ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2012-2013
CONTR ˆOLE CONTINU
Alg`ebre lin´eaire
Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.
Tous les exercices sont ind´ependants.
Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.
Exercice 1 Soient E un espace vectoriel et f : E → E une application lin´eaire. 1. Compl´eter les d´efinitions suivantes :
Im(f ) = {v ∈ E / ...} Ker(f ) = {v ∈ E / ...} 2. Soient λ une valeur propre de f et Eλ le sous espace propre associ´e.
(a) Compl´eter la d´efinition suivante :
Eλ = {v ∈ E / ...}
(b) Montrer que Eλ est un sous espace vectoriel de E.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Exercice 2 On se place dans le plan, muni d’un rep`ere orthonorm´e R = (O ; −→i ,−→j ) et l’on note f l’application lin´eaire du plan dans lui mˆeme dont la matrice dans R est
M = 1
4
7 2 2 4
1. On consid`ere l’octogone r´egulier O = (ABCDEF GH) d´efini par
A = 1 0 R B = √ 2 2 1 1 R C = 0 1 R D = √ 2 2 −1 1 R E = −1 0 R F = √ 2 2 −1 −1 R G = 0 −1 R H = √ 2 2 1 −1 R
(voir rep`ere ci-joint).
(b) En d´eduire les images f (E), f (F ), f (G) et f (H) et tracer l’image de l’octogone O par f .
2. (a) Montrer que les valeurs propres de f sont
λ1 = 2 et λ2 =
3 4.
(b) D´eterminer les sous espaces propres associ´es `a chacune de ces valeurs propres (on en donnera la dimension ainsi qu’une base).
(c) Donner une matrice diagonale D et une matrice de passage P telles que P−1.M.P = D. 3. Tracer dans le rep`ere ci-joint les deux sous espaces propres d´etermin´es `a la question 2 et
commenter.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Exercice 3 On se place dans R3, muni de sa base canonique
B = {−→e1 = (1, 0, 0), −→e2 = (0, 1, 0), −→e3 = (0, 0, 1)}
et l’on consid`ere les vecteurs − →
u1 = (1, −1, 0), −→u2 = (1, 1, 1), −→u3 = (0, 1, 1).
1. (a) Montrer que la famille B0 = {−→u1, −u→2, −→u3} forme une base de R3.
(b) ´Ecrire la matrice de passage P de B `a B0 et montrer que
P−1 = 0 −1 1 1 1 −1 −1 −1 2 2. Soit f : R3 −→ R3 (x, y, z) 7−→ (x + 3y − 3z, x − y + z, x + y − z) (a) Calculer f (−→e1), f (−→e2) et f (−→e3) et en d´eduire la matrice A de f dans B.
(b) `A l’aide d’un produit de matrices, montrer que la matrice de f dans B0 est
A0 = −2 0 0 0 1 0 0 0 0
(c) Montrer, en se pla¸cant dans B0 que Ker(f ) est une droite et en donner un vecteur directeur (sous la forme d’un triplet de R3).
(d) Montrer que Im(f ) est le plan de R3 engendr´e par {−→u1, −→u2}.
? ? ?
ISA BTP 1◦ann´ee Contrˆole continu 2012-2013 Nom : ... Pr´enom : ...
A
B
C
D
E
F
G
H
CORRECTION
Exercice 1 : 1.
Im(f ) = {v ∈ E / ∃u ∈ E / v = f (u)}
Ker(f ) = {v ∈ E / f (v) = 0E}
2. Soient λ une valeur propre de f et Eλ le sous espace propre associ´e.
(a) Compl´eter la d´efinition suivante :
Eλ = {v ∈ E / f (v) = λv}
(b) – f (0) = 0 = λ.0. Donc 0 ∈ Eλ.
– Soient u, v ∈ Eλ et k, ` ∈ R. Montrons que k.u + `.v ∈ Eλ.
Puisque f est lin´eaire, on a
f (k.u + `.v) = k.f (u) + `.f (v). Or puisque u, v ∈ Eλ, on a f (u) = λ.u et f (v) = λ.v. Donc
f (k.u + `.v) = k.λ.u + `.λ.v = λ.(k.u + `.v) Autrement dit, k.u + `.v est bien un vecteur de Eλ.
On a montr´e que Eλ contient le vecteur nul et est stable par combinaisons lin´eaires.
C’est donc un SEV de E.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :
1. (a) Pour calculer les images, on utilise la matrice M : f (A) = M × 1 0 = 1 4 7 2 R De mˆeme, on calcule f (B) = 3 √ 2 8 3 2 R , f (C) = 1 4 2 4 R , f (D) = √ 2 8 −5 2 R
Enfin, les quatre derniers vecteurs ´etant les oppos´es des quatre premiers, et f ´etant lin´eaire, on a f (E) = −f (A) = −1 4 7 2 R , f (F ) = −3 √ 2 8 3 2 R , f (G) = −1 4 2 4 R , f (H) = − √ 2 8 −5 2 R (b)
f
(
A
)
f
(
B
)
f
(
C
)
f
(
D
)
f
(
E
)
f
(
F
)
f
(
G
)
f
(
H
)
2. (a) Les valeurs propres de f sont les racines du polynˆome P (λ) = det(M − λ.I2) :
P (λ) = 7 4 − λ 1 2 1 2 1 − λ = 7 4 − λ (1 − λ) −1 4 = λ2− 11 4 λ + 3 2 = 1 4(4λ 2− 11λ + 6)
Les vap de f sont donc les racines de 4λ2− 11λ + 6, dont le discriminant est
∆ = 112 − 4.6.4 = 25 Ainsi, les valeurs propres de f sont
λ1 = 11 +√25 2 × 4 = 2 et λ2 = 11 −√25 2 × 4 = 3 4 (b) – E2 : M X = 2X ⇐⇒ 7 2 2 4 x y = 8 x y ⇐⇒ 7x + 2y = 8x 2x + 4y = 8y ⇐⇒ −x + 2y = 0 2x − 4y = 0 ⇐⇒ x − 2y = 0
E2est donc la droite d’´equation y = 12x dont un vecteur directeur est −→e1 =
2 1
R
– E3 4 : M X = 3 4X ⇐⇒ 7 2 2 4 x y = 3 x y ⇐⇒ 7x + 2y = 3x 2x + 4y = 3y ⇐⇒ 4x + 2y = 0 2x + y = 0 ⇐⇒ 2x + y = 0 E3
4 est donc la droite d’´equation y = −2x dont un vecteur directeur est −
→e 2 = 1 −2 R . (c) D’apr`es les calculs pr´ec´edents, en notant
D = 2 0 0 34 et P = 2 1 1 −2 on a P−1M P = D.
3. En ajoutant les deux droites au dessin, on obtient
On constate que l’octogone est ´etir´e dans le sens de E2 (car λ1 = 2 > 1) et contract´e dans
le sens de E3
4 (car λ2 =
3 4 < 1).
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :
1. (a) La famille B0 contenant trois vecteurs (dans R3), elle forme une base de R3 si et seulement si elle est libre. Pour cela, il faut et il suffit que le d´eterminant de la matrice form´ee des coordonn´ees des −→ui soit non nul. Or
1 1 0 −1 1 1 0 1 1 = 1. 1 1 1 1 − (−1). 1 0 1 1 = 1 6= 0.
La famille B0 est donc libre et c’est une base de R3.
(b) La matrice P est pr´ecis´ement la matrice dont on vient de calculer le d´eterminant :
P = 1 1 0 −1 1 1 0 1 1
En multipliant cette matrice par la matrice propos´ee pour P−1, on obtient la matrice I3, ce qui prouve ce que l’on veut montrer.
2. (a) f (−→e1) = f (1, 0, 0) = (1, 1, 1) = 1 1 1 B f (−→e2) = f (0, 1, 0) = (3, −1, 1) = 3 −1 1 B f (−→e3) = f (0, 0, 1) = (−3, 1, −1) = −3 1 −1 B
La matrice de f dans B est donc
A = MB(f ) = 1 3 −3 1 −1 1 1 1 −1
(b) D’apr`es la formule de changement de bases pour les applications lin´eaires, la matrice de f dans B0 est
A0 = P−1× A × P En effectuant le calcul, on obtient
A0 = −2 0 0 0 1 0 0 0 0
(c) Le noyau de f est l’ensemble des vecteurs −→v = x y z B0 tels que A0× x y z = 0 ⇐⇒ −2x = 0 y = 0
Le noyau de f est donc l’ensemble des vecteurs −→v = 0 0 z B0 . Il s’agit donc de la droite port´ee par −→u3 = (1, −1, 0) :
Ker(f ) = {(x, −x, 0), x ∈ R}.
(d) D’apr`es la question pr´ec´edente, le noyau de f est de dimension 1. On en d´eduit que la dimension de Im(f ) est 3 − 1 = 2.
D’autre part, Im(f ) est engendr´e par les colonnes de n’importe quelle matrice de f . Ainsi, Im(f ) est engendr´ee par f (u1) = −2u1 et f (u2) = u2 et donc par u1 et u2.
? ? ?