Effet de la pression sur le phénomène de cloquage des films minces

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées

Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006

École Doctorale : SCIENCES POUR L’INGENIEUR & AERONAUTIQUE Secteur de Recherche : MILIEUX DENSES, MATERIAUX ET COMPOSANTS

Présentée par

Eloi Dion

Effet de la pression sur le phénomène de cloquage des films minces

Sous la direction de

Christophe Coupeau et Jérôme Colin

Soutenue le 12 octobre 2011 Devant la Commission d’Examen

JURY

C. Langlade Professeur, LERMPS, UTBM Rapporteur

J. Eymery Ingénieur-Chercheur, CEA Grenoble Rapporteur P. Yvon Ingénieur-Chercheur, CEA Saclay Examinateur C. Coupeau Professeur, Institut P’, Université de Poitiers Examinateur J. Colin Professeur, Institut P’, Université de Poitiers Examinateur J. Grilhé Professeur Emérite, Institut P’, Université de Poitiers Examinateur

Je souhaite dans un premier temps remercier Rolly Gaboriaud et Philippe Goudeau, direc-teurs successifs du PHYMAT, pour m’avoir permis d’effectuer ce travail de recherche au sein de ce laboratoire dans les meilleurs conditions possibles. Merci à vous pour cet accueil chaleureux. Je remercie Cécile Langlade, professeur de l’Université Technologique de Belfort-Montbéliard ainsi que Joël Eymery, ingénieur-chercheur au CEA de Grenoble d’avoir accepté d’être rappor-teur de cette thèse. Je tiens aussi à remercier Pascal Yvon, ingénieur-chercheur au CEA Saclay d’avoir accepté de participer à mon jury de thèse en tant qu’examinateur.

Je souhaite remercier mes deux directeurs de thèse, les professeurs Christophe Coupeau et Jérôme Colin, pour leur aide précieuse et leurs conseils avisés durant ces trois années. La com-plémentarité de votre binôme m’a permis d’acquérir des connaissances solides en physique des matériaux tant d’un point vue expérimental que théorique et je vous en suis très reconnaissant. Je vous remercie sincèrement pour votre confiance et vos encouragements qui m’ont permis de ne pas lâcher prise dans les moments les plus difficiles.

Je tiens également à remercier Jean Grilhé, professeur émérite de l’université de Poitiers et président de mon jury de thèse, qui a suivi mon travail durant ces trois années avec une attention particulière. Je suis très flatté d’avoir pu bénéficier d’un peu de votre savoir et je souhaiterai avoir une telle capacité de réflexion lorsque j’atteindrai un age avancé. Merci à vous de m’avoir orienté sur de nouvelles pistes toujours très intéressantes à explorer.

Merci à tous les ingénieurs et techniciens qui m’ont permis de réaliser mes différentes expé-riences, je pense particulièrement à Philippe Guérin, Bruno Lamongie et Marc Marteau, sans qui mes différents échantillons n’auraient pu voir le jour.

Merci aux collaborateurs qui m’ont aidé dans mes différents projets. Merci à Lionel Dantas de Morais, ingénieur à ST Micro-électronique pour ses découpes FIB. Merci à Guillaume Parry et Muriel Braccini, maîtres de conférence au SiMaP de Grenoble pour leurs conseils sur la problématique Bulge-Test.

Merci à tous les thésards du laboratoire, pour les discussions et les parties de Babyfoot acharnées. Merci à Cyril, Bertrand, Amélie, Alex, Guillaume, Mathieu, Vivek, Alexia, Wiliam, Julien, Antoine et tous ceux que j’oublie. Ce fût un réel plaisir de faire votre connaissance.

Pour finir, je souhaite remercier tout particulièrement ma femme Melda qui m’a suivie et soutenue tout au long des mes études. Merci à toi de m’avoir supporté, surtout ces dernières années qui ont été très éprouvantes.

Enfin, je souhaite dédicacer ce manuscrit à mon fils Naël qui a été ma première source de motivation lorsque la pente devenait raide...

Introduction générale 1

1 La question du vide sous les cloques... 9

1.1 Objectif . . . 9

1.2 Résultats expérimentaux . . . 11

1.2.1 Choix des échantillons modèles . . . 11

1.2.2 Phénomène de cloquage . . . 14

1.2.3 Evolution du profil des rides avant et après ouverture . . . 18

1.3 Modélisation dans le cadre de Föppl-von Karman . . . 20

1.3.1 Film cloqué complètement relaxé . . . 25

1.3.2 Film cloqué en tension . . . 27

1.3.3 Film cloqué en compression . . . 30

1.4 Effet du substrat rigide sur les formes d’équilibre des cloques sous vide . . . 38

1.5 Conclusion . . . 49

2 Etude du bulge test dans le cadre de la théorie de Föppl-von Karman 53 2.1 Contexte . . . 53

2.2 Etat de l’art . . . 55

2.2.1 Aspect expérimental . . . 55

2.2.2 Modélisation du bulge test . . . 57

2.3 Etude du bulge test à partir des équations de Föppl-von Karman . . . 64

2.4 Conclusion . . . 73

3 Cloquage sous irradiation 77 3.1 Contexte . . . 77

3.2 Etat de l’art . . . 79

3.3.1 Génération des structures cloquées et observations AFM . . . 84

3.3.2 Analyse morphologique des structures cloquées . . . 86

3.3.3 Détermination de l’épaisseur de la couche implantée . . . 88

3.4 Interprétation des observations dans le cadre de Föppl-von Karman . . . 91

3.4.1 Modèle analytique . . . 91

3.4.2 Effet de couplage pression/contrainte . . . 95

3.5 Conclusion . . . 101

Conclusion générale et perspectives 105

Références bibliographiques 113

Les matériaux revêtus sont couramment utilisés dans l’ingénierie de la micro-électronique, du nucléaire ou de l’aéronautique pour leurs propriétés fonctionnelles [1–3]. Ces propriétés sont très dépendantes de la stabilité de ces revêtements, lors de sollicitations mécaniques ou thermiques par exemple. Il est en effet apparu que ces matériaux revêtus peuvent perdre leurs propriétés fonctionnelles lors d’endommagements par décohésions interfaciales, flambages ou délaminages [4, 5].

Le processus de délamination/flambage (communément appelé phénomène de cloquage) se traduit par des changements morphologiques à la surface du film, laissant apparaître différents types de structures [6–10]. Les structures les plus couramment observées à l’échelle mésoscopique sont présentées sur la figure (1). Il s’agit des cloques circulaires, qui peuvent s’organiser de manière périodique à la surface des revêtements, des rides rectilignes et des structures en cordons de téléphone. Le phénomène de cloquage des revêtements n’est cependant pas seulement observé à l’échelle microscopique. A l’échelle macroscopique, des cloques peuvent par exemple être engendrées sur du papier peint par un taux d’humidité excessif. L’endommagement par cloquage est donc un phénomène à caractère multi-échelle, aboutissant à des structures de dimensions et formes variées.

Le cloquage des revêtements et films minces a largement été étudié ces dix dernières années au sein de l’équipe "Surfaces et Interfaces sous Contraintes" en couplant expérience et mo-délisation, avec comme objectif principal l’amélioration de la tenue mécanique des matériaux considérés et donc l’allongement de leur durée de vie en condition de fonctionnement.

La compréhension de l’apparition de telle ou telle structure de cloquage a été l’un des axes de recherche par le passé (Thèse de Guillaume Parry-2005), avec la mise en évidence de transitions morphologiques de type rides-bulles ou rides-cordons de téléphone. Ces transitions morpholo-giques s’expliquent par une relaxation de l’énergie élastique du système et en particulier par une relaxation des contraintes le long de la direction principale de décollement [11]. De plus, ces transitions s’accompagnent parfois d’un phénomène de claquage caractérisé par une brusque variation de hauteur de la structure flambée [12], pouvant être à l’origine d’un endommagement

Figure 1 – Observation par microscopie à force atomique de structures de cloquage de différentes morphologies. (a) Réseau de bulles à la surface d’un composite Au(150 nm)/polycarbonate (b) Réseau de rides à la surface d’un acier inoxydable(500 nm) déposé sur un substrat en polycarbonate (c) Structure en cordon de téléphone d’une multicouche TiN/TiAl(160 nm) déposée sur un substrat en NaCl (d) Cloques circulaires à la surface d’un composite Au(630 nm)/Si.

plus prononcé des films minces considérés. Une cartographie mettant en évidence la stabilité des différentes structures de cloquage a ainsi pu être élaborée par simulations par élément finis (Figure 2). A partir d’une décohésion pré-existante, il est montré que les cordons de téléphone sont les structures les plus stables pour des contraintes d’intensité élevée et isotropes. A l’in-verse, les rides et les réseaux de bulles sont plutôt liées à de fortes anisotropies de contraintes [13].

Les principales caractéristiques du processus de cloquage ont été abordées par l’intermédiaire de la théorie des plaques minces de Föppl-von Karman (FvK) [14, 15]. Cette théorie s’appuie sur un système d’équations différentielles caractérisant l’équilibre mécanique de plaques minces sous contrainte. Il est dorénavant bien connu que le phénomène de cloquage est caractérisé par un niveau seuil (contrainte critique) au delà duquel le phénomène devient favorable. Il s’explique ainsi par la présence de très fortes contraintes de compression au sein des revêtements, dont l’origine peut être variée. Ces contraintes peuvent provenir de la technique de dépôt ; ces

Figure 2 – Cartographie de la stabilité des différentes structures de cloquage. Les contraintes trans-versale et longitudinale sont notées respectivement σ_t et σ_l. Le module d’Young et le coefficient de Poisson du film sont notésE et ν respectivement, h représente son épaisseur et b la demi-largeur de dé-lamination. Les lignes ((a)←(b)) correspondent à deux transitions morphologiques expérimentalement mises en évidence par microscopie à force atomique [13].

contraintes sont appelées contraintes internes et sont généralement isotropes. Elles peuvent atteindre plusieurs GPa en compression dans le cas de dépôts par pulvérisation ionique [16]. On comprend ainsi que les cordons de téléphone soient les structures les plus couramment observées lors du cloquage spontané dès la sortie des chambres de dépôt [17]. Le cloquage peut aussi être induit à la surface des films minces par compression uni-axiale de leur substrat. Ce type de sollicitation mécanique (contraintes externes) va permettre de générer des contraintes anisotropes au sein des revêtements, dont l’intensité sera d’autant plus élevée que le rapport des modules d’élasticité film/substrat est grand [11]. Les structures générées sont dans ce cas de type rides rectilignes [18]. Il est important de souligner que le formalisme de FvK est limité au cas de substrats infiniment rigides [19, 20]. La prise en compte du substrat se traduit par une forte diminution de la contrainte critique de cloquage [21]. Ce constat, mis en évidence par des simulations par éléments finis, a un impact non négligeable dans la technologie des "stretchable devices" (type écrans souples), les substrats polymères ne favorisant pas la tenue mécanique au cloquage des différentes couches métalliques qui leur sont adjointes. Enfin, le formalisme de FvK ne permet d’obtenir des solutions analytiques que dans le cas simple de structures de type rides rectilignes, ce qui limite évidement la compréhension de formes plus complexes.

L’influence de la plasticité de substrats cristallins sur le processus de cloquage a également été étudiée récemment (Thèse de Frédérique Foucher-2007). Il a été montré que le cloquage se produisait de manière préférentielle à l’aplomb des lignes de glissements (marches) appa-raissant à l’interface film/substrat, et que la contrainte critique de cloquage diminuait lorsque la hauteur de ces marches augmentait [22, 23]. A l’instar du caractère élastique du substrat, l’endommagement plastique de ce dernier est néfaste pour la tenue mécanique au cloquage des revêtements. Dans ce contexte, la possibilité d’endommagement plastique pouvant se produire au sein même des structures cloquées a également été explorée. Il a été mis en évidence que de fortes pliures plastiques à la circonférence de cloques circulaires pouvait être énergétiquement favorables [24]. Des simulations atomistiques par dynamique moléculaire ont de plus montré la très forte hétérogénéité des contraintes au niveau des structures cloquées, aboutissant à la nucléation et propagation de dislocations en leur sein (Figure (3)) [25]. Ces quelques exemples mettent en exergue les précautions à prendre quant à l’utilisation du formalisme de FvK pour étudier le phénomène de cloquage, formalisme qui se restreint, il est rappelé ici, à un cadre purement élastique.

Figure 3 – Film mince d’aluminium sollicité par compression uni-axiale, sous chargement croissant, mettant en évidence la nucléation/propagation de dislocations (atomes "éclairés" en rouge) au sein de la ride rectiligne (Simulations atomistiques par dynamique moléculaire).

Il est généralement admis dans la communauté des chercheurs en sciences des matériaux qu’il n’y a pas de différence de pression entre l’environnement extérieur et l’intérieur des cloques, c’est-à-dire que la zone décollée entre le film et le substrat est à la pression atmosphérique. Jusqu’à présent, l’influence d’un écart de pression interne/externe sur le phénomène de cloquage n’a ainsi pas été, à notre connaissance, explorée, sans doute du fait que les effets induits étaient considérés comme minimes et donc négligeables. C’est l’objet principal de ce manuscrit qui vise à identifier les effets de couplage pression/contrainte sur le processus de cloquage. Les solutions numériques obtenues dans le cadre du formalisme de FvK sont tout d’abord présentées dans le premier chapitre, à la fin duquel je focaliserai mon propos sur le contenu du volume accessible sous les structures cloquées. Est-ce de l’air à la pression atmosphérique dû à la porosité du film, des particules résiduelles provenant du processus de dépôt ou tout simplement du vide ?

Le deuxième chapitre est dédié aux tests mécaniques par gonflement de membranes (Bulge Test) pour lesquels des solutions simplifiées du comportement mécanique sont utilisées pour remonter aux propriétés mécaniques des films minces et revêtements considérées [26–28]. L’ob-jectif affiché est ici de tester la validité de ces solutions vis-à-vis des différents paramètres du problème, en les comparant à celles obtenues dans le premier chapitre dans le cadre du formalisme de FvK.

Enfin, dans le troisième et dernier chapitre, je m’intéresserai à l’implantation d’ions légers qui provoque, sous certaines conditions spécifiques, l’apparition de cloques circulaires à la surface libre des matériaux. Il sera en particulier montré que la morphologie des structures cloquées peut être révélatrice, non seulement du niveau de la pression interne sous-jacente, mais aussi des éventuels mécanismes de diffusion des espèces implantées au sein de la matrice cristalline.

La question du vide sous les cloques...

1.1

Objectif

Les fortes contraintes de plusieurs GPa en compression engendrées dans les composites film/substrat lors de leur élaboration peuvent induire un processus couplé de délamination-flambage, conduisant au cloquage spontané des films minces et revêtements [4,5]. Il est réguliè-rement observé lors de ce cloquage spontané que les structures ainsi formées, rides, cloques cir-culaires ou cordons de téléphone, sont fermées et de dimensions finies, i.e. qu’elles ne s’étendent pas systématiquement jusqu’au bord de l’échantillon (comme les structures cloquées observées sur la figure 1.1). Les questions concernant le contenu du volume accessible sous ces structures closes restent sans réponses. Est-ce de l’air à la pression atmosphérique dû à la porosité du film, des particules résiduelles provenant du processus de dépôt ou tout simplement du vide ? Rechercher le contenu de ce volume accessible sous les cloques nous est apparu comme étant un sujet d’étude novateur qui s’inscrirait dans la continuité des travaux menés ces dernières années et répondrait de fait aux questions récurrentes qui nous étaient posées en ce sens lors de congrès et séminaires. En effet, il est généralement admis dans la communauté des cher-cheurs en sciences des matériaux qu’il n’y a pas de différence de pression entre l’environnement extérieur et l’intérieur des cloques, c’est-à-dire que la zone décollée entre le film et le substrat est à la pression atmosphérique. Ce premier chapitre s’attache principalement à confirmer ou infirmer la présence de pressions sous les cloques en s’appuyant sur une étude expérimentale et fondamentale. Dans une première partie, les résultats expérimentaux obtenus sur des films minces métalliques sont présentés. Ces résultats sont analysés dans une deuxième partie dans le cadre de la théorie de la déformation des plaques minces de Föppl-von Karman. Les solutions analytiques permettant de relier la déflexion des cloques à la variation de pression s’exerçant au

sein des films minces sont développées et confrontées aux résultats expérimentaux. Enfin, dans une dernière partie, l’effet de la pression et du module du substrat sur les formes d’équilibre des cloques est étudié, afin de comprendre l’influence des points de contact film/substrat sur la croissance/propagation des structures de cloquage.

Figure 1.1 – Structures observées après cloquage de revêtements [17,29,30]. (a) Cloque circulaire (b) Cordon de téléphone (c) Cloque en "étoile" (d) Réseau de bulles.

1.2

Résultats expérimentaux

1.2.1

Choix des échantillons modèles

Différents films minces métalliques ont été déposés sur des substrats polymère. Ce choix est dicté par le fait qu’il existe une forte différence de modules d’Young entre ces deux types de matériaux (Ef >> Es). Il est en effet dorénavant bien établi que la contrainte induite au sein des

revêtements lors d’une sollicitation mécanique du substrat par compression uniaxiale, dépend de ce rapport de modules élastiques [31]. Des contraintes de l’ordre du GPa peuvent ainsi être induites au sein des films minces, ces contraintes étant en compression dans la direction de sollicitation mécanique (Figure (1.2)). De tels niveaux de contraintes permettent de générer des structures de cloquage en surface, par décohésion interfaciale et flambage des revêtements [32, 33].

Figure 1.2 – (a) Composite film/substrat sollicité mécaniquement par compression uni-axiale σext x

du substrat (b) Contraintes induites au sein du film mince en compression.

Deux différentes techniques de dépôt ont été utilisées, par pulvérisation ionique et par éva-poration. L’intérêt principal de chaque technique réside dans les points suivants :

Le dépôt par pulvérisation ionique est basé sur la pulvérisation directe d’une cible solide par des ions d’un gaz rare, généralement de l’argon, produit par une source de type Kauffman. Un substrat est préalablement placé sur un porte-échantillon tournant muni d’un système de chauffage permettant d’effectuer des dépôts jusqu’à une température de substrat de plusieurs centaines de degrés. Le principe de la pulvérisation ionique est le suivant : l’argon est ionisé par radio-fréquence à la sortie de la source. Les ions Ar+ produits vont pulvériser la cible. Une différence de potentiel de 1000 V est ensuite appliquée entre la cible et le porte-échantillon. Les atomes pulvérisés sont éjectés de la cible avec des énergies élevées, allant de quelques eV

à quelques dizaines d’eV et vont se déposer sur le substrat. La vitesse de dépôt lors de la pul-vérisation ionique dépend du matériau cible pulvérisé, cette vitesse est en moyenne de l’ordre du nm/min. Cette technique de dépôt crée des contraintes de compression élevées, appelées contraintes intrinsèques [34]. Il est à noter que dans notre bâti de pulvérisation, des aimants sont présents sous la cible afin de localiser le gaz ionique grâce à un champ magnétique per-manent intense (Magnétron). L’intérêt de la pulvérisation assistée par magnétron est d’obtenir des vitesses de dépôt plus élevées que celles par pulvérisation ionique classique, ainsi qu’une meilleure homogénéité des couches déposées.

Le dépôt par évaporation est induit par un faisceau d’électrons focalisé sur la cible. Les atomes évaporés sont éjectés de la cible avec des énergies plus faibles que par pulvérisation, allant de 0, 1 à 0, 3 eV. Les contraintes intrinsèques sont alors plus faibles que celles générées par pulvé-risation. La vitesse de dépôt est dans ce cas beaucoup plus élevée, de 0, 1 à quelques nm/sec selon l’intensité du faisceau d’électrons. Les températures de substrat atteintes dans le bâti sont d’une trentaine de degrés, ce qui permet de limiter les niveaux de contraintes thermiques lors du retour à température ambiante.

Le nickel et l’aluminium ont été choisis comme revêtements et le polycarbonate comme substrat, le nickel et l’aluminium possédant un fort module d’Young (Ef = 200 GPa et Ef = 69

GPa respectivement) comparé à celui du polycarbonate (Es = 2, 4 GPa). La température de

transition vitreuse du polycarbonate (PC) étant de 120◦ C, le substrat ne changera pas d’état durant le temps de dépôt. Un nettoyage préalable des substrats par solutions savonneuses en bains à ultrasons a été effectué afin d’éviter toute présence d’impuretés en surface avant dépôts [35]. Nous avons vu que les contraintes intrinsèques des films minces étaient fortement dépendantes des méthodes d’élaboration et des températures de dépoôt. Un dernier paramètre important conditionnant le niveau de contraintes intrinsèques dans les films reste à définir ; il s’agit de leur épaisseur h. Il a été montré que le niveau de contraintes intrinsèques croît fortement lors des tout premiers stades de croissance, puis décroît au delà d’une épaisseur seuil [35]. En ce sens, les films de nickel et d’aluminium ont été élaborés avec différentes épaisseurs, de 50, 100, 200 et 400 nm.

Le niveau de contraintes au sein de ces films est déterminé post-mortem à l’aide de la mé-thode de Stoney [36], à partir de la mesure par profilométrie mécanique (DEKTAK) du rayon de courbure qu’elle induit sur une poutre de silicium. Cet appareillage permet d’obtenir des valeurs de contraintes avec une précision de l’ordre de la centaine de MPa. Une précision de l’ordre de la dizaine de MPa pourrait être atteinte avec les techniques actuelles de mesure de courbure par faisceaux LASER, toutefois les valeurs des contraintes mesurées dans nos échan-tillons étant généralement de plusieurs GPa, cette précision n’est pas nécessaire. L’expression

de la contrainte de Stoney est donnée par : σstoney =  Es 1− ν_s  H2 6h  1 Rf − 1 Ri  , (1.1)

avec Ri et Rf les courbures du substrat silicium avant et après dépôt, H l’épaisseur du substrat

silicium et h l’épaisseur du film considéré. Par convention, il est rappelé que les contraintes sont en tension pour σStoney > 0 et en compression pour σStoney < 0. De plus, la mesure par la

mé-thode de Stoney ne peut être effectuée que sur substrats spécifiques qui supportent des flexions importantes. En ce sens, des poutres de silicium d’épaisseur H = 200 μm ont été choisies. Les contraintes mesurées par la méthode de Stoney sont la somme des contraintes intrinsèques, évoquées précédemment, et des contraintes thermiques σther résultant de la différence de

coeffi-cients de dilatation thermique entre le film et le substrat lors du retour à température ambiante. L’expression des contraintes thermiques est donnée par :

σther = _{1− ν}Ef

fΔαtΔT, (1.2)

où Δαt est la différence entre les coefficients linéaires d’expansion thermique du film et du

substrat et ΔT est l’écart entre la température de dépôt et la température ambiante. Afin de minimiser ces contraintes thermiques, nos dépôts par pulvérisation ionique ont été réali-sés à la température moyenne de 90◦ C. Les contraintes intrinsèques étant peu sensibles à la nature du substrat, on considère qu’elles sont identiques pour les films déposés sur le poly-carbonate et sur le silicium. Toutefois, la nature du substrat joue un rôle non négligeable sur les valeurs des contraintes thermiques. Cela s’explique par la forte différence de coefficients de dilatation thermique entre les matériaux considérés (α_tP C = 70.10−6/K, α_tSi = 2, 6.10−6/K, αNi_t = 13, 4.10−6/K et α_tAl = 23, 6.10−6/K). Les contraintes étant mesurées par la méthode de Stoney sur substrat de silicium, il semblait important d’en corriger les valeurs pour le substrat réel en polycarbonate (PC). L’expression de la contrainte interne σ0 au sein des films minces s’écrit finalement [35] :

− σ0 ≡ σstoney − σSither+ σP Cther, (1.3)

la contrainte σ0 étant définie positive en compression et négative en tension dans la suite de ce manuscrit. Le tableau (1.1) ci-dessous récapitule les différents résultats obtenus pour les films de nickel et d’aluminium. Les contraintes internes les plus élevées sont trouvées pour le nickel de 100 nm d’épaisseur et les plus faibles pour l’aluminium de 400 nm d’épaisseur. Comme attendu,

on constate qu’il existe une épaisseur critique pour laquelle la contrainte interne dans le film est maximale. Pour le nickel et l’aluminium, elle est de l’ordre de 100 nm.

Table 1.1 – Valeur des contraintes internes, des contraintes de Stoney et des contraintes thermiques pour les films minces de nickel et d’aluminium

h (nm) σstoney (GPa) σSither (GPa) σtherP C (GPa) σ0 (GPa)

Ni 50 -0,5 0,19 -0,99 1,7 Ni 100 -1,3 0,19 -0,99 2,5 Ni 200 -0,3 0,19 -0,99 1,5 Ni 400 -0,7 0,19 -0,99 1,9 Al 50 -0,1 0,13 -0,38 0,6 Al 100 -0,2 0,13 -0,38 0,7 Al 200 -0,1 0,13 -0,38 0,6 Al 400 0 0,13 -0,38 0,5

1.2.2

Phénomène de cloquage

Les matériaux revêtus sont déformés par compression uni-axiale à l’aide d’une micro-machine de déformation. La contrainte externe est appliquée sur le substrat à l’aide de deux céramiques pièzo-électriques. Une cellule de force, ainsi que des fibres optiques positionnées de chaque côté de l’échantillon, permettent de remonter à la courbe contrainte/déformation. Ces échantillons ont été examinés par la suite par microscopie optique. Le revêtement d’aluminium présente en surface une structure en "boîte d’oeuf" (Figure (1.3)), alors que celui de nickel laisse apparaître des structures de cloquage rectilignes perpendiculaires à l’axe de compression (Figure (1.4)). La structure obtenue sur les échantillons d’aluminium a déjà été largement étudiée dans la littéra-ture [15, 37, 38] et s’explique par une relaxation de l’énergie élastique au sein du revêtement, associée à une adhésion film/substrat toujours présente. Les substrats revêtus d’aluminium ne présentant ainsi pas de délamination à l’interface film/substrat, nous avons concentré nos études sur les revêtements de nickel.

Une attention particulière a été portée sur les rides de longueurs finies, i.e. sur les rides qui ne s’étendent pas jusqu’aux bords de l’échantillon. Les rides notées R1, R2 et R3 en figure (1.4) ont été caractérisées par microscopie à force atomique, afin de s’assurer qu’elles ne comportaient pas de nano-fissures et de défauts, pouvant justifier ainsi l’hypothèse d’un écart initial de pression interne/externe (Figure (1.5 a)). Les rides sélectionnées ont été découpées par une méthode de faisceaux d’ions localisés (FIB), en collaboration avec ST Microelectronic à Tours. Le FIB permet d’usiner localement de faibles volumes de matière de l’ordre du μm3. Pour cela, le

Figure 1.3 – Observation optique du réseau en "boîte d’oeuf" induit sur les bords d’un film mince d’aluminium de 100 nm d’épaisseur, déposé sur un substrat en polycarbonate. La compression méca-nique de l’échantillon a été effectuée selon l’axe (Ox).

Figure 1.4 – Observation par microscopie optique de rides rectilignes induites sur un film mince de nickel de 400 nm d’épaisseur déposé sur un substrat en polycarbonate. La compression mécanique de l’échantillon a été effectuée selon l’axe (Ox).

FIB exploite les interactions entre les ions incidents et l’échantillon exposé au faisceau. Il est composé de trois éléments principaux : le système de vide pouvant contenir des pressions de l’ordre de 10−6 mbar, la source ionique souvent à l’état liquide qui confère au système une forte brillance ainsi qu’une longue durée de vie ; le dernier élément majeur, la colonne, contient plusieurs types de lentilles et déflectrices éléctrostatiques permettant de former et de balayer les faisceaux sur l’échantillon. Les colonnes FIB sont en général couplées à une colonne électronique ("Dual-Beam").

Le faisceau d’ions utilisé lors de nos découpes à ST Microelectronic est un faisceau de gallium avec une énergie de 30 keV. Cet appareillage est couplé avec un MEB afin de pouvoir suivre l’évolution de la découpe "en direct" et de s’assurer de la complète ouverture de la ride. Les découpes ont été réalisées à l’extrémité des rides. Un dépôt de platine de très faible épaisseur (quelques nanomètres) a été effectué sur le film au niveau de la zone de découpe afin d’améliorer le contraste cloque/film/substrat au niveau de l’ouverture. Ce dépôt n’a eu aucune influence sur les observations AFM pour la suite de nos expériences. A titre d’exemple, l’ouverture effectuée sur la ride R1 est observée sur la Figure (1.6 a). On constate qu’il n’y a pas de matière à l’intérieur qui pourrait empêcher l’air de s’infiltrer. Les cloques R1, R2 et R3 ont finalement été de nouveau caractérisées par AFM après ouverture (Figure (1.5 b)). Seule la ride R1 sera présentée dans la suite de ce manuscrit, les comportements mécaniques obtenus pour les rides R2 et R3 étant similaires à celui de la ride R1.

Figure 1.6 – Observations MEB et AFM de la ride R1 (a) au niveau de la 1ère découpe par FIB (b) au niveau de la 2ème découpe par FIB.

1.2.3

Evolution du profil des rides avant et après ouverture

Les imperfections à la surface du film de nickel ont été utilisées comme références pour la zone d’analyse des profils AFM. Cette zone est prise suffisamment loin de la découpe, à environ 350 μm, pour éviter des effets de relaxations élastiques et plastiques induits par la découpe sur le profil de la ride (voir ligne pointillé sur la figure (1.5)). La figure (1.7) montre les profils de la ride avant et après découpe par FIB, en rouge et bleu respectivement. On constate sur cette figure que les formes d’équilibre de la ride demeurent identiques ; sa largeur correspondant à la partie délaminée est restée inchangée et égale à 8, 550 μm. Un léger enfoncement en pied de ride est systématiquement observé. Il s’explique par un effet d’élasticité du substrat et est caractéristique des structures de cloquage générées sur substrats mous (Es < Ef) [21]. Les profils avant et

après découpe présentés sur la figure (1.7) mettent cependant en évidence une augmentation significative de la déflexion de la ride, d’une vingtaine de nanomètres. Cette augmentation suggère que l’air s’est infiltré à l’intérieur de la ride et qu’il y avait donc, préalablement à la découpe, de faibles pressions entre la partie délaminée du film et le substrat.

Figure 1.7 – Profil AFM de la ride R1. Avant découpe FIB (en rouge), après première découpe FIB (en bleu) et après seconde découpe FIB (en noir).

Nous pouvons à ce stade nous poser la question de savoir si cette modification de la déflexion est due seulement à un effet de pression ou si un effet de relaxation des contraintes le long la ride, induit par la découpe, peut en être l’origine. Il a en effet été montré récemment que les découpes de structures cloquées pouvaient induire des changements morphologiques au sein de ces structures, comme par exemple la transition de cordons de téléphone en rides droites [17]. En ce sens, une deuxième découpe a été effectuée à une distance de la zone d’analyse AFM choisie, plus petite que précédemment (320 μm au lieu de 360 μm). Cette seconde découpe qui est visualisée par MEB et AFM sur les figures (1.5 c) et (1.6 b), met une nouvelle fois en évidence le caractère non-obstrué de la ride. Il est constaté sur la Figure (1.7) que la deuxième découpe n’a pas modifié la hauteur de la ride, bien que celle-ci ait été effectuée à une distance plus proche de la zone d’analyse des profils. On peut donc en déduire que les découpes par FIB n’induisent pas de relaxation des contraintes le long de la ride, plus particulièrement à l’endroit de la mesure du profil et ne peuvent expliquer l’augmentation de la déflexion observée. Ces résultats suggèrent en conclusion que l’augmentation de la déflexion de la ride visualisée après ouverture est due à la présence d’une zone de faible pression contenue à l’intérieur de la ride, entre la partie délaminée du film et le substrat.

1.3

Modélisation dans le cadre de Föppl-von Karman

Dans cette partie, les résultats expérimentaux obtenus précédemment pour les rides sont confrontés avec la théorie de la déformation des plaques minces de Föppl-von Karman. Ce for-malisme est bien adapté à l’étude du flambage pour lequel un fort déplacement vertical du film est observé. En effet, la théorie de Föppl-von Karman prend en compte les termes non linéaires de la déformation caractérisant les fortes flexions à la différence des modèles plus classiques décrivant le gonflement pur d’un film [39]. Le lecteur peut se référer au livre "Theory of Elasti-city" de Landau et Lifchitz, pour une description complète de cette théorie [40]. On considère un film mince d’épaisseur h constante suffisamment faible comparée aux autres dimensions du problème, sur un substrat rigide semi-infini (voir Figure (1.8) pour les axes). Le film mince est initialement délaminé sur une distance 2b. Les paramètres représentant la variation du champ de déplacement pour un film cloqué par rapport à l’état plan de référence sont notés u, v et w selon les axes (Ox), (Oy) et (Oz). Les composantes du tenseur de déformation sont notées ij. Au cour du flambage, le déplacement hors-plan (selon l’axe Oz) étant beaucoup plus

im-portant que les déplacements dans le plan de la plaque, il est possible de négliger les termes quadratiques dans le tenseur des déformations, à l’exception des termes (∂w/∂x)2 et (∂w/∂y)2 correspondant aux pentes des profils du plan moyen après flambage. Dans cette hypothèse, les

Figure 1.8 – Film mince d’épaisseur h soumis à une contrainte en compression σ0. Le substrat est considéré comme rigide. L’interface film/substrat est initialement délaminée sur une distance 2b le long de l’axe (Ox). La variation de pression est définie par Δp = pint− pext, avecpint la pression entre le film et le substrat etp_extla pression s’exerçant sur la partie supérieure du film.σ_xx correspond à la contrainte dans la partie cloquée du film.

relations donnant les composantes du tenseur de déformation en fonction des composantes du vecteur déplacement sont :

xx = ∂u ∂x + 1 2  ∂w ∂x ₂ , (1.4) yy = ∂v ∂y + 1 2  ∂w ∂y ₂ , (1.5) zz = ∂w ∂z, (1.6) 2xy = ∂v ∂x + ∂u ∂y + ∂w ∂x ∂w ∂y, (1.7) 2xz = ∂u ∂z + ∂w ∂x, (1.8) 2yz = ∂v ∂z + ∂w ∂y. (1.9)

Le film ayant une épaisseur h très faible comparée aux autres dimensions du problème, on peut négliger la variation du profil w(x, y) selon z, i.e. négliger (∂w/∂z), ce qui conduit à zz = 0. De

plus, l’équilibre des forces sur les surfaces impose xz = yz = 0 sur les faces. Les déformations

s’écrivent alors : xx = exx− z∂ 2_w ∂x2, (1.10) yy = eyy− z∂ 2_w ∂y2, (1.11) 2yz = exy − z ∂ 2_w ∂x∂y, (1.12)

avec eij les composantes des déformations ij dans le plan moyen définies par :

exx = ∂ ¯u ∂x + 1 2  ∂w ∂x ₂ , (1.13) eyy = ∂¯v ∂y + 1 2  ∂w ∂y ₂ , (1.14) 2exy = ∂¯v ∂x + ∂ ¯u ∂y + ∂w ∂x ∂w ∂y, (1.15)

avec ¯u, ¯v et ¯w les paramètres représentant la variation du champ de déplacement dans le plan moyen pour un film cloqué par rapport à l’état plan moyen de référence. Pour déterminer les contraintes (σij) en fonction des déformations (ij), on utilise la loi de Hooke. Après

simplifica-tion, on obtient : σxx = ₁E_{− ν}f ₂ f  xx+ νfyy  , (1.16) σyy = ₁E_{− ν}f ₂ f  yy+ νfxx  , (1.17) σxy = Ef 1 + νfxy. (1.18)

Intéressons-nous maintenant à l’énergie élastique (We) par unité de volume dans le cas d’une

plaque mince. Elle peut être exprimée en fonction des contraintes (ou des déformations) sous la forme : We = 1 2Ef  σ_xx2 + σ_yy2 − 2νfσxxσyy+ 2  1 + νf  σ_xy2  . (1.19)

L’énergie élastique (Ue) stockée dans la plaque mince est donnée par l’intégrale de We sur le

volume de la plaque : Ue =  x  y  zWedxdydz. (1.20)

Lorsque l’on résout l’équation (1.20), l’énergie élastique stockée dans le film Ue est la somme

d’une énergie de compression et d’une énergie de flexion :

Ue = Uc + Uf (1.21)

L’énergie de membrane qui correspond à l’énergie de compression de la plaque est notée Uc,

son énergie de flexion est notée Uf. L’épaisseur h du film étant constante, on obtient après

intégration suivant z : Uc = ₂₍₁E_{− ν}fh ₂ f)  x  y  e2_xx+ e2_yy+ 2νfexxeyy+ 2  1− ν_f  e2_xy  dxdy, (1.22) Uf = Efh 3 24(1− ν_f2)  x  y  ∂2w ∂x2 ₂ +  ∂2w ∂y2 ₂ + 2νf∂ 2_w ∂x2 ∂2w ∂y2 + 2  1− ν_f  ∂2w ∂x∂y ₂ dxdy. (1.23)

Nous allons nous focaliser dans la suite de ce travail sur l’étude de la formation d’une ride droite symétrique par rapport à l’axe (Oy) lorsque le film est soumis à une contrainte en compression. En suivant les conventions adoptées par Hutchinson et Zuo [1], cette contrainte de compression s’écrit : σ_xx0 = −σ₀, avec σ0 un paramètre constant et positif. La différence de pression est définie comme Δp = pint− pext, avec pint la pression entre le substrat et la partie délaminée

du film, et pext la pression s’exerçant sur la partie supérieure du film. Dans l’hypothèse d’une

ride droite, u et w, respectivement les déplacements suivant x et z, ne dépendent que de x, la composante v du déplacement suivant y étant égale à zéro. Dans ce cas, l’énergie Utot du

système est la somme de l’énergie élastique décrite précédemment et de l’énergie due au travail de la pression :

Utot = Uc+ Uf + Up (1.24)

avec Up l’énergie dû au travail de la pression définie par :

Up =−Δp

 _+b

−b w(x)dx. (1.25)

L’énergie Utot par unité de longueur y du système s’écrit alors :

Utot =  _+b −b Efh 2(1− ν_f2)  e2_xx+ h 2 12  ∂w ∂x ₂ − wΔp  dx. (1.26)

A partir de cette expression, nous souhaitons déterminer les équations d’équilibre mécanique de la plaque en cherchant les extrema de Utot. Pour ce faire, on applique une petite variation

.η(x) à w, où  est un paramètre et η une fonction quelconque de x. La variation d’énergie à l’ordre  dans la partie cloquée du film est noté δUtot. Pour que l’énergie du système soit

minimale, la variation totale d’énergie δUtot doit être positive quelle que soit la perturbation

appliquée à w. Cette condition implique que ∀ et ∀η, δUtot ≥ 0. La seule et unique solution

est alors δUtot = 0, ce qui conduit aux équations suivantes :

∂4w ∂x4 − 12 h2exx ∂2w ∂x2 = Δp D , (1.27) avec D = Efh 3 12(1− ν_f2) (1.28)

et exx = 1− ν_f2 Ef σxx = ∂ ¯u ∂x + 1 2  ∂w ∂x ₂ = cst. (1.29)

En prenant en compte la rigidité en flexion du film D, l’équation (1.29) s’écrit : exx = h

3

12Dσxx = cst. (1.30)

En remplaçant exx dans la relation (1.27), on obtient la forme finale de l’équation d’équilibre

mécanique du film assimilé à une plaque mince [41, 42] : ∂4w ∂x4 − h Dσxx ∂2w ∂x2 = Δp D , (1.31)

où σxx est la contrainte dans la partie cloquée du film qui est égale à la contrainte critique

de cloquage σc dans le cas de la colonne d’Euler à pression nulle [41, 42]. En exprimant le

déplacement dans le plan moyen ¯u à partir de l’état non cloqué ¯u0, i.e. l’état pour lequel le film est plan (soit w(x) = 0), la relation (1.29) s’écrit :

1− ν_f2 Ef (σxx+ σ0) = ∂Δ¯u ∂x + 1 2  ∂w ∂x ₂ , (1.32) σyy = νσxx, (1.33)

avec σ0_xx = −σ₀ et Δ¯u = ¯u − ¯u0. L’équation (1.32) est appelée équation de compatibilité ; elle nous permettra de relier la contrainte interne σ0 à l’allongement du film. Aux équations (1.31), (1.32) s’ajoutent les conditions aux limites qui sont, dans notre cas d’étude, les conditions d’encastrement du film mince. Ces conditions imposent des déplacements nuls ainsi qu’une tangente horizontale sur les bords du film, ce qui donne :

u(±b) = w(±b) = 0,∂w

∂x(±b) = 0. (1.34)

Dans la suite de ce chapitre, le système d’équations (1.31), (1.32) et (1.34) a été résolu pour un film cloqué sous pression (Δp = 0) dans les trois cas pertinents suivants : film non contraint (σxx = 0), film en tension (σxx > 0) ou film en compression (σxx < 0).

1.3.1

Film cloqué complètement relaxé

Le premier cas que nous allons aborder correspond à la situation où la contrainte dans la partie flambée du film est nulle (σxx = 0). Dans ces conditions, on notera Δpcl’écart de pression

interne/externe. L’équilibre mécanique s’écrit alors : ∂4w

∂x4 = Δpc

D . (1.35)

La solution générale sous forme de polynômes de cette équation (1.35) est donnée par : w(x) = Δpcx

4

24D + c0+ c1x + c2x 2_{+ c}

3x3. (1.36)

Le profil de la ride est symétrique par rapport à l’axe (Oy), d’où c1=c3=0. Les coefficients c0 et c2 ont été déterminés à l’aide des équations (1.34) :

0 = Δpb 4 24D + c0b 2_{+ c} 2, (1.37) et 0 = Δpb 3 6D + 2c0b. (1.38) On obtient : c0 = Δpb 2 12D, (1.39) et c2 = Δpb 4 24D. (1.40)

Le profil de la ride s’écrit finalement : w(x) = Δpc 24D  (x4− b4)− 2b2(x2 − b2)  , (1.41)

avec la déflexion maximum δc obtenue en x = 0,

δc = Δpcb

4

Pour déterminer la relation entre Δpc et σ0, l’équation de compatibilité (1.32) doit être intégrée par rapport à x, entre −b et +b :

1− ν_f2 Ef (σ0)2b = 1 2  _+b −b  ∂w ∂x ₂ dx. (1.43)

En utilisant les conditions aux limites données par les équations (1.34) et l’expression du profil w(x) donnée par l’équation (1.41), on peut exprimer la dérivée première du profil par rapport à x : ∂w ∂x = Δpc 6D (x 3 _{− bx), (1.44)} d’où  ∂w ∂x ₂ =  Δpc 6D ₂ (x6− 2b2x4 + b4x2). (1.45) En remplaçant (1.45) dans l’équation (1.32), on obtient :

1− ν_f2 Ef (σ0)2b =  Δpc 6D ₂ 8b7 105, (1.46) soit finalement : σ0 = ₁₀₅16  1− ν_f2 Ef  Δp2_c  b h ₆ , (1.47) ou Δpc =    105 σ0Ef 16(1− ν_f2)  h b ₃ . (1.48)

Cet écart de pression Δpc, appelé écart critique, est tel que pour Δp > Δpc la contrainte dans

la partie cloquée du film est en tension (σxx > 0). A contrario, pour Δp < Δpc, la contrainte

1.3.2

Film cloqué en tension

Dans le cas où σxx > 0, l’équation (1.31) devient :

∂4w ∂x4 − α 2∂2w ∂x2 = Δp D , (1.49)

avec α2 = _Dh σxx. La solution générale de l’équation (1.49) est alors donnée par :

w(x) = c1cosh αx + c2+ c3sinh αx + c4x + Δp 2α2Dx

2_{. (1.50)}

Par raison de symétrie, les coefficients c3 et c4 s’annulent ; les 2 autres coefficients ciavec i = 1, 2

sont déterminés à l’aide des conditions aux limites de l’équation (1.34) : 0 = c1cosh(αb) + c2− Δpb 2 2α2D, (1.51) et 0 = c1α sinh(αb) − Δpb α2D. (1.52) On obtient : c1 = Δpb α3sinh(αb)D, (1.53) et c2 = Δpb α2D  b 2− coth(αb) α  . (1.54)

Le profil w(x) de la ride s’écrit donc : w(x) = Δpb 2 2β2D  2b2 β sinh β(cosh βx b − cosh β) + (b 2_{− x}2₎  , (1.55)

avec β = αb. La déflexion maximum δ est donnée pour w(x = 0) : δ(β) = Δpb 2 2β2D  2b2 β sinh β(1− cosh β) + b 2  . (1.56)

L’amplitude w(x) doit être positive pour −b ≤< x ≤< +b, le domaine de variation de β s’obtient donc à partir de la condition (∂2w/∂x2) > 0 pour x = b, ce qui se traduit par :

Δp  β tanh β − 1  ≥ 0. (1.57)

Pour Δp > 0, l’équation (1.57) impose 0≤ β < π. Pour Δp < 0 on obtient π < β < 4.493. Comme précédemment, le calcul de l’équation de compatibilité (1.32) intégrée par rapport à x entre−b et +b nous permet d’exprimer Δp et σ₀ :

1− ν_f2 Ef (σxx+ σ0)2b = 1 2  _+b −b  ∂w ∂x ₂ dx. (1.58) Soit : σ0(β) = −Dβ 2 hb2 + Ef 1− ν_f2  Δpb3 2β2D ₂ 2 3 − 1 sinh2β + 4 β2 − 3 coth β β  , (1.59) ou Δp(β) = 2Dβ 2 b3      σ0+ Dβ_hb22 _1−ν2 f Ef  2 3 −sinh12_β +_β42 − 3 coth β_β . (1.60)

Il est important de souligner que contrairement au cas de la colonne d’Euler (cas où Δp = 0) où β est quantifié (β = nbπ) [1], β est dans notre cas d’étude un paramètre libre. Dans la suite, nous avons utilisé les paramètres d’un film mince de nickel de 400 nm d’épaisseur (E = 200 GPa and ν = 0, 312). La demi-largeur de la zone délaminée est fixée arbitrairement à b = 10h. En utilisant les équations (1.56) et (1.59), la représentation paramétrique de la déflexion maximum δ(β) a été tracée en fonction de σ0(β) dans le cas où l’écart de pression Δp au sein du film cloqué en tension est positif et égal à 0, 02 ; 0, 04 et 0, 08 GPa (Figure (1.9)). Il est constaté sur cette figure que la déflexion de la ride augmente lorsque σ0 évolue vers les fortes contraintes en compression. Cet effet sur la déflexion est augmenté avec l’écart de pression. Les valeurs de σ0 correspondant au maximum de relaxation des contraintes dans le film (équation (1.48)) augmentent aussi en fonction de Δp, en passant de 0, 27 à 1, 1 ; puis à 4, 4 GPa.

Figure 1.9 – δ en fonction de σ0, pour une variation de pression positive Δp = 0, 02 ; 0, 04 et 0, 08 GPa dans le cas d’un film mince de nickel en tension (σxx > 0). Les valeurs des contraintes pour le

film complètement relaxé sont σ₀ = 0, 27 ; 1, 1 et 4, 4 GPa respectivement (E = 200 GPa, ν = 0, 312 etb = 10h avec h = 400 nm).

Les solutions de cette configuration (σxx > 0 et Δp > 0) ouvrent de nouvelles perspectives

pour l’étude de l’évolution mécanique des films minces "Bulge Test", essai pour lequel une pression externe entre le film et le substrat est appliquée (en utilisant les équations (1.56),(1.59) et (1.60)). Ce point sera évoqué au chapitre II. L’implantation de matériaux avec des ions légers conduisant à la formation de cavités gazeuses sous pression en dessous des surfaces libres, sera également étudiée dans le cadre de ce formalisme lors du chapitre III.

1.3.3

Film cloqué en compression

On considère lors de ce dernier cas d’étude σxx < 0 avec α2 =−_Dhσxx. L’équation d’équilibre

mécanique du film (1.31) devient : ∂4w ∂x4 + α 2∂2w ∂x2 = Δp D , (1.61)

et la solution générale pour le profil w(x) est alors :

w(x) = c1cos αx + c2+ c3sin αx + c4x + Δp 2α2Dx

2_{. (1.62)}

Comme précédemment, par raison de symétrie les coefficients c3et c4 s’annulent. Les constantes c1 et c2 vérifient les deux conditions aux limites (cf équations(1.34)) :

0 = c1cos(αb) + c2+ Δpb 2 2α2D, (1.63) et 0 =−c₁α sin(αb) + Δpb α2D. (1.64) On obtient : c1 = Δpb α3sin(αb)D, (1.65) et c2 =−Δpb α2D  b 2+ cot(αb) α  . (1.66)

Le profil w(x) du film en compression est donc : w(x) = Δpb 2 2β2D  2b2 β sin β(cos βx b − cos β) + (x 2_{− b}2₎  . (1.67)

La déflexion maximum δ(w(x = 0)) s’écrit : δ(β) = Δpb 2 2β2D  2b2 β sin β(1− cos β) − b 2  . (1.68)

La contrainte σ0 et la variation de pression Δp en fonction de β sont toujours déterminées via l’équation (1.32) : σ0(β) = Dβ 2 hb2 + Ef 1− ν_f2  Δpb3 2β2D ₂ 2 3 + 1 sin2β − 4 β2 + 3 cot β β  , (1.69) ou Δp(β) = 2Dβ 2 b3      σ0− Dβ_hb22 _1−ν2 f Ef  2 3 +sin12_β −_β42 + 3 cot β_β . (1.70)

L’amplitude w(x) doit être positive pour −b ≤< x ≤< +b, soit (∂2w/∂x2) > 0, le domaine de variation de β est alors défini pour x = b par :

Δp  1− β tan β  ≥ 0. (1.71)

Il est important de noter ici que les résultats obtenus pour un film cloqué en compression (voir équations (1.68),(1.69) et (1.70)) peuvent être déduits du cas en tension, en remplaçant β par iβ dans les équations (1.56),(1.59) et (1.60).

Nous allons étudier les effets d’une variation de pression Δp > 0 de l’ordre de la pression atmosphérique (10−4 GPa) sur le flambage d’un film de nickel. Cet écart de pression Δp > 0 correspond aux situations expérimentales où un gaz résiduel est présent sous les cloques. Nous y reviendrons plus en détails lors de nos études sur le cloquage des films minces sous implan-tation/irradiation dans le chapitre III. Le film de nickel étudié dans la partie expérimentale de ce chapitre est choisi comme matériau modèle avec E = 200 GPa, ν = 0, 312, h = 400 nm. La valeur de b = 4, 275 μm déduite de nos observations AFM est également utilisée. Sur la Figure (1.10), la représentation paramétrique de la déflexion maximale δ(β) a été tracée en fonction de σ0(β) dans le cas d’une variation de pression positive de l’ordre de la pression atmosphérique, égale à −10−4 GPa (courbe rouge) et nulle (courbe bleue). Dans le cas d’un film mince auto-porté, i.e. un film sans substrat, fixé seulement à ses extrémités, le film peut se défléchir aussi bien vers le haut (δ > 0) que vers le bas (δ < 0). Or, dans notre cas, le film étant associé à un substrat rigide, il ne peut se défléchir que vers le haut. La partie inférieure du graphique (zone hachurée) n’est donc pas physiquement acceptable. Sur la figure (1.10), on observe dans le cas de la colonne d’Euler (Δp = 0) qu’il existe une contrainte seuil σc = 1, 65 GPa pour laquelle le

cloquage devient favorable. Cette contrainte critique disparaît lorsque l’on considère un écart de pression positif (Δp > 0). Dans ce cas, pour un film sans contraintes internes (σ0 = 0), on constate que la déflexion est de quelques dizaines de nanomètres, i.e. que le cloquage se produit uniquement grâce à l’écart de pression positif au-dessous du film.

Figure 1.10 – Déflexion δ en fonction de la contrainte interne σ0 pour un écart de pression positif Δp = 10−4 GPa et pour Δp = 0. Cas d’un film de nickel en compression (E = 200 GPa, ν = 0, 312,

b = 4, 275 μm et h = 400 nm). La courbe à pression nulle correspond au cas classique de la colonne

d’Euler.

La pression contenue sous les cloques joue alors un rôle accélérateur au processus de clo-quage. Toutefois, pour de fortes contraintes internes σ0, l’effet de la pression devient négligeable (les deux courbes se rejoignent) ; la pression sous les cloques n’a plus d’influence sur le phéno-mène de cloquage, celui-ci n’étant dû qu’aux fortes contraintes présentes dans le film.

Dans le cas d’un écart de pression négatif (Δp = −10−4 GPa) qui correspond à la situation expérimentale de la partie I.1 où il existe du "vide" sous les cloques, les solutions de l’équation d’équilibre mécanique d’un film cloqué sur substrat rigide sont représentées sur la figure (1.11), toujours dans le cas du nickel. La zone pour laquelle δ est négative sur la figure (1.11) correspond à la partie non acceptable physiquement (zone hachurée). Contrairement aux courbes décrites sur la figure (1.10), la courbe correspondant à un écart de pression négatif est maintenant

Figure 1.11 – δ en fonction de σ0, pour une variation de pression négative Δp = −10−4 GPa et pour Δp = 0. Cas d’un film de nickel en compression (E = 200 GPa, ν = 0, 312, b = 4, 275 μm et

h = 400 nm).

au-dessous de la courbe obtenue pour Δp = 0. Une augmentation de la contrainte critique de cloquage est constatée. Au nouveau seuil de cloquage σ∗_c, il existe dorénavant une instabilité mécanique qui se traduit par un saut de la déflexion du film, de quelques dizaines de nanomètres. Pour des contraintes internes très supérieures à la contrainte critique de cloquage, les courbes à Δp = 0 et Δp < 0 se rejoignent ; l’effet de la pression sur la déflexion de la ride étant alors négligeable. A l’inverse, pour des contraintes internes σ0 proche de la contrainte critique de cloquage σ∗_c, l’écart de déflexion entre les 2 courbes (zone grisée sur la Figure (1.11)) devient significatif. Il est d’ailleurs maximum au nouveau seuil de cloquage σ∗_c et de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres.

A l’aide de la Figure (1.11), nous pouvons proposer un scénario expliquant le comporte-ment mécanique du film observé expéricomporte-mentalecomporte-ment en première partie de ce chapitre (trajet 1→ 2 → 3 → 4 → 5 en noir sur la Figure (1.11)). La contrainte interne initiale du film est prise égale à 1, 67 GPa (point 1 sur la Figure (1.11)). Lors de la sollicitation mécanique du composite film/substrat par compression uni-axiale, la contrainte globale augmente (étape 1→2) et l’in-terface film/substrat finit par se délaminer (point 2). Le film est alors décollé sur une largeur 2b ; relaxant son énergie élastique, il flambe (étape 2→3) ; sa déflexion augmente brutalement

d’une centaine de nanomètres, faisant apparaître une ride (point 3). Lorsque les contraintes externes sont relâchées (étape 3→4), la contrainte globale revient à sa valeur initiale, i.e. à la valeur de la contrainte interne σ0 initiale (point 4). Il est noté que le film reste dorénavant dans un état cloqué puisque la valeur de σ0 reste supérieure à celle de σc∗. Enfin, l’ouverture

de la cloque par FIB se traduit par une instabilité mécanique (étape 4→5), la déflexion δ augmente significativement de quelques dizaines de nanomètres en passant brutalement de la courbe donnée pour Δp < 0 à celle donnée pour Δp = 0 (point 5). La valeur de ce saut dépend du niveau des contraintes internes σ0 (zone grisée en Figure (1.10)). Cette valeur de saut est en bon accord avec celle expérimentale obtenue par comparaison des profils AFM de la ride, avant et après découpe. La découpe a donc permis d’égaliser la pression contenue à l’intérieur de la ride avec la pression atmosphérique s’exerçant dessus. Nous pouvons donc en déduire qu’il y avait préalablement à la découpe une zone de très faibles pressions sous la cloque, qui peut être assimilée à du "vide". Si l’on souhaitait décrire l’évolution du film en prenant en compte la valeur expérimentale de la contrainte interne (σ0 = 1, 9 GPa), il faudrait aussi tenir compte de l’effet du substrat. L’élasticité du substrat polycarbonate se traduit en effet par un décalage de la courbe d’Euler (Δp = 0) vers les faibles contraintes, mais aussi par une déflexion ampli-fiée [21]. Cet effet d’élasticité du substrat peut expliquer la différence quantitative entre nos résultats expérimentaux et nos modélisations, mais ne remet pas en cause l’explication proposée. Nous avons cherché les solutions analytiques permettant de trouver les valeurs de la nouvelle contrainte seuil σ_c∗, ainsi que la déflexion δ∗associée. Dans le cas où Δp = 0, la structure cloquée est réduite au cas classique de la colonne d’Euler, cas pour lequel la déflexion maximum est donnée par [1] : δ = h    4 3  σ0 σc − 1  , (1.72) avec σc = Dπ 2 hb2 . (1.73)

L’ensemble des courbes tracées sur la figure (1.11) est alors caractéristique d’une bifurcation supercritique dont la forme normale y(y2− (x − xc)) = 0 est perturbée par un terme constant

y  y2−  x − xc  −λ = 0, (1.74)

avec xc le point critique de la courbe y = f(x). Cette forme canonique peut être obtenue

directement en effectuant un développement limité de σ0 et δ (voir équations (1.68) et (1.69)) en fonction de β, autour du point de bifurcation en β = πb. Cela donne :

δ  δ2− 4h 2 3  σ0 σc − 1  − kΔp = 0, (1.75)

avec k = 16h_3π42_Db4. La forme de l’équation (1.75) permet alors de déterminer l’effet de pression

sur la morphologie du film cloqué autour de la nouvelle contrainte critique de cloquage σ_c∗. En écrivant, ∂σ0 ∂δ    δ=δ∗ = 0, (1.76)

la déflexion critique δ∗ au point d’initiation du cloquage est alors :

δ∗ = 1 213|Δp|

1

3_k13_{. (1.77)}

En introduisant cette expression de δ∗ dans l’équation (1.75), σ_c∗ peut être définie analytique-ment par : σ∗_c = σc  1 + 3 4  1 223 + 213  k23|Δp|23 h2  . (1.78)

Le tableau (2.1) montre les valeurs des contraintes critiques de cloquage pour différents films élaborés selon les techniques présentées dans la partie (I.1). Les valeurs b = 10h et Δp = −10−4 GPa ont été choisies pour les calculs de σc et σc∗. La nouvelle contrainte critique de cloquage

(σ∗_c) a augmenté significativement par rapport à la contrainte critique d’Euler à pression nulle (σc) pour les trois matériaux (Ni, Al et BN). Pour le nickel, matériau à fort module d’Young

(E = 200 GPa), σ_c∗ augmente d’environ 4%. Cette augmentation est beaucoup plus importante pour les matériaux à faibles modules d’Young ; l’Al (E = 69 GPa) voit sa contrainte critique de cloquage augmenter de 123%, tandis que celle du BN (E = 25 GPa) a augmenté de 243%. Sur la figure (1.12), σ_c∗/σc a été tracée en fonction de |Δp| pour le nickel (E = 200 GPa,

ν = 0, 312, b = 4275 nm et h = 400 nm). Il est observé sur cette figure que la contrainte critique de cloquage σ_c∗ augmente avec la valeur absolue de l’écart de pression et est toujours supérieure à la valeur obtenue dans le cas classique de la colonne d’Euler. L’écart négatif de pression interne/externe (et en particulier la présence de vide sous les cloques) joue donc un rôle retardateur à l’endommagement des films par cloquage.

Table 1.2 – Valeur des contraintes internes et critiques de cloquage pour les différents matériaux étudiés

h (nm) σ0 (GPa) σc (GPa) σ∗c (GPa)

Ni 100 2,5 1,59 1,65 Ni 200 1,5 1,59 1,65 Ni 400 1,9 1,59 1,65 BN 50 0,8 0,23 0,79 BN 180 1,2 0,23 0,79 Al 100 0,7 0,64 1,43 Al 200 0,6 0,64 1,43 Al 400 0,5 0,64 1,43

Finalement, en utilisant les équations (1.72), (1.77) et (1.78) , le rapport δ∗/δ caractérisant le saut de déflexion au seuil du cloquage a été déterminé :

 δ∗ δ  σ0=σ∗_c = √1 3. (1.79)

Il est intéressant de souligner que ce rapport ne dépend pas des paramètres du problème (Δp, σc, σc∗, h...)[44].

Figure 1.12 – Variation de la nouvelle contrainte critique de cloquage σ∗

c par rapport à la contrainte

critique d’Euler σ_c, en fonction de la valeur absolue de l’écart de pression |Δp| (E = 200 GPa,

1.4

Effet du substrat rigide sur les formes d’équilibre des

cloques sous vide

Dans le cadre de la théorie de Föppl-Von Karman des plaques minces, nous avons étudié au cours des paragraphes précédents l’influence de la pression sur le flambage. Il a été montré que la présence d’une zone de très faible pression sous les cloques se traduisait par une déflexion plus faible de la ride pour des niveaux de contraintes proches de la contrainte critique de cloquage, de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres, en bon accord avec les résultats expérimentaux. Dans le cadre de la théorie des bifurcations, nous avons pu remonter analytiquement à la dé-pendance de la contrainte critique de cloquage à l’écart de pression interne/externe. Le substrat a été considéré pour ces études comme infiniment rigide, et donc sans influence particulière sur la forme et les dimensions des structures de cloquage. Nous pouvons à ce stade nous poser la question de savoir si d’éventuels contacts film/substrat ne peuvent pas avoir d’influence sur la forme, les dimensions et la stabilité des structures de cloquage, et si l’écart de pression a un effet sur la croissance/propagation de ces structures.

Le comportement mécanique des films minces décrit précédemment à travers la théorie de FvK ne nous donne pas d’informations concernant la taille maximale que les structures cloquées peuvent atteindre en se propageant sur leur substrat. Les rides mises en évidence sur la figure (1.4) peuvent s’étendre en longueur jusqu’au bord de l’échantillon, mais elles ont toutes une largeur de délamination bien définie. Cela est généralement interprété au travers d’un critère de propagation, par le fait que les propriétés d’adhésion film/substrat, ainsi que l’angle d’ouverture des fissures, contrôlent leur largeur. Le critère de propagation des structures cloquées, dorénavant admis par la communauté scientifique, s’écrit [1] :

G ≥ Γ(Ψ). (1.80) où G = 1₂  ∂Ue ∂b 

représente le taux de restitution d’énergie élastique et Ue l’énergie élastique

définie par l’équation (1.20). L’énergie d’adhérence du film Γ(Ψ) est le produit de Γ_I, l’éner-gie de fissuration interfaciale en mode I (mode qui prend en compte les forces normales à l’interface) et de f, une fonction numérique dépendante de l’angle d’ouverture Ψ des fissures (Γ(Ψ) = Γ_I.f(Ψ)). Lorsque la largeur de délamination augmente, l’angle d’ouverture des fis-sures augmente, ce qui se traduit par une augmentation de l’adhésion effective (ou adhérence) Γ(Ψ) [20]. En conséquence, il existe une largeur de délamination critique, au delà de laquelle l’adhérence devient suffisamment élevée pour que la cloque ne puisse plus se propager. L’écart de