Les polynomes de Faber et La fonction τ pour les courbes analytiques

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Remerciements

Le présent travail a été réalisé sous la codirection de Monsieur Bensalem Jennan, Professeur au laboratoire de mathématiques et informatique de la faculté des sci-ences de Rabat et de Monsieur Ahmed sebb Mes remerciements vont en premier lieu à mon directeur de thèse: Ahmed Sebbar pour m’avoir confié ce sujet passionnant et riche en perspectives. J’aimerais exprimer mes profonds sentiments de recon-naissances pour son attention, sa gentillesse, son soutien, ses précieux conseils, sa patience et sa disponibilité.

Je remercie vivement Hélène Airault et Ahmed Zeriahi pour avoir très aimable-ment accepté de juger ce travail et d’élaborer les rapports.

Je remercie très chaleureusement Alain Yger pour sa disponibilité et pour avoir accepté de participer à mon jury de thèse et Hélène Airault d’avoir bien voulu présider le jury et pour les discussions que nous avons eues.

Un grand merci pour Abdellah Sebbar, pour avoir montré un intérêt constant depuis le début des travaux, et pour avoir indiqué et analysé certains articles impor-tants. Son soutien a donné l’impulsion d’une partie de ce travail et m’a familiarisé avec différentes méthodes et différents outils de la théorie des polynômes de Faber. Je remercie Ahmed Intissar et Bensalem Jennane qui m’ont fait l’honneur d’être présent au sein du jury.

Je voudrais particulièrement remercier Frédéric Naud. Sa présence et sa gen-tillesse m’ont beaucoup aidé depuis le début de mes études en France, elle m’a beaucoup encouragé et conseillé pendant la thèse.

Je souhaite remercier les ingénieurs de l’IMB pour leur gentillesse, leur disponi-bilité et leurs compétences. Je remercie tout ses membres, pour la direction, les

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secrétaires du labo et de l’École Doctorale et les bibilothécaires pour leur sympathie ainsi que Marion Cazeaux pour avoir assuré l’impression de cette thèse.

De manière générale, je voudrais exprimer ma gratitude envers les personnes qui ont rendu possible l’élaboration de ce travail et envers toutes les personnes avec qui j’ai pu avoir des discussions mathématiques.

Je voudrais remercier tous mes collègues de Bordeaux et très spécialement mes collègues de bureau Mathieu et Eric pour leur amitié.

Je n’oublie pas Xavier et Oswaldo pour leur générosité et pour leur aide.

J’exprime toute ma gratitude envers mes parents, pour leur éternel support et la compréhension dont ils ont constamment fait preuve, et également à ma grand-mère et toute ma famille pour leur encouragement et leur soutien. Je tiens rendre hom-mage à mon père et à mes grand-parents qui n’ont pu voir le travail que j’ai accompli.

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Introduction

La fonction τ pour les courbes analytiques est un sujet de recherche qui a connu récemment de nombreux développements [21, 24, 43, 45]. Une des raisons pour cela est que la fonction τ donne une solution formelle au problème de Dirichlet en dimension 2 et apparaˆıt comme la fonction τ des hiérarchies intégrables qui décrit les applications conformes d’un domaine simplement connexe sur le disque unité. On considère une courbe analytique fermée simple C dans le plan complexe et on note par D+ et D− les domaines intérieur et extérieur par rapport à la courbe.

Le point z = 0 est suppos´e toujours dans D+. Une courbe analytique ferm´ee est

caractérisée par les moments harmoniques de D₋et l’aire (divisée par π) du domaine D+: tk = 1 2πik Z C ¯ z zk dz, k ≥ 1; t = 1 2πi Z C ¯ z dz = A(D+) π ,

avec _A(D+) est l’aire de domaine. Le probl`eme inverse du potentiel en dimension 2

[39] est, connaissant les tk et t, de trouver les moments harmoniques de l’int´erieur

du domaine: vk = 1 2πi Z C zk z dz, k¯ ≥ 1, v = 2 π Z D+ log_{|z| d}2z

et de construire sa forme (d2_{z =} _{|dz∧d¯z|/2 est la mesure de Lebesgue ). La fonction}

τ (extérieur) pour la courbes analytique C répond à ce problème et on peut la définir par les équations suivantes [21]:

∂ log τ ∂tn = vn ∂ log τ ∂¯tn = ¯vn ∂ log τ ∂t = v.

I. K. Kostov, I. Krichever, M. Mineev-Weinstein, P. B. Wiegmann, A. Zabrodin et Leon A. Takhtajan ont donné une représentation intégrale de la fonction τ :

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par: log τ = − 1 π2 Z Z D+ log|z − w| d2_{z d}2_{w +} 2 π2A(D+) Z D+ log|z| d2_z = ₋ 1 π2 Z Z D+ log_|1 z − 1 w|d 2_{z d}2_w.

La fonction τ = τ (t, t1, ¯t1, t2, ¯t2, . . .) est exprim´ee en fonction des moments

har-moniques int´erieur et ext´erieur par la relation suivante [21]: 4 log τ = _−t2 + 2tv₋X

n>0

(n_{− 2)(t}nvn+ ¯tnv¯n).

Dans le cas o`u D est une ellipse, tk = 0 pour tout k ≥ 3 et la fonction τ est donn´ee

par [45]: log τ = −3 4t 2₊ 1 2t 2_log( t 1− 4|t2|2 ) + t 1− 4|t2|2 (|t1|2+ t21t¯2+ ¯t21t2).

Dans ce travail, on relie la fonction τ pour les courbes analytiques avec une fonction τ de la hiérarchie KP (τKP) dont on va rappeler la définition: la hiérarchie KP

([15],[3],[28], [25]) décrit un ensemble de déformations isospectrales d’un opérateur pseudo-différentiel du premier ordre:

L = ∂ + +∞ X j=1 aj+1(t)∂−j, (0.0.1)

où t := (t1, t2, . . .) sont les paramètres de déformation et

∂ = ∂

∂x, x = t1.

L’équation de déformation peut s’écrire sous la forme dite forme de Lax : ∂L

∂tn

= BnL− LBn= [Bn, L], Bn = (Ln)≥0, n ≥ 1,

(0.0.2)

où ( )_≥0 désigne la partie différentielle de l’opérateur (ie., les puissances positives de ∂) according to ∂. a(t) ∂i = ∞ X k=0 j k ∂k(a) ∂i+j−k.

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CONTENTS 7

La formule (0.0.2) peut être vue comme l’équation de la compatibilité du système linéaire suivant: Lξ = zξ, (0.0.3) ∂ξ ∂tn = Bnξ. (0.0.4)

La fonction ξ s’appelle la fonction d’onde de la hiérarchie KP. L’équation (0.0.3) est considérée comme le problème aux valeurs propres de l’opérateur L et l’équation (0.0.4) décrit l’évolution des fonctions propres par rapport aux variables t1, t2, . . ..

Une observation importante est que l’équation d’évolution de la hiérarchie KP est résolue à l’aide de la fonction τKP qui vérifie un système infini d’équations bilinéaires

qu’on peut r´esumer dans la formule suivante: resz=0[ξξ∗] = 0.

(0.0.5)

La fonction d’onde ξ et sa conjuguée ξ∗ _{sont reliées à la fonction τ}

KP par [9]: (0.0.6) ξ(t, z) = τ (t−[z])_{τ (t)} exp( +∞ X j=1 tjzj), ξ∗(t, z) = τ (t+[z])_{τ (t)} exp( +∞ X j=1 − tjzj)

où [z] = (1_z,_2z12,_3z13, . . .). L’identité (0.0.5) mène aux célèbres équations de Hirota,

qu’on va définir dans la suite. Par ailleurs, les polynômes de Shur élémentaires Sm

peuvent être définis à l’aide de la fonction génératrice formelle:

+∞ X m=0 Sm(x)zm = exp +∞ X n=1 znxn (0.0.7) avec S0 = 1, et (0.0.8) Sm(x) = X k1+2k2+...=m xk1 1 k1! xk2 2 k2! · · · .

Ici et dans la suite, x repr´esente le vecteur (x1, x2, . . .) et u repr´esente le vecteur

(u1, u2, . . .). Étant donné un polynôme P (x1, x2, . . .), qui dépend d’un nombre fini de

xj, et de deux fonctions C∞, f (x) et g(x), on note par P (D1, D2, . . .)f.g l’expression

P ( ∂ ∂u1

, ∂ ∂u2

, . . .)f (x1− u1, x2− u2, . . .)g(x1+ u1, x2+ u2, . . .)|u=0.

L’équation P (D)f.g = 0 s’appelle l’équation bilinéaire de Hirota. Par exemple, si P = xn

1, alors en utilisant la formule de Leibniz, on obtient:

D₁nf.g = n X k=0 (₋₁₎k n k ∂k_f ∂xk 1 ∂n−k_g ∂xn−k₁ .

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On appelle fonction τKP chaque solution formelle de: (0.0.9) +∞ X j=1 Sj(2y)Sj+1(− ˜D)(exp +∞ X s=1 ysDs)τKP.τKP = 0

où Sr est le polynôme de Shur élémentaire et ˜D représente le vecteur (D1,1₂D2, . . .).

Le d´eveloppement en s´erie de Taylor de (0.0.9) par rapport aux variables y1, y2, . . .,

nous permet de vérifier que tous les coefficients de la série sont nuls et donc de trouver une équation aux dérivées partièlles non-linéaire sous une forme bilinèaire. Ce système d’équation s’appelle la hérarchie KP [17]. Par exemple, pour tout r_{≥ 1,} le coefficient de yr est l’équation bilinèaire de Hirota:

(2Sr+1(− ˜D)− D1Dr)τKP.τKP = 0.

Utilisant l’expression explicite de Sm donn´ee par (0.0.8), on retrouve pour r = 3

l’´equation KP suivante sous la forme de Hirota:

(D₁4+ 3D2₂_{− 4D}1D3)τKP.τKP = 0.

Un résultat fondamental de la théorie KP est que les polynômes de Schur définis par Sλ(x) = det (Sλi+j−i(x))_{1≤i,j≤|λ|},

o`u λ = (λ1 ≥ λ2 ≥ . . .) est une partition, sont eux-mˆemes des solutions de la

hi´erarchie KP. On note

S_(1,1,...,1) := τKP.

Dans ce travail, nous montrons que la fonction τ pour les courbes analytiques et la fonction τKP sont reli´ees par la relation suivante:

(₋₁₎n+1 r(n + 1) ∂3_{log τ} ∂b1∂t∂tn+1 = τKP −1 n ∂2_{log τ} ∂t∂t1 ,−1 n ∂2_{log τ} ∂t∂t2 , . . . ,−1 n ∂2_{log τ} ∂t∂t_n−1 , où r est la capacité logarithmique du domaine et b1 est un coefficient qui sera précisé

au chapitre 2.

Une autre contribution essentielle de ce travail est de mettre en évidence des liens entre la fonction τ pour les courbes analytiques et certains objets fondamentaux de l’analyse complexe tels que la fonction de Green, le noyau de Bergman, la dérivée Schwarzienne, la densité hyperbolique et la capacité logarithmique.

Chaque domaine simplement connexe Ω de C est muni d’une m´etrique hyperbolique λΩ, et si ψ est une application conforme d’un domaine simplement connexe D sur

Ω , alors les deux m´etriques λΩ, λD sont reli´ees par la formule:

λΩ(ψ(z))|ψ

0

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CONTENTS 9

Dans le cas particulier du disque unité U , la métrique hyperbolique est donnée par:

(0.0.10) λU(z) =

2 1_{− |z|}2.

Nous montrons que la densit´e hyperbolique et la fonction τ d’un domain D sont reli´ees par: log λD(z) = 1 2(∇(z)) 2_{log τ} et log λD(0) = 1 2 ∂2_{log τ} ∂2_t .

Nous donnons une formule explicite de la densit´e hyperbolique dans un voisinage du centre d’un rectangle, retrouvant ainsi certains r´esultats de A. F. Beardon [4]. Si R(a, b) est le rectangle

R(a, b) = (_{−a, a) × (−b, b),}

o`u 0 < a≤ b. Nous montrons que dans un voisinage de (0, 0), on a: λR(x, y) = K a + k2_K3 2a3 x 2₊ (k2− 1)K3 2a3 y 2₊ K5 a5 k4 24+ k2 6 x4 + K 4 4a5 (3K− 2)k 4_{+ (3} − 4K)k2+ K_{− 1}y2x2 + K 4 24a5 (4− 3K)k 4 − 6k2+ 3K + 2y4+ o(_{x2+ y2_}52),

où k et K deux fonction en a et b et elles vont être précisés au chapitre 3.

Dans ce travail, nous donnons une expression de la fonction τ à l’aide des polynômes de Faber: Soit K un compact de C contenant au moins deux points et tel que son complémentaire bC_{\ K (b}C _{étant la sphère de Riemann) est simplement connexe,} d’après le théorème de représentation conforme de Riemann, il existe une fonction analytique unique z = ψ(ω) sur _{{|ω| > 1}, transformant le domaine {|ω| > 1} en} C_{\ K et vérifiant les conditions}

ψ(∞) = ∞, ψ0(∞) > 0.

Les n-èmes polynômes de Faber de première espèce Fn(z) et de deuxième espèce

Gn(z) associés à ψ sont définis par les fonctions génératrices suivantes ([12], [38])

ψ0_(w) ψ(w)_{− z} = ∞ X m=0 Fm(z)w−m−1, (0.0.11) 1 ψ(w)_{− z} = ∞ X m=0 Gm(z)w−m−1. (0.0.12)

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Sans diminuer la généralité, on suppose que le développement en série de Laurent de ψ est donné par:

ψ(ω) = ω + ∞ X k=0 bk+1 ωk , ω −→ ∞.

Nous observons que:

Fn(b1− z, b2, . . . , bn) := Fn(z), Gn(b1− z, b2, . . . , bn) := Gn(z) et ainsi: ψ0_(w) ψ(w) = ∞ X m=0 Fm(b1, b2, . . . , bm)w−m−1, 1 ψ(w) = ∞ X m=0 Gm(b1, b2, . . . , bm)w−m−1. (0.0.13)

Maintenant, on considère une courbe analytique C dans le plan complexe telle que D+ et D−représentent respectivement le domaine intérieur et extérieur par rapport

à la courbe. Soit ψ une application conforme de D₋ sur l’extérieur du disque unité telle que son développement en série de Laurent soit de la forme:

ψ(z) = 1 rz + ∞ X k=0 bk+1 zk , z −→ ∞.

D’après [21, 45, 43] la fonction ψ et la fonction τ sont reliées par: log_{|ψ(w)| = log |w| −} 1 2 ∂ ∂t∇(w) log τ, où ∇(z) = ∂ ∂t + X k≥1 z−k k ∂ ∂tk +z¯−k k ∂ ∂¯tk .

Nous montrons dans ce travail que la fonction τ pour les courbes analytiques s’exprime `a l’aide des polynˆomes de Faber par:

log τ = ₋3 4t 2_{+ t}2_{log r} −X m>0 (m_{− 2)(m + 4)} 4(m + 2) ttmFm(0) + t¯tmFm(0) − X n,m>0 X γ=m+n Cn,m_(i 2,i3,...,in+m) tntmbi22· · · b in+m n+m + ¯tn¯tm¯bi22· · ·¯b in+m n+m − X n,m>0 tmt¯nDm,n(b1, b2, . . . , ¯b1, ¯b2, . . .) + ¯tmtnDm,n(b1, b2, . . . , ¯b1, ¯b2, . . .) ,

(11)

CONTENTS 11

avec Fm(z) et Gm(z) sont les polynômes de Faber associés à z + P∞k=0 rbk+1 zk et Dm,n(b1, ¯b1, . . .) := n(n_{− 2)(m − 2)} 4(m + 2) m X i=1 ri i! ∂i_F m(0) ∂zi X ni=n−1 i Y k=1 Gnk(0) !

avec ni = n1+ n2+ . . . + ni, γ = 2i2+ 3i3+ . . . + (n + m)in+m et C(i2,i3,...,in+m) est

un coefficient qui sera pr´ecis´e au chapitre 2.

D’autre part, nos résultats sur les polynômes de Faber se situent dans la ligne de travaux de H. Airault et J. Ren [1]. Ces auteurs ont introduit la famille d’opérateurs suivants: Zk = − ∞ X n=1 nbn∂n+k−1

et ils ont montré que les polynômes de Faber vérifient les relations fonctionnelles suivantes: Z1Fn(b1, b2, . . . , bn) = −nFn(b1, b2, . . . , bn), Z2F0(b1, b2, . . . , bn) = 0, Z2F1(b1, b2, . . . , bn) = 0, Z2Fn(b1, b2, . . . , bn) = −nFn−1(b1, b2, . . . , bn−1) pour n ≥ 2, ZkFn(b1, b2, . . . , bn) = 0 pour n ≤ k − 2, ZkFk−1(b1, b2, . . . , bk−1) = 0, ZkFn(b1, b2, . . . , bn) = −nFn−k+1(b1, b2, . . . , bn−k+1) pour n > k− 1.

Pour notre part, nous introduisons les op´erateurs suivants: Wn = − ∂ ∂bn − ∞ X i=1 bi ∂ ∂bn+i .

et nous montrons que les polynˆomes de Faber Fn(b1, b2, . . . , bn) et Gn(b1, b2, . . . , bn)

vérifient pour n≥ 1 et m ≥ 0 les équations différentielles suivantes: WnFm = nδn,m,

WnGm = Gm−n.

et s’´ecrivent sous la forme suivante: Fk(b1, b2, . . . , bk) = [k 2] X i2=0 . . . [k k] X ik=0 A(i2,i3,...,ik)b i2 2 . . . bikkbk−2i 2−3i3−...−kik 1 , (0.0.14) Gk(b1, b2, . . . , bk) = [k+1 2 ] X i2=0 · · · [k+1 k ] X ik=0 B(i2,i3,...,ik)b i2 2 · · · bikkbk−2i 2−3i3−...−kik 1

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o`u A(i2,i3,...,ik) := (−1) k+i2+i4+...(k− i2− 2i3− . . . − (k − 1)ik− 1)!k (k_{− 2i}2− 3i3− . . . − kik)!i2!· · · ik! , B(i2,i3,...,ik) := (−1) k+i2+i4+... (k− i2− 2i3− . . . − (k − 1)ik)! (k− 2i2− 3i3− . . . − kik)!i2!· · · ik! . En particulier si ψ est donn´ee par:

z = ψ(ω) = ω + 1

m− 1ω1−m

qui est une application conforme de l’extérieur du disque unité sur l’extérieur d’une hypocyclo¨ıde à m pointes, on déduit de l’équation (0.0.14) la formule explicite des polynômes de Faber associés à cette hypocyclo¨ıde.

Les polynômes de Faber de deuxième espèce conduisent à une généralisation de l’équation de Cayley-Hamilton. Pour motiver nos résultats, on considère A _∈ SL2(C) une matrice d’ordre deux de déterminant égal à 1. On a:

A2_{− tA + I = 0,} t = tr(A). D’autre part ψ(z) := z + 1

z est une application conforme de l’ext´erieur du disque

unité sur l’extérieur de [-2, 2]. L’équation (0.0.13) devient: w w2_{− wz + 1} = ∞ X m=0 Gm(z)w−m−1.

Nous montrerons que pour tout n_{≥ 1, on a}

An = G_n−1(t)A_{− G}_n−2(t)I.

Le cas général où A _{∈ SL}p+1(C) sera traité dans le chapitre 1.

La dernière partie de ce travail est une contribution au problème d’unicité sur les polynômes:

Definition 0.0.1 Un compact K de C est dit ensemble d’unicit´e si pour tout cou-ple de polynˆomes unitaires non constants (P, R) _{∈ C[z] × C[z] tels que P}−1_{(K) =}

R−1_{(K), on a P = R.}

Notre approche est basée sur la théorie du pluripotentiel. Nous introduisons quelques notations et définitions utiles par la suite [18].

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CONTENTS 13

sup´erieurement non identique `a _{−∞ sur aucune composante connexe de Ω. Une} telle fonction u est dite sousharmonique sur Ω si pour tout ouvert G relativement compact de Ω et pour toute fonction h harmonique sur G et continue sur G, u≤ h sur G lorsque u_{≤ h sur ∂G. On note par SH(Ω) la classe des fonctions harmoniques} sur Ω.

Soit Ω un ouvert de Cn_{, et soit u : Ω} _{−→ [−∞, +∞[ une fonction semi-continue}

sup´erieurement non identique `a _{−∞ sur aucune composante connexe de Ω. La} fonction u est dite plurisousharmonique dans Ω si pour tout a _{∈ Ω et b ∈ C}n_,

la fonction λ 7−→ u(a + λb) est sousharmonique ou identique à −∞ sur chaque composante de l’ensemble_{{λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Dans ce cas, on écrit u ∈ P SH(Ω).} Une fonction u_{∈ P SH(C}n_{) est dite à croissance minimale si}

u(z)− log kzk ≤ o(1) pour kzk → ∞. La famille de ces fonctions sera not´ee L.

Un ensemble E _{⊂ C}n_{est dit pluripolaire si pour tout a}_{∈ E, il existe un voisinage V}

de a dans Cn _{et une fonction u}_{∈ P SH(V ) tels que E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u(z) = −∞}.}

Soit E _{⊂ C}n_{un compact. L’enveloppe polynˆ}_{omialement convexe de E est l’ensemble}

b

E ={z ∈ Cn _:_{|P (z)| ≤ kP k}

∞,K, P ∈ C[z1, . . . , zn]}.

Definition 0.0.2 [18] Soit Ω un ouvert du plan complexe tel que C_{\ Ω est compact.} La fonction de Green généralisée de Ω, si elle existe, est une fonction gΩ : Ω →

(0,∞) vérifiant les propriétés suivantes: (i) gΩ est harmonique;

(ii) lim

z→∞(gΩ(z)− log |z|) = 0

(iii) il existe un ensemble polaire F ⊂ ∂Ω tel que ∂Ω\F 6= ∅ et pour tout ω ∈ ∂Ω\F on a lim

z→ωgΩ(z) = 0.

La fonction V∗

K est la r´egularisation semi-continue sup´erieurement de la fonction VK

qui est égale à zéro sur bK et égale à la fonction de Green généralisée de C_{\ b}K, avec un pôle à l’infini sur C\ bK.

Le résultat suivant est dû à T. C. Dinh:

Theorem 0.0.2 [11] Soit E ⊂ C un compact de capacit´e logarithmique positive. On suppose que pour chaque polynˆome P 6= id on a P−1_(E) _{6= E. Alors pour tous}

polynˆomes non constants f et g tels que f−1_{(E) = g}−1_{(E) on a f = g.}

Dans ce travail, on montre le r´esultat suivant: soit K un compact non polaire de C, les conditions suivantes sont ´equivalentes:

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i) Pour tous polynˆomes unitaires non constants P , R_{∈ C[z], P}−1_{(K) = R}−1_(K)

implique qu’il existe une constante M > sup_K_b V∗

K telle que P−1(VK∗ < M ) =

R−1_(V∗

K < M )

ii) K est un ensemble d’unicit´e.

Et en utilisant le théorème 0.0.1, on déduit le résultat suivant: soit K un com-pact non polaire de C. Les conditions suivantes sont équivalentes:

i) Pour tous polynˆomes unitaires non constants P , R_{∈ C[z]} P−1_{(K) = R}−1_{(K) implique qu’il existe une constante M > sup}

b

KVK∗ telle que

P−1_(V∗

K < M ) = R−1(VK∗ < M ).

ii) Pour tout polynˆome unitaire P _{6= id on a P}−1_(K)_{6= K.}

R´esum´e des chapitres Chapitre 1

Le premier chapitre présente des résultats concernant les polynômes de Faber. On donne une expression explicite des polynômes de Faber et des polynômes de Faber généralisés intoduits par H. Airault and J. Ren in [1]. On introduit une nouvelle famille des polynômes reliés aux polynômes de Faber. Ceci permet au passage d’obtenir une généralisation de l’équation de Cayley-Hamilton.

Chapitre 2

Le deuxième chapitre concerne la fonction τ pour les courbes analytiques. Les dérivées secondes de la fonction τ (par rapport aux moments) pour les courbes an-alytiques sont les coefficients du développement en série de Taylor de la fonction de Green et donc ils résolvent le problème de Dirichlet [24]. Dans ce chapitre, on étudie les dérivés secondes de la fonction τ et on montre qu’elles sont liées aux polynômes de Faber, la fonction τKP de la hiérarchie KP, la métrique hyperbolique et la

ca-pacité logarithmique. On obtient des expressions explicites de la fonction τ , de la fonction de Green et du noyau de Bergman. Finalement, on donne un exemple de la fonction τ pour l’extérieur et l’intérieur d’une ellipse.

Chapitre 3

Dans la troisième partie, on donne une formule explicite de la densité hyperbolique de rectangle au voisinage de son centre. On retrouve certains résultats de A.F. Beardon [4]. Ainsi, on met en évidence une relation entre la densité hyperbolique du rectangle et sa capacité logarithmique.

Chapitre 4

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CONTENTS 15

on montre le résultat suivant: soit K un compact non polaire de C et P, R _∈ C_[z₁_{, . . . , z}_n_{] deux polynômes non constants de degrés respectifs d et r. Supposons} que P−1_(V∗

K < M ) = R−1(VK∗ < M ) ( pour une constante positive M > supKbVK∗),

où bK est l’enveloppe polynômialement convexe de K. Les deux principaux résultats de ce travail sont:

i) si P−1_{(K) = R}−1_{(K), alors P = α(R) o`}_{u α(z) est une rotation de C qui conserve}

K.

ii) soit α un n-multi-indice de longueur m, alors pour tout P, R ∈ P(α) := zα ₊

C

m−1[z1, . . . , zn] et pour tout compact K ∈ C, contenant au moins deux points et

ayant l’origine pour centre de Chebyshev, la condition _{kP k}_∞,P−1_(K) =kRk_∞,P−1_(K)

entraˆıne P = R. Par cons´equent, chaque P ∈ P(α) est le polynˆome de Chebyshev de P−1(K).

(16)

(17)

Chapter 1 The Faber polynomials and

Cayley-Hamilton equation

La majeure partie de ce chapitre a fait l’objet d’une publication dans le bulletin des sciences math´ematiques [7].

1.1 Introduction

The Faber polynomials introduced by Faber [12] play an important role in different areas of mathematics and there is a rich literature [8, 38, 41, 30] describing their properties and their applications. In this chapter, our goal is to show that elementary linear algebra techniques can provide new tools for the analysis of Faber polynomials. Let us briefly recall the basic definitions. Let K be a compact set in C, not a single point, whose complement bC _{\ K (with respect to the extended plane) is simply} connected. By the Riemann theorem on conformal mapping there exists a unique function z = ψ(w), meromorphic for _{|w| > 1, which maps the domain |w| > 1 onto} b

C_{\ K and satisfies the conditions}

ψ(_{∞) = ∞, ψ}0(_{∞) > 0.}

This condition implies that the function z = ψ(w), being analytic in the domain |w| > 1 without the point w = ∞, has a simple pole at the point w = ∞.

(18)

associated to ψ can be given from the following generating function ([12], [38]) ψ0_(w) ψ(w)− z = ∞ X m=0 Fm(z)w−m−1, (1.1.1) 1 ψ(w)_{− z} = ∞ X m=0 Gm(z)w−m−1. (1.1.2)

In this paper, the Laurent expansion of the mapping ψ is given by:

(1.1.3) ψ(w) = w + ∞ X k=0 bk+1 wk , w−→ ∞.

The variables (b1, b2, . . . , bn, . . .) are in the subset M of CN such that ψ is

uni-valent outside of the unit disk. From (1.1.1) and (1.1.2), the Faber polynomials Fn(b1, b2, . . . , bn) := Fn(0) and Gn(b1, b2, . . . , bn) := Gn(0) are given by [1]:

ψ0_(w) ψ(w) = ∞ X n=0 Fn(b1, b2, . . . , bn)w−n−1, (1.1.4) 1 ψ(w) = ∞ X n=0 Gn(b1, b2, . . . , bn)w−n−1, (1.1.5) with F0 = G0 = 1 and F1 = G1 = −b1.

On the submanifold M, we introduce the family of the partial differential operators (Wn)n≥1, the variables are b1, b2, . . . , bn, . . ., and _∂b∂_n denotes the partial derivative

with respect to the n-th variables bn,

Wn = − ∂ ∂bn − ∞ X i=1 bi ∂ ∂bn+i . We prove that:

Theorem 1.1.1 The Faber polynomials Fn(b1, b2, . . . , bn) and Gn(b1, b2, . . . , bn)

ver-ify the following differential equations for any n_{≥ 1 and m ≥ 0:} WnFm = nδn,m,

(1.1.6)

WnGm = Gm−n.

(19)

Introduction 19

Theorem 1.1.2 For any k _{≥ 2, the polynomials F}k(b1, b2, . . . , bk) and Gk(b1, b2, . . . , bk)

are given by:

Fk(b1, b2, . . . , bk) = [k 2] X i2=0 · · · [k k] X ik=0 A(i2,i3,...,ik)b i2 2 · · · bikkbk−2i 2−3i3−···−kik 1 , (1.1.8) Gk(b1, b2, . . . , bk) = [k+1₂ ] X i2=0 · · · [k+1_k ] X ik=0 B(i2,i3,...,ik)b i2

2 · · · bikkbk−2i1 2−3i3−···−kik.

(1.1.9) where A(i2,i3,...,ik) := (−1) k+i2+i4+···(k− i2− 2i3− · · · − (k − 1)ik− 1)!k (k_{− 2i}2− 3i3− · · · − kik)!i2!· · · ik! , B(i2,i3,...,ik) := (−1) k+i2+i4+··· (k− i2− 2i3− · · · − (k − 1)ik)! (k− 2i2− 3i3 − · · · − kik)!i2!· · · ik! . Remark 1.1.1 The Faber polynomials Fk(b1, b2, . . . , bk) can be written as:

Fk(b1, b2, . . . , bk) = X i1+2i2+···+kik=k A(i1,i2,i3,...,ik)b i1 1 bi22· · · bikk, where A(i1,i2,i3,...,ik) := (−1) i1+i2+i3+···+ik(i1+ i2+ i3+· · · + ik− 1)!k i1!i2!· · · ik! . • F2 = b21− 2b2 • F3 =−b31+ 3b1b2− 3b3 • F4 = b41− 4b21b2+ 2b22+ 4b1b3− 4b4 • F5 =−b51+ 5b31b2− 5b21b3 + 5b2b3− 5b1(b22− b4)− 5b5 • F6 = b61− 6b41b2− 2b32 + 6b31b3+ 3b2 3+ b21(9b22− 6b4) + 6b2b4+ 6b1(−2b2b3 + b5)− 6b6 • F7 =−b71+ 7b15b2− 7b41b3 + 7b31(−2b22+ b4) + 7b21(3b2b3 − b5) + 7b1(b32 − b23− 2b2b4+ b6)− 7(b22b3− b3b4− b2b5+ b7) • F8 = b81− 8b61b2+ 8b51b3+ 4b14(5b22− 2b4) + 8b31(−4b2b3 + b5)− 4b2 1(4b32− 3b23 − 6b2b4+ 2b6) + 8b1(3b22b3− 2b3b4− 2b2b5+ b7) + 2(b4 2− 4b2b23− 4b22b4+ 2b24+ 4b3b5+ 4b2b6 − 4b8)

(20)

• F9 =−b91+ 9b17b2− 9b61b3 + 9b32b3− 3b33 + 9b51(−3b22+ b4) + 9b4 1(5b2b3− b5)− 9b22b5+ 9b4b5+ 9b3b6+ 3b31(10b32− 6b23− 12b2b4+ 3b6) + 9b2(−2b3b4+ b7)− 9b21(6b22b3− 3b3b4 − 3b2b5+ b7)− 9b1(b42 − 3b22b4+ b24+ 2b3b5+ b2(−3b23+ 2b6)− b8)− 9b9 • F10= b101 − 10b81b2 − 2b52+ 10b71b3+ 5b6 1(7b22− 2b4) + 10b32b4 + 10b51(−6b2b3+ b5) + 5b22(3b23− 2b6)− 5b4 1(10b32− 5b23− 10b2b4+ 2b6) + 10b31(10b22b3− 4b3b4− 4b2b5 + b7) + 5b2 1(5b42− 12b22b4+ 3b24+ 6b3b5+ 6b2(−2b23+ b6)− 2b8)− 10b2(b24+ 2b3b5− b8)− 10b1(4b32b3 − b33− 3b22b5+ 2b4b5+ 2b3b6+ b2(−6b3b4+ 2b7)− b9) + 5(_−2b2 3b4+ b25+ 2b4b6+ 2b3b7− 2b10) • F11=−b111 + 11b19b2− 11b81b3+ 11b71(−4b22+ b4) + 11b61(7b2b3− b5) + 11b5 1(7b32− 3b23− 6b2b4+ b6)− 11b41(15b22b3 − 5b3b4 − 5b2b5+ b7)− 11b3 1(5b42− 10b22b4 + 2b24 + 4b3b5+ b2(−10b23+ 4b6)− b8) + 11b2 1(10b32b3− 2b33 − 6b22b5+ 3b4b5+ 3b3b6+ 3b2(−4b3b4+ b7)− b9) + 11b1(b52− 4b32b4+ 3b23b4− b25− 2b4b6+ b2 2(−6b23+ 3b6)− 2b3b7+ b2(3b24+ 6b3b5− 2b8) + b10)− 11(b4 2b3− b32b5+ b23b5− b5b6− b4b7+ b22(−3b3b4+ b7) + b3(b24− b8)− b2(b33− 2b4b5 − 2b3b6 + b9) + b11).

If we consider the mapping function ψ defined by z = ψ(w) = w + 1

m− 1w

1−m

which is conformal in the exterior of the unit circle. The boundary of the associated compact set

K = bC_{\ {z ∈ C : z = ψ(w), |w| > 1}} is called a m-cusped hypocycloid.

As consequence of the Theorem 1.1.2, we have the following result (which was ob-tained in [14] using the Cauchy integral formula):

Corollary 1.1.3 The Faber polynomial Fk associated to an m-cusped hypocycloid

is given by Fk(z) = ( 1 m− 1) j_zp j X i=0 (k_{− (m − 1)i − 1)!k} (k− mi)!i! (−1) i_((m_{− 1)z}m₎j−i_, with k = jm + p and 0_{≤ p < m.}

(21)

Introduction 21

Using the formula (1.1.8), we give an explicit formula of the Faber polynomials of a rectangle by means of Legendre polynomials Pn which can be defined for any

x∈ [−1, 1] by ([37], p. 392): (1.1.10) Pn(x) = 1 2n_n! dn dxn(x 2_{− 1)}n_, or Pn(x) = 1 2n [n₂] X k=0 (₋₁₎k_(2n_{− 2k)!} k!(n− k)!(n − 2k)!xn−2k

and of the help of the incomplete elliptic integrals defined in [22] by: K = Z π 2 0 dt p 1_{− k}2_sin2_t, E = Z π 2 0 p 1− k2_sin2_{t dt}

where k = sin(α) is the elliptic modulus (see figure below).

B P S Q B P A A R C D Q S D R C

ψ

α

Theorem 1.1.4 The Faber polynomials of the rectangle of width 2b are given by:

F2k+1(z) = [2k+1 2 ] X i2=0 · · · [2k+1 2k ] X i2k=0 C(i2,i4,...,i2k) c i2 1 ci24· · · cik2k bz 2L

2k−2i2−4i4−···−2ki2k+1

F2k(z) = [2k 2] X i2=0 · · · [2k 2k] X i2k=0 C(i2,i4,...,i2k) c i2 1ci24· · · cik2k bz 2L

(22)

where

L = E_{− (1 − k}2)K C(i2,i3,...,ik) = (−1)

i2+i3+···+ik(k− i2− 2i3− · · · − (k − 1)ik− 1)!k

(k− 2i2− 3i3− · · · − kik)!i2!· · · ik!

and cn is given by:

c1 = µ := cos 2α

cn = −

Pn(µ)− µPn−1(µ)

n(2n− 1) . A few values of cn are as follows:

c1 = µ, c2 = µ 2₋₁ 6 c3 = µµ 2₋₁ 10 , c4 = (1−µ2_)(1−5µ2₎ 14 c5 = µ(µ 2_{−1)(3−7µ}2₎ 72 , c6 = (µ2_{−1)(1−14µ}2_+21µ4₎ 22 .

Which gives the first Faber polynomials associated to the rectangle.

Remark 1.1.2 If we take α = 0, then µ = 1, k = 0 and an = 0 for n ≥ 2.

Thus, the rectangle reduces to a segment of type [−d, d]. In this case, we deduce from Theorem 1.1.4, a classical algebraic expression of Faber polynomials of a segment:

Fn(z) = n [n₂] X i = 0 (−1)i n_{− i} n− i i 2z d n−2i ,

where [x] is the greatest integer contained in x, and

n_{− i} i

is a binomial coeffi-cient. In particular Fn(z) = 2 cos n(arcosz_d) for −d ≤ z ≤ d.

In the case of a square, we get:

Corollary 1.1.5 The Faber polynomials of the square of side a are given by: Fm(z) = m X i=0 z κ i X

i+4i4+8i8+12i12+···+=m

L(i,i4,i8,...,)(−1) i4+i8+i12+···+_ai4 4 ai88ai1212· · · , where L(i,i4,i8,i12,...) := (i + i4+ i8+ i12+· · · − 1)!m i!i4!i8!i12!· · · a4n = (−1)n 1.3.5_{· · · (2n − 3)} 2.4.6.8· · · 2n 1 4n− 1 κ = aΓ( 1 4) Γ(1₂)Γ(3₄)

(23)

Introduction 23

and the Euler function Gamma is given by: Γ(z) =

Z ∞ 0

tz−1e−tdt. The first Faber polynomials associated to a square are:

• F1(κz) = z • F2(κz) = z 2 • F3(κz) = z 3 • F4(κz) = 2 3 + z 4 • F5(κz) = 5z 6 + z 5 • F6(κz) = z 2_{+ z}6 • F7(κz) = 7z3 6 + z7 • F8(κz) =− 2 63 + 4z4 3 + z 8 • F9(κz) = 5z 56 + 3z5 2 + z 9 • F10(κz) = 5z2 21 + 5z6 3 + z 10 • F11(κz) = 209z3 504 + 11z7 6 + z 11 • F12(κz) = 106+1287z4_+4158z8_+2079z12 2079 • F13(κz) = 1885z+28314z 5_+72072z9_+33264z13 33264 • F14(κz) = ₂₉₇1 (25z2+ 330z6+ 693z10+ 297z14) • F15(κz) = 4595z 3_+46530z7_+83160z11_+33264z15 33264 • F16(κz) = −1258+9744z 4_+74844z8_+116424z12_+43659z16 43659 • F17(κz) = _55883521 (−105247z + 1922088z5+ 11498256z9_{+ 15833664z}13_{+ 5588352z}17₎ • F18(κz) = −29z 2_+2450z6_+11781z10_+14553z14_+4851z18 4851 • F19(κz) = _55883521 (76361z3+ 3974040z7+ 15800400z11_{+ 17696448z}15_{+ 5588352z}19₎

(24)

• F20(κz) = 1 2488563(52642 + 111435z 4_{+ 2405970z}8_{+ 8097705z}12_{+ 8295210z}16₊ 2488563z20₎ • F21(κz) = _303367681 (509023z + 2815914z5+ 38731728z9+ 112498848z13_{+ 106178688z}17_{+ 30336768z}21₎ • F22(κz) = ₇₅₄₁₁1 (1091z2+ 12369z6+ 124089z10_{+ 316008z}14_{+ 276507z}18_{+ 75411z}22₎ • F23(κz) = 1 637072128(9578465z3+ 169063938z7+ 1323690480z11+ 2994491808z15_{+ 2442109824z}19_{+ 637072128z}23₎ • F24(κz) = _132217352191 (−211911706 + 264396132z4_{+ 5350291947z}8_{+ 34087782960} z12_{+ 69256708290z}16_{+ 52886940876z}20_{+ 13221735219z}24_).

In [1], the authors introduced the generalized Faber polynomials (Hk

j) associated to the function ψ(w) = w + P∞_k=0 bk+1 wk by: (1.1.11) wψ0(w) ψ(w) ψ(w) w k = 1 + ∞ X j=1 H_jk−jw−j and the generalized Faber polynomials (Fk

j ) associated to the univalent function

f (z) = z(1 + b1z + b2z2+· · · + bnzn+· · · ) by zf0(z) f (z) f (z) z k = 1₋ ∞ X j=1 F_jk+jzj.

They showed that those Faber polynomials are linked to the coefficients in the asymptotic expansion of the function ψ(w)_w p:

(1.1.12) ψ(w) w p = 1 + ∞ X n=1 K_npw−n. When ψ(z)_z = zf (1_z), then (1.1.13) K_jk = 1 2(H k−j j − F k+j j ).

In this paper, we give explicit formulas for the polynomials (Hk

j), (Fjk) and (Kjk).

For an indeterminate u, we set

s(u) =

+∞

X

j=1

(25)

Introduction 25 and a1 = −b1, aj = 1 1_{− j}(1 + s(u)) j−1 j , for j = 2, 3, . . .

such that (1 + s(u))j−1_j stands for the coefficient of uj _{in the Taylor expansion of}

(1 + s(u))j−1_{. For simplicity, we set λ = i}

2+ i3 +· · · + im+n and γ = 2i2+ 3i3 +

· · ·+(n+m)in+m. Using the explicit formula of the Faber polynomials, we will show

that:

Theorem 1.1.6 The coefficients Km

n are given by:

If n≤ m, we have

K_nm = X

n+i1+2i2+3i3+···+mim=m

L(n,i1,i2,i3,...,ik)(−1) i1+i2+i3+···+ik_ai1 1 ai22· · · aimm and if n > m we get: K_nm = ∞ X m=1 1 m X γ=m+n H(i2,i3,...,in+m)a i2 2 · · · a in+m n+m X nm=n m Y i=1 Gni(b1, b2, . . . , bni) ! , where L(n,i1,i2,i3,...,im) := (n + i1+ i2+· · · + im− 1)!m n!i1!· · · im! , H(i2,i3,...,in+m) := −nm(λ − 1)! i2!· · · in+m! [ n+m_Y j=2 (x− x j 1_{− x} ) ij_] n

such that [. . .]n denotes the coefficient of xn in the expansion of the expression in

the bracket in power of x.

Combining (1.1.4) with (1.1.11), we get 1 + ∞ X n=1 Fn(b1, b2, . . . , bn)w−n ! 1 + ∞ X n=1 K_nkw−n ! = 1 + ∞ X j=1 H_jk−jw−j thus ∞ X n=0 n X i=0 F_n−i(b1, b2, . . . , bn)Kik ! w−n ₌ ∞ X j=0 H_jk−jw−j with F0(b1, b2, . . . , bn) := K0k := H0k := 1.

(26)

We obtain : (1.1.14) H_nk−n = n X i=0 F_n−i(b1, b2, . . . , bn)Kik.

From (1.1.8) we get an explicit formula of F_n−i(b1, b2, . . . , bn) and if we combine

Theorem 1.1.6 with (1.1.14) we get an explicit expression from Hk−n

n . When ψ(z)

z =

zf (1_z) and from (1.1.13), the polynomials F_jk+j are expressed by: F_jk+j = H_jk−j_{− 2K}_jk

which gives also an explicit formula for F_jk+j.

In the sequel, we give a generalized Cayley-Hamilton equation. To motivate our results, we consider the case A _{∈ SL}2(C) := {X ∈ M2(C), det X = 1}. The

Cayley-Hamilton equation can be written as: A2− tA + I = 0. It’s well known that ψ(z) := z + 1

z is the conformal map from the exterior of the

unit disk onto the exterior of [_{−2, 2]. The equation (1.1.2) will becomes:}

(1.1.15) w w2_{− wz + 1} = ∞ X n=0 Gn(z)w−n−1.

We will show that for any n≥ 1, we have

(1.1.16) An = G_n−1(t)A_{− G}_n−2(t)I.

Which gives the following:

Proposition 1.1.7 If A ∈ SL2(C), then for any m1, m2 ≥ 1, we have:

Gm2−1A m1 _{− G} m1−1A m2 _{= (G} m1Gm2−1− Gm1−1Gm2)I. Now, if we set (1.1.17) Gm1,m2 : = Gm1Gm2−1− Gm1−1Gm2

the Proposition 1.1.7 can be written as: G0,m2A

m1 _{− G}

0,m1A

m2 ₌ _G

(27)

Introduction 27

Using the equation (1.1.15), the polynomials _Gm1,m2 verify:

ξ1− ξ2 PA(ξ1)PA(ξ2) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 Gm1,m2(t)ξ −m1−1 1 ξ2−m2−1.

More generally, we give a general Cayley-Hamilton equation in the help of the poly-nomials_Gm1,m2,...,mp+1 defined as follows: let A∈ SLp+1(C) and PA(ξ) = det(ξI−A)

its characteristic polynomial. We define these polynomials by (1.1.18) _Q_p+1ap(ξ) i=1PA(ξi) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 · · · ∞ X mp+1= 0 Gm1,m2,...,mp+1(t) p+1 Y i=1 ξ−mi−1 i with ap(ξ) = Y 1≤i<j≤p+1 (ξi− ξj), t = T race(A).

We will show that:

Theorem 1.1.8 Let A_{∈ SL}p+1(C), then for every no-negative integer mi, 1≤ i ≤

p + 1, we get the following generalized Cayley-Hamilton equation:

p+1 X i=1 (₋₁₎i−1_G0,m1,m2,..., ˜mi,...,mp+1 A mi ₌ _G m1,m2,...,mp+1I,

where_G0,m1,m2,..., ˜mi,...,mp+1 find by removing the indice miof the polynomialsG0,m1,m2,...,mi,...,mp+1.

In order to give a simplifed expression to the polynomials _Gm1,m2,...,mp+1, we

associ-ated to the matrix A _{∈ SL}p+1(C) the polynomials Gkp(t) defined by the generating

function: (1.1.19) ξ p PA(ξ) = ∞ X k = 0 Gkp(t)ξ−k−1.

If we consider the case p = 1 in (1.1.19) that is A ∈ SL2(C), putting PA(ξ) =

ξ2_{− tξ + 1 into the expression (1.1.19) and comparing with (1.1.15), we obtain:}

G1

n = Gn.

(1.1.20)

Definition 1.1.1 The polynomials _G_kp is called the Faber polynomials associated to the matrix A.

(28)

Combining this with the equation (1.1.17), we have: G0,m+1 = Gm1, (1.1.21) Gm1,m2 = G 1 m1G 1 m2−1− G 1 m1−1G 1 m2. (1.1.22)

And in general form we have:

Theorem 1.1.9 The polynomialsGm1,m2,...,mp+1 are given in terms of the

polynomi-als Gmi, 1 ≤ i ≤ p + 1 as follows: (1.1.23) _Gm1,m2,...,mp+1 = Gp m1 G p m2 . . . G p mp+1 Gmp1−1 G p m2−1 . . . G p mp+1−1 .. . ... . . ... .. . ... . . ... Gmp1−p G p m2−p . . . G p mp+1−p .

Conversely, the polynomials Gp

m are given by:

(1.1.24) _G_mp = _G_{0,1,...,p−1,m+p}.

1.2 A preliminary results

Let ψ(w) = w + ∞ X k=0 bk+1 wk ψ0_(w) ψ(w) = ∞ X k=0 Fk(b1, b2, . . . , bk)w−k−1.

Lemma 1.2.1 The following holds:

(1.2.1) log 1 + b1w + b2w2+ b3w3+· · · = − +∞ X k=1 Fk(b1, b2, . . . , bk) k w k_.

Proof. Let f (w) = 1 + b1w + b2w2+ b3w3+· · · . We have

f (w) = wψ(1 w), f0(w) = ψ(1 w)− 1 wψ 0 (1 w)

(29)

A preliminary results 29 and also wf0(w) f (w) = 1− 1 w ψ0(_w1) ψ(_w1) = 1− +∞ X k=0 Fk(b1, b2, . . . , bk)wk.

Which gives that f0(w) f (w) = d dwlog 1 + b1w + b2w 2_{+ b} 3w3+· · · = ₋ +∞ X k=1 Fk(b1, b2, . . . , bk)wk.

Integrating this equation with respect to w, the Lemma is proved. Theorem 1.2.2 Let (x1, . . . , xk) be the roots of the polynomial

Q(ξ) = ξk+ b1ξk−1+· · · + bk

and

Πk = xk1 + xk2 +· · · + xkk.

Then

Fk = Πk.

Proof. We have that

1 + b1w + b2w2+ b3w3+· · · + bkwk = k Y i=1 (1 w − xi)w k ₌ k Y i=1 (1_{− x}iw) and also log(1 + b1w + b2w2+ b3w3+· · · + bkwk) = k X i=1 log(1_{− x}iw) = ₋ ∞ X j=1 k X i=1 (xiw)j j = ₋ ∞ X j=1 Πj wj j , with Πj = xj1+ x j 2+· · · + x j k.

(30)

On the other hand, the (1.2.1) gives that: −Fk k = 1 k! dk_{log(1 +}P∞ i=1biwi) dwk (0) = 1 k! dk_{log(1 +}Pk i=1biwi) dwk (0) + 1 k!

dk_{log(1 + w}k+1P∞i=1bk+iwi−1

1+Pk_i=1biwi ) dwk (0) = 1 k! dk_{log(1 +}Pk i=1biwi) dwk (0) = ₋Πk k

which completes the proof of the Theorem.

1.3 Proof of the main results

Proof of Theorem 1.1.1. From the equation (1.1.4), we get for n≥ 1 the following recurrence relation: (1.3.1) Fn+1 = −b1Fn− n−1 X k=1 b_n+1−kFk− (n + 1)bn+1.

The polynomials Fk depend only of the coefficients b1, b2, . . . , bk. We obtain:

WnFm = 0 for m < n

(1.3.2)

WnFn = n.

(1.3.3)

To end the proof, it remains to prove that WnFn+p = 0 for every positive integer p.

We do it by induction on p. Combining (1.3.1), (1.3.2) and (1.3.3) we get: (1.3.4) WnFn+1 = −nb1+ F1 + (n + 1)b1 = 0.

The proposition is true for p = 1, suppose it true for p− 1. The equation (1.3.1) can be written as:

(1.3.5) Fn+p = −b1Fn+p−1− n+p−2_X

k=1

b_n+p−kFk− (n + p)bn+p.

So that by the induction hypothesis and (1.3.2), (1.3.3), we have:

(1.3.6) WnFn+p = −

n+p−2_X k=1

(31)

Proof of the main results 31 It follows that (1.3.7) WnFn+p = − n+p−2_X k=1 (b_n+p−kkδn,k− bp−kFk) + (n + p)bp,

where b0 = 1 and bk = 0 for k < 0. Hence

(1.3.8) WnFn+p =

p

X

k=1

b_p−kFk+ pbp.

And by using the recurrence formula (1.3.1), we get: (1.3.9) WnFn+p = Fp+ b1Fp−1+

p−1

X

k=1

b_p−kFk+ pbp = 0.

Which ends the proof of the first part of this Theorem. The proof of (1.1.7) is similar. From the equation (1.1.5), we get the following recurrence relation:

(1.3.10) Gn+1 = −b1Gn−

n

X

k=1

bk+1Gn−k.

And by using the fact that the polynomials Gk depend only of the coefficients

b1, b2, . . . , bk, we obtain:

WnGm = 0 for m < n

(1.3.11)

WnGn = 1 = G0.

(1.3.12)

To end the proof, it remains to prove that WnGn+p = 0 for every positive integer p.

We do it by induction on p. If we combine (1.3.10), (1.3.11) with (1.3.12), we get: WnGn+1 = −b1+ G1+ b1 = G1.

The proposition is true for p = 1, suppose it holds for p− 1. The equation (1.3.10) can be written as:

(1.3.13) Gn+p = −

n+p−1_X k=0

bk+1Gn+p−1−k.

So that by assumption induction and (1.3.11), (1.3.12):

(1.3.14) WnGn+p = −

n+p−1_X k=0

(32)

We then get

(1.3.15) WnGn+p = − n+p−1_X

k=0

(bk+1Gp−1−k− bk+1−nGn+p−1−k),

with b0 = 1 and bk = Gk = 0 for k < 0. Hence

WnGn+p = − p−1 X k=0 bk+1Gp−1−k+ n+p−1_X k=n−1 b_k+1−nG_n+p−1−k, = − p−1 X k=0 bk+1Gp−1−k+ p−1 X k=0 bk+1Gp−1−k+ Gp.

Which gives that

(1.3.16) WnGn+p = Gp.

Then the result is true for all p_{≥ 1, which ends the proof.} Proof of Theorem 1.1.2. Waring’s formula relates the k-th power sum xk

1+. . .+xkp

to the elementary symmetric functions si, 1≤ i ≤ p as follows:

xk₁ +_{· · · + x}k_p = [k 2] X i2=0 · · · [k p] X ip=0 E(i2,i3,...,ip)s

k−2i2−3i3−···−pip

1 si22· · · sipp

where

(1.3.17) E(i2,i3,...,ip):= (−1)

i2+2i3+···+(p−1)ip(k− i2− 2i3− · · · − (p − 1)ip− 1)!k

(k− 2i2− 3i3 − · · · − pip)!i2!· · · ip!

. If we combine this with the Theorem 1.2.2, we give the first part of Theorem. Now, differentiating (1.1.4) with respect to b1 and the equation (1.1.5) with respect to w

we obtain for k ≥ 1: (1.3.18) Gk(b1, b2, . . . , bk) = − 1 k + 1 ∂Fk+1 ∂b1 (b1, b2, . . . , bk+1).

Which gives the second part of the Theorem.

Proof of Corollary 1.1.3. We have Fn(z) = Fn(b1− z, b2, . . . , bn) and in the case

of the m- cusped hypocycloid, one has: bi = 0 for i 6= m and bm = _m−11 then by

(33)

Proof of the main results 33

Proof of Theorem 1.1.4. The conformal transformation maps the exterior of a unit circle onto the exterior of a rectangle ABCD (Our reference for the Schwarz-Christoffel formula is for instance [37]), is given by:

(1.3.19) ψ0(z) = c

p

(z_{− a}1)(z− a2)(z− a3)(z− a4)

z2 ,

where the points A, B, C, D correspond to the vertices a1, a2, a3, a4 and c depends

on the dimensions of the rectangle and its position in the plane. We take a1 = a,

a2 = ¯a, a3 = −a and a4 = −¯a with a = eiα. We find that

ψ0(z) = c{1 − 2 cos 2αz−2_{+ z}−4_}12.

(1.3.20)

In the last expression, we may expand it a series thus: (1.3.21) {1 − 2 cos 2αz−2_{+ z}−4_}12 =

∞

X

n = 0

anz−2n.

On the other hand , we have

(1.3.22) _{{1 − 2 cos 2αz}−2_{+ z}−4_}−12 =

∞

X

n=0

Pn(cos 2α)z−2n,

where Pnare the Legendre polynomials. Multiplying (1.3.21) and (1.3.22), we obtain

for n_{≥ 1 that}

n

X

k=0

a_n−kPk(cos 2α) = 0.

Considering the well known recurrence formula verified by the Legendre polynomials (n + 1)Pn+1(cos 2α)− (2n + 1) cos 2αPn(cos 2α) + nPn−1(cos 2α) = 0

we obtain that

a0 = 1, a1 = −µ := − cos 2α

an =

Pn(µ)− µPn−1(µ)

n .

Now, we may write the derivative of the conformal mapping ψ in the form ψ0(z) = c (1 +

∞

X

n = 1

(34)

So that ψ(z) = c z₋ ∞ X n = 1 an 2n_{− 1}z −(2n−1) ! + P. = c z + ∞ X n = 1 cnz−(2n−1) ! + P,

where cn = −_2n−1an and P is a constant of integration. In order that the center of

the circle may be t = 0, we must have by symmetry that P = 0.

To find an explicit expression of the conformal map ψ, it remains to determine c. This can be done, in terms of Jacobian elliptic functions which we will defined as follows. We consider the incomplete elliptic integrals defined as in [22]:

u = F (σ, k) = Z σ 0 dt p 1− k2_sin2_t, E(σ, k) = Z σ 0 p 1− k2_sin2_{t dt}

where 0 < k2 _{< 1 is the elliptic modulus, and σ = F}−1_{(u, k) is the Jacobi amplitude.}

The Jacobi elliptic functions are given as follows: sn(u, k) := sin σ, cn(u, k) := cos σ,

dn(u, k) := √1_{− k}2_{sin σ.}

We introduce the following constants:

k0 = √1_{− k}2_, _{K = K(k) = F (}π

2, k) E = E(k) = E(π

2, k) and the Zeta function of Jacobi:

Z(u) = Z(u, k) = Z u

0

dn2t dt₋Eu K ,

Z(0) = Z(K) = 0. The functions cn, sn are 4K-periodic and the function Z is 2K-periodic. Using (1.3.20), when the modulus of the elliptic functions is k = sinα, we obtain a simple result; we write

(35)

so that

cos ξ = dn(u, k), p

2(cos 2ξ_{− cos 2α) = 2kcn(u, k).} Hence ψ0(u) = c kcn 2_{u =} c k(dn 2_u − k02), ψ(u) = c k Z(u) + (E K − k 0₂ )u + P1.

P1 being constant. If 2a and 2b are the sides of the rectangle, we see that:

at P: u = 0, ψ = a

so that P1 = a;

at A: u = K, ψ = a_{− ib}

so that a− ib = −2ic(E − k02_{K) + a; which gives}

c = b

2(E− k0₂

K). Thus, the conformal map ψ rewrites as:

(1.3.23) ψ(z) = b 2(E_{− (1 − k}2_)K) z + ∞ X n = 1 cnz−(2n−1) ! .

If we denote E_{− (1 − k}2_{)K by L, we obtain the proof of the Theorm.}

Remark 1.3.1 L can be given in terms of Jacobi theta function as in [22]:

θ1(z) = −i ∞ X n = −∞ (₋₁₎nq(n+12)2 ei(2n+1)z, θ2(z) = ∞ X n = −∞ q(n+1₂)2 ei(2n+1)z_, θ3(z) = ∞ X n = −∞ qn2 _e2inz_, θ4(z) = ∞ X n = −∞ (−1)nqn2 e2inz,

(36)

with k0, K and E are given by: k0 = θ 2 4(0) θ2 3(0) , K = 1 2πθ 2 3(0), E = {1 − θ 00 4(0) θ4 3(0)θ4(0)}K. Then L = E− k02_{K =} 1− θ 00 4(0) θ4 3(0)θ4(0) − { θ2 4(0) θ2 3(0) }2 1 2π = π 2 θ4 3(0)θ4(0)− θ 00 4(0)− θ45(0) θ2 3(0)θ4(0) .

Proof of Corollary 1.1.5. In the special case of the square, we have: α = π 4, µ = 0, k = 1 √ 2. Again, ψ0(ξ) = ia 2L p 2 cos 2ξ = ia 2Le iξ_{(1 +} 1 2e −4iξ ₋ 1.1 2.4e −8iξ_{. . .).} Thus ψ(ξ) = a 2L(e iξ −_2.31 e−3iξ+ 1.1 2.4.7e −7iξ_{− . . .).}

The general term being

(−1)n1.1.3.5· · · (2n − 3) 2.4.6.8_{· · · 2n} e−(4n−1)iξ 4n_{− 1} . Furthermore, 4cL = 2a = Z π 4 −π4 |ψ0(ξ)|dξ = 2√2c Z π 4 0 (cos 2ξ)21dξ and 2L = √2 Z π 4 0 (cos 2ξ)12dξ = √ 2 2 Z π 2 0 (cos ξ)12dξ = √ 2 4 Z 1 0 x−12(1− x)− 1 4dx.

(37)

It is known that, the Euler function Gamma functions are given by: Γ(z) = Z ∞ 0 tz−1e−tdt, β(x, y) = Z ∞ 0 tx(1_{− t)}ydt and that β(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). Hence: 2L = √2Γ( 1 2)Γ( 3 4) Γ(1 4) .

Which completes the proof of the corollary.

Proof of Theorem 1.1.6. The inverse mapping of ψ in (1.1.3) is given by: φ(z) = z + ∞ X k=0 ak+1 zk .

Now, we consider the Faber polynomials associated to φ: φ0_(w) φ(w)_{− z} = ∞ X m=0 Fm(z)w−m−1, (1.3.24) 1 φ(w)_{− z} = ∞ X m=0 Gm(z)w−m−1. (1.3.25)

The Faber polynomials of the first kind verify [8]:

(1.3.26) Fn(φ(z)) = zn− ∞ X m=1 αn,m m z −m which gives: (1.3.27) (ψ(z))n = Fn(z) + ∞ X m=1 αn,m m 1 ψ(z) m .

Put λ = i2 + i3 +· · · + im+n and γ = 2i2 + 3i3 +· · · + (n + m)in+m. Using the

following Schur result’s:

Theorem 1.3.1 (cf. [31]) Let ψ as given in (1.4.1) and Pn a polynomial such that

Pn(ψ(z)) : = zn+ ∞

X

m=1

(38)

Then cn,m = X γ=m+n n(λ_{− 1)!} i2!· · · in+m! [ n+m_Y j=2 (x− x j 1− x ) ij_] nbi22· · · b in+m n+m.

Thus, from (1.3.26), we obtain: αn,m = X γ=m+n H(i2,i3,...,in+m)a i2 2 · · · a in+m n+m, where H(i2,i3,...,in+m) := −nm(λ − 1)! i2!· · · in+m! [ n+m_Y j=2 (x− x j 1_{− x} ) ij_] n

such that [. . .]n denotes the coefficient of xn in the expansion of the expression

in the bracket in power of x. Furthermore, using the equation (1.1.8), the Faber polynomials Fm(z) = Fm(b1− z, b2, . . . , bm) associated to φ can be written as:

(1.3.28) Fm(z) = m X i=0 zi X

i+i1+2i2+3i3+···+mim=m

L(i,i1,i2,i3,...,ik)(−1) i1+i2+i3+···+ik_ai1 1a i2 2 · · · aimm, where L(i,i1,i2,i3,...,im) := (i + i1+ i2 +· · · + im− 1)!m i!i1!· · · im! . On other hand, from (1.1.5) we find:

1 ψ(z) m = ∞ X n=0 X n1+n2+···+nm=n m Y i=1 Gni(b1, b2, . . . , bni) ! z−n−1. Then by putting nm = n1+ n2+· · · + nm, the equation (1.3.27) rewrites as:

(ψ(z))m =

m

X

i=0

zi X

i+i1+2i2+3i3+···+mim=m

L(i,i1,i2,i3,...,ik)(−1) i1+i2+i3+···+ik_ai1 1 ai22· · · aimm + ∞ X n=0 ∞ X m=1 1 m X γ=m+n H(i2,i3,...,in+m)a i2 2 · · · a in+m n+m X nm=n m Y i=1 Gni(b1, b2, . . . , bni) ! z−n−1

which implies that: ψ(z) z m = 1 + m−1_X i=0 1 zm−i X

i+i1+2i2+3i3+···+mim=m

L(i,i1,i2,i3,...,ik)(−1) i1+i2+i3+···+ik m Y j=1 aij j + ∞ X n=0 ∞ X m=1 1 m X γ=m+n H(i2,i3,...,in+m) m+n_Y j=2 aij j X nm=n m Y i=1 Gni(b1, b2, . . . , bni) ! 1 zn+m+1.

(39)

If we combine this equation with (1.1.12), the result is proved. Proof of Proposition 1.1.7. We start by the case p = 1, that is A ∈ SL2(C).

The Cayley-Hamilton Equation can be written as:

A2− tA + I = 0, (t = T race(A)) For any n≥ 1, we have

An = ln(t)A− jn(t)I. Thus, An+1 = ln(t)(tA− I) − jn(t)A = (tln(t)− jn(t))A− ln(t)I = ln+1(t)A− jn+1(t)I. By identification, we obtain ln+1(t) = tln(t)− ln−1(t), l0 = 0, l1(t) = 1 and jn = ln−1.

Let Gn be the Faber polynomials associated to [−2, 2]. From the equation (1.1.15),

the polynomials Gn verify the recurrence relations

Gn+1(t) = tGn(t)− Gn−1(t),

(1.3.29)

G₋₁ = 0, G0 = 1, G1(t) = t.

(1.3.30)

Hence ln = Gn−1 and the Cayley-Hamilton equation in this case can be written for

any n≥ 1 as An _{= G} n−1(t)A− Gn−2(t)I. Thus Gm2−1A m1 _{− G} m1−1A m2 = (Gm2−1Gm1−1− Gm1−1Gm2−1)A− (Gm2−1Gm1−2− Gm1−1Gm2−2)I = (Gm1−1Gm2−2− Gm2−1Gm1−2)I

Combining this formula with (1.3.29), we obtain: Gm2−1A m1 _{− G} m1−1A m2 ₌ _{G m1−1(tGm2−1− Gm2)− Gm2−1(tGm1−1− Gm1)}I = (Gm1Gm2−1− Gm2Gm1−1)I.

(40)

Which gives the desired result. In what follows we set for simplicity _Gm := Gmp.

Proof of the Theorem 1.1.8. Without loss of generality, we can suppose that A is a diagonal matrix. We start by proving the result for p = 2. Let λ1, λ2 and λ3

be the eigenvalues of the matrix A. We have

∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 ∞ X m3= 0 (G0,m2,m3λ m1 1 − G0,m1,m3λ m2 1 +G0,m1,m2λ m3 1 ) 1 ξm1+1 1 1 ξm2+1 2 1 ξm3+1 3 = 1 ξ1− λ1 ∞ X m2= 0 ∞ X m3= 0 G0,m2,m3 1 ξm2+1 2 1 ξm3+1 3 −_ξ 1 2− λ1 ∞ X m1= 0 ∞ X m3= 0 G0,m1,m3 1 ξm1+1 1 1 ξm3+1 3 + 1 ξ3− λ1 ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 G0,m1,m2 1 ξm1+1 1 1 ξm2+1 2 = 1 ξ1− λ1 ξ2− ξ3 PA(ξ2)PA(ξ3) − 1 ξ2− λ1 ξ1− ξ3 PA(ξ1)PA(ξ3) + 1 ξ3− λ1 ξ1− ξ2 PA(ξ1)PA(ξ2) = (ξ1− λ2)(ξ1− λ3)(ξ2− ξ3)− (ξ2− λ2)(ξ2− λ3)(ξ1− ξ3) + (ξ3− λ2)(ξ3− λ3)(ξ1− ξ2) PA(ξ1)PA(ξ2)PA(ξ3) = (ξ1− ξ2)(ξ1− ξ3)(ξ2− ξ3) PA(ξ1)PA(ξ2)PA(ξ3) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 ∞ X m3= 0 Gm1,m2,m3 1 ξm1+1 1 1 ξm2+1 2 1 ξm3+1 3 . Which ends the proof in the case of p = 2. For the general case and in similar way we get: ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 · · · ∞ X mp+1= 0 p+1 X i=1 (₋₁₎i+1_G0,m1,m2,..., ˜mi,...,mp+1 λ mi 1 !_p+1 Y j=1 ξ−mj−1 j (1.3.31) = Pp+1 n=1(−1)n+1 Qp+1 j=2(ξn− λj)∆n Qp+1 i=1 PA(ξi) ,

where ∆n is the Vandermond determinant det(ξip+1−j) with 2≤ j ≤ p + 1, 1 ≤ i ≤

p + 1 and i_{6= n. On other hand,}Q_{1≤i<j≤p+1}(ξi−ξj) is the Vandermond determinant

Y 1≤i<j≤p+1 (ξi− ξj) = ξ₁p ξ₁p−1 . . . 1 ξ₂p ξ₂p−1 . . . 1 .. . ... . . ... .. . ... . . ... ξp_p+1 ξ_p+1p−1 . . . 1 .

(41)

Let si be the elementary symmetric polynomials of λ2, λ3, . . . , λp+1. If we change

the column c1 by c1+ s1c2+ s2c3+· · · + sp+1cp+1, we find:

Y 1≤i<j≤p+1 (ξi− ξj) = Qp+1 j=2(ξ1− λj) ξ1p−1 . . . 1 Qp+1 j=2(ξ2− λj) ξ2p−1 . . . 1 .. . ... . . ... .. . ... . . ... Qp+1 j=2(ξp+1− λj) ξp+1p−1 . . . 1 .

Expanding with respect to the first column, we find that

(1.3.32) Y 1≤i<j≤p+1 (ξi− ξj) = p+1 X n=1 (₋₁₎n+1 p+1 Y j=2 (ξn− λj)∆n.

Combining it with the equation (1.3.31), we get: Q 1≤i<j≤p+1(ξi− ξj) Qp+1 i=1PA(ξi) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 · · · ∞ X mp+1= 0 p+1 X i=1 (₋₁₎i+1_G0,m1,m2,..., ˜mi,...,mp+1 λ mi 1 !_p+1 Y j=1 ξ−mj−1 j .

If we combine this with the equation (1.1.18), we obtain the result. Proof of the Theorem 1.1.9. From the equation (1.1.19), we have:

Qp+1 i=1ξ p i Qp+1 i=1PA(ξi) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 · · · ∞ X mp+1= 0 Gm1Gm2· · · Gmp+1 p+1 Y i=1 ξ−mi−1 i and 1 Qp+1 i=1PA(ξi) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 · · · ∞ X mp+1= 0 Gm1Gm2· · · Gmp+1 p+1 Y i=1 ξ−mi−p−1 i

Since Q_{1≤i<j≤p+1}(ξi− ξj) = det(ξip+1−j)1≤i,j≤p+1 is the Vandermond determinant,

we get _Q 1≤i<j≤p+1(ξi− ξj) Qp+1 i=1PA(ξi) = ∞ X m1= 0 ∞ X m2= 0 · · · ∞ X mp+1= 0 X σ∈Sp+1 (σ)Gm1+1−σ(1)Gm2+1−σ(2)· · · Gmp+1+1−σ(p+1) p+1 Y i=1 ξ−mi−1 i

(42)

and by comparing it with equation (1.1.18) we connect the polynomials_Gm1,m2,...,mp+1

and _Gmi for 1≤ i ≤ 3 as follows

(1.3.33) _Gm1,m2,...,mp+1 =

X

σ∈Sp+1

(σ)_Gm1+1−σ(1)Gm2+1−σ(2)· · · Gmp+1+1−σ(p+1).

Which gives the first part of the theorem. To prove the second part, we will need to show the following:

Lemma 1.3.2 The following holds for m ≥ 0: (1.3.34)

p+1

X

i=0

(₋₁₎isi G0,1,...,p−2,p−1,m+p+1−i = 0,

with the starting value _G_{0,1,...,p−2,p−1,p−i} = δi,0 for 0≤ i ≤ p and s0 := sp+1 = 1.

Proof. it enough to observe that for 1≤ i ≤ p the power of ξi in the nominator of

the left side of the equation (1.1.18) is p + 1_{− i. Thus by multiplying the both side} of (1.1.18) by ξi

i and letting ξi −→ ∞ we get that

(1.3.35) 1 PA(ξp+1) = ∞ X mp+1=0 G0,1,...,p−2,p−1,mp+1ξ−m p+1−1_.

Multiplying the both sides of this equation by PA(ξp+1) and comparing the powers

of ξp+1 we get the equation (1.3.34).

In the other hand, the polynomials_Gp

m satisfy for m≥ p + 2

(1.3.36) _Gm− tGm−1+ s2Gm−2+· · · + (−1)p+1sp+1Gm−p−1 = 0

with the initial conditions (1.3.37)

Gm− tGm−1+ s2Gm−2+· · · + (−1)m−1sm−1G1 = (−1)msmG0, (1≤ m ≤ p + 1).

Now, by comparing the equation (1.3.36) and (1.3.34) the result is proved. Remark 1.3.2 From (1.1.18), we find that the polynomials Gm1,m2,...,mp+1 verify the

following properties:

Gm1,m2,...,mi,...,mj,...,mp+1 = −Gm1,m2,...,mj,...,mi,...,mp+1,

(1.3.38)

G0,1,...,p = 1.

(1.3.39)

To prove (1.3.39), it suffices to observe that for 1_{≤ i ≤ p + 1 the power of ξ}i in the

nominator of the left side of the equation (1.1.18) is p + 1_{− i. Thus by multiplying} the both side of (1.1.18) by ξi

(43)

Introduction 43

1.4 Introduction

We collect some known notions. Consider a closed analytic curve C in the complex plane and denote by D+ and D− the interior and exterior domains with respect to

the curve. The point z = 0 is assumed to be in D+. Then according to Riemann

theorem there exists a function

(1.4.1) ψ(z) = 1 rz + ∞ X k=0 bk+1 zk , z −→ ∞,

mapping conformally D₋ to the exterior of the unit disk. The following theorem is proved in [21, 45, 43]:

Theorem 1.4.1 There exists a decomposition: (1.4.2) log_| ψ(w)− ψ(ξ) ψ(w)ψ(ξ)− 1| = log | 1 w − 1 ξ| + 1 2∇(w)∇(ξ) log τ, where _{∇(z) is the formal operator:}

∇(z) = _∂t∂ +X k≥1 z−k k ∂ ∂tk +z¯−k k ∂ ∂¯tk

and τ = τ (t, t1, ¯t1, t2, ¯t2, . . .) is a function of infinite number of the variables:

(1.4.3) tk = − 1 πk Z D− z−k d2z, k _{≥ 1; t =} 1 π Z D+ d2z.

The Stokes formula represents the harmonic moments as contour integrals tk = 1 2πik Z C z−kzdz¯

providing, in particular, a regularization of possibly divergent integrals (1.4.3). The τ -function verifies [21]:

(1.4.4) 4 log τ = _−t2+ 2t∂ log τ ∂t − X n>0 (n_{− 2)(t}n ∂ log τ ∂tn + ¯tn ∂ log τ ∂¯tn ).

Moreover, this function τ satisfies the dispersionless Hirota equation for two-dimensional Toda hierarchy:

(z− ξ)eD(z)D(ξ) log τ _{= ze}−∂t∂D(z) log τ − ξe− ∂

∂tD(ξ) log τ

(1.4.5)

(¯z− ¯ξ)eD(¯¯ z) ¯D( ¯ξ) log τ = ¯ze−∂t∂D(¯¯ z) log τ − ¯ξe− ∂ ∂tD( ¯¯ ξ) log τ 1− e−D(z) ¯D( ¯ξ) log τ ₌ 1 z ¯ξe ∂ ∂t( ∂ ∂t+D(z)+ ¯D( ¯ξ)) log τ,

(44)

where D(z) = X k≥1 z−k k ∂ ∂tk , ¯D(¯z) = X k≥1 ¯ z−k k ∂ ∂¯tk

are holomorphic and anti-holomorphic parts of _{∇(z) −} ∂

∂t. The τ -function gives

a formal solution to the Dirichlet problem [40] and appears as the τ -function of the integrable hierarchy describing conformal maps of simply connected domains bounded by analytic curves to the unit disk. We will choose as independent variables the area πt and the moments of the exterior tk(k ≥ 1). More precisely, (tk)k≥0 is a

set of local coordinates in the space of analytic curves [43].

1.5 τ -function for analytic curves and Faber

poly-nomials

In this section, we study the second order derivatives of the τ - function and its connection to the Faber polynomials in several variables and the τ -function of the KP hierarchy. An explicit formula of the τ -function and some results on the Faber polynomials in several variables will be obtained. To motivate our results, we first obtain from (1.4.2): ∂2_{log τ} ∂t1∂t = −rb1, (1.5.1) ∂2_{log τ} ∂t2∂t = (rb1)2− 2rb2, 1 2 ∂2_{log τ} ∂t2∂t1 = _−rb3, ∂2_{log τ} ∂t1∂¯t1 = r2, (1.5.2) ∂2_{log τ} ∂t2 = 2 log r, (1.5.3) ∂2_{log τ} ∂t1∂t1 = −rb2. (1.5.4) Hence: 1 2r ∂3_{log τ} ∂b1∂t2∂t = −∂ 2_{log τ} ∂t1∂t . (1.5.5) 1 2 ∂2_{log τ} ∂t2∂t1 = _−rb3. (1.5.6)

(45)

τ -function for analytic curves and Faber polynomials 45 We suppose that C is an ellipse, then tk = 0, k≥ 3 and by (1.4.4):

(1.5.7) 4 log τ = _−t2 + 2t∂ log τ ∂t + t1 ∂ log τ ∂t1 + ¯t1 ∂ log τ ∂¯t1 . Hence: 3∂ log τ ∂t1 = 2t∂ 2_{log τ} ∂t1∂t + t1 ∂2_{log τ} ∂t1∂t1 + ¯t1 ∂2_{log τ} ∂¯t1∂t1 , 3∂ log τ ∂¯t1 = 2t∂ 2_{log τ} ∂¯t1∂t + ¯t1 ∂2log τ ∂¯t1∂¯t1 + t1 ∂2log τ ∂¯t1∂t1 , 2∂ log τ ∂t = −2t + 2t ∂2_{log τ} ∂2_t + t1 ∂2_{log τ} ∂t1∂t + ¯t1 ∂2_{log τ} ∂¯t1∂t .

Then using (1.5.1), (1.5.2), (1.5.3) and (1.5.7), we get for the τ -function of the ellipse C: 4 log τ = (1.5.8) _−3t2_{+ 2t}2_{log r}2₋ 5r 3 b1tt1− 5r 3¯b1t¯t1− r 3b2t 2 1− r 3¯b2¯t 2 1 + 2 3r 2_|t 1|2.

This formula will be given in a more general form later.

1.5.1 Connection with a

τ -function of the KP hierarchy

The Schur polynomials are defined by

(1.5.9) Sλ(x) = det (Sλi+j−i(x))_{1≤i,j≤|λ|}, x = (x1, x2, . . .),

where λ = (λ1 ≥ λ2 ≥ . . .) is a partition, and for m ≥ 1, Sm(x) are the elementary

Schur polynomials given by (0.0.8). A fundamental property of Sλ is that it solves

the KP hierarchy [17]. We denote S_(1,1,...,1) := τKP. We link any τ -function of

analytic curves for the τKP-hierarchy as follows:

Theorem 1.5.1 : For any τ -function of analytic curves, we have: (₋₁₎n+1 r(n + 1) ∂3_{log τ} ∂b1∂t∂tn+1 = τKP −1 n ∂2_{log τ} ∂t∂t1 ,−1 n ∂2_{log τ} ∂t∂t2 , . . . ,−1 n ∂2_{log τ} ∂t∂tn . Proof: We consider the conformal map ψ defined as (1.4.1):

ψ(z) = 1 rz + ∞ X k=0 bk+1 zk .

(46)

We have from (1.4.2): (1.5.10) ψ0(w) ψ(w) = 1 w + ∞ X m=1 ∂2_{log τ} ∂t∂tm w−m−1.

Now, if (cn)n≥0 is any sequence of complex number, c0 6= 0, we have:

1 P_+∞ n=0cnzn = +∞ X n=0 dnzn,

with d0 = _c1₀ and for n≥ 1:

(1.5.11) dn = (₋₁₎n cn+1 0 c1 c0 0 . . . 0 c2 c1 c0 . .. ... ... c2 c1 . .. 0 ... ... ... ... c0 cn cn−1 . . . c2 c1 .

The Faber polynomials of the second kind associated to ψ is given by:

(1.5.12) 1 ψ(w) = ∞ X m=0 Gm(b1, b2, . . . , bm)w−m−1, G0 := 1.

If we remplace in this formula w by 1

w, we find that: r 1 + rb1w + rb2w2+ . . . = ∞ X m=0 Gm(b1, b2, . . . , bm)wm, with: Gk(b1, b2, . . . , bk) = (−1)kr rb1 1 0 . . . 0 rb2 rb1 1 . .. ... .. . rb2 . .. ... 0 .. . ... . .. ... 1 rbk rbk−1 . . . rb2 rb1 . (1.5.13)

For m_{≥ 1 and x = (x}1, x2, . . .), the elementary Schur polynomials Sm(x) are given

by (0.0.7) or (1.5.14) log ∞ X m=0 Sm(x)zm = ∞ X n=1 xnzn.

(47)

τ -function for analytic curves and Faber polynomials 47 Now we choose xn as:

xn= (−1)n−1 n rb1 1 0 . . . 0 2rb2 rb1 1 . .. ... ... rb2 . .. ... 0 ... ... . .. 1 nrbn rbn−1 . . . rb2 rb1 . (1.5.15)

The equation (1.5.14) gives:

xn= (−1)n−1 n S1 1 0 . . . 0 2S2 S1 1 . .. ... .. . S2 S1 . .. 0 .. . ... . .. ... 1 nSn Sn−1 . . . S2 S1 . (1.5.16)

By induction (1.5.15) and (1.5.16) show that Sj = rbj, j ≥ 1. Then for n ≥ 1, we

have from (1.5.9) and (1.5.13)

(1.5.17) r S(1,1,...1)(x) = (−1)nGn(b1, b2, . . . , bn).

On differentiating (1.5.10) with respect to b1 and (1.5.12) with respect to w, it easily

follows that for n≥ 1

(1.5.18) Gn(b1, b2, . . . , bn) = −1

n + 1

∂3log τ ∂b1∂t∂tn+1

. Rewriting (1.5.10) for 1/w, we have

log(1 + rb1w + rb2w2+ rb3w3+ . . .) = − ∞ X m=1 1 m ∂2_{log τ} ∂t∂tm wm. Hence: ∂2_{log τ} ∂t∂tn = (−1)n rb1 1 0 . . . 0 2rb2 rb1 1 . .. ... ... rb2 rb1 . .. 0 ... ... . .. ... 1 nrbn rbn−1 . . . rb2 rb1 . (1.5.19)

(48)

1.5.2 Differential equations of the

τ -function

One of our goals is to find not only nonlinear differential equations but also a linear differential equation satisfied by the τ -function. The equation (1.4.2) allows one by tending ξ _{→ ∞ to express the second derivatives} ∂_∂t∂t2log τ

m with m ≥ 1 through the

coefficients bi. We show that:

Proposition 1.5.2 For any m _{≥ 1 and n ≥ 1, the following holds:}

(1.5.20) ∆n

∂2_{log τ}

∂t∂tm

= nδn,m,

where ∆n = −_r∂b∂_n −P∞_i=1bi_∂b∂_n+i.

Proof: Let ψ defined as (1.4.1):

ψ(z) = 1 rz + ∞ X k=0 bk+1 zk .

By tending ξ _{→ ∞ in (1.4.2), the map z = ψ(ω) is explicitly given in terms of the} τ -function as follows: (1.5.21) log_{|ψ(w)| = log |w| −} 1 2 ∂ ∂t∇(w) log τ which gives (1.5.22) ψ0(w) ψ(w) = 1 w + ∞ X m=1 ∂2_{log τ} ∂t∂tm w−m−1.

Comparing this with the Faber polynomials Fn associated to ψ in (1.1.4), we obtain

a connection between the τ -function and the Faber polynomials:

(1.5.23) ∂

2_{log τ}

∂tn∂t

= Fn(rb1, rb2, . . . , rbn) ,

and from Theorem 1.1.1 we obtain the result.

According to Shiota, [34], a function τ (t), t = (t1, t2, . . .), which is a monic

polyno-mial in t1 and whose coefficients depend on t0 = (t2, t3, . . .) is a τ -function if and only

if the motion of the zeros of τ is governed by the hierarchy of the Calogero-Moser (C-M) dynamical systems. In terms of Schur polynomials, this translates to the following: Write S(t) := S_(1,1,...,1)(t) = n Y i=1 (t1 − xi(t0))

Les polynomes de Faber et La fonction τ pour les courbes analytiques

Remerciements

Contents

Introduction

Chapter 1

The Faber polynomials and

Cayley-Hamilton equation

1.1

Introduction

ψ

1.2

A preliminary results

1.3

Proof of the main results

1.4

Introduction

1.5

τ -function for analytic curves and Faber

poly-nomials

1.5.1

Connection with a

τ -function of the KP hierarchy

1.5.2

Differential equations of the

τ -function