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L16 [V2-VàC] – Nombres premiers, décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

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(1)

CAPES

Les leçons de

mathématiques à

l’oral du CAPES

Clément BOULONNE

http://cbmaths.fr

(2)
(3)

LES LEÇONS DE

MATHÉMATIQUES À

L’ORAL DU CAPES

Recueil compilé par Clément B

OULONNE

Session CAPES 2013 Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France:

— paternité

— pas d’utilisation commerciale

— partage des conditions initiales à l’identique

(4)
(5)

Table des matières

I

Arithmétique & Algèbre

7

16 Nombres premiers • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9

16.1 Introduction9

16.2 Nombres premiers : définition9

16.3 Quelques propriétés sur les nombres premiers9

16.4 Recherche des nombres premiers11

16.5 Décomposition en facteurs premiers14

(6)
(7)

I

(8)
(9)

9

Nombres premiers, décomposition

d’un entier en produit de facteurs

premiers

16

Leçon

Niveau Terminale S Spé

Prérequis notions d’arithmétique : diviseurs, nombres entiers, construction de N et Z,

congruences, le corps Z/pZ quand p est premier

Références [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56]

16.1

Introduction

Dans les classes de primaire ou de collège, on peut demander aux élèves l’exercice suivant : « Compléter les pointillés :

1. 9 = . . . × . . . 2. 15 = . . . × . . . 3. 24 = . . . × . . . 4. 7 = . . . × . . .

» On remarque que, pour les trois premières questions, il y a plusieurs possibilités pour compléter les pointillés alors que pour le dernier (le nombre 7), nous n’avons qu’une seule possibilité : 7 = 1 × 7. Cette unicité de complétion permet de caractériser les nombres entiers selon leur nombre de diviseurs.

16.2

Nombres premiers : définition

Définition 16.1 Soit p ≥ 2 un nombre entier naturel. On dit que p est un nombre premier si p admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Exemples 16.2 1. 7 est un nombre premier car il admet comme diviseurs 1 et 7.

2. 13 est un nombre premier car il admet comme diviseurs 1 et 13. 3. 9 n’est pas un nombre premier car il admet trois diviseurs : 1, 3 et 9.



R 16.3

1. La définition exclut 1 comme potentiel nombre premier. il n’a qu’un seul diviseur distinct, lui-même. 2. Attention : ne pas confondre nombre premier avec nombres premiers entre eux. On dit que deux

nombres a et b sont premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1, ou ils n’ont comme plus grand diviseur commun 1.

16.3

Quelques propriétés sur les nombres premiers

Propriété 16.4 L’ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.

Dv

(10)

10 Leçon n°16 • Nombres premiers

alors : N + 1 := (p1× · · · × pn) + 1 et quand on fait la division euclidienne de N + 1 avec pi

(1 ≤ i ≤ n), on trouve comme reste 1. On peut donc affirmer que N + 1 est donc un nombre premier.

On peut donc, à partir de n nombres premiers, fabriquer un nouveau nombre premier.

L’en-semble des nombres premiers est donc un enL’en-semble infini. •

Propriété 16.5 Soit n un entier supérieur ou égal à 2 ; n est premier si, et seulement si, n n’a pas de diviseur premier inférieur ou égal à√n.

Dv

•Démonstration —Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

— On suppose que n est premier, n admet alors exactement deux diviseurs 1 et n. 1 est donc le seul diviseur de n inférieur ou égal àn.

— Réciproquement, on suppose que n n’a pas de diviseur premier inférieur ou égal àn et

on montre (par un raisonnement par l’absurde) que n est premier.

Supposons que n n’est pas premier. L’ensemble des diviseurs de n (dans N) autres que 1 et n étant non vide, il admet un plus petit élément m. On peut montrer que m est un nombre premier par un raisonnement par l’absurde.

Supposons que m ne soit pas premier alors il aurait comme diviseur k avec 1 ≤ k ≤ m. Or comme m | n et que k | m, on aurait k | n. Ce qui est absurde car le plus petit diviseur de n est m. m n’a donc comme diviseurs 1 et m, m est donc premier.

m divise n et m premier donc il existe un k tel que 1 < m ≤ k < n et n = mk. Comme n = mk et 1 < m ≤ k < n, on en déduit donc :

1 < m × m ≤ mk ⇔ 1 < m2≤ n.

Comme m > 0 et n > 0, on peut appliquer la racine carrée dans les deux membres de l’inégalité m ≤n. Ce qui est absurde car n n’a pas de diviseur premier inférieur ou

égal à√n.

Donc : n est premier.

Théorème 16.6 — Lemme d’Euclide. Si un nombre premier p divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors p divise b ou c.

Dv

•Démonstration —Si p ne divise pas a alors p et a sont premiers entre eux. En utilisant le

lemme de Gauss (voir remarque), on en déduit que p | b.

R 16.7 Le lemme de Gauss (ou théorème de Gauss en Terminale S) est une généralisation du lemme d’Euclide :

« Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls. Si p divise le produit bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. »

(11)

16.4 Recherche des nombres premiers 11

•Démonstration du lemme de Gauss —Comme a divise bc, il existe un entier k tel que

bc = ka. Comme a et b sont premeirs entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe des

entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

En multipliant par c cette dernière égalité, on obtient :

c = acu + bcv = acu + kav = a(cu + kv).

Comme (cu + kv) est un entier, cette égalité prouve que a divise c.

16.4

Recherche des nombres premiers

16.4.1 Algorithme de primalité

On donne un algorithme qui permet de déterminer si un nombre est premier ou non. Il est basé sur le lemme suivant :

Lemme 16.8 Un nombre n ∈ N \ {0, 1} est premier si et seulement si, il n’admet pas diviseur

différent de ± et tel que d2 ≤ n.

Dv

•Démonstration —Si n admet un diviseur d tel que d2≤ n, ce diviseur n’est pas trivial donc

n n’est pas premier. Réciproquement, si n n’est pas premier, il s’écrit d = np avec 1 ≤ d ≤ p

donc d ≤ dp = n.

Ce lemme permet de déterminer un critère d’arrêt dans un programme qui recherche si un entier naturel n donné à l’avance est premier ou pas.

On donne un programme codé pour les calculatrices TI-82 et qui permet de déterminer si un nombre est premier ou non :

Nbprem(N) Prompt N 2->I 1->R If N=0 or N=1 Then

Disp "NON PREMIER" ELse

While I^2 <= N and R<>0 I*partDéc(N/I)->R I+1->I End If R<>0 Then Disp "PREMIER" Else

Disp "NON PREMIER" End

(12)

12 Leçon n°16 • Nombres premiers

16.4.2 Crible d’Eratosthène

Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir par élimination, tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel.

On va maintenant donner tous les nombres premiers de 2 jusqu’à 100 : 1. On écrit tous les nombres de 2 à 100.

2. On entoure le premier nombre non barré (ici 2).

3. On barre tous les multiples du nombre entouré (jusqu’à 100). 4. On entoure le nombre suivant qui n’est pas barré.

5. Et ainsi de suite. . . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Les nombres premiers entre 2 et 100 sont donc :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. On donne un algorithme qu’on peut implémenter sur Xcas :

//renvoie la liste des nombres premiers<=n selon eratosthene

crible(n):={

local tab,prem,p,j;

//on ecrit dans trab la liste des entiers de 0 a n

tab:=makelist(x->x,0,n);

//1 n’est pas premier donc on met 0 ds tab[1]

tab[1]:=0; p:=2;

(13)

16.4 Recherche des nombres premiers 13

//on barre les multiples de p qui sont compris entre p*p et n //en mettant 0 dans la case correspondante

tantque (p*p<=n) faire

pour j de p*p jusque n pas p faire

tab[j]:=0;

fpour; p:=p+1;

//on cherche le premier element non barre dans tab

tantque ((p*p<=n) et (tab[p]==0)) faire

p:=p+1;

ftantque;

ftantque;

//on remplit la liste prem avec les elements non nuls de tab

prem:=[];

pour j de 2 jusque n faire

si (tab[j]!=0) alors

prem:=append(prem,j);

fsi fpour

retourne(prem);

}:;

16.4.3 Des polynômes donnant des nombres premiers

Il y a des polynômes (plus ou moins simples) qui donnent en certaines valeurs de x des nombres premiers.

— Le polynôme d’Euler P (x) = x2+ x + 41 donne 40 nombres premiers consécutifs :

(on pourra vérifier que tous les nombres présents dans la deuxième ligne du tableau sont des nombres premiers)

— P (x) = 47x2+9x−5209 (polynôme de Fung, 1988) fournit 43 nombres premiers consécutifs de x = −22 à x = 18

— P (x) = 36x2+ 18x − 1801 (polynôme de Ruby, 1989), fournit 45 nombres premiers consé-cutifs de x = −33 à x = 11.

— P (x) = 16x4+ 28x3− 1685x2− 23807x + 110647 (polynôme de Landau et Dress, 2000)

fournit 46 nombres premiers consécutifs de x = −23 à x = 22. — ...

R 16.9 L’expression "40 (ou 43) nombres premiers consécutifs" ne signifie pas qu’ils soient consécutifs dans la

suite des nombres premiers mais que 40 (ou 43) valeurs du polynôme, obtenues pour 40 (ou 43) valeurs consécutives de la variable, sont des nombres premiers.

(14)

14 Leçon n°16 • Nombres premiers

16.5

Décomposition en facteurs premiers

16.5.1 Théorème fondamental de l’arithmétique

Dans cette section, on énonce et on démontre le théorème fondamental de l’arithmétique. Ce théorème montre, en particulier, que chacun des éléments de Z se décompose en produit « d’éléments irréductibles » (nombre premier et cette décomposition est unique à permutations près.

Théorème 16.10— Théorème fondamental de l’arithmétique. Pour tout n ∈ N \ {0, 1}.

1. Il existe k nombres premiers naturels p1, p2, . . ., pk distincts deux à deux et des nombres entiers non nuls α1, . . ., aktels que :

n = pα1

1 · · · p

αk

k .

2. Il y a unicité de cette décomposition à l’ordre des facteurs près. Autrement dit,

n = pα1 1 · · · p αk k = q β1 1 · · · q βk k

entraîne k = m et l’existence d’une permutation σ de Nk = {1, . . . , k} telle que qi = pσ(i) et βi = ασ(i)pour tout i.

Dv

•Démonstration —

1. Existence : la démonstration de l’existence se fait par récurrence sur n. Initialisation : Si n = 1 alors n = 21.

Hérédité : Si n ≥ 2 alors n possède au moins un diviseur premier p, on peut donc écrire

n = pm avec m < n. Si m = 1, c’est fini ! Sinon on applique l’hypothèse de

récurrence à m pour obtenir une décomposition de n.

2. Unicité : la démonstration de l’unicité se fait par récurrence sur n. Initialisation : L’unicité est évidente si n = 2 puisque 2 = qβ1

1 · · · qβmmmontre que qi| 2

pour tout 1 ≤ i ≤ m, ce qui impose d’avoir m = 1, q1= 2 et β1= 1. Hérédité : Si l’unicité est démontrée jusqu’au rang n, on suppose que :

n + 1 = pα1 1 · · · p αk k = q β1 1 · · · q βm m

avec α1, . . . , αk, β1, . . . , βk ∈ N∗où les p1, . . . , pk et q1, . . . , qmsont des nombres

premiers. pk | q1β1· · · qmβm donc pk divise l’un des qiet d’après le lemme de Gauss,

par exemple pk| qm. Comme pkest premier, cela entraîne que pk= qmet :

n + 1 pk = pα1 1 · · · p αk−1 k = q β1 1 · · · q βn−1 n .

On applique l’hypothèse de récurrence à cette décomposition en distinguant deux cas :

(a) Si αk = 1 alors βm= 1 autrement qmdiviserait l’un des piavec i 6= m, ce qui

(15)

16.6 Compléments 15

(b) Si αk > 1 alors βm > 1 autrement pk diviserait l’un des qiavec i 6= m. Ce qui

est encore absurde.

16.5.2 Nombre de diviseurs d’un nombre entier

Théorème 16.11— Nombre de diviseurs d’un nombre entier. Soit n un nombre naturel ≥ 2 se dé-composant de la manière suivante :

n = Aa× Bb× Cc× · · ·

Le nombre τ (n) de diviseurs du nombre n se calcule de la façon suivante :

τ (n) = (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) · · ·

Dv

•Démonstration —On considère un entier n ≥ 2 et sa décomposition en facteurs premiers :

n = pα1

1 × · · · × p

αm

m

où p1, . . . , pmsont des nombres premiers tels que p1 < · · · < pmet α1, . . . , αmsont des

entiers naturels non nuls.

Si d est un diviseur de n alors il existe k tel que dk = n. On a alors (d’après l’unicité d’écriture en facteurs premiers du nombre n) :

d = pβ1 1 × · · · × p βm m et k = p γ1 1 × · · · × p γm m

avec 0 ≤ βi≤ αi, 0 ≤ γi≤ αiet αi= βi+ γi, pour tout 1 ≤ i ≤ m.

Il y a donc (α1+ 1) choix pour β1, (α2+ 1) choix pour β2, ..., (αm+ 1) choix pour βm.

D’où, au total, il y a (α1+ 1) × (α2+ 1) × · · · × (αm+ 1) diviseurs de n.

Exemple 16.12 Comme : 1200 = 24× 3 × 52, le nombre de diviseurs de 1200 est égale à :

τ (1200) = 5 × 2 × 3 = 10 × 3 = 30.

La liste des diviseurs de 1200 est la suivante :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 30, 40, 48, 50, 60, 75 80, 100, 120, 150, 200, 240, 300, 400, 600, 1200.



16.6

Compléments

16.6.1 Théorème de Wilson

Dans cette section, on admettra que, pour p premier, l’ensemble des éléments inversibles de Z/pZ est (Z/pZ)×=

1, 2, . . . , p − 1

(16)

16 Leçon n°16 • Nombres premiers

Théorème 16.13— Théorème de Wilson. Soit p un nombre premier. Alors : (p − 1)! ≡ −1 (mod p)

Dv

•Démonstration —On a vu que (Z/pZ)× =1, 2, . . . , p − 1 . On montre alors que (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Ceci revient à montrer que :

1 × 2 × · · · × (p − 1) ≡ −1 (mod p) ou aussi :

1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ p − 1 = −1.

Dans le produit, en regroupant chaque x avec sa classe inverse pour la multiplication (c’est-à-dire la classe x0tel que x ⊗ x0= 1), on obtient le produit des classes qui sont égales à leur classe inverse. Le problème revient, donc, à chercher les classes de x ∈ (Z/pZ)× qui vérifie

x ⊗ x = 1. on a :

x2= 1 ⇔ x2≡ 1 (mod p) ⇔ x2− 1 ≡ 0 (mod p)

⇔ (x − 1)(x + 1) ≡ 0 (mod p) ⇔ p | (x − 1)(x + 1).

Comme p est premier, on a p | x + 1 ou p | x − 1, c’est-à-dire x ≡ 1 (mod p) ou x ≡ −1 (mod p). D’où x = 1 ou x = −1 et :

1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ p − 1 = 1 ⊗ −1 = 1 × −1 = −1.

16.6.2 Cryptage RSA

Définition 16.14 — Indicatrice d’Euler. L’indicatrice d’Euler est la fonction ϕ, de l’ensemble N∗dans lui-même définie par :

ϕ : N∗ → N∗

n 7→ card({m ∈ N, m ≤ n et m premier avec n}) .

La méthode de codage que l’on va décrire dans cette section a été découverte en 1976 par trois cryptologues Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman. Elle est basée sur le problème suivant : « Étant donné un entier n, il existe des algorithmes qui permettent de dire si m est premier ». Par contre, il n’existe pas d’algorithmes qui permet de donner la factorisation d’un entier en nombre premier1. On note X l’emetteur du message et Y , le destinataire. Supposons que X veut envoyer le message

M : « Déclancher l’opération rouge ».

(17)

16.6 Compléments 17

X transforme M en chiffres selon les conventions suivantes :

                         A → 01 B → 02 C → 03 .. . Z → 26 <espace> → 27

où <espace> représente l’espace entre deux caractères. Y choisit deux nombres premiers p et q assez long, il calcule n = pq et :

ϕ(n) = ϕ(p)ϕ(q) = (p − 1)(q − 1).

Y choisit un entier a compris entre 1 et ϕ(n) et a premier avec ϕ(n). Il calcule ensuite 1 < x < ϕ(n)

tel que ax ≡ 1 (mod ϕ(n)). Les valeurs de n et a sont publiques, tandis que les valeurs de p, q et x sont privées. On code ainsi M par :

M = 040503 . . . 05.

X « casse » le message M en paquet : M1, M2, . . . , Mktels que, pour tout 1 ≤ i ≤ n, PGCD(Mi, n) = 1 et 1 ≤ Mi ≤ n. Il calcule ensuite (Mi)a (a étant publique) et il considère le reste de la division euclidienne de (Mi)apar n qu’on note ^(Mi)a, c’est-à-dire :

^ (Mi)a≡ (M

i)a (mod n) 1 ≤ Mia≤ n.

X envoie donc le message M = ^(M1)a(M^

2)a· · · ^(Mk)a.

Pour décoder le message, Y calcule pour chaque 1 ≤ i ≤ k, ( ^(Mi)a)x et tombe sur M i. On montre que

( ^(Mi)a)x≡ Miax (mod n).

Or, ax ≡ 1 (mod ϕ(n)), c’est-à-dire il existe k ∈ N, ax = 1 + kϕ(n). Donc :

Miax= Mi1+kϕ(n) = Mi× (Mk i )ϕ(n). Comme PGCD(Mi, n) = 1, Miϕ(n)≡ 1 (mod n). Donc :

( ^(Mi)a)x≡ Miax (mod n). 16.6.3 Crible de Matiyasevitch

Matiyasevitch (ou plus précisément, Youri Matiyasevitch, mathématicien russe contemporain, né en 1947) a découvert un crible qui donne les nombres premiers ≥ 4 grâce à l’intersection de corde de la parabole y2 = x.

Voici comment on construit le crible de Matiyasevitch. On commence par tracer (dans un repère orthonormé) la parabole d’équation y2 = x. On place ensuite les points :

— Ai(i2, i), pour tout i ≥ 2 entier ; — Bj(j2− j), pour tout j ≥ 2 entier.

(18)

18 Leçon n°16 • Nombres premiers

On remarque que certains points de l’axe des ordonnées sont traversés par les segments [Ai, Bj]. Les abscisses qui ne sont pas coupées par aucun segment sont des nombres premiers. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Proposition 16.15 Un nombre situé sur l’axe des abscisses n’est pas premier si, et seulement si, un des segments [AiBj] traverse l’axe des abscisses en ce point.

(19)

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http:// bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL : http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011. [16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015. http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur [a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

(20)

20 BIBLIOGRAPHIE

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

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