COURS 11 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 2020 2021

(1)

CHAPITRE 11

´

EQUATIONS DIFF´

ERENTIELLES

⊙

L’étude des équations différentielles débute à la fin du XVIIe _si`_{ecle avec la cr´}_{eation, par Newton} et Leibniz, du calcul différentiel qui permet leur manipulation. Pour ce qui est des équations linéaires, les principales méthodes de résolution théoriques exposées dans ce chapitre datent du XVIIIe _{: Euler} sait résoudre l’équation homogène d’ordren `_{a coefficients constants et Lagrange connaˆıt la structure de} l’ensemble des solutions d’une équation homogène et met en place la méthode de variation des constantes qui porte son nom pour l’équation complète.

Pendant toute cette période, le besoin de prouver de manière générale l’existence de solutions à une ´

equation différentielle ne se fait pas sentir. En effet, le concept de fonction est encore assez flou et, de manière plus ou moins explicite, les fonctions sont toutes supposées être localement la somme de leur série de Taylor. Dans ces conditions, il semble clair que l’équation (E) : y(n)=f(t, y, y′,· · ·, y(n−1)), jointe à la donnée des conditions initialesy(t0), y′(t0),· · ·, y(n−1)(t0), qui fournit lesnpremiers coefficients, permet de calculer par récurrence tous les coefficients du développement en série entière d’une solution yde (E) au voisinage det₀, la convergence étant implicitement admise.

C’est Cauchy qui, vers 1820, prouve le premier théorème garantissant l’existence et l’unicité locales de solutions pour l’équation (E) : y′ = f(t, y) en montrant que, si f est suffisamment régulière, la méthode d’approximation d’Euler converge vers une solution sur un voisinage de t0. Lipschitz prouve le même r´esultat en 1876, sous des hypoth`eses plus faibles sur f, en mettant en lumière l’importance des conditions qui portent maintenant son nom.

Après la m´_{ethode d’Euler d’approximation des solutions d’une équation différentielle, les allemands} Runge et Kutta ont développé une méthode beaucoup plus rapide pour approcher numériquement les solutions d’un probl`_{eme de Cauchy d’une équation différentielle et qui, de plus, a le mérite d’être plus} stable par rapport aux conditions initiales.

Id´esignera un intervalle de R contenant au moins deux points distincts, K d´esignera soit R soit C.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : syst`emes différentiels linéaires du premier ordre

- 1 : définitions. . . .page 148 - 2 : structure de l’ensemble des solutions. . . .page 148 - 3 : systèmes différentiels à coefficients constants. . . .page 149

Partie 2 : ´equations différentielles linéaires scalaires

- 1 : équations différentielles du premier ordre. . . .page 150 - 2 : équations différentielles du second ordre. . . .page 151 - 2 : équations différentielles du second ordre à coefficients constants. . . .page 152

Partie 3 : Annexes

- 1 : équations à variables séparables. . . .page 153 - 2 : ´_{equations de Bernoulli}. . . .page 154 - 2 : ´_{equations de Riccati}. . . .page 154

(2)

148 EQUATIONS DIFF ´´ ERENTIELLES

PARTIE 11.1 : SYST`

EMES DIFF´

ERENTIELS

LIN´

EAIRES DU PREMIER ORDRE

11.1.1 : D´

efinitions

REMARQUE 11.1 : SiX:I→Mn,1(K) est d´efini parX(t) =t (

x1(t) · · · xn(t) )

∈Mn,1(K), alorsX est d´erivable ent0∈I si et seulement sit7→ X

(t)−X(t0)

t−t0

admet une limite finie quandttend verst0.

Puisque X(t)−X(t0) t−t0 = t ( x₁(t)−x₁(t₀) t−t0 · · · x_n(t)−x_n(t₀) t−t0 ) , on a X d´erivable en t0 ∈ I si et seulement si toutes lesxk:I→ K sont d´erivables ent0et on a alors X′(t0) =t

(

x′₁(t₀) · · · x′_n(t₀) )

.

D ´EFINITION 11.1 :

Soitn>1, deux applicationsA:I→Mn(K) etB:I→Mn,1(K) continues surI.

(i) Un système différentiel linéaire d’ordre 1est de la forme (E) : X′ =A(t)X+B(t).

(ii) Une solution de (E) estX:I→Mn,1(K) dérivable surItelle que∀t∈I, X′(t) =A(t)X(t) +B(t). (iii) Le système homog`ene associ´ee à (E) est le système (E0) : X′=A(t)X.

REMARQUE 11.2 : Écriture du système différentiel : Si on note, pourt∈I,B(t) =t( b1(t) · · · bn(t) ) ∈Mn,1(K) etA(t) = ( a_i,j(t)) 16i,j6n∈Mn(K),

le système (E) est équivalent à          x′₁ = a1,1(t)x1 + · · · + a1,n(t)xn + b1(t) .. . ... ... .. . ... ... x′_n = an,1(t)x1 + · · · + an,n(t)xn + bn(t) , c’est-à-dire

que : Xest solution de (E)⇐⇒ ∀t∈I, ∀i∈ [[1;n]], x′_i(t) = n ∑ j=1 ai,j(t)xj(t) +bi(t). EXEMPLE 11.1 : R´esoudre (E) : { x′ = cos(t)x+sin(t)y y′ = −sin(t)x+cos(t)y .

REMARQUE 11.3 : Une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre n, c’est-à-dire une équation différentielle du type y(n)−an−1(t)y(n−1)− · · · −a0(t)y=b(t) avec y: I→ K n fois dérivable et les fonctionsa₀,· · ·, a_n₋₁, bcontinues surI, peut se traduire par un système différentiel d’ordre 1.

EXEMPLE 11.2 : Repr´esenter matriciellement l’´equationy′′−t2y′+ety=1+3t.

11.1.2 : Structure de l’ensemble des solutions

TH ÉOR ÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ LIN ÉAIRE ( ÉNORME) 11.1 :

Soit A:I→Mn(K) etB:I→Mn,1(K) continues sur I et (t0, X0)∈I×Mn,1(K), alors le probl`eme de Cauchy

{

X′ = A(t)X+B(t)

X(t₀) = X₀

(3)

D´emonstration : hors programme.

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DE L’ENSEMBLE DES SOLUTIONS 11.2 :

Soit A : I → Mn(K) et B : I → Mn,1(K) continues sur I et (E) : X′ = A(t)X+B(t) un système différentiel linéaire d’ordre 1, S l’ensemble des solutions sur I de (E) et S0 l’ensemble des solutions sur I du système homogène (E0).

(i) S0 est un sous-espace vectoriel de C1 (

I,Mn,1(K) )

.

(ii) Pour tout t0 ∈ I, φt0 : S0 → Mn,1(K) d´efinie par φt0(X) =X(t0) est un isomorphisme

donc S0 est un espace de dimension n.

(iii) Les solutions non nulles de (E0) ne s’annulent pas surI.

(iv) Si X_p∈S(solution particuli`ere) alorsS=X_p+S₀ (sous-espace aﬃne).

11.1.3 : Syst`

emes diﬀ´

erentiels `

a coeﬃcients constants

⊙

On se limite à des systèmes (E) : X′=AX+B(t) où A∈Mn(K) etB:I→Mn,1(K) est continue surI.

PROPOSITION SUR LE PASSAGE PAR LES COMPLEXES 11.3 :

SoitA∈M_n(R) réelle et les équations (E₀) : X′=AX(réel) et (E′₀) : Z′=AZ(complexe). Une fonction X:I→M_n,1(R) est solution réelle de (E₀) si et seulement s’il existe une fonction

Z:I→Mn,1(C) solution complexe de (E′0) telle que X=Re(Z).

REMARQUE 11.4 : Pour déterminer les solutions réelles deX′=AXoùAest réelle, on peut commencer par déterminer les solutions complexes dont on prendra les parties réelles.

EXERCICE 11.3 : On lance une particule charg´ee (chargeqet massem) dans un champ magn´etique −

→_B ₌_B−→_k_{. La champ ´}_{electrique −}→_E _{est nul. Elle subit donc la force de Lorentz −}→_F ₌_q₋_→_v _{∧ −}→_B_{. On} néglige toutes les autres forces exercées sur la particule (gravité,...). À l’instantt=0, la particule est enO et a pour vitesse −→v0= −→ı + −→k. On pose −→v = ( ˙x,y,˙ z˙). Déterminer la trajectoire de la particule.

PROPOSITION SUR LA RESOLUTION D’UN SYST `EME DIAGONALISABLE 11.4 : Si Aest diagonalisable (sur K), il existe P∈GLn(K) et D=diag(λ1,· · ·, λn) diagonale telles que

A=PDP−1 donc le système X′ =AX équivaut à Y′ =DY où on a posé X=PY. De plus, si on pose Y(t) = t(

y1(t) · · · yn(t) )

alors Y′ = DY si et seulement si pour tout

k∈ [[1;n]], il existe une constante αk∈ K telle que yk:t7→αkeλkt.

REMARQUE 11.5 : Le calcul de la matrice P−1n’est pas n´ecessaire pour la r´esolution deX′=AX.

EXERCICE 11.4 : R´esoudre le système différentiel suivant    x′ = y+z y′ = x z′ = x+y+z .

REMARQUE 11.6 : On peut faire la mˆeme chose avec un second membre.

EXERCICE 11.5 : R´esoudre le système différentiel suivant {

x′ = x+8y−t−7 y′ = 2x+y−2t−1.

(4)

PROPOSITION SUR LA RESOLUTION D’UN SYST ÈME TRIGONALISABLE 11.5 : SiAn’est que trigonalisable (sur K), on pose encoreX=PYavecP∈GLn(C) telle queA=PTP−1 etT triangulaire supérieure et on a de nouveau X′=AX si et seulement siY′=T Y. Ce système

Y′ =T Yest un système différentiel qui se résout en partant de la dernière ligne et en remontant en reportant les résultats intermédiaires.

ORAL BLANC 11.6 : R´esoudre le système différentiel    x′ = 2y+2z y′ = −x+2y+2z z′ = −x+y+3z .

REMARQUE 11.7 : Cette m´ethode fonctionne encore siAn’est pas constante mais si Pl’est.

EXERCICE 11.7 : R´esoudre le système à coefficients non constants : {

x′ = (t+3)x+2y y′ = −4x+ (t−3)y.

PARTIE 11.2 : ´

EQUATIONS DIFF´

ERENTIELLES

LIN´

EAIRES SCALAIRES

11.2.1 : ´

Equations diﬀ´

erentielles du premier ordre

Soitα,β,γ trois applications continues sur un intervalleI et `a valeurs dans K.

(i) L’équation (E) : αy′+βy=γ est une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre1. (ii) Une solution de (E) est y:I→ K dérivable surI telle que∀t∈I, α(t)y′(t) +β(t)y(t) =γ(t). (iii) L’équation (E0) : αy′+βy=0est l’´equation homogène associ´ee `a (E).

REMARQUE 11.8 : On peut consid´erer des solutionsy:J→ K de (E) o`uJ⊂I.

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DE L’ENSEMBLE DES SOLUTIONS 11.6 : L’ensemble S0 des solutions de (E0) est un sous-espace vectoriel deD1(I,K).

Si yp est une solution particuli`ere de l’´equation (E) alors l’ensemble S des solutions de (E) est

S=yp+S0 : c’est un sous-espace aﬃne de C0(I,K).

REMARQUE 11.9 : Si la fonctionαne s’annule pas surI,yest solution deαy′+βy=γsi et seulement si yest solution de y′−ay=baveca=−β

α et b= γ

α ; aet b sont alors continues surI : on dit alors

que l’´equation est mise sous forme canonique.

PROPOSITION SUR LA FORME DES SOLUTIONS DE L’ ´EQUATION y′=ay 11.7 : Soita et b deux fonctions continues sur un intervalleI et `a valeurs dans K.

(i) Les solutions de l’équation homogène (E0) : y′−ay=0 sont les fonctions yλ définies sur I par ∀t∈I, yλ(t) =λeA(t) oùλ∈ K etA est une primitive de a sur I.

(ii) S0 est la droite vectorielle engendr´ee par t7→eA(t) : S0=Vect(eA).

(5)

REMARQUE 11.10 : M´ethode de la variation de la constante :

• Soit a, b:I→ K continues ety0une solution non nulle de l’équation homogèney′−ay=0alors il existe une solution de l’équationy′−ay=bde la formey=λy0, oùλest une fonction dérivable surI. • ysolution de (E)⇐⇒λ′= b

y0

ce qui permet de trouver (en int´egrant) une solution particuli`ere.

TH ÉOR ÈME SUR LA FORME DES SOLUTIONS DE L’ ÉQUATIONy′ =ay+b 11.8 : Si a et b sont continues sur I, les solutions de y′ −ay = b sont les fonctions yλ définies par ∀t∈I, y(t) =λeA(t)+eA(t)

t

∫

t0

b(u)e−A(u)du o`uA est une primitive de a sur I,λ∈ K ett₀∈I.

REMARQUE 11.11 : Dans ce cadre restreint, on démontre le théor`_{eme de Cauchy-Lipschitz linéaire.} TH ÉOR ÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ LIN ÉAIRE D’ORDRE 1 ( ÉNORME) 11.9 :

Soitaetbdeux fonctions continues sur un intervalleI et (t₀, y₀)∈I× K, le probl`eme de Cauchy

{

y′ = a(t).y+b(t)

y(t0) = y0

admet une unique solution y d´efinie sur I en entier.

REMARQUE 11.12 : • Sous ces conditions, φ:S0→ K définie parφ(y) =y(t0) est un isomorphisme. • L’espace vectoriel des solutions de (E0) sur un intervalleI où l’équation est résolue est une droite. • Si l’équation n’est pas sous forme résolue sur I, on la résout sur tous les intervalles oùαne s’annule pas et on essaie de raccorder les solutions en les points singuliers.

• Il peut y avoir sur Iune infinit´e de solutions, une seule ou aucune.

EXEMPLE 11.8 : R´esoudre l’´equation (E) : (1−t2)y′−2ty=t2sur tous les intervalles de R.

ORAL BLANC 11.9 : ENSAM PSI 2014 Mohammed

R´esoudre (E) : (et−1)y′+ (et+1)y− (3+2et) =0.

11.2.2 : ´

Equations diﬀ´

erentielles scalaires du second ordre

Soitα,β,γ etδquatre applications continues sur I et `a valeurs dans K.

(i) (E) : αy′′+βy′+γy=δest une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre2. (ii) y:I→ K deux fois dérivable est solution de (E) si∀t∈I, α(t)y′′(t) +β(t)y′(t) +γ(t)y(t) =δ(t). (iii) L’équation (E₀) : αy′′+βy′+γy=0 est l’équation homogène associ´ee `a (E).

REMARQUE 11.13 :

• Si la fonction αne s’annule pas sur I, yest solution de αy′′+βy′+γy=δsi et seulement siy est solution de y′′−ay′−by=caveca=−β

α,b=− γ α etc=

δ

α ;a, betcsont alors continues surI.

• En posantX= ( y y′ ) ,y′′−ay′−by=c⇐⇒X′ = ( 0 1 b(t) a(t) ) X+ ( 0 c(t) ) .

(6)

TH ÉOR ÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ LIN ÉAIRE ORDRE 2 ( ÉNORME) 11.10 :

Soit a, bet ctrois applications continues sur un intervalle I et (t0, y0, y′0)∈I× K2, le probl`eme

de Cauchy        y′′ = ay′+by+c y(t0) = y0 y′(t0) = y′0

admet une unique solution d´efinie sur I en entier.

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DE L’ENSEMBLE DES SOLUTIONS 11.11 : Soita et b deux applications continues sur un intervalleI.

(i) L’ensemble S0 des solutions de (E0) : y′′−ay′−by=0 est un espace de dimension2. (ii) Deux solutions y₁ ety₂ de (E₀) lin´eairement ind´ependantes forment une base de S₀.

REMARQUE 11.14 : Si on ne connaˆıt qu’une solution non nulle de (E0), on peut en déterminer une seconde, et donc une base deS0, par une première “variation de la constante” : méthode de Lagrange.

PROPOSITION SUR LA FORME DES SOLUTIONS DE L’ ´EQUATION y′′=ay′+by11.12 : Soity₀ une solution de (E₀) : y′′−ay′−by=0 qui ne s’annule pas surI.

(i) Pour α:I→ K de classe C2 sur I, y=αy₀ est solution de (E₀) si et seulement siα′ est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1homogène.

(ii) Il existe une base de S₀ de la forme (y₀, αy₀), o`u αest de classe C2 sur I.

REMARQUE 11.15 : On peut aussi chercher des solutions de (E0) (ou mˆeme de (E)) qui sont DSE.

EXERCICE 11.10 : R´esoudre (E0) : (1+t2)y′′+4ty′+2y=0en recherchant les fonctions DSE. REMARQUE HP 11.16 : Une fois qu’on dispose d’une base (y1, y2) deS0, on peut trouver une solution particuli`ere de (E) par une autre m´ethode de variation des constantes.

Soit (E) : y′′−ay′−by=c. Il existe une solutionyp(t) =α1(t)y1(t) +α2(t)y2(t) de (E) oùα1,α2sont dérivables surIqui vérifient le système

{

α′₁y1+α′2y2 = 0

α′₁y′₁+α′₂y′₂ = c.

EXERCICE 11.11 : Centrale PSI 2013

a. Soitg: R → R continue. Montrer queh:t7→

∫

t

0 (

g(u)cos(u)sin(t)−g(u)sin(u)cos(t))duest solution de l’équation différentielleE) : y′′+y=g. En déduire toutes les solutions de (E). b. Soitf: R → R de classeC2et∀t∈ R, f′′(t) +f(t)>0. Prouver : ∀t∈ R, f(t) +f(t+π)>0.

11.2.3 : ´

Equations diﬀ´

erentielles du second ordre `

a coeﬃcients constants

TH ´EOR `EME SUR LA FORME DES SOLUTIONS DEay′′+by′+cy=0 ((a, b, c)∈ C3_{) 11.13 :} Soit (a, b, c)∈ C∗× C2_{, alors les solutions de (}_E

0) : ay′′+by′+cy=0 sont :

(i) y=α1eλ1t+α2eλ2t avec (α1, α2)∈ C2 siλ1̸=λ2 sont les racines deaX2+bX+c. (ii) y= (α1t+α2)eλ1t avec (α1, α2)∈ C2 si λ1 est la racine double de aX2+bX+c.

(7)

REMARQUE 11.17 : • L’équation (C) : az +bz+c=0s’appelle l’´equation caract´eristique de (E). • La matrice associée à cette équation estA=

( 0 1 −c a − b a )

et aX2+bX+c=aχA est en rapport avec son polynôme caractéristique : la terminologie est donc cohérente !

• Le cas (i) est le cas o`uAest diagonalisable et (ii) celui o`u elle est seulement trigonalisable.

PROPOSITION SUR LA RECHERCHE D’UNE SOLUTION PARTICULI ÈRE 11.14 : Si (a, b, c) ∈ C∗× C2_, _P _{∈ C[}_X_{] et} _m _{∈ C, il existe une solution particulière de l’équation} (E) : ay′′+by′+cy=P(t)emt de la forme y:t7→tαQ(t)emt avec Q∈ C[X], deg(Q) =deg(P) et :

(i) α=0si mn’est pas racine de aX2+bX+c.

(ii) α=1si mest racine simple (et ∆ =b2−4ac̸=0) deaX2+bX+c. (iii) α=2si mest racine double (∆ =0) deaX2+bX+c.

⊙

Maintenant le cas r´eel un peu plus complexe.

TH ÉOR ÈME SUR LA FORME DES SOLUTIONS DEay′′+by′+cy=0 ((a, b, c)∈ R3_{) 11.15 :} Soit (a, b, c)∈ R∗× R2, les solutions réelles de (E0) : ay′′+by′+cy=0 sont (∆ =b2−4ac) :

(i) y=α1eλ1t+α2eλ2t avec (α1, α2)∈ R2 siλ1̸=λ2 racines r´eelles de aX2+bX+cet ∆> 0. (i) y= (α1t+α2)eλ1t avec (α1, α2)∈ R2 siλ1=−b

2a racine double de aX

2₊_bX₊_c _{et ∆ =}₀_. (iii) y=(α1cos(βt) +α2sin(βt)

)

eαtavec (α1, α2)∈ R2siz1=α+iβ∈ C etz2=α−iβ((α, β)∈ R2) sont les racines complexes de aX2+bX+cquand ∆< 0.

REMARQUE 11.18 : Pour les solutions particulières de l’équation avec second membre, on passe par le cas complexe et on prend la partie réelle d’une solution particulière.

PARTIE 11.3 : ANNEXES (HP)

11.3.1 : ´

Equations `

a variables s´

eparables

REMARQUE 11.19 : Ce sont des ´equations du premier ordre de la forme (E) : y′f(y) =g(t) o`u f et

g sont des fonctions continues deI dans K = R ou C. SiF (resp. G) est une primitive def (resp. g) sur des bons intervalles, une solution y de (E) sur J ⊂ I v´erifie F(y) = G(t) +k avec k ∈ K ; il faut

espérer ensuite queF soit bijective pour qu’on puisse écrirey=F−1(G(t) +k) qu’il faut ensuite tracer. Les solutions maximales ne sont pas forc´ement définies sur les mêmes intervalles comme c’était le cas pour les équations linéaires.

(8)

11.3.2 : ´

Equations de

Bernoulli

REMARQUE 11.20 : Ce sont des équations du type (E) : ay′+by+cyα = 0où a, b et c sont des fonctions de Idans R etα∈ R \ {0, 1}. Sur des intervalles où nia niyne s’annule, on posez=y1−αsi

ysolution de (E) etyn’est pas la fonction nulle, on trouve alorsz′= (α−1)bz+c

a qu’on sait de nouveau

r´esoudre.

EXERCICE 11.13 : R´esoudre l’´equation (E) : ty′+3y=t2y2.

11.3.3 : ´

Equations de

Riccati

REMARQUE 11.21 : Ce sont des équations de la forme (E) : ay′+by+cy2=d oùa,b, cet d sont des fonctions deIdans R. Si on trouve une solution particulièrey0de (E) alors en posantz=y−y0, la fonctionzvérifie une ´_{equation de Bernoulli qu’on sait maintenant résoudre.}

EXERCICE 11.14 : R´esoudre l’´equation (E) : y′=−y2+2t2y+2t−t4.

COMP´

ETENCES

• Maˆıtriser la terminologie des équations et systèmes différentiels, leur ordre et leur linéarité. • Se rappeler des structures de l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire.

• Connaˆıtre les conditions de Cauchy-Lipschitz qui assurent l’existence et l’unicité d’une solution. • Savoir résoudre un système différentiel carré linéaire en trigonalisant la matrice du système. • Connaˆıtre les méthodes de résolution d’une équation linéaire scalaire d’ordre1...

• ... et discuter des éventuels raccords en les points singuliers (avec la structure vectorielle associée). • Maˆıtriser la structure des solutions d’une équation différentielle scalaire d’ordre2...

• ... et savoir trouver une seconde solution de l’équation homogène si on en connaˆıt une non nulle. • Penser à chercher les solutions des équations linéaires qui sont développables en série entière. • Se rappeler des équations différentielles scalaires du second ordre à coefficients constants. • Avoir une idée de résolution des équations à variables séparables, de Bernoulli, de Ricatti.