2013-2014

ISA BTP, 4◦année ANNÉE UNIVERSITAIRE 2013-2014

CONTRÔLE CONTINU Séries de Fourier, transformée de Laplace

Durée : 1h30. Calculatrices et formulaires autorisés.

Tous les exercices sont indépendants

Il sera tenu compte de la rédaction et la présentation

Exercice 1 Soit a ∈]0, π[. On considère la fonction f définie sur R, paire, 2π-périodique et qui coïncide sur [0, π[ avec la fonction qui vaut

 0 si 0 6 x 6 a 1 sinon. 1. Représenter graphiquement la fonction f . 2. Calculer ses coefficients de Fourier.

3. Écrire la série de Fourier de f et en déduire l’égalité π − 2a 4 = +∞ X n=1 sin(na) cos(na) n pour tout a ∈]0, π[. 4. En posant a = π

4, écrire π sous la forme d’une somme infinie dont tous les termes

sont non nuls. On rappelle la formule

sin(θ) cos(θ) = 1

2sin(2θ)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 soit α ∈ R un réel non entier entier et soit f la fonction 2π-périodique vérifiant

∀t ∈ [−π, π], f (t) = cos(αt).

1. Tracer le graphe de f sur [−2π, 2π] pour α = 1

4, α =

1

2, α =

3 4.

2. Montrer que la série de Fourier de f est Sf(t) = sin(απ) απ + 2α sin(απ) π +∞ X n=1 (−1)n α2_{− n}2 cos(nt)

3. En déduire f (t) sous la forme d’une série trigonométrique. (On justifiera que cette égalité est valable pour tout t ∈ R).

4. En fixant à chaque fois une valeur de t, donner les valeurs des sommes

S1 = +∞ X n=1 (−1)n n2_{− α}2 et S2 = +∞ X n=1 1 n2_{− α}2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 Soit (S) le système différentiel défini sur R+ par

(S) :  x

0 _{= y + sin t}

y0 = −x + 2y − cos t

auquel on ajoute les conditions initiales

(C.I.) : x(0) = 0, y(0) = 1

1. Montrer que si l’on note X et Y les transformées de Laplace respectives de x et y, on a (S) + (C.I.) ⇐⇒      X = 1 p − 1 − p p2_{+ 1} Y = 1 p − 1 2. En déduire l’unique solution du système (S) + (C.I.).

? ? ?

CORRECTION

Exercice 1 : 1.

−

a

a

π

−

π

2. La fonction f étant paire, on a bn = 0 pour tout n > 1. D’autre part

an = 2 π Z π 0 f (t) cos(nt)dt = 2 π Z π a cos(nt)dt = 2 π  1 nsin(nt) π a pour n 6= 0 = −2 sin(na) nπ et a0 = 2 π Z π a dt = 2(π − a) π = 2  1 − a π 

3. D’après les calculs précédents, on a Sf(t) = 1 − a π − 2 π +∞ X n=1 sin(na) n cos(nt) 4. En t = a, on a donc 1 − a π − 2 π +∞ X n=1 sin(na) cos(na) n = f (a+_{) + f (a}−₎ 2 = 1 2 D’où +∞ Xsin(na) cos(na) n = π 2  1 2− a π  = π − 2a 4

5. Pour a = π₄, on a +∞ X n=1 sin nπ₄
cos nπ₄
n = π − π₂ 4 ⇐⇒ +∞ X n=1 1 nsin  nπ 2  = π 4 Dans la somme ci-dessus, les termes d’indice pairs sont nuls. On a donc

π = 4 +∞ X p=0 (−1)p 2p + 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : 1. α = 1₄ -6 -4 -2 2 4 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α = 1₄ -6 -4 -2 2 4 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α = 1₄

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5 0.5 1

2. La fonction f étant paire, on a bn = 0 pour tout n > 1. Par ailleurs,

an= 2 π Z π 0 cos(αt) cos(nt)dt

On peut alors calculer ces coefficients en effectuant successivement deux intégrations par parties. Ainsi,

(a) On pose 

u(t) = cos(αt) ⇒ u0(t) = −α sin(αt)

v0(t) = cos(nt) ⇒ v(t) = _n1 sin(nt) On a alors an= 2 π  1 ncos(αt) sin(nt) π 0 +α n Z π 0 sin(αt) sin(nt)dt  = 2α nπ Z π 0 sin(αt) sin(nt)dt (b) On pose ensuite 

u(t) = sin(αt) ⇒ u0(t) = α cos(αt)

v0(t) = sin(nt) ⇒ v(t) = −_n1 cos(nt) et on a an= 2α nπ  −1 nsin(αt) cos(nt) π 0 +α n Z π 0 cos(αt) cos(nt)dt  = − 2α πn2 sin(απ)(−1) n₊α2 n2an Ainsi,  α2 n2 − 1  an= 2α πn2(−1) n sin(απ) =⇒ an = 2α(−1)n π(α2_{− n}2₎sin(απ)

Enfin, le calcul étant valable uniquement pour n 6= 0, il faut calculer a0 à part. Ainsi, a0 = 2 π Z π 0 cos(αt)dt = 2 π  1 αsin(αt) π 0 = 2 απ sin(απ)

3. La série de Fourier de f est donc

Sf(t) = sin(απ) απ + 2α sin(απ) π +∞ X n=1 (−1)n α2_{− n}2 cos(nt)

D’autre part, f étant continue sur R (puisque f (−π) = f (π)), on a

∀t ∈ R, f (t) = sin(απ) απ + 2α sin(απ) π +∞ X n=1 (−1)n α2_{− n}2 cos(nt)

4. D’après l’égalité ci-dessus, on a – pour t = 0 : 1 = sin(απ) απ + 2α sin(απ) π +∞ X n=1 (−1)n α2_{− n}2 = sin(απ) απ 1 − 2α +∞ X n=1 (−1)n α2_{− n}2 ! D’où +∞ X n=1 (−1)n n2_{− α}2 = 1 2α  απ sin(απ)− 1  = π 2 sin(απ)− 1 2α – pour t = π : cos(απ) = sin(απ) απ + 2α sin(απ) π +∞ X n=1 (−1)n α2_{− n}2(−1) n₌ sin(απ) απ 1 − 2α +∞ X n=1 1 α2_{− n}2 ! D’où +∞ X n=1 1 n2_{− α}2 = 1 2α  απ sin(απ) cos(απ) − 1  = π sin(2απ) − 1 2α ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. En passant le système (S) + (C.I.) au filtre de Laplace (en se basant sur les trans-formées de Laplace des fonctions sinus et cosinus données par le formulaire et sur le

fait que la TL est linéaire), on obtient (S) + (C.I.) ⇐⇒          pX = Y + 1 p2_{+ 1} pY − 1 = −X + 2Y − p p2_{+ 1} ⇐⇒          pX − Y = 1 p2 _{+ 1} X + (p − 2)Y = 1 − p p2 _{+ 1} ⇐⇒          −Y − p(p − 2)Y = 1 p2_{+ 1} − p + p2 p2_{+ 1} (L1 ← L1− pL2) X = 1 − p p2_{+ 1} − (p − 2)Y ⇐⇒      −Y (p2_{− 2p + 1) = 1 − p} X = 1 − p p2_{+ 1} − (p − 2)Y ⇐⇒          Y = p − 1 (p − 1)2 = 1 p − 1 X = 1 − p p2_{+ 1} − p − 1 − 1 p − 1 = 1 p − 1 − p p2_{+ 1}

2. On obtient alors l’unique solution du système (S) + (C.I.) en “remontant” les trans-formées de Laplace obtenues à la question précédente. Ainsi

 x(t) = et_{− cos(t)}

y(t) = et

? ? ?