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Belief-Propagation Algorithm for a Traffic Prediction System based on Probe Vehicles

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(1)Belief-Propagation Algorithm for a Traffic Prediction System based on Probe Vehicles Cyril Furtlehner, Arnaud de la Fortelle, Jean-Marc Lasgouttes. To cite this version: Cyril Furtlehner, Arnaud de la Fortelle, Jean-Marc Lasgouttes. Belief-Propagation Algorithm for a Traffic Prediction System based on Probe Vehicles. [Research Report] RR-5807, INRIA. 2006, pp.23. �inria-00070217�. HAL Id: inria-00070217 https://hal.inria.fr/inria-00070217 Submitted on 19 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Belief-Propagation Algorithm for a Traffic Prediction System based on Probe Vehicles Cyril Furtlehner — Arnaud de La Fortelle — Jean-Marc Lasgouttes. N° 5807 Janvier 2006. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5807--FR+ENG. Thème BIO. apport de recherche.

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(221) lkÂy^v ψ(τα , τβ ) = p(τα |τβ ).. xi„|]j8xgilÊg{z}wx|]„z}Œ¢‡M~4Ši‡Mx‡¾´¶l«jU‡$v g@‡¢†

(222) l«‡M gilk‚{„z}wxz}Œ±l$wxz¨jU‡Mxz}|]Í|M®­xgilʌ$|]iŠYz¨xz}|]@‡M~ {‰ „|]y@‡My{z¨~¨z¨xz}l$w p(α|β) ylkxÈ´ªl$lk“x|.i|^Š{l$w α = (`, t) ‡MiŠ β = (` , t + 1) |M®/xgil>€„‡M‰{gÅw‚iŒg xg@‡Mx ` ‡MiŠ ` ¸;xgilUŒ$|]„„l$w‰|]iŠYz¨{W~¨z¨{·Yw¢¸¹‡M„lcŒ$|]{il$Œkxl$ŠSy^vS‡“Œ$|]„„lk~²‡Mxz}|]a~¨z¨{·¬(oµSxgil ~¨z¨j³z¨xn´gilk„lxgil³g{z}wx|]„z}Œ¢‡M~VŠi‡Mx‡Åz}w4l2i‡]Œkx¢¸/zì l€¬zÇ®xgilc‡]Œ$Œk‚{jn‚{~²‡Mxz}|]axz¨jcl³z}w4w‚Y§UŒkz}lk^x~¨v ~}|]{i¸ixgil¶ q|]z¨^x‰{„|]y@‡My{z¨~¨z¨xµv p(τ , τ ) xlkiŠ{wx| 0. 0. α. β. p(τα , τβ ) = εαβ τα τβ + (hβ − εαβ )¯ τα τβ + (hα − εαβ )τα τ¯β + (1 − hα − hβ + εαβ )¯ τα τ¯β .. fgilnŒ$|]iŠYz¨xz}|]@‡M~\‰{„|]y@‡My{z¨~¨z¨xµv“xgilk„lH®º|]„l4„l¢‡]Š{w. p(τα , τβ ) p(τα , τβ ) + p(τα , τ¯β ) hε hβ − εαβ i αβ τα + τ¯α = τβ hα 1 − hα hh − ε 1 − hα − hβ + εαβ i α αβ τα + τ¯α . + τ¯β hα 1 − hα. p(τβ |τα ) =. gºšY¬>ori. ¦ xxg{z}w‰|]z¨–xz¨xz}w³wx„‡Mz¨€g–xq®º|]„´¶‡M„Š x|ÊjU‡M·

(223) lÅxgilŌ$|]{il$Œkxz}|] ´z¨xg xgil(„‡MiŠ{|]j7oÖwz¨{ jc|QŠ{lk~®º|]„jn‚{~²‡Mxz}|]±|M® gº—Y¬>ori Dgº—Y¬è—iH¬ªoµiŠ{l$l$ŠF¸iwlkxxz¨{U‡M–‡Mz¨Â®º|]„ α ∈ G .   . sα = 2τα − 1,. ‡MiŠÂ‚iwz¨{³xgil4‰{„|]‰lk„xz}l$w|M®¹y{z¨@‡M„v†€‡M„z²‡My{~}l$w¢¸{´¶l4g@‡$†

(224) l ´z¨xg.       ψ(sα , sβ ) = exp log p(τα |τβ ) = exp Jαβ sα sβ + Hαβ sα + Hβα sβ + Cαβ ,     εαβ (1 − hα − hβ + εαβ ) 1   J = log ,  αβ   4 (hα − εαβ )(hβ − εαβ )         εαβ (1 − hα )2 (hα − εαβ ) 1    = H log αβ  4 (1 − h − h + ε )h2 (h − ε α. β. αβ. α. β. αβ ).     εαβ (hβ − εαβ ) 1   = log H ,  βα   4 (1 − hα − hβ + εαβ )(hα − εαβ )         εαβ (hα − εαβ )(hβ − εαβ ) 1   . Cαβ = log 4 (1 − hα − hβ + εαβ )h2α (1 − hα )2. Ù;ÙÁà{iñ ó ðkò. ,.

(225) o5l. `1 N 5 > "D ` n9.k." Z Z 56   

(226) )( ' )+Y36 3. xŸz¨@‡M~¨~¨v.  . Hα =. X. (Hαβ + Hβα ) +. X. (Hαβ + Hβα ),. Œ$|]j³‰{~}lkxl$wxgil­Œ$|]{il$Œkxz}|]W´z¨xgWxgil‹jc|^Š{lk~\|M®VtQl$Œkxz}|]Ê—Y¬è—Y¬ β∈a(α). KQ. . . U2^RB. . β∈c(α). UY[H#O\CU=E^DCOFIB ]LDXMU m U. oȍÆ|]„Š{lk„x|ʄl$Œ$|]iwx„‚iŒkx³xgilx„‡K§UŒ´¶l(‚iwl(‡Wjcl$ww‡M

(227) lH¼Ã‰@‡]wwz¨{ʉ{„|QŒ$l$ŠY‚{„l“‡Mjc|]{±xgil i|QŠ{l$wÅ|M®nxgilÊ€„‡M‰{g/¸>w‚iŒg xg@‡Mx(l¢‡]Œg͍i|^Š{l«wlkiŠ{w(x|Sz¨xwōilkz¨€g^y|]„wÅz¨xw(~²‡]wx(‚{‰Ši‡Mxl$Š lk†€‡M~¨‚@‡Mxz}|]Í|M®­xgilW‰{„|]y@‡My{z¨~¨z¨xÈv x|Æyl«w‡Mx‚{„‡Mxl$ŠF¬oµ x‚{„ xgil«i|QŠ{lÊlk†€‡M~¨‚@‡MxlÊxgil ‰{„|]y@‡My{z¨~¨z¨xÈv(|M®Ÿylkz¨{³w‡Mx‚{„‡Mxl$Š(p®¯„|]j xgil‹„l$Œ$lkz¨†

(228) l$ŠÅjcl$ww‡M

(229) l$w¢¸{‡]Œ$Œ$|]„ŠYz¨{€~¨v(x|#xgil‹jcl¢‡MY¼ Ä@lk~}ŠÂ„‚{~}l$w´ªl­Š{lkx‡Mz¨~\i|¢´­¬ ¦ ww‚{jclxg@‡Mx z}wVŒ$|]~¨~}l$Œkxz¨{nxgilz¨Y®º|]„jU‡Mxz}|]c®¯„|]j z¨xw‰@‡M„lk^xwVz¨ ¸^xgil$wlilkz¨€gY¼ y|]„w>‡M„l­i|]x>Œ$|]{iαl$Œkxl$ŠÊ‡MiŠ«‡~}|Q|]‰Â‰@‡]wwz¨{xg{„|]‚{€gÊwlk†

(230) lk„‡M~Ÿ|]xgilk„ia(α) |QŠ{l$wz}wil$l$Š{l$ŠÊz¨ 

(231) lkilk„‡M~VylH®º|]„lc‡ÅŒ$|]{il$Œkxz}|]¾z}w­l$wx‡My{~¨z}wgil$ŠF¬ ¦ Œ$Œ$|]„ŠYz¨{€~¨v«´¶l³ilk€~}l$Œkx­xgil³Œ$|]„„lk~²‡Mxz}|]iw ylkxµ´¶l$lkWxgil$wl‹i|QŠ{l$w‡MiŠ“´„z¨xl­xgil q|]z¨^x‰{„|]y@‡My{z¨~¨z¨xµv p τ , {τ }  ‡]w α. α. . p τα , {τβ }β∈a(α) = p(τα ) p {τβ }β∈a(α) |τα = τα hα + τ¯α (1 − hα ). β β∈a(α). .  Y. p(τβ |τα ). ´ z¨xg p(τ |τ ) €z¨†

(232) lkÂy^v gºšY¬>oriH¬ fgilcŠ{lHÄi{z¨xz}|]Æ|M®xgilcwŒgilkjcl³®º|]~¨~}|¢´wnxgil$wlcl2Y‰{„l$wwz}|]iwf­w‚{‰{‰|€wlxg@‡Mx#‡Mxnwxlk‰ ¸ xgilz¨iŠYz¨†^z}ŠY‚@‡M~!‰{„|]y@‡My{z¨~¨z¨xz}l$w¶‡M„l€z¨†

(233) lkcy–v p –xgil‚{‰Ši‡Mxl>|M® p ‡Mx5xgilil2YxVwxlk‰cz}w5xgilks €z¨†

(234) lkWy–v β∈a(α). β. α. s α. ps+1 = α. X. Q. Y p(τα = 1, {τβ })  ¯β (1 − hβ ) β∈a(α) τβ hβ + τ. ‡MiŠÂxgil2Ä"Yl$Š“‰|]z¨–xz}wxgilk„lH®¯|]„lnw|]~¨‚{xz}|]W|M® {τβ }. α. pα = h α. Y h. 1+. τβ psβ + τ¯β (1 − psβ ). β∈a(α).  pβ − h β i εαβ −1 . hα hβ 1 − hβ. . gºšY¬è—i. ¦ w­´¶lUwl$l€¸Ÿz¨Æ‡MyiwlkiŒ$l|M®ilk´,Ši‡¢v–¼Ãxz¨jclŊi‡Mx‡Y¸Ÿ´g{z}Œga´ª|]‚{~}ŠS®º|]„Œ$lUw|]jcl|M®xgil x| yl“ŠYzPtFlk„lk–x³®¯„|]j7xgilkz¨„cg{z}wx|]„z}Œ¢‡M~†]‡M~¨‚il h ¸ªxgilÂwŒgilkjcl“@‡Mx‚{„‡M~¨~¨v Œ$|]–†

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(236) l$wxp|±xgil g{z}wx|]„z}Œ¢‡M~¶l2Y‰l$Œkx‡Mxz}|]a†€‡M~¨‚il$w¢¬Wfg{z}w#jcl¢‡MY¼ºÄ@lk~}Ša‰{„|^Œ$l$ŠY‚{„lz}w.„‡Mxgilk„#Œk„‚iŠ{l“‡MiŠÆ€z¨†

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(238) l$wy@‡]Œ·Q´¶‡M„Š z¨ xz¨jcl€¸ yl$Œ¢‡M‚iwl‹xgiln‡M‰{‰{„| Qz¨jU‡Mxlnz¨iŠ{lk‰lkiŠ{lkiŒ$lnz}w~}|€wxylkxµ´¶l$lkWilkz¨€g–y|]„w¢¬ β∈a(α). β. β. ×C؟Ù\ׯÚ.

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(243) lk„viz}w|QŠ{‡#l †Q(`,z}wz¨xt)l$ŠÂ|Mw®¹z¨xxlgil4€„‡M‰{g  (`, t) z¨{z¨xz²‡M~¨>z v¢lnxgil‹Ä@lk~}Š p = p ô z¨{z¨xz²‡M~¨>z v¢lnxgil‹Ä@lk~}Š p = h ñ  ò ó w´¶t l$=lk‰Â2 xxgi| l­tw=lkxM|M®¹i|QŠ{l$w¢¸i‡MiŠ“‚{‰Ši‡Mxl­wl$^‚ilk–xz²‡M~¨~¨vÅxgil4´ªlkz¨€g^xw|]Ê‡M~¨~\xgil‹i|^Š{l$w |M®¹xgil4€„‡M‰{gW2l {Œ$lk‰{xxgil4†Qz}wz¨xl$Š“|]il$w ¸{

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