FIBONACCI
(Pise, environ 1180 – 1250)
Leonardo Fibonacci est un mathématicien italien. Il était connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo Bigollo (bigollo signifiant voyageur). Il s'appelait probablement Leonardo Guilielmi. Le nom de Fibonacci, correspondant au « figlio di Bonacci », lui a été attribué de manière posthume.
Né à Pise, en Italie, son éducation s'est faite en grande partie en Afrique du Nord. Son père, Guglielmo Bonacci, vivait à Béjaïa où il était le représentant des marchands pisans en Algérie, en Tunisie et au Maroc auprès de la douane, et où Fibonacci commença son éducation en mathématiques. A cette époque, Béjaïa était un grand centre intellectuel, où résidaient des savants comme Sidi Boumedienne, Ibn Hammad, Abd al-Haqq al-Ishbili et Abu Hamid al-Sarir. En 1202, Fibonacci en rapporta les chiffres arabes et la notation algébrique. Ceci illustre les liens entre la vitalité commerciale des villes d'Italie de l'époque et la créativité scientifique et artistique de leurs membres.
En 1202, il publie Liber Abaci (« Le livres des calculs »), un traité sur les calculs et la comptabilité fondée sur le calcul décimal à une époque où tout l'Occident utilisait encore les chiffres romains et calculait sur abaque. Ce livre est fortement influencé par sa vie dans les pays arabes ; il est d'ailleurs rédigé en partie de droite à gauche.
Par cette publication, Fibonacci introduit le système de notation indienne en Europe. Ce système est bien plus puissant et rapide que la notation romaine, et Fibonacci en est pleinement conscient. Il peina cependant à s'imposer avant plusieurs siècles. L'invention sera mal reçue car le public ne comprenait plus les calculs que faisaient les commerçants. En 1280, Florence interdit même l'usage des chiffres arabes par les banquiers.
Fibonacci est connu de nos jours pour un problème conduisant aux nombres et à la suite qui portent son nom, mais à son époque, ce sont surtout les applications de l'arithmétique au calcul commercial qui l'ont fait reconnaître : calcul du profit des transactions, conversion entre monnaies de différents pays.
En 1220, il publie Practica geometriae, qui recense toutes les connaissances de l'époque en géométrie et en trigonométrie (écrits d'Euclide et des autres mathématiciens grecs, transmis par des manuscrits arabes ou traduits par des Italiens) ; en particulier, l'ouvrage contient la formule de Héron donnant l'aire du triangle en fonction des longueurs des trois côtés.
Sa réputation scientifique devenait telle que l'empereur Frédéric II s'arrêta à Pise pour le voir et lui poser des « colles ». La résolution de ces problèmes (les plus célèbres étant : trouver un nombre x tel que x2 + 5 et x2 - 5 soient tous deux des carrés ; résoudre l'équation du troisième degré x3 + 2x2 + 10x = 20) ainsi que la résolution d'autres problèmes de même nature sont contenues dans Liber quadratorum (1225).
Un roman adapté au cinéma récemment a mis en lumière ce mathématicien illustre en donnant une importance capitale aux suites de Fibonacci, ce qui l'a fait connaître auprès du grand public.
Suite de Fibonacci
En étudiant le comportement des lapins dans sa basse-cour, Fibonacci trouva la célèbre suite qui porte désormais son nom : « Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence ? »
En janvier : 1 couple En février : 1 couple En mars : 1 + 1 = 2 couples En avril : 1 + 2 = 3 couples En mai : 2 + 3 = 5 couples En juin : 3 + 5 = 8 couples En juillet : 5 + 8 = 13 couples En août : 8 + 13 = 21 couples En septembre : 13 + 21 = 34 couples En octobre : 21 + 34 = 55 couples En novembre : 34 + 55 = 89 couples En décembre : 55 + 89 = 144 couples
On définit en fait (un), une suite récurrente d’ordre 2, par : u0 = 1 ; u1 = 1 et un+2 = un+1 + un pour tout entier n. (La valeur d’un terme est obtenu en additionnant les valeurs des deux termes qui le précèdent.)
On a le résultat suivant : nlim+∞
n n u u +1 = φ avec φ = 2 5
1+ , c’est à dire le nombre d’or. Les élèves de terminale
peuvent montrer ce résultat en étudiant la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn =
n n
u
u +1. On montre d’abord que vn+1 = f(vn), avec f la fonction définie pour tout réel différent de 0 par f(x) =
x
1
1+ . On montre ensuite que (vn) converge vers φ.
o v
0 v2v4v3 v1
La suite de Fibonacci s’est rendue célèbre par ses représentations multiples en relation avec ce nombre mythique. On la trouve dans la fleur de tournesol, dans la formation de certains coquillages, sur l’ananas, le chou romain (broccolo romano) ou sur la pomme de pin qui présentent tous une spirale d’or.
l l l 3 2 1
Les rapports l1/l2, l2/l3, ... des cotés des
rectangles successifs sont tous égaux au nombre d’or, φ.
Rectangle d’or et spirale du nombre d’or Coupe d’une coquille de nautile
y = 1+1/x y = x
x y
