PC* - 10
Semaine du 7 au 11 décembre 2020
Intégration sur un intervalle
Soit f : [a, b[ → K une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale Zb
a
f (t) dt est convergente lorsque la limite :
lim
x→bx<b
Zx
a
f (t) dt existe. Cas des intervalles ]a, b] et ]a, b[.
Pratique du changement de variable et de l’intégration par partie.
Fonctions à valeurs positives. Théorèmes de comparaison (majoration, domination, équivalence). Intégrales de référence à connaître : Z 1 0 dt tα, Z+∞ 1 dt tα, Z+∞ 0 e−αtdt.
Absolue convergence. Définition de l’absolue convergence, de la semi-convergence. Toute intégrale absolument conver-gente est converconver-gente. Notion de fonction intégrable sur un intervalle.
Exemple de l’intégrale de Dirichlet semi-convergente Z+∞ 0 sin t t dt = π 2 (valeur admise). Espaces L1et L2. On pose L1(I, K) =nf ∈Cpm0 (I, K)
f est intégrable o et L2(I, K) =nf ∈Cpm0 (I, K) f 2est intégrableo . Il s’agit de deux K-espaces vectoriels, et (f , g) ∈ L2(I, K) =⇒ f g ∈ L2(I, K).
Inégalité de Cauchy-Schwarz dans L2(I, K).
