ARTheque - STEF - ENS Cachan | Application de la géométrie descriptive à un problème technique.

Application de la géométrie descriptive

à un problème technique

Nous n o u s p r o p o s o n s d a n s ce qui suit d'ap-p l i q u e r les m é t h o d e s élémentaire s de la géo-m é t r i e d e s c r i p t i v e à u n p r o b l è géo-m e classique : le réglage de la tête de f r a i s e u s e H u r é . La question est souvent traitée, soit p a r la t r i g o n o m é t r i e sphé-r i q u e , soit s i m p l e m e n t p a sphé-r la t sphé-r i g o n o m é t sphé-r i e sphé- rec-tiligne et la g é o m é t r i e de l'espace, m a i s les dif-f é r e n t s m o u v e m e n t s sont assez didif-fdif-ficiles à suivre sur u n e figure en p e r s p e c t i v e. Nous allons voir q u e s u r u n e é p u r e simple les éléments du ré-glage a p p a r a i s s e n t en vraie g r a n d e u r a p r è s ra-b a t t e m e n t .

P R I N C I P E D E L A T Ê T E H U R É R E P É R A G E D ' U N E D I R E C T I O N

D A N S L ' E S P A C E

La tète universelle H u r é se c o m p o s e de deux p a r t i e s qui p e u v e n t p i v o t e r

-— Soit s i m u l t a n é m e n t p a r r a p p o r t au bâti, g r â c e à u n e coulisse vertical e (B) d'ax e .T'A-;

— Soit l'une p a r r a p p o r t à l ' a u t r e s u i v a n t u n e coulisse (A) dite coulisse à 45° d'ax e ij'y. Nous p r é c i s e r o n s p l u s loin les g r a d u a t i o n s p o r t é e s p a r ces coulisses.

A l'aide de ces deux m o u v e m e n t s , 011 peut, c o m m e n o u s allons le m o n t r e r , d o n n e r à la b r o c h e u ne o r i e n t a t i o n quelconque.

Nous r a p p e l l e r o n s à ce p r o p o s q u ' u n e demi-droite, issue d'un p o i n t lixe O, peut être r e p é r é e p a r deux angles, d o n c deux p a r a m è t r e s . Si 011

* A c o n s i d è r e en effet la t r a c e P de la demi-droite On sur u n e s p h è r e de c e n t r e O, le p o i n t P p e u t être r e p é r é p a r ses « c o o r d o n n é e s g é o g r a p h i q u es » : L o n g i t u d e j. (— ~ < ^ ^ L a t i t u d e X ( — 7 ^ X ) 35

Le choi x de ces d e u x p a r a m è t r e s est d'ailleurs a r b i t r a i r e , et p o u r n o t r e étude nous en retien-d r o n s retien-d e u x autres.

La d e m i - d r o i te Ou r e p r é s e n t a n t l'axe de la b r o c h e , r e m a r q u o n s qu'il nous suffit de r e p é r e r cette demi-droit e d a n s le demi-espac e limité p a r le p l a n vertical de la coulisse B.

Soit u n p o i n t P (fig. 3) sur la demi-splière de c e n t r e 0 , t r a ç o n s sur cette d e m i - s p h è r e , le cercle ( !') d ' a xe Ox p a s s a n t p a r P et le cercle ( ) de d i a m è t r e CD et d ' a x e O y .

Si le cercle ( r ) est de profil, ainsi q u e le p l a n l i m i t a nt n o t r e demi-espace, le cercl e ( £i ) est d a n s un plan de bout i n c l i n é à 45°.

^ L e p o i n t P p e u t alors être r e p é r é p a r l'angle PiIP = a; sur le cercle ( I") ( — x ^ n) et p a r l'angle C « P i — y qui d é t e r m i n e le cercle ( r ) p a r son i n t e r s e c t i o n avec le cercle ( Q ), Pi

étant celui des deux points d'intersection situé en avant du plan frontal des centres (O^y^n).

E n r é s u m é , le cercle (ii) et la famille des cer-cles ( I' ) d ' a x e Ox, suffisent à r e p é r e r le p o i n t P sur la d e m i - s p h è r e et, p a r suite, la d e m i - d r o i t e OP d a n s le demiespace, y définit un cercle de p r o -fil ( I' ) ; x définit le p o i n t P sur ce cercle.

Ce sont ces d e u x p a r a m è t r e s qu e va m e t t r e en relief l ' é t u d e des d é p l a c e m e n t s de la b r o c h e .

R E P R É S E N T A T I O N SCHÉMATIQUE D E S DÉPLACEMENTS

La m a n œ u v r e de la coulisse verticale (B) im-p r i m e à la b r o c h e une r o t a t i o n d'axe x'x. Au c o u r s de cette r o t a t i o n , l'axe g é o m é t r i q u e de la b r o c h e d é c r i t en g é n é r a l u n h y p e r b o l o ï d e de révolution, m a i s son orientation peut être repé-rée par celle d'un vecteur parallèle d'origine fixe quelconque, lequel d é c r i t u n c ô n e d i r e c t e u r de l ' h y p e r b o l o ï d e .

D a n s le cas p a r t i c u l i e r où l'axe de la b r o c h e est parallèl e à x'x, il d é c r i t un c y l i n d r e de révo-lution et d e m e u r e h o r i z o n t a l . Signalons quatre positions horizontales remarquables : haute,

basse, et d e u x l a t é r a l e s ; o b t e n u e s p a r q u a r t s de t o u r de la coulisse (B).

La figure 1 r e p r é s e n t e la tête avec la b r o c h e en p o s i t i o n h o r i z o n t a l e basse.

La m a n œ u v r e de la coulisse (A) est u n e rota-tion d'ax e y'y d a n s laquelle l'axe de la b r o c h e d é c r i t p a r r a p p o r t au b â t i u n c ô n e d'ax e y'y et de demi-angle au s o m m e t 45°.

Si d o n c on c o n s i d è r e u n v e c t e u r (ou u n e demi-droite) p a r a l l è le à la b r o c h e et d ' o r i g i n e fixe, c h a c u n e des m a n œ u v r e s s é p a r é es des d e u x cou-lisses lui f a i t d é c r i r e l ' u n ou l ' a u t r e des d e u x cônes p r é c i t é s . U n e p o s i t i o n q u e l c o n q u e étant délinie p a r l ' i n t e r s e c t i o n de ces d e u x cônes, n o u s u t i l i s e r o n s la m é t h o d e classique qui c o n s i d è r e les t r a c e s de ces cônes s u r u n e s p h è r e a y a n t p o u r c e n t r e le s o m m e t c o m m u n .

D a n s tout ce q u i suit, n o u s r e p r é s e n t e r o n s l'axe x'x p a r a l l è l e à la ligne de t e r r e , de telle sorte q u ' e n p o s i t i o n h o r i z o n t a l e basse (fig. 1 et 5) le p l a n des d e u x axes x'x, y'y est f r o n t a l .

O étant l'intersection des deux axes, la broche est représentée par le vecteur OP unitaire, et

nous é t u d i o n s le d é p l a c e m e n t de son e x t r é m i t é P sur la s p h è r e de c e n t r e O et de r a y o n 1.

O b s e r v o n s tout d ' a b o r d q u e p o u r analyser com-modément u n tel d é p l a c e m e n t (rotations succes-sives a u t o u r de p l u s i e u r s axes)...

Il importe d'effectuer les rotations dans un ordre tel que la première ne déplace pas l'axe de la suivante. (Le p r i n c i p e serait valable p o u r un n o m b r e q u e l c o n q u e de r o t a t i o n s . On c o m m e n -36

coulisse B p o u r d o n n e r l ' i n c l i n a i s on c o n v e n a b l e ; — Soit d a n s le p l a n f r o n t a l de l'axe x'x et f a i s a n t avec cet axe u n angle d o n n é ;

— Soit clans le p l a n horizontal de l'axe x'x et f a i s a n t avec cet axe un angle donné.

C'est la d o n n é e de cet angle Î O P que doit f a i r e la b r o c h e avec Ox en position définitive qui d é t e r m i n e le cercle de profil variable. (F), lieu de P d a n s la m a n œ u v r e de la coulisse (B) en effet, ce d é p l a c e m e n t n ' a l t e r n a n t p a s cet angle, il a p p a r a î t en v r a i e g r a n d e u r clans le p l a n f r o n

-tal en âTÔK ou x O Ï T

Ce cercle de profil ( F ) étant ainsi défini, son i n t e r s e c t i o n avec le p l a n de bout du cercle fixe (Q) d é t e r m i n e l'angle y dont il f a u t f a i r e t o u r n e r la coulisse (A) p o u r a m e n e r P0 en P,. —i> A p a r t i r de Pi on a m è n e OP : — Soit h o r i z o n t a l en 0 P3 : p a r u n e r o t a t i o n de la coulisse (B) d ' a m p l i t u d e x = P r r P 7 ; — Soit f r o n t a l en OP2 : p a r u ne r o t a t i o n d'am-p l i t u d e x' = P T T K = 90 — x. Les a m p l i t u d e s x et y des r o t a t i o n s à i m p r i m e r aux coulisses sont obtenues aisément en rabat-tant les deux cercles (Q) et (F) sur le p l a n f r o n t a l a u t o u r de leurs d i a m è t r e s CD et E F c o m m e c h a r n i è r e s .

Nous allons, a p r è s avoir t r a c é l'épure, calculer ces angles x et y en f o n c t i o n de "xOP, m a i s il c o n v i e n t a u p a r a v a n t de p r é c i s e r les g r a d u a t i o n s p o r t é e s p a r les coulisses.

GRADUATIONS DES COULISSES

Fie. 5.

On t r o u v e c o m m e lieux g é o m é t r i q u e s de P les cercles figuratifs du d e u x i è m e m o d e de p a r a m é -trage que n o u s avon s r e t e n u (Cf. fig. 3 et 4). On p e u t d o n c à l ' a i d e de la tête universelle H u r é d o n n e r à la b r o c h e u n e o r i e n t a t i on q u e l c o n q u e . E n p r a t i q u e , on n'utilise que des p o s i t i o n s telles que l'axe de la b r o c h e est :

— Soit p e r p e n d i c u l a i r e à l'axe x'x; r o t a t i o n de 180° de la coulisse (A), p u i s m a n œ u v r e de la cera d o n c (pour le r a i s o n n e m e n t ) p a r la ma-n œ u v r e de la coulisse (A) à 45°.

Fie. 4.

Sur la figure 6, position horizontale basse, les 0 des g r a d u a t i o n s sont en f a c e des repères.

Coulisse (B). — Deu x r e p è r e s fixes sur la

cou-r o n n e solidaicou-re du bâti sont d i a m é t cou-r a l e m e n t op-posés, d a n s le p l a n h o r i z o n t a l de l'axe x'x. P a r t o n s de la p o s i t i on h o r i z o n t a l e basse, r e p r é

--H>

sentee (fig. 5) p a r OP0. Si on m a n œ u v r e la cou-lisse (A) OP d é c r i t le cône d ' a xe 0 y et de demi-angle au s o m m e t 45°, le lieu de P est le cercle

fixe (Q) situé d a n s un plan de bout à 45". Cette

r o t a t i o n d ' a m p l i t u d e y = PTôTPi n o u s a y a n t a m e n é en P^ la m a n œ u v r e de la c o u l i s s e ' (B) d é p l a c e r a P sur le cercle de profil ( F ) de c e n t r e I p a s s a n t en Px.

S u r la c o u r o n n e m o b i l e , d e u x g r a d u a t i o n s de 0 à 90", l ' u n e v e r s le h a u t , l ' a u t r e v e r s le bas, l i m i t e n t le c h a m p de r e p é r a g e de x à Cet i n t e r v a l l e s ' a v è r e suffisant, c a r d ' u n e p a r t —* d a n s les p o s i t i o n s utilisées le v e c t e u r OP ne v i e n t j a m a i s a u - d e s s u s d u p l a n h o r i z o n t a l d e l ' a x e x'x et d ' a u t r e p a r t cette r é d u c l l >11 du c h a m p de x s ' a c c o m p a g n e d ' u n e e x t e n s i o n d u c h a m p d e y.

Coulis.se à 4-5° (A). — Deux r e p è r e s l i s e s s i t u é s

d a n s le p l a n de b o u t d e l ' a s e ;/';/ d e celte lisse soit d i a m é t r a l e m e n t o p p o s é s s u r la cou-r o n n e p o cou-r t é e p a cou-r la p a cou-r t i e t e cou-r m i n a l e d e la tête. Sur l ' a u t r e c o u r o n n e , liée à la p a r t i e m é d i a n e de la tête, u n e g r a d u a t i o n 0-180" d a n s les d e u x s e n s s ' é t e n d s u r la d e m i - c i r c o n f é r e n c e s u p é r i e u r e . Le c h a m p de r e p é r a g e d e y v a d o n c de — à + -S o u l i g n o n s à ce p r o p o s q u e si l ' i n t e r v a l l e y ^ y . suflit à d é f i n i r le c e r c l e ( t ) p a r c e l u i d e ces d e u x p o i n t s d ' i n t e r s e c t i o n a v e c (Q) s i t u é le p l u s en a v a n t , le fait q u e les a m p l i t u d e s r e p é r a b l c s d e x sont l i m i t é e s en v a l e u r a b s o l u e à -, c o n d u i t à p r e n d r e l ' a u t r e p o i n t d ' i n t e r s e c t i o n , e n a r r i è r e du p l a n f r o n t a l , c o m m e o r i g i n e d e x p o u r les p o s i t i o n s de OP également en 'arrière de ce plan.

Ceci n é c e s s i t e d o n c u n c h a m p de r e p é r a g e d e y d ' a m p l i t u d e 2 - .

P R O B L È M E I . — Amener la broche clans le plan

frontal rie x'x, faisant avec cet axe l'angle i (en

a v a n t d u p l a n f r o n t a l ) . Cet a n g l e a d é t e r m i n e le c e r c l e de p r o f i l ( I' ) de c e n t r e I. T r a ç o n s l ' é p u r e de la p r o j e c t i o n f r o n -tale (lig. 7) : x '>' e' — i d ' o ù 0 ' (' = cOs * P o u r a m e n e r P d a n s ce p l a n de p r o f i l f'e' à p a r t i r d e la p o s i t i o n P„, on agit s u r la c o u l i s s e (A). R a b a t t o n s le c e r c l e (U) s u r le p l a n f r o n t a l au-t o u r d e s o n d i a m è au-t r e CD c o m m e c h a r n i è r e eau-t d é s i g n o n s p a r nu le r a b a t t e m e n t d e Pi. On lit d i r e c t e m e n t s u r l ' é p u r e l ' a n g l e : C' m' m = y d o n t il f a u t f a i r e t o u r n e r la c o u l i s s e (A). E n r a b a t t a n t le c e r c l e ( f ) s u r le p l a n f r o n t a l a u t o u r d e son d i a m è t r e E F et d é s i g n a n t p a r ni le r a b a t t e m e n t d e Pi, o n lit de m ê m e l ' a n g l e : ; i i i ' C ' = x d o n t il f a u t f a i r e t o u r n e r la c o u l i s se (B) p o u r a m e n e r Pi en P3 d a n s le p l a n h o r i z o n t a l d e O'.r. Remarque. — p\ nh = p\ :h = é l o i g n e m e n t d e Pi relatif au p l a n f r o n t a l d e 0':r. Il est f a c i l e d e d é g a g e r les f o r m u l e s d o n n a n t x et y en f o n c -t i o n de y. : 1 _{Rj i ' C 1 — cos 3 . i} sm

x

= — = , = — . — t g ,-» ,, i e sm a ° 2 i /ÏI P o u r d é l m i i i n c r y, é v a l u o n s c' p\ d e d e u x m a n i è r e s : — D ' u n e p a r t d a n s le t r i a n g l e r e c t a n g l e iso-cèle c' i' p\ : c' p ' | = i' c' ^ 2 = (1 — cos 2) ^ 2 — D ' a u t r e p a r t , d a n s le c e r c l e (Si) de r a y o n . 2

w'e ' = i

011

a :

2 (.)• P ' I = È L _ V L _ C O S _Y

2

en c h o i s i s s a n t c o m m e s e n s positif c e l u i île c' v e r s <o\ O r

c' p'i = c' 10' + to' p\ = (1 — cos y) d ' o ù

(1 — cos y) = 2 _{(1 — cos JC)} 1 — cos y = 2 ( 1 — cos J )

r. • --)

U

, •

o a

et

a v e c

• U w . y. sm 2 = S l n ₉

sin x = t g 9

P R O B L È M E I I . — Amener la broche dans le plan frontal de l'axe x'x et faisant avec cet axe

(en d e s s o u s d u p l a n h o r i z o n t a l ) u n angl e (5. Si l ' o n r e p r e n d le p r o b l è m e I à p a r t i r d e la p o s i t i o n P,, la r o t a t i o n x de la c o u l i s s e (B) n o u s p e r m e t t a n t d ' a m e n e r la b r o c h e h o r i z o n t a l e selon OP3 ( p r o b l è m e 1) la r o t a t i o n (x _{) à p a r t i r} de PI a m è n e la b r o c h e f r o n t a l e selon 0 P2 fai-s a n t l ' a n g l e a a v e c O'x en d e fai-s fai-s o u fai-s. On p e u t d o n c é c r i r e p o u r u n e v a l e u r cet angle : de sin Ç- = v 2 sin § a v e c x , = x — 90° d o n c c o s x , = t g ! ~ Je t i e n s en t e r m i n a n t à r e m e r c i e r M. Saint-V e n a n t , p r o f e s s e u r à l'E.N.I.A.M. de Lille, qui m ' a f o u r n i t o u t e s les i n d i c a t i o n s utiles s u r la m a c h i n e , a i n s i q u e s u r d e n o m b r e u x p r o b l è m e s d ' a f f û t a g e d ' o u t i l s qu'il t r a i t e p a r les m ê m e s m é -t h o d e s de d e s c r i p -t i v e .

J. LAMAT,

Ancien élève de l'E.N .S.E.T., Professeur au Collège technique Buggio,