ARTheque - STEF - ENS Cachan | Mathématisation des problèmes concrets

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MATHEMATISATION DES PROBLEMES CONCRETS Exemples venant de la formation professionnelle

H. WERMUS

MOTS CLEFS: LES TROIS ENSEMBLES DE FORMULES (CONCEPTS) DE LA MATHEMATISATION - DESCRIPTION D'UNE SITUA TION POUR UNE PROCEDURE DE RESOLUTION -ENSEIGNEMENT DES PROBLEMES GRADUES - CONCEPT DE CIRCUIT SEMANTIQUE: CONNAISSANCES

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Introduction

On va commenter brievement quelques faits relatifs à la résolution des problèmes dans le cadre de l'ensegnement tech-nique. Ce processus de resolution d'un problème d'atelier comporte 3 phases, dont la prémière est trés spécifique et décisive,à savoir: la "mathématisation': la seconde étant celle de la procedure de résolution (du calcul) et la troisième celle de l'interprétation et réalisation materielle des résul-tats. Les trois phases constituent "en gros" le circuit seman-tigue entre les faits techniques et les faits théoriques. Nous allons nous borner dans ce bref article

à

la phase (1) de mathématisation. Il est connu, que l'apprentissage de la compétence dans une formulation correcte de cette premiere phase constitue une difficulté pédagogique majeure. Une suite progressive des exemples venant de la pratique professionnelle élaborée avec soin, est ici un outil didactique très privilégié.

Les observations qui suivent proviennent des experiences faites lors de notre long ensegnement (ZO ans) aux adultes

fr~quentant le Technicum du Soir (TDS)

et de

ceux de l'Insti~

tut Internat.d~ssistanceTechnique

à

Genève.

1. Les trois cat. égories des formules de la ma./thématisation

La transposition sur un plan scientifique (formel) d'un problème concret nécessite au moins trois cathégories concep-tuelles des formules ou symboles en vue de la résolution :

1)- Un ensemble des prédicats pertinents représentant les propriétés et relations relevantes pour le but (la solution) ~ envisagé: données configarationnelles, dimensions,constantes caractéristiques,vitesses,etc .. C'est l'ensemble f des symboles (prédicats) non analysés plus loin dans la situation donnée.

2)- Un ensemble d'enoncés H=(A,'fl'P_Z" · . ,Pk)'" .,A n), q~~ impliquen~!es prédicats Pi e~~es formules correctes (vraies) du point de vue mathématique (p.ex. éauations reflétant des

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2.- Exemples de quelques problèmes

Nous reproduisons ici à t i t r e d'illustration (échantillon) de nos cours au TDS (adultes') quelques problèmes élaborés

à

partir des données techniques. Pour permettre

à

mieux sairir le contexte professionnel de nos élèves nous reproduisons d'a-bord un dessin industriel contenant des données en vue d'un calcul d'une distance non mesurable directement sur une pièce On voit que le but ~,ici RA,donne lieu ~ une formule fort complexe. Les éléments de

li

intervenant dans la resolution, selon la coutume de l'atelier, ne sont pas reproduits. A

remar-quer que tous les éléments de

f

sont soit directement mesurés sur la pièce, soit prescrits par l'usinage ("données)

ei:

h.

cl,

-et,:~ :> ....

tr

~l'l.d~'.lé..-t d':~Yltt; mf'.sur~ .

mesure

,

mt!.sure leurs me ~a+~o\

Il est a

rem~nts

au TDS one

entam-études av~c une base scientifique élementaire, mais par contre avec une experience pratique du travail dans les ateliers de mécanique ou d'éléctricité. Nous reproduisons aussi (fig.2) un des problèmes de l'examen d'entrée au TDS, dont le rôle était moins d'éliminer que de sonder le niveau des candidats. Les problèmes indiqués dans les figures 3 (et7S.)

ont pu être traité valablement au cours du 2ème semestre du cours intensif des mathématiques (6 heures parsemaine).

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1) Oon3tr~ir3 le ce~tre

èe

gT2Vité

G

:::e

01..3

2) Ca::'cu12r l'a:--:g::cd... =?GOj~ '(

X OG '(

Centre Ce gravitci

~'~ne ~que~~8.

5

c ? 01.3 03A 01..

G::

a =

triengle

rect~ngle

'1=.

Jo:;; ée

DGsciner le tri2ngle et

o

K

₁₁

Ainsi les données ci-dessus font?artie de l'ensemble

f i

'~; l ' ensemble ~

=

(c", x, y). L'ensemble H se constitue au départ et pendant la procédure de resolution; dans l'exemple simple de la fig.2 on aura successivement

G sur la médiane OM, connaissance de la théorie

AM MB

(géometrie du triangle), , déf. de la médiane,

AB 2.0A, connaissances des relations (ou calcul intercalé) dans ce triangle

particulier (cf. donnée correspondante dans

fl

A

4 AM

=

a (qScm), inférence de A2 et A3, AS triangle OAM èquilateral,inférence à partir

de A

4 de la donnée ~ dans

f

et des connais-sances de la géometrie des triangles, delà B

l

=

angle GOA

=

60

0

A

6 OG

=

2/3 OM

=

2/3a (connaisance de la posi-tion du centre de gravité~ et

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Fi g .3

Voici un problème repris d'un manuel des constructions des machines

( fi

3·

3 )(A.Hess): ~Attention: dépendent des

X ~ ~).prédicats précédents

Ensemble

f

~ (l, r ,0< , J : ' " " (à mettre dans B)

où longueur de la bielle, r rayon du cercle entrainé,

x

~ angle de rotation,

x course du piston,

~ force appliquée au piston,

S force de poussée transmise par la bielle,

T

Force tangentielle d'entrainement, R "Pression" radiale,

(é remarquer que le manuel pression et mélange p et Bl

Ensemble B

parle indifferement de "force"

~ ( À- ~ f(x ), (3~ g(J() ,S , T , R )

ou de

oû les fonctions f et g sont é établir pour le rapport habituel de r/i ~

1/5

et en

utilisant l'approximation:

\~(;!lf ~1-1/2(f)1.

et le calcul de S,T,R à effectuer pour

p

~ 5000kg.

L'ensemble H et la procêdure de résolution vont faire appel à

cer~ines connaissances de géometrie-trigonometrie qui se trouvent

ainsi mises en pratique et consolidées. A remarquer le caractère "synthétique"du problème qui met en jeu des connaissances de plu-sieures domaines mais en relation avec une activité professionnelle.

En ce qui concerne l'ensemble ~, l'une des particularités de l'enseignement technique par problèmes gradués consiste é produ-ire les formules Al" .. A

n, les élementes de H,au cours de la pro-cédure de r~solution.Elles ne sont pas ensignées préalablement au

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sei n d' un~cha pit r e e n t i e r des mat h é mat i que s pou r

ê

t r e " a p pli -quées" ensuite, ainsi que cela se pratiquait souvent dans les collèges. En fait, les formules de H et la procédure interfè-rent constamment suivant les compÉtences cognitives et scienti-fiques de l'elève. Dans ces jeux complexes de la formation

ou même création conjointe des connaissances (H) et du "se-voire faire" (procé'dure) le support concret du problème fournit des suggéstions utiles tout en limitant des spéculations éga-rantes. L'exemple cité,ainsi que les suivants/porte essentiel-lement sur l'enseignement des relations trigonometriques dans un triangle et illus~ait (respectivement introduisait) les théorèmes qui gouvernent ce chapitre ("rÉsolution des trian-gles"). Voici encore un autre exemple qui fait appel aussi à une ceratine analyse des relations spatiales, soutenue au be-soin par une maquette:

B

~·3·l.j,1

a

A

Qota.twY1. d'I"tne (lor'te :t1cl,·..,i~

YOlitvt~€-'

-f~

Cl. ,

1-,

eX.

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~(blJ,H

Io.,,~,..

u.-:::.

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c

aJ.c,..J..

r-o"""

a.=~80""", .b..

'f'''''''

~ '" 30·, :=1(0"

" va consister essentiellement en formules exprimant les relations interfigurales du dessin; la proc~dure de resulution devra mettre en oevre une production tour à tour de divers triangles o~ ces formules per-mettent de calculer ~resoudre") les élements inconnus.

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Le problème suivant (fig.5), présentant des difficultés d'interpréta-tion aux collégiens, est assez biencompris des éléves techniciens, bien qu'il faille en~énéral suggérer des buts de calcul intermédiai-res : les angles aux ce\re.

CJ\lu,ne..

DI

r~rr~'~e~eKt

(4.

H

l!ss)

p

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A

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"kO~b~~ a~ cI.~

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cel-1.:tr€-;

Donnons encore un problème plus compelexe (2éme année de TDS):cf.fi~6 Il permet l'introduction d'une formule approchée pur le calcul du volume des corps moins simples: c'est la formule de Simpson,dite en milieu technique,~ "des trois niveaux",

.D

1 Cvre.rl-1e..:

c

~Jt'\'l<:Lre

~.

a-vec

c.o.to

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D=1,4'Wt.

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B~ ~~r"WltJitùt"t~

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(8)

~~uelgues observations

Ces quelques exemples montrent la richesse en relations interes-santes investies dans des problèmes émanant des situations techniques. On y trouve la réalisation des nombreux théorèmes du programme des mathématiques (p.ex. ici de géo.-trigoJ ainsi que l'exercice de l'ap-titude à la symbolisation et for~alisation des situations réelles: ensembles

f,li,

~.

Pour être plus complet, iLaurait

_,

fallu ajouter ici une analyse détaillée de divers composantes des pr0~edures de résolution, tant au point formel que cognitif; ce vaste, thème est laissé à une discussion à part~cf. cependant: Wermus 1982 et 1984.

~expérience de cet enseignement, gratifiant humainement et scien-tifiquement, montre, qu'il est récommendable, si non nécessaire,pour l'enseignant d'être familiarisé avec les questions relevant de la pra t i que des dive r s met i ers. Une n sei g n e men t se rie u,. qui réa 1 i s e l e circuit semantique entre la pratique et la théorie a toutes les chances d'être efficace et bien accueilli.

HENRI WERMUS Université de Genève

Quelques données bibliographiques:

H. Freudenthal: "Mathematics as an educational task", Dordrecht, Reidel 1973;

A. Hess :"Trigonometrie für Maschinenbauer", Berlin Springer 1926; J. Piaget:"Introduction à l'épistemologie génétique','vol.l: "La

pensée mathématique; Paris, PUF 1973; :"OÙ va l'éducation"~ris, Danoël 1972;

H.v.S.anden:"Praktische Mathematik", Stutgard, Teubner,1968; H.Wermus:"Procedures de la pensée naturelle et schèmes formels",

Cahiers Archives J.Piaget,no 2-3,Genève 1982; : "Relations entre proceduresj'et significations cognitives"

C.R. 6èmes j.internat. Chamonix 1984 Il (; ,'J.trr

Compte rendu deI a 28ème renc. de la Commission internat.pourl!améli: ration de j'enseignement des math."La problematique de l'enseign.