de Mr Mandhouj 17 11 12
Proposée par Kooli Mohamed Hechmi
Exercice 1 I c) , et sont alignés, voici l’explication
. = . = ⇔ . = . . = ⇔ .. −= . = 0 ⇔ . − = 0 . − = 0 ⇔ . + = 0 . + = 0 ⇔ .. = 0 = 0 ⇔ ⊥
⊥ alors et sont colinéaires par suite , et sont alignés II 1) b) = 2√26 , voici l’explication + = + = + + + = 2 + + = 2 + 18 or + = 226 alors 2 + 18 = 226 = 104 = √104 = √4 × 26 = 2√26 2) a) . = −31 voici l’explication . = × × cos ! = + − 2 × × cos ! × × cos ! = + 2 − . = + 2 − = 64 + 36 − 1622 = −31 3) a) . " = 32 voici l’explication
" est le centre du cercle circonscrit au triangle soit # = ∗ alors # est le projeté orthogonal de " sur % & et # = '
. " = . # = . (12 ) = 12 =12 = 32
Exercice 2 *& +& . . alors ∈ ∆. b) . ∈ ∆ ⇔ .. ⇔ .. . 2 ⇔ alors . décrit la perpendiculaire à % & en 2) Soit ∗ . . . . . . . . . ( 2 ) . ∈ C ⇔ . . . 2 ⇔ alors . décrit le cercle de centre I et de rayon alors C est le cercle de centre
3) Soit > le barycentre des points pondérés ⇔ > 34 et > . 3. .> > 4.> . ∈ @ ⇔ . 3. alors @ est le cercle de centre cos ! 2 2 cos 2 ⇔ . . 2 ⇔ . ⇔ .. 2 2 0 ⇔ .
la perpendiculaire à % & en par suite ∆ est la droite perpendiculaire à
∆ . . . . . . ABCDCE F G . car ( ) . 1 ⇔ . 1 2 ⇔ . 3 ⇔ . décrit le cercle de centre I et de rayon √3 de centre et de rayon √3.
le barycentre des points pondérés % , 1& et % , 3& ⇔ 1 4 ⇒ > 34 32 JK > 3 .> > ⋯ 4.> > .> (32) 3 (12) 4.> 3 4 ⇔ 4.> 3 4 ⇔ .> 14 centre > et de rayon 12 cosM3 2 2 12 2 .. 2 la droite perpendiculaire à . √3 > 3> 0 > 14 12 > 3> 1 4 ⇔ .> 12
. + . = . + . = . + + . + = ⋯ = . + 2 = . + ( 2 ) = . + 1
. ∈ @N ⇔ . + . = O ; O ∈ ℝ ⇔ . + 1 = O ⇔ . = O − 1
RS O − 1 < 0 ; ⇒ O < 1 alors @N = ∅
RS O − 1 = 0 ; ⇒ O = 1 alors @N = V>W
RS O − 1 > 0 ; ⇒ O > 1 alors @N est le cercle de centre et de rayon √
O − 1
2
Exercice 3
1) La fonction Y est une fonction polynôme alors Y est continue sur ℝ. 2) Y%Z& = Z[+ 2Z − 1
Soit a et b deux réels de l’intervalle \−∞ ,0\
^ < _ ⇒ ^[ < _[ ; 2^ < 2_ ⇒ ^[+ 2^ < _[+ 2_ ⇒ ^[+ 2^ + 1 < _[+ 2_ + 1 ⇒
Y%^& < Y%_&
alors Y est strictement croissante sur \−∞ ,0\ Soit a et b deux réels de l’intervalle a0 , +∞a
^ < _ ⇒^[ < _[ ; 2^ < 2_ ⇒ ^[+ 2^ < _[+ 2_ ⇒ ^[ + 2^ + 1 < _[+ 2_ + 1 ⇒
Y%^& < Y%_&
alors Y est strictement croissante sur a0 , +∞a conclusion
conclusion conclusion
conclusion Y est strictement croissante sur ℝ. 3& a&
3& a& 3& a&
3& a& Y est continue et strictement croissante sur a0 , 1\ Y%0& = −1 ; Y%1& = 2 Y%0& × Y%1& < 0 alors l’équation Y%Z& = 0 admet dans \0 , 1a une unique solution b b)
Y%0,5& = 0,5[+ 2 × 0,5 − 1 = 0,125
Y%0,4& = 0,4[+ 2 × 0,4 − 1 = −1,936
Y%0,4& × Y%0,5& < 0 alors une valeur approché par défaut à 0,1 prés de b est 0,4
c) Y est continue et strictement croissante sur ℝ alors l’équation Y%Z& = 0 admet dans ℝ une unique solution qui est b
Exercice 4
*& +& Z ↦ 1 +Z2 est continue sur ℝ en particulier sur a 2 , +∞a \V0W et ∀∈ a−2 , +∞a \V0W; 1 +Z2 ≥ 0
Z ↦ i1 +Z2 est continue sur a 2 , +∞a \V0W
Z ↦ 1Z est continue sur ℝ∗ en particulier sur a 2 , +∞a \V0W
Z ↦ i1 + Z2 − 1Z est continue sur a 2 , +∞a \V0W Conclusion : Y est continue sur a 2 , +∞a \V0W j& Y%0& = 14 lim k→FY%Z& = limk→F i1 + Z2 − 1 Z = limk→F mi1 + Z2 − 1nmi1 +Z2 + 1n Z mi1 + Z2 + 1n = limk→F 1 + Z2 − 1 Z mi1 + Z2 + 1n= limk→F Z 2 Z mi1 + Z2 + 1n = limk→F 1 2 o p p q r1 +stuZ2 ' + 1 svvtvvu w x x y =14 z{ + |S}~→•€%~& €%•& +|z•‚ ƒ „‚… †z{…S{‡„ „{ •
ˆ& +& Pour tout Z ∈ \0 , +∞a Y%Z& i1 + Z2 − 1Z = 1
2 mi1 + Z2 + 1n > 0 alors pour tout Z ∈ \0 , +∞a Y%Z& > 0 %*&
Z > 0 ⇒ Z2 > 0 ⇒ 1 +Z2 > 1 ⇒ i1 +Z2 > 1 ⇒ i1 +Z2 + 1 > 2 ⇒ 2 mi1 +Z2 + 1n > 4 ⇒ 1
2 mi1 + Z2 + 1n < 1
†z{†|‡‚Sz{: de %*& et %ˆ& 0 < Y%Z& < 4
j& 0 < Y%Z& < 14 ; Y%0& = 14 alors Y admet un maximum sur a0 , +∞a égale à 1
4 en 0 c) Existe-t-il un réel ZF ∈ a0 , +∞a tel que Y%ZF& 0
Y%ZF& = 0 ⇔ i1 + ZF 2 − 1 ZF = 0 ⇔ i1 + ZF 2 − 1 = 0 ⇔ i1 +Z2 = 1 F ⇔ •i1 +Z2 = 1 F ZF ≠ 0 ⇔ • 1 +Z2 = 1 F ZF ≠ 0 ⇔ •Z2 = 0 F ZF ≠ 0 ⇔ ZZF 0 F ≠ 0
ce qui est impossible alors 0 n’est pas un minimum de Y sur a0 , +∞a •& ∀Z ∈ a−2 , 0a ; Y%Z& i1 + Z2 − 1Z = 1
2 mi1 + Z2 + 1n −2 ≤ Z < 0 ⇒ 1 ≤ Z2 < 0 ⇒ 0 ≤ 1 +Z2 < 1 ⇒ 0 ≤ i1 +Z2 < 1 ⇒ 1 ≤ i1 +Z2 + 1 < 2 ⇒ 2 ≤ 2 mi1 +Z2 + 1n < 4 ⇒ 14 < 1 2 mi1 + Z2 + 1n ≤ 1 2 ⇒ 14 < Y%Z& ≤12 alors Y est bornée sur a 2 , 0a par 1
4 et 12
3) a) Y est strictement décroissante sur a0 , +∞a alors Y%^& > Y%_& %*& ∀Z ∈ a0 , +∞a ’%Z& Y%Z& %Z 3&
^ ∈ a0 , +∞a et _ ∈ a0 , +∞a avec ^ < _ ;
^ < _ ⇒ ^ − 3 < _ − 3 ⇒ −%^ − 3& > −%_ − 3& %ˆ&
de %*& et %ˆ& Y%^& − %^ − 3& > Y%_& − %_ − 3& ⇒ ’%^& > ’%_& alors ’ est strictement décroissante sur a0 , +∞a
b) Y%Z& = Z − 3 ⇔ Y%Z& − %Z − 3& = 0 ⇔ ’%Z& 0 ’ est continue et strictement décroissante sur a0 , 4\
’%3& = Y%3& − %3 − 3& = mi52 − 1n3 ≈ 0,193
’%4& = Y%4& − %4 − 3& = √3 − 14 − 1 ≈ −0,817 ’%3&. ’%4& < 0
alors l’équation ’%Z& = 0 admet une unique solution dans \3 , 4a
