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Fonctions exponentielles
49
Leçon n° Niveau Terminale S et BTSPrérequis notions de dérivabilité, existence d’une solution d’équa diff, bijection, fonctions
logarithmes, limites, théorème des valeurs intermédiaires
Références [60], [147]
49.1
La fonction exponentielle
Définition 49.1 Soit a un nombre réel. On appelle solution sur l’intervalle I de l’équation différen-tielle Y0 = aY toute fonction dérivable sur I, qui vérifie sur I : f0 = af.
Exemples 49.2 1. La fonction nulle est une solution sur R de l’équation différentielle Y0= 2Y . 2. Les fonctions constantes sont des solutions sur R de l’équation différentielle Y0 = 0Y .
R 49.3 L’équation différentielle Y0 = aY , notée aussi dydx = ay, exprime une proportionnalité entre la fonction
et sa dérivée. Elle permet de modéliser de nombreux phénomènes (en physique,. . .).
Propriété 49.4— Théorème d’existence. Il existe une fonction f, dérivable sur R, solution de l’équa-tion différentielle Y0 = Y et telle que f(0) = 1 que l’on appelle la fonction exponentielle.
R 49.5 On notera provisoirement la fonction exponentielle x 7→ exp(x).
Propriété 49.6 La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
Dv
•Démonstration de la propriété49.6—Soit la fonctionΦ définie sur R par Φ(x) = exp(x) exp(−x).
Φ est dérivable sur R et
Φ0(x) = exp0(x) exp(−x) − exp(x) exp0(−x).
Orexp0= exp donc Φ0(x) = 0. La fonction Φ est constante sur R et égale à 1 car exp(0) = 1. Puisqueexp(x) exp(−x) = 1, la fonction exp ne s’annule jamais.
On démontre, par l’absurde, que la fonctionexp est strictement positive. S’il existait x0tel queexp(x0) ≤ 0, alors exp étant dérivable sur R, elle est continue sur R. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonctionexp sur [0, x0] ou [x0,0], on trouverait une solution à l’équationexp(x) = 0. Ceci est faux puisqu’on a montré que exp ne s’annule jamais, donc x0tel queexp(x0) ≤ 0 n’existe pas. •
Propriété 49.7 Soit a un réel donné. Les solutions de l’équation différentielle Y0 = aY sont les
fonctions définies sur R par f(x) = k exp(ax) où k est une constante réelle.
Dv
•Démonstration de la propriété49.7—La fonction f : x 7→ k exp(ax), où k est un réel, est dérivable sur R, et pour tout x de R, vérifie
f0(x) = ka exp(ax)
soit f0(x) = af(x). Donc f est solution sur R de l’équation Y0 = aY . Soit g une autre fonction sur R de Y0 = aY , donc, pour tout x de R, g0(x) = ag(x). Comme la fonction exp ne s’annule pas, on peut définir sur R la fonction u : x 7→ g(x)
exp(ax). u est dérivable sur R et on a, après simplification :
u0(x) =g0(x) − ag(x) exp(ax) .
Or g0(x) = ag(x), donc, pour tout x de R, u0(x) = 0. u est une fonction constante sur R, c’est-à-dire g(x)
exp(ax)est constant, soit g(x) = k exp(ax). •
49.2
La notation
e
xPropriété 49.8 Pour tous nombres réels a et b,exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
Dv
•Démonstration de la propriété49.8—Soit la fonction g définie sur R par g(x) = exp(x+ b) où b est un nombre réel. g est dérivable sur R, et on a
g0(x) = exp0(x + b) = exp(x + b) = g(x)
gvérifie l’équation Y0= Y . Donc d’après la propriété49.7, g(x) = k exp(x). Pour tout x de R,
exp(x + b) = k exp(x) et pour x= 0,
exp(b) = k exp(0). orexp(0) = 1 donc k = exp(b) et on a
exp(x + b) = exp(x) exp(b).
•
Propriété 49.9 Le nombre réelexp(1) se note e. On a e ' 2, 72 et, pour tout x élément de R, exp(x) = ex.
49.2 La notationex 11
R 49.10 Ainsie√2a un sens, c’est l’image de√2 par la fonction x 7→ ex. On a aussi :
e0= 1, e1= e, e−1= 1
e, e1/2= √e.
Conséquence 49.11 1. Pour tous nombres réels a et b : ea+b = eaeb, e−a= 1
ea, e
a−b= ea
eb.
2. Pour tout nombre réel a et tout rationnel r :era = (ea)r.
Dv
•Démonstration —
— Tout d’abord, on montre que, pour tout nombre n entier naturel, on a la propriété « Pour tout réel a,exp(na) = (exp(a))n». La propriété est vraie pour n= 0 car, par définition
de la fonctionexp : exp(0) = 1. Supposons que, pour un entier k, on ait exp(ka) = (exp(a))k. Alors, d’après la propriété49.6, on a :
exp((k + 1)a) = exp(ka + a) = exp(ka) exp(a).
Donc exp((k + 1)a) = (exp(a))k+1. La propriété est vérifiée pour n = 0. Si on la
suppose vraie pour n= k, alors elle est vraie pour n = k + 1, et donc par récurrence, elle est vraie pour tout nombre entier n ≥ 0.
— Par définition,exp(1) = e et d’après la propriété49.6,
exp(1) × exp(−1) = exp(1 − 1) = 1. Doncexp(−1) = 1
e = e−1.
Si x est un entier positif, on peut écrire x= na avec a = 1 et n entier positif. exp(x) = exp(n × 1) = (exp(1))n
Soitexp(x) = ex.
Si x est un entier négatif, on peut écrire x= na avec a = −1 et n entier positif. exp(x) = exp(n × (−1)) = (exp(−1))n.
Or
(exp(−1))n= (e−1)n= e−n. Soitexp(x) = ex.
Donc, pour tout x ∈ Z, exp(x) = ex.
— Si x est un nombre rationnel, on peut écrire x = pa avec a = 1
q, q entier strictement
positif et p un entier relatif.
exp(qa) = (exp(a))q
Or qa= 1 donc (exp(a))q = e. Soit exp(a) = e1/q.
Soit
exp(x) =e1/qp= ep/q= ex.
Donc, pour tout x élément de Q, exp(x) = ex.
— On admet que l’on peut étendre cette propriété à R et on convient de noter exle nombre
exp(x) pour tout x élément de R.
• Exemples 49.12 1. ex+1 = eex 2. ex−2= ex e2 3. e2x= (ex)2 4. ex/2 =√ex.
R 49.13 Ne pas confondree(ab)et(ea)b; ainsiex2= exp(x2) alors que (ex)2= e2x.
49.3
Étude de la fonction x 7→ e
xD’après sa définition, la fonction x 7→ ex est solution de l’équation différentielle Y0 = Y et telle
que f(0) = 1, donc elle est dérivable sur R donc continue sur R, et égale à sa dérivée.
Conséquence 49.14 1. x 7→ exest strictement croissante sur R.
2. limx→0e
x−1
x = 1.
Dv
• Démonstration de la conséquence49.14—Le premier point découle immédiatement de la définition de la fonction exp. On a (ex)0 = ex et d’après la propriété 49.6,exp est
strictement positive. La fonction x 7→ exest dérivable en0 donc son taux de variation ex
−e0
x−0 a pour limite en0 le nombre dérivé de x 7→ exen0, soit :
lim x→0 ex − 1 x = 1. • Propriété 49.15— Limites. lim x→+∞e x= +∞ et lim x→−∞e x= 0. Dv •Démonstration de la propriété49.15—
— Pour étudier la limite en+∞, on montre d’abord que, pour tout x, ex
≥ x. Soit la fonction f définie sur R par f(x) = ex
− x. f est dérivable sur R et f0(x) = ex− 1.
49.3 Étude de la fonction x 7→ ex 13
Commeexp est croissante sur R et e0= 1, on obtient le tableau de variations de f :
x −∞ 0 +∞
f0 − 0 +
f & %
1 Comme, pour tout x, f(x) ≥ 0, on a ex
≥ x et, d’après un des théorèmes « des gen-darmes », on a :
lim
x→+∞e
x= +∞.
— Pour étudier la limite en −∞, on pose X = −x et on a ex= e−Xet lim x→+∞e x= lim x→−∞e −X = +∞. Commelimx→+∞ex= +∞, on a : lim X→+∞ 1 eX = 0,
soitlimX→+∞e−X= 0. Donc :
lim
x→−∞e
x= 0.
•
On obtient le tableau de variations de la fonctionexp.
x −∞ 0 1 +∞ +∞ % e ex % 1 % 0
— La courbe représentative de la fonction x 7→ expasse par les points de coordonnées(0, 1) et
(1, e).
— La tangente à la courbe représentative de la fonction x 7→ exau point de coordonnées(0, 1) a
pour équation y= x + 1. De plus, pour h « assez petit » : eh ≈ 1 + h.
— La courbe représentative de la fonction x 7→ ex est au dessus de l’axe des abscisses, qui est
une droite asymptote.
Conséquence 49.16 1. Pour tout nombre réel x,ex>0.
2. Pour tous nombres réels x et y :ex= eyéquivaut à x= y et ex >ey équivaut à x > y.
Exemples 49.17 1. e3x= ex+1équivaut à3x = x + 1. 2. ex≥ 1 équivaut à x ≥ 0.
3. ex≤ 1 équivaut à x ≤ 0.
e
O
FIGURE49.1 – Représentation graphique de la fonction exponentielle et de sa tangente en x= 0
Propriété 49.18 Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Si u est dérivable sur I, alors la fonction x 7→ eu(x)est dérivable sur I et sa dérivée est x 7→ u0(x)eu(x).
Dv
•Démonstration de la propriété49.18—D’après le théorème de la dérivée d’une fonction composée, x 7→ exétant dérivable sur R et u dérivable sur I, x 7→ eu(x)est dérivable sur I
de dérivée x 7→ u0(x)eu(x). •
Exemple 49.19 La fonction x 7→ esin xest dérivable sur R de dérivée x 7→ cos xesin x. Propriété 49.20— Limites fondamentales. 1. limx→+∞e
x
x = +∞,
2. limx→−∞xex = 0.
Dv
•Démonstration de la propriété49.20—Dans la démonstration de la propriété49.15, on a vu que, pour tout x,ex≥ x. Donc, pour tout x, ex/2≥x
2 et, pour tout x ≥ 0, (ex/2)2 ≥ x22, soitex ≥ x2 4. Or,limx→+∞x 2
4 = +∞. D’après un des « théorèmes des gendarmes », on obtient lim x→+∞ ex x = +∞. On a xex= x e−x. En posant X= −x, on a xex= −eXX. Or lim X→+∞ eX X = +∞
49.3 Étude de la fonction x 7→ ex 15 donc lim X→+∞ X eX = 0
et, par suite,limx→−∞xex= 0. •
Conséquence 49.21 Pour tout nombre entier n strictement positif : 1. limx→+∞ e x xn = +∞. 2. limx→−∞xnex= 0. Dv •Démonstration de la conséquence49.21— 1. Commeex>0 : ex xn = ex/n x n soit ex xn = ex/n nx n n . Orlimx→+∞e X X = +∞ donc lim x→+∞ ex/n x/n = +∞. En composant avec la fonction puissance, on obtient :
lim x→+∞ ex/n nxn n = +∞ d’où lim x→+∞ ex xn = +∞. 2. On pose x= −X, xnex= (−X)ne−X, soit xnex= (−1)n Xn ex. Donc : lim x→−∞x nex= lim X→+∞(−1) nXn eX.
On vient de montrer quelimx→+∞ e
x xn = +∞, donc lim X→+∞(−1) nXn eX = 0. D’où :limx→−∞xnex= 0. • Exemples 49.22 1. Soit f : x 7→ xe10x , lim x→+∞f(x) = +∞.
2. Soit g: x 7→ x1000ex,
lim
x→−∞g(x) = 0.
R 49.23 Pour les limites en+∞ et et en −∞, on retiendra que « exp l’emporte sur x ».
49.4
Applications
1. Déterminer le plus grand réel a >0 tel que, pour tout x ∈ R, on ait : ax≤ ex.
2. Montrer que, pour tout(x, y) ∈ (R∗+)2:
ex+y
xy ≥ e
2.
3. Moyenne arithmétique et géométrique, comparaison. Soit n ∈ N∗,(a1, . . . , an) n réels
posi-tifs.
An=
a1+ · · · + an
n (moyenne arithmétique) Gn= √na1· · · an (moyenne géométrique)
Prouver que Gn≤ An, pour tout n ∈ N∗.
4. Déterminer les entiers pour lesquels2n≥ n2.
5. Comparer πeeteπ.
Dv
•Solution — 1. Soit a ∈ R∗
+. Considérons la fonction h(x) = ax−exp(x). On veut trouver le plus grand réel a tel que ax − exp(x) ≤ 0 pour tout x ∈ R. On calcule la dérivée de la fonction h :
h0(x) = a − exp(x). On obtient :
h0(x) = 0 ⇔ a − exp(x) = 0 ⇔ a = exp(x) ⇔ x = ln(a) h0(x) < 0 ⇔ x > ln(a)
h0(x) > 0 ⇔ x < ln(a)
La fonction h est donc croissante quand x <ln(a) et décroissante quand x > ln(a). On a de plus :
lim
x→−∞h(x) = −∞ et x→+∞lim h(x) = −∞ donc h admet donc un maximum en x= ln(a).
Il faut donc trouver a tel que h(x) = ax − exp(x) = 0 en x = ln(a). C’est-à-dire : h(ln(a)) = a ln(a) − exp(ln(a)) = a ln(a) − a = a(ln(a) − 1) = 0
49.4 Applications 17 Soit à résoudre :
a= 0 et ln(a) − 1 = 0 ⇔ ln(a) = 1 ⇔ a = e. Or on a fait comme condition a ∈ R∗
+, donc la seule solution à notre problème est a= e. 2. Soit(x, y) ∈ (R∗
+)2. En utilisant les propriétés de l’exponentielle, on peut transformer le membre de gauche de l’inégalité :
ex+y xy = exey xy = ex x × ey y. Montrons que la fonction f : x 7→ ex
x est toujours supérieure àe pour x > 0. Calculons
la dérivée f0de la fonction f : f0(x) =xe x− ex x2 = x− 1 x2 e x
Commeex>0 pour tout x > 0, le signe de la dérivée f0de la fonction f est du signe de l’expressionx−1
x2 , c’est-à-dire :
f0(x) < 0 ⇔ x − 1 < 0 ⇔ x < 1 et f0(x) > 0 ⇔ x > 1. La fonction f est donc décroissante sur]0; 1] et croissante sur [1; +∞[. De plus :
lim
x→0f(x) = +∞ et x→+∞lim ex
x = +∞ (croissance comparée). Donc la fonction f admet un minimum en x= 1 et f(1) = e1
1 = e. D’où : ex
x ≥ e pour tout x >0 et ainsi :
ex x × ey y ≥ e × e = e 2 pour tout(x, y) ∈ (R∗ +)2.
3. On étudie les variations de la fonction f définie, sur R, par : f(x) = ex−1− x. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, on a :
f0(x) = ex−1− 1. On en déduit, par croissance du logarithme, que :
f0(x) ≥ 0 ⇔ ex−1≥ 1 ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. D’où les variations de f :
x −∞ 1 +∞
Signe de f0 − 0 +
Variations
de la & %
La fonction f admet donc, sur R, un minimum en 1 et : f(1) = e0− 1 = 0.
Comme ce minimum est nul, la fonction f est positive sur R et pour tout réel x, on a bien : ex−1≥ x.
En spécialisant, pour chaque1 ≤ i ≤ n, l’inégalité précédente avec x = ai
An, on obtient :
e(ai/An)−1
≥Aai
n
.
En multipliant, membre à membre les inégalités ci-dessus (tous les membres sont posi-tifs), il vient : n Y i=1 e(ai/An)−1 ≥ n Y i=1 ai An
et comme l’exponentielle transforme les sommes en produit, on peut écrire : ePi(ai/An)−1≥ Qn i=1ai An n e(Piai/An)−n ≥G n n An n et puisquePi Anai − n = 0, il vient : 1 ≥ Gnn An n . On a donc : Ann≥ Gnn
Par croissance du logarithme (An≥ 0 et Gn≥ 0) :
ln(An
n) ≥ ln(Gnn).
D’après les propriétés du logarithme :
nln An≥ n ln Gn.
Comme n est non nul :
ln An≥ ln Gn
Et enfin par croissance de l’exponentielle : An≥ Gn.
4. Soit f la fonction définie sur]0; +∞[ par : f(x) = ln(2x) − ln(x2). D’après les règles de
calculs sur les logarithmes :
f(x) = x ln 2 − 2 ln x. f(2) = ln 4 − ln 4 = 0 et f(4) = ln 16 − ln 16 = 0. On a : f0(x) = ln 2 −2 x= xln 2 − 2 x .
49.4 Applications 19 Comme x >à0, on a :
f0(x) ≥ 0 ⇔ x ln 2 − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ln 2. On en déduit les variations de f :
x 0 2 ln 22 4 +∞ Signe de f0 − − 0 + + +∞ +∞ Variations & % de la 0 0 fonction f & % m On en déduit : f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [2; 4].
On recherche maintenant les entiers n pour lesquels on a :2n
≥ n2, c’est-à-dire f(n) ≥ 0, c’est-à-dire n ∈ N \ {3}.
5. La calculatrice donne :
πe ≈ 22, 46 et eπ
≈ 23, 14(à 10−2près). On sait que pour tout réel x de R∗
+, on a : ln x ≤ x − 1. En spécialisant x= π e, on obtient : ln π e ≤πe −1 ln π − 1 ≤π− ee e ln π − e ≤ π − e ln(πe)&leπ D’où : πe ≤ eπ. •
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