RELATION ENTRE ÉNONCÉ DE PROBLÈME
ET SITUATION DE RÉSOLUTION
Jean-Michel BAZIN
Laboratoire d’étude et de recherche en Informatique, Uni. de Champagne-Ardennes Groupe de recherche et d’étude sur les Technologies de l’Information
et de la Communication dans l’Enseignement, I.U.F.M. de Reims
MOTS-CLÉS : ÉNONCÉ DE PROBLÈME – STRATÉGIE DE RÉSOLUTION – HEURISTIQUE
RÉSUMÉ : La conception et la résolution de problème mettent en jeu des processus d’ajout ou de retrait d’information. On décrit ces processus et on montre comment ils peuvent être déterminants dans le choix d’un problème dans une séquence pédagogique.
SUMMARY : Working out problem and solving them induce getting information in or out. The processes involved will be described and the reader will be shown how significant they may be when it cames to choosing a problem within a teaching session.
1. INTRODUCTION
Résoudre des problèmes est un acte fondamental dans l’enseignement des disciplines scientifiques. C’est aussi un moyen de valider les connaissances des étudiants. C’est enfin un défi permanent pour l’intelligence artificielle [3]. En géométrie, les environnements de constructions dynamiques ont apporté un outil nouveau pour explorer la figure et interroger l’énoncé [5]. Nous voulons clarifier les actions mises en œuvre dans la phase préliminaire de lecture de l’énoncé d’un problème et montrer que ces actions sont à relier au choix du problème dans une séquence pédagogique [1] [2] [6]. Après avoir défini des éléments de vocabulaires permettant de caractériser les notions utiles pour décrire le processus de traitement de l’énoncé, nous montrerons comment ces notions sont mises en œuvre différemment par celui qui conçoit le problème ou par celui qui cherche à le résoudre.
2. LE TRAITEMENT PRÉLIMINAIRE DE L’ÉNONCÉ DU PROBLÈME
Les logiciels de micro-monde de géométrie permettent d’explorer la figure, de la déformer sous contrainte. Ils permettent de matérialiser une phase fondamentale de la résolution de problème : la phase préliminaire d’analyse de l’énoncé [5]. Au cours de cette phase, il n’y a pas de déduction profonde, mais plutôt un recueil d’informations qui seront (peut-être) exploitées par la suite. Le cherchant (celui qui cherche à résoudre le problème) peut alors déterminer quels seront les éléments les plus significatifs et les plus importants sur lesquels il fera porter son attention [4] [7].
Plus généralement, entre le rédacteur de l’énoncé d’un problème et le cherchant, l’énoncé peut être vu comme un message échangé. Nous nous trouvons alors devant le schéma classique de la communication : un émetteur (le rédacteur de l’énoncé), un message (l’énoncé), un récepteur (le cherchant). Nous proposons de préciser comment ces notions, classiques en étude de communication, peuvent être appliquées dans le cas d’un énoncé de problème et, dans la suite de notre papier, nous utiliserons les définitions suivantes :
2.1 Atrophie du problème
L’atrophie est l’opération qui consiste à supprimer de l’énoncé du problème des éléments utiles à sa résolution. Nous distinguerons par la suite les atrophies volontaires du rédacteur du problème des atrophies involontaires du cherchant. L’atrophie du rédacteur est en général volontaire : elle a un objectif pédagogique. L’atrophie du cherchant est en général involontaire : elle a pour résultat de perturber, voire de bloquer la résolution du problème. En supprimant volontairement ces données, le
rédacteur de l’énoncé fait disparaître les informations qui permettraient au cherchant de relier entre eux tous les éléments de l'énoncé. Plus généralement, dans les situations où toutes les informations nécessaires à la résolution du problème ne sont pas données dans l'énoncé, on parlera d'énoncé atrophié. Dans ce cas, la difficulté du problème est double. Il faut se rendre compte que l'énoncé est atrophié et il faut tenter de déterminer les informations manquantes.
Le travail en groupe permet généralement de reconstruire ces faits manquants. Choisir les objets à introduire, les questions à poser (à se poser) est très délicat. L'intuition joue ici un rôle fondamental. Dans certains cas, c'est l'«idée géniale » qui permet de conclure. C'est le «Ah Ah ou l'éclair de la compréhension mathématique» dont parle M. Gardner. Nous n'avons pas de méthode miracle à proposer pour permettre au cherchant de développer son intuition, sinon rappeler que l’intuition est souvent préparée par l’expérience, le souvenir et le passage du conscient à l’inconscient d’événements ou de raisonnements ayant marqué un individu.
2.2 Hypertrophie du problème
Lorsque des informations inutiles sont données dans l'énoncé, on dira qu’il est hypertrophié. Dans la pratique, en dehors des problèmes purement mathématiques, dès qu'un énoncé fait référence à une situation de la vie courante, il est très souvent hypertrophié. De plus, le rédacteur d'un énoncé doit souvent habiller le problème afin d'attirer l’intérêt du cherchant, d'éveiller sa curiosité. Lorsque le cherchant est convaincu que le problème est hypertrophié, il faut tenter de déterminer les informations superflues. Par rapport au problème atrophié, la difficulté est d'une autre nature. Dans ce cas, il ne s'agit pas de créer de nouveaux faits, mais plutôt de trier des faits connus, de les hiérarchiser.
Les notions d'énoncés atrophiés ou hypertrophiés permettent de définir l'enveloppe du problème : c'est l'ensemble des faits et des connaissances STRICTEMENT NÉCESSAIRES à sa résolution. Cette découverte est d’autant plus difficile qu’un énoncé peut être à la fois atrophié et hypertrophié. Résoudre un problème, c’est donc commencer par traiter l’énoncé du problème.
3. LES DIFFÉRENTS TRAITEMENTS DE L’ÉNONCÉ D’UN PROBLÈME
Dans cette section, nous allons montrer comment les notions d’atrophie, d’hypertrophie et d’enveloppe jouent un rôle prépondérant dans les mécanismes de résolution. Nous distinguerons d’abord le traitement de l’énoncé par le concepteur du problème, puis le traitement par le cherchant.
Entre le point de départ d’un énoncé minimal (ce qu’il faut et juste ce qu’il faut pour l’expert) et l’arrivée de l’énoncé à son point final (dans le cadre de référence du cherchant), plusieurs transformations peuvent altérer ce contenu. Tout se passe comme si on disposait d’un ensemble de pièces détachées avec instructions de montage nécessaires et suffisantes pour le praticien-technicien (l’expert), mais modifiées soit par les traductions des distributeurs, soit par les interprétations des lecteurs-bricoleurs (les cherchants).
Pour illustrer ces notions, supposons que l’image de l’énoncé, traduit, présenté par l’expert au cherchant soit la surface d’un rectangle.
Deux questions peuvent alors se poser.
- D’où est parti l’expert pour sa construction de l’énoncé ? - Où aboutit le cherchant dans sa perception de l’énoncé ? 3.1 Atrophie et hypertrophie dans la conception de l’énoncé du problème
Le concepteur a pu obtenir un rectangle après plusieurs transformations, en général volontaires : l’hypertrophie, l’atrophie, ou les deux à la fois.
- L’hypertrophie consiste à AJOUTER des informations inutiles à la résolution du problème, ce qui peut parasiter le message et envoyer le cherchant sur une fausse piste.
Il faudra ENLEVER ces données, ne pas en tenir compte, pour obtenir « l’image de l’énoncé avant hypertrophie ».
- L’atrophie consiste à ENLEVER des informations utiles à la résolution du problème, ce qui embarrasse le cherchant ou le pousse à se fixer lui-même des hypothèses.
Il faudra AJOUTER ces données, en tenir compte pour obtenir l’image de l’énoncé, avant atrophie.
- L’action combinée « hypertrophie + atrophie » consiste à AJOUTER certaines informations et à en ENLEVER d’autres, avec les deux conséquences ci-dessus.
La neutralisation de ces deux altérations restituera le point de départ de l’expert, « l’image minimale de l’énoncé ».
Dans le cas du rectangle, on constate que celui-ci a été obtenu à partir d’un Q majuscule, symbolisant la QUESTION d’un problème, ou le mot QUALITÉ dans un Cercle Qualité.
3.2 Atrophie et hypertrophie mises en œuvre par le cherchant au cours de la résolution du problème
Celui-ci peut, à partir du rectangle, opérer les mêmes transformations que ci-dessus, mais elles seront, cette fois, en général involontaires.
- L’hypertrophie va AJOUTER des informations, imaginer un a priori, ce qui peut déboucher sur une impasse.
Il faudra AJOUTER ces données pour obtenir « le perçu de l’énoncé après hypertrophie ».
- L’atrophie va ENLEVER des faits, négliger des données, ce qui peut priver le cherchant d’une indication précieuse.
Il faudra ENLEVER ces faits pour obtenir « le perçu de l’énoncé après atrophie ».
L’action simultanée de ces deux altérations combinera les conséquences décrites ci-dessus. On réalise alors qu’un inoffensif rectangle, issu de la lettre Q (symbole de la Question ou du Cercle Qualité), peut se muer en un très inquiétant revolver illustrant les dangers des filtres de la communication didactique !
4. CONCLUSION
Pour choisir un ou plusieurs problèmes dans une séquence d'enseignement, il semble indispensable de dégager les caractéristiques du contexte en situant le problème posé par rapport aux problèmes d'écoles, réels ou de recherche, de définir l'objectif pédagogique en maîtrisant bien les atrophies et les hypertrophies des énoncés, d’adapter le problème à la séquence pédagogique où il sera présenté aux stagiaires.
BIBLIOGRAPHIE
[1] BAZIN J.-M., BAZIN R., Comment raisonner pour décider, Paris : ESF édition, 1998.
[2] BAZIN J.-M., GEOMUS : Un résolveur de problèmes de géométrie qui mobilise ses connaissances en fonction du problème posé, Thèse de Doctorat, Université, Paris VI, 1993.
[3] LABAT J.-M., Résolution de problèmes : Interactions entre l’homme et la machine, Thèse d’Habilitation à Diriger des Recherches, Université Pierre et Marie Curie, Paris, 1998.
[4] MILLET S., SERAC un système d’évaluation et de révision automatisé des connaissances en EIAO, Thèse De Doctorat, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1997.
[5] LUENGO V., CABRI EUCLIDE : Un micro-monde de preuve intégrant la réfutation, Thèse de Doctorat, Université Joseph Fourier, Grenoble, 1997.
[6] GUIN N., Reformuler et classer un problème pour le résoudre, Thèse de Doctorat, Université Paris 6, 1998.
[7] CHI M., Caracterization and representation of physics problems by experts and novices Cognitive Science, 1981, 5.
[8] GARDNER M., Ha Ha ou l’éclair de la compréhension mathématique, Belin : Pour la science, 1979.
[9] POLYA G., Comment poser et résoudre un problème, Paris : Dunod, 1962. [10] SHOENFELD A. H., Mathematical problem solving, Academic press, 1985.
