Contribution à l'analyse d'équations aux dérivées partielles <br />décrivant le mouvement de fronts avec applications<br />à la dynamique des dislocations.

HAL Id: tel-00170767

https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00170767

Submitted on 10 Sep 2007

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Contribution à l’analyse d’équations aux dérivées

partielles décrivant le mouvement de fronts avec

applicationsà la dynamique des dislocations.

Nicolas Forcadel

To cite this version:

Nicolas Forcadel. Contribution à l’analyse d’équations aux dérivées partielles décrivant le mouvement

de fronts avec applicationsà la dynamique des dislocations.. Mathématiques [math]. Ecole des Ponts

ParisTech, 2007. Français. �tel-00170767�

                     
     !"#$    %#$    &   '  ()*+,-./+-)* 0 123*31456 72 89 /3+-)*5 3/: 7 8 ,-; 8 65 <3,+-61165 7 8= ,-;3*+ 16 >)/;6>6*+ 76 ?,)*+5 3;6 = 3<< 1-= 3+-)*5 0 13 74*3> -9 /6 765 7-51) = 3+-)*5@

ABCDEFCE GE HI JCKGGED IHHL MENOFD GE JCPQ RBSTBUV ME W

XPVUKMEFD W YEFPK ZEPEUDQR[K

\OTTBPDECPU W ]EOF^_KR`EG \BaCEJBbPE

_EDE ABFEP

cdOSKFODECPU W eGKNKEP fGNOPEg

hCQ ZOPGEU

i

CKU jObOPEGGK

XKEPPE jOPMOGKOkCED

l

KPERDECP ME D`mUE W

\

_EU PESEPRKESEFDU UwOMPEUUEFD EF DBCD TPESKEP GKEC x \VkKU _BFFEOC aCK O UC

kCKMEP SEU DPONOC

d

ONER RBSTVDEFREy MQFOSKUSE ED kEFDKGGEUUEz {PONOKGGEP ONER GCK

|CD CF kPOFM `BFFECP ED CFE BRROUKBF ME TPB}DEP ME UO kPOFME RCGDCPE URKEFDK}aCEy

ME UBF KFDCKDKBFy ME UO PKkCECP SOD`VSODKaCEy SOKU OCUUK ME UEU aCOGKDVU `CSOKFEUz

eGKNKEPfGNOPEgSw OKFDPBMCKDx GOD`VBPKE MEUUBGCDKBFUME NKURBUKDV ONER ~EOCRBCT

ME TVMOkBkKEz G Sw O VkOGESEFD TEPSKU ME PEFRBFDPEP \VkKU ED O UCKNK SEU DPONOC

d

MCPOFD REU DPBKU OFFVEUz G SE |OKD VkOGESEFD GE kPOFM `BFFECP ME TOPDKRKTEP x SBF

JCPQz XBCP DBCD REGOyJE GE PESEPRKE NKNESEFDz

]EOF^_KR`EG \BaCEJBbPE O ORRETDV GO GBCPME D€R`E ME POTTBPDEP UCP RE DPONOKGz

AEU PESOPaCEU DPmU JCMKRKECUEU ED RBFUDPCRDKNEU BFD TEPSKU Mw OSVGKBPEP RE DPONOKG ED

JE GwEF PESEPRKEz

_EDE ABFEP O VkOGESEFD ORRETDV GO D€R`E KFkPODE ME POTTBPDECP EDJE GE PESEPRKE

ME UwDPE KFDVPEUUV x SBF DPONOKGz

]E DKEFU x EdTPKSEP SO TGCU TPB|BFME PERBFFOKUUOFRE x hCQ ZOPGEU ED XKEPPE

jOPMOGKOkCED aCK BFD ORRETDV MwDPE SES~PE MC JCPQz ]E DKEFU VkOGESEFD x GEU PE^

SEPRKEP TBCP GEU RBFUEKGUJCMKRKEC

d

aCwKGU BFD UC SE MBFFEP ED TBCP GO MKUTBFK~KGKDV

MBFD KGU BFD |OKD TPECNE DBCD OC GBFk ME SO D`mUEz

YEFPK ZEPEUDQR[K ED iCKU jObOPEGGK SE |BFD GE kPOFM `BFFECP ME |OKPE TOPDKE ME

RE JCPQz ]E GECP EF UCKU TPB|BFMVSEFD PERBFFOKUUOFDz

]E UOGCE ‚POFREURO

l

O iKBy _OCPKgKB ‚OGRBFE ED

c

SKGKOFB jPKUDKOFK ONER aCK JwOK

EC ~EOCRBCT ME TGOKUKP x DPONOKGGEPz

]wOMPEUUE SBF OSKDKV x cGKUO~EDDO jOPGKFKyf`SOM cG YOJJyjQPKG S~EPDy j`PKU^

DKOF hBCDy jOPBGE iE hCQOMEP ED fCPVGKEF _BFDEKGGED ONER aCKJwOK FBCV MEU RBGGO~B^

PODKBFU |PCRDCECUEU ED aCKyJE GE UBC`OKDEyUE TBCPUCKNPBFDz

XOPDKRKTEP OCd fj ƒMQFOSKaCE MEU MKUGBRODKBFU„ ED ƒ_BCNESEFDU MwKFDEP|OREU

ONER DEPSEU FBF^GBROCd„ O VDV CF DPmU kPOFM TGOKUKP ED Sw O TEPSKU ME PEFRBFDPEP

ME FBS~PECUEU TEPUBFFEU aCK BFD UC SE RBFUEKGGEP MOFU SEU PER`EPR`EUz ]E DKEFU

x PESEPRKEP DBCU GEU SES~PEUME REU MECd fjy…OD`OEG fGK~OCMyhCQ ZOPGEUyXKEPPE

jOPMOGKOkCEDy AV~OUDKEF jBGGKFy j`PKUDKFE hEBPkEGKFy X`KGKTTE YBR`y jQPKG S~EPDy

eGKNKEP iEQy fCPVGKEF _BFDEKGGEDycGKUO~ED` \BCQ ED fGK APBCPz

ONBKP ED aCK SwBFD TEPSKU ME SKECd RBSTPEFMPE GO D`VBPKE MEU MKUGBRODKBFUz

iE jc\_jA EUD CF EFMPBKDEdRETDKBFFEGTBCPSEFEPx~KEF CF DPONOKGMED`mUE ED

JE DKEFUx PESEPRKEPDBCUGEU SES~PEUTBCPGO ~BFFE OS~KOFRE aCwKGURPVEFDz‰F SEPRK

TOPDKRCGKEP OCd SES~PEU ŠED OFRKEFU SES~PEU‹ ME GwVaCKTE ŒclX ED _ODVPKOCdŒ W

fMPKEF ZGOFR`EDy fPKEGO ZPKOFKy cGKUO~DDO jOPGKFKy f`SOM cG YOJJy fSKF h`BP~EGy

YOUUOF ~PO`KSy jQPKG S~EPD ED _B`OSSEM cG \`O~Kz



KEFD SOKFDEFOFD GE DBCP ME SO |OSKGGE aCK O JBCV CF PŽGE EUUEFDKEG MCPOFD REU

DPBKU OFFVEUz _EPRK x SEU TOPEFDU TBCP Sw ONBKP DBCJBCPU GOKUUV GE R`BKd MOFU SEU

MVRKUKBFU ED SwONBKP UBCDEFC MOFU DBCDEU GEU EFDPETPKUEU OCdaCEGGEU Jw OK NBCGC SE

PKUaCEPz _EPRK VkOGESEFD x SBF |PmPE ED x UO |ESSEz ]E }FKU TOP REGGE aCK O CFE

TGORE DBCDE TOPDKRCGKmPE WSO |ESSEy _OPJBPKEz_EPRK ME SwONBKP DBCJBCPU UBCDEFC ED

ME GO MQFOSKaCE MEU MKUGBRODKBFU OKFUK aCE UCP GEU GKEFU DPmU |BPDU aCK EdKUDEFD ONER

GEU SBCNESEFDU ME DQTE SBCNESEFD TOP RBCP~CPE SBQEFFEz iEU MKUGBRODKBFU UBFD

MEU MV|OCDU GKFVOKPEU aCK UE MVTGOREFD MOFU GEU RPKUDOCd GBPUaCE RECd^RK UBFD UBCSKU

x MEU RBFDPOKFDEU EdDVPKECPEUz lwCFE SOFKmPE kVFVPOGEy GO MQFOSKaCE MwCFE GKkFE ME

MKUGBRODKBF EUD MVRPKDE TOP CFE VaCODKBF EK[BFOGE B– GO NKDEUUE MVTEFM ME SOFKmPE

FBF GBROGE ME GwEFUES~GE ME GO GKkFEzG EUD VkOGESEFD TBUUK~GE MwOJBCDEP CF DEPSE ME

RBCP~CPE SBQEFFE MOFU GO SBMVGKUODKBFz

i

O TPESKmPE TOPDKE ME RE SVSBKPE EUD RBFUORPVE OCd TPBTPKVDVU aCOGKDODKNEU ME GO

MQFOSKaCE MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBF ŠEdKUDEFREy CFKRKDVy RBSTBPDESEFD OUQSTDB^

DKaCEzzz ‹zjEDDE VDCME PETBUE EF kPOFME TOPDKE UCPGO D`VBPKE MEUUBGCDKBFUME NKURBUKDVz

eF TPBTBUE VkOGESEFD TGCUKECPU UR`VSOU FCSVPKaCEU TBCP REDDE MQFOSKaCE ED BF

SBFDPE GECP RBFNEPkEFRE OKFUK aCE MEU EUDKSODKBFU MwEPPECPU EFDPE GO UBGCDKBF ED UBF

OTTPBdKSODKBF FCSVPKaCEz

l

OFU CFE UERBFME TOPDKE FBCU |OKUBFUGE GKEF EFDPE GO MQFOSKaCE MwCF FBS~PE }FK

ME MKUGBRODKBFU ED GO MQFOSKaCE ME MEFUKDV ME MKUGBRODKBFU EF SBFDPOFD MEU PVUCGDODU

Mw`BSBkVFVKUODKBFz …BCU VDCMKBFU VkOGESEFDy ME SOFKmPE D`VBPKaCE ED FCSVPKaCEy

CF SBMmGE TBCP GO MQFOSKaCE ME MEFUKDV ME MKUGBRODKBFUz

—˜’™š›œ™ • {`KU BP[ MEOGU KD` D`E SBMEGKFky D`E OFOGQUKU OFM D`E FCSEPKROG

OFOGQUKU B| D`E MKUGBRODKBF MQFOSKRU OFM KD` D`E NEPQ UDPBFk GKF[U `KR` EdKUDU

KD` SEOF RCPNODCPE DQTE SBDKBFz lKUGBRODKBFU OPE GKFEOP ME|ERDU `KR` SBNE KF

RPQUDOGU `EF D`BUE OPE UC~JERDEM DB EdDEPKBP UDPEUUz _BPE TPERKUEGQyD`E MQFOSKRU B|

O MKUGBRODKBF GKFE KU MEURPK~EM ~Q OF EK[BFOG EaCODKBF `EPE D`E UTEEM METEFMU KF O

FBFGBROG OQ BF D`E `BGE GKFEz F D`E SBMEGKFky KD KU OGUB TBUUK~GE DB OMM O SEOF

RCPNODCPE DEPSz

{`E }PUD TOPD B|D`KU BP[ KU MENBDEM DB D`E UDCMQ B| D`E aCOGKDODKNE TPBTEPDKEU B|

MQFOSKRU B|O MKUGBRODKBF GKFE ŠEdKUDEFREyCFKaCEFEUUyOUQSTDBDKR ~E`ONKBCPzzz‹z{`KU

UDCMQ PEGKEU EUUEFDKOGGQ BF D`E D`EBPQ B| NKURBUKDQ UBGCDKBFUzžE OGUB TPBTBUE UENEPOG

FCSEPKROG UR`ESE |BP D`KU MQFOSKRU OFM E U`B D`EKP RBFNEPkEFRE OU EGG OU EPPBP

EUDKSODEUz

F O UERBFM TOPDy E EUDO~GKU` D`E GKF[ ~EDEEF D`E MQFOSKRU B| O }FKDE FCS~EP

B| MKUGBRODKBFU OFM D`E MQFOSKRU B| MKUGBRODKBF MEFUKDQ ~Q U`BKFk `BSBkEFKgODKBF

PEUCGDUzžE OGUB UDCMQyKF O D`EBPEDKROG OFM FCSEPKROG OQyO SBMEG |BP D`E MQFOSKRU

¨©ª«¬­®¯ °¬¬®±ª²¯ ³ Š ONER ‚z l O i KB ED \ z _BFFEOC‹ ´µ¶·¸¹ º ¸¶»¸ µ¼ ½ ¶µ¶¾¿µ» ½¿ ¸ÀÁµ¶½¿ ¸ ÂýÄÀµ¶ ĵ ½¶Àŵŵ Æ À» Ǹ ½¶ »Ã¹·½Äù¸ ǵÄÀµ¶È É ÆÆ ¿À» ½ÄÀµ¶ ĵ ÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶Å Ê˶½ÇÀ»Åy

ORRETDV OC ]BCPFOG B| D`E cCPBTEOF _OD`ESODKROG ABRKEDQz

³ Š ONER fz c GYOJJ‹É »µ¶·¸¹ º ¸¶ÄŻ̸Ǹ¼µ¹ ½¶µ¶¾¿µ» ½¿ »µÃ Æ ¿¸ Ê ÅËÅÄ¸Ç ÇµÊ¸¿¿À¶ º ÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶Å ʸ¶ÅÀÄÀ¸Å Ê˶½ÇÀ»ÅyORRETDV x _OD`ESODKRU B| jBSTCDODKBFz ¨©ª«¬­®¯ ¯ÍÎÏ«¯ ®ª Щ®±©«Ñª ³ Ò ÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶Å Ê˶½ÇÀ»Å ÓÀÄÌ ½ Ǹ ½¶ »Ã¹·½Äù¸ ĸ¹Ç Ô Å̵¹Ä ÄÀǸ ¸ÕÀÅĸ¶»¸ ½¶Ê

öÀÂø¶¸ÅÅyUBCSKUx lKbEPEFDKOGOFM FDEkPOGcaCODKBFUz\OTTBPDME PER`EPR`E

MC jEPSKRU Ö IHH×^ILØÙz ³ Š ONER c zjOPGKFKy_z‚OGRBFE ED \ z_BFFEOC‹ ´µ¶·¸¹ º ¸¶»¸ µ¼ ½ Ú¸¶¸¹½¿ÀÛ¸ Ê Ü½ÅÄ Ý½¹»ÌÀ¶ º ݸÄ̵ʼµ¹ ½ ¶µ¶¾»µ¶·¸Õ ¸ÀÁµ¶½¿ ¸ ÂýÄÀµ¶y UBCSKU x Af_ JBCPFOG BF …CSEPKROG fFOGQUKUz \OTTBPD ME PER`EPR`E MC jEPSKRU Ö IHHÞ^ØI×Ùz ³ ɶ ¸¹¹µ¹ ¸ÅÄÀǽĸ ¼µ¹ ½ ¶¸Ó Ż̸Ǹ ¼µ¹ Ǹ½¶ »Ã¹·½Äù¸ ǵÄÀµ¶y UBCSKU x

Af_ JBCPFOGBF …CSEPKROGfFOGQUKUz\OTTBPDME PER`EPR`E MC jEPSKRU ÖIHHÞ^

ØØßÙz ³ Š ONER jz S~EPD ED \z _BFFEOC‹ àµÇµ º ¸¶ÀÛ½ÄÀµ¶ µ¼ Ä̸ Ê˶½ÇÀ»Å µ¼ ÊÀÅ¿µ» ½¾ ÄÀµ¶Å ½¶Ê µ¼ ŵǸ ÅËÅĸÇÅ µ¼ Æ ½¹ÄÀ»Ã¿¸Å ÓÀÄÌ ÄÓµ¾áµÊË À¶Ä¸¹½»ÄÀµ¶Åy UBCSKU x

lC[E _OD`ESODKROGJBCPFOGz XPETPKFD MVTBUV UCP Yfiz

³

Š ONER fz _BFDEKGGED‹ ÝÀ¶ÀÇÀÛÀ¶

º

ǵ·¸Ç¸¶ÄÅ ¼µ¹ ÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶ Ê˶½ÇÀ»Å ÓÀÄÌ ½

Ǹ ½¶ »Ã¹·½Äù¸ ĸ¹Çy UBCSKU x jBFDPBGy eTDKSKUODKBF OFM jOGRCGCU B| OPKO^

DKBFUzz

X

PETPKFD MVTBUV UCP Yf

i z

³ Š ONER XzjOPMOGKOkCEDy‚zlO iKB ED\z_BFFEOC‹ Ò ÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶ Ê˶½ÇÀ»Å Ô½¶µ¶¾ ¿µ» ½¿ ǵ·À¶ º áµÃ¶Ê½¹ËyTPBREEMKFkU MC RBFkPEU ‚ZX IHH×y jBKS~POyXBPDCkOGy

FDEPFODKBFOG AEPKEU B| …CSEPKROG _OD`ESODKRUy BGz ä×ßy ZKP[`OåUEP EPGOk

ZOUEGæAKDgEPGOFMy äI×^äØ×y ŠIHHދz

³ Š ONER cz jOPGKFK ED cz jPKUDKOFK‹ É ¶µ¶¾Çµ¶µÄµ¶¸ ܽÅÄ Ý½¹»ÌÀ¶ º Ż̸Ǹ¼µ¹ ½ à½ÇÀ¿Äµ¶¾ç½»µáÀ ¸ ÂýÄÀµ¶ ǵʸ¿À¶ º ÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶ Ê˶½ÇÀ»Åy …CSEPKROG _OD`E^ SODKRU OFM fMNOFREM fTTGKRODKBFU X PBREEMKFkU B| c …‰_f{Y IHH× D`E ÞD`

cCPBTEOF jBF|EPEFRE BF …CSEPKROG _OD`ESODKRU OFM fMNOFREM fTTGKRODKBFUy

AOFDKOkB ME jBSTBUDEGOyATOKFy]CGQ IHH× ZEPSMEg ME jOUDPBy fzèhSEgylzè

éCKFDEGOy Xzè AOGkOMByXz ŠcMUz ‹z ¨©ª«¬­® ®Ñ ¬ÍΩ¯ â® ©²â°¬ª«ÍÑ ³ Š ONER \z_BFFEOC‹ êÕÀÅĸ¶»¸ µ¼ ŵ¿ÃÄÀµ¶Å¼µ¹ ½ ǵʸ¿ ʸŻ¹ÀáÀ¶ º Ä̸ Ê˶½ÇÀ»Å µ¼ ëö»ÄÀµ¶Å á¸ÄÓ¸¸¶ ÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶Åz

¤p p£sqo

íѪ©Íâάª«ÍÑ ã²Ñ²©°­® î

ä _BDKNODKBFU T`QUKaCEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ä

I cFBFRVU MEU PVUCGDODU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I

Izä lQFOSKaCE MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBF z z z z z z z z z z z z z z I

Izäzä _BMVGKUODKBF UCRRKFDE z z z z z z z z z z z z z z z z z I

Izäz I \VUCGDODU MwEdKUDEFRE ED MwCFKRKDV EF DESTU RBCPD z z ß

IzäzØ \VUCGDODU MwEdKUDEFRE ED MwCFKRKDV EF DESTU GBFk z z z L

Izäzß jBSTBPDESEFD x kPOFME VR`EGGE z z z z z z z z z z z z äH

Izäz × fFOGQUE FCSVPKaCE ME GO MQFOSKaCE MwCFE GKkFE ME

MKUGBRODKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äß

Iz I lQFOSKaCE ME JBFRDKBFU EFDPE MKUGBRODKBFU z z z z z z z z z z z I×

IzIzä _BMVGKUODKBFME GO MQFOSKaCE MEJBFRDKBFUEFDPE MKU^

GBRODKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×

IzIz I

\

VUCGDOD MwEdKUDEFRE TBCP GO MQFOSKaCE MEJBFRDKBFU

EFDPE MKUGBRODKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IL

IzØ YBSBkVFVKUODKBF ME GO MQFOSKaCE ME MKUGBRODKBFU z z z z z z z Iï

Izß lQFOSKaCE ME MEFUKDVU ME MKUGBRODKBFU z z z z z z z z z z z z z ØØ

ð ñòó ‘ôˆ’›™ˆò õ óö ô› ó÷õ ›”ˆø ö ó ù“ õö ôˆú õö óö ó ˆ’ôòœ›™ˆò õ ûü ä XPBTPKVDVU MEU MKUGBRODKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØL

I _BMVGKUODKBF ME GO MQFOSKaCE MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBF z z z z z z z ßä

ý þ÷õ ›”ˆø“ ö óö ’ ó ˆ’ôòœ›™ˆò õ ’›öœ™öš” ö óö œò“š˜“šö ” ò÷öõõö • öÿ ˆ’ ™öõœö ö™ “õˆœˆ™‘ öõ ™ö”
’ œò“š™  ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ßÞ I XPEUEFDODKBF B| D`E SBMEG z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ßï Ø _OKF PEUCGD z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ×H ß XPEGKSKFOPQ PEUCGDU |BP O GBROG TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z z z z ×I

ßzä cdKUDEFRE OFM CFKaCEFEUU |BP D`E TPB~GES ŠIzäL‹ z z z z z z z z ×Ø

ßz I \EkCGOPKDQ PEUCGDU |BP D`E GBROG TPB~GES z z z z z z z z z z z z z Þ×

× {`E FBF GBROG TPB~GES W TPBB| B| {`EBPES Øz I z z z z z z z z z z z z z Þ

Þ fTTEFMKd W TPBB| B| D`E TOPO~BGKR NEPUKBF B| U`KKwU ¸Çǽ z z z z z z LØ

ñ û ñò “ö” ö õ™’ ”ˆõˆ”ˆ’›õ™’
ò “š ô› ó÷õ ›”ˆø“ ö ó ö’ ó ˆ’ôòœ›™ˆò õ ’ ›öœ ™öš”ö óö œò“š˜“šö ”ò÷öõõö üü ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Lï

I cdKUDEFRE B| SKFKSKgKFk SBNESEFDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ïß

Izä

F

^SKFKSKgEPU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ïß Iz I _KFKSKgKFk SBNESEFDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ïï Ø \EkCGOPKDQ |BP

F

^SKFKSKgEPU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I Øzä cdKUDEFRE B| DOFkEFD RBFEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I Øz I \EkCGOPKDQ B|

F

^SKFKSKgEPU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ß ß {`E CTTEP OFM GBEP GKSKDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z L ßzä EGBRKDQ B|

E

∗

OFM

E

_∗

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ï ßz I \EkCGOPKDQ B|

E

∗

OFM

E

_∗

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äHH ßzØ jBSTOPKUBF OD KFKDKOG DKSE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äHß

× _KFKSKgKFk SBNESEFDU OFM EO[ UBGCDKBFU z z z z z z z z z z z z z z z äHß

Þ jBSTOPKUBF KD` D`E USBBD` B z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äHÞ L c dKUDEFRE B| USBBD` UBGCDKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äHï Lzä cdKUDEFRE B| USBBD` UBGCDKBFU |BP D`E GBROG TPB~GES z z z z z z äHï Lz I cdKUDEFRE B| USBBD` UBGCDKBF |BP D`E FBF^GBROG TPB~GES z z z z äää   ò õöšú öõ œö ó ù“ õö ‘ø“›™ˆò õ öˆò õ ›ôö õòõ ôòœ›ôö öš’ ôö ” ò “ö” ö õ™
›š œò“š˜“šö ”ò÷öõõö ›õ ˆ’ò ™šò
ö —

ôˆœ›™ˆò õ’ ô› ó÷õ›” ˆø“ ö óö’ ó ˆ’ôò œ› ™ˆò õ’ ðð ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äIH äzä X`QUKROG SBDKNODKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äIH äz I _OD`ESODKROG UEDDKFk B| D`E TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z äII

äzØ _OKF PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äIØ

äzß ePkOFKUODKBF B| D`E TOTEP z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äIL

I cdKUDEFRE OFM CFKaCEFEUU |BP D`E

ε

^TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z äIL

Ø {`E GKSKD TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äØÞ

ß jBFNEPkEFRE B| D`E NEGBRKDQ |BP O DEUD |CFRDKBF z z z z z z z z z z z z z äØL

ßzä iKF[ KD` BD`EP BP[U z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äØL

ßz I XPBB| B| RBFNEPkEFRE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äØ × É Æ ¹Àµ¹À EUDKSODE OD KFKDKOG DKSE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äßï Þ XPBB| B| D`E RBFNEPkEFRE {`EBPES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ä×ä L XPBB| B| {`EBPES äzL z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ä×ß

ï YECPKUDKROG RBFNEPkEFRE OFM UBSE TPBTEPDKEU B| D`E EFEPkKEU z z z z z z äÞß

ïzä _BFBDBFKRKDQ B| D`E EFEPkQ z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äÞß

ïz I ‚BPSOG RBFNEPkEFRE B| D`E EFEPkQ z z z z z z z z z z z z z z z z äÞ×

ññ   õö ö’™ˆ”›™ˆò õ óùö ššö“š
ò “š “ õ õò “ö›“ ’œ‘”›
ò “š ôö ” ò “ö ”öõ™
›š œò“š˜“šö ”ò÷öõõö ðüð ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äLI I _OKF \EUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äLß

Izä cPPBP EUDKSODE |BP _EOF jCPNODCPE _BDKBF z z z z z z z z z z z äLß

Iz I lKURPEDE^RBFDKFCBCU EPPBP EUDKSODE |BP MKUGBRODKBFU MQFOSKRU z äL×

IzØ lKURPEDE RBFDKFCBCU EPPBP EUDKSODE |BP _EOF jCPNODCPE _BDKBF äLL

Ø …CSEPKROG UR`ESE |BP SEOF RCPNODCPE SBDKBF z z z z z z z z z z z z z äL Øzä XPBB| B| {`EBPES Izß z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äL Øz I XPBB| B| {`EBPES Iz L z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äïH ØzØ ž`OD `OTTEFU K| E R`OFkE D`E [EPFEG z z z z z z z z z z z z z äïä ß XPBB| B| {`EBPES Izä z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z äïI × …CSEPKROG UR`ESE |BP MKUGBRODKBFU MQFOSKRU z z z z z z z z z z z z z z äïÞ ×zä l E}FKDKBFU OFM TPEGKSKFOPQ PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z äïÞ

Þ …CSEPKROG AKSCGODKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ä

Þzä YB DB UBGNE D`E KSTGKRKD UR`ESE z z z z z z z z z z z z z z z z ä Þz I f RBGGOTUKFk RKPRGE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ä ÞzØ ‚ODDEFKFk T`EFBSEFO z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IHH   ò õöšú öõ œö ó ù“ õö ”‘™ òóö ›’™ ñ ›šœˆõú ú‘õ‘š›ôˆ’‘ö
ò “š “ õö ‘ø“›™ˆòõ öˆòõ›ôö õòõ œòõöÿö ýû ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IHß

I {`E h‚__ OGkBPKD`S OFM D`E SOKF PEUCGD z z z z z z z z z z z z z z z IHL

Izä {`E OGkBPKD`S UDET^~Q^UDET z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IHï

Iz I {`E SOKF PEUCGD z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IäH Ø ]CUDK}RODKBFU OFM EdOSTGEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Iää Øzä FDPBMCRDKBF B| D`E FCSEPKROG UTEEM

bc

n

I

z z z z z z z z z z z z z Iää Øz I FDPBMCRDKBF B| D`E DKSE UDET z z z z z z z z z z z z z z z z z z IäØ ØzØ ž`Q E CTMODE D`E |PBFD CUKFk

t

KFUDEOM B|

bt

z z z z z z z z z IäØ

ß jBSTOPKUBF TPKFRKTGEU |BP D`E h‚__ OGkBPKD`S z z z z z z z z z z z z Iä×

ßzä AQSSEDPQ B| D`E OGkBPKD`S z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IäÞ

ßz I jBSTOPKUBF TPKFRKTGEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IäÞ

ßzIzä jBCFDEP^EdOSTGE |BPD`E RBSTOPKUBF TPKFRKTGE KF kE^

FEPOG z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IIH

× XPEGKSKFOPQ PEUCGDU BF D`E MKURPEDE DKSE OFM BF D`E GENEG UEDU B| DEUD

|CFRDKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IIä

×zä XPEGKSKFOPQ PEUCGDU BF D`E MKURPEDE DKSE z z z z z z z z z z z z z IIä

×z I XPEGKSKFOPQ PEUCGDU BF D`E GENEG UEDU B| DEUD |CFRDKBFU z z z z z IIß

Þ

X

PBB| B| {`EBPES Iz× z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IØH

L …CSEPKROG DEUDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IØ

ñ ü ÿ ˆ’™ö õ œö óö ’òô“™ˆò õ
ò “š “ õ ” òó ôö ó ‘œšˆ›õ™ ô› ó÷õ ›”ˆø“ ö óö òõœ™ˆòõ’ öõ™šö óˆ’ôòœ›™ˆòõ’ ý ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IßÞ äzä X`QUKROG SBDKNODKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IßÞ äz I f T`OUE }EGM SBMEG |BP D`E MQFOSKRU B|JCFRDKBFU z z z z z z z IßL äzØ _OKF PEUCGD z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Ißï äzß ePkOFKUODKBF B| D`E TOTEP z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Iß äz × …BDODKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×H I XPEGKSKFOPQ PESOP[U BF D`E SBMEGGKFk z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×H Izä lQFOSKRU B| O UKFkGE MKUGBRODKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z I×H Iz I cdTGKRKD EdTPEUUKBF B|

b

C

0

|BP KUBDPBTKR SODEPKOGU z z z z z z z z I×H

Ø fF OTTPBdKSODE TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×ä

Øzä XPEGKSKFOPQ PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×I

Øz I XPBB| B| {`EBPES Øzä z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×× ß f TPKBPK EUDKSODEU OFM TPBB| B| {`EBPES äzä z z z z z z z z z z z z z z I×L ßzä f TPKBPK EUDKSODEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×L ßz I XPBB| B| {`EBPES äzä z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IÞI × fTTEFMKd z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IÞß  ò”ò ú ‘õ‘ ˆ’›™ˆò õ óö ô› ó÷õ›” ˆø“ ö óö’ ó ˆ’ôò œ› ™ˆò õ’ ö™ óö œöš ™›ˆõ ’ ’÷’™” ö ’ óö
›š™ˆœ“ôö’ ›öœ ˆõ™öš›œ™ˆò õ ’
›š
›ˆšö’ ýü ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IÞï I _OKF PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ILI Izä hEFEPOG `BSBkEFKgODKBF PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z ILI

Iz I fTTGKRODKBF DB D`E `BSBkEFKgODKBF B| TOPDKRGE UQUDESU KD`

DB^~BMQ KFDEPORDKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ILÞ

Ø X`QUKROG MEPKNODKBF B| D`E SBMEG |BP MKUGBRODKBF MQFOSKRU z z z z z z z ILï

ß KURBUKDQ UBGCDKBFU |BP FBF^GBROG EaCODKBFU Š ïzä‹ OFM ŠïzäI‹ z z z z z z IïH

ßzä lE}FKDKBF B| NKURBUKDQ UBGCDKBFU z z z z z z z z z z z z z z z z z Iïä ßz I ADO~KGKDQ PEUCGDU |BP Š ïzä‹ z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Iïä ßzØ jBSTOPKUBF TPKFRKTGEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IïØ ßzß cdKUDEFRE PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z IïÞ ßz × jBFUKUDEFRQ B| D`E ME}FKDKBF B| D`E kEBSEDPKR SBDKBF z z z z z IïL × cPkBMKRKDQ z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Iï ×zä XPBB| B| {`EBPES ×zä OFM jBPBGGOPQ ×zß z z z z z z z z z z z z z Iä ×z I XPBB| B| {`EBPES ×zä KF D`E ROUE

N = 1

z z z z z z z z z z z z Iß Þ {`E TPBB| B| RBFNEPkEFRE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z I×

L éCOGKDODKNE TPBTEPDKEU B| D`E EbERDKNE YOSKGDBFKOF z z z z z z z z z z z ØHH

Lzä hPOMKEFD EUDKSODEU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØHH

Lz I AC~^ OFM UCTEPRBPPERDBPU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØHä

LzØ XPBB| B| {`EBPES IzÞ z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØHØ

ññ

ï fTTGKRODKBF W `BSBkEFKgODKBF B| O TOPDKRGE UQUDES z z z z z z z z z z z ØäH

ïzä {`E kEFEPOG ROUE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØäH

ïz I cdDEFUKBF DB D`E MKUGBRODKBF ROUE

V (x) =

− ln |x|

z z z z z z z z Øäß  ò õöšú öõœö óù“õ ’œ‘”›
ò“š “õ ’÷’™”ö œò“
ô‘ õòõ ôòœ›ô ”òó‘ ôˆ’›õ™ ô› ó÷õ ›”ˆø“ ö óö óöõ ’ˆ™‘ óö ó ˆ’ôòœ›™ˆò õ ’ ûð ä FDPBMCRDKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØIH

äzä XPEUEFDODKBF OFM T`QUKROG SBDKNODKBFU z z z z z z z z z z z z z ØIH

äz I _OKF \EUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØIä I …BDODKBF z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØI× Ø _BMEGGKFk z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØI× ß {`E RBFDKFCBCU TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØI ßzä {`E GBROG TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØI ßz I {`E FBF^GBROG TPB~GES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØØï × …CSEPKROG UR`ESE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ØßH ×zä fTTPBdKSODKBF B| D`E GBROG UQUDES z z z z z z z z z z z z z z z ØßH ×z I fTTPBdKSODKBF B| D`E FBF^GBROG UQUDES z z z z z z z z z z z z z ØßÞ Þ …CSEPKROG PEUCGDU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Ø×ä Þzä …CSEPKROG EPPBP EUDKSODE z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Ø×ä

Þz I lKUGBRODKBF MEFUKDQ MQFOSKRU z z z z z z z z z z z z z z z z z z Ø×ä

ÍѬ­Î¯«ÍÑ ®ª Ю©¯±®¬ª«®¯ 

ñ

jEDDE D`mUE TBPDE UCP GO SBMVGKUODKBF ED GwVDCME SOD`VSODKaCE ME GO Ê˶½ÇÀÂø

ʸŠÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶Å OFUK aCE UCP GEU GKEFU DPmU |BPDU aCK EdKUDEFD ONER GEU SBCNESEFDU ME

DQTE ǵ÷¸Ç¸¶Ä

Æ

½¹ »µÃ¹áù¸ ǵ˸¶¶¸z

!

!" "#$ 

‰FE MKUGBRODKBF EUD CF MV|OCD GKFVOKPE aCK RBPPEUTBFM x CFE MKURBFDKFCKDV MOFU

GwBPkOFKUODKBF ME GO UDPCRDCPE RPKUDOGGKFEz iEU MKUGBRODKBFUy MBFD GwBPMPE ME GBFkCECP

DQTKaCE MOFU GEU SODVPKOC d EUD

10

−6

_m

ED GwVTOKUUECP

10

−9

_m

y BFD VDV KFDPBMCKDEU TOP ePBOF Öä×HÙy XBGOFQK Öä××Ù ED {OQGBP ÖäLÞÙ MOFU GEU OFFVEU äØH RBSSE GwCFE MEU

TPKFRKTOGEU EdTGKRODKBFU x GwVR`EGGE SKRPBURBTKaCE MEU MV|BPSODKBFU TGOUDKaCEU SO^

RPBURBTKaCEU MEU RPKUDOC

d

z jE RBFRETD |CD RBF}PSV MOFU GEU OFFVEU ä×H TOP GEU

TPESKmPEU B~UEPNODKBFU MKPERDEU ME MKUGBRODKBFU TOP YKPU`y YBPFEy ž`EOF ÖäH×Ù ED

ZBGGSOF ÖØïÙ kP€RE x GO SKRPBURBTKE VGERDPBFKaCE ŠNBKP ‚KkCPE ä TBCP CF EdESTGE

MwB~UEPNODKBF ME MKUGBRODKBFU‹z

l

OFU GO UDPCRDCPE x |ORE RC~KaCE REFDPVEy GEU MKUGB^

RODKBFU UE MVTGOREFDy OC SBKFU x ~OUUE DESTVPODCPE TOP POTTBPD x GO DESTVPODCPE

ME |CUKBFy MOFU MEU TGOFU RPKUDOGGBkPOT`KaCEU ~KEF MV}FKU ŠGEU TGOFU ME kGKUUESEFD‹

x MEU NKDEUUEU ME GwBPMPE ME

10 ms

−1

ŠGEU NKDEUUEU TECNEFD 

DPE NOPKO~GEU UCKNOFD GEU

SODVPKOCd‹z…BCU PEFNBQBFU x YKPD`yiBD`E ÖäHÞÙ TBCP CFE MEURPKTDKBF TGCU MVDOKGGVE

MEU MKUGBRODKBFUz

iwVDCME D`VBPKaCE MEU MKUGBRODKBFU OKFUK aCE GE MVNEGBTTESEFD ME SBQEFU MwKF^

NEUDKkODKBF RBSSE GO SKRPBURBTKE VGVRDPBFKaCE BFD TEPSKU ME SKECd RBSTPEFMPE GEU

SVROFKUSEU VGVSEFDOKPEU x GwBPKkKFE ME GO MV|BPSODKBF TGOUDKaCE MEU SODVPKOCd RPKU^

DOGGKFUzjETEFMOFDyRBSTDE DEFC ME GORBSTGEdKDV EDMC kPOFM FBS~PE ME T`VFBSmFEU

T`QUKaCEU SKU EF JECyGO PEGODKBF EFDPE GEU TPBTPKVDVU SKRPBURBTKaCEU MEU MKUGBRODKBFU

ED GE RBSTBPDESEFD TGOUDKaCE MEU SODVPKOC

d

EUD EFRBPE x SKEC

d

RBSTPEFMPEz

lETCKU GEMV~CDMEUOFFVEU äHyGOPER`EPR`E MOFUGE MBSOKFEMEUMKUGBRODKBFUEUD

EF TGEKF EUUBPyFBDOSSEFD kP€RE x GO TCKUUOFRE MEUBPMKFODECPUaCKTEPSEDMVUBPSOKU

ó õ

$%&' ä

³

lKUGBRODKBFU MOFU CF SODVPKOC fG^_k ŠKUUC ME ÖäïIً

CFE FBCNEGGE OTTPBR`E O VDV KFDPBMCKDE W ǵÊ(¿¸ ʸ »Ì½Ç Æ Å Ê¸ Æ Ì½Å¸ Æ µÃ¹ ¿¸Å ÊÀÅ¿µ¾ » ½ÄÀµ¶Å ŠNBKP TOP EdESTGE \ BMFEQy i

E ZBCOPy‚KFEG Öä×ïًz‰F MEU ONOFDOkEU ME REDDE

SVD`BME EUD aCwEGGE TEPSED ME kVPEP ME SOFKmPE OCDBSODKaCE GEU R`OFkESEFDU ME

DBTBGBkKE MCPOFD GE MVTGORESEFDz lOFU RE SBMmGEyGO GKkFE ME MKUGBRODKBF UE MVTGORE

MOFU UBF TGOF ME kGKUUESEFD ONER CFE NKDEUUE FBPSOGE aCK EUD TPBTBPDKBFFEGGE x GO

|BPRE ME XEOR`^)BEGGEP PVUBGCE UwEdEP*OFD UCP GO GKkFEz lOFU GE ROU B– KG FwQ O TOU

ME RBFDPOKFDEU EdDVPKECPEUy REDDE |BPRE EUD UKSTGESEFD GO |BPRE RPVVE TOP GE R`OST

VGOUDKaCE kVFVPV TOP GO GKkFE ME MKUGBRODKBF EGGE^S

 SEz l OFU ÖäHÙy fGNOPEgy YBR`y i E ZBCOP ED _BFFEOC BFD TPBTBUV ME PVVRPKPE RE SB^

MmGE RBSSE CFE VaCODKBF ME YOSKGDBF^]ORB~Kz jEDDE VaCODKBF EUD UKSTGESEFD CFE

VaCODKBF EK[BFOGE B– GO NKDEUUE FBPSOGE EUD FBF^GBROGE ED MVTEFM ME GwEFUES~GE ME GO

GKkFE ME MKUGBRODKBFz…BCU POTTEGBFU REDDE VaCODKBF OKFUK aCE UO SBMVGKUODKBF ME SO^

FKmPE UCRRKFDE MOFU GO UERDKBF UCKNOFDE ED ME SOFKmPE TGCU MVDOKGGVE MOFU GE R`OTKDPE

äz

+ 

    

iEU `QTBD`mUEU CDKGKUVEU MOFU GEU D`VBPmSEU aCK UCKNEFD FE UBFD TOU BTDKSOGEUz

…BCU PEFNBQBFU OCd R`OTKDPEU RBPPEUTBFMOFDU TBCP MEU PVUCGDODU TGCU kVFVPOC

d y EF TOPDKRCGKEP EF MKSEFUKBF

N

aCEGRBFaCE ED ONER MEU `QTBD`mUEU ME PVkCGOPKDV SBKFU PEUDPKRDKNEUz , -î ./Ñ°Ï«0ή â1ÎÑ® ­«ãÑ® ⮠⫯­Í¬°ª«ÍÑ ý ð ð ñòó‘ôˆ’›™ˆòõ ’“œœˆõ™ö

lOFU REDDE UBCU^UERDKBFy FBCU EdTGKaCBFU ME SOFKmPE DPmU UKSTGE GO SBMVGKUODKBF

ý õòõ ó

OGGBFU VDCMKEP TOP GO UCKDEz …BCU PEFNBQBFU x GO AERDKBF I MC R`OTKDPE ä TBCP CFE

MVPKNODKBF TGCU MVDOKGGVE MEU VaCODKBFU TPVUEFDVEU KRKz

‰FE KMVOGKUODKBF MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBF RBFUKUDE x RBFUKMVPEP aCE GwVTOKUUECP

ME GO GKkFE EUD FCGGE EDyMOFU GE ROU MwCFE UECGE GKkFEy x UCTTBUEP aCwEGGE EUD RBFDEFCE

ED aCwEGGE UE MVTGORE MOFU GE TGOF

(x

1

, x

2

)

ziO MKUGBRODKBF TECD OGBPU



DPE PETPVUEFDVE

TOP GE ~BPM MwCF MBSOKFE

Ω

t

ŠB– GwKFMKRE

t

PETPVUEFDE GE DESTU‹ aCE GwBF FBDE

Γ

t

z iE

MVTGORESEFD ME GO GKkFE

Γ

t

EUD OGBPU UKSTGESEFD MBFFV TOP GO NKDEUUE FBPSOGE

c

z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

c

∆

t

n

_Γ

t

t

Γ

t

Γ

t+

∆

t

Ω

$%&' I ³ c

NBGCDKBF UR`VSODKaCE MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBF

Γ

t

x GO NKDEUUE FBPSOGE

c

EFDPE GEU DESTU

t

ED

t + ∆t

ONER GO FBPSOGE CFKDOKPE

n

Γ

t

z

i

O NKDEUUE FBPSOGE

c

MVTEFM MC R`OST VGOUDKaCE kVFVPV TOP GO GKkFE ME MKUGBRO^

DKBF ŠTGCU TPVRKUESSEFDyEGGE EUD TPBTBPDKBFFEGGE x GO |BPRE ME XEOR`^)BEGGEP PVUBGCE

ROGRCGVE x TOPDKP MC R`OST VGOUDKaCE‹zfCDPESEFD MKDyGwVaCODKBF MC SBCNESEFD EUD

MBFFVE TOP

dΓ

t

dt

= cn

Γ

t

B–

c = c(Γ)

EUD GO |BPRE ME XEOR`^)BEGGEP PVUBGCEz lOFU GE ROU MwCFE UECGE GKkFE ME

MKUGBRODKBFyfGNOPEgyYBR`yiE ZBCOPED _BFFEOC BFD SBFDPV MOFU ÖäHÙ aCE GO NKDEUUE

c

TBCNOKDUE PVVRPKPE RBSSE CFE aCOFDKDV FBF GBROGE MVTEFMOFD ME GO |BPSE RBSTGmDE

ME GO GKkFE ME MKUGBRODKBF W

c(x, t) = (c

0

? ρ(

·, t)) (x) + c

1

(x, t)

Šä‹

B–

c

0

(x)

EUD CF FBQOC MBFFVy UQSVDPKaCE ED MVTEFMOFD MC SODVPKOC ED

ρ

EUD GO |BFRDKBF ROPORDVPKUDKaCE ME GwBCNEPD

Ω

t

⊂ R

2

W

ρ(x, t) = 1

Ω

t

:=



1 si x

_{∈ Ω}

t

0 si x

_{∈ R}

2

_\Ω

t

.

Š I‹

RKy GO RBFNBGCDKBF O GKEC EF EUTORE CFKaCESEFDz lOFU GwEdTPEUUKBF Šä‹y GE DEPSE ME

RBFNBGCDKBF

c

0

? ρ

PETPVUEFDE GO |BPRE RPVE TOP GE R`OST VGOUDKaCE kVFVPV TOP GO GKkFE

ME MKUGBRODKBF OGBPU aCE GO |BFRDKBF

c

1

ó õ

eF NVPK}E OGBPU |ORKGESEFD Š OC SBKFU |BPSEGGESEFD‹ aCE GwVNBGCDKBF UCP GwKFDEP^

NOGGE ME DESTU

(0, T )

ME GO GKkFE ME MKUGBRODKBF

Γ

t

EUD MVRPKDE TOP GwVaCODKBF ME GO

MQFOSKaCE MEU MKUGBRODKBFU W











∂ρ

∂t

= (c

0

? ρ + c

1

)

|Dρ| dans R

2

_{× (0, T )}

ρ(

_{·, 0) = ρ}

0

₍

_{·) = 1}

Ω

0

sur

R

2

ŠØ‹ B–

Dρ

PETPVUEFDE GE kPOMKEFD ME

ρ

EF EUTORE ED

Ω

0

EUD CF EFUES~GE BCNEPD MBFD GO

|PBFDKmPE

Γ

0

= ∂Ω

0

PETPVUEFDE GO TBUKDKBF ME GO GKkFE ME MKUGBRODKBF OC DESTU KFKDKOG

t = 0

z

iE TPB~GmSE Š ؋ EUD OUUBRKV |BPSEGGESEFD x GwVFEPkKE

E(ρ) =

Z

4

2

−

1

2

(c

0

? ρ + c

1

)ρ.

Šß‹

G EUD VkOGESEFDTBUUK~GE MOFUGO SBMVGKUODKBF MwOJBCDEP CF DEPSE ME DEFUKBF ME GKkFE

ME GO |BPSE

R

Γ

t

γ(n

Γ

t

)

z

l

OFURE ROUyGO|BPRE ME XEOR`^)BEGGEPPVUBGCE EUD OGBPU MBFFVE

TOP

c = (c

0

? ρ) + c

1

+ λ(n

Γ

t

)H

x,t

Š ׋ B–

H

x,t

EUD GO RBCP~CPE SBQEFFE ED

λ = γ + γ

00

zeF TECD OGBPUPE|BPSCGEPGE TPB~GmSE

TOPCFE VaCODKBFƒGENEGUED„ UCPGwEFUES~GE ME FKNEOC

{u ≤ 0}

MwCFE |BFRDKBF PVkCGKmPE

u

aCK NVPK}E OGBPU W

∂u

∂t

= (c

0

? [u] + λ(n

Γ

t

)H

x,t

)

|Du|

ŠÞ‹ ONER



















ρ = [u] =



1 si u > 0

0 si u

_{≤ 0}

n

Γ

t

=

Du

|Du|

H

x,t

=

MKN



Du

|Du|



Š L‹ ý ð ý ‘’“ô™›™’ óùöÿ ˆ’™ öõ œö ö™ ó ù“ õ ˆœˆ™‘ öõ ™ö”
’ œò“š™ iEU VaCODKBFU aCE FBCU RBFUKMVPBFU ŠŠ ؋ ED Š ދ^ŠL‹‹ UBFD MEU VaCODKBFU ME YOSKG^ DBF^]ORB~K FBF^GBROGEUz i

O TPESKmPE TOPDKE ME RE DPONOKG EUD MEUDKFVE x VDCMKEP REU

VaCODKBFU ŠEdKUDEFREy CFKRKDVy RBSTBPDESEFD OUQSTDBDKaCEzzz ‹z

i

E ROMPE GE SKEC

d

OMOTDV TBCP GEU PVUBCMPE EUD GO D`VBPKE MEU UBGCDKBFU ME NKURBUKDV KFDPBMCKDE TOP

jPOFMOGG ED iKBFU ÖÞØÙ ŠTBCP CFE ~BFFE KFDPBMCRDKBF x REDDE D`VBPKEy FBCU PEFNBQBFU

x ZOPGEU ÖäïÙy ÖäÙyZOPMKyjOTCggB^lBGREDDO ÖäLÙ ED jPOFMOGGyU`KKyiKBFU ÖÞäÙ ED TBCP

ý õòõ ó

x fS~PBUKB ÖäØÙy ZOPGEUy ABFEPy ABCkOFKMKU ÖILÙy j`EFy hKkOy hBDB Ö ×ïÙy cNOFU ÖïHÙy

cNOFUy ATPCR[ ÖïØÙ ED ABCkOFKMKU ÖäLßًz

‰FE PESOPaCE KSTBPDOFDE EUD aCEy MwCF TBKFD ME NCE T`QUKaCEy UwKG FwQ O TOU

ME RBFDPOKFDEU EdDVPKECPEU ŠÀȸ

c

1

≡ 0

‹y BF UwODDEFM x RE aCE GEU MPBKDEU FE ~BCkEFD

TOUz jERK KSTGKaCE EF TOPDKRCGKEP aCE

c

0

EUD x SBQEFFE FCGGE ED MBFR aCE

c

0

R`OFkE

ME UKkFEz f ROCUE ME REGOy BF TECD SBFDPEP aCwKG FwQ O TOU ME TPKFRKTE MwKFRGCUKBFy

RwEUD x MKPE aCE UK GwBF RBFUKMmPE MECd EFUES~GEU KFRGCU GwCF MOFU GwOCDPE OC DESTU

KFKDKOGy OGBPU REDDE KFRGCUKBF FE TEPMCPE TOU MCPOFD GwVNBGCDKBFz ePy GE TPKFRKTE ME

RBSTOPOKUBF EUD CF VGVSEFD EUUEFDKEG MOFU GO D`VBPKE MEU UBGCDKBFU ME NKURBUKDVzjERK

EdTGKaCE EF TOPDKRCGKEPGO MK5RCGDV TBCP B~DEFKPMEU PVUCGDODU MwEdKUDEFRE ED MwCFKRKDV

EF DESTU GBFkz

i

E TPESKEP PVUCGDOD MwEdKUDEFRE ED MwCFKRKDV RBFREPFOFD GEU VaCODKBFU ME GO MQ^

FOSKaCE MEU MKUGBRODKBFU O VDV B~DEFC TOP fGNOPEg ¸Ä ½¿ÈMOFU Öy äHÙz G UwOkKD MwCF

PVUCGDOD MwEdKUDEFRE ED MwCFKRKDV EF DESTU RBCPD TBCP GO UBGCDKBF ME NKURBUKDV MKURBF^

DKFCE ME GwVaCODKBF Š ؋z ‰F PVUCGDOD UKSKGOKPE MOFU GE ROU B– GO MBFFVE KFKDKOGE EUD

CF kPOT`E O VDV B~DEFC TOP fGNOPEgy jOPGKFKy _BFFEOC ED \BCQ MOFU ÖïÙ TBCP GO

|BPSCGODKBF GENEG UED ME Š ؋z

i

E TPESKEP PVUCGDOD ME RE DPONOKG EUD CF PVUCGDOD UKSKGOKPE TBCP GwVaCODKBF ŠÞ‹^Š L‹ W

6‘òš”ö ý ð 7 ÿ ˆ’™ö õœö ö™ “õ ˆœˆ™‘ öõ ™ö”
’ œò“š™
ò“š Š ދ ŠL‹8 9 ü 8 6 ‘òš” ö û ð:; <µÀÄ

u

0

: R

2

→ R

ö¸¼µ¶»ÄÀµ¶ ¿À Æ Å»ÌÀÄÛÀ¸¶¶¸ »µ¶ÄÀ¶Ã¸ Åù

R

2

ĸ¿¿¸ Âø

|Du

0

| ≤ B

0

dans R

2

Šï‹ ¸Ä

∂u

0

∂x

2

≥ b

0

> 0 dans R

2

.

Š‹ =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

c

0

∈ C

c

∞

(R

2

)

> À¶?¶ÀǸ¶Ä ÊÀ@A¹¸¶ÄÀ½á¿¸ ¸Ä B Åà ÆÆ µ¹Ä »µÇ Æ ½»ÄC ¸Ä Âø

c

1

≡ 0

È É¿µ¹ÅD À¿ ¸ÕÀÅĸ ö Ä¸Ç Æ Å

T

∗

_{> 0}

ĸ¿ ÂÃEÀ¿ ¸ÕÀÅĸ ö¸ öÀÂø ŵ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄA ½Ã Æ ¹µá¿(Ǹ ŠÞ‹¾ŠL‹ ʽ¶Å

R

2

_{×[0, T}

∗

₎

È Ò ¸ Æ ¿ÃÅD ¿½Åµ¿ÃÄÀµ¶ ¸ÅÄöÀ¼µ¹ÇAǸ¶Ä »µ¶ÄÀ¶Ã¸ ¸¶ Ä¸Ç Æ Å ¸Ä ·A¹À?¸ A º ½¿¸Ç¸¶Ä Ô

|Du(x, t)| ≤ 2B

0

Åù

R

2

_{× [0, T}

∗

_),

ŠäH‹

∂u

∂x

2

(x, t)

_{≥ b}

0

/2 > 0

Åù

R

2

_{× [0, T}

∗

_).

Šää‹ iw`QTBD`mUE

c

1

≡ 0

EUD CDKGKUVE UECGESEFD TBCP UKSTGK}EP GwVRPKDCPE MEU TPECNEU

SOKU EGGE TECD



DPE |ORKGESEFD PESTGORVE TOP

c

1

iKTURDKRDg CFK|BPSVSEFD EF

(x, t)

z

ó õ

ED MwCDKGKUEP CF OPkCSEFD ME DQTE TBKFD }dEz iO MK5RCGDV SOJECPE EUD MwB~DEFKP MEU

~BFFEU EUDKSODKBFUUCP GE kPOMKEFD EF EUTORE ED UCP GE SBMCGE ME RBFDKFCKDV EF DESTU

ME GO UBGCDKBF MC TPB~GmSE GBROG ŠREGCK B– GO NKDEUUE EUD kEGVE‹z

lOFU GE ROU ME GO GBK MwVNBGCDKBF Š ׋y UK BF UCTTBUE aCE

γ

EUD RBFUDOFD Š

γ

≡ 1

TBCP UKSTGK}EP‹y OGBPUy EF CDKGKUOFD GwEbED PVkCGOPKUOFD ME GO RBCP~CPE SBQEFFEy BF

TECD EF |OKD B~DEFKP ME SEKGGECPU PVUCGDODUz lE SOFKmPE TGCU TPVRKUEy UK GwEFUES~GE

KFKDKOG EUD UC5UOSEFD PVkCGKEPy OGBPU FBCU ONBFU EdKUDEFRE ED CFKRKDV MwCFE VNBGCDKBF

PVkCGKmPE EF DESTU RBCPDzf NOFD MwVFBFREP RE PVUCGDODyFBCU ONBFU ~EUBKF ME aCEGaCEU FBDODKBFU ED MV}FKDKBFUz þ‘Fõ ˆ™ˆò õ ý ý 7 ò ô“ ™ˆò õ š‘ú “ ôˆš ö;

•

=¶ ¶µÄ¸

P

¿E¸¶Å¸ÇῸ ʸ ĵÃÅ ¿¸Å ŵÞ¸¶Å¸ÇῸŠᵹ¶AŠʸ

R

2

½Ë½¶Ä ö Æ A¹ÀÇ(Ÿ ?¶ÀÈ

•

G µÃ¹ ö ŵÞ¸¶Å¸ÇῸ

E

ʸ

[0, T ]

_{× R}

2

D µ¶ Æ µÅ¸

E(t) =

_{{x ∈ R}

2

_{; (t, x)}

_{∈ E}}

È É ¿Eµ ÆÆ µÅAD ö¸ ½ ÆÆ ¿À» ½ÄÀµ¶

t

∈ [0, T ] 7→ E(t) ∈ P

Æ ¸ÃÄ HŸ ·Ã¸ »µÇǸ ö ŵÞ ¸¶Å¸ÇῸ ʸ

[0, T ]

× R

2

¸¶ Àʸ¶ÄÀ?½¶Ä

E

½·¸» ŵ¶ º ¹½ Æ Ì¸

∪

t∈[0,T ]

{t} × E(t)

È

•

=¶ ½ ÆÆ ¸¿¿¸ÄÃḠö ŵÞ¸¶Å¸ÇῸ

E

ʸ

[0, T ]

× R

2

ĸ¿ Âø

E(t)

¸ÅÄ áµ¹¶A Æ µÃ¹ ĵÃÄ

t

_{∈ [0, T ]}

È =¶ ½ ÆÆ ¸¿¿¸ ÄÃḠ¹A º ÿÀ¸¹ ö ÄÃá¸

E

ʵ¶Ä ¿¸ áµ¹Ê ¸ÅÄ

C

1

ʽ¶Å

(0, T )

_{× R}

2

ĸ¿ Âø Æ µÃ¹ ĵÃÄ

(x, t)

∈ ∂E

D ¿½ ¶µ¹Ç½¿¸ ¸ÕÄA¹À¸Ã¹¸

(ν

t

, ν

x

)

B

E

½Ã Æ µÀ¶Ä

(t, x)

ŽÄÀż½ÀÄ

ν

x

6= 0

È

•

ÜÀ¶½¿¸Ç¸¶ÄD ö¸ ½ ÆÆ ¿À» ½ÄÀµ¶

t

_{∈ [0, T ] 7→ E}

r

(t)

¸ÅÄ ½ ÆÆ

¸¿A¸ ö¸ A·µ¿ÃÄÀµ¶ ¹A

º ÿÀ(¹¸ ʵ¶Ä ¿¸ áµ¹Ê ¸ÅÄ

C

2+α

ÅÀ

E

r

¸ÅÄ Ã¶ ÄÃḠ¹A º ÿÀ¸¹ »µÇ Æ ½»Ä ĸ¿ Âø

E

r

(t)

½ ö áµ¹Ê

C

2+α

Æ µÃ¹ ĵÃÄ

t

_{∈ [0, T ]}

È 6 ‘òš” ö ý û 7 ÿ ˆ’™ö õ œö ó ù“ õö ’òô“™ˆò õ š‘ú“ôˆš ö 8 9 ð 8 6 ‘òš” ö ð :; <µÀÄ

Ω

0

> ʵ¶Ä ¿¸ áµ¹Ê ¹¸ Æ ¹AŸ¶Ä¸ ¿½ ¿À º ¶¸ ʸ ÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶ ½Ã Ä¸Ç Æ Å À¶ ÀÄÀ½¿C ö ʵǽÀ¶¸ »µÇ Æ ½»Ä ʵ¶Ä ¿¸ áµ¹Ê ¸ÅÄ Ã¶À¼µ¹ÇAǸ¶Ä

C

3+α

È =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

c

0

∈ C

c

∞

(R

2

)

¸Ä

c

1

∈ C

c

∞

(R

2

× [0, ∞))

È É¿µ¹ÅD À¿ ¸ÕÀÅĸ ö Ä¸Ç Æ Å

t

0

> 0

¸Ä ö¸ A·µ¿ÃÄÀµ¶ ¹A º ÿÀ(¹¸

{Ω

r

(t)

}

0≤t≤t

0

ʵ¶Ä ¿¸ áµ¹Ê ¸ÅÄ

C

2+α

D Æ ½¹Ä½¶Ä ʸ

Ω

0

½·¸» ö¸ ·ÀĸÅŸ ¶µ¹Ç½¿¸

V

x,t

= H

x,t

+ c

0

? 1

Ω

r

(t)

(x) + c

1

(x, t),

ŠäI‹ µI

H

x,t

¸ÅÄ ¿½ »µÃ¹áù¸ ǵ˸¶¶¸ ʸ

∂Ω

r

(t)

B

x

È

iwKMVE ME GO TPECNE EUD KFUTKPVE ME cNOFU ED ATPCR[ ÖïßÙ TBCP GE SBCNESEFD TOP

RBCP~CPE SBQEFFE ŠNBKP OCUUK hKkO ÖÙy iCFOPMK ÖäßHÙy _OE[OO Öäßäًz G UwOkKD ME

UCTTBUEP aCE GwBF O CFE VNBGCDKBF PVkCGKmPE ED ME RBFUKMVPEP GO |BFRDKBF MKUDOFRE

UKkFVE OC ~BPMz eF TECD OGBPU SBFDPEP aCE REDDE |BFRDKBF NVPK}E CFE VaCODKBF CFK^

|BPSVSEFD TOPO~BGKaCEz iE ~CD EUD EFUCKDE ME RBFUDPCKPE MKPERDESEFD CFE UBGCDKBF

ME REDDE VaCODKBF ED ME NVPK}EP x TBUDEPKBPK aCE GO GKkFE ME FKNEOC gVPB ME GO UBGCDKBF

ý õòõ ó ý ð û ‘’“ô™›™’ óùöÿ ˆ’™ öõ œö ö™ ó ù“ õ ˆœˆ™‘ öõ ™ö”
’ ôò õ ú jBSSE FBCU Gw ONBFU MVJx SEFDKBFFVyGEU D`VBPmSEU EF DESTU GBFk TBCP GEU VaCO^ DKBFU ME GO MQFOSKaCE MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBF UBFD ~EOCRBCT TGCU MK5RKGEU x

B~DEFKPz ]CUaCw x TPVUEFDy GwEdKUDEFRE ED GwCFKRKDV EF DESTU GBFk ONER MEU `QTBD`mUEU

kVFVPOGEU EUD EFRBPE CFE aCEUDKBF BCNEPDEz G EdKUDE RETEFMOFD MEU PVUCGDODU TOPDKEGUz

{BCD MwO~BPMyUBCU REPDOKFEU `QTBD`mUEU ME SBFBDBFKE UCPGO NKDEUUEyfGNOPEgyjOPMO^

GKOkCEDy_BFFEOC ÖÞÙTCKUZOPGEUyiEQ ÖI×Ù BFD SBFDPVyONER MEU SVD`BMEUMKbVPEFDEUy

aCwKG EdKUDOKDCFE CFKaCE UBGCDKBF ME NKURBUKDV ME ŠØ‹TBCPDBCDDESTU ŠFBCUPEFNBQBFU

VkOGESEFD x jOPMOGKOkCEDy_OPR`K Ö ×IًzZOPGEUyjOPMOGKOkCEDyiEQy _BFFEOC ÖIäÙBFD

VkOGESEFD SBFDPV GwEdKUDEFRE kGB~OGE EF DESTU MwCFE UBGCDKBF |OK~GEz jEDDE FBDKBF

ME UBGCDKBF |OK~GE PETBUE UCP GEU UBGCDKBFU ME NKUBUKDV

L

1

KFDPBMCKDEU TOP U`KK ÖääØÙ

ŠNBKP OCUUK …CFgKOFDE ÖäßLy äßïÙyZBCPkBKFk Ößäy ßIً ED UCP GE PVUCGDOD ME UDO~KGKDV ME

ZOPGEU ÖIHÙz

‰FE OCDPE `QTBD`mUE aCK UEPO UBCNEFD CDKGKUVE MOFU GO UCKDE EUD aCE

c

0

= J

≥

0

z l

OFU RE ROUy TBCP aCE GEU MPBKDEU FE ~BCkEFD TOU UwKG FwQ O TOU ME RBFDPOKFDE

EdDVPKECPEyKG |OCD R`BKUKP

c

1

=

−

1

₂

R

J

zjEGO PENKEFD ME SOFKmPE |BPSEGGE x RBFREFDPEP

GO TOPDKE FVkODKNE MC FBQOC x GwBPKkKFEz XBCP RE DQTE MwVaCODKBFy AGETJEN ÖäÞÙ O

SBFDPV aCE GO |BPSCGODKBF GENEG UED x CDKGKUEP EUD GO UCKNOFDE















u

t

(x, t) =



(J ? 1

_{{u(·,t)>u(x,t)}}

)(x)

₋

1

2

Z

4

2

J



|Du(x, t)|

MOFU

R

2

_{× (0, T ),}

u(

·, 0) = u

0

(

·)

UCP

R

2

Šä؋

jEDDE |BPSCGODKBF EUD EF |OKD ~EOCRBCT TGCU UDO~GE ED TEPSED MwB~DEFKP CF PVUCGDOD

MwEdKUDEFRE ED MwCFKRKDV EF DESTU GBFkzRK GO GKkFE ME MKUGBRODKBF EUD PETPVUEFDVE TOP

FwKSTBPDE aCEGGE GKkFE ME FKNEOC ME GO |BFRDKBF

u

z f NOFD MwVFBFREP FBDPE D`VBPmSE

MwEdKUDEFREy FBCU POTTEGBFU GO MV}FKDKBF ME UBGCDKBF ME NKURBUKDV aCE FBCU CDKGKUBFU

ED aCK FwEUD TOU UDOFMOPMz jEDDE MV}FKDKBF O VDV TPBTBUVE TOP AGETJEN ÖäÞÙ ŠNBKP

OCUUK lO iKBy )KSy AGETJEN ÖÞً W þ‘Fõ ˆ™ˆò õ ý  7 ò“’K’“šK’òô“ ™ˆò õ óö ˆ’œò’ˆ™‘
ò“š Šä؋; L¶¸¼µ¶»ÄÀµ¶

u : R

2

_{× R}

+

_{→ R}

ŸÇÀ¾»µ¶ÄÀ¶Ã¸ ÅÃ Æ A¹À¸Ã¹¸Ç¸¶Ä > ¹¸Å Æ È Å¸ÇÀ¾»µ¶ÄÀ¶Ã¸ À¶¼A¹À¸Ã¹¸Ç¸¶ ÄC ¸ÅÄ Ã¶¸ ŵÞŵ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄA > ¹¸Å Æ È Åù¾Å µ¿ÃÄÀµ¶C ʸ Šä؋ ÅÀ

u(0, x)

≤ u

0

(x)

ʽ¶Å

R

2

> ¹¸Å Æ È

u(0, x)

≥ u

0

(x)

C ¸Ä Æ µÃ¹ ĵÃÄ

(x, t)

∈ R

2

_{× (0, ∞)}

¸Ä Æ µÃ¹ ĵÃĸ¼µ¶»ÄÀµ¶ ĸÅÄ

φ

_{∈ C}

2

_(R

2

_{× R}

+

₎

ĸ¿¿¸ Âø

u

_{− φ}

½ÄĸÀ¶Ä ö ǽÕÀÇÃÇ > ¹¸Å Æ È Ã¶ ÇÀ¶ÀÇà ÇC ½Ã Æ µÀ¶Ä

(x, t)

D ½¿µ¹Å µ¶ ½

φ

t

(x, t)

≤



(J ? 1

_{u(·,t

0

)≥u(x,t)}

)(x)

−

1

2

Z

4

2

J



|Dφ(x, t)|

ó õ



resp. φ

t

(x, t)

≥



(J ? 1

_{u(·,t

0

)>u(x,t)}

)(x)

−

1

2

Z

4

2

J



|Dφ(x, t)|



.

L¶¸¼µ¶»ÄÀµ¶ »µ¶ÄÀ¶Ã¸ ¸ÅÄ Ã¶¸ ŵ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄA ʸ Šä؋ ÅÀ ¸Ä Ÿÿ¸Ç¸¶Ä ÅÀ »E¸ÅÄ Ã¶¸ ŵÃÅ ¸Ä ö¸ Åù¾Åµ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄAÈ 6‘òš” ö ý  7 ÿ ˆ’™öõœö ö ™ “ õ ˆœˆ™‘ öõ ™ö”
’ ôò õ ú
ò “š Šä؋8 9 ü 8 6‘ò š”ö ð ð:; =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

u

0

∈ Lip(R

2

)

¸Ä Âø

J

∈ W

1,1

_(R

2

₎

È É¿µ¹ÅD À¿ ¸ÕÀÅĸ ö¸ öÀÂø ŵ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄA ʸ ŠäØ‹È l

OFU GE ROU ME GwVaCODKBF MwVNBGCDKBF Š×‹ ŠUOFU RBFMKDKBF ME UKkFE UCP

c

0

‹y KG EUD

EFRBPE TBUUK~GE MwCDKGKUEPGwEbED PVkCGOPKUOFDME GO RBCP~CPE SBQEFFE TBCP RBFUDPCKPE

CFE UBGCDKBF |OK~GE EF DESTUGBFkziO RBFUDPCRDKBF ME REDDE UBGCDKBFCDKGKUE GEU SBCNE^

SEFDUSKFKSKUOFDU KFDPBMCKDUTOPfGSkPESy{OQGBP ED žOFk MOFU ÖØÙTBCP GwVaCODKBF

TOP RBCP~CPE SBQEFFE ŠFBCU PEFNBQBFU VkOGESEFD x fS~PBUKB ÖäIÙ TBCP CFE TPVUEF^

DODKBF UKSTGK}VE‹z

i

O FBDKBF ME UBGCDKBF |OK~GE aCE FBCU CDKGKUBFU EUD GO SSE aCE REGGE MV}FKE TOP

ZOPGEUy jOPMOGKOkCEDy iEQ ED _BFFEOC Ö IäÙ TBCP GwVaCODKBF GENEG UED OUUBRKVE x Š ؋z

‰F RBFRETD UKSKGOKPE ME UBGCDKBF OTTOPO‡D VkOGESEFD MOFU ABPONKOy ABCkOFKMKU ÖäLäÙ

TBCP MEU UQUDmSEU ME DQTE ‚KDg`Ck`^…OkCSBz

‰FE UBGCDKBF |OK~GE EUD MV}FKE ME GO SOFKmPE UCKNOFDE W

þ‘Fõˆ™ˆòõ ý  =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

c

0

∈ C

c

∞

(R

2

)

¸Ä

c

1

∈ C

c

∞

(R

2

× [0, T ))

È <µÀÄ

Ω :

[0, T ]

→ P(R

2

₎

ö¸ ½ ÆÆ ¿À» ½ÄÀµ¶ ĸ¿¿¸ Âø

t

7→ 1

Ω(t)

½ ÆÆ ½¹ÄÀ¸¶Ä B

C

0

_{([0, T ], L}

1

_(R

2

₎₎

È <µÀÄ

u

¿EöÀÂø ŵ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄA öÀ¼µ¹ÇAǸ¶Ä »µ¶ÄÀ¶Ã¸ ʸ











u

t

(x, t) =

h

ÊÀ·



Du(x,t)

|Du(x,t)|



+ c

0

(

·, t) ? 1

Ω(t)

(x) + c

1

(x, t)

i

|Du(x, t)|

ʽ¶Å

R

2

_{× (0, T )}

u(x, 0) = u

0

(x)

Åù

R

2

_,

Šäߋ µI

u

0

¸ÅÄ Ã¶¸¼µ¶»ÄÀµ¶ öÀ¼µ¹ÇAǸ¶Ä »µ¶ÄÀ¶Ã¸ ·A¹À?½¶Ä

Ω

0

=

{u

0

≥ 0} et

◦

Ω

0

=

{u

0

> 0

}.

=¶ ÊÀÄ Âø

Ω

¸ÅÄ Ã¶¸ ŵ¿ÃÄÀµ¶ ¼½ÀῸ ʸ ¿½ ¿µÀ ÊEA·µ¿ÃÄÀµ¶ ʵ¶¶A¸ Æ ½¹ ¿½ ·ÀĸÅŸ ¶µ¹Ç½¿¸

V

x,t

= H

x,t

+ c

0

? 1

Ω(t)

(x) + c

1

(x, t)

Šä׋ ÅÀ Æ µÃ¹ ĵÃÄ

t

_{∈ [0, T ]}

¸Ä Æ ¹¸ÅÂø Æ ½¹ÄµÃÄ Ê½¶Å

R

2

D µ¶ ½

{u(·, t) > 0} ⊂ Ω(t) ⊂ {u(·, t) ≥ 0}.

ý õòõ ó

jBSSE FBCU GwONBFU KFMKaCV TPVRVMESSEFDyGO RBFUDPCRDKBF MwCFE UBGCDKBF |OK~GE

PETBUE UCPGOFBDKBFME SBCNESEFDUSKFKSKUOFDUzlE SOFKmPE TGCUTPVRKUEyFBCUSBF^

DPEPBFU aCE DBCD SBCNESEFD SKFKSKUOFD EUD CFE UBGCDKBF |OK~GEz …BCU RBSSEF*BFU

TOP KFDPBMCKPE ME SOFKmPE MVDOKGGVE GO FBDKBF ME SBCNESEFD SKFKSKUOFDz eF }dE

T > 0

ED TBCP

h > 0

ŠGE TOU ME DESTU‹y

k

∈ N

DEGU aCE

kh

≤ T

y

E

ED

F

MOFU

P

y BF MV}FKD GO |BFRDKBFFEGGE

F(h, k, E, F ) = P (E)+

1

h

Z

E∆F

d

∂F

(x) dx

−

Z

E



1

2

c

0

? 1

E

(x) + c

1

(x, kh)



dx,

Šäދ B–

d

C

EUD GO |BFRDKBF MKUDOFRE x GwEFUES~GE |EPSV

C

ED

P (E)

EUD GE TVPKSmDPE ME GwEFUES~GE

E

z M DOFD MBFFV CF TOU ME DESTU

h

y GE TPKFRKTE MEU SBCNESEFDU SKFKSKUOFDU EUD

ME RBFUDPCKPE KDVPODKNESEFD CFE UCKDE

Ω

h

(k)

EF SKFKSKUOFD GO |BFRDKBFFEGGE

E

_7→

F(h, k, E, Ω

h

(k))

z i

E ~CD EUD EFUCKDE ME TOUUEP x GO GKSKDE

h

→ 0

z

…BCU MBFFBFU SOKFDEFOFD GO MV}FKDKBF PKkBCPECUE ME SBCNESEFD SKFKSKUOFD W

þ ‘F õ ˆ™ˆò õ ý ü 7ñò “ö”öõ™ ”ˆõˆ”ˆ’›õ™ 9û: ; <µÀÄ

T > 0

¸Ä

Ω

0

∈ P

È =¶ ÊÀÄ Âø

Ω : [0, T ]

→ P

¸ÅÄ Ã¶ ǵ÷¸Ç¸¶Ä ÇÀ¶ÀÇÀŽ¶Ä ½Åŵ»ÀA B ¿½ ¼µ¶»ÄÀµ¶¶¸¿¿¸

F

½·¸»

Ω

0

»µÇǸ »µ¶ÊÀÄÀµ¶ À¶ÀÄÀ½¿¸ ÅEÀ¿ ¸ÕÀÅĸ ö¸ ÅÃÀĸ

(h

n

), h

n

→ 0

+

¸Ä ʸŠ¸¶Å¸ÇῸÅ

Ω

h

n

(k)

∈ P

Æ µÃ¹ ĵÃÄ

k

_{∈ N}

½·¸»

kh

n

≤ T

D ĸ¿Å Âø Ô NÈ

Ω

h

n

(0) = Ω

0

D OÈ G µÃ¹ ĵÃÄ

n, k

∈ N

½·¸»

(k + 1)h

n

≤ T

D

Ω

h

n

(k + 1)

ÇÀ¶ÀÇÀŸ ¿½¼µ¶»ÄÀµ¶¶¸¿¿¸

E

→ F(h

n

, k, E, Ω

h

n

(k))

ŠäL‹ Æ ½¹ÇÀ ĵÃÅ ¿¸Å

E

_{∈ P}

D PÈ G µÃ¹ ĵÃÄ

t

_{∈ [0, T ]}

D

Ω

h

n

([t/h

n

])

→ Ω(t)

ʽ¶Å

L

1

_(R

N

₎

Âý¶Ê

n

_{→ +∞}

D »E¸ÅÄ B ÊÀ¹¸ Âø

1

Ω

_hn

([t/h

n

])

→ 1

Ω

ʽ¶Å

L

1

_(R

2

₎

È µI

[

_·]

¸ÅÄ ¿½¼µ¶»ÄÀµ¶ Æ ½¹ÄÀ¸ ¸¶ÄÀ(¹¸È

iE TPESKEP PVUCGDOD RBFREPFOFD GEU SBCNESEFDU SKFKSKUOFDU EUD CF PVUCGDOD

MwEdKUDEFRE W 6‘òš”ö ý  7 ÿ ˆ’™ öõœö óö ”ò“ ö ”öõ™’ ” ˆõˆ”ˆ’› õ ™’8 9 ð 8 6‘òš”ö ð û:; <µÀÄ

Ω

0

∈ P

ĸ¿ Âø

L

2

_(∂Ω

0

) = 0

È =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

c

0

∈ C

c

∞

(R

2

)

¸Ä

c

1

∈ C

c

∞

(R

2

×

[0, T ))

È É¿µ¹ÅD À¿ ¸ÕÀÅĸ ö ǵ÷¸Ç¸¶Ä ÇÀ¶ÀÇÀŽ¶Ä

Ω

½Åŵ»ÀA B

F

½·¸»

Ω

0

»µÇǸ »µ¶ÊÀÄÀµ¶ À¶ÀÄÀ½¿¸È

ó õ

iE PVUCGDODUCKNOFDJCUDK}E GE GKEF EFDPE REUSBCNESEFDU SKFKSKUOFDU ED GwVaCODKBF

MwVNBGCDKBF MBFFVE TOP Š×‹z G SBFDPE aCE DBCD SBCNESEFD SKFKSKUOFD RBPPEUTBFM

EF |OKD x GwVNBGCDKBF PVkCGKmPE MBFFVE TOP GE {`VBPmSE IzØ DOFD aCE REDDE MEPFKmPE

EdKUDEz 6‘òš”ö ý  7òššö’
òõó›õœö ›öœ ôö Qò™ š‘ú“ôˆöš8 9ð8 6‘òš”ö ð :; <µÀÄ

Ω

0

ö ʵǽÀ¶¸»µÇ Æ ½»Ä ʵ¶Ä ¿¸áµ¹Ê ¸ÅÄ

C

3+α

È =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

c

0

¸ÅÄÅËÇAĹÀÂøD Âø

c

0

∈ C

c

∞

(R

2

)

¸Ä Âø

c

1

∈ C

c

∞

(R

2

× [0, T ))

È <µÀÄ

Ω

r

¿¸ RµÄ ¹A º ÿÀ¸¹ ʵ¶¶A Æ ½¹

¿¸ S ÌAµ¹(Ǹ OÈPÈ É¿µ¹ÅD ĵÃÄ ÇµÃ·¸Ç¸¶Ä ÇÀ¶ÀÇÀŽ¶Ä ½Åŵ»ÀA B

F

½·¸»

Ω

0

»µÇǸ »µ¶ÊÀÄÀµ¶ À¶ÀÄÀ½¿¸ ·A¹À?¸

Ω(t) = Ω

r

(t)

Æ µÃ¹ ĵÃÄ

t

_{∈ [0, t}

0

)

¸Ä Æ ¹¸ÅÂø Æ ½¹ÄµÃÄ Ê½¶Å

R

2

È

iO TPECNE ME RE D`VBPmSE PETBUE UCP GEU UBCUæUCP TOKPEU ME UBGCDKBFU KFDPBMCKDEU

TOP jOPMOGKOkCED ED XOUaCKkFBF Ö ×ØÙz

…BCU OGGBFU SOKFDEFOFD EdTGKaCEP TBCPaCBK GEU SBCNESEFDU SKFKSKUOFDU UBFD

MEU UBGCDKBFU |OK~GEUz XBCP DBCDE UCKDE

(h

n

)

n

DEFMOFD NEPU

0

ED DEGGE aCE

Ω

h

n

([

·/h

n

])

RBFNEPkE NEPU CF SBCNESEFD SKFKSKUOFD

Ω

yBF TECDRBFUKMVPEP GEUUBCUEDUCP GKSKDEU

MEU

Ω

h

n

(k)

aCOFM

n

→ ∞

y

Ω

_∗

ED

Ω

∗

z …BCU UEPBFU OGBPU ROTO~GEUy kP€RE x GwVaCODKBF

MwcCGEP RBPPEUTBFMOFDE x GO SKFKSKUODKBF ME GO |BFRDKBFFEGGE

F

yME ROGRCGEP GO NKDEUUE

Š OC UEFU ME NKURBUKDV‹ ME

Ω

_∗

ED

Ω

∗

EF |BFRDKBF ME

Ω

z jEGO TEPSED ME RBSTOPEP

Ω

_∗

ED

Ω

∗

ONER GwEFUES~GE ME FKNEOC

0

ME GO UBGCDKBF ME NKURBUKDV

u

CDKGKUVE MOFUGO l V}FKDKBF Iz Þz jBSSE

Ω

_∗

_{⊂ Ω ⊂ Ω}

∗

y BF TBCPPO OGBPU MVMCKPE aCE

Ω

EUD CFE UBGCDKBF |OK~GE ME Šä׋ W 6‘òš”ö ý ð 7Tö’ ”ò“ ö ”öõ™’ ” ˆõˆ”ˆ’› õ™’ ’òõ™ óö’ ’òô“ ™ˆò õ’ U› ˆ˜ ôö’ 8 9 ð 8 6 ‘òš” ö ð  :;; <µÀÄ

Ω

0

∈ P

ĸ¿Âø

L

2

_(∂Ω

0

) = 0

È<µÀÄ

Ω

ö ǵ÷¸Ç¸¶ÄÇÀ¶ÀÇÀŽ¶Ä ½Åŵ»ÀA B

F

½·¸»

Ω

0

»µÇǸ »µ¶ÊÀÄÀµ¶ À¶ÀÄÀ½¿¸È =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

c

0

¸ÅÄ ÅËÇAĹÀÂøD Âø

c

0

∈ C

c

∞

(R

2

)

¸Ä Âø

c

1

∈ C

c

∞

(R

2

× [0, T ))

È É¿µ¹Å

Ω

¸ÅÄ Ã¶¸ ŵ¿ÃÄÀµ¶ ¼½ÀῸ ʸ Šä׋Èê¶ Æ ½¹ÄÀ»Ã¿À¸¹DÅEÀ¿ ¶EË ½ Æ ½Å ʸ¼½Äĸ¶À¶ º D ÀÈ¸È ÅÀ

{u(·, t) = 0}

¸ÅÄ Ê¸ ǸÅù¸ ʸ ¸á¸Å º ø ¶Ã¿¿¸D ½¿µ¹Å

u

¸ÅÄ Ã¶¸ ŵ¿ÃÄÀµ¶ ʸ ·ÀÅ»µÅÀÄA ʸ Š ދ¾ŠL‹ ½·¸»

u

0

»µÇǸ »µ¶ÊÀÄÀµ¶ À¶ÀÄÀ½¿¸È ý ð   ò ”
ò š™ö”öõ™  úš› õóö ‘œöôôö

…BCU OGGBFUSOKFDEFOFDTPVUEFDEPCF PVUCGDODKSTBPDOFDRBFREPFOFDGOMQFOSKaCE

MwCFE GKkFE ME MKUGBRODKBFz G UwOkKD ME SBFDPEP GO RBFNEPkEFRE x kPOFME VR`EGGE ME

REDDE MQFOSKaCE NEPU MEU SBCNESEFDU ME DQTE SBCNESEFD TOP RBCP~CPE SBQEFFEz

jE PVUCGDODJCUDK}E ME SOFKmPE PKkBCPECUE GEU ROGRCGU ED GEU OTTPBdKSODKBFU |OKDU TOP

GEU T`QUKRKEFUz

jBSSE FBCU NBCGBFU PEkOPMEP GO MQFOSKaCE x kPOFME VR`EGGEyFBCU ONBFU ~EUBKF

ý õòõ ó

MOFU GOaCEGGE GE FBQOC

J

EUD TBUKDK| ED GwBF RBFUKMmPE GEU FBQOCd NVPK}OFD VkOGESEFD















J(x) =

1

|x|

3

g



x

|x|



si

_{|x| ≥ 1,}

J(

_{−x) = J(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R}

2

Šäï‹ B–

g

_{∈ C}

∞

_(S

1

₎

EUD CFE |BFRDKBF MV}FKE UCP GE REPRGE

S

1

ME

R

2

z

eF UwKFDVPEUUE x GO MQFOSKaCE ME GKkFEU ME MKUGBRODKBFUME DOKGGE ME GwBPMPE

1/ε

ED x GO GKSKDE aCOFM

ε

_{→ 0}

z XBCP RE |OKPEy BF MV}FKD TBCP

ε > 0

GO |BFRDKBF ƒPEUROGGVE„ UCKNOFDE W

u

ε

(x, t) = u



x

ε

,

t

ε

2

_{| ln ε|}



aCK UODKU|OKD GwVaCODKBF















∂u

ε

∂t

=



J

ε

? 1

_{u

ε

_(,·,t)≥u

ε

_(x,t)}

(x)

−

1

2

Z

4

2

J

ε



|Du

ε

| dans R

2

_{× (0, T )}

u

ε

₍

_{·, 0) = u}

ε

0

sur

R

2

Šä‹ B–

J

ε

EUD GE FBQOC ƒPEUROGGV„ MV}FKD TOP

J

ε

(x) =

1

ε

3

_{| ln ε|}

J

x

ε



.

ŠIH‹ i E UROGKFk CDKGKUV TBCP

u

ε

ŠED MBFR TBCP

J

ε

‹ EUD TPEUaCE GE UROGKFk TOPO~BGKaCEz iE DEPSE

| ln ε|

EUD CF |ORDECP ~KEF RBFFC EF T`QUKaCE ŠFBCU PEFNBQBFU TOP EdESTGE

x ZOPFEDDy hONOggO ÖØäÙy ZPBF Öß×Ù ED YKPD`y iBD`E ÖäHÞًz lwCF TBKFD ME NCE SO^

D`VSODKaCEyKG NKEFD ME GO SOCNOKUE MVRPBKUUOFRE x GwKF}FK MC FBQOC ŠEF

1

|x|

3

‹ aCK FE

NVPK}E TOU Gw`QTBD`mUE RGOUUKaCE ŠNBKP ZOPGEUy hEBPkEGKF Ö IIÙy U`KKy XKPEUy ABCkOFKMKU

ÖäIHÙ BC U`KK ÖääÞً

Z

{(x,p)=0}

c

0

(x)

|x|

2

<

∞ ∀ p ∈ S

1

.

…BCU PEFNBQBFU x GO AERDKBF ßzä MC j`OTKDPE ß TBCPCFE MKURCUUKBF MVDOKGGVE UCPREDDE

RBFMKDKBFz

l

OFU GO GKSKDE

ε

→ 0

y REDDE MQFOSKaCE EUD ~KEF OTTPBR`VE TOP GE SBCNESEFD TOP

RBCP~CPE SBQEFFE OFKUBDPBTE UCKNOFD W











∂u

0

∂t

+ F (D

2

_u

0

_{, Du}

0

_{) = 0 dans R}

2

_{× (0, T )}

u

0

₍

_{·, 0) = u}

0

sur

R

2

ŠIä‹

ó õ ONER

F (M, p) =

−g



p

⊥

|p|



trace



M

·



Id

−

p

|p|

⊗

p

|p|



ŠII‹ B–

p

⊥

EUD GwKSOkE MC NERDECP

p

TOP CFE PBDODKBF Mw OFkGE

π/2

z cF TOPDKRCGKEPyBF NBKD

aCE GwVaCODKBF Š Iä‹ MVRPKD GE SBCNESEFD TOP RBCP~CPE SBQEFFE OFKUBDPBTE ONER GO

NKDEUUE

g(τ )κ

B–

κ

EUD GO RBCP~CPE ME GO GKkFE ME FKNEOC ME

u

0

ED

τ

EUD GE NERDECP CFKDOKPE DOFkEFD

x GO GKkFE ME FKNEOC ME

u

0

z

iE PVUCGDOD TPKFRKTOG ME REDDE UBCU^UERDKBF EUD GE UCKNOFD W

6‘òš” ö ý ðð 7 òõ öšú öõ œö óö ô› ó÷õ ›”ˆø“ ö ó ö’ ó ˆ’ôòœ›™ˆò õ ’ öš’ ôö ”ò“ö”öõ™
›š œò“š˜“šö ”ò÷öõõö8 9ü8 6‘òš”ö ð : ö™ 98 6‘òš”ö ý ð:; =¶ Åà ÆÆ µÅ¸ Âø

u

0

∈ Lip(R

2

)

D ¸Ä

J

_{∈ W}

1,1

_(R

2

₎

ÈÉ¿µ¹Å ¿½ ŵ¿ÃÄÀµ¶

u

ε

ʸ ¿½ Ê˶½ÇÀÂø ʸŠÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶Å Šä‹ »µ¶·¸¹ º ¸ ¿µ»½¿¸Ç¸¶Ä öÀ¼µ¹ÇAǸ¶Ä Åù ¿¸Å »µÇ Æ ½»ÄŠʸ

R

2

_×

[0,

∞)

·¸¹Å ¿EöÀÂø ŵ¿ÃÄÀµ¶

u

0

Êà ǵ÷¸Ç¸¶Ä Æ ½¹ »µÃ¹áù¸ ǵ˸¶¶¸ ½¶Àŵŵ Æ ¸ ŠIä‹È Ò ¸ Æ ¿ÃÅD À¿ ¸ÕÀÅĸö¸ »µ¶ÅĽ¶Ä¸

K

1

ÊA Æ ¸¶Ê½¶Ä Ÿÿ¸Ç¸¶Ä ʸ

sup

4

2

J,

|Dg|

_L

∞

_(S

1

₎

¸Ä

|Du

0

|

L

∞

₍

4

2

₎

ĸ¿¿¸ Âø ¿½ ÊÀ@A¹¸¶»¸ ¸¶Ä¹¸

u

ε

¸Ä

u

0

¸ÅÄ Êµ¶¶A¸ Æ ½¹

sup

4

2

_{×(0,T )}

|u

ε

_{− u}

0

_{| ≤ K}

1



T

| ln ε|



1

6

+ sup

4

2

|u

ε

0

− u

0

|

Æ µÃ¹

T

_{≤ 1}

È ö”›š ø“ ö ý ðý Ò ¸Å ¹AÅÿĽÄÅ ÅÀÇÀ¿½À¹¸Å > Ž¶Å ¸ÅÄÀǽÄÀµ¶ ÊE¸¹ ¹¸Ã¹C µ¶Ä AÄA Æ ¹µÃ·AÅ Æ µÃ¹ ʸŠ¶µË½ÃÕ º

A¶A¹½ÃÕ ¸¶ ¹¸¿½ÄÀµ¶ ½·¸» ¿E½¿

º µ¹ÀÄÌǸʸݸ¹¹Àǽ¶D V¸¶»¸D =Ż̸¹ Æ µÃ¹ ¿½ »µÃ¹áù¸ ǵ˸¶¶¸ WNX PY È ZµÃÅ ¹¸¶·µËµ¶Å Æ ½¹ ¸Õ¸Ç Æ ¿¸ B V½¹¿¸ÅD Ú¸µ¹ º ¸¿À¶ WOO Y D ê·½¶Å W [\Y D ]ÅÌÀÀ W NN^ Y ¸Ä ]ÅÌÀÀD G À¹¸ÅD <µÃ º ½¶ÀÊÀÅ WNO_ Y Æ µÃ¹ ʸ ĸ¿Å ¹AÅÿĽÄÅÈ ZA ½¶ÇµÀ¶ÅD »µÇǸ ¶µÃÅ ¿E½·µ¶Å À¶ÊÀÂÃA Æ ¹A»A ʸÇǸ¶ÄD ¶µÄ¹¸¶µË½Ã ¶¸Å½ÄÀż½ÀÄ Æ ½Å ¿¸Å ÌË Æ µÄÌ(ŸŠʸ »¸Å Æ ½ Æ À¸¹ÅÈ `

TOPDKPME GwVaCODKBF Š II‹yBF FE NBKDTOUUKGE SBCNESEFDTOPRBCP~CPE SBQEFFE

OFKUBDPBTE ŠIä‹ EUD ME DQTE NOPKODKBFFEG BC FBFz iE {`VBPmSE Izäß RK^MEUUBCU NO

PVTBFMPE x REDDE aCEUDKBF EF SBFDPOFD aCwKG EUD EbERDKNESEFD ME DQTE NOPKODKBFFEGz

XBCP VFBFREP RE PVUCGDOD ME SOFKmPE TPVRKUEy FBCU ONBFU ~EUBKF ME GO MV}FKDKBF

UCKNOFDE W þ ‘F õ ˆ™ˆò õ ý ðû <µÀÄ

g

_{∈ C}

∞

_(R

2

_\{0})

ĸ¿ Âø

g(λp) =

g(p)

|λ|

3

,

∀λ ∈ R\{0}

½¶Ê

p

_∈

R

2

_\{0}

È =¶ ½Åŵ»À¸ ½¿µ¹Å B

g

ö¸ ÊÀÅĹÀáÃÄÀµ¶ Ä¸Ç Æ A¹A¸

L

g

ÊA?¶À¸ Æ ½¹

hL

g

, ϕ

i =

Z

4

2

dx g(x) ϕ(x)

− ϕ(0) − x · Dϕ(0) 1

B

1

(0)

(x)

ý õòõ ó Æ µÃ¹

ϕ

_{∈ S(R}

2

₎

D µI

S(R

2

₎

¸ÅÄ ¿E¸Å Æ ½»¸ ʸŠ¼µ¶»ÄÀµ¶Å ĸÅÄŠʸ <»ÌÓ½¹ÄÛ ¸Ä

B

1

(0)

¸ÅÄ

¿½ áµÃ¿¸ öÀÄA »¸¶Ä¹A¸ ¸¶ ÛA¹µÈ

=¶ ÊA?¶ÀÄ A º ½¿¸Ç¸¶Ä ¿½ Ĺ½¶Å¼µ¹ÇA¸ ʸ ܵùÀ¸¹ ʸ

ϕ

∈ S(R

2

₎

Æ ½¹

F(ϕ)(ξ) =

Z

4

2

dx ϕ(x)e

−iξ·x

.

eF O OGBPU GE D`VBPmSE UCKNOFD W 6‘òš” ö ý ð 7šˆúˆõ ö ›šˆ›™ˆò õõö ôôö ó “ ” ò “ö” ö õ™
›š œò“š˜“šö ” ò÷ öõõö ›õˆ’ò™šò
ö8 9ü8 6‘òš”ö ð ü:; <µÀÄ

g

_{∈ C}

∞

_(R

2

_{\ {0})}

ĸ¿ Âø

g(λp) =

g(p)

|λ|

3

,

∀λ ∈ R\{0}, ∀p ∈ R

2

È <µÀÄ

G :=

₋

1

2π

F(L

g

)

ŠI؋ µI

F(L

g

)

¸ÅÄ ¿½ Ĺ½¶Å¼µ¹ÇA¸ ʸܵùÀ¸¹ ʸ

L

g

ÈÉ¿µ¹Å

G(λp) =

|λ|G(p)

D

∀λ ∈ R\ {0}

D

∀p ∈ R

2

D ¸Ä

g



p

⊥

|p|



p

⊥

|p|

⊗

p

⊥

|p|

= D

2

_G



p

|p|



ŠIߋ c F TOPDKRCGKEPyBF NBKD aCE

G

EUD RBFNEdE UK ED UECGESEFD UK

g

≥ 0

z l E TGCUy ŠIߋ

UKkFK}E aCE MOFU GwVaCODKBF Š Iä‹y BF O

−F (D

2

_u

0

_{, Du}

0

_{) =}

MKN



∇G



Du

0

|Du

0

_|



|Du

0

_|,

RwEUD x MKPE aCE GE SBCNESEFD TOPRBCP~CPE SBQEFFE OFKUBDPBTE MVPKNE MwCFE VFEPkKE

RBFNEdE

R

G (Du

0

₎

z ö”›šø“ ö ý ð  G ÌËÅÀÂøǸ¶ÄD ¿½ Âý¶ÄÀÄA

F(L

g

)

¸ÅÄ ¶½Äù¸¿¿¸Ç¸¶Ä ʵ¶¶A¸ ¸Ä ¿½ ¼µ¶»ÄÀµ¶

g

Æ ¸ÃÄ ½¿µ¹Å HŸ » ½¿»Ã¿A¸ ¸¶ ÃÄÀ¿ÀŽ¶Ä > OPC ¾ > OXC µI ¿Eµ¶ Æ ¸ÃÄ A º ½¿¸Ç¸¶Ä ·A¹À?¸¹ ÅÀ

g

¸ÅÄ Æ µÅÀÄÀ·¸ µÃ ¶µ¶È Ò ½¶Å ¿¸ » ½Å ¿¸ Æ ¿ÃÅ ÅÀÇ Æ ¿¸ ÊE½ ÆÆ ¿À» ½ÄÀµ¶ Æ µÃ¹ ¿½ Ê˶½ÇÀÂø ʸŠÊÀÅ¿µ» ½ÄÀµ¶ÅD ¿¸ »¹ÀÅĽ¿ ¸ÅÄ ÊA»¹ÀÄ Æ ½¹ ¿EA¿½ÅÄÀ»ÀÄA Àŵŵ Æ ¸È aý¶Ê ¿¸ ·¸»Ä¸Ã¹ ʸ Vù º ¸¹Å ¸ÅÄ Æ ½¹½¿¿(¿¸ B ¿E½Õ¸

x

1

D µ¶ ½ ½¿µ¹Å

G(p) =

p

2

2

+

_1−ν

1

p

2

1

|p|

½·¸»

ν

_{∈ (−1,}

1

2

)

µI

ν

¸ÅÄ ¿¸ »µ¸b»À¸¶Ä ʸ G µÀÅŵ¶ Êà ǽÄA¹À½Ã ¸Ä

g(θ) =

(2γ

− 1)(θ

1

)

2

_{+ (2}

_{− γ)(θ}

2

)

2

|θ|

5

≥ 0

½·¸»

γ =

1

1

− ν

∈ (

1

2

, 2).