Lycée 02 03 34 Ksar Hellal Devoir de synthèse N° 2 4ème Math Mr : Boudhaouia Durée 4h 04/03/2014
Exercice 1(3 points)
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse des trois réponses proposées est correcte. Indiquer le numéro et la lettre correspondante à la réponse choisie.
Dans un plan muni d’un repère orthonormé direct , , on considère le point d’affixe : 1 + et le point d’affixe : 1 + √3
1) L’image du point par la translation de vecteur d’affixe −2 − 2 est le point d’affixe : a) 3 − b) −1 + 3 c) −3 + 2) L’image du point par la rotation de centre O et d’angle − est le point d’affixe
a) −√3 + b) −√3 − c) √3 −
3) Soit une suite arithmétique de raison – ln 2 . Alors la suite définie par = est : a) une suite arithmétique de raison – 2 .
b) une suite géométrique de raison !"#. c) une suite géométrique de raison −2 . 4) La limite de : $ ln !1 +
%# quand x tend vers +∞ est :
a) 0 b) 1 c) 2
Exercice 2(6 points)
Dans l’annexe ci-jointe ( figure 1) est un triangle rectangle et isocèle = et ! ,( # ≡ *2+,
On désigne par - le milieu du segment * , et par . et / les symétriques respectifs du point - par rapport à et à . Soit 0 la similitude directe qui envoie sur / et sur ..
1) Montrer que 0 est de rapport 2 et d’angle
2) a) Montrer que le point est l’orthocentre du triangle ./.
b) Soit 1 le projeté orthogonal du point sur la droite . . Déterminer les images des droites 1 et 1 par 0 et en déduire que 1 est le centre de la similitude directe 0.
3) Soit 2 la similitude indirecte de centre -, qui envoie sur /
a) Vérifier que 2 est de rapport 2 et d’axe -. . En déduire que 2 = ..
b) Déterminer les images des points . et / par 2 о 04". Caractériser l’application 2 о 04".
4) Soit -5 = 0 - et 15 = 2 1
a) Déterminer les images des points 1 et -5 par : 2 о 04"
b) En déduire que les droites -1 , -′1′ et ./ sont concourantes.
Exercice 3(5 points)
1) Dans l’annexe ci-jointe ( figure 2), on représenté dans un repère orthonormé , 7 , 8 la courbe C de la
fonction 0 définie sur 9"
: , ; par 0 $ = ln $ < − 3 ln $ et les demi- tangentes à la courbe C aux points d’abscisses respectives "
: et .
a) En utilisant le graphique : montrer que 0 réalise une bijection de 9"
: , ; sur un intervalle 1 que l’on déterminera.
b) Tracer, dans le repère , 7 , 8 ; la courbe C ’ représentative de la fonction 04" réciproque de 0.
2) Soit la suite = définie sur ℕ∗ par :
= = @ ln $ A$:
" a) Vérifier que =" = 1
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que ∀C ∈ ℕ∗ ; = E" = − C + 1 = c) calculer alors = et =<.
3) Soit F la mesure de l’aire de la partie du plan limitée par les droites d’équations $ = −2 et $ = 0 et
par la courbe C ’ et la droite d’équation G = . H Calculer @ 0 $ A$:
"
b) En déduire la valeur de F.
Exercice 4(6 points)
1) Soit la fonction 2 définie sur ,0 , +∞* par 2 $ = 1 + $ − $ ln $
a) Etudier les variations de 2.
b) En déduire que l’équation 2 $ = 0 admet dans ,0 , +∞* une unique solution P telle que : 3,5 < P < 3,6
c) En déduire le signe de 2 $ pour tout $ ∈ ,0 , +∞*.
2) Soit la fonction 0 définie sur ,0 , +∞* par :
0 $ =1 + $ln $ On désigne par C sa courbe un repère orthonormé , 7 , 8 . a) Vérifier que ∀$ ∈ ,0 , +∞* on a :
0′ $ =$ 1 + $2 $ b) Dresser le tableau des variations de 0.
c) Vérifier que : 0 √P = " T
d) Tracer la courbe C (on choisira 3 UV pour l’unité graphique).
3) Soit la suite réelle = définie sur ℕ∗ par :
= = @ 0 $
"
" A$ a) Montrer que la suite = est croissante.
b) Montrer que : ∀$ ∈ ,0 , 1, on a :
ln $ ≤ 0 $ ≤ 12 ln $ c) En déduire que : ∀C ∈ ℕ∗ on a :
1
2 X1 −1 + ln CC Y ≤ = ≤ 1 −1 + ln CC
d) Montrer alors que la suite = est convergente et converge vers un réel
l
et que
l
∈ 9
12 ; 1
;.
Annexe à rendre avec la copie
Figure 1
Figure 2
C
