m m m m m m m d c a a a ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 2 / 2 1 2 2     (2.100)                           m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m c a a c d a a c b ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 1 / 2 2 2 2 / 1 1         (2.101)

Où toutes les expressions des différents coefficients qui apparaissent dans les l

m

a et bm sont données dans l’annexe 1 et 2. Démonstration :

Pour calculer les valeurs des coefficients des multipôles simples l m

a , nous devons calculer les valeurs de l

m f et l m g , nous avons [23] :

 

 

q

 

q D l m l m p TF q T G q p ds F T K*0



₀ ,     _(2.102)

Si en utilise le développement de la fonction de Green [24] :

 

 

 

 

 

  

    _          0 2 1 2 1 2 0 ˆ ˆ . 4 . 2 1 , n k _n k _n k k n k n p F q F p F q F K i p q G       (2.103)