Exercice 1 :
Une roue de loterie comporte 16 secteurs : 8 blancs, 4 rouges, 3 verts et 1 jaune. Dans chaque couleur, les secteurs sont numérotés : les blancs de 1 à 8, les rouges de 1 à 4, les verts de 1 à 3, et le jaune porte le numéro 1.
On fait tourner la roue qui s’arrête au hasard sur un secteur.
On appelle B l’évènement correspondant à la sortie de la couleur blanche, et U l’évènement correspondant à la sortie du numéro 1.
a) Calculerp(B)etp(U).
b) Calculer les probabilités des évènements contraires de B et U. c) Calculerp(B∩U).
d) Calculerp(B∪U). e) p(B∩U)
f) Les évènements B et U sont-ils indépendants ?
Exercice 2 :
On tire au hasard, simultanément, 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. On obtient ainsi une main de 5 cartes. 1°) Combien de mains différentes peut on obtenir ?
2°) Calculer la probabilité que la main comporte : a) exactement un as ;
b) au moins un as ; c) exactement trois as ;
d) exactement trois cœurs et un pique ; e) exactement trois cœurs et un as ; f) un carré (4 cartes de même hauteur).
CORRECTION
Exercice 1 :
L’univers est l’ensemble des résultats possibles (couleurs + numéros). Il y a équiprobabilité à cause du hasard. g) 2 1 16 8 ) (B = = p 4 1 16 4 ) (U = = p h) 2 1 2 1 1 ) (B = − = p 4 3 4 1 1 ) (U = − = p i) 16 1 ) (B∩U = p j) 16 11 16 1 4 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) (B∪U = p B + p U − p B∩U = + − = p
k) B∩U est l’évènement : »la case n’est pas blanche et ne porte pas le numéro 1 ».
16 5 ) (B∩U = p l) 16 1 ) (B∩U = p ≠ 8 1 4 1 2 1 ) ( ) (B ×p U = × =
p donc les évènements B et U ne sont pas indépendants.
Exercice 2 :
Le tirage se fait au hasard, on peut donc supposer qu’il y a équiprobabilité des mains de cinq cartes. 1°) On dénombre le nombre de mains de 5 cartes: 201376
5 32 =
. Car on choisi 5 cartes parmi 32.
2°) a) On dénombre le nombre de mains de 5 cartes contenant exactement un as : 81900 4 28 1 4 = × . Car on tire un as parmi 4 et on tire les 4 autres cartes parmi les 32 cartes moins les 4 as.
La probabilité que la main comporte exactement un as est 0,407 7192 2925 201376 81900 ≅ = .
b) L’événement « la main comporte au moins un as » est l’événement contraire de « la main ne contient aucun as ».
c) On dénombre le nombre de mains de 5 cartes contenant exactement 3 as : 1512 2 28 3 4 = × . Car on tire 3 as parmi 4 et les 2 autres cartes parmi les 32 cartes moins les 4 as.
La probabilité que la main comporte exactement 3 as est 0,0075 3596
27 201376
1512 = ≅
d) On dénombre le nombre de mains de 5 cartes contenant exactement 3 cœurs et un
pique : 7168 1 16 1 8 3 8 = × ×
. Car on tire 3 cœurs parmi 8, 1 pique parmi 8 et l’autres cartes parmi les cartes qui ne sont ni des cœurs, ni des piques.
La probabilité que la main comporte exactement 3 cœurs et un pique est 0,036 899
32 201376
7168 = ≅
e) On dénombre le nombre de mains de 5 cartes contenant exactement 3 cœurs et un as en séparant les mains contenant l’as de cœur et celles ne le contenant pas.
Il y a × × 1 21 1 3 3 7
mains ne contenant pas l’as de cœur. Car on tire 3 cartes parmi les 8 coeurs sauf l’as, 1 as parmi les 4 sauf le cœur et 1 carte parmi les 32 cartes moins les cœurs et les as.
Il y a × × 2 21 1 1 2 7
mains contenant l’as de cœur. Car on tire l’as de cœur, on tire 2 coeurs manquant parmi les 7 coeurs restant et 2 cartes manquantes parmi les 32 moins les as et les cœurs.
Il y a donc 6615 2 21 1 1 2 7 1 21 1 3 3 7 = × × + × ×
mains de 5 cartes contenant exactement 3 cœurs et un as.
La probabilité que la main comporte exactement 3 cœurs et un as est 0,033 28768 945 211376 6615 ≅ =
f) On dénombre le nombre de mains de 5 cartes contenant un carré 224 1 28 1 8 = × . Car il y a 8 hauteurs de carré possibles (une fois que l’on a choisi la hauteur du carré, on a fixé les 4 cartes du carré à tirer) et il manque une carte que l’on choisi parmi les 28 restantes.
La probabilité que la main comporte un carré est 0,001 899 1 201376 224 ≅ =
