ARTheque - STEF - ENS Cachan | Conception des systèmes asservis

(1)

par M. BANGUET et M. OUZIAUX

Un système asservi possède deux parties essentielles :

-le processus que l'on commande (Ex: Machine à commande numérique; Four à traitement thermique) - le dispositif de commande, il vise à inverser la causalité du processus.

Il est donc évident que le dispositif de commande ne peut être étudié sans avoir, au préalable, déterminé les caractéristiques du processus.

Cet article fait suite à un stage d'automatique, très enrichissant, organisé à l'ENSAM de Lille pour les enseignants en classes préparatoires.

n

se veut un élément de réflexion pédagogique, afin d'éviter le cas trop fréquent du saucissonnage du cours, au profit d'une vue plus globale synthétique ...

1) ÉTUDE DU PROCESSUS

tension.,,

débit de gaz .. , ;:

=====::::::

-Qu'est ce qu'un processus ?

C'est un assemblage d'objets fonctionnant selon la règle de causalité. - Règle de causalité

déplacement

...

température..,

Il existe des grandeurs influentes et d'autres influencées, reliées entre elles par des relations de transformation à l'intérieur d'un processeur. La sortie ne dépend que des valeurs présentes et passées de l'entrée.

Ces relations sont explicitées par des équations différentielles linéaires ou non, présentant un ordre de dérivation plus élevé sur les sorties que sur les entrées.

-On procède alors à la mise en équations. Étudions quelques exemples:

• u

=

R.i

dro

• J - = Cm -Cr

dt

relation rigide ou autoduale

indifféremment u ou i en entrée,

elle n'est pas causale

Toute équation différentielle impose entrée et sortie.

C'est une relation causale.

On ne peut pas indifféremment choisir l'entrée ou la sortie.

Cm entrée

ro sortie

Cr perturbation

(2)

On peut tenir compte du frottement visqueux, J dro =Cm- Cr- fro, cela ne modifie dt

pas, bien sûr, le choix précédent.

Surle domaine de Laplace, nous obtenons: O.(f + Jp) =Cm- Cr, soit traduit sous forme de bloc fonctionnel:

!

Cr 1 1

Cm

ï!;:

r----1.,...-!L--~----J

. +J.p

..

- Remarques:

- On dit que la vitesse "intègre le couple"

- Si on a une équation différentielle avec des termes du même ordre dans les deux membres, on dit que la relation est semi-rigide. ·

• Pour toute la suite, on considère l'exemple d'un moteur électrique à courant continu actionnant un rotor.

Pour le moteur:

. L di u=r.t+ -+e

dt (avec cm= k.i ete= k.ro) Conservation de la puissance:

entrée:

.M.-=>

sortie: J. perturbation:

e

Schéma bloc:

...

Si le moteur électrique entraîne l'arbre précédent, la représentation globale du processus peut se réaliser aisément:

e

-~

- -

f+

"'

Lt- .1. ~ cmJ-e.., ••.. (À('\.t< Cr ~ Cm

+

r relations causales· aptep-info N°75-

Fév.

1998 l

n

f +J.p

(3)

Remarques:

- Les relations causales orientent le processus.

- Pour le moteur: - - - -

=>

r

{ k- 1

r+L.p- r

l+~.p

t=~

r r

En général t est très petite devant la constante de temps du système mécanique ( ..:!._) ·. Un ensemble ne peut pas être plus rapide que l'élément ayant la constante de temps la

f

plus grande. La réponse du moteur électrique ne perturbe pas le processus.

- Le processus décrit comporte une boucle mais n'est pas pour autant un système asservi, c'est seulement un système bouclé.

- Si on avait dû étudier une dynamo, on aurait eu la même équation différentielle, donc la même causalité. Il ne faut donc pas permuter trop rapidement entrée et sortie ! Ce sont les signes de certaines variables qui auraient été modifiés, ce qui n'apparaît pas toujours en travaillant en valeur algébrique.

Conclusions

Il faut être capable de trouver la fonction de transfert du processus, à notre programme premier et deuxième ordre, et d'en trouver les éléments caractéristiques:

k, t ou k, Ç et ro ₀

Si le système est trop compliqué, on procède par identification.

_E_~

..

j

H(p)

11--s--..

Par exemple on crée une entrée échelon qui engendre une réponse indicielle

.b(t)

))(\:)

assimilé à un premier ordre

assimilé à un deuxième ordre

aptep-info

N°75-

Fév. 1998

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Il) PARTIE COMMANDE

Le processus présente certaines caractéristiques ne respectant pas le cahier des charges (précision, stabilité, rapidité).

On imagine d'inverser la causalité créée par le processus. Si la relation est rigide, aucun problème !

Si la relation est causale, il faut imaginer:

U ..,, Processus

_{n ..}

En fait, on utilise d'abord un capteur:

-'~

n

.. ,

' - - - '

?

u ..

_n

__

....

..,o-~,

Capteur

v

..

et l'on compare V par rapport à une référence V réf

ou consi&:rne

V réf

Si l'on a l'information V=Vréf, c'est parfait, c'est ce qui est souhaité!,

par contre si V;t:. V réf, il faut pouvoir

Correcteur

-f C(p)

v

Capteur

[

omparer =>nécessité d'avoir un élément de type soustracteur ...

orriger=> notion de correcteur

n

Processus

On peut améliorer la représentation en introduisant une consigne de même nature que la sortie

Correcteur Même fonction Vréf

que le capteur

+

C(p)

v

... réelle ou fictive Capteur

aptep-info N°75 -Fév. 1998

Processus

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(.f)uite de la page 18)

Deux fonctions de transfert peuvent particulariser le système:

_Q_

fonction de transfert en poursuite,

_g_

fonction de transfert en régulation

Qré f Cr

... _{pertur atwn}b .

"

Remarque

Si tout est "parfait", V= Vrérdonc E =O. Or Une doit pas être nul, sinon n le sera!

Seule une intégration peut transformer 0 - t Cte , le correcteur doit donc avoir un caractère

intégral.

III) CONCLUSIONS CONCERNANT LA PRÉCISION

- On ne compare que des grandeurs de même nature, on compare donc nréf et n. On effectue donc nrér- n qui est l'écart "vrai" ou l'écart sur la sortie

que le capteur

+

C(p) Processus

v

\réelle ou fictive ....___., Capteur

+

e: précision

-Si le retour est unitaire, l'écart sur l'entrée E devient égal à nréf- n

IV) CONCEPTION DU CORRECTEUR On doit imaginer

~> "'~--'--? _

_;-_u_.,..

...

On a vu que le correcteur devait avoir un caractère intégral. On en profite pour gommer les imperfections du processus.

Par exemple si n

=

K

2 conduit à de mauvaises caractéristiques, cas de Ç trop

u

1+ 2<;

p+L

ro0 ro~

w

petit donc une réponse peu amortie

aptep-info

N°75 -

Fév. 1998

(6)

On pense alors écrire C(p) sous la forme C(p)

=

Kc

(1

+

2Ç p

+

p:J, mais il faut P 00

_o

_roo

aussi veiller à respecter la causalité.

2!: 2

1+-"' p+L

D'où C(p)=-c. K ro o roo 2 _avec_-c_{tres petit one es po es p}' . d d "1

_{= --}

1 _tres'

p (l+-c.p)2 't

L - - - '

éloignés de l'axe des imaginaires et qui n'int1ueront donc pas sur le système.

V) EXEMPLE:

• Cahier des charges

-Écart nul en régime stationnaire ou permanent,

rorér= ro"

Cr= c₁

-Écart maximal admissible e" lorsque passe de Cr à c1

• Hypothèse

- Le système est stable

• Modifications-Transformations

que le capteur

+

C(p)

',

Processus

v

1.----1 Capteur est équivalent à: Correcteur 1---~ Capteur 1 . . . - - - '

mais tout sens physique a disparu !

n

La représentation avec retour unitaire reste intéressante, par exemple, pour étudier la stabilité à l'aide du lieu de Black (abaque de Hall).

(7)

Si le produit des fonctions de transfert du capteur et du processus est de la- forme: 1

K

H(p)

=

..,

on peut souhaiter avoir le schéma bloc sous la forme

ç

p-

1+2-p+---roo

roÔ

d'une fonction de transfert du premier ordre.

On aurait ainsi K

=

1 (pas de problème d'amplification), Es= 0 (bonne précision) et un temps de réponse pouvant être maîtrisé puisque trs%

=

3.a

En choisissant un correcteur PID de fonction de transfert:

C (p)

=

K c (1 + - 1- + K ₀p), on peut déterminer les coefficients

Kc,

Ki et K0 en

KiP écrivant: 2 C( )p. ·H( )_K.Kc l+Kïp+KiKoP p - - - . 2 =-:::::> 1 Ki·P

ç

p a.p

1+2-p+----roo

roÔ

K.Kc =

-Mais il ne faut pas croire que le correcteur peut tout corriger !

Les valeurs des coefficients doivent être telles que les domaines de saturation des composants ne soient pas atteintes.

Plus le processus est bien conçu, moins de corrections il doit y avoir, mieux c'est ! Il reste donc à nos élèves à toujours maîtriser les notions de mécanique ...

Bilan-Synthèse réalisé par M. BANGUET et M. OUZIAUX Lycée Baggio de Lille

aptep-info N°75 - Fév. 1998