5. Exercices et corrig ´es
Rappels et questions-tests p.166
1) ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que : −−→
BD =−→AC et−→AE =−→BA.
Quelle est la nature du quadrilat`ere ADCE ? 2) ABC est un triangle.
a)Construisez les points D, E et F tels que : −−→
AD =−→AB +−→AC ;−→AE =BA +−→ −→AC ;−−→BF =−→BA −−→AC. b) D´emontrez que C est le milieu de [DE].
3)
Sur la droite ci-dessus les divisions sont r´eguli`eres.
Compl´etez les in´egalit´es suivantes :−−→AM = ...−→AB ;−−→AN = ...−→AC ;−CP = ...−→ −−→CB.
4) Dans un rep`ere (O ;I ;J) on donne les points A(−3; 3) et B(5; −1). M est un point de coordonn´ees (x; y). a) Calculez en fonction de x et y les coordonn´ees de−−→M A et−−→M B.
b) Calculez les coordonn´ees de 3−−→M B.
c) D´eduisez-en les coordonn´ees de M tel que :−−→M A = 3−−→M B.
5) Dans un rep`ere (O ;I ;J) on donne les points A(−2; 2), B(1; −3), C(9; −1) et D(6; 4). Quelle est la nature du quadrilat`ere ABCD ?
Exercice A
Repassez en vert les vecteurs colin´eaires au vecteur ~u et en rouge les vecteurs colin´eaires au vecteur ~v
Corrig´e de l’exercice A
Repassez en vert les vecteurs colin´eaires au vecteur ~u et en rouge les vecteurs colin´eaires au vecteur ~v
n°55 p.182 : ABC est un triangle.
1) Construisez le point D tel que : −−→ AD =3 5 −→ AB +2 5 −→ AC.
2) En ´ecrivant que−−→BD =−→BA +−−→AD, d´emontrez que les vecteurs−−→BD et−−→BC sont colin´eaires. Corrig´e du n°55 p.182 :
1°)
2°)D’apr`es la relation de Chasles :
~ BD = BA + ~~ AD = BA +~ 3 5AB +~ 2 5AC~ = +1 − 3 5 ~ BA +2 5AC~ = 2 5BA +~ 2 5AC~ = 2 5 ~ BA + ~AC = 2 5BC~
n°46 p.182 :
Dans chacun des cas suivants, dites si les vecteurs ~u et ~v sont colin´eaires. a) ~u = 2~i − 3~j et ~v =2 3~i − ~j. b) ~u = 2~i + 3~j et ~v = −1 3~i − 1 2~j. Corrig´e du n°46 p.182 : On utilise la caract´erisation xy′− yx′= 0. a) 2 × (−1) − (−3) ×2 3 = −2 + 2 = 0
Donc les vecteurs sont colin´eaires. b) 2 × −1
2 − 3 × − 1
3 = −1 + 1 = 0
Donc les vecteurs sont colin´eaires. n°2 p.171 :
On donne les points A(−3; 2) et B(−1; 7). Le point M (−6; −11
2) est-il un point de (AB) ?
Corrig´e du n°2 p.171 :
(il est pertinent de s’aider de l’exercice corrig´e qui est au-dessus...)
Si les vecteurs ~AB et ~AM sont colin´eaires, alors les points A, B et M sont align´es. Testons cette colin´earit´e, et calculant tout d’abord les coordonn´ees des vecteurs :
~ AB −1 + 3 7 − 2 = 2 5 ~ AM −6 + 3 −11 2 − 2 = −3 −7, 5
Testons `a pr´esent la colin´earit´e : 2 × (−7, 5) − 5 × (−3) = 0, donc les deux vecteurs sont colin´eaires. Par suite, les points A, B et M sont align´es, c’est-`a-dire M ∈ (AB).
n°50 p.182 :
Les points M, N, P sont tels que : −−→
M N = 5~i + 2~j et−−→M P = x~i −3 5~j.
Pour quelle valeur de x les points M, N, P sont-ils align´es ? Corrig´e du n°50 p.182 :
Les points M, N et P sont colin´eaires ssiM N et ~~ M P sont colin´eaires, c’est-`a-dire ssi :
5 × −3 5 − 2x = 0 −3 − 2x = 0 x = −3 2 Ainsi, les points sont align´es ssi x = −3
2.
n°52 p.182 :
M est un point de la droite d parall`ele `a l’axe des ordonn´ees.
Les droites (AB) et (CM ) sont parall`eles. Quelle est l’ordonn´ee de M ?
Corrig´e du n°52 p.182 :
Le point M appartient `a la droite d ssi xM = 5.
Notons donc les coordonn´ees de M comme suit : M (5; y). Par lecture graphique on a ~AB 2
2 , et ~ CM 5 − 2 y − (−3) = 3 y + 3 ~
AB et ~CM sont colin´eaires ssi 2(y + 3) − 2 × 3 = 0, ce qui ´equivaut `a :
2y + 6 − 6 = 0 ⇔ 2y = 0 ⇔ y = 0.
Donc le point M a pour coordonn´ees M (5; 0), i.e. l’ordonn´ee de M est 0.
n°88 p.186 - a, b, c : P et Q sont deux propositions.
Dites chaque fois si P ⇒ Q, si Q ⇒ P , et/ou si P ⇔ Q. a) M et N sont deux points distincts.
P : “−−→IM =−→N I”
Q : “I est le milieu de [M N ]”
b) A, B, M sont trois points distincts du plan. P : “−−→M A et−−→M B sont oppos´es”
Q : “M A = M B”
c) A, B, C sont deux `a deux distincts. P : “Il existe un r´eel k tel que CA = |k|CB” Q : “Les points C, A, B sont align´es” Corrig´e du n°88 p.186 - a, b, c :
a) P ⇔ Q (donc ´egalement P ⇒ Q et Q ⇒ P )
b) P ⇒ Q, car ~M A = − ~M B ⇒ M milieu de [AB] ⇒ M A = M B
En revanche Q✚⇒P car la proposition M A = M B est vraie pour tout point M appartenant `✚ a la m´ediatrice du segment [AB] (M, A et B forment alors un triangle isoc`ele en M), mais M n’est pas forc´ement le milieu de [AB] ; il faudrait pour cela ajouter la condition M ∈ [AB].
c) Q ⇒ P car C, A, B sont align´es, donc ∃k ∈ R : ~CA = k. ~CB ⇒ ∃k ∈ R : CA = |k|.CB. En revanche, P✚✚⇒Q car pour trois points A, B, C du plan (B 6= C), en posant k = CA
CB, l’´egalit´e P est vraie : il est donc
inutile d’imposer que C, A et B soient align´es. n°57 p.183 :
Exprimez les vecteurs ~u, ~v, et ~w en fonction des vecteurs ~i et ~j.
Corrig´e du n°57 p.183 : ~ u =3 2~i + 2~j ~v = ~i − 3~j 3~i − 4~j
n°58 p.183
ABC est un triangle.
1) Placez le point D tel que−−→AD = 3−→AB − 2−→AC. 2.a) Exprimez−−→BD en fonction de−→AB et−→AC. 2.b) D´eduisez-en que−−→BD et−−→BC sont colin´eaires. Que dire alors des points B, C et D ?
Corrig´e du n°58 p.183
1°)
2.a) ~BD = ~BA + ~AD = − ~AB + 3 ~AB − 2 ~AC = 2 ~AB − 2 ~AC 2.b) On a ~BD = 2( ~AB − ~AC) = 2( ~AB + ~CA) = 2 ~CB Dons ~BD et ~BC sont colin´eaires ( ~BD = 2 ~BC). Par suite, les points B, C et D sont align´es. n°64 p.183 :
ABCD est un parall´elogramme. Les points M et P sont tels que−−→DM = 2 3 −−→ DC et−−→BP = 3 2 −−→ BC.
On souhaite d´emontrer que les points A, M et P sont align´es en choisissant un rep`ere parmi les propositions suivantes :
– (A;−→AB;−−→AD) – (B;−→BA;−−→BC) – (C;−−→CM ;−CP )−→
1) Quel est le choix qui vous paraˆıt le plus pertinent ? Pourquoi ?
2) D´emontrez, en utilisant le rep`ere choisi, que A, M et P sont align´es.
Corrig´e du n°64 p.183 :
1°) On choisit le rep`ere (C; ~CM ; ~CP ), afin d’´eviter les coordonn´ees fractionnaires. 2°) Dans ce rep`ere, on a : A(3; −2) ; M (1; 0) ; P (0; 1) D’o`u : ~AM 1 − 3 0 + 2 = −2 +2 et ~M P 0 − 1 1 − 0 = −1 +1 . Donc ~AM = 2 ~M P , les vecteurs sont colin´eaires et par suite les points A, M, P sont align´es.
Rappels et questions-tests p.166
6) Placez dans un rep`ere (O ;I ;J) les points A(-2 ;1), B(4 ;2), C(-2 ;-1) et D(-1 ;2). Trouvez une ´equation pour chacune des droites (AB), (AC) et (BD).
7) Dans un rep`ere (O ;I ;J) :
a) Construisez la droite d passant par le point A(3 ;-2) et de coefficient directeur m = 3 4.
b) Trouvez une ´equation de cette droite.
Corrig´es des rappels et questions-tests p.166
n°68-a p.184 :
Trouvez une ´equation de la droite d d´efinie par le point A(−2; 4) et le vecteur ~u = 3~i + ~j. Corrig´e du n°68-a p.184 :
a) On a A(−2; 4) et ~u 3 = −b
1 = a , donc une ´equation de la droite est de la forme x − 3y + c = 0 (*) A ∈ d, donc en rempla¸cant dans (*) par les coordonn´ees de A, on peut trouver la valeur de c : −2 − 3 × 4 + c = 0 ⇒ c = 14.
Donc une ´equation de cette droite est d|x − 3y + 14 = 0. n°69-a,c p.184 :
La droite d passe par les points A et B.
Dans chacun des cas suivants, trouvez une ´equation de d. a) A(1; 5) et B(−3; 2).
c) A(4; 2) et B(4; −3).
Corrig´e du n°69-a,c p.184 : a) A(1; 5) et B(−3; 2).
On pourrait partir d’une ´equation ”g´en´erique” ax + by + c = 0, dire que les coordonn´ees de A et B la v´erifient, et aboutir ainsi `a un syst`eme de deux ´equations `a trois inconnues, mais il y a plus court :
Donc une ´equation de d est de la forme : −3x + 4y + c = 0 (*). Or les coordonn´ees de A v´erifient (*) : −3 + 20 + c = 0, d’o`u c = −17, et une ´equation de d est : d| − 3x + 4y − 17 = 0. c) A(4; 2) et B(4; −3), donc ~AB 0
−5 est un vecteur directeur de d...
...Mais on peut aussi voir que ce sont deux points d’abscisse 4 et que l’on a donc affaire `a la droite d|x = 4. n°73-a,c p.184 :
Les droites d1 et d3 sont d´efinies par une ´equation.
D´eterminez pour chacune d’elles un point et un vecteur directeur : a) d1: 3x − 2y + 5 = 0
c) d3: x3 +y2− 1 = 0
Corrig´e du n°73-a,c p.184 :
a)La droite d1a pour ´equation d1: 3x − 2y + 5 = 0, qui est de la forme ax + by + c = 0, avec a = 3, b = −2 et c = 5.
Un vecteur directeur est donc ~v1
−b = 2 a = 3
Le point d’intersection avec (par exemple) l’axe des abscisses est le point d’abscisse x tel que :
3x − 2 × 0 + 5 = 0
3x + 5 = 0
x = −5
3 Donc d1 est la droite de vecteur directeur ~v1
2
3 , passant par M1(−
5 3; 0).
b)La droite d3 a pour ´equation d3:x3 +y2 − 1 = 0, qui est de la forme ax + by + c = 0, avec a = 13, b = 12 et c = −1.
Un vecteur directeur est donc ~v3
−b = −1 2 a = 1 3 , ou encore ~v′ 3 3 −2 (v′3= −6v3)
Le point d’intersection avec (par exemple) l’axe des ordonn´ees est le point d’ordonn´ee y tel que :
0/3 + y/2 − 1 = 0
y/2 = 1
y = 2
Donc d3 est la droite de vecteur directeur ~v′3
3
−2 , passant par M3(0; 2). n°82 p.185 :
ABC est un triangle. A’ et C’ sont deux points tels que :
A’ est le sym´etrique de A par rapport `a C, et C’ est le sym´etrique de C par rapport `a A.
Le point K est le milieu du segment [BC]. La droite (A’K) coupe (AB) en I, et la droite (C’K) coupe (AB) en J.
On choisit le rep`ere (A;−→AB;−→AC).
1) Trouvez une ´equation de (A′K) puis de (C′K).
2a) D´eduisez-en les coordonn´ees de I et de J.
2b) Quel lien existe-t-il entre les vecteurs−→AJ,−JI,→ −→IB ? Corrig´e du n°82 p.185 :
On travaille dans le rep`ere (A; ~AB; ~AC).
1°) On a, dans ce rep`ere : A′(0; 2) ; C′(0; −1) ; B(1; 0).
Rappel : les coordonn´ees du milieu K d’un segment [BC] sont : xk=xB+x2 C et yk= yB+y2 C (on peut retenir qu’il s’agit
Ainsi, le point K a pour coordonn´ees K(1 2;
1 2).
D’o`u les coordonn´ees des vecteurs :A~′K 1 2 −3 2 etC~′K 1 2 3 2 . Donc l’´equation de (A′K) est de la forme :
−3 2x − 1 2y + c 2 = 0, c’est-`a-dire −3x − y + c = 0.
Or A′∈ (A′K), donc c = 2 et par suite (A′K)|3x + y − 2 = 0.
De la mˆeme mani`ere, (C′K)|3x − y − 1 = 0.
2.a) I appartient `a l’axe des abscisses et `a (A′K), donc y
I = 0. De plus, xI v´erifie : 3xI− 2 = 0, donc I(23; 0).
De mˆeme, yJ= 0 et xJ v´erifie : 3xJ− 1 = 0, donc J(13; 0).
2.b) ~AJ 1 3 0 ; ~JI 1 3 0 ; ~IB 1 3 0 Donc ~AJ = ~JI = ~IB. n°83 p.185 :
(O;~i;~j) est un rep`ere. Trouvez une ´equation de la droite ∆ passant par le point A(−1; 4) et parall`ele `a la droite d d’´equation :
3x − 2y + 1 = 0 Corrig´e du n°83 p.185 :
d|3x − 2y + 1 = 0
∆|ax + by + c = 0, or d et ∆ sont parall`eles ssi elles ont un vecteur directeur en commun, donc le vecteur de coordonn´ees (2; 3) est directeur de ∆
D’o`u le droite ∆ poss`ede une ´equation cart´esienne de la forme : ∆|3x − 2y + c′= 0
Or A(−1; 4) ∈ ∆, donc −3 − 8 + c′= 0, i.e. c′= 11.
Une ´equation de ∆ est donc ∆|3x − 2y + 11 = 0. n°87-a p.185 :
Dites si les droites d et d′ sont confondues, parall`eles distinctes ou s´ecantes.
Si ces droites sont s´ecantes, calculez les coordonn´ees de leur point d’intersection.
2x − y + 5 = 0
3x − 5y + 6 = 0 Corrig´e du n°87-a p.185 :
a)Utilisons la carct´erisation analytique du parall´elisme (i.e. calculons ”ab′− a′b”) : 2 × (−5) − 3 × (−1) = −7 6= 0.
Ces droites sont donc s´ecantes.
Pour trouver leur point d’intersection, on r´esout le syst`eme : 2x − y + 5 = 0(E1) 3x − 5y + 6 = 0(E2) ⇔ 2x − y + 5 = 0(E1) −7x − 19 = 0(E2) − 5(E1) ⇔ y = 2x + 5 x = −19 7 ⇔ y = 73 7 x = −3 7
Donc le point d’intersection a pour coordonn´ees −19 7; −
3 7
n°88-d p.186 :
P et Q sont deux propositions.
Dites si P ⇒ Q, si Q ⇒ P , et/ou si P ⇔ Q.
d) d et d′sont deux droites d’´equations respectives :
d|mx + y − 1 = 0 et d′|x + ny + 1 = 0. P : “d//d′” Q : “mn = 1” Corrig´e du n°88-d p.186 : (d)//(d′) ssi m × n − 1 × 1 = 0, i.e. (d)//(d′) ⇔ mn = 1