5 Développements non utilisés
5.1 Équation de la chaleur sur R
Référence : E.M. Stein, M. Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton University Press, 2003.1
Leçons concernées : 222, 239, 250.
Théorème 1. Soit f P SpRq. Alors il existe une unique fonction u P C2pR ˆ R˚
`q vérifiant
(i) Bu
Btpx, tq “ B
2u
Bx2px, tq, @px, tq P R ˆ R˚`
(ii) x fiÑ upx, tq tend uniformément vers f lorsque t tend vers 0, c’est-à-dire que sup
xPR|upx, tq ´ fpxq| ›ÑtÑ0 0
(iii) x fiÑ upx, tq appartient à SpRq uniformément par rapport à t, c’est-à-dire que pour tout T ° 0, @k, l • 0, MT k,l :“ sup 0†t†TsupxPR ˇ ˇ ˇxkB lu Bxlpx, tq ˇ ˇ ˇ † `8. De plus la solution est donnée par upx, tq “ pf ˚ Htqpxq où
@px, tq P R ˆ R˚`, Htpxq “ 1 ? 4⇡te ´x2{4t . Démonstration. On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse : on suppose que u P C2pRˆR˚
`q est solution du problème. Puisque up., tq P SpRq
on peut considérer la transformée de Fourier partielle de u : @t ° 0, @⇠ P R, pup⇠, tq “
ª
Rupx, tqe ´ix⇠dx.
Soit ⇠ P R, on applique alors le théorème de dérivation sous l’intégrale à t fiÑ pup⇠, tq sur tout intervalle s0, T r, pour T ° 0 :
(i) @x P R, t fiÑ upx, tqe´ix⇠ est dérivable sur s0, T r
(ii) @t Ps0, T r, x fiÑ upx, tqe´ix⇠P L1pRq puisque up., tq P SpRq
(iii) @x P R, @t Ps0, T r, ˇ ˇ ˇBtB ´upx, tqe´ix⇠¯ˇˇˇ “ˇˇˇBu Btpx, tq ˇ ˇ ˇ “ ˇ ˇ ˇB 2u Bx2px, tq ˇ ˇ ˇ § M T 0,2` M2,2T 1` |x|2
qui est intégrable sur R et ne dépend pas de t.
1. Merci à Michel Nassif pour l’idée et l’aide sur certains points du développement.
On obtient ainsi, pour ⇠ P R et t ° 0, Bpu Btp⇠, tq “ ª R B Bt ´ upx, tqe´ix⇠¯dx“ ª R B2u Bx2px, tqe´ix⇠dx.
En réalisant deux intégrations par parties on obtient alors pour ⇠ P R et t ° 0, Bpu
Btp⇠, tq “ ´⇠2pup⇠, tq et ainsi, pour tout ⇠ P R, il existe Ap⇠q P R tel que pour t ° 0,
p
up⇠, tq “ Ap⇠qe´⇠2t. Or on a, pour ⇠ P R, puisque f P SpRq, pour tout t ° 0,
ˇ ˇpup⇠, tq ´ pfp⇠qˇˇ § ª R ˇ ˇupx, tq ´ fpxqˇˇdx.
Soit " ° 0. Puisque f P SpRq Ä L1pRq et que pour t Ps0, 1r, |upx, tq| § M0,01 `M2,01
1`|x|2 , il existe
A° 0 tel que pour t Ps0, 1r, ª |x|°A ˇ ˇupx, tq ´ fpxqˇˇdx §ª |x|°A|upx, tq|dx ` ª |x|°A|fpxq|dx † ". Ainsi, pour t Ps0, 1r, ª R ˇ ˇupx, tq ´ fpxqˇˇdx “ª |x|°A ˇ ˇupx, tq ´ fpxqˇˇdx `ª |x|§A ˇ ˇupx, tq ´ fpxqˇˇdx † " ` 2A sup xPR|upx, tq ´ fpxq| ›ÑtÑ0 "
d’après l’hypothèse piiq. Ainsi, en faisant " Ñ 0, on obtient que pour tout ⇠ P R, pup⇠, tq ›ÑtÑ0 p
fp⇠q, et donc A “ pf. On obtient alors pup⇠, tq “ pfp⇠qe´⇠2t. Puisque pour tout t ° 0, ⇠ fiÑ
p
fp⇠qe´⇠2tP SpRq, on peut appliquer l’inversion de Fourier pour avoir, pour px, tq P R ˆ R˚`, upx, tq “ 1 2⇡ ª R p fp⇠qe´⇠2teix⇠d⇠“ 1 2⇡ ª R ´ ª Rfpsqe ´is⇠ds¯e´⇠2t eix⇠d⇠ “ ª Rfpsq ´ 1 2⇡ ª Re ´⇠2t e´ips´xq⇠d⇠¯ds“ ª Rfpsq 1 ? 4⇡te ´px´sq2{4t ds“ pf ˚ Htqpxq
par théorème de Fubini et par transformée de Fourier d’une gaussienne. On a donc unicité de la solution.
Synthèse : on considère upx, tq “ pf ˚Htqpxq pour tout px, tq P RˆR˚`. D’après l’analyse on sait que upx, tq “ 1 2⇡ ª R p fp⇠qe´⇠2teix⇠d⇠
en appliquant le théorème de dérivation sous l’intégrale on obtient la régularité de u, qui est en fait C8pR ˆ R˚
`q et le fait qu’elle vérifie l’équation de la chaleur sur R ˆ R˚`.
La convergence uniforme de up., tq vers f provient quant à elle du fait que pHtqt°0 est
une approximation de l’unité. En effet, il est clair que Ht est positive d’intégrale 1, et par
changement de variable on obtient ª |x|°⌘Htpxqdx “ 1 ?⇡ ª |y|°⌘{?4t e´y2dy›Ñ tÑ0 0
et f P SpRq donc est uniformément continue sur R. Enfin, pour montrer le point (iii),
|upx, tq| § ª
|y|§|x|{2|fpx ´ yq|Htpyq dy `
ª
|y|°|x|{2|fpx ´ yq|Htpyq dy
§ CN p1 ` |x|qN ` C 1 ? te ´cx2{t
en utilisant le fait que f P SpRq. Ainsi, pour tout T ° 0,
@k • 0, sup
0†t†TsupxPR|x
kupx, tq| † `8.
On obtient la même chose pour les dérivées partielles de u par rapport à x en appliquant un théorème de dérivation sous l’intégrale et en utilisant le fait que f P SpRq.
Remarque. On peut raisonner de la même manière avec l’équation de Schrödinger, et c’est plus simple puisque dans ce cas la condition initiale est simplement la valeur de up., tq en 0, puisque u est définie sur R2. On n’a donc pas besoin de justifier le passage à la limite dans la transformée de Fourier de u.
Commentaire : c’est sûrement trop long pour un développement, peut être préférer l’équation de Schrödinger qui manipule les mêmes outils mais est plus simple.
